Universidade Federal da Paraíba
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Curso de Mestrado em Matemática
Superfícies em
R4
do ponto de vista da teoria das
singularidades
Por
Paulo do Nascimento Silva
sob orientação do
Prof. Dr. Lizandro Sanchez Challapa
Dissertação apresentada ao Corpo Docente do
Programa de Pós-Graduação em MatemáticaCCEN-UFPB, como requisito parcial para
obtenção do título de Mestre em Matemática.
maio - 2013
João Pessoa - Paraíba
Superfícies em
R4
do ponto de vista da teoria das
singularidades
por
Paulo do Nascimento Silva
Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de PósGraduação em Matemática-CCEN-UFPB, como requisito parcial para
obtenção do título de Mestre em Matemática.
Área de Concentração: Singularidades
Aprovada por:
Prof. Dr.
Lizandro Sanchez Challapa
Orientador
Prof. Dr.
Alexandre César G. Fernandes
Prof. Dr.
Pedro Antonio Gomez Venegas
Examinador
Examinador
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Curso de Mestrado em Matemática
maio - 2013
ii
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
Data:
Autor:
Paulo do Nascimento Silva
Tìtulo:
Superfícies em
R4
maio - 2013
do ponto de vista
da teoria das singularidades
Depto.:
Grau:
M.Sc.
Matemática
Convocação:
maio
Ano:
2013
Permissão está juntamente concedida pela Universidade Federal da
Paraíba à circular e ser copiado para propósitos não comerciais, em sua
descrição, o título acima sob a requisição de indivíduos ou instituições.
Assinatura do Autor
iii
Dedico este trabalho a Deus,aos meus
saudosos avós Pedro e Josefa, à minha
mãe, ao meu irmão e à minha noiva.
iv
Agradecimentos
Para conseguir obter o diploma de mestre foram necessários muitos dias e
noites de estudo, e muitas vezes abdicar de momentos com a família, noiva e amigos,
sem esquecer das muitas orações que z e que zeram por mim durante esse tempo.
Primeiramente agradeço à Deus por ter me dado forças, paz interior e
sabedoria durante este curso.
À minha mãe que sempre cuidou bem de mim, ensinando-me valores e dando uma
boa educação, além de sempre acreditar em mim quando nem mesmo eu acreditava.
Ao meu irmão Petrônio, pela torcida e por ser sempre prestativo.
À minha noiva Juliana, por seu amor, carinho e compreensão.
Ao meu amigo Jailson por ser um dos primeiros que me incentivou a cursar o
mestrado.
Aos colegas do mestrado, pelo prazer de suas amizades, momentos de estudo em
grupo, pela troca de conhecimentos, listas de exercícios , conversas , futebol e etc,
em particular, ao Danilo, Eberson, Edna, Erinaldo, Francisco, Ginaldo, Guilherme,
Gustavo, José Carlos, Luan, Luando, Mariana, Max, Mônica, Nacib, Pedro,
Renato, Reginaldo, Ricardo, Yane, entre outras que conheci durante esta caminhada.
Um agradecimento especial ao Francisco Viera de Oliveira, que ao longo desta
caminhada se tornou um grande amigo, sempre dando esperança e apoio nos
momentos mais necessários. Muito obrigado Francisco.
Agradeço ao professor Dr. Bruno Henrique Carvalho Ribeiro, pelas boas aulas na
disciplina Introdução a Ánalise Real durante o verão para seleção do mestrado.
Agradeço aos meus professores do mestrado, Dr. Alexandre de Bustamante Simas ,
v
Dra. Jacqueline Rojas, Dr. Pedro Antônio Hinojosa Vera, Dr. Serguey Agafonov,
Dra. Miriam da Silva Pereira .
Em especial, agradeço a meu orientador Dr. Lizandro Sanchez Challapa pela
paciência, incentivos, por acreditar que eu era capaz, sugestões, dicas, enm por
uma boa orientação.
Agradeço aos professores Dr. Alexandre César Gurgel Fernandes e Dr. Pedro
Antonio Gomez Venegas por terem aceitado fazer parte da banca.
Também gostaria de agradecer ao professor Dr. Roberto Callejas Bedregal por ter
sido um dos principais responsáveis pela minha viagem à USP de São Carlos onde
pude adquirir o conhecimento necessário para escrever minha dissertação.
À professora Dra. Maria Aparecida Ruas coordenadora do projeto Procad, por
liberar a viagem para à USP am de que pudesse utilizar os livros e artigos da
biblioteca da USP de São Carlos para o desenvolvimento desta dissertação.
Ao professor Marcelo José Saia da USP de São Carlos, pelo acolhimento e pelas
boas aulas na disciplina Singularidades de aplicações diferenciáveis.
Aos professores e funcionários do Programa de pós-graduação em Matemática da
UFPB, em especial aos professores Dr. Everaldo Souto de Medeiros e Dr. Daniel
Marinho Pellegrino que foram ambos coordenadores do mestrado durante o período
em que era mestrando.
Aos meus antigos professores da Universidade Federal da Paraíba, em especial aos
professores Dr. Antônio Sales da Silva,Dr. Eduardo Gonçalves dos Santos,Dr. João
Batista Alves Parente, Dr. Milton de Lacerda Oliveira e Dra. Rogéria Gaudêncio do
Rego pelas boas aulas e conselhos.
Também agradeço ao REUNI pela bolsa, pois sem ela, não teria condições de
concluir este curso.
Enm, agradeço a todos que de maneira direta e indireta contribuíram para a
concretização deste trabalho.
vi
Índice
Agradecimentos
v
Resumo
viii
Abstract
ix
Introdução
x
1 Preliminares
1
1.1
Singularidades de germes de funções suaves . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1
Classicação dos germes de codimensão
65
1
. . . . . . . . . .
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.2
Variedade Riemanniana
1.3
Conjuntos singulares
1.4
Contato entre subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.5
As equações de Estrutura
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Superfícies em R4
2.1
21
2.2
Elipse curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Os Invariantes de Superfícies em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.3
Formas Quadráticas Degeneradas
34
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Contatos de Superfícies em R4 com hiperplanos
4
3.1
Variedade canal de uma superfície em
3.2
Caraterização geométrica das singularidades de funções altura
Referências Bibliográcas
R
21
36
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
36
42
49
vii
Resumo
Neste trabalho estudamos a geometria das superfícies em
R4
através da variedade
canal e das singularidades das famílias de funções altura das superfícies. Provaremos
que os pontos de inexão das superfície são os pontos umbílicos das famílias de funções
altura. Além disso, veremos que pontos de inexão do tipo imaginário serão pontos
isolados da curva
∆−1 (0).
Como uma consequência deste estudo provaremos que
qualquer mergulho genérico convexo de
S2
em
R4
tem pelo menos um ponto de
inexão.
Palavras-Chave:
Singularidades, Segunda Forma Fundamental, Elípse de
Curvatura, Função Altura, Ponto de Inexão, Ponto Umbílico, Mergulho Genérico.
viii
Abstract
We study the geometry of surfaces immersed in
their families of height functions.
R4
through the singularities of
Inection points on the surfaces are shown to
be umbilic points from their families of height functions. Furthermore, we see that
inection points of imaginary type are isolated points of the curve
consequence we prove that any dive generic convexly embedded
S2
in
∆−1 (0).
R4
As a
has inexion
points.
Keywords:
Singularities, Second Fundamental Form, Ellipse Curvature, Height Function, Inexion Point, Umbílic Point, Embedding Generic.
ix
Introdução
Resultados importantes da geometria das superfícies em
R4
podem ser obtidos
através da análise de seus contatos genéricos com hiperplanos, esses contatos serão
dados pelas singularidades da família de funções altura.
Para nosso estudo da geometria das superfícies em
imersão de uma superfície em
R4 .
R4
vamos considerar uma
Para cada ponto da superfície podemos denir uma
elipse no subespaço normal, denominada elipse de curvatura. A elipse de curvatura
é dada pela segunda forma fundamental da superfície. Um ponto da superfície será
chamado de ponto de inexão quando a elipse de curvatura associada a esse ponto
for um segmento de reta radial, esse conceito é encontrado em [10].
Este trabalho baseia-se no artigo The Geometry of Surfaces in 4-space from a
Contact Viewpoint e está dividido em três capítulos.
No capítulo 1, apresentamos alguns conceitos e resultados importantes na teoria
de singularidades que podem ser encontrados em sua grande maioria em [8], como
por exemplo: germes de aplicações, conjuntos singulares, codimensão de um germe,
classicação dos germes de codimensão
