APLICAÇÃO DO MÉTODO AHP-FUZZY
Débora Ferro de Souza1
Tatiany Vieira2
Maria Regina Carvalho Macieira Lopes3
Reinaldo Francisco4
Resumo: Neste trabalho é apresentado o método multicritério Analytic Hierarchy Process –
AHP na versão fuzzy. O método AHP pertencente à família dos métodos de subordinação
desenvolvidos com a finalidade de auxiliar no processo de tomada de decisão. Tem como base
a representação de um problema complexo através de uma estruturação hierárquica, que
consiste da definição do objetivo global e decomposição do sistema em vários níveis, o que
possibilita a visualização do sistema como um todo e seus componentes. Como exemplo de
aplicação é tratado um problema de seleção de candidatos a uma vaga de emprego.
Palavras-chave: Multicritério; AHP; fuzzy
1. Introdução:
A Análise Multicritério vem sendo utilizada como importante ferramenta quando se
dispõe de vários critérios de análise, bem como quando se incorporam variáveis de difícil
mensuração. Em geral, os critérios considerados são conflitantes e suas respectivas
importâncias não são facilmente determinadas. Neste sentido, o método Analytic Hierarchy
Process - AHP é uma poderosa e flexível ferramenta de tomada de decisão que sistematiza a
definição dos pesos desses critérios. Neste trabalho é apresentada e discutida uma aplicação
desse método utilizando na matriz de entrada do sistema, números fuzzy triangulares.
2. Método AHP
O Método Analítico Hierárquico, do inglês Analytic Hierarchy Process – AHP, foi
desenvolvido por Thomas L. Saaty na década de 70. O AHP foi desenhado para refletir a
maneira como as pessoas pensam, ou seja, identificando objetos e idéias e também as relações
entre eles, com o objetivo de decompor a complexidade encontrada. Tem como base a
representação de um problema complexo através de uma estruturação hierárquica, que
consiste da definição do objetivo global e decomposição do sistema em vários níveis, o que
possibilita a visualização do sistema como um todo e seus componentes.
A construção de uma hierarquia dependerá dos objetivos escolhidos para decompor a
complexidade daquele sistema. O objetivo principal deve estar no primeiro nível da
hierarquia; os sub-objetivos, num nível abaixo; em seguida, os critérios e, finalmente, as
alternativas. A estrutura de uma hierarquia simples é mostrada na figura 1.
Deseja-se encontrar a influência que cada alternativa exerce sobre cada um dos
critérios utilizados. Deve-se, também, verificar qual é a influência que cada critério exerce
sobre o objetivo geral. Desta forma, pode-se então determinar qual é o poder de cada
alternativa sobre o objetivo geral, gerando uma escala de importância dessas alternativas.
1
Graduanda do curso de Matemática –Unicentro – Guarapuava – e-mail:[email protected]
Graduanda do curso de Matemática – Unicentro – Guarapuava – e-mail:[email protected]
3
MSc -UNICENTRO – Guarapuava-Pr - e-mail: [email protected]
4
MSc -UNICENTRO – Guarapuava-Pr - e-mail: [email protected]
2
104
Para medir os impactos que os elementos do nível mais baixo exercem sobre o
objetivo geral, comparam-se os pares de alternativas disponíveis, com relação a cada critério
utilizado. Também, os critérios são comparados par-a-par, de acordo com sua importância
para atingir o objetivo geral.
Tal comparação pode ser fundamentada em uma escala de intensidade de importância,
com valores variando entre 1 e 9, segundo SAATY [1]. O valor 1 é designado quando as duas
alternativas comparadas contribuem igualmente para o objetivo, o valor 3, quando uma
alternativa é considerada fracamente mais importante que a outra, segundo o critério
considerado, e assim sucessivamente.
Se uma alternativa Ai tem um valor de importância em comparação à alternativa Aj,
então Aj terá o valor recíproco quando comparada com Ai.
2.1 Descrição do método
Considerando o problema de analisar n alternativas por um decisor ou grupo de
decisores, tem-se o objetivo de designar julgamentos das importâncias relativas dessas
alternativas, quantificando esses julgamentos com o propósito de permitir uma ordenação de
todas as alternativas.
Seja o conjunto de alternativas A1, A2, ..., An. Os julgamentos par-a-par são
representados por uma matriz quadrada de ordem n, A=(aij), i,j=1, 2, ..., n. Na posição (i, j)
representa-se a razão entre os pesos que a alternativa Ai tem sobre Aj em relação a um critério
considerado em um nível imediatamente acima da hierarquia. A matriz A é recíproca, ou seja,
aji=1/aij, aij ≠ 0. Ainda, se Ai é considerada de igual importância relativa que Aj, então
aij=aji=1; em particular, aii=1, para todo i.
Assim, a matriz de comparação entre os pares de alternativas tem a forma:
a12
 1

