1
Geometria x GeoGebra: Possibilidades na sala aula
Ana Paula do Nascimento1 – [email protected] - UNEB - Campus IX
Claudene Ferreira Vaz Guirado2 – [email protected] - UNEB - Campus IX
Solange Fernandes Maia Pereira3 – [email protected] - UNEB - Campus IX
RESUMO
Este relato tem o objetivo de descrever uma experiência de sala de aula, com vinte alunos
multisseriados, onde exploramos alguns conceitos básicos da Geometria, utilizando o
software geogebra, com a finalidade precípua, de favorecer o estudo destes saberes de forma
mais dinâmica e com propostas investigativas. Inicialmente, apresentamos aos alunos os
conceitos básicos de Geometria utilizando a lousa e, como modelos para implementar as
definições iniciais, utilizamos alguns objetos presentes no dia-a-dia e, em seguida, propomos
uma atividade dirigida para ser realizada com o auxílio do software geogebra. Os resultados
deste experimento mostraram que o aplicativo possibilitou aos alunos testar hipóteses diante
da manipulação dos objetos geométricos construídos e consolidar os conceitos estudados
anteriormente.
Palavras-chave: Geogebra; Geometria; Aprendizagem.
1. OBJETIVO
Favorecer o estudo de conceitos básicos da Geometria, de forma mais dinâmica,
prazerosa e com propostas investigativas, proporcionando possibilidades de inovações na sala
de aula com a utilização do software geogebra, entretanto, sem perder de vista a essência do
formalismo que a própria Matemática contempla.
2. ESPAÇO/COMUNIDADE
Aplicamos uma atividade dirigida, construída de acordo com o objetivo da nossa
proposta. Esta atividade foi aplicada a vinte alunos de uma sala de aula multisseriada, que
1
Graduando em Licenciatura em Matemática - UNEB e Especializando-se em Educação Matemática e as Novas Tecnologias
- UNEB.
2
Graduada em Administração de Empresas - Faculdade Dom Pedro II, Graduada em Licenciatura em Matemática - UFMS e
Especializando-se em Educação Matemática e as Novas Tecnologias - UNEB.
3
Licenciada em Matemática com Ênfase em Informática - UNIFACS; Especialista em Mídia na Educação - UESB;
Especialista em Educação à Distância - UNEB, Mestre em Ciências da Educação - UFPel, Professora Assistente da UNEB Campus IX – Barreiras – BA.
2
frequentam o espaço escolar não formal, Centro de Promoção Humana Eugênia Ravasco CPHER, situada na vila dos Funcionários, no município de Barreiras, no estado da Bahia.
Nesta instituição ofertam-se diariamente várias oficinas temáticas e, entre elas, aulas de
reforço, inclusive, para a componente curricular Matemática. Todas as propostas desta
instituição são oferecidas aos alunos no contra turno, pois se exige que estes estejam
matriculados no ensino regular da rede pública.
O CPHER tem por objetivo defender a vida das crianças e adolescentes em situação de
risco, numa autêntica promoção da pessoa humana, despertando-lhe para os valores humanos
e cristãos, valorizando o estudo e as oportunidades de crescimento para a construção de
personalidades fortes, responsáveis por si e pela humanidade, aguçando-lhes o senso crítico
para uma melhor vivência em sociedade. A faixa etária das crianças e adolescentes varia entre
seis e dezoito anos, estas são reintegradas em condições mais dignas, de reingresso à escola,
convívio familiar saudável e posteriormente de ingresso no mercado de trabalho.
3. METODOLOGIA
No primeiro momento, explicamos aos alunos o motivo da atividade e a contribuição
que a Geometria oferece para o processo de aprendizagem dos mesmos, e logo após,
instigamos a criação de um ambiente de discussão coletiva e utilizamos alguns objetos que
usamos e convivemos no dia-a-dia e fomos paulatinamente formalizando as definições de
ponto, reta, semirreta, segmento de reta, retas (paralelas e concorrentes) e ângulo.