≤ 5, contato entre subvariedades.
Finalizamos
o capítulo estudando equações de estrutura de uma superfície imersa em
das equações de estrutura do
Rn .
R4 ,
através
Na sessão 1.2 introduzimos alguns conceitos de
geometria Riemanniana relacionados a conexão de uma variedade Riemanniana.
No capítulo 2, calculamos os coecientes da segunda forma fundamental da superfície utilizando o referencial móvel, o qual é denido na sessão 1.6 no capítulo 1.
Encontramos a curvatura gaussiana da superfície, usando o famoso teorema de Gauss
( veja [4]).
Também estudamos a elipse de curvatura e os invariantes associados a
x
superfície.
No capítulo 3, interpretamos geometricamente as singularidades das funções altura
associada a superfície com o objetivo de obter informações geométricas da superfície.
Também introduzimos o conceito da variedade canal associada a superfície, para
desenvolver uma técnica que permite obter informações geométricas da superfície a
partir da variedade canal. Como consequência deste estudo provaremos que qualquer
mergulho genérico convexo de
S2
em
R4
tem pelo menos um ponto de inexão.
xi
Capítulo 1
Preliminares
Neste capítulo introduzimos as notações e denições básicas, usualmente utilizadas na Teoria de Singularidades e aplicações suaves.
Em seguida, introduzimos
alguns conceitos de geometria Riemanniana. Finalizamos este capítulo com estudo
das equações de Estrutura associadas a uma imersão de uma superfície em
R4 .
Os
resultados deste capítulo são inspirados em [8], [13],[12],[4].
1.1
Singularidades de germes de funções suaves
Uma aplicação
são contínuas em
f : U → Rp
U
é de classe
Ck
no aberto
todas as derivadas parciais de
conjuntos abertos de
n
R
e
p
R
f
U ⊂ Rn
de ordem
quando existem e
≤ k.
Sejam
U
e
V
, respectivamente. Em grande parte do trabalho estamos
considerando, quando não é dito contrário, aplicações
f :U →V
suaves, ou
C ∞,
isto
é, que possui derivadas de todas as ordens.
Denição 1.1.
Seja
ponto singular de
f
f : Rn → Rp
uma aplicação suave. Dizemos que
x ∈ Rn
é um
f no ponto x,
∂fi
(x) , 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ n,
∂xj
se, o posto da matriz jacobiana de
Jf (x) =
não é máximo. Caso contrário, dizemos que
x
é um ponto regular de
também pode ser chamado de uma singularidade de
1
f.
f.
O ponto
x
Capítulo 1.
Preliminares
É claro que um ponto ser uma singularidade de uma aplicação é uma propriedade
local. Neste trabalho estaremos interessados em aplicações que tem um singularidade
na origem. Por este motivo introduzimos a seguinte relação de equivalência:
Denição 1.2.
n
U2 ⊂ R
, com
vizinhança
Dadas duas aplicações suaves
x ∈ U1
x ∈ U2 .
e
U ⊂ U1 ∩ U2
de
x
Dizemos que
f1 : U1 → Rp
f1 ∼ f2
e
f2 : U2 → Rp ,
se, e somente se, existe uma
f1 (x) = f2 (x), ∀ x ∈ U
tal que
As classes de equivalência sobre essa relação são chamadas de
em
x.
Denotemos o germe de um elemento
(Rp , y), onde y = f (x).
Para cada germe
Dizemos que
U1 ,
onde
f : Rn → Rp
em
germes de aplicações
x
por
f : (Rn , x) →
x e y são respectivamente fonte e meta do germe.
f : (Rn , x) → (Rp , y) ,
é denido como sendo a derivada em
x
associamos a sua derivada
dfx : Rn → Rp
que
de qualquer um representante. Um germe é
invertível se, e somente se, sua derivada é invertível. O posto de um germe é denido
como o posto de sua derivada em
x.
Quando o posto de
f : Rn → Rp
dizemos que o germe é uma imersão. No caso em o posto é igual a
p,
é igual a
n
dizemos que o
germe é uma submersão.
Denição 1.3. Dois germes f : (Rn , x1 ) → (Rp , y1 ) e g : (Rn , x2 ) → (Rp , y2 ) são equivalentes quando existem germes invertíveis
(Rp , y2 )
f
/
k : (Rp , y1 ) →
(Rp , y1 )
h
(Rn , x2 )
g
/
k
(Rp , y2 ),
k ◦ f = g ◦ h.
Denotamos por
classe
e
para os quais o diagrama comuta,
(Rn , x1 )
isto é,
h : (Rn , x1 ) → (Rn , x2 )
C ∞.
Quando
En,p
o conjunto dos germes de aplicações
p = 1,
este conjunto é denotado por
2
En .
f : (Rn , 0) → Rp
Observemos que
de
εn
é
Capítulo 1.
Preliminares
um anel local cujo ideal maximal é
vericar que
mn
Denição 1.4.
por
f ∼ g
mn := {f ∈ En ; f (0) = 0}.
é o ideal gerado por
Sejam
f , g ∈ En .
Além disso é possível
x1 , ..., xn .
Dizemos que f e g são
se existe um germe de difeomorsmo
R-equivalentes
e denotamos
h : (Rn , 0) → (Rn , 0)
tal que
f =
g ◦ h−1 .
Para nosso estudo é importante o conhecimento de alguns resultados básicos da
análise no espaço euclidiano.
Denição 1.5.
Seja
f : Rn → R
ponto crítico não degenerado se
x0
uma função suave.
Um ponto
é um ponto singular de
f
x0
em
Rn
é um
e a Hessiana, que é o
determinante da matriz
∂ 2f
(x0 ) ,
∂xi ∂xj
1 ≤ i, j ≤ n,
é não nulo.
Denição 1.6.
Uma função suave
f : Rn → R
é dita ser uma uma função de Morse
se todos os seus pontos singulares são pontos críticos não degenerados.
Observação 1.7.
Note que uma função regular
f : Rn → R
é também uma função
de Morse.
É bem conhecido do cálculo que as funções de Morse desempenham um papel
importante em suas aplicações e possuem uma forma normal na vizinhança de um
ponto crítico não degenerado como veremos a seguir.
Lema 1.8.
1) Se
x0
dada por
2) Se
x0
Seja
f : (Rn , x0 ) → R
é um ponto regular de
um germe suave. Então:
f,
então o germe é equivalente a
π : (Rn , 0) → R,
π(x1 , ..., xn ) = x1 .
um ponto crítico não degenerado de
(Rn , 0) → R,
f,
então o germe é equivalente a
dado por
g(x) = x21 + x22 · · · + x2λ − x2λ+1 − · · · − x2n .
3
g :
Capítulo 1.
Preliminares
P k (Rn , Rp )
Denotaremos por
tal que cada componente
x1 , x2 , ..., xn
coordenadas
o espaço vetorial real das aplicações
f : Rn → Rp
fi
de
f = (f1 , f2 ..., fp )
de
Rn
com termo constante nulo. A noção de espaço de k-
é um polinômio de
grau 6 k
nas
jato de aplicações suaves é introduzida em [11]. Neste trabalho utilizamos a seguinte
identicação:
Proposição 1.9.
Seja
J k (Rn , Rp )
o espaço dos k-jatos.
canônica entre o espaço de k-jatos e o conjunto
Então existe uma bijeção
Rn × Rm × P k (Rn , Rp ).
Denição 1.10. Para cada aplicação f = (f1 , f2 , ..., fp ) ∈ C ∞ (Rn , Rp ) e cada a ∈ Rn ,
denimos a aplicação
J k f : Rn
−→ J k (Rn , Rp )
(1.1)
a 7−→ J k f (a) = (a, f (a), P1 (a), ..., Pn (a)),
onde
Pi (a)
fi
é o polinômio de Taylor da funçao
de ordem
k
em
a,
sem o termo
constante.
j k f (a) = (P1 (a), ..., Pn (a)).
Denotaremos por
j k f (a)
é chamado o k-jato de
Exemplo 1.11.
Seja
f
A aplicação
J kf
é de classe
C∞
e
em a.
f :R→R
uma função suave. Neste caso temos que:
00
0
j k f (a) = f (a)x +
e
J k f (a)
f (a) 2
f k (a) k
x + ··· +
x ,
2!
k!
pode ser identicado com um elemento do espaço
Rk+2
com a correspondên-
cia
00
00
f (a) 2
f k (a) k
f (a)
f k (a)
0
(a, f (a), f (a) +
x + ··· +
x ) ↔ (a, f (a), f (a),
,··· ,
).
2!
k!
2!
k!
0
C ∞ (Rn , Rp )
Ao conjunto
vamos associar uma topologia, chamada Topologia de
Whitney.
Denição 1.12
topologia de
onde
C
k
.
(Topologia de Whitney)
∞
n
p
Seja
f ∈ C ∞ (Rn , Rp ).
Uma base para a
C (R , R ) é dada pelos seguintes conjuntos
V (f, δ) = {g ∈ C ∞ (Rn , Rp ); J k g(x) − J k f (x) < δ(x)},
de Whitney de
δ : Rn → R
é contínua e positiva.
4
Capítulo 1.
Preliminares
C∞
A Topologia
de Whitney
abertos das topologias
Denição 1.13.
Ck
Um germe
de Whitney, com
Um germe
j k (g)(0) = j k (f )(0)
com
f ∈ En
C ∞ (Rn , Rp )
f ∈ En
tem como base a união de todos os
k ≥ 0.
é k-determinado se para qualquer germe
R-equivalente
temos que f é
g ∈ En
a g.
k ∈N
é nitamente determinado se existir um
tal que f seja
k-determinado.
Denição 1.14.
Seja
A multiplicidade
µ0 [f ]
f : (Rn , 0) → (Rn , 0)
de
f
em
0
um germe tal que
0
é isolado de
f −1 (0).
é denida por
µ0 [f ] = dimR [En /hf1 , . . . , fn i],
onde
hf1 , . . . , fn i
nito se
de
f
em
0.
Dizemos que
f
é
µ0 [f ] < ∞.
Dada uma aplicação
g : Rn → Rn ,
polinômio homogêneo tal que
di
fi
é o ideal gerado pelas componentes
é o grau de cada
Proposição 1.15
f = (f1 , . . . , fn )
e
0
onde
é isolado em
g = (g1 , . . . , gn )
−1
g (0),
gi sendo um
Qn
µ0 [g] = i=1 di , onde
com cada
temos que
gi .
([16])
fi =
.
Seja
fiki
+q
f : (Rn , 0) → (Rn , 0),
um germe nito.
k
, onde fi i é a parte homogênea de
fi
Considere
com grau
ki
e
ki
j q(0) = 0. Então:
Qn
i) µ0 [f ] ≥ i=1 ki .
Qn
ii) µ0 [f ] = i=1 ki se,
solução trivial em
Denição 1.16.
por
cod(f, Re )
e somente, se o sistema
fiki = 0
para
i = 1, . . . , n
tem apenas
Cn .
Seja
f : (Rn , 0) → R
uma germe. A
Re -codimensão
