alternativa C
TIPO DE PROVA: A
Questão 1
Um taxista inicia o dia de trabalho com o
tanque de combustível de seu carro inteiramente cheio. Percorre 325 km e reabastece,
sendo necessários 25 litros para completar o
tanque. Em seguida, percorre 520 km até esvaziar completamente o tanque, concluindo,
então, que a capacidade do tanque do carro,
em litros, é:
a) 40
b) 45
c) 50
d) 55
e) 60
alternativa A
Supondo que o consumo desse carro seja constante, como foram gastos 25 litros para percor325
rer 325 km, esse carro faz
=13 km/l. E sa25
bendo que para esvaziar o tanque são necessários 520 km, a capacidade do tanque é
520
= 40 litros.
13
Questão 3
Um supermercado vende três marcas diferentes A, B e C de sabão em pó, embalados em
caixas de 1 kg. O preço da marca A é igual à
metade da soma dos preços das marcas B e C.
Se uma cliente paga R$ 14,00 pela compra de
dois pacotes do sabão A, mais um pacote do
sabão B e mais um do sabão C, o preço que
ela pagaria por três pacotes do sabão A
seria:
a) R$ 12,00
b) R$ 10,50
c) R$ 13,40
d) R$ 11,50
e) R$ 13,00
alternativa B
Questão 2
Três restaurantes “por quilo”, A, B e C, apresentam seus preços de acordo com a tabela
abaixo.
Restaurante
Uma pessoa que consumir 400 g de alimentos pa400 g
= R$ 6,40 no restaurante A,
250 g
400 g
400 g
5,00 ⋅
≅ R$ 5,70 no B e 7,00 ⋅
≅
350 g
600 g
≅ R$ 4,67 no C.
Assim, a única alternativa correta é C.
gará 4,00 ⋅
Quantidade/Preço
A
250g por R$ 4,00
B
350g por R$ 5,00
C
600g por R$ 7,00
Se uma pessoa consumir 400 g de alimentos,
então ela pagará:
a) mais em B do que em A.
b) mais em C do que em B.
c) mais em A do que em C.
d) valores iguais em A e em C.
e) valores iguais em B e em C.
Sejam a, b e c os preços, em reais, de uma caixa
de sabão das marcas A, B e C, respectivamente.
Assim:
b +c
b + c = 2a
b + c = 2a
a=
⇔
⇔
2
2a + 2 a = 14
a = 3,50
2a + b + c = 14
Logo o preço de três pacotes do sabão A é
3a = 3 ⋅ 3,50 = 10,50 reais.
Questão 4
Considere três números inteiros tais que as
somas de dois a dois deles, distintos, resultam 20, 15 e 19. A diferença entre o maior e o
menor desses números é:
a) 7
b) 4
c) 3
d) 6
e) 5
matemática 2
alternativa E
Sejam x, y, z ∈ Z os números. Então:
x + y = 20
x + z = 15 ⇒ 2(x + y + z) = 54 ⇔
y + z = 19
⇔ x + y + z = 27
Assim, x = (x + y + z) − (y + z) = 27 − 19 = 8 ,
y = (x + y + z) − (x + z) = 27 − 15 = 12 ,
z = (x + y + z) − (x + y) = 27 − 20 = 7 e
a diferença entre o maior e o menor dos números
é12 − 7 = 5 .
Questão 7
Um instrutor de academia deve colocar, em
um único suporte, pesos que somem 16 kg.
Ele possui 4 unidades de cada um dos seguintes pesos: 1 kg, 2 kg e 5 kg. O número de maneiras diferentes de abastecer o suporte, colocando sempre os maiores pesos em primeiro
lugar, é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
alternativa C
Questão 5
Um feirante comprou 33 caixas de tomates e
cada uma custou R$ 20,00. Se na compra seguinte o preço de cada caixa aumentou em
10 %, o feirante, com a mesma quantia gasta
na primeira vez, pôde comprar um número de
caixas igual a:
a) 31
b) 32
c) 29
d) 28
e) 30
alternativa E
Com o aumento cada caixa passa a custar
20 ⋅ (1 + 0,10) = R$ 22,00. Logo, com a mesma
quantia gasta na primeira vez, ele pôde comprar
33 ⋅ 20
= 30 caixas.
22
as
⎛a −a⎞
A = ⎜
⎟
⎝1 a ⎠
matrizes
Questão 8
Considere o gráfico dado, da função y = p(x),
sendo p(x) um polinômio do 3º grau. É correto
afirmar que esse polinômio tem:
Questão 6
Dadas
Vamos listar todas as maneiras diferentes, considerando a quantidade de massas de 5 kg utilizadas:
• 3 massas de 5 kg: devemos acrescentar uma
massa de 1 kg. Há uma única maneira nessas
condições.
• 2 massas de 5 kg: para totalizar 16 kg, faltam
6 kg. Podemos atingir esse total com 1, 2 ou 3 massas de 2 kg, pois só existem 4 massas de 1 kg.
Há 3 maneiras nessas condições.
