M 9 - Noções de Matemática Financeira
1
(ESPM-SP) Observe as proposições abaixo:
I. (50%)2 = 25%
III. 3% 0 5% = 8%
IV. 3% 9 5% = 15%
II. 9% = 3%
Estão corretas:
a) Apenas I e II
d) Apenas II, III e IV
b) Apenas II e III
e) Nenhuma delas
X c) Apenas I e III
 50 
I. Verdadeiro, pois (50%)2 = 

 100 
2
= 25%
9
3
=
= 30%
100
10
3
5
III. Verdadeiro, pois 3% 0 5% =
0
= 8%
100
100
3
5
IV. Falso, pois 3% 9 5% =
9
= 0,15%
100 100
II. Falso, pois
4 (UFRN) Dois supermercados (X e Y) vendem leite em
pó, de uma mesma marca, ao preço de R$ 4,00 a lata. Numa
promoção, o supermercado X oferece 4 latas pelo preço
de 3, e o supermercado Y dá um desconto de 20% em cada
lata adquirida.
Responda, justificando, em qual dessas promoções você
economizaria mais, se comprasse:
a) 12 latas
b) 11 latas
9% =
a) Supermercado X:
Leva (latas)
4
4
4
Ganha (latas)
1
1
1
Em 12 latas temos um desconto no valor de 3 latas, ou seja:
3 9 R$ 4,00 = R$ 12,00
Supermercado Y:
48
x
100
20
100x = 960 Υ x = 9,60
Em 12 latas temos um desconto de 20%, ou seja, R$ 9,60. A economia
maior seria no supermercado X.
b) Supermercado X:
2
Leva (latas)
4
4
3
Ganha (latas)
1
1
0
(PUC-SP) Uma certa mercadoria que custava R$ 12,50
teve um aumento, passando a custar R$ 14,50. A taxa de
reajuste sobre o preço antigo é de:
X e) 16,0%
a) 2,0%
c) 12,5%
b) 20,0%
d) 11,6%
44
x
Reajuste = 14,50 − 12,50 = 2,00
2,00
Taxa de reajuste:
= 0,16 = 16%
12,50
100x = 880 Υ x = 8,80
Em 11 latas temos um desconto de 20%, ou seja, R$ 8,80. A economia
maior seria no supermercado Y.
3
(UFPE) Quando o preço da unidade de determinado
produto diminuiu 10%, o consumo aumentou 20% durante certo período. No mesmo período, de que percentual
aumentou o faturamento da venda deste produto?
b) 10%
c) 12%
d) 15%
e) 30%
X a) 8%
O faturamento será de 0,9 9 1,20 = 1,08 do faturamento anterior. Logo,
aumentou em 8%.
Em 11 latas temos um desconto no valor de 2 latas, ou seja:
2 9 R$ 4,00 = R$ 8,00
Supermercado Y:
100
20
5 (UFRJ) A fim de atrair a clientela, uma loja anunciou
um desconto de 20% na compra à vista de qualquer mercadoria. No entanto, para não ter redução na margem de
lucro, a loja reajustou previamente seus preços, de forma
que, com o desconto, os preços retornassem aos seus valores iniciais.
Determine a porcentagem do reajuste feito antes do desconto anunciado.
Seja x: valor inicial e i: porcentagem de aumento
(x 0 i 9 x): preço com aumento
(x 0 i 9 x) 9 0,8: preço com desconto
Então: (x 0 i 9 x) 9 0,8 = x Θ i = 0,25 = 25%
Matemática
152
6
8
(UERJ) Uma máquina que, trabalhando sem interrupção, fazia 90 fotocópias por minuto foi substituída por
outra 50% mais veloz. Suponha que a nova máquina tenha de fazer o mesmo número de cópias que a antiga fazia
em uma hora de trabalho ininterrupto. Para isso, a nova
máquina vai gastar um tempo mínimo, em minutos, de:
a) 25
b) 30
c) 35
X d) 40
90 fotocópias por minuto; com aumento de 50%, temos:
90 9 (1,5) = 135 fotocópias por minuto
A nova máquina, para fazer o mesmo número de cópias que a antiga fazia
em 1 minuto, leva x minutos.
123
(Fuvest-SP) Segundo um artigo da revista Veja, durante o ano de 1998, os brasileiros consumiram 261 milhões de litros de vinhos nacionais e 22 milhões de litros
de vinhos importados. O artigo informou ainda que a procedência dos vinhos importados consumidos é dada pela
seguinte tabela:
Itália Θ 23%
Alemanha Θ 13%
Portugal Θ 20%
Argentina Θ 6%
Chile Θ 16%
Outros Θ 6%
França Θ 16%
O valor aproximado do total de vinhos importados da Itália e de Portugal, em relação ao total de vinhos consumidos pelos brasileiros, em 1998, foi de:
a) 2,3% X b) 3,3%
c) 4,3%
d) 5,3%
e) 6,3%
90
135
x
Θ
1
x=
90
2
=
135
3
Para fazer o mesmo número de cópias que a antiga fazia em uma hora de
trabalho, a nova gasta:
2
2
h=
9 60 min = 40 min
3
3
Vinhos importados da Itália e de Portugal: 43%
Total de vinhos importados desses dois países:
0,43 9 22 milhões = 9,46 milhões (A)
Total de vinhos consumidos pelos brasileiros:
283 milhões (B)
9,46
A
=
Λ 0,033 = 3,3%
Daí, temos:
283
B
9
(Fuvest-SP) A porcentagem de fumantes de uma cidade é 32%. Se 3 em cada 11 fumantes deixarem de fumar, o
número de fumantes ficará reduzido a 12 800. Calcule:
a) o número de fumantes da cidade
b) o número de habitantes da cidade
7 (UFES) Um empregado recebe um salário mensal para
trabalhar 8 horas diárias. Trabalhando 2 horas extras todo
dia, ele tem um acréscimo de 50% em seu salário. Quanto
ele ganha a mais por hora extra?
a) 50%
b) 60%
c) 80% X d) 100% e) 120%
hora normal
salário
x
Sendo:
x = no de fumantes e y = no de habitantes da cidade
3
a) x −
x = 12 800 Θ x = 17 600
11
b) 0,32y = 17 600 Υ y = 55 000
hora extra
y
Salário por dia: 8x
Com duas horas extras diárias, passa a ganhar 8x 0 2y por dia.
De acordo com os dados, temos:
8x 0 2y = 1,5 9 (8x) Υ 2y = 4x Υ y = 2x
O valor da hora extra é o dobro do da hora normal.
Logo, ele ganha 100% a mais por hora extra.