No segundo momento, apresentamos as ferramentas do software geogebra que seriam
necessárias às construções geométricas da atividade que iríamos propor, e daí, entregamos
uma cópia da atividade dirigida, que construímos na perspectiva de permitir aos alunos a
possibilidade de trabalharem de maneira mais autônoma e reflexiva bastando para isto seguir
as etapas necessárias para a construção das figuras geométricas. Neste processo nós
assumimos o papel de mediadores dos conhecimentos e das possíveis dúvidas, mas somente,
se fossemos solicitados pelos alunos.
4. RESULTADOS PARCIAIS
3
Nossa experiência pedagógica foi trabalhada na perspectiva de fazer consonância com
os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), que objetiva orientar aos docentes para o
desenvolvimento de aulas que articulem os três campos da Matemática, ou seja, Aritmética,
Geometria e Álgebra, de modo que possam levar o aluno a entender situações que se
apresentam na sua vivência.
Nesta perspectiva, salientamos que a Geometria durante muitos anos ocupou um lugar
de destaque nos currículos escolares, porém, isto foi antes dos anos 70, como afirma Pires,
Curi e Campos (2000). No entanto, com o surgimento da Matemática Moderna, a Geometria
foi perdendo espaço para outras áreas do conhecimento, pois segundo Pavanello (1989)
assuntos primordiais na área de Geometria foram sendo abdicados das salas de aula em todos
os níveis de ensino. Neste sentido Pavanello (1989, p. 103) afirma que:
(...) a ideia central da Matemática Moderna consistia em trabalhar a
matemática do ponto de vista de estruturas algébricas com a utilização da
linguagem simbólica da teoria dos conjuntos. Sob esta orientação, não só se
enfatizava o ensino da álgebra, como se inviabilizava o da Geometria da
forma como este era feito tradicionalmente.
Recordamo-nos como alunos de tempos de outrora que estes conteúdos eram trazidos
nos últimos capítulos dos livros didáticos, e que muitas vezes estes não eram ministrados
pelos professores. Porém, reconhecemos a inegável contribuição que esta área da ciência
propõe para os estudantes, principalmente nos campos da arquitetura, arte, engenharias e
outras.
Para Cruz e Amaral (2012, p. 4) “a Geometria é um ramo da Matemática e pode ser
definida como a ciência que investiga as formas e as dimensões das figuras existentes na
natureza” e investigar as formas e as dimensões de figuras presentes na natureza nos leva a
pensar numa Matemática mais concreta e menos abstrata. Por exemplo, quando pensamos em
reta, ponto e plano já nos remetemos a pensarmos em alguma ideia ou objeto concreto que se
aproxime dessa abstração e, partindo desses pressupostos, fomos construindo a nossa própria
“definição”, contudo deixamos claro que esta deveria se aproximar o máximo possível da
ideia oficializada pelo formalismo da Matemática.
Iniciamos a partir da definição de ângulo, que formalmente são regiões formadas por
duas semirretas que partem de um ponto P em comum, e fomos provocando os alunos a
perceberem o conceito de ângulo analisando objetos concretos da sua própria realidade. Como
4
por exemplo, observando-se que a quina de uma porta representa o vértice de um ângulo
formado pelas semirretas que ora são imaginadas pelas bordas da porta e consequentemente a
região limitada pela abertura destas bordas representam um ângulo e, a partir dessa ideia
fomos definindo o conceito formal de ângulo e, consequentemente, aproveitamos para
sistematizar o conceito de ângulo reto.
Também, exploramos os conceitos de retas paralelas, perpendiculares e concorrentes,
ainda observando os traçados das bordas da porta da sala de aula. E finalmente, apresentamos
a porta como um ente geométrico constituído de infinitos pontos ou de infinitas retas e que
tem duas dimensões. Salientamos que a porta é um semiplano, ou seja, representa uma
superfície plana e bidimensional, constituída a partir de quatro retas, que se interceptam em
pontos distintos. Duas a duas, estas podem ser paralelas quando se apresentam sempre a uma
mesma
distância
uma
da
outra,
ou
são
concorrentes
(perpendiculares)
quando
formam ângulos retos entre si e que, por isso, também, este paralelogramo (porta) é chamado
retângulo.