de
f,
é denida como:
cod(f, Re ) = µ0 [∇f ].
A
Re -codimensão,
Proposição 1.17
i)
Se f e g são
que foi denida acima, pode ser encontrada em [8].
([8])
.
Sejam dois germes f e g em
R-equivalentes
ii) cod(f, Re ) = 0
então
se, e somente se,
En .
Temos que,
cod(f, Re ) = cod(g, Re ).
0
é um valor regular de
5
f.
denotada
Capítulo 1.
Preliminares
1.1.1 Classicação dos germes de codimensão 6 5
Denição 1.18.
Um germe
f ∈ m2n
degenerado quando a matriz Hessiana
Lema 1.19 (Lema de Morse).
f
Seja
(isto é, a origem é um ponto singular) é não
Hf =
f ∈ m2n .
é não degenerado. Neste caso f será
∂2f
(0)
∂xi ∂xj
é não singular.
cod(f, Re ) = 1
Então,
R-equivalente
se, e somente se,
a um germe da forma
x21 + ... + x2s − x2s+1 − ... − x2n .
Denição 1.20.
Sejam
f ∈ m2n
posto da matriz Hessiana é
Observação 1.21.
Lema 1.22
cod(f, Re ) ≥ 2.
e
Dizemos que f tem coposto c se o
n − c.
O coposto das funções de Morse é nulo.
(Lema da Separação)
de coposto c. Então, f é
.
Seja
R-equivalente
f ∈ m2n
um germe nitamente determinado
a um germe
(x1 , ..., xn ) → g(x1 , ..., xc ) ± x2c+1 ± ... ± x2n ,
com
g ∈ m3c .
Proposição 1.23.
Sejam
f ∈ m2n
de coposto
1
e
cod(f, Re ) = k .
Então, f é
R-
equivalente ao germe
(x1 , ..., xk ) → ±xk+1
± x22 ± ... ± x2n .
1
Este germe é chamado de singularidade
Demonstração:
Ak .
Ver referência [8]
Lema 1.24.
Seja
f ∈ m2n
cod(f, Re ) ≥
c(c+1)
2
+ 1.
um germe de
Re -codimensão
nita e de coposto c, então
Pelo lema acima, temos que para classicar os germes de codimensão
se apenas os germes de coposto
≤ 2.
6
≤ 5, considera-
Capítulo 1.
Preliminares
Proposição 1.25
([8])
.
f ∈ m2n
Seja
de coposto 2 e
cod(f, Re ) ≤ 5.
Então, f é
equivalente a um dos seguintes germes
±(x31 − x1 x22 ) ± x23 ± ... ± x2n
±(x31 + x32 ) ± x23 ± ... ± x2n
±(x21 x2 + x42 ) ± x23 ± ... ± x2n .
Teorema 1.26
(Teorema de Thom)
.
Seja
f ∈ m2n
de modo que
1 ≤ cod(f, Re ) ≤ 5.
Então, a menos da soma de uma forma quadrática nas outras variáveis, e multiplicação por
±1,
f é
Símbolo
Nome
A1
A2
A3
A4
A5
D4−
D4+
D±5
Morse
R-equivalente
a um dos seguintes germes listados na tabela abaixo.
Germe
2
Dobra
Cúspide
Rabo de andorinha
Borboleta
Umbílico elíptico
Umbílico hiperbólico
Umbílico parabólico
x
x3
x4
x5
x6
(x3 − xy 2 )
(x3 + y 3 )
(x2 y + y 4 )
cod(f, Re )
Coposto
0
1
1
2
1
3
1
4
1
5
2
4
2
4
2
5
Tabela 1.1: singularidades
1.2
Variedade Riemanniana
Transversalidade é uma idéia importante e profunda no estudo da teoria das
singularidades.
Grandes resultados sobre genericidade em conjuntos foram obtidos
combinado-se os teoremas demonstrados por René Thom com a idéia de transversalidade entre subvaridades.
Neste trabalho a transversalidade aparecerá diversas
vezes.
Denição 1.27.
Uma variedade diferenciável de dimensão
uma família de aplicações biunívucas
xα : Uα ⊂ Rn → M
tais que:
7
n
é um conjunto
de abertos
Uα
de
Rn
M
em
e
M
Capítulo 1.
S
1.
Preliminares
xα (Uα ) = M.
α
2. Para todo par
xβ −1 (W )
xα (Uα ) ∩ xβ (Uβ ) = W 6= ∅,
com
Rn
são abertos em
3. A família
O par
α, β
{(Uα , xα )}
(Uα , xα )
p.
diferenciável em
xβ −1 ◦ xα
(ou aplicação
Uma família
xα )
M
com
em
p ∈ xα (Uα )
p; xα (Uα )
1
e
2.
é então chamada uma vizinhança
{(Uα , xα )} satisfazendo 1 e 2 é chamada uma estrutura
M.
é diferenciável em
ϕ(p)
e
é chamado de parametrização
Denição 1.28. Sejam M1 e M2 variedades diferenciáveis.
M2
xα −1 (W )
são suaves.
é máxima relativamente às condições
(ou sistema de coordenadas) de
coordenada de
e as aplicações
os conjuntos
p ∈ M1
existe uma parametrização
Uma aplicação
se dada uma parametrização
x : U ⊂ Rn → M1
em
p
ϕ : M1 →
y : V ⊂ Rp → M2
em
ϕ(x(U )) ⊂ y(V )
e a
tal que
aplicação
y −1 ◦ ϕ ◦ x : U ⊂ Rn → Rp
é diferenciável em
Denição 1.29.
α : (−ε, ε) → M
M,
e seja
curva
α
D
em
x−1 (p).
Seja
M
uma variedade diferenciável. Uma aplicação diferenciável
é chamada uma curva diferenciável em
o conjunto das funções de
t=0
é a função
α0 (0) : D → R
α0 (0)f =
Um vetor tangente em
com
α(0) = p.
O conjunto
de dimensão
n
M
Suponha que
diferenciáveis em
p.
α(0) = p ∈
O vetor tangente à
dada por
d(f ◦ α)
|t=0 f ∈ D.
dt
p é o vetor tangente em t = 0 de alguma curva α : (−ε, ε) → M
O conjunto dos vetores tangentes a
Tp M ,
M.
M
em
p
será indicado por
Tp M .
com as operações usuais de funções, forma um espaço vetorial
e é chamado o espaço tangente de
veja [4].
8
M
em
p.
Para maiores detalhes
Capítulo 1.
Preliminares
Observação 1.30.
M, v ∈ Tp M }.
O conjunto
brado tangente de
Denição 1.31.
vel
ϕ:M →N
Se, além disso,
induzida por
M
Seja
M.
uma variedade diferenciável e seja
TM
munido de uma estrutura diferenciável será chamado
Para maiores detalhes veja [4].
Sejam
M
e
N
variedades diferenciáveis. Uma aplicação diferenciá-
é uma imersão se
ϕ
N,
dϕp : Tp M → Tϕ(p) N
é um homeomorsmo sobre
diz-se que
um mergulho, diz-se que
Denição 1.32.
M
ϕ
correspondência que a cada ponto
X
é uma aplicação de
diferenciável se a aplicação
Proposição 1.33.
p ∈ M
Sejam
X : M → TM
U ⊂ Rm+n
onde
M ⊂N
é uma subvariedade de
X
é injetiva para todo
ϕ(M ) ⊂ N ,
é um mergulho. Se
Um campo de vetores
mos de aplicações,
T M = {(p, v); p ∈
ϕ(M )
tem a topologia
e a inclusão
i:M →N
é
N.
em uma variedade diferenciável
associa um vetor
M
p ∈ M.
M
X(p) ∈ Tp M .
no brado tangente
T M.
é uma
Em ter-
O campo é
é diferenciável.
aberto e
f : U → Rn
uma aplicação suave.
Consideremos o conjunto
M = {p ∈ U ; f (p) = c e dfp : Rn+m → Rn sobrejetora}
Então,
(i) M
(ii)
é aberto em
Supondo que
f −1 (c).
M
é não vazio,
M
é uma variedade suave de dimensão
m
do
Rm+n ,
e
(iii) Tp M = ker (df )p
Denição 1.34.
para todo
M
e
aplicação suave. Considere
S
intersecta
S
ou
ii) f (x) ∈ S
e
Tx M
N
sendo variedades suaves e
sendo uma subvariedade de
transversalmente em
i) f (x) ∈
/S
onde
Sejam
p ∈ M.
x
se;
(df )x (Tx M ) + Tf (x) S = Tx N .
é o espaço tangente à
M
em
x.
9
N
f :M →N
e seja
sendo uma
x ∈ M.
Então
f
Capítulo 1.
Preliminares
Diremos que
f
f
é transversal a
for transversal a
Teorema 1.35.
J k (Rn , Rp ),
S
na ponto
S,
denotado por
f t S,
quando, para todo
x ∈ M,
x.
S
(Transversalidade de Thom) Para toda subvariedade fechada
o conjunto das aplicações
portanto denso na
F
C r -topologia,qualquer
em
C ∞ (Rn , Rp )
que seja
tal que
jkF t S
de
é aberto e,
r > k + 1.
Como consequência do teorema de transversalidade de Thom, temos os seguinte
resultado:
Lema 1.36.
O conjunto de todas as funções de Morse é denso em
Denição 1.37.
Uma métrica Riemanniana (ou estrutura Riemanniana) em uma
variedade diferenciável
um produto interno
espaço tangente
par
X
hX, Y i
e
Y
C ∞ (Rn , R).
M
h, ip
Tp M ,
é uma correspondência que associa a cada ponto
p
de
M
(isto é, uma forma bilinear simétrica, positiva denida) no
que varia diferenciavelmente no seguinte sentido: Para todo
de campos de vetores diferenciáveis em uma vizinhança
é diferenciável em
V
de M, a função
V.
Uma variedade diferenciável com uma dada métrica Riemanniana chama-se uma
variedade Riemanniana.
As denições e os resultados sobre conexão podem ser encontrados em [4].
Indicaremos por
Denição 1.38.
X (M )
o conjunto dos campos de vetores de classe
Uma conexão am
∇
C∞
em uma variedade diferenciável
aplicação
∇ : X (M ) × X (M ) → X (M )
(X, Y )
que satisfaz as seguintes propriedades:
i) ∇f X+gY Z = f ∇X Z + g∇Y Z,
10
7→ ∇X Y
em
M
M.
é uma
Capítulo 1.
Preliminares
ii) ∇X (Y + Z) = ∇X Y + ∇X Z,
iii) ∇X (f Y ) = f ∇X Y + X(f )Y,
onde
X, Y, Z ∈ X (M )
Denição 1.39.
e
f, g ∈ D(M ).
Sejam
X , Y ∈ X (Rn )
e
p ∈ Rn ,
a conexão em
Rn
será dada por
(∇X Y )(p) = (dY )p (X(p)).
Corolário 1.40.
Uma conexão
∇
em uma variedade Riemanniana
M
é compatível
com a métrica se e só se
X hY, Zi = h∇X Y, Zi + hY, ∇X Zi ,
Denição 1.41.
Uma conexão am
∇
X, Y, Z ∈ X (M ).
em uma variedade diferenciável
M
é dita
simétrica quando
∇X Y − ∇Y X = [X, Y ]
para todo
X, Y ∈ X (M ).
Teorema 1.42
(Levi-Civita)
única conexão am
∇
em
M
.
Dada uma variedade Riemanniana
M,
existe uma
satisfazendo as seguintes condições:
a)
∇
é simétrica.
b)
∇
é compatível com a métrica Riemanniana.
A conexão dada pelo teorema acima é denominada conexão Riemanniana (ou de
Levi-Cita ) de
Seja
M.
f : M → M̄
uma imersão de uma variedade suave
uma variedade Riemanniana de dimenão
n + m.
de
M
em
M̄ .
Note que
f
de dimensão
A métrica Riemanniana de
de maneira natural uma métrica Riemanniana em
hv1 , v2 i = hdfp (v1 ), dfp (v2 )i.