10 (PUC-RJ) Um vendedor oferecia sua mercadoria da
seguinte maneira: “Um é R$ 200,00, três são R$ 450,00”.
O freguês que levasse três unidades da mercadoria estaria
recebendo um desconto de:
a) 50% X b) 25%
c) 10%
d) 30%
e) 40%
Valor de 3 mercadorias: 3 9 200 = 600
Valor do desconto: 600 − 450 = 150
150
= 0,25 = 25%
600
Matemática
153
11 (PUC-RS) O valor de um produto foi acrescido de
quatro vezes o da época de seu lançamento no mercado. A
porcentagem que o valor atual representa, em relação ao
preço inicial, é de:
a) 500%
b) 450% X c) 400%
d) 5%
e) 4%
14
Seja x o valor de lançamento.
O valor atual é de x 0 4x = 5x, que representa um aumento de 400% em
relação a x.
X
12 (Unesp-SP) Um advogado, contratado por Marcos,
consegue receber 80% de uma causa avaliada em
R$ 200 000,00 e cobra 15% da quantia recebida, a título
de honorários. A quantia, em reais, que Marcos receberá,
descontada a parte do advogado, será de:
X c) 136 000
a) 24 000
e) 184 000
b) 30 000
d) 160 000
(Fuvest-SP) O limite de consumo mensal de energia elétrica de uma residência, sem multa, foi fixado em
320 kWh. Pelas regras do racionamento, se este limite for
ultrapassado, o consumidor deverá pagar 50% a mais sobre o excesso. Além disso, em agosto, a tarifa sofreu um
reajuste de 16%. Suponha que o valor pago pelo consumo
de energia elétrica no mês de outubro tenha sido 20%
maior do que aquele que teria sido pago sem as regras do
racionamento e sem o aumento de tarifa em agosto. Podese, então, concluir que o consumo de energia elétrica, no
mês de outubro, foi de aproximadamente:
a) 301 kWh
c) 367 kWh
e) 413 kWh
b) 343 kWh
d) 385 kWh
Seja x a quantidade de kWh consumido em outubro e p o preço do kWh
antes do aumento.
I) O valor que teria sido pago sem as regras de racionamento e sem o
aumento seria p 9 x.
II) O valor pago com as regras de racionamento e com o aumento foi
[(x − 320) 9 1,50 0 320] 9 1,16p
III) Como o valor pago em outubro com o aumento e com as regras de
racionamento é 20% superior ao que teria sido pago sem as regras de
racionamento e sem aumento, temos:
[(x − 320) 9 1,50 0 320] 9 1,16p = 1,20p 9 x Υ
Υ [1,50x − 480 0 320] 9 116 = 120x Π
Υ 174x − 18 560 = 120x Υ x = 343,70 Λ 343 kWh
80% da causa: 0,8 9 200 000 = 160 000
100% − 15% = 85%: 0,85 9 160 000 = 136 000
Ele receberá R$ 136 000,00.
13
(IBMEC) A renda per capita é definida como o quociente do produto interno bruto (PIB) pela população economicamente ativa. Se no próximo ano a população economicamente ativa aumentar 12,5%, de quanto deverá
aumentar o PIB para que a renda per capita dobre no referido ano?
a) 12,5% b) 225% X c) 125% d) 300% e) 100%
RPC =
(PIB )
Π (PIB ) = RPC 9 PEA
PEA
No próximo ano teremos:
2 9 RPC =
x 9 (PIB )
x 9 (RPC 9 PEA )
Π
=
,
,
9 PEA
9 PEA
1125
1125
Π x = 2,25 e, portanto, o PIB deve aumentar 125%.
Matemática
154
15
(UFMG) Uma loja aumenta o preço de um determinado produto cujo valor é R$ 600,00 para, em seguida, a
título de promoção, vendê-lo com desconto de 20% e obter ainda os mesmos R$ 600,00. Para que isso aconteça, o
aumento percentual do preço deverá ser de:
a) 20%
X b) 25%
c) 30%
d) 40%
Seja x a porcentagem do aumento.
600(1 0 x)(1 − 0,20) = 600 Υ (1 0 x)(0,80) = 1
10 x =
1
Υ x = 0,25 = 25%
0,80
16 (IBMEC) Obter um lucro de 25% sobre o preço de
compra de uma mercadoria é equivalente a qual porcentagem sobre o preço de venda desta mercadoria?
a) 25% X b) 20%
c) 15%
d) 10%
e) 5%
Venda = Compra 0 Lucro
I) V = C 0 25% C Π V = 125% C Π
II) V =
100
V=C
125
100
V0L
125
25
V=L
125
19 (Unifesp-SP) Uma empresa brasileira tem 30% de
sua dívida em dólares e os restantes 70% em euros. Admitindo-se uma valorização de 10% do dólar e uma desvalorização de 2% do euro, ambas em relação ao real, pode-se
afirmar que o total da dívida dessa empresa, em reais:
a) aumenta 8%.
d) diminui 1,4%.
b) aumenta 4,4%.
e) diminui 7,6%.
X c) aumenta 1,6%.
Seja D a dívida da empresa.
I) A parcela da dívida, em dólares, após uma valorização deste em 10%,
será:
110% 9 (30% D) = 33% D
20% V = L
II) A parcela da dívida, em euros, após uma desvalorização deste em
2%, será:
98% 9 (70% D) = 68,6% D
III) Logo, o total da dívida após os reajustes será:
33% D 0 68,6% D = 101,6% D, que corresponde a um aumento de 1,6%.
17 (UFOP-MG) O preço de uma mercadoria sofreu dois
aumentos sucessivos, de 10% e 20%. De quantos por cento foi o aumento total dessa mercadoria?
a) 30% X b) 32%
c) 25%
d) 22%
e) 12%
Seja x o preço inicial:
x(1 0 0,10)(1 0 0,20) = x 9 1,1 9 1,2 = 1,32x = x(1 0 0,32)
Sofreu um aumento total de 32%.
18 (UEL-PR) Um artigo é vendido em uma loja por
R$ 125,00. Sobre esse preço são dados dois abatimentos
sucessivos: um de 16% e outro de p%. Se o preço de tal
artigo reduziu-se a R$ 81,90, então p é igual a:
a) 18
b) 20
d) 24
e) 26
X c) 22
14243
desconto
16%
desconto
p%
p 

125(1 − 0,16 )  1 −
 = 81,90

100 
14243
p 

105  1 −
 = 81,90

100 
1−
20 (FGV-SP) O Sr. Macedo possui uma loja de sapatos.
