CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES Olá pessoal!
Resolverei neste ponto a prova de Raciocínio Lógico do concurso BADESC
2010/FGV.
Sem mais delongas, vamos às questões.
11. (BADESC 2010/FGV) Daqui a 15 dias, Márcia fará aniversário. Paula fez
aniversário há 8 dias. Júlia fará aniversário 6 dias antes de Márcia. Se Paula
faz aniversário no dia 25 de abril, é correto concluir que:
(A) hoje é dia 02 de maio.
(B) hoje é dia 05 de maio.
(C) Júlia fará aniversário no dia 09 de maio.
(D) Júlia fará aniversário no dia 12 de maio.
(E) Márcia fará aniversário no dia 15 de maio.
Resolução
Paula fez aniversário há 8 dias no dia 25 de abril. Isto significa que hoje é 3 de
maio.
Como Márcia faz aniversário daqui a 15 dias, então a data de seu aniversário é
3+15=18 de maio.
Júlia faz aniversário 6 dias antes de Márcia. Como sabemos que Márcia faz
aniversário no dia 18 de maio, então o aniversário de Júlia é 18 – 6 = 12 de
maio.
Letra D
12. (BADESC 2010/FGV)
A figura acima ilustra uma construção formada por 10 pontos e 11 segmentos.
Cada segmento liga exatamente 2 pontos. Um caminho de A a J é uma
sucessão de segmentos interligados que começa no ponto A e termina no
ponto J, sem que se passe mais de uma vez por um mesmo ponto. Observe
que:
• AD + DH + HF + FJ é um caminho de A até J, formado por
4 segmentos;
• AD + HF + FJ não é um caminho de A até J, porque AD e
HF não são segmentos interligados.
Assinale a alternativa que indique quantos caminhos existem de A até J.
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CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES (A) 5
(B) 4
(C) 3
(D) 2
(E) 1
Resolução
Vamos simplificar o diagrama. Se o objetivo é partir de A para chegar em J,
devemos desconsiderar alguns caminhos.
Os caminhos destacados em vermelho podem ser apagados, já que nunca
terão como destino o ponto J.
Temos dois caminhos de A para H: passando por D ou passando por H. Após
chegar em H, temos dois caminhos de H para J: passando por F ou passando
por I.
Pelo princípio fundamental da contagem, há um total de 2 · 2 4 caminhos de
A para J. Os quatro caminhos são: ADHFJ, ADHIJ, AGHFJ, AGHIJ.
Letra B
13. (BADESC 2010/FGV) Em uma fila, denominamos extremos o primeiro e o
último elementos e equidistantes os elementos que estão à mesma distância
dos extremos. A distância entre dois elementos consecutivos dessa fila é
sempre a mesma, quaisquer que sejam esses dois elementos. Sabendo que
essa fila é formada por 52 elementos, o 8º elemento é equidistante ao:
(A) 44º elemento.
(B) 45º elemento.
(C) 46º elemento.
(D) 47º elemento.
(E) 48º elemento.
Resolução
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CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES Do primeiro elemento ao oitavo elemento, avançamos 7 elementos. Portanto,
partindo do 52º elemento, devemos retroceder 7 elementos. Como 52 – 7 = 45,
o 8º elemento é eqüidistante ao 45º elemento.
Letra B
14. (BADESC 2010/FGV) Dado um conjunto A, chamamos subconjunto próprio
não vazio de A a qualquer conjunto que pode ser formado com parte dos
elementos do conjunto A, desde que:
• algum elemento de A seja escolhido;
• não sejam escolhidos todos os elementos de A.
Sabemos que a quantidade de subconjuntos próprios não vazios
de A é 14. A quantidade de elementos de A é igual a:
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
Resolução
Se um conjunto possui elementos, então ele possui 2 subconjuntos. Para
contar os subconjuntos próprios não vazios, devemos desconsiderar o próprio
conjunto (já que não podemos escolher todos os elementos de A) e o conjunto
vazio (pois algum elemento de A deve ser escolhido).
elementos, então ele possui 2
Desta forma, se um conjunto possui
subconjuntos próprios não vazios.
2
2
2
14
2
16
2
2
4
Letra A
15. (BADESC 2010/FGV) Mariano distribuiu 3 lápis, 2 borrachas e 1 caneta
pelas 3 gavetas de sua cômoda. Adriana, sua esposa, abriu uma das gavetas e
encontrou, dentro dela, 2 lápis e 1 caneta. Sabendo-se que nenhuma das 3
gavetas está vazia, analise as afirmativas a seguir:
I. É possível garantir que, abrindo-se qualquer outra gaveta, encontra-se pelo
menos uma borracha.
II. É possível garantir que, abrindo-se qualquer outra gaveta, encontra-se um
único lápis.