M
M:
se
v1 , v2 ∈ Tp M ,
M̄
n
em
induz
dene-se
Nesta situação a aplicação f é uma imersão isométrica
é localmente um mergulho, isto é, existe uma vizinhança
11
Capítulo 1.
U ⊂ M
de
Preliminares
p
f : U → R4
tal que
M̄ .
é uma subvariedade de
é um mergulho, o qual implica que
Denotamos
f (U ) = M .
Agora, iremos introduzir a
segunda forma fundamental considerando-a relativamente a um campo
M.
M
Nossa variedade
Riemanniana
Sejam
∇
X, Y
de
será munida da conexão riemanniana
∇
ξ
normal a
induzida da conexão
M̄ .
campos locais de vetores em
locais dos campos
f (U ) ⊂ M̄
X
Y
e
a
M̄ ,
M.
X, Y
Denotamos por
as extensões
respectivamente . A conexão riemanniana
∇
em
M
é
denida como
∇X Y = (∇X Y )T ,
onde
de
¯ X̄ Ȳ )T
(∇
é a projeção ortogonal do campo de vetores
¯ X̄ Ȳ
∇
no espaço tangente
M.
Denimos o campo
M.
Denição 1.43.
Sejam
local de vetores em
R4
X
e
Y
campos locais de vetores em
normal a
M.
Como
¯ X̄ Ȳ )N .
¯ X̄ Ȳ − ∇X Y = (∇
B(X, Y ) = ∇
O campo local de vetores
Vamos indicar por
Proposição 1.44.
X (M )⊥
B(X, Y )
X (M )⊥
Se
não depende das extensões
X, Y .
os campos de vetores suaves normais a
X , Y ∈ X (M ),
então a aplicação
f (U ).
B : X (M ) × X (M ) →
dada por
B(X, Y ) = ∇X Y − ∇X Y
é bilinear e simétrica.
Observação 1.45.
Seja
p∈M
e
O valor de
ξ ∈ (Tp M )⊥ .
B(X, Y )(p)
A aplicação
depende apenas de
X(p)
Kξ : Tp M × Tp M → R
Kξ (x, y) = hB(x, y), ξi ,
x, y ∈ Tp M,
é pela proposição acima, uma forma bilinear e simétrica.
12
e
Y (p).
dada por
Capítulo 1.
Preliminares
Denição 1.46.
Seja
x ∈ Tp M .
A forma quadrática
IIξ
denida em
Tp M
por
IIξ (x) = Kξ (x, x)
é chamada a segunda forma fundamental de f em p segundo o vetor
Se
x, y ∈ Tf (q) f (M ) ⊂ Tf (q) M ,
ξ.
são linearmente independentes, indicaremos por
K(x, y) e K(x, y) as curvaturas seccionais de M
e
M,
respectivamente. Para maiores
detalhes sobre a curvatura seccional veja [4]. O teorema abaixo exprime as diferenças
das curvaturas seccionais de
M
M
e
por meio de expressões construídas a partir da
segunda forma fundamental.
Teorema 1.47
.
(Gauss)
Sejam
q ∈ M
e
x, y
vetores ortonormais de
Tf (q) f (M ).
Então
K(x, y) − K(x, y) = hB(x, x), B(y, y)i − kB(x, y)k2 .
Demonstração:
1.3
Veja [4]
Conjuntos singulares
Seja
f : Rn → Rp
uma aplicação suave. O conjunto singular
de todos os pontos singulares de
f.
A imagem de
Σ(f )
Σ(f ), f (Σ(f )),
é o conjunto
é chamado de
discriminante ou conjunto de bifurcação.
Exemplo 1.48.
2
f :R →R
2
A aplicação cúspide de Whitney no plano é uma aplicação suave
dada por
(x, y) 7→ (u, v)
onde
u = x, v = y 3 − xy .
é o conjunto de todos os pontos onde a matriz Jacobiana tem
parabóla
x = 3y 2 .
O conjunto singular
rank < 2,
isto é a
E o conjunto bifurcação é a imagem desta parabóla sob f, ou seja,
a cúbica cuspidal que tem a equação
4u3 − 27v 2 = 0.
13
Capítulo 1.
Preliminares
Figura 1.1: Parabóla e Cúspide.
Denição 1.49. Seja f : Rn → Rp uma aplicação suave.
o
Para cada
conjunto de singularidades de primeira ordem Σi (f )
i = 1, ..., min{n, p},
é denido da seguinte
maneira:
Σi (f ) = {x ∈ Rn : dim(ker(dfx )) = i}.
Exemplo 1.50.
calcular
Seja
f : (R2 , 0) → (R2 , 0)
denida por
f (x, y) = (x2 , y 2 ),
vamos
(x, y) = (0, 0).
Desta
Σi (f ), i = 0, 1, 2.
Primeiramente, temos
"
df(x,y) =
e daí, notemos que
forma,
y=0
dim(ker(df(x,y) )) = 2
Σ2 (f ) = {(0, 0)}.
ou
x=0
e
y 6= 0.
O conjunto
Portanto,
E nalmente temos que
pontos
2x
0
0
2y
#
se, e somente se,
Σ1 (f )
é determinado pelas equações
x 6= 0
e
Σ1 (f ) = {{(x, 0)} ∪ {(0, y)} − {(0, 0)}.
Σ0 (f ) = {(x, y) ∈ R; x 6= 0, y 6= 0},
pois, para esses
dim(ker(df(x,y) )) = 0.
Observe que todos os
Denição 1.51.
Σi (f )
deste exemplo são subvariedades do
Dada uma aplicação suave
gularidades de primeira ordem
Σi (f ).
f : Rn → Rp
R2 .
temos os conjuntos de sin-
Se esses são subvariedades podemos introduzir
14
Capítulo 1.
Preliminares
os conjuntos de singularidades de segunda ordem
Σi,j (f ) = Σj (f |Σi (f )).
E este pro-
cesso pode ser continuado. Se esses conjuntos são subvariedades podemos introduzir
os conjuntos de singularidades de terceira ordem
Σi,j,k (f ) = Σk (f |Σi,j (f )).
E assim
por diante. Os conjuntos obtidos dessa maneira são os conjuntos de singularidade de
ordem superior de f.
Exemplo 1.52.
por
Dado um
f (x, y) = (u, v)
onde
ε>0
considere uma aplicação suave
u = x2 − y 2 + 2εx
A matriz jacobiana de
f
rank < 2
denida
v = 2xy − 2εy .
é
"
que tem
e
f : R2 → R2
2x + 2ε
−2y
2y
2x − 2ε
#
,
quando seu determinate se anula, ou seja, no círculo
f.
Então, tal círculo é o conjunto singular de
x2 + y 2 = ε2 .
Se parametrizarmos o conjunto singular,
colocando
x = ε cos θ
y = ε sin θ
então obtemos uma parametrização do discriminante na forma
u = ε2 (cos 2θ + 2 cos θ)
v = ε2 (sin 2θ − 2 sin θ)
que é uma representação usual de um hipociclóide tricuspidal.
Na verdade nosso círculo
x2 + y 2 = ε2
é precisamente o conjunto
Σ1 (f )
laridades de primeira ordem, pois note que a matriz jacobiana não pode ter
de singu-
rank = 0.
Temos que existem três pontos no círculo que precisam ser distinguidos dos outros na
medida em que são levados por
f
a cúspides no hipociclóide.
Analisaremos agora a restrição
ponto
(x, y)
no círculo.
diferencial de
num ponto
f
(x, y)
f |Σ1 (f ).
Vamos calcular o
rank
da restrição num
Relembre que a diferencial da restrição é a restrição da
para a reta tangente ao círculo.
Agora a reta tangente ao círculo
é a reta que passa pela origem perpendicular a este vetor. Um vetor
tangente unitário será
(−y/ε, x/ε)
e a imagem deste sob a diferencial de
15
f
em
(x, y)
Capítulo 1.
Preliminares
Figura 1.2: Hipociclóide.
será obtida através da aplicação da matriz jacobiana a ele, obtendo-se o vetor
"
#"
2x + 2ε
−2y
2y
2x − 2ε
#
−y/ε
"
= 2/ε
x/ε
A diferencial da restrição certamente tem
#
−2xy − εy
−y 2 + x2 − εx
rank ≤ 1;
e ela tem
.
rank
0 somente
quando este último vetor for nulo, ou seja, exatamente nas raízes cúbicas de
ε3 .
Em
outras palavaras nossos três pontos são distinguidos precisamente pelo fato que eles
são pontos
1.4
Σ1 (f )
para a restrição
f |Σ1 (f ),
ou seja, pontos
Σ1,1 (f ).
Contato entre subvariedades
Sejam
U
e
f : Rm → Rn
V
duas subvariedades em
e da submersão
Rn ,
denidas localmente através da imersão
g : Rn → Rk ,
onde
U = f (Rm )
p ∈ U ∩V , ou seja, p = f (x0 ), x0 ∈ Rm e g ◦f (x0 ) = 0.
que existe contato entre
U
e
V
em
p
g◦f
g ◦f
com
m ≥ k , consideramos
dx0 (g ◦ f )
não é sobrejetiva [11];
tem uma singularidade ou um ponto critico em
O tipo de contato entre as subvariedades
gularidade que a aplicação
V = g −1 (0),
se as duas subvariedades não são transversais
nesse ponto. Isto equivale a dizer que a diferencial
portanto a aplicação
Supondo
e
U
tem no ponto
de aplicação de contato.
16
e
x0 .
V
x0 .
será determinado pelo tipo de sin-
Este é o motivo que a denominamos
Capítulo 1.
Preliminares
Segue abaixo a deção de K-equivalência (ou equivalência de contato).
Denição 1.53. ( Montaldi) Dados dois germes f, g : (Rm , 0) → (Rn , 0) dizemos que
f e g são k-equivalentes e denotamos por
h : (Rm , 0) → (Rm , 0)
e
K
f ∼ g,
se existem difeomorsmos de germes
H : (Rm × Rn , (0, 0)) → (Rm × Rn , (0, 0))
tais que o diagrama
comuta
(IRm ,f )
(Rm , 0)
onde
H(x, 0) = (h(x), 0)
M
e
H
(IRm ,g)
(Rm , 0)
Seja
(Rm × Rn , (0, 0))
h
ou seja,
/
/
(Rm × Rn , (0, 0)),
H(x, f (x)) = (h(x), g ◦ h(x))
Rn , n ≥ 4,
uma suferfície imersa em
φ : R2 → Rn é uma imersão.
são determinados pelo subconjunto
x ∈ Rm .
localmente denida por
M = φ(R2 ),
M
de com hiperplanos e hiperesferas
n
n ≥ 4,
Os contatos de
−1
para todo
ψ (0) ⊂ R
,
onde
ψ : Rn → R
é uma
submersão.
Se a subvariedade é um hiperplano de vetor normal unitário
à origem
ρ ∈ R+ .
v ∈ S n−1
e distância
A submersão será dada por
ψ(x1 , ..., xn ) = x1 v1 + · · · + xn vn + ρ.
os contatos de M com a família de hiperplanos são dados pelas
singularidades da família de funções altura:
Portanto,
λ(φ) : R2 × S n−1 → R
((x, y), v) 7→ λ(φ)((x, y), v) = hφ(x, y), vi .
Denição 1.54.
Sejam
φ : Rm → Rn
localmente as subvariedades
contato de ordem
ordem
≥2
em
imersão e
U = φ(Rm )
p ∈ U ∩V
∂x1
∂ 2 ψ◦φ
(p)
∂x21
= ···
∂xm
2
= ∂∂xψ◦φ
2 (p)
m
V = ψ −1 (0).
submersão que denem
Dizemos que
U
e
=
somente se,
∂ 2 ψ◦φ
(p)
∂x1 ∂x2
17
= ··· =
∂ 2 ψ◦φ
(p)
∂xm−1 ∂xm
=0
V
tem
ψ◦φ
se, e somente se, todas derivadas de
≤ 2 se anulam em p, ou seja se, e