Cada par é comprado por um certo valor e é vendido com
uma margem de contribuição (diferença entre o preço de
venda e de compra) igual a 30% do preço de venda.
a) Se cada par for vendido por R$ 60,00, qual o preço de
compra?
b) Se o preço de compra for de R$ 40,00, qual a margem
de contribuição, expressa como porcentagem do preço
de compra?
a) Sendo x (o preço de compra) e y (o preço de venda), a partir do enunciado, temos:
y − x = 30% 9 y Π y − x = 0,3 9 y Π x = 0,7 9 y
Para um preço de venda de R$ 60,00, temos o preço de custo de
R$ 42,00, pois:
x = 0,7 9 60 Π x = 42
b) Para um preço de compra de R$ 40,00, o preço de venda y será tal que:
400
40 = 0,7 9 y Π y =
7
Assim, a margem de contribuição, expressa como porcentagem do preço de compra, será:
p=
y−x
=
x
400
− 40
7
Λ 42,86%
40
p
= 0,78 Υ p = 22
100
Matemática
155
21 (UFMG) Um televisor estava anunciado por R$ 500,00
para pagamento à vista ou em três prestações mensais de
R$ 185,00 cada; a primeira delas a ser paga um mês após a
compra.
Paulo, em vez de pagar à vista, resolveu depositar, no dia
da compra, os R$ 500,00 numa caderneta de poupança,
que lhe renderia 2% ao mês, nos próximos 3 meses. Desse
modo, ele esperava liquidar a dívida, fazendo retiradas de
R$ 185,00 daquela caderneta nas datas de vencimento de
cada prestação. Mostre que a opção de Paulo não foi boa,
calculando quanto a mais ele teve de desembolsar para
pagar a última prestação.
23
(UEPA) Como medida de segurança contra o desmatamento, o IBAMA instalou um posto de fiscalização em uma
área da Amazônia que fica distante 80 km de uma cidade
onde mora um de seus técnicos. Esse técnico vai e volta todo
dia ao posto em seu carro, que consome diariamente 16 litros exatos de combustível, o que corresponde a 25% da capacidade do tanque do carro. Para atender a uma denúncia
de desmatamento, o técnico deverá ir e voltar a uma área
distante 280 km de sua cidade. Para tanto, encheu o tanque
de combustível de seu carro, que estava vazio.
a) Considerando a situação acima, justifique, com base
em seus cálculos, se o combustível é suficiente ou não
para que o fiscal faça o percurso de ida e volta à cidade
de origem.
b) Considerando que, no momento do abastecimento, o
litro do combustível custava R$ 2,00 e que o pagamento seria efetuado em 60 dias, a 2% ao mês de juro simples, qual o valor pago no vencimento?
1o mês Θ 500(1 0 0,02) = 510,00 − 185,00 = 325,00
2o mês Θ 325(1 0 0,02) = 331,50 − 185,00 = 146,50
3o mês Θ 146,50(1 0 0,02) = 149,43
185,00 − 149,43 = 35,57
a) Distância diária percorrida = 160 km
Consumo de 16 litros e, portanto, rendimento de 10 km/σ.
Como 16 litros correspondem a 25% da capacidade do tanque, temos
64 litros de combustível com o tanque cheio, que corresponde a uma
autonomia de 640 km. Portanto é suficiente o combustível para o fiscal ir
e voltar da sua cidade até o local de desmatamento, que totaliza 560 km.
b) 64 litros Ο R$ 2,00 = R$ 128,00 para o abastecimento. Como o pagamento vai ser efetuado daqui a 2 meses, a 2% de juros simples totalizará
R$ 128,00 0 R$ 2,56 0 R$ 2,56 = R$ 133,12.
22 (FGV-SP) Um investidor aplicou R$ 5 000,00 a juros simples, à taxa de 40% ao ano.
a) Qual o montante, se o prazo da aplicação for de 5 meses?
b) Qual o gráfico do montante em função do prazo n da
aplicação, expresso em trimestres?
a) Após 5 meses =
5 000 0 5 000 9
5
anos, o montante será de
12
2 500
5
40
9
= 5 000 0
= R$ 5 833,33.
100 12
3
b) Como a taxa de juros simples é de 40% ao ano, o que corresponde
40%
= 10% ao trimestre, após n > 0 trimestres, o montante será de
4
10
5 000 0 5 000 9
9 n = (5 000 0 500n) reais, cujo gráfico está re100
presentado a seguir:
a
montante
(em reais)
24
X
(FGV-SP) Um capital aplicado a juros simples, à taxa
de 2,5% ao mês, triplica em:
a) 75 meses
c) 85 meses
e) 95 meses
b) 80 meses
d) 90 meses
6 500
Um capital C triplica quando os juros dele decorrentes forem iguais a 2C.
C 9 2,5 9 t
Υ 2,5 t = 200 Υ t = 80
Portanto, 2 C =
100
6 000
5 500
5 000
0
Matemática
156
1
2
3
no de trimestres
25 (ESPM-SP) Um capital de R$ 6 000,00 é aplicado
por 4 meses a juros compostos de 2% a.m. Qual é o valor
dos juros resultantes dessa aplicação?
a) R$ 6 494,40
Você pode usar um dos
b) R$ 6 480,00
dados abaixo:
1,024 = 1,0824
c) R$ 6 441,60
1,24 = 2,0736
X d) R$ 494,40
1,02 9 4 = 4,08
e) R$ 480,00
M = C(1 0 i)t
M = 6 000(1 0 0,02)4 Υ M = 6 000 9 1,0824 = 6 494,40
J = 6 494,40 − 6 000 = 494,40 Υ J = R$ 494,40
26 (ESPM-SP) Um capital de R$ 10 000,00 foi aplicado
do seguinte modo: uma parte a juros simples de 6% ao
mês e o restante a juros compostos de 4% ao mês. Depois
de 3 meses, as duas aplicações tiveram o mesmo rendimento. A maior parte aplicada foi aproximadamente:
a) R$ 4 100,00
e) R$ 6 300,00
X c) R$ 5 900,00
b) R$ 7 400,00
d) R$ 8 600,00
Seja o capital x aplicado a juros compostos de 4% ao mês e (10 000 − x)
aplicado a juros simples de 3% ao mês, durante 3 meses.
Como o rendimento é o mesmo:
x 9 [(1,04 ) 3 − 1 ] =
(10 000 − x ) 9 6 9 3
100
(10 000 − x ) 9 18
100
12,4864x = 180 000 − 18x
x 9 ( 0,124864 ) =
x = 5 904
Portanto, as quantias são R$ 5 900,00 e R$ 4 100,00.
27 (IBMEC) Investindo-se um capital a uma taxa de
juros mensais de 7%, em regime de capitalização composta, em quanto tempo o capital inicial dobrará?