III. É possível encontrar, em uma das gavetas, mais de uma borracha.
Assinale:
(A) se somente a afirmativa I estiver correta.
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CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES (B) se somente a afirmativa II estiver correta.
(C) se somente a afirmativa III estiver correta.
(D) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas.
(E) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.
Resolução
São três gavetas e em uma delas há 2 lápis e 1 caneta.
•
•
•
Lápis Lápis Caneta Mariano distribuiu 3 lápis, 2 borrachas e 1 caneta pelas 3 gavetas de sua
cômoda. Portanto, ainda precisamos distribuir 1 lápis e duas borrachas. Vamos
analisar cada uma das alternativas de per si.
I. É possível garantir que, abrindo-se qualquer outra gaveta, encontra-se pelo
menos uma borracha.
Este item é falso, visto que poderíamos colocar as duas borrachas na mesma
gaveta da seguinte forma:
•
•
•
•
•
Lápis Lápis Caneta Borracha Borracha II. É possível garantir que, abrindo-se qualquer outra gaveta, encontra-se um
único lápis.
Voltemos à situação inicial:
•
•
•
Lápis Lápis Caneta Ainda precisamos distribuir 1 lápis e duas borrachas. Colocaremos o lápis em
uma gaveta e a outra necessariamente ficará sem lápis. Portanto, não
podemos garantir que, abrindo-se qualquer outra gaveta, encontra-se um único
lápis. O item é falso.
III. É possível encontrar, em uma das gavetas, mais de uma borracha.
Este item é verdadeiro como foi visto no item I. Como há duas borrachas
disponíveis, poderíamos ter a seguinte configuração:
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CURSO
ON-LINE – PROFESSOR
NEVES • Lápis • Borracha GUILHERME
•
•
Lápis Caneta •
Borracha Letra C
16. (BADESC 2010/FGV) Certo dia, três amigos fizeram, cada um deles, uma
afirmação:
Aluísio: – Hoje não é terça-feira.
Benedito: – Ontem foi domingo.
Camilo: – Amanhã será quarta-feira.
Sabe-se que um deles mentiu e que os outros dois falaram a verdade.
Assinale a alternativa que indique corretamente o dia em que eles fizeram
essas afirmações.
(A) sábado.
(B) domingo.
(C) segunda-feira.
(D) terça-feira.
(E) quarta-feira.
Resolução
Um deles mentiu e que os outros dois falaram a verdade.
Vamos testar as possibilidades. Será que Aluísio é o mentiroso?
Aluísio
Mentiroso
Benedito
Veraz
Camilo
Veraz
Aluísio: – Hoje não é terça-feira.
Como estamos considerando que Aluísio é mentiroso, então é falso que hoje
não é terça-feira. Portanto, hoje é terça-feira.
Chegamos a um absurdo! Se hoje é terça-feira, então Benedito está mentindo.
Desta maneira, Aluísio não é mentiroso.
Será que Benedito é o mentiroso?
Aluísio
Veraz
Benedito
Mentiroso
Camilo
Veraz
Se Benedito é mentiroso, então Camilo é veraz. Camilo afirma que amanhã
será quarta-feira e, portanto, hoje é terça-feira. Contradição! Aluísio também diz
a verdade e afirma que hoje não é terça-feira. Teríamos o absurdo de duas
pessoas dizerem a verdade com proposições contraditórias.
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CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES Já que Aluísio não é o mentiroso nem Bernardo o é, concluímos que Camilo é
o mentiroso e que Aluísio e Bernardo são verazes.
Aluísio
Veraz
Benedito
Veraz
Camilo
Mentiroso
Benedito afirma que ontem foi domingo. Portanto, hoje é segunda-feira.
Letra C
17. (BADESC 2010/FGV) Uma circunferência de centro em O está inscrita em
um quadrado de vértices A, B, C e D, como ilustrado. P, Q e R são pontos em
que a circunferência toca o quadrado.
Com relação à figura, analise as afirmativas a seguir:
I. A área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a
metade da área total do quadrado.
II. A distância de A até O é menor do que a metade da medida do lado do
quadrado.
III. O percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto do
que o feito por sobre os lados do quadrado. Assinale:
(A) se somente a afirmativa I estiver correta.
(B) se somente a afirmativa II estiver correta.
(C) se somente a afirmativa III estiver correta.
(D) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas.
(E) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.
Resolução
Se o raio da circunferência for igual a , então o lado do quadrado é igual a 2 .
Comprimento da circunferência:
2 r
Área do círculo:
Área do quadrado:
ℓ
2
4
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CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES Vamos analisar cada uma das alternativas de per si.
I. A área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a
metade da área total do quadrado.