Kaleff (2003, p.16) corrobora com a ideia de que “ao visualizar objetos geométricos, o
indivíduo passa a ter controle sobre o conjunto das operações básicas mentais exigidas no
trato da Geometria” e, é a partir daí, que o aluno começa a dar significado real ao
conhecimento que anteriormente apresentava-se de forma abstrata, consolidando-se um
processo de transposição didática que é quando ele consegue transpor para sua realidade um
saber sistematizado e vice-versa.
Ainda no sentido de fortalecermos a compreensão e sistematização de conceitos
matemáticos, Petla (2008, p. 21) afirma que o programa Geogebra exige um conhecimento
prévio dos conceitos matemáticos para a sua utilização, auxiliando, portanto uma maior
compreensão dos conteúdos abordados formalmente, pois “O Geogebra é um programa
bastante intuitivo e autoexplicativo, adequado ao usuário com conhecimentos avançados em
informática ou para iniciantes, sendo que o conhecimento matemático é o ponto fundamental
de sua utilização”.
Fig. 1: Alunos utilizando o software geogebra
Seguindo nossa proposta, nos deslocamos para o
laboratório de informática aonde entregamos para cada aluno
uma cópia da atividade dirigida. Explicamos que todas as
etapas sugeridas seguiam a proposta de passo a passo e
Fonte: As autoras
5
avisamos que nós, professoras, estaríamos mediando e só faríamos intervenção se fossemos
solicitadas.
Partimos da sugestão de construirmos e explorarmos, através da manipulação com o
mouse, no aplicativo geogebra, os entes geométricos: ponto, reta, plano etc. A manipulação
dinâmica destes objetos ora construídos e que estudamos anteriormente na sala de aula levará
os alunos a visualizarem a validação ou não das propriedades descritas anteriormente.
E da observação, foi possível percebermos que os aprendentes ficaram
demasiadamente motivados quando se depararam com a possibilidade de estudar Matemática
no computador e, logo alguns relataram que nunca haviam trabalhado esta disciplina desta
forma. Isto nos leva a acreditar na importância do uso do software em sala de aula, não só
para tornar as aulas mais dinâmicas e motivadoras, mas principalmente, para auxiliar na
institucionalização dos saberes já estudado.
Também, foi possível observar com clareza que estes alunos vivenciaram através das
manipulações os testes das hipóteses discutidas no primeiro momento, em sala de aula, sobre
as características e regularidades dos objetos geométricos construídos, facilitando a
compreensão de determinadas definições e propriedades do paralelogramo (retângulo).
Observamos que, apesar dos diálogos anteriores sobre os conceitos de retas paralelas,
ou seja, da afirmação de que dois segmentos de retas que sempre possuem a mesma distância
entre si serão sempre paralelos, os alunos perceberam ao moverem uma das retas construídas
que esta característica no paralelogramo construído era mantida. Pois, moveram as retas, duas
a duas, à vontade, porém, sempre considerando que estas não podiam coincidir e
compreenderam que o paralelogramo continuava sempre sendo um retângulo, porém, mudava
apenas as medidas das dimensões.
Ao colocarem as medidas dos ângulos deste
Fig. 3: Paralelogramo construído pela aluna A
Destaque dos ângulos de 90º
polígono, sentiram-se motivados a moverem os vértices e
os lados deste para analisarem o comportamento dos
ângulos e perceberam que as propriedades estudadas foram
validadas já que poderiam fazer qualquer movimento com
os vértices que os lados do retângulo permaneciam
paralelos dois a dois e os ângulos sempre mediam 90º.
Fonte: As autoras
6
Ao realizarem essa atividade eles verificaram de maneira lúdica que os ângulos
internos e os externos em cada vértice são suplementares e que um ângulo tem sua medida de
acordo com a região formada por suas semirretas e que o mesmo muda a abertura quando
essas duas semirretas se movem, aumentando ou diminuindo a abertura.
Neste ínterim, percebemos o quanto é enriquecedor poder trabalhar um conteúdo
matemático de forma mais facilitada, prazerosa e com propostas que deixam os alunos mais
receptivos, pois acreditamos que estes gostam de professores que sabem inovar suas aulas e
que trazem sempre uma “carta na manga” para ensinar os conteúdos com significado.