Considere: log 2 = 0,3; log 1,07 = 0,03
X a) 10 meses
c) 12 meses
e) 14 meses
b) 11 meses
d) 13 meses
28
(FGV-SP) Fábio recebeu um empréstimo bancário
de R$ 10 000,00 para ser pago em duas parcelas anuais, a
serem pagas respectivamente no final do primeiro ano e
do segundo ano, sendo cobrados juros compostos à taxa
de 20% ao ano. Sabendo que o valor da 1a parcela foi
R$ 4 000,00, podemos concluir que o valor da 2a foi de:
a) R$ 8 800,00
c) R$ 9 200,00
X e) R$ 9 600,00
b) R$ 9 000,00
d) R$ 9 400,00
I) Depois de pagar a primeira parcela de R$ 4 000,00, o valor da dívida
passou a ser:
120% 9 R$ 10 000,00 − R$ 4 000,00 = R$ 8 000,00
II) O valor da 2a parcela, a ser paga um ano depois, é:
120% 9 R$ 8 000,00 = R$ 9 600,00
29 (Unesp-SP) O preço de tabela de um determinado
produto é R$ 1 000,00. O produto tem um desconto de
10% para pagamento à vista e um desconto de 7,2% para
pagamento em 30 dias. Admitindo que o valor a ser desembolsado no pagamento à vista possa ser aplicado pelo
comprador em uma aplicação de 30 dias, com um rendimento de 3%, determine:
a) quanto o comprador teria ao final da aplicação;
b) qual é a opção mais vantajosa para o comprador, pagar
à vista ou aplicar o dinheiro e pagar em 30 dias (justifique matematicamente sua resposta).
O preço à vista do produto é, em reais:
1 000 9 (100% − 10%) = 900,00
O preço após 30 dias é, em reais:
1 000 9 (100% − 7,2%) = 928,00
a) Aplicando o valor a ser desembolsado no pagamento à vista a uma
taxa de 3% o comprador teria, no final dos 30 dias e em reais:
900 9 (100% 0 3%) = 927,00
b) A opção mais vantajosa para o comprador é pagar à vista, pois se aplicar o dinheiro e pagar 30 dias após, deverá desembolsar R$ 1,00 a
mais para completar os R$ 928,00 necessários.
Investindo um capital x, a 7% de juros mensais, após t (meses) teremos:
x 9 (1,07)t
log 2
0,3
Para que x 9 (1,07 ) t = 2x Π t = log 1,07 2 =
=
Π
log 1,07
0,03
Π t = 10 meses
Matemática
157
X
30 (FGV-SP) Um aparelho de TV é vendido por
R$ 1 000,00 em dois pagamentos iguais, sem acréscimo,
sendo o 1o como entrada e o 2o um mês após a compra. Se
o pagamento for feito à vista, há um desconto de 4% sobre o preço de R$ 1 000,00. A taxa mensal de juros simples do financiamento é aproximadamente igual a:
a) 8,7%
b) 7,7%
c) 6,7%
d) 5,7%
e) 4,7%
I)
Preço de venda: R$ 1 000,00
II) Preço da TV para pagamento à vista: 0,96 9 1 000 = R$ 960,00
III) No pagamento em duas parcelas, o cliente:
• paga R$ 500,00 no ato;
• fica devendo R$ 960,00 − R$ 500,00 = R$ 460,00;
• paga R$ 500,00 no mês seguinte e, portanto, paga R$ 40,00 de juros.
IV) A taxa de juros mensal cobrada sobre o que o cliente ficou devendo é:
40
2
=
Λ 0,0869 Λ 8,7%.
460
23
i=
2 200
R $ 1 600,00 0 R $ 600,00
=
=
50 000
R $ 20 000,00 0 R $ 30 000,00
(UFBA) Uma pessoa tomou um empréstimo de
R$ 6 000,00 a uma taxa de juros compostos de 10% ao
ano e saldou a dívida da seguinte maneira:
■ 2 anos após ter contraído a dívida, pagou R$ 2 260,00;
■ 2 anos após o primeiro pagamento, pagou mais
R$ 3 050,00;
■ 1 ano após o segundo pagamento, quitou a dívida.
Nessas condições, pode-se afirmar:
(01) Depois do primeiro pagamento, a pessoa ficou devendo R$ 4 340,00.
(02) Após o segundo pagamento, a dívida correspondia a
50% do valor do empréstimo.
(04) No momento em que a pessoa quitou o empréstimo,
a dívida correspondia a R$ 3 300,00.
(08) O montante pago pelo empréstimo foi igual a
R$ 9 000,00.
(16) O valor pago pelos juros da dívida correspondeu a
43,5% do valor do empréstimo.
A uma taxa de 10% ao ano, de juros compostos, temos:
I) Após 1 ano Θ dívida de R$ 6 600,00
II) Após 2 anos Θ
dívida de R$ 7 260,00
saldo devedor:
Θ
R$ 5 000,00
1o pagamento de R$ 2 260,00
III) Após 3 anos Θ dívida de R$ 5 500,00
IV) Após 4 anos Θ
V) Após 5 anos Θ
123 123
a) A caderneta de poupança rendeu 8% de R$ 20 000,00 = R$ 1 600,00
de juros e o fundo de ações rendeu 2% de R$ 30 000,00 = R$ 600,00
de juros. A taxa de rendimento global foi, portanto:
32
123
31 (FGV-SP) O Sr. Oliveira aplicou R$ 20 000,00 numa
caderneta de poupança e R$ 30 000,00 num fundo de ações
por 1 ano. Neste período, a caderneta de poupança rendeu
8% e o fundo de ações apenas 2%.
a) Qual a taxa de rendimento global do Sr. Oliveira, no
período?
b) Quanto ele deveria ter aplicado no fundo de ações
(mantida a aplicação de R$ 20 000,00 na caderneta de
poupança) para que sua taxa global fosse de 6% ao ano?