• 1 massa de 5 kg: para totalizar 16 kg, faltam
11 kg. Devemos deixar de fora apenas uma massa de 1 kg. Há uma única maneira nessas condições.
Portanto são1 + 3 + 1 = 5 maneiras.
eB =
⎛3a 2⎞
= ⎜
⎟ , o produto das raízes da equação
⎝ 1 1⎠
det(A + B) = 0 é:
a) 1
c) −
b) 2
1
2
d)
3
2
e) −1
alternativa E
⎛ a + 3a −a + 2 ⎞
det(A + B) = 0 ⇔ det ⎜
⎟ =0 ⇔
⎝ 1 +1
a +1 ⎠
⇔ 4a(a + 1) − 2( −a + 2) = 0 ⇔
⇔ 4a2 + 6a − 4 = 0
Logo o produto das raízes é
−4
= −1.
4
a) uma raiz complexa com parte imaginária
não nula.
b) uma raiz real de multiplicidade dois.
matemática 3
obter soma 7, em dois lançamentos consecutivos desse dado, é:
1
11
7
1
5
a)
b)
c)
d)
e)
4
30
36
8
32
c) três raízes reais, sendo duas negativas.
d) uma raiz real de multiplicidade três.
e) uma única raiz real negativa.
alternativa B
Como o polinômio p(x) é de 3º grau e seu gráfico
tangencia o eixo 0x no ponto de abscissa x = 0 e
intercepta o eixo 0x num ponto de abscissa x > 0,
podemos afirmar que p(x) possui uma raiz real de
multiplicidade dois (x = 0) e uma raiz real positiva.
Questão 9
Se as raízes reais a e b da equação
3x2 + 2x + k = 0 são tais que a2 + b2 = 1, então o valor de k é:
7
5
2
5
6
b)
d)
a) −
c) −
e) −
6
6
3
8
7
alternativa C
Sendo
raízes da equação
2
k
.
3x 2 + 2x + k = 0, a + b = − e ab =
3
3
Assim, a2 + b 2 = 1 ⇔ (a + b) 2 − 2ab = 1 ⇔
⎛ 2⎞
⇔ ⎜− ⎟
⎝ 3⎠
a
e
b
2
−2 ⋅
as
alternativa E
A probabilidade dos quatro demais resultados é
1 ⎛
1⎞ 1
⋅ ⎜1 − 2 ⋅ ⎟ = . Logo, como podemos obter
4 ⎝
4⎠ 8
soma 7 com 6 + 1, 5 + 2, 4 + 3, 3 + 4, 2 + 5 ou 1 + 6,
a probabilidade pedida é:
1 1
1 1⎞
5
⎛1 1
2 ⋅⎜ ⋅
+
⋅
+
⋅ ⎟ =
⎝4 8
4 8
8 8 ⎠ 32
Questão 12
Se log2
x + log2
igual a:
1
a)
4
b)
1
2
1
= −1, então log4 x é
x
c) −1
e) −2
d) 1
alternativa D
Para x > 0:
k
5
=1 ⇔ k = − .
3
6
log 2
x + log 2
1
= −1 ⇔
x
1
log 2 x − log 2 x = −1 ⇔
2
⇔ log 2 x = 2 ⇔ x = 4
Portanto log 4 x = log 4 4 = 1.
⇔
Questão 10
Se tgα = 2, então cos2α é igual a:
3
2
1
1
a) −
b) −
c) −
d)
5
5
5
5
e)
2
5
alternativa A
Questão 13
Na figura, a medida da bissetriz AD é:
Temos tg 2 α + 1 = sec 2 α ⇔ 2 2 + 1 = sec 2 α ⇔
1
⇔ sec 2 α = 5 ⇔ cos 2 α =
.
5
1
−3
Logo cos 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 2 ⋅
.
−1 =
5
5
Questão 11
No lançamento de um dado viciado, os resul1
tados 5 e 6 têm, cada um, probabilidade de
4
ocorrer. Se cada um dos demais resultados é
igualmente provável, a probabilidade de se
a) 2
b) 1
c)
5
3
d)
2
3
e) 3
alternativa B
O triângulo ABC é isósceles de base BC, assim a
bissetriz AD é também altura. Assim, no triângulo
4α
$
$
ABD, m (BAD)
=
= 2 α e m (ADB)
= 90o .
2
matemática 4
alternativa D
O gráfico passa pelos pontos (2; 3) e (−1; 0).
Assim:
b
b
3a
3 =a+
3 =a+
3 =
2
⇔
2 ⇔
2 ⇔
b
a=b
a=b
0 =a+
−1
⇔ a = b = 2. Logo o valor de ab = 2 2 = 4.
Portanto α + 2 α + 90o = 180o ⇔ α = 30o e
AD
AD
1
= sen 30o ⇔
=
⇔ AD = 1.