Portanto, o maior desafio que enfrentamos é o de acompanhar toda essa evolução na área da
tecnologia e transformá-la numa ferramenta pedagógica de maneira que o conteúdo estudado
ganhe uma “nova roupagem”, mas, sem perder de vista o formalismo que a própria
Matemática contempla, porém esse desafio precisa ser encarado por todos nós com otimismo
e criatividade.
REFERÊNCIAS
CRUZ, Dennis Coelho; AMARAL, Luiz Gustavo Henrique de. Apostila de Geometria Descritiva.
UFBA, 2012. Disponível em <http://www.trabalhosfeitos.com/ensaios/apostilas.> Acessado em
30/01/2014.
KALEFF, Ana Maria M. R. Vendo e entendendo poliedros: do desenho ao cálculo do
volume através de quebra-cabeças geométricos e outros materiais concretos. Niterói: Editora
da Universidade Federal Fluminense, 2003.
Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática/Secretaria de Educação Fundamental. –
2. Ed. – Rio de Janeiro: DP&A, 2000.
PAVANELLO, Regina Maria. O abandono do ensino da Geometria: uma visão histórica.
Campinas, 1989. Dissertação (Mestrado em Educação – Metodologia de Ensino) – Faculdade
de Educação, Universidade Estadual de Campinas.
PIRES, C.M.C; CURI, E. CAMPOS, M.M. Espaço & forma: a construção de noções
geométricas pelas crianças das quatro séries iniciais do Ensino Fundamental . São Paulo:
PROEM, 2000.
7
PETLA, Revelino José. Geogebra – Possibilidades para o ensino da Matemática . 2008.
Disponível em: <http://www.scribd.com/doc/26819748/Geogebra-possibilidade-para-oensino-da-matematica> Acesso 31/01/2014.
ANEXOS
Atividade proposta
Estudo do Paralelogramo (Retângulo)
1. Ative a ferramenta RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS (Janela 3) e clique em dois
lugares distintos na janela de Visualização. Essa reta receberá o nome (rótulo) de a.
2. Ative a ferramenta NOVO PONTO (janela 2) e clique em algum lugar fora da reta a
criada anteriormente. Um ponto C será criado.
3. Vamos traçar a reta b paralela a reta a, que passe pelo ponto C. Para tal, ative a ferramenta
RETA PARALELA (janela 4) e clique sobre a reta a e sobre o ponto C. Uma reta b foi
criada.
4. Ative a ferramenta RETA PERPENDICULAR (janela 4) e clique sobre a reta b e sobre
o ponto A e, depois clique sobre o ponto B e a reta b.
5. Ative a ferramenta INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS (janela 2) e clique sobre as
retas d e b. Aparecerá o ponto D e depois E sobre as intersecções.
6. Exceto o ponto D, todos os outros são livres e pode-se mover qualquer um deles. Para tal,
basta ativar a ferramenta MOVER (janela 1). Feito isso arraste o ponto A (ou B ou C). As
retas b e a continuam paralelas? E c e d? E as retas a e c assumem que posição? E b e d?
7. Use a ferramenta EXIBIR/ESCONDER OBJETO (janela 11) para esconder as quatro
retas, deixando visíveis apenas os quatro pontos. Para isso clique sobre cada uma das retas
e logo após aperte a tecla ESC.
8. Ative a ferramenta POLÍGONO (janela 5) e clique, seguidamente, nos pontos A, B, C e
A novamente para poder fechar o polígono.
9. Ative a ferramenta EXIBIR/ESCONDER RÓTULO (janela 11) e clique sobre cada um
dos quatro lados do paralelogramo.
10. Ative a ferramenta DISTÂNCIA, COMPRIMENTO OU PERÍMETRO (janela 8) e
clique sobre cada um dos lados do paralelogramo (ou nos vértices que determinam o
lado). Para arredondamento dos valores, clique em OPÇÕES, em seguida
ARREDONDAMENTO e em ZERO CASA DECIMAL. O que você observa em
relação aos lados? ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
8
11. Para determinar a medida do ÂNGULO, basta ativar a ferramenta “ângulo” e clicar sobre
as semirretas AB e depois sobre a semirreta BC, CD e DA.
12. Ative a ferramenta MOVER (aperte ESC) e movimente qualquer um dos pontos azuis (A,
B ou C) e observe o que acontece com os lados e com os ângulos deste polígono. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------