Em questões como a 32, a resposta é dada pela soma dos
números que identificam as alternativas corretas.
dívida de R$ 6 050,00
saldo devedor:
Θ
R$ 3 000,00
2o pagamento de R$ 3 050,00
dívida de R$ 3 300,00
3o pagamento: total da dívida
Logo:
(01) Falso
(02) Verdadeiro
(04) Verdadeiro
(08) Falso; pois R$ 2 260,00 0 R$ 3 050,00 0 R$ 3 300,00 = R$ 8 610,00
(16) Verdadeiro; pois juros da dívida = R$ 2 610,00 correspondem a 43,5%
de R$ 6 000,00
Portanto: 02 0 04 0 16 = 22
= 0,044 = 4,4%
b) Sua taxa global de rendimento teria sido 6%, se a quantia x aplicada no
fundo de ações tivesse sido tal que:
8% 9 R$ 20 000,00 0 2% R$ x
= 6% Π
R $ (20 000,00 0 x )
Π
1 600 0 0,02 x
= 0,06 Π
20 000 0 x
Π 1 600 0 0,02x = 1 200 0 0,06x Υ x = 10 000,00
33
(UFV-MG) Uma pessoa deposita uma quantia em dinheiro na caderneta de poupança. Sabendo-se que o montante na conta, após t meses, é dado por M(t) = C 9 20,01t,
onde C é uma constante positiva, o tempo mínimo para duplicar a quantia depositada é:
a) 6 anos e 8 meses
d) 9 anos e 3 meses
b) 7 anos e 6 meses
e) 10 anos e 2 meses
X c) 8 anos e 4 meses
Para se duplicar a quantia depositada devemos ter:
C 9 20,01 9 t = 2 9 C Π 0,01 9 t = 1 Π t = 100 meses = 8 anos e 4 meses
Matemática
158
M 10 - Progressões
1 (PUC-RS) A soma dos termos da seqüência numérica
(1, −1, 1, −1, 1, ..., (−1)n) com n 7 Μ é:
a) −1
c) 1
X e) 0 ou 1
b) 0
d) −1 ou 1
I) Para uma quantia ímpar de termos:
0
0
0
14243
14243
14243
SI = 1 0 (−1 0 1) 0 (−1 0 1) 0 (−1 0 1) 0 ...
SI = 1
II) Para uma quantia par de termos:
0
0
14243
14243
0
14243
SII = (1 − 1) 0 (1 − 1) 0 (1 − 1) 0 ...
SII = 0
2 (Unesp-SP) Os coelhos se reproduzem mais rapidamente que a maioria dos mamíferos. Considere uma colônia de coelhos que se inicia com um único casal de coelhos adultos e denote por an o número de casais adultos
desta colônia ao final de n meses. Se a1 = 1, a2 = 1 e, para
n > 2, an 0 1 = an 0 an − 1, o número de casais de coelhos
adultos na colônia ao final do quinto mês será:
a) 13
b) 8
c) 6
e) 4
X d) 5
De acordo com o enunciado, temos:
a1 = 1
a2 = 1
a3 = a2 0 a1 = 1 0 1 = 2
a4 = a3 0 a2 = 2 0 1 = 3
a5 = a4 0 a3 = 3 0 2 = 5
Portanto, o número de casais de coelhos adultos na colônia ao final do
quinto mês será 5.
3 (PUC-SP) Os termos da seqüência (10, 8, 11, 9, 12, 10,
13, ...) obedecem a uma lei de formação. Se an, em que
n 7 Μ*, é o termo de ordem n dessa seqüência, então
a30 0 a55 é igual a:
X b) 59
a) 58
c) 60
d) 61
e) 62
4 (Unifor-CE) Considere a seqüência (an), na qual
n 7 Μ − {0} e a1 = −2, a2 = 2, a3 = 12, a4 = 28 etc. O
termo geral dessa seqüência é um dos que estão dados
abaixo. Qual deles?
X d) an = 3n2 − 5n
a) an = n − 3
2
b) an = 2n − 4n
e) an = 5n2 − 6
c) an = 4n − 6
a) an = n − 3
a1 = 1 − 3 = −2
a2 = 2 − 3 = −1 (não satisfaz)
b) an = 2n2 − 4n
a1 = 2 9 12 − 4 9 1 = −2
a2 = 2 9 22 − 4 9 2 = 0 (não satisfaz)
c) an =
a1 =
a2 =
a3 =
4n − 6
4 9 1 − 6 = −2
492−6=2
4 9 3 − 6 = 6 (não satisfaz)
d) an = 3n2 − 5n
a1 = 3 9 12 − 5 9
a2 = 3 9 22 − 5 9
a3 = 3 9 32 − 5 9
a4 = 3 9 42 − 5 9
1 = −2
2=2
3 = 12
4 = 28
Logo, o termo geral é an = 3n2 − 5n.
5
(Unifesp-SP) A soma dos termos que são números primos da seqüência cujo termo geral é dado por an = 3n 0 2,
para n natural, variando de 1 a 5, é:
a) 10
b) 16
c) 28
e) 36
X d) 33
I) Os termos da seqüência an = 3n 0 2, 1 < n < 5 (n 7 Μ) são:
a1 = 3 9 1 0 2 = 5
a2 = 3 9 2 0 2 = 8
a3 = 3 9 3 0 2 = 11
a4 = 3 9 4 0 2 = 14
a5 = 3 9 5 0 2 = 17
II) A soma dos termos que são primos é:
a1 0 a3 0 a5 = 5 0 11 0 17 = 33
Na seqüência (10, 8, 11, 9, 12, 10, 13, ..., a30, ..., a55, ...), temos:
I) a30 é o décimo quinto termo da PA (8, 9, 10, ...) e vale 8 0 14 9 1 = 22
II) a55 é o vigésimo oitavo termo da PA (10, 11, 12, ...) e vale 10 0 27 9 1 = 37
III) a30 0 a55 = 22 0 37 = 59
Matemática
159
6
(PUC-RJ) Três números estão em progressão aritmética. A soma dos três números é 21. Assinale a opção que
apresenta o valor correto do termo do meio.
a) 2
b) 6
d) 5
e) 2 3
X c) 7
9
3 números em PA: x − r, x, x 0 r
x − r 0 x 0 x 0 r = 21 Θ 3x = 21 Θ x = 7
(x, x 0 10, x2, ...) Θ PA de números positivos
x 0 x2
( x 0 10 ) =
Υ x 2 − x − 20 = 0
2
x’ = 5
1± 9
x=
x” = −4 (não convém)
2
(UERN) A seqüência de números positivos
(x, x 0 10, x2, ...) é uma progressão aritmética, cujo décimo termo é:
a) 94
c) 101
d) 104
e) 105
X b) 95
PA: (5, 15, 25, ...)
a1 = 5; r = 10
a10 = a1 0 9r = 5 0 9 9 10 Ι a10 = 95
7
I) Na seqüência (6, 8, 15, 27, 44), temos:
a 2 − a1 = 8 − 6 = 2
a3 − a2 = 15 − 8 = 7
a4 − a3 = 27 − 15 = 12
a5 − a4 = 44 − 27 = 17
II) Como (2, 7, 12, 17) é uma PA de razão 5, (6, 8, 15, 27, 44) é uma PA de
segunda ordem.