1/a
1
A =  12
 ...
...

1/a1n 1/a 2n
... a1n 

... a 2n 
... ... 

... 1 
e registra os julgamentos feitos pelos decisores. O problema se concentra, então, em encontrar
os pesos w1 , w2, ..., wn de cada alternativa, que reflitam os julgamentos efetuados. Se os
julgamentos forem perfeitos em todas as comparações, então a ik = aij .a jk para quaisquer i, j, k
e a matriz será consistente. Essa consistência será obtida, por exemplo, se as comparações
forem baseadas em medições exatas, ou seja, se os pesos wi forem conhecidos.
Desta forma, tem-se:
w w j wi
a ij .a jk = i .
=
= a ik
w j wk wk
a ji =
wj
1
1
=
wi wi / w j aij
Neste caso, a matriz A pode ser representada como segue:
 w1
w
 1
 w2
A =  w1
 ...
w
 n
 w1
=
w1
w2
w2
w2
...
wn
w2
w1 
wn 

w2 
...
wn 
... ... 
wn 

...
wn 
...
Multiplicando-se a matriz A pelo vetor
[w1
w2
... wn ] obtem-se:
T
105
 w1
w
 1
 w2
 w1
 ...
w
 n
 w1
w1
w2
w2
w2
...
wn
w2
w1 
wn   w1 
 w1 

w 
w2   w 
...
2

 2
=
.
n
.
wn   
 ... 
...
... ...   
 