AB
2
2
Questão 14
Uma parede, medindo 2,80 m por 1,80 m,
deve ser revestida por ladrilhos quadrados,
de lado 10 cm, que são vendidos em caixas
com 36 unidades. Considerando que há uma
perda, por quebra durante a colocação, de
10% dos ladrilhos, o número mínimo de caixas que devem ser compradas é:
a) 16
b) 18
c) 12
d) 24
e) 22
Questão 16
O gráfico esboçado, da função y = ax + b, representa o custo unitário de produção de
uma peça em função da quantidade mensal
produzida. Para que esse custo unitário seja
R$ 6,00, a produção mensal deve ser igual a:
alternativa A
A área a ser revestida é 2,8 ⋅ 1,8 m 2 = 280 ⋅
⋅ 180 cm 2 e a área de cada ladrilho é 10 ⋅ 10 =
= 100 cm 2 . Logo, sendo n o número de ladrilhos
necessários para o revestimento, devemos ter
280 ⋅ 180
n ⋅ (1 − 0,10) ≥
⇔ n ≥ 560.
100
Como em cada caixa há 36 unidades e
560
≅ 15,6, o número mínimo de caixas é 16.
36
Questão 15
Se a curva dada é o gráfico da função
b
, então o valor de a b é:
y = a+
x
a) 930
b) 920
c) 940
d) 960
e) 980
alternativa D
O gráfico apresentado é uma reta que passa pelos pontos (720; 10), (1 020; 5) e (x; 6), sendo x o
número de peças a serem produzidas a um custo
unitário de R$ 6,00.
6 −5
5 − 10
Assim,
=
⇔ x = 960.
x − 1 020
1 020 − 720
Questão 17
A implicação verdadeira, quaisquer que sejam os números reais e distintos x e y, tais
que x2 + x = y2 + y, é:
a) x ≤ 1 ⇒ y ≥ 0
b) x < 0 ⇒ y < 0
c) x ≤ −1 ⇒ y ≥ 0
d) x > 1 ⇒ y > 1
e) x ≥ 1 ⇒ y ≥ 0
alternativa C
a)
1
2
b) 3
c) 2
d) 4
e)
1
4
Sendo x ≠ y ⇔ x − y ≠ 0, x 2 + x = y 2 + y ⇔
⇔ x2 − y 2 + x − y = 0 ⇔
⇔ (x − y)(x + y + 1) = 0 ⇔
matemática 5
⇔ x + y + 1 = 0 ⇔ x = −y − 1.
Assim, x ≤ −1 ⇔ −y − 1 ≤ −1 ⇔ y ≥ 0 e, conseqüentemente, x ≤ −1 ⇒ y ≥ 0.
1⎞
⎛ 1
Os pares (x; y) = (−1; 0), (x; y) = ⎜ − ; − ⎟ , e
⎝ 2
2⎠
(x; y) = (2; −3) mostram que as sentenças nas demais alternativas são falsas.
Questão 18
A quantidade de combustível necessária para
manter um balão esférico no ar é diretamente
proporcional ao volume do balão e ao tempo
que ele permanece no ar. Se, para flutuar durante uma hora, um balão de 20 cm de raio
utiliza 0,1 litro de combustível, um balão de
30 cm de raio utilizará, para flutuar por meia
hora, uma quantidade de combustível, em litros, mais próxima da alternativa:
a) 0,53
b) 0,45
c) 0,3
d) 0,2
e) 0,16
alternativa E
Seja c a quantidade de combustível em litros, V o
volume do balão em cm 3 e t o tempo em horas
c
que ele fica no ar. Pelas condições dadas,
é
V ⋅t
constante.
c
0,1
Assim,
=
⇔
1
4
4
3
π(20) ⋅ 1
π(30) 3 ⋅
2
3
3
⇔ c = 0,16875 l, valor mais próximo da alternativa E.
O triângulo retângulo ABC também é isósceles,
assim AB = BC = 4 ⋅ sen 45 o = 2 2 .
A área do quadrilátero assinalado é a área
de AOD menos a área de ABC, ou seja,
OA ⋅ OD
AB ⋅ BC
5 ⋅5
2 2 ⋅2 2
−
=
−
=
2
2
2
2
17
=
= 8,5.
2
Questão 20
Na figura, se MB = 18 cm e A, B e C são pontos de tangência, o perímetro do triângulo assinalado é igual a:
B
A
M
C
Questão 19
a) 30 cm
d) 36 cm
Na figura, se AC = 4 e D = (5,0), a área do
quadrilátero assinalado é:
b) 32 cm
e) 38 cm
c) 34 cm
alternativa D
Como B e C são pontos de tangência, os segmentos MB e MC têm a mesma medida, 18 cm.
Sejam os pontos D e E, conforme a figura.
B
D
A
M
a) 8,5
b) 8
c) 9,5
d) 9
e) 7,5
alternativa A
O triângulo retângulo AOD é isósceles, portanto
AO = OD = 5 e m (OÂD) = 45 o .
E
C
Como A e B também são pontos de tangência,
DA = DB e, analogamente, EA = EC. Portanto DE =
= DA + EA = DB + EC e o perímetro do triângulo assinalado é MD + ME + DE = MD + ME + DB + EC =
= MD + DB + ME + EC = 18 + 18 = 36 cm.