10
(MACK-SP) Se f(n), n 7 Μ, é uma seqüência definida por:
123
X
(UFCE) Uma seqüência de números reais é dita uma
progressão aritmética de segunda ordem quando a seqüência formada pelas diferenças entre termos sucessivos for uma progressão aritmética. Assinale a alternativa na qual se encontra parte de uma progressão aritmética de segunda ordem.
a) (0, 5, 12, 21, 23)
d) (7, 3, 2, 0, −1)
b) (6, 8, 15, 27, 44)
e) (2, 4, 8, 20, 30)
c) (−3, 0, 4, 5, 8)
f(0) = 1
f(n 0 1) = f(n) 0 3, então f(200) é:
a) 597
b) 600
X c)
601
d) 604
e) 607
f(0) = 1
n = 0 Θ f(1) = f(0) 0 3 = 1 0 3 = 4
n = 1 Θ f(2) = f(1) 0 3 = 4 0 3 = 7
n = 2 Θ f(3) = 7 0 3 = 10
a1 = 1
(1, 4, 7, 10, ...) PA
r=3
Como a1 = f(0); a2 = f(1); a3 = f(2), temos:
f(200) = a201 Υ a201 = a1 0 200r
a201 = 1 0 200 9 3 = 601
f(200) = 601
8
(PUC-RJ) Para que a progressão aritmética de razão
r = 5 − 2x seja decrescente, x deve assumir valores no
intervalo:


 5 5
 5
5
a)  −∃ , − 
c) − , 
, 0∃ 
X e) 
2
2
2
2







 5
d) − , 0∃ 
2


PA decrescente Π r , 0
r = 5 − 2x
Matemática
160
a3 − a1 = −8
a4 0 a2 = −12
a1 0 2r − a1 = −8
a1 0 3r 0 a1 0 r = −12
Υ
2r = −8 Υ r = −4
e
2a1 0 4(−4) = −12
2a1 = 4
a1 = 2
Υ
X e)
2
2r = −8
2r1 0 4r = −12
123
 5

x7
, 0∃ 
 2

5
2
O primeiro termo dessa progressão é:
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
123
2x . 5 Υ x .
(UFRN) Numa progressão artimética de termo gea − a1 = −8
ral an, tem-se que 3
a4 0 a2 = −12
123
Logo, 5 − 2x , 0
−2x , −5 9 (−1)
11
123

5
b)  −∃, 
2

12 (UFSM-RG) Tisiu ficou sem parceiro para jogar
bolita (bola de gude); então pegou sua coleção de bolitas e
formou uma seqüência de “T” (a inicial de seu nome), conforme a figura:
...
1442443
Supondo que o guri conseguiu formar 10 “T” completos,
pode-se, seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele possuía:
a) mais de 300 bolitas
d) exatamente 300 bolitas
e) exatamente 41 bolitas
X b) pelo menos 230 bolitas
c) menos de 220 bolitas
1o “T” Θ 5 bolitas
2o “T” Θ 9 bolitas
3o “T” Θ 13 bolitas
.
.
.
PA (5, 9, 13, ..., a10)
14 (Unesp-SP) A Rádio Sinfonia inicia sua programação às 6 h. A programação é formada por módulos musicais de 20 minutos, intercalados por mensagens comerciais de 2 minutos. Em vista disso, o primeiro módulo
musical se iniciará às 6 h (0 minutos após às 6 h), o segundo às 6h 22min (22 minutos após às 6 h), e assim por
diante. Indique por hn a quantidade de minutos, após às
6 h, em que se iniciará o módulo musical de número n.
a) Escreva uma expressão matemática para hn em função
de n.
b) Uma pessoa sintonizou esta rádio às 9h 30min, quando
estava tocando o décimo módulo musical. Determine
h10 e quantos minutos a pessoa ouvirá de música, até
que se inicie a próxima mensagem comercial.
a) As quantidades de minutos, após às 6 h, em que se iniciará cada módulo
musical, são os termos da progressão aritmética (0; 22; 44; ...; hn; ...)
onde hn = 0 0 (n − 1) 9 22 Υ hn = 22(n − 1), n 7 Μ*.
b) h10 = 22 9 (10 − 1) = 198 min = 3h e 18min.
A pessoa que sintoniza a rádio às 9h e 30min (210 minutos após o
início das transmissões) perdeu (210 − 198) = 12 min do décimo módulo
musical, restando, portanto, 8 min de música até que se inicie a próxima mensagem musical.
Cálculo de a10: a10 = a1 0 9r
a10 = 5 0 9 9 4 = 41
10( 5 0 41)
= 230
2
Ele possuía 230 bolitas.
Cálculo de S10: S 10 =
13
(UFSCar-SP) Uma função f é definida recursiva5f(n) 0 2
.
mente como f(n 0 1) =
5
Sendo f(1) = 5, o valor de f(101) é:
b) 50
c) 55
d) 60
e) 65
X a) 45
5 f ( n) 0 2
2
Π f(n 0 1) = f(n) 0
Π
5
5
2
Π f(n 0 1) − f(n) =
.
5
A seqüência, (f(1); f(2); f(3); ...; f(101); ...) é uma progressão aritmética de
2
razão r =
e a1 = f(1) = 5.
5
Portanto, f(101) = a101 = a1 0 100 9 r Π
2
Π a101 = 5 0 100 9
= 45
5
f(n 0 1) =
15 (MACK-SP) Os comprimentos de uma seqüência de
circunferências estão em progressão aritmética de razão 2.
Os raios dessas circunferências definem uma:
a) progressão aritmética de razão π
b) progressão aritmética de razão 2
1
X c) progressão aritmética de razão
π
1
d) progressão geométrica de razão π
1
e) progressão geométrica de razão
2π
Seja (Cn) = (2π r1; 2π r2; ...; 2π rn; 2π rn 0 1; ...) ? n 7 Μ*, a seqüência dos
comprimentos das circunferências de raios r1; r2; ...; rn; rn 0 1; ... respectivamente.
Como (Cn) é uma progressão aritmética de razão 2, temos:
1
(constante) e, portanto, a seqüên2 π rn 0 1 − 2 π rn = 2 Π rn 0 1 − rn =
π
1
cia (rn) = (r1; r2; ...) dos raios é uma progressão aritmética de razão =
.
π
Matemática
161
16
(UEL-PR) Interpolando-se sete termos aritméticos
entre os números 10 e 98, obtém-se uma progressão aritmética cujo termo central é:
a) 45
b) 52
d) 55
e) 57
X c) 54
(10,
(UFSC) Qual a soma dos 10 primeiros termos de
uma progressão aritmética na qual o primeiro termo é
igual à razão e a3 0 a8 = 18?
a3 0 a8 = 18 Υ a1 0 2r 0 a1 0 7r = 18
, 98)
Como a1 = r, temos: a 1 =
7 termos
14243
a1 = 10
a9 = 98
n=9
r=?