 ∂ψ◦φ (p) = · · · = ∂ψ◦φ (p) = 0

e
ψ : Rn → R
.
de
Capítulo 1.
1.5
Preliminares
As equações de Estrutura
Seja
U ⊂ Rn
e1 , ..., en
um conjunto aberto e seja
campos de vetores diferenciáveis
tal que para cada produto interno
hei (p), ej (p)ip = δij ,
onde
δij = 0
se
i 6= j
e
δij = 1
se
i = j.
é chamado um referencial móvel em
podemos denir 1-formas
ωi
U.
O conjunto de campo de vetores
e1 , ..., en
{ei }, i = 1, ..., n,
Dado um referencial móvel
pela condição
ωi (ej ) = δij , i = 1, ..., n;
ou seja, em cada
{ωi }
p,
a base
{(ωi )p }
é a base dual de
{(ei )p }.
O conjunto das formas
é chamado o correferencial associado ao referencial móvel
Cada campo de vetores
e cada
v ∈ Rn
ei
é uma aplicação suave
{ei }.
ei : U ⊂ Rn → Rn .
Para cada
p
podemos escrever
(dei )p (v) =
n
X
(ωij )p (v)ej (p).
j=1
Note que, as expressões
linearmente de
v.
D
(ωij )p (v) =
Portanto
(ωij )p
E
, denidas acima, dependem
é uma aplicação linear em
um campo de vetores diferenciável,
podemos escrever
(dei )p (v), ej (p)
ωij
Rn
e, desde que
é uma 1-forma diferencial.
n
X
ei
é
Sabendo disso,
ωij ej .
j=1
As formas
móvel
ωij
asssim denidas são chamadas as formas de conexão de
Rn no referencial
{ei }.
Observe que, se diferenciarmos
hei , ej i = δij ,
obtemos
0 = hdei , ej i + hei , dej i = ωij + ωji ,
isto é, as formas de conexão
ωij = −ωji
são antisimétricas nos indíces i, j. O ponto
crucial no método do referencial móvel é que as formas
equações de estrutura de Elie Cartan.
18
ωi , ωij
satisfazem as chamadas
Capítulo 1.
Preliminares
Proposição 1.55 (As equações de estrutura do Rn ).
em um conjunto aberto
e
ωij
U ⊂ Rn .
U
as formas de conexão de
ωi
Seja
{ei }
um referencial móvel
um correferencial associado associada a
no referencial
n
X
dωi =
Seja
ei .
ei
Então
ωk ∧ ωki ,
(1.2)
k=1
dωij =
n
X
ωik ∧ ωkj ,
i, j, k = 1, ..., n.
(1.3)
k=1
Demonstração:
Lema 1.56
e sejam
Ver [6].
.
(Lema de Cartan)
ω1 , ..., ωk
Seja
M
1-formas em
Suponha que existam 1-formas
M
uma variedade. Considere
dim M = n ≥ k
que são linearmente independentes em cada ponto.
θ1 , ..., θk
k
X
tal que
θi ∧ ωi = 0.
i=1
Então existe uma matriz simétrica
θi =
k
X
k×k
de funções suaves
(Aij )
tal que
Aij ωj para i = 1, . . . , k.
j=1
Agora, iremos calcular as equações de estrutura de uma imersão
uma variedade diferenciável
q∈M
Para
M
de dimensão 2 em
U ⊂M
existe uma vizinhança
uma vizinhança de
um referencial móvel
f (U ),
os vetores
f (q) em R4
{e1 , e2 , e3 , e4 }
e1 , e2
tal que
em
são tangentes a
V
de
R4 .
de
q
tal que a restrição
é um mergulho, ou seja, a imersão é localmente um mergulho.
V ⊂ R4
f : M → R4
V ∩f (M ) = f (U ).
f : U → R4
Desta forma, seja
Suponha que existe
com a propriedade que, quando restrito a
f (U );
um tal referencial móvel é dito ser um
referencial adaptado.
Em
V
temos, associado ao referencial
{e1 , e2 , e3 , e4 }, as formas ωi
zem as equações de estrutura (1.2) e (1.3). Os indíces
v ∈ Tf (q) f (U )
temos que
v = λ1 e1 (p) + λ1 e2 (p),
19
onde
e
ωij
i, j ∈ {1, 2, 3, 4}.
f (q) = p
e
λ1 , λ2
que satisfe-
Agora, dado
são escalares.
Capítulo 1.
Logo,
Preliminares
(ω3 )p (v) = (ω3 )p (λ1 e1 (p) + λ1 e2 (p)) = 0 e analogamente (ω4 )p (v) = 0.
ω3 = ω4 = 0
para todo
p ∈ f (U ).
Portanto
Assim, temos que
0 = dω3 = ω31 ∧ ω3 + ω32 ∧ ω2 ,
0 = dω4 = ω41 ∧ ω1 + ω42 ∧ ω2 .
Como
ω1
e
ω2
são independentes. Segue-se do lema de Cartan, que
ω13 = aω1 + bω2 ,
ω23 = bω1 + cω2 ,
ω14 = eω1 + f ω2 ,
ω24 = f ω1 + gω2 .
A função
N
denida pela fórmula:
dω34 = −N ω1 ∧ ω2 ,
é chamada de curvatura normal.
Para calcular
N
usaremos 1.3 e as equações dadas por 1.4, assim temos que
dω34 = ω31 ∧ ω14 + ω32 ∧ ω24
= [(−aω1 − bω2 ) ∧ (eω1 + f ω2 )] + [(−bω1 − ω2 ) ∧ (f ω1 + gω2 )]
= −[(a − c)f − (e − g)b]ω1 ∧ ω2 .
Portanto,
N = (a − c)f − (e − g)b.
20
(1.4)
Capítulo 2
Superfícies em R4
Neste capítulo estudaremos a geometria diferencial das superfícies em
lisando a elipse curvatura e os invariantes associados a essas superfícies.
R4 ,
ana-
Também
estudaremos as formas quadráticas associadas a elipse curvatura.
2.1
Elipse curvatura
Sejam
N
imersão de
N
em
R
4
.
A métrica Riemanniana euclidiana de
natural uma métrica Riemanniana em
hdfp (v1 ), dfp (v2 )i.
Note que
que
de
f
N:
se
hv1 , v2 i =
N
U ⊂M
em
de
R4 .
p
tal
é uma subvariedade
f (U ) = M .
Dado
o vetor tangente a
m ∈ M,
γ
em
f (m)
d2 γ
sendo a projeção de ds2 (m) em
em
dene-se
f (U ) ⊂ R4
uma
induz de maneira
Nesta situação a aplicação f é uma imersão isométrica de
para cada
v ∈ S 1 ⊂ Tm M
parametrizada pelo comprimento de arco que passa por
M
R
v1 , v2 ∈ Tp M ,
é um mergulho, o qual implica que
Denotamos
Denição 2.1.
de
4
é localmente um mergulho, isto é, existe uma vizinhança
f : U → R4
R4 .
f : N → R4
uma variedade suave, compacta, 2-dimensional e
é
v.
seja
f (m)
γ(s)
A imagem de
m.
21
η
M
e escolhida de modo que
O vetor curvatura normal
Nm M .
uma curva em
η(v)
é denido como
é chamada de elipse curvatura
Capítulo 2.
Superfícies em
R4
Veremos mais adiante que a denição acima é independente da escolha da curva
γ.
Assim, podemos escolher a curva como intersecção de
f (m) composto
pela soma direta do plano normal
representada por
v.
Nm M
M
com o hiperplano em
e a reta na direção tangente
Uma tal curva é chamada a seção normal de
M
na direção
v.
Agora, note que:
B(v, v) = (∇γ 0 γ 0 )N = η(v).
Para calcular
e as formas
B(v, v)
ωi
e
ωij
usaremos o referencial móvel
{e1 , e2 , e3 , e4 },
com
e1 , e2 ∈ Tm M
m
coincide com:
que satisfazem as equações abaixo
ω13 = aω1 + bω2 ,
ω23 = bω1 + cω2 ,
ω14 = eω1 + f ω2 ,
ω24 = f ω1 + gω2 ,
ambas associados ao mergulho, e introduzidas no capítulo 1.
Assim,
v = cos θe1 + sin θe2
e o vetor curvatura normal no ponto
η(v) = hB(v, v), e3 i e3 + hB(v, v), e4 i e4 ,
Como
B
é bilinear e simétrica, então
B(v, v) = cos2 θB(e1 , e1 ) + 2 cos θ sin θB(e1 , e2 ) + sin2 θB(e2 , e2 )
onde
e
v = cos θe1 + sin θe2 (e1 e2
hB(v, v), e4 i
cientes de
é uma base tangente xada). Note que
hB(v, v), e3 i
ambas determinam formas quadráticas, e abaixo calcularemos os coe-
hB(X, X), e3 i.
22