wn  wn 
 wn 

...
wn 
...
ou seja, A.w = n.w .
(1)
Assim sendo, a busca do vetor de pesos das alternativas é equivalente à resolução da
equação acima, o que significa encontrar o autovetor w de A, associado ao autovalor n.
Além de ser recíproca, pode-se verificar facilmente que a matriz A é irredutível5, já
que não possui elementos nulos. Pelo Teorema de Perron-Frobenius, se A é uma matriz
irredutível, com todos os elementos aij não-negativos, então existe um número real positivo
λ1 satisfazendo as seguintes propriedades:
(i) Existe um vetor real v, com todos os elementos positivos, tal que Av= λ1 v;
(ii) λ1 possui multiplicidade algébrica e geométrica 1;
(iii)Para cada autovalor λi de A, λi ≤ λ1 .
Estes resultados garantem a existência de solução para a equação(1), ou seja, do vetor
de pesos procurado.
Pode-se verificar que todas as linhas da matriz A são combinações lineares da
primeira. Assim, todos os autovalores de A serão nulos, exceto um. Como os elementos da
diagonal principal de A, aii são iguais a um e o somatório dos autovalores é igual ao traço da
matriz, o autovalor não nulo será o valor n (λ1+λ2+...+λn=λ1=n).
Se os coeficientes a ij de uma matriz positiva recíproca sofrem pequenas perturbações,
então os autovalores sofrem também pequenas perturbações6. No caso em que a equação (1)
se verifica inicialmente, essas pequenas perturbações fazem com que o maior autovalor
permaneça próximo de n e os demais, próximos de zero. SAATY [1] demonstra que se A é
uma matriz positiva e recíproca, então λ max ≥ n.
Essas perturbações podem ser consideradas pela forma geral a ij = (wi / w j )ε ij . A
consistência ocorrerá quando ε ij = 1.
n
Define-se µ = −
µ=
λ max − n
∑λ
i =2
i
n −1
n
, e como
∑λ
i =1
i
= n , tem-se:
; λ max ≡ λ1
n −1
o índice de consistência (IC) que avalia se os julgamentos efetuadas são perfeitamente
relacionados.
A consistência de uma matriz recíproca positiva ocorrerá quando o seu autovalor
máximo for igual a n. Para estimar a diferença entre estes valores usa-se o quociente
5
Uma matriz quadrada A é chamada de redutível se existir uma matriz de permutação P tal que
 A11
0
PTAP= 
A12 
. Uma matriz quadrada que não é redutível é chamada de irredutível. Uma matriz de
A22 
permutação é qualquer matriz que pode ser criada a partir de permutações de linhas e/ou colunas de uma matriz
identidade.
6
Esta observação não é válida para matrizes positivas em geral, apenas para matrizes positivas recíprocas,
conforme SAATY [1].
106
(λ max − n ) / (n − 1) . Uma medida de consistência pode ser estimada comparando-se esse valor
com a mesma razão calculada de uma matriz recíproca de julgamentos gerados
aleatoriamente, de mesma ordem. Esta medida é chamada de razão de consistência (RC), dada
por:
IC
RC =
, sendo IR o índice randômico.
IR
Uma tabela com o índice randômico para matrizes de ordem 1 até 15 é dada a seguir
conforme apresentada em Saaty [1]:
ORDEM
IR
1
0
2
0
3
4
5
0,58 0,90 1,12
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1,24 1,32 1,41 1,45 1,49 1,51 1,48 1,56 1,57 1,59
Em aplicações, geralmente considera-se aceitável uma razão de consistência de até 0,10.
Após o cálculo dos autovetores de cada matriz que corresponde aos julgamentos par-a-par das
alternativas com relação a cada critério, em todos os níveis, tem-se a situação ilustrada na
figura 2.1.
OBJETIVO GERAL
CRITÉRIO 1
ALTERNATIVA A1
 v11 
v 
 12 
 M 
 
v1n 
CRITÉRIO 2
ALTERNATIVA A2
 u11 
u 
 12 
 M 
 
u1 p 
v11 
v 
 12 
 M 
 
v1n 
...
...
CRITÉRIO p
 v p1 
v 
 p2 
 M 
 
v pn 
ALTERNATIVA An
Figura 1: Autovetores calculados pelo AHP
Para cada alternativa Ai considerada, um valor é calculado da seguinte forma:
u11.v1i + u12.v2i + u13.v3i + ... + u1p.vpi
A ordenação das alternativas, e até mesmo a escolha é efetuada a partir desses pesos
calculados, que correspondem às importâncias relativas de cada alternativa.
2.2 Método AHP-Fuzzy
O método AHP na versão fuzzy utiliza o mesmo procedimento do modelo clássico.
São considerados como valores de entrada, números fuzzy triangulares e utilizada aritmética
específica para tais números.
Um número fuzzy triangular M(l,m,u) é dado pela função de pertinência µ (x) :
107
 x−l
m − l

 x−u
µ ( x) = 
m − u
0


se x ∈ [l, m]
se x ∈[m, u]
em que m é o valor
modal e l (lower) e u (upper) os
cc
espalhamentos à esquerda e à direita, respectivamente. Estes espalhamentos caracterizam a
imprecisão da quantidade tratada.
Sejam M 1 = (l1 , m1 , u1 ) e M 2 = (l2 , m2 , u2 ) números fuzzy triangulares, no desenvolvimento
do método AHP são consideradas as operações :
(i ) (l1 , m1 , u1 ) ⊕ (l 2 , m 2 , u 2 ) = (l1 + l 2 , m1 + m 2 , u1 + u 2 )
(ii ) λ (l1 , m1 , u1 ) = (λl1 , λm1 , λu1 ) λ > 0, λ ∈ ℜ
(iii ) (l1 , m1 , u1 ) −1 = ( 1
u1
,1 , 1 )
m l1
1
1
Na matriz recíproca A de entradas fuzzy, tem-se: aij = (l , m, u ) e a ji = ( , m, )
u
l
Aplicando o princípio de extensão fuzzy proposto por CHANG [2] obtém-se:
m
Sj =
∑
i =1
 n
Mk ⊗ 
 i =1