19
a1 0 8r = a9
10 0 8r = 98
8r = 88
r = 11
termo central: a5
a5 = a1 0 4r = 10 0 4 9 11 Ι a5 = 54
17
(Fuvest-SP) Responda:
a) Quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1 000?
b) Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1 000?
18
11
18
18
180
0 (10 − 1) 9
=
11
11
11
a 10 =
180 
 18
0
9 10
 11
11 
= 90
2
S 10 =
20
(UFPA) A soma de uma PA de oito termos é 16 e a
razão é −2. Então, o sexto termo é:
a) −5
b) −4
c) −3
d) −2
X e) −1
De acordo com
os dados:
b) Entre 100 e 1 000, existem:
I) 100 múltiplos de 9, conforme item anterior.
II) múltiplos de 15:
(105, 120, 135, ..., 990)
990 = 105 0 (n − 1) 9 15 Π n = 60
III) múltiplos simultaneamente de 9 e 15:
(135, 180, 225, ..., 990) Θ r = 45
990 = 135 0 (n − 1) 9 45 Π n = 20
Cálculo de a6:
a6 = a1 0 5r = 9 0 5 9 (−2) Υ a6 = −1
123
a) Os múltiplos inteiros de 9 compreendidos entre 100 e 1 000 formam
uma progressão aritmética de primeiro termo 108, último termo 999 e
razão 9. Sendo n a quantidade de termos desta progressão, tem-se:
999 = 108 0 (n − 1) 9 9 Π n = 100
S8 = 16
r = −2
S8 =
(a 1 0 a 8 ) 9 8
2
16 = 4(a1 0 a8)
a1 0 a8 = 4
a1 0 a1 0 7r = 4 Υ 2a1 0 7(−2) = 4
2a1 = 18 Ι a1 = 9
Assim, entre 100 e 1 000 existem 100 0 60 − 20 = 140 múltiplos inteiros de 9 ou 15.
18
an = 4n − 7, ? n 7 Μ*
a1 = −3; a2 = 1; a3 = 5; ...
A seqüência (−3, 1, 5, ...) é uma PA cujo 1o termo é −3 e a razão é 4.
a20 = a1 0 19r = −3 0 19 9 4 = 73
S 20 =
(− 3 0 73 ) 9 20
= 700
2
Matemática
162
0
a1 0 a3 0 a5 0 ... 0 an − 1 = 140
a2 0 a4 0 a6 0 ... 0 an = 161
123
(UFAL) O termo geral de uma seqüência é
an = 4n − 7, ? n 7 Μ − {0}. A soma dos vinte primeiros
termos dessa seqüência é:
a) 720
c) 670
d) 640
e) 580
X b) 700
21 (UFPel-RS) Numa Olimpíada de Matemática, envolvendo alunos de 2o grau, foi proposto o seguinte problema:
“Em certa progressão aritmética, a soma dos termos de ordem ímpar é 140 e a soma dos termos de ordem par é 161;
a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é 43.
Calcule o número de termos dessa progressão aritmética.
a1 0 an = 43
Sn = 301
Sn =
(a 1 0 a n ) 9 n
2
Υ 301 =
43 9 n
Υ n = 14
2
22 (UFSCar-SP) A soma dos cinco primeiros termos
de uma PA vale 15 e o produto desses termos é zero. Sendo a razão da PA um número inteiro e positivo, o segundo
termo dessa seqüência vale:
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
X a) 0
25 (Fatec-SP) Um auditório foi construído de acordo
com o esquema abaixo:
Seja a PA (x − 2r, x − r, x, x 0 r, x 0 2r). Então,
(x − 2r) 0 (x − r) 0 x 0 (x 0 r) 0 (x 0 2r) = 15 Π
Π 5x = 15 Π x = 3.
(3 − 2r) 9 (3 − r) 9 3 9 (3 0 r) 9 (3 0 2r) = 0 e r é inteiro positivo, r = 3.
Portanto, a PA é (−3; 0; 3; 6; 9) e o 2o termo da PA é zero.
2a fila
12 lugares
Palco
23 (UNI-RIO) Considere uma progressão aritmética de
4 elementos cujo primeiro elemento é log2 3. Sabendo-se
que a soma destes elementos é log2 5 184, determine a
razão desta seqüência.
a1 = log2 3; n = 4; S4 = log2 5 184; r = ?
a1 0 a2 0 a3 0 a4 = log2 5 184
log2 3 0 log2 3 0 r 0 log2 3 0 2r 0 log2 3 0 3r = log2 5 184
4 log2 3 0 6r = log2 (26 9 34)
1a fila
8 lugares
A platéia tem 18 filas de assentos e cada fila tem 4 lugares
a mais que a anterior.
Se forem convidadas 800 pessoas para assistir a um evento e todas comparecerem,
a) ficarão vagos 140 lugares.
b) ficarão vagos 64 lugares.
X c) faltarão 44 lugares.
d) faltarão 120 lugares.
e) não sobrarão nem faltarão lugares.
Número de assentos por fila: (8, 12, 16, 20, ...) PA onde:
a1 = 8; r = 4 e a18 = a1 0 17r = 8 0 17 9 4 = 76
( 8 0 76 ) 9 18
= 756 (capacidade do auditório)
2
800 − 756 = 44 lugares faltando.
S 18 =
4 log2 3 0 6r = 6 0 4 log2 3 Υ r = 1
24 (UFCE) A soma dos 15 primeiros termos de uma
progressão aritmética é 150. O 8o termo desta PA é:
X a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
e) 30
S 15 =
( a 1 0 a 15 ) 9 15
2
= 150
( a 8 − 7r 0 a 8 0 7r ) 9 15
2
(PUC-RS) A razão da PG cuja soma é 0,343434... é:
1
1
1
c)
d) 10
e) 100
a)
X b)
10
100
1 000
0,343434... = 0,34 0 0,0034 0 0,000034 0 ...,
que é a soma dos termos da PG (0,34; 0,0034; 0,000034; ...) de razão
Como a8 = a1 0 7r Υ a1 = a8 − 7r
a15 = a8 0 7r
Então S 15 =
26
=
2 a 8 9 15
2
1
.
100
= 150 Υ a 8 = 10
Matemática
163
27
(UENF-RJ) Dois corredores vão se preparar para participar de uma maratona. Um deles começará correndo
8 km no primeiro dia e aumentará, a cada dia, essa distância em 2 km; o outro correrá 17 km no primeiro dia e
aumentará, a cada dia, essa distância em 1 km. A preparação será encerrada no dia em que eles percorrerem, em
quilômetros, a mesma distância.