Capítulo 2.
Superfícies em
R4
D
E
¯ e1 e1 )N , e3
• hB(e1 , e1 ), e3 i = (∇
D
E
N
= [(de1 )p (e1 )] , e3
D
E
= [ω11 (e1 )e1 + ω12 (e1 )e2 + ω13 (e1 )e3 + ω14 (e1 )e4 ]N , e3
= hω13 (e1 )e3 + ω14 (e1 )e4 , e3 i
= h[aω1 (e1 ) + bω2 (e1 )]e3 + [eω1 (e1 ) + f ω2 (e1 )]e4 , e3 i = a
D
E
¯ e1 e2 )N , e3
• hB(e1 , e2 ), e3 i = (∇
D
N
= [(de2 )p (e1 )] , e3
E
D
E
= [ω21 (e1 )e1 + ω22 (e1 )e2 + ω23 (e1 )e3 + ω24 (e1 )e4 ]N , e3
= hω23 (e1 )e3 + ω24 (e1 )e4 , e3 i
= h[bω1 (e1 ) + cω2 (e1 )]e3 + [f ω1 (e1 ) + gω2 (e1 )]e4 , e3 i = b
D
E
¯ e2 e2 )N , e3
• hB(e2 , e2 ), e3 i = (∇
D
E
= [(de2 )p (e2 )]N , e3
D
N
= [ω21 (e2 )e1 + ω22 (e2 )e2 + ω23 (e2 )e3 + ω24 (e2 )e4 ] , e3
E
= hω23 (e2 )e3 + ω24 (e2 )e4 , e3 i
= h[bω1 (e2 ) + cω2 (e2 )]e3 + [f ω1 (e2 ) + gω2 (e2 )]e4 , e3 i = c
23
Capítulo 2.
R4
Superfícies em
Analogamente a
hB(v, v), e3 i
podemos calcular os coecientes de
hB(v, v), e4 i
e
assim temos que
• hB(e1 , e1 ), e4 i = e
• hB(e1 , e2 ), e4 i = f
• hB(e2 , e2 ), e4 i = g
Logo,
B(e1 , e1 ) = ae3 + ee4 , B(e1 , e2 ) = be3 + f e4 , B(e2 , e2 ) = ce3 + ge4 .
Portanto,
η(v) = (acos2 θ + 2b cos θ sin θ + csin2 θ)e3 + (ecos2 θ + 2f cos θ sin θ + gsin2 θ)e4 .
Esta equação mostra que a elipse curvatura não depende da escolha da curva parametrizada.
Note que
η : S 1 → Nm M
é uma aplicação de
S1
em
Nm M .
O vetor curvatura média da elipse de curvatura, que será denotado por
H,
é dado
por
1
1
H = (a + c)e3 + (e + g)e4 .
2
2
Usando as identidades trigonométricas
cos2 θ =
1 + cos 2θ
1 − cos 2θ
cos 2θ
, sin2 θ =
e cos θ sin θ =
,
2
2
2
podemos escrever
1
1
η(θ) = ( (a − c) cos 2θ + b sin 2θ)e3 + ( (e − g) cos 2θ + f sin 2θ)e4 + H.
2
2
(2.1)
Como matriz (2.1) tem a seguinte forma
"
(η − H)(θ) =
Note que
det(η − H) = 1/2N ,
onde
1
(a − c)
2
1
(e − g)
2
N
b
#"
(η − H)
Supondo que
#
.
sin 2θ
f
é a curvatura normal denida no capítulo 1.
Mostraremos abaixo que a imagem do círculo por
Proposição 2.2.
cos 2θ
det(η − H) 6= 0,
é uma elipse no plano normal.
24
(η − H)
é uma elipse.
temos que a imagem do círculo por
Capítulo 2.
Superfícies em
Demonstração:
de 0 à
2π
em
Seja
R4
p ∈ M,
vamos considerar
S 1 ⊂ Tf (p) f (M )
e
(x, y)
θ
como sendo uma direção variando
as coordenadas de
(η − H)(θ)
em
Nf (p) f (M ).
Assim, temos:
"
1
(a − c)
2
1
(e − g)
2
"
⇒
"
⇒
b
f
1
(a − c)
2
1
(e − g)
2
cos 2θ
sin 2θ
"
=
1
1/2N
Como
#"
#
cos 2θ
"
=
sin 2θ
b
#−1 "
f
=
#
y
1
(a − c)
2
1
(e − g)
2
"
#
x
#"
b
f
#
"
=
sin 2θ
−b
f
1
det(η−H)
cos 2θ
− 21 (e − g)
1
(a
2
#"
− c)
x
1
(a − c)
2
1
(e − g)
2
b
f
#−1 "
x
#
y
#
=
y
#
f x − by
− 12 (e − g)x + 12 (a − c)y
cos2 2θ + sin2 2θ = 1,
temos que
1
1
1
[(f x − by)2 + (− (e − g)x + (a − c)y)2 ] = 1.
2
(1/2N )
2
2
o que implica
1
1
1
1
[(f 2 + (e − g)2 )x2 + 2(−f b − (e − g)(a − c))xy + (b2 + (a − c)2 )y 2 ] = 1.
2
4
4
4
(1 2N )
Sejam
A = f 2 + 14 (e − g)2
,
cônica será uma elipse quando
B = −f b − 14 (e − g)(a − c)
A>0
e
AC − B 2 > 0
e
C = b2 + 14 (a − c)2 .
A
ver referência [5]. Abaixo será
mostrado que estas condições são satisfeitas.
i) A = f 2 + 14 (e − g)2 > 0
pois
det(η − H) = 12 (a − c)f − 21 (e − g)b 6= 0.
25
(2.2)
Capítulo 2.
Superfícies em
R4
ii) C = b2 + 14 (a − c)2 > 0, det(η − H) 6= 0.
iii) AC − B 2 > 0, pois
AC − B 2 = (f 2 + 41 (e − g)2 )(b2 + 14 (a − c)2 ) − f 2 b2 − 12 f b(e − g)(a − c)
1
− 16
(e − g)2 (a − c)2
= f 2 b2 + 14 f 2 (a − c)2 + 14 (e − g)2 b2 +
− 12 f b(e − g)(a − c) −
1
(e
16
1
(e
16
− g)2 (a − c)2
− g)2 (a − c)2
= 41 f 2 (a − c)2 − 21 f b(e − g)(a − c) + 14 (e − g)2 b2
= ( 21 (a − c)f − 12 (e − g)b)2 = (det(η − H))2 > 0.
Portanto concluímos que (2.2) dene uma elipse.
Observação 2.3. 1) Geometricamente, o vetor curvatura média H da expressão (2.1)
da elipse de curvatura, representa o vetor com extremos em p e no centro de
η(θ).
Figura 2.1: Vetor curvatura
2)
A denição 2.1 também pode ser introduzida para superfície imersa em
R3 .
Neste
caso, o espaço normal a M em m é uma reta e a elipse de curvatura é um segmento
26
Capítulo 2.
Superfícies em
R4
de reta ou é apenas um ponto. Veja a gura abaixo.
Figura 2.2: Superfície
Vamos utilizar o
superfície
M
Teorema 1.47
que será denotada por
k.
M
em
R3
acima para calcular a curvatura Gaussiana da
Como a curvatura seccional de
R4 é nula temos,
k(e1 , e2 ) = hB(e1 , e1 ), B(e2 , e2 )i − kB(e1 , e2 )k2
D
E D
E
N
N
N
N
¯
¯
¯
¯
= (∇e1 e1 ) , (∇e2 e2 )
− (∇e1 e2 ) , (∇e1 e2 )
E D
E
D
= (de1 (e1 ))N , (de2 (e2 ))N − (de2 (e1 ))N , (de2 (e1 ))N .
No cálculo dos coecientes da segunda forma fundamental vimos que,
(de1 (e1 ))N = ω13 (e1 )e3 + ω14 (e1 )e4 ,
(de2 (e2 ))N = ω23 (e2 )e3 + ω24 (e2 )e4 ,
(de2 (e1 ))N = ω23 (e1 )e3 + ω24 (e1 )e4 ,
27
Capítulo 2.
Superfícies em
R4
Logo
D
N
N
k(e1 , e2 ) = (de1 (e1 )) , (de2 (e2 ))
E
D
N
N
− (de2 (e1 )) , (de2 (e1 ))
E
= ω13 (e1 )ω23 (e2 ) + ω14 (e1 )ω24 (e2 ) − ((ω23 (e1 ))2 + (ω24 (e1 ))2 )
= (aω1 (e1 ) + bω2 (e1 ))(bω1 (e2 ) + cω2 (e2 )) + (eω1 (e1 ) + f ω2 (e1 ))(f ω1 (e2 ) + gω2 (e2 ))
−[(bω1 (e1 ) + cω2 (e1 ))2 + (f ω1 (e1 ) + gω2 (e1 ))2 ]
= ac + eg − b2 − f 2 .
Portanto, teremos
k = ac − b2 + eg − f 2 .
A curvatura Gaussiana também pode ser calculada da seguinte forma:
Observação 2.4.
A curvatura Gaussiana
k
da variedade
M
é dada pela igualdade
dω12 = −kω1 ∧ ω2 .
De fato, usando 1.3 e as equções 1.4, teremos
dω12 = ω13 ∧ ω32 + ω14 ∧ ω42
= [(aω1 + bω2 ) ∧ (−bω1 − cω2 )] + [(eω1 + f ω2 ) ∧ (−f ω1 − gω2 )]
= −[ac − b2 + eg − f 2 ]ω1 ∧ ω2 .
Logo,
k = ac − b2 + eg − f 2 .
2.2
Os Invariantes de Superfícies em
R4
Usando a elipse de curvatura podemos detectar invariantes escalares. A elipse de
curvatura como um conjunto de pontos do plano normal é independente de rotações
no espaço tangente.
28
Capítulo 2.
Superfícies em
Proposição 2.5.
R4
O vetor curvatura média
H = (a + c)e3 + (e + g)e4
é um vetor
invariante.
Demonstração:
ax2 + 2bxy + cy 2
A prova segue observando que
e
(e + g)
o traço de
(a + c) é o traço da forma quadrática
ex2 + 2f xy + cy 2 .
Trataremos agora de um invariante que determina a posição da origem de
Np M
em relação à elipse de curvatura. Este invariante é