Mk 

j =1

m
−1
∑∑
(2)
O julgamento par a par é dado por (figura 2):

V (M ≥ M ) = 1 see m ≥ m
1
2
1
2

e


l1 − u 2
V (M 2 ≥ M 1 ) = µ (d ) = hgt ( M 1 ∩ M 2 ) =

(m 2 −u 2 ) − (m 1 −l1 )
µ ( x)
M2
(3)
M1
d
l2
m2
l1
u2
m1
u1
Figura 2: Comparação M 1 e M 2
Generalizando tem-se V (M ≥ M 1 , M 2 ,...M k ) = min V (M ≥ M i ); i = 1,2,....k que são as
comparações do número fuzzy triangular M com os demais.
Finalmente, obtém-se o vetor de pesos (dos critérios, das alternativas avaliadas em
relação a cada critério, etc, dependendo da complexidade do modelo hierárquico construído)
3. Estudo de Caso
108
3.1 Seleção de candidatos para o cargo de vendedor
Para ilustrarmos este trabalho aplicamos o método AHP, em um exemplo de seleção de
candidatos a uma vaga de vendedor de loja, sendo consideradas as características pessoais dos
candidatos e que já possua experiência profissional no ramo (problema representado na figura
3). As características pessoais (critérios) consideradas, bem como o significado de cada uma
são definidas a seguir:
•
•
•
•
Atitude(C1): Saber abordar o cliente ao entrar na loja, lhe dando confiança e
segurança;
Comunicação(C2): Comunicar-se com o cliente atendendo todas as suas necessidades,
fazendo perguntas objetivas e informando sobre seus produtos;
Habilidade para observar(C3): Perceber o tipo de cliente com o qual esta se
relacionando, procurando conhecer seu perfil, suas características e cultura;
Habilidade para ouvir(C4): Saber que seus clientes informarão tudo que necessitam se
tiverem a oportunidade de falar. Saber fazer as perguntas e ouvir as respostas com
bastante atenção;
Figura 3: Estruturação do problema
3.2 Emissões das opiniões e das avaliações
Nesta etapa, foram ouvidas as opiniões de duas pessoas que realizaram as entrevistas,
e os valores das comparações par a par construídos segundo a escala Saaty. Na tabela 1
podemos observar a matriz de comparação entre os critérios sendo levado em consideração a
relevância de um critério sobre o outro.
Tabela 1: matriz de comparação entre os critérios
Critérios
C1
C1
(1,1,1)
C2
(2.1, 3, 3.9)
C3
(0.66, 1, 2)
C4
(0.62, 1, 2.5)
C2
(0.25, 0.33, 0.47)
(1.4, 2, 2.6)
(1,1,1)
(0.55, 1, 5)
(1.4, 2, 2.6)
(0.37, 0.5, 0.76)
(0.37, 0.5, 0.76)
109
C3
(0.38, 0.5, 0.71)