Calcule a soma, em quilômetros, das distâncias que serão
percorridas pelos dois corredores durante todos os dias
do período de preparação.
I) Corredor 1: (8 km; 10 km; 12 km; ...) PA de razão 2 e a1 = 8
Corredor 2: (17 km; 18 km; 19 km; ...) PA de razão 1 e b1 = 17
Para que a preparação seja encerrada, devemos ter:
bn
an
144424443
1442443
8 0 (n − 1) 9 2 = 17 0 (n − 1) 9 1 Ε n = 10
Portanto, no 10o dia.
29
(Unesp-SP) Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. A espessura de cada tábua é 0,5 cm. Forma-se
uma pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeira
vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já
houveram sido colocadas anteriormente.
pilha na 1a vez
pilha na 2a vez
pilha na 3a vez
Determine, ao final de 9 dessas operações,
a) quantas tábuas terá a pilha.
b) a altura, em metros, da pilha.
A quantidade de tábuas na pilha, em função do número de vezes em que se
repetiu a operação descrita, é dada pela seqüência (an) = (1; 2; 4; 8; ...),
uma progressão geométrica de razão 2.
Após a nona operação, a quantidade de tábuas na pilha é a9 = 1 9 28 = 256.
A altura da pilha será de 256 9 0,5 cm = 128 cm = 1,28 m.
II) Distância percorrida pelo corredor 1:
S 10 =
( 8 0 26 ) 9 10
2
= 170 km
III) Distância percorrida pelo corredor 2:
S10
' =
(17 0 26 ) 9 10
= 215 km
2
Logo, a soma das distâncias será:
S10 0 Sδ10 = 170 0 215 = 385 km
30
28 (UFSCar-SP) Numa progressão geométrica, o primeiro termo é 5x e a razão é 5. Se a soma dos quatro primeiros
5x − 2
termos é 3 900, pode-se afirmar que
, é igual a:
5
1
1
c) 1
d) 5
e) 25
a)
X b)
25
5
A progressão geométrica de primeiro termo 5x e razão 5 é (5x; 5x 0 1; 5x 0 2;
5x 0 3; ...).
A soma dos quatro primeiros termos dessa progressão é 3 900 e, portanto:
5x 0 5x 0 1 0 5x 0 2 0 5x 0 3 = 3 900 Π
Π 5x(1 0 5 0 25 0 125) = 3 900 Π
325
3 900
Π 5x =
Π 5x =
156
13
5x − 2
5x
625
1
Assim sendo:
= 3 =
=
5
5
13 9 5 3
5
Matemática
164
(Unicap-PE) Os números que representam, em
graus, os ângulos internos de um quadrilátero estão em
progressão geométrica de razão 2. Qual o valor, em graus,
do menor dos ângulos internos?
Sejam ε, ψ, υ e τ os ângulos internos do quadrilátero. Portanto:
ε 0 ψ 0 υ 0 τ = 360).
Como (ε, ψ, υ, τ) é PG de razão 2, temos:
ε 0 2ε 0 4ε 0 8ε = 360)
15ε = 360) Π ε = 24)
1442443
a1 = 2
q=2
Υ (2, 4, 8, ...) PG
a2 − a1 = 9
a5 − a4 = 576
a 1q − a 1 = 9
a1q4 − a1q3 = 576
Υ
123
1a hora: 2 bactérias
2a hora: 2 9 2 = 4 bactérias
3a hora: 4 9 2 = 8 bactérias
.
.
.
33 (PUC-SP) Numa progressão geométrica, a diferença entre o 2o e o 1o termo é 9 e a diferença entre o 5o e o
4o termo é 576. O 1o termo da progressão é:
b) 4
c) 6
d) 8
e) 9
X a) 3
123 123
31 (UEPG-PR) Sabe-se que o número de bactérias em
um meio de cultura duplica de hora em hora. Se ao final
da 1a hora existem 2 bactérias nesse meio, qual o número
de bactérias ao final de 10 horas?
c) 2 048
e) 1 023
X a) 1 024
b) 5 130
d) 2 046
(I)
a1(q − 1) = 9
a1q3(q − 1) = 576 (II)
(II) : (I) Θ q3 = 64 Ι q = 4
Substituindo em (I), vem: a1(4 − 1) = 9 Ι a1 = 3
a 1 a2 a 3
Ao final da 10 hora: a10 = a1 9 q
a10 = 1 024
a
n−1
= 2 9 210 − 1 = 2 9 29 = 210
32
(UFU-MG) Considere an o termo geral de uma pro1
e primeiro termo 1. Podegressão geométrica de razão
2
mos afirmar que a representação gráfica dos pontos
(n, an) no plano cartesiano, em que n 7 Μ, está contida no
gráfico de uma função:
a) quadrática
c) linear
d) logarítmica
X b) exponencial
Seja x a área coberta por uma alga no 1o dia.
n−1
14243
a n = a 1 9 qn − 1
 1
Υ an = 19  
 2
Então: 2x — área coberta no 2o dia
4x — área coberta no 3o dia
8x — área coberta no 4o dia
Υ a n = 2 1 − n, n 7 Μ
(equivalente a uma função y = 21 − x Θ f exponencial)
Graficamente:
0
1
2
1
1
2
1
4
1
8
2
3
4
a1 = x
q=2
Para duas algas, teremos:
1442443
an
Υ (x, 2x, 4x, 8x, ...) PG
No 100o dia, a área coberta será: a100 = a1 9 q99 = x 9 299
an
xn
34 (Cesesp-PE) Uma alga cresce de modo que a cada dia
ela cobre uma superfície de área igual ao dobro da coberta
no dia anterior. Se esta alga cobre a superfície de um lago
em 100 dias, assinale a alternativa correspondente ao número de dias necessários para que duas algas da mesma
espécie da anterior cubram a superfície do mesmo lago.
a) 50 dias
c) 98 dias
e) 43 dias
b) 25 dias
d)
99
dias
X
1o dia: 2x
2o dia: 4x
3o dia: 8x
.
.
.
2
1 1
2
1
4
(2x, 4x, 8x, ...) PG
a1 = 2x
q=2
Depois de n dias, essas duas algas cobriram uma área de:
an = a1 9 qn − 1 = 2x 9 2n − 1 = x 9 2n
0
1
2
3
4
n
Fazendo an = a100 Υ x 9 2n = x 9 299 Υ n = 99
Duas algas levarão 99 dias para cobrir a superfície do lago.
Esta representação está contida no gráfico de uma função exponencial.
Matemática
165