a 2b c

 e 2f g
1

∆ = det 
 0 a 2b
4

0 e 2f
Antes de mostrarmos que
∆
dráticas invariantes. Escreva

0

0 

.
c 

g
é um invariante será útil desenvolver duas formas qua-
e = xe1 + ye2
e considere
hde, e3 i ∧ hde, e4 i .
Agora
de = xde1 + dxe1 + yde2 + dye2
de modo que
hde, e3 i = xω13 + yω23
hde, e4 i = xω14 + yω24
.
Assim, usando as equações (1.4), podemos escrever:
hde, e3 i ∧ hde, e4 i = [xω13 + yω23 ] ∧ [xω14 + yω24 ]
= [x(aω1 + bω2 ) + y(bω1 + cω2 )] ∧ [x(eω1 + f ω2 ) + y(f ω1 + gω2 )]
= [(af − be)x2 + (ag − ce)xy + (bg − cf )y 2 ]ω1 ∧ ω2 .
Desta maneira, temos uma forma quadrática em
x
e
y,
que denotaremos por
ou seja
Q(x, y) = (af − be)x2 + (ag − ce)xy + (bg − cf )y 2 .
29
Q(x, y),
Capítulo 2.
Superfícies em
R4
Sabemos que, dado uma forma quadrática temos uma matriz simétrica associada a
esta forma, logo para a forma acima temos a matriz
"
Q=
1
(ag
2
1
(ag
2
(bg − cf )
− ce)
− ce)
#
.
Q são funções escalares denidas na variedade.
O traço e o determinante de
o traço de
(af − be)
Q, (af − be) + (bg − cf ),
é igual a curvatura normal
Note que
N.
Com alguns cálculos podemos mostrar que
∆ = det Q
Portanto, isto mostra que
Teorema 2.6.
a)
Seja
∆ < 0 ⇒ m
hiperbólico de
m
∆
é um invariante.
identicada com a origem de
Nm M
e
det(η − H) 6= 0,
está fora da elipse de curvatura (tal ponto é chamado um ponto
M );
b)
∆>0⇒m
está dentro da elipse de curvatura (ponto elíptico);
c)
∆=0⇒m
está sobre a elipse de curvatura (ponto parabólico);
Demonstração:
Quando
então:
Veja [2].
det(η − H)(θ) = 0,
a elipse de curvatura pode degenerar-se em um seg-
mento de reta radial, caso em que
f (m)
é conhecido como um ponto de inexão da
superfície. O ponto de inexão é do tipo real quando
f (m)
pertence à elipse de cur-
vatura, e do tipo imaginário quando não pertence. Um ponto de inexão é do tipo
at ou degenerado quando
τθ
de
γθ
direção
em
θ0
f (m)
em
f (m)
é um ponto nal da elipse de curvatura. A torção
é chamada a torção normal de
Tf (m) f (M )
para a qual
η(θ0 )
e
f (M )
na direção
θ
em
f (m).
Uma
∂η
(θ ) são paralelos é chamada uma
∂θ 0
direção assintótica. Consideremos a matriz
α(m) =
Ao invés de mostrarmos o
a
b
c
e
f
g
!
.
Teorema 2.6, vamos provar a proposição abaixo:
30
Capítulo 2.
Superfícies em
Proposição 2.7.
R4
Em um ponto hiperbólico existem exatamente duas direções assin-
tóticas, em um ponto elíptico não existe direção assintótica e, em um ponto parabólico
uma única (a menos que o ponto seja um ponto de inexão, caso em que todas as
direções são assintóticas).
Demonstração:
Usando (2.1) temos
∂η
(θ) = ((c − a) sin 2θ + 2b cos 2θ)e3 + ((g − e) sin 2θ + 2f cos 2θ)e4
∂θ
O vetor
η(θ)
é paralelo a
∂η
(θ) se
∂θ
1
1
( (a − c) cos 2θ + b sin 2θ + (a + c))((g − e) sin 2θ + 2f cos 2θ)
2
2
1
1
+((a − c) sin 2θ + 2b cos 2θ)( (e − g) cos 2θ + b sin 2θ + (e + g)) = 0
2
2
O que implica
1
(a − c)(g − e) cos 2θ sin 2θ + (a − c)f cos2 2θ + (g − e)bsin2 2θ
2
1
1
+2bf cos 2θ sin 2θ + (a + c)(g − e) sin 2θ + (a + c)2f cos 2θ
2
2
1
1
2
+ (a − c)(e − g) cos 2θ sin 2θ + (a − c)f sin 2θ + (a − c)(e + g) sin 2θ
2
2
2
−b(e − g)cos 2θ − 2bf cos 2θ sin 2θ − b(e + g) cos 2θ = 0.
O que implica
1
1
(a−c)f +(g−e)b+[ (a+c)(g−e)+ (a−c)(e+g)] sin 2θ+[(a+c)f −b(e+g)] cos 2θ = 0
2
2
Ou ainda,
[(a−c)f +(g−e)b](cos2 θ+sin2 θ)+2(ag−ce) sin θ cos 2θ+[(af −be)−(bg−cf )](cos2 θ−sin2 θ) = 0.
31
Capítulo 2.
Superfícies em
R4
Resultando em
2[(af − be)cos2 θ + (ag − ce) cos θ sin θ + (bg − cf )sin2 θ] = 0.
A matriz associada a forma quadrática acima entre os colchetes temos a matriz:
"
(af − be)
1
(ag
2
1
(ag
2
(bg − cf )
O determinante desta matriz é
∆.
,
− ce)
− ce)
#
.
(af − be)(bg − cf ) − 41 (ag − ce)2
que é exatamente o
Portanto a forma quadrática terá duas, uma ou zero soluções, assim como
∆=0
e
∆>0
∆<0
respectivamente.
Um estudo mais detalhado do item
c
do
Teorema 2.6
permite distinguir as
seguintes possibilidades:
Proposição 2.8.
:
i) ∆(m) = 0, k(m) > 0
⇒ f (m)
(
ii)∆(m) = 0, k(m) < 0 e
iii) ∆(m) = 0, k(m) = 0
é um ponto de inexão do tipo imaginário.
rankα(m) = 2 ⇒
a elipse de curvatura é não degenerada.
rankα(m) = 1 ⇒
f(m) é um ponto de inexão do tipo real.
⇒ f (m)
é um ponto de inexão do tipo at.
Demonstração: ∆ é o resultante de dois polinômios az 2 + 2bz + c e ez 2 + 2f z + g.
Desta forma, temos que
∆(m) = 0
implica que
az 2 + 2bz + c = 0
e
ez 2 + 2f z + g = 0
têm pelo menos uma raiz não trivial em comum. Assim vemos que se a elipse passa
pelo origem segue que
η(θ) = 0
uma raiz comum, ou seja
para algum
cos θ/sin θ,
θ ∈ [0, 2π]
de modo que
então os dois polinômios tem
∆ = 0.
De fato, neste caso a
raiz não trivial comum é real. Desde que raízes de uma forma quadrática são ambas
reais ou ambas imaginárias,elas tem uma raiz real comum se, e somente se, todas
as quatros raízes são reais.
A condição para isto é que
32
b2 − ac > 0, f 2 − eg > 0.
Capítulo 2.
Superfícies em
Consequentemente
Aplicando à
k60
k(p) < 0,
R4
para que a elipse passe pela a origem.
temos:
rank α(p) = 2 ⇒ a elipse é não degenerada e passa pelo ponto f (m).
rank α(p) = 1 ⇒ a elipse é degenerada em um segmento de reta radial.
(Teorema
1.2, pag. 269-270, [10]).
Note que
k(m) = 0 ⇒
rank
α(m) 6 1
. (Teorema 1.2, pag. 269-270, [10]).
η(θ) = (acos2 θ + 2b sin θ cos θ + csin2 θ)e3 + (ecos2 θ + 2f sin θ cos θ +
p
p
gsin2 θ)e4 = (e3 + λe4 )(acos2 θ + 2b sin θ cos θ + csin2 θ) = ( |a| cos θ + |c| sin θ)2 (e3 +
p
p
λe4 ), para algum λ ∈ R, λ 6= 0. Observe que ( |a| cos θ + |c| sin θ)2 > 0 para todo
Dessa forma,
θ ∈ [0, 2π],
f (m)
logo, a elípse de curvatura se degenera em segmento de reta radial tendo
como ponto extremo.
Segue abaixo uma tabela ilustrativa do comportamento da elipse de curvatura em
relação à
f (m)
de acordo com valores de
∆(m), α(m)
e
k(m).
Figura 2.3: Elipse de curvatura
33
Capítulo 2.
2.3
Superfícies em
R4
Formas Quadráticas Degeneradas
Um forma quadrática é dada por
ax2 + 2bxy + cy 2 .
espaço de todas as formas quadráticas. Sejam
quadráticas gerado por
q1
e
q2
Denotamos por
q1 , q2 ∈ H 2 (2, 1).
é um subespaço de
H 2 (2, 1)
H 2 (2, 1)
o
Um feixe de formas
denido por
[q1 , q2 ] = {α1 q1 + α2 q2 /α1 , α2 ∈ R.}
Observe que o feixe
[q1 , q2 ]
pode ser um plano que atravessa a origem, uma reta que
passa na origem, ou apenas a própria origem. Note que
H 2 (2, 1) pode ser identicado
com
R3
pela identicação da forma quadrática
de
3
Os vários tipos de formas quadráticas são separados exatamente pelo cone
R
.
ax2 + 2bxy + cy 2
com o ponto
(a, b, c)
2
D = b − ac = 0.
Sob a ação do grupo
GL(2) × GL(1),
obtemos as seguintes 4 órbitas de
H 2 (2, 1):
(i) O cone b2 = ac, cone D, compreende as formas de rank 1 (tipo parabólico).
(ii) A origem representa a forma nula de rank 0 (tipo simbólico).
O restante do espaço compreende as formas quadráticas de rank 2:
(iii)
As que estão dentro do cone correspondem as formas de semi-índice 0 (tipo
elíptico).
(iv) As de fora do cone são as formas de semi-índice 1 (tipo hiperbolíco).
As quatro orbitas acima são representadas na gura abaixo:
Figura 2.4:
Para maiores detalhes veja [8]
34
Capítulo 2.
Superfícies em
Proposição 2.9.
de
M
em
R4
Consideremos
p∈M
e seja
(q1 , q2 )
a segunda forma fundamental
p.
1. Se
∆(p) < 0, [q1 , q2 ]
é um plano que intercepta o cone
2. Se
∆(p) > 0, [q1 , q2 ]
é um plano que não intercepta o cone
3. Se
∆(p) = 0
4. Se
rankα(p) = 1
e
rankα(p) = 2,
o plano
[q1 , q2 ]
e:
k(p) > 0
então
[q1 , q2 ]
é uma reta dentro do cone.
(b)
k(p) < 0
então
[q1 , q2 ]
é uma reta fora do cone.
(c)
k(p) = 0
então
[q1 , q2 ]
é uma reta sobre o cone.
Ver [7].
35
em duas retas.
D.
é tangente ao cone.
(a)
Demonstração:
D
Capítulo 3
Contatos de Superfícies em R4 com
hiperplanos
Neste capítulo estudamos a geometria das superfícies em
R4
através da função
altura associada. Na seção 3.1, introduzimos a variedade canal associada
das propriedades desta variedade é que é uma hipersuperfície em
3.1
Seja
dimensão 2 em
R4 .
Para cada
R4
uma imersão de uma variedade diferenciável
v ∈ S 3,
a função altura
Uma
R4
Variedade canal de uma superfície em
f : M → R4 , n ≥ 4,
R4 .
fv : M → R
de
f
M
de
na direção
v
é dada por
hf (x, y), vi .
A família de funções altura é dada por
λ(f ) : M × S 3 → R
(m, v) 7→ hf (m), vi = fv (m)
Escolhendo um sistema de coordenadas em
36
M,
temos o seguinte:
m ∈ M
é um
Capítulo 3.
ponto singular de
fv