Para calcular a área interior ao quadrado e exterior à circunferência, devemos
calcular a diferença entre a área do quadrado e a área do círculo.
ã
ã
4
Usando uma boa aproximação para o número
ã
4
3,14
3,14:
0,86
Como á área do quadrado é 4 , então a metade da área do quadrado é 2 .
Portanto, a área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do
que a metade da área total do quadrado.
0,86
2
O item é verdadeiro.
II. A distância de A até O é menor do que a metade da medida do lado do
quadrado.
O triângulo em destaque na figura é retângulo de catetos iguais a . A distância
AO pode ser calculada pelo Teorema de Pitágoras:
2
√2
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CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES Portanto, a distância de A até O é maior do que a metade da medida do lado
do quadrado. Isto porque a metade da medida do lado do quadrado é igual ao
.
raio da circunferência e √2
O item é falso.
III. O percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto do
que o feito por sobre os lados do quadrado.
O percurso PQR feito por cima da circunferência equivale a 3/4 do
comprimento da circunferência.
3
·2
4
3
2
3 · 3,14 ·
2
4,71
O mesmo percurso feito pelos lados do quadrado:
2 2
Este comprimento é igual a
2
2
6 .
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CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES Como 4,71
6 , o percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é
mais curto do que o feito por sobre os lados do quadrado. O item é verdadeiro.
Letra D
18. (BADESC 2010/FGV) Um número N acrescido de 20% vale 36, o mesmo
que um número P reduzido de 10%. A soma de N e P é:
(A) 60
(B) 65
(C) 70
(D) 75
(E) 80
Resolução
Para que N seja acrescido de 20%, devemos multiplicar o seu valor por
100% +20% = 120%.
120%
36
120
·
100
36 ·
36
100
120
30
Para que P seja reduzido de 10%, devemos multiplicar o seu valor por
100% - 10% = 90%.
90%
36
90
·
100
36 ·
Portanto,
30
40
36
100
90
40
70.
Letra C
19. (BADESC 2010/FGV) Um dado é dito “comum” quando faces opostas
somam sete. Deste modo, num dado comum, o 1 opõe-se ao 6, o 2 opõe-se ao
5 e o 3 opõe-se ao 4. Lançando-se duas vezes seguidas um mesmo dado
comum, os resultados obtidos são descritos por um par ordenado (a,b), em que
a é o resultado obtido no 1º lançamento e b, o resultado obtido no 2º
lançamento. Assinale a alternativa que indique, corretamente, quantos pares
ordenados diferentes podem ser obtidos de modo que a soma dos resultados
seja sempre igual a 8.
(A) 2
(B) 3
(C) 4
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CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES (D) 5
(E) 6
Resolução
Podemos construir a seguinte tabela.
2º lançamento
1º lançamento Nº 1
Nº 2
Nº 3
Nº 4
Nº 5
Nº 6
Nº 1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
Nº 2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
Nº 3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
Nº 4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
Nº 5
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
Nº 6
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
São 5 pares ordenados com a soma dos resultados igual a 8.
Letra D
Este diagrama é muito útil em várias questões de probabilidade envolvendo o
lançamento de dois dados. Observe que a soma dos resultados é constante
nas “diagonais” que vão da direita para a esquerda.
Nº 1
Nº 2
Nº 3
Nº 4
Nº 5
Nº 6
Nº 1
2
3
4
5
6
7
Nº 2
3
4
5
6
7
8
Nº 3
4
5
6
7
8
9
Nº 4
5
6
7
8
9
10
Nº 5
6
7
8
9
10
11
Nº 6
7
8
9
10
11
12
20. (BADESC 2010/FGV) Ao caminhar, Márcia e Paula dão sempre passos
uniformes. O passo de Márcia tem o mesmo tamanho do de Paula. Mas,
enquanto Paula dá cinco passos, Márcia, no mesmo tempo, dá três passos. No
início da caminhada, Márcia estava 20 passos à frente de Paula. Se elas
caminharem sem parar, Paula, para alcançar Márcia, deverá dar o seguinte
número de passos:
(A) 20
(B) 25
(C) 30
(D) 40
(E) 50
Resolução
Para que Paula alcance Márcia, ela deverá vencer a distância dos 20 passos.
Os passos das duas têm o mesmo tamanho. Enquanto Paula dá cinco passos,
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CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES Márcia, no mesmo tempo, dá três passos. Portanto, a cada intervalo de tempo
considerado, Paula dá dois passos a mais do que Márcia. Para vencer os 20
passos do início, Paula precisa de 10 intervalos de tempo (já que 10 x 2 = 20).
Nos 10 intervalos de tempo, Paula dá 10 x 5 = 50 passos.
Letra E
Um abraço e até o próximo ponto!
Prof. Guilherme Neves
[email protected]
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