(0.5, 1, 1.5)
(0.38, 0.5, 0.71)
(2.5, 3, 3.5)
(1,1,1)
(0.66, 1, 2)
(0.62, 1, 2.5)
C4
(0.2, 1, 1.8)
(0.4, 1, 1.6)
(0.28, 0.33, 0.4)
(1.3, 2, 2.7)
(0.4, 1, 1.6)
(0.35, 0.5, 0.83)
(1,1,1)
(1.3, 2, 2.7)
(0.5, 1, 1.5)
(1.2, 2, 2.8)
Na tabela 2 foram feitas as médias entre as opiniões.
Tabela 2: matriz da média entre as opiniões
Critérios
C1
C2
C3
C4
C1
(1,1,1)
(1.75, 2.5, 3.25)
(0.61, 1, 3.5)
(0.50, 0.75,1.63)
C2
(0.32, 0.42,0.59)
(1,1,1)
(1.95, 2.5, 3.05)
(0.52, 0.75,1.38)
C3
(0.35, 1, 1.65)
(0.33, 0.42,0.56)
(1,1,1)
(0.49, 0.75,1.67)
C4
(0.85, 1.5, 2.12)
(0.9, 1.5, 2.1)
(0.8, 1.5, 2.2)
(1,1,1)
Pela fórmula (2), temos:
S1= (3.86, 5.25, 9.38) (1/27.73, 1/18.59, 1/13.57) = (0.14, 0.28, 0,70)
S2= (3.79, 4.67, 6.02) (1/27.73, 1/18.59, 1/13.57) = (0.14, 0.25, 0.45)
S3= (2.17, 3.17, 4.88) (1/27.73, 1/18.59, 1/13.57) = (0.08, 0.17, 0.36)
S4= (3.55, 5.5, 7.45) (1/27.73, 1/18.59, 1/13.57) = (0.13, 0.30, 0.56)
Usando a fórmula (3) vem:
V(S1≥S2)=1
V(S1≥S3)=1
V(S2≥S1)=0.91
V(S1≥S3)==0.97
V(S2≥S3)=1
V(S2≥S4)=0.86
V(S3≥S1)=0.67
V(S3≥S2)=0.79
V(S4≥S1)=1
V(S3≥S2)=1
V(S3≥S4)=0.64
V(S3≥S4)=1
E finalmente tirando o mínimo das comparações de cada critério com os outros dois
critérios, temos:
d(C1)= V(S1≥S2, S3, S4)= min(1, 0.97, 1)= 0.97
d(C2)= V(S2≥S1, S2, S3)= min(0.91, 1, 0.86)= 0.86
d(C3)= V(S3≥S1, S2, S4)= min(0.67, 0.79, 0.64)= 0.64
d(C4)= V(S4≥S1, S2, S3)= min(1, 1, 1)= 1
Portanto w' =(0.97, 0.86, 0.64, 1)
Através da normalização, obtivemos o peso dos vetores com seus respectivos critérios
C1, C2, C3 e C4:
110
WC= (0.28, 0.25, 0.18, 0.29)
Ao prosseguir no processo de decisão, foi comparado os três candidatos A1, A2 e A3
em cada um dos critérios separadamente. Dessa forma repetimos todo o processo. Na tabela 3
temos a matriz de comparação entre os entrevistados levando em consideração a relevância de
uma pessoa sobre a outra no critério atitude.
Tabela 3: matriz de comparação (critério atitude)
A2
A1
A2
A3
(1, 1, 1)
(0.37, 0.5, 0.77)
(0.63, 1, 2.5)
(0.4, 0.5, 0.67)
(0.36, 0.5, 0.83)
(1, 1, 1)
(2.6, 3, 3.4)
(1.3, 2, 2.7)
(1.5, 2, 2.5)
A3
(1.1, 2, 2.9)
(0.4, 1, 1.6)
(0.29, 0.33, 0.38)
(1.2, 2, 2.8)
(0.34, 0.5, 0.91)
(1, 1, 1)
Tabela 4: matriz da média aritmética (critério atitude)
A1
A2
A3
A1
(1, 1, 1)
(0.39, 0.5, 0.72)
(0.5, 0.75, 1.67)
A2
(1.4, 2, 2.6)
(1, 1, 1)
(1.85, 2.5, 3.15)
A3
(0.8, 1.5, 2.2)
(0.32, 0.42, 0.65)
(1, 1, 1)
S1= (1.89, 2.25, 3.39) (1/13.99, 1/10.67, 1/8.26)= (0.14, 0.21, 0.41)
S2=(4.25, 5.5, 6.75) (1/13.99, 1/10.67, 1/8.26)= (0.3, 0.52, 0.82)
S3=(2.12, 2.92, 3.85) (1/13.99, 1/10.67, 1/8.26)= (0.15, 027, 0.47)
V(S1≥S2)=0.26
V(S1≥S3)=0.81
V(S2≥S1)=1
V(S2≥S3)=1
V(S3≥S1)=1
V(S3≥S2)=0.40
d(C1)= V(S1≥S2, S3)= min(0.26, 0.81)= 0.26
d(C2)= V(S2≥S1,S3)= min(1, 1)= 1
d(C3)= V(S3≥S1, S2)= min(1, 0.4)= 0.4
w' = (0.26, 1, 0.4)
111
Logo w = (0.16, 0.6, 0.24)
Na tabela 5 temos a matriz de comparação entre os entrevistados levando em
consideração a relevância de uma pessoa sobre a outra no critério comunicação.
Tabela 5: matriz de comparação (critério comunicação)
A1
A2
A1
A2
A3
(1, 1, 1)
(0.67, 1, 2)
(0.37, 0.5, 0.17)
(0.59, 1, 3.33)
(0.83, 1, 1.25)
(1, 1, 1)
(2.3, 3, 3.7)
(0.5, 1, 1.5)
(0.3, 1, 1.7 )
A3
(2.5, 3, 3.5)
(1.3, 2, 2.7)
(0.27, 0.33, 0.43)
(0.8, 1, 1.2)
(0.29, 0.33, 0.4)
(1, 1, 1)
Tabela 6: matriz da média aritmética (critério comunicação)
A1
A2
A3
A1
(1, 1, 1)
(0.63, 1, 2.67)
(0.6, 0.75, 0.71)
A2
(0.4, 1, 1.6)
(1, 1, 1)
(2.4, 3, 3.5)
A3
(1.05, 1.5, 1.95)
(0.28, 0.33, 0.42)
(1, 1, 1)
S1=(2.23, 2.75, 4.38) (1/13.95, 1/10.58, 1/8.36) = (0.16, 0.26, 0.52)
S2=(3.8, 5, 6.2) (1/13.95, 1/10.58, 1/8.36) = ( 0.27, 0.47, 0.74)
S3=(2.3, 2.83, 3.37) (1/13.95, 1/10.58, 1/8.36) = (0.16, 0.27, 0.4)
V(S1≥S2)=0.54
V(S1≥S3)=0.97
V(S2≥S1)=1
V(S2≥S3)=1
V(S3≥S1)=1
V(S3≥S2)=0.39
d(C1)= V(S1≥S2, S3)= min(0.54, 0.97)= 0.54
d(C2)= V(S2≥S1,S3)= min(1, 1)= 1
d(C3)= V(S3≥S1, S2)= min(1, 0.39)= 0.39
w' = (0.54, 1, 0.39)
112
Logo w = (0.28, 0.52, 0.2)
Nesta matriz é avaliado o critério habilidade pra observar.
Tabela 7: matriz de comparação (critério habilidade para observar)
A1
A2
A1
A2
A3
(1, 1, 1)
(0.63, 1, 2)
(0.67, 1, 2)
(0.67, 1, 2)
(0.37, 0.5, 0.77)
(1, 1, 1)
(2.1, 3, 3.9)
(0.4, 1, 1.6)
(0.5, 1, 1.5)
A3
(1.5, 2, 2.5)
(0.5, 1, 1.5)
(0.26, 0.33, 0.48)
(1.3, 2, 2.7)
(0.4, 0.5, 0.67)
(1, 1, 1)
Depois de feito as médias aritméticas entre as opiniões vem:
S1= (2.17, 2.75, 4.39) (1/13.82, 1/1017, 1/ 7.65) = (0.16, 0.27, 057)
S2= (3.25, 4.5, 5.55) (1/13.82, 1/1017, 1/ 7.65) = (0.24, 0.44, 0.75)
S3= (2.23, 2.92, 3.68) (1/13.82, 1/1017, 1/ 7.65) = (0.16, 0.29, 0.48)
V(S1≥S2)=0.66 V(S1≥S3)=0.95
V(S2≥S1)=1 V(S2≥S3)=1
V(S3≥S1)=1 V(S3≥S2)=0.62
d(C1)= V(S1≥S2, S3)= min(0.66, 0.95)= 0.66
d(C2)= V(S2≥S1,S3)= min(1, 1)= 1
d(C3)= V(S3≥S1, S2)= min(1, 0.62= 0.62
w' = (0.66, 1, 0.62)
Logo w = (0.29, 0.44, 0.27)
E finalmente é avaliado o critério habilidade pra ouvir.
113
Tabela 9: matriz de comparação (critério habilidade para ouvir)
A1
A2
A1
A2
A3
(1, 1, 1)
( 0.34, 0.5, 091)
(0.29, 0.33, 0.4)
(0.63, 1, 2.5)
(0.36, 0.5, 0.83)
(1, 1, 1)
(1.3, 2, 2.7)
( 1.1, 2, 2.9)
(0.4, 1, 1.6)
A3
(0.5, 1, 1.5)
( 2.5, 3, 3.5)
( 0.37, 0.5, 0.77)
(1.2, 2, 2.8)
(0.67, 1, 2)
(1, 1, 1)
Depois de feito as médias aritméticas entre as opiniões vem:
S1= (1.82, 2.17, 3.33) (1/12.92, 1/10.42, 1/7.84)= (0.14, 0.21, 0.42)
S2= (2.65, 4, 4.05) (1/12.92, 1/10.42, 1/7.84)= (0.21, 0.38, 0.52)
S3= (3.37, 4.25, 5.54) (1/12.92, 1/10.42, 1/7.84)= (0.26, 0.41, 0.71)
V(S1≥S2)=0.55
V(S1≥S3)=0.44
V(S2≥S1)=1
V(S2≥S3)=0.9
V(S3≥S1)=1
V(S3≥S2)=1
d(C1)= V(S1≥S2, S3)= min(0.55, 0.44)= 0.44
d(C2)= V(S2≥S1,S3)= min(1, 0.9)= 0.9
d(C3)= V(S3≥S1, S2)= min(1, 1)= 1
w' = (0.44, 0.9, 1)Logo w = (0.19, 0.38, 0.43
Nesta etapa é comparado os candidatos com os critérios (usando cada w calculado nas
etapas acima).
Tabela 11: comparação (critério candidato)
A1
A2
A3
C1
0.16
0.6
0.24
C2
0.28
0.52
0.2
C3
0.29
0.44
0.27
C4
0.19
0.38
0.43
114
WC= (0.28, 0.25, 0.18, 0.29) (obtido nas comparações entre os critérios)
Fazendo:
(A1) (WC)= 0.04+0.07+0.05+0.06= 0.22
(A2) (WC)= 0.17+0.13+0.08+0.11= 0.49
(A3) (WC)= 0.07+0.05+0.05+0.12= 0.29
Como resultado final temos:
Tabela 12: resultado final
Resultado final
A1
A2
A3
0.22
0.49
0.29
4. Resultados e discussão
A finalidade deste trabalho foi estudar a teoria e as definições do método AHPFUZZY, bem como foi possível diante das aplicações vistas e estudadas aplicar este método
na seleção de candidatos para o cargo de vendedor, onde foi verificado que o candidato A2 é
a pessoa mais apta a exercer esta função.
5 Referências Bibliográficas
[1] SAATY, T. The Analytic Hierarchy Process. McGraw Hill, New York, 1980.
[2] Chang D.Y., Applications of the extent analysis method on fuzzy AHP, European Journal
of Operation Research,Volume 95, Number 3, 1996.
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