se, e somente se,
v
∂fv
(m)
∂x
 ∂f

(m), v = 0

∂x

=0
⇔
∂fv
(m)
∂y
,
D
E


 ∂f (m), v = 0
=0
∂y
v ∈ Nf (m) f (M ).
Proposição 3.1.
e
com hiperplanos
se, e somente se,




M
R4
Contatos de Superfícies em
Seja
M
uma superfície imersa em
um vetor não nulo em
Nm M ,
R4 .
Dados
as formas quadráticas
m
IIv (m)
um ponto em
e
Hess(fv )(m)
coincidem.
Observe que, por
M
Gauss sobre
M
não ser uma hipersuperfície em
obter informações geométricas sobre
A 3-variedade canal da superfície
e
a aplicação normal de
não esta denida de maneira usual. Entretanto, utilizamos o conceito
da 3-variedade canal, denotada por
R4 : m ∈M
R4
v ∈ Nf (m) f (M )
CM ,
M
para desenvolver uma técnica que permite
a partir de
CM ⊂ R4
sendo
v
CM .
é denida como
unitário}, aqui
sucientemente pequeno escolhido tal que
CM
f
o mergulho natural de
um número real positivo
seja mergulhada em
∼
Denotamos por
εé
CM = {f (m) + εv ∈
CM
em
R4 .
R4 :
∼
f : CM → R4
∼
(m, v) 7→ f (m, v) = f (m) + εv,
e por
(m, v)
o ponto
f (m) + εv ∈ CM .
Do teorema de Looijenga's [9], segue que
existe um subconjunto residual de mergulhos
f : M → R4 , tal que a família de funções
altura:
λ(f ) : M × S 3 → R
(m, v) 7→ hf (m), vi = fv (m)
3
seja localmente estável como uma família de funções em M com parâmetros em S .
∼
Além disso, a família de funções altura λ(f ) na variedade canal é também genérica.
∼
De fato as singularidades de λ(f ) e λ(f ) são totalmente relacionados [15].
37
Capítulo 3.
Contatos de Superfícies em
Essas podem ser, para um
_
D+ e D .
4
4
f
R4
com hiperplanos
genérico, de um dos seguintes tipos:
A1 , A2 , A3 , A4 ,
Além disso, as singularidades da aplicação normal de Gauss,
Γ : CM → S 3
(também chamada generalização da aplicação de Gauss sobre M) podem ser descritas
em termos destas como as seguintes:
Lema 3.2.
Dado um ponto crítico
m∈M
da função altura
(a) m é um ponto crítico não degenerado de
fv ⇔
fv :
(m,v) é um ponto regular de
Γ.
Ou equivalentemente,
fv ⇔
(a') m é um ponto crítico degenerado de
Demonstração:
Seja
(m,v) é um ponto singular de
Ver [7].
Kc : CM → R a função curvatura Gaussiana em CM .
Kc −1 (0),
de
CM
Γ.
é o conjunto singular de
Γ,
pois
Kc (m, v) = det(dΓ(m, v))
ser mostrado [14] que para um mergulho genérico de
regular exceto por um número nito de pontos
O conjunto parabólico,
(m, v)
M , Kc −1 (0)
[7]. Pode
é uma superfície
que são singularidades do tipo
Σ2,0 (Γ).
Seja
ξ : CM → M
a projeção de
CM
em
M,
ou seja,
lema prova que a imagem do conjunto de pontos parabólicos
{m ∈ M ; ∆(m) ≤ 0},
Lema 3.3.
(1) Se
que será denotado por
∆(m) > 0,
então
m
∆ ≤ 0.
ξ(m, v) = m.
O próximo
Kc−1 (0) por ξ é o conjunto
Mais precisamente:
é um ponto critico não degenerado de
fv , ∀
v ∈ Nf (m) f (M ).
(2) Se
∆(m) < 0,
então existem dois vetores
ponto crítico degenerado de
(3) Se
∆(m) = 0,
Demonstração:
tal que m é um
fbi .
então existe um único vetor
critico degenerado de
b1 , b2 ∈ Nf (m) f (M ),
b ∈ Nf (m) f (M )
tais que m é um ponto
fb .
Seja
f : M → R4
uma imersão localmente dada pelo mergulho
f : (R2 , 0) → (R4 , 0)
(x, y) 7→ (x, y, f1 (x, y), f2 (x, y)),
38
Capítulo 3.
f1
onde
todo
e
R4
Contatos de Superfícies em
f2
com hiperplanos
são função diferenciáveis satisfazendo
i ∈ {1, 2},
∂fi
(0, 0)
∂x
=
∂fi
(0, 0)
∂y
= 0,
para
e seja
fv : (R2 , 0) → (R, 0)
(x, y) 7→ fv (x, y) = v1 x + v2 y + v3 f1 (x, y) + v4 f2 (x, y)
a função altura na direção
Vamos identicar
m
v,
com
onde
v = (v1 , v2 , v3 , v4 ) ∈ S 3 .
(0, 0) ∈ R2 ,
e com isso temos,
∂f
∂fv
∂fv
∂f
(0, 0) = (1, 0, 0, 0),
(0, 0) = (0, 1, 0, 0),
(0, 0) = v1 e
(0, 0) = v2 .
∂x
∂y
∂x
∂y
(0, 0)
Se
é um ponto crítico da função altura
(0, 0, v3 , v4 ) ∈ Nf (m) f (M ).
Usando a
fv ,
teremos que
Proposição 3.1
v1 = v2 = 0
e
que arma que as formas
quadráticas
IIv (m) e Hess(fv )(m) coincidem, veremos que o determinante da matriz
Hessiana de
fv
em
(0, 0)
é dado por:
detH(fv )(0, 0) = (ac − b2 )v32 + (ag + ce − 2bf )v3 v4 + (eg − f 2 )v42 ,
onde
(a, b, c), (e, f, g)
(0, 0).
Veja que,
são os coecientes da segunda forma fundamental de
detH(fv )(0, 0)
nos dá uma forma quadrática nas variáveis
M
em
v3 , v4
e
associada a tal forma quadrática temos uma matriz simétrica, cujo o determinante
será
Logo, estudando as
f 2 )v42 = 0,
1
∆ = (ac − b2 )(eg − f 2 ) − (ag + ce − 2bf )2 .
4
2 2
possíveis raízes reais de (ac − b )v3 + (ag + ce − 2bf )v3 v4 + (eg −
obtemos que:
a) se
∆(m) > 0
todo
v ∈ Nf (m) f (M ),
então
(ac − b2 )v32 + (ag + ce − 2bf )v3 v4 + (eg − f 2 )v42 6= 0
ou seja,
(0, 0)
para
é um ponto crítico não degeneredo de
fv ,
∀v ∈ Nf (m) f (M ).
b) se
∆(m) < 0,
a equação
(ac − b2 )v32 + (ag + ce − 2bf )v3 v4 + (eg − f 2 )v42 = 0
39
Capítulo 3.
Contatos de Superfícies em
R4
com hiperplanos
possui duas raizes reais e diferentes, que é equivalente a armar que existem dois
b1 , b2 ∈ Nf (m) f (M ),
vetores
tais que
(0, 0)
é um ponto crítico degenerado de
fbi ,
i ∈ {1, 2}.
c) se
∆(m) = 0,
(ac − b2 )v32 + (ag + ce − 2bf )v3 v4 + (eg − f 2 )v42 = 0
a equação
admite apenas uma raiz com multiplicidade 2, o que equivale a dizer que existe um
único vetor
b ∈ Nf (m) f (M )
Observação 3.4.
ortogonal a
Quando
tal que
m
(0, 0)
é um ponto crítico degenerado de
é um ponto crítico degenerado de
fb ,
b tem contato de ordem superior com f (M ) em f (m).
com curvas em
R4 ,
diremos que
hiperplano osculador.
b
é
m
o hiperplano
Hb ,
Assim, por analogia
um vetor binormal de f (M ) em f (m) e Hb um
Como já vimos, uma função altura
singularidade degenerada em
fb .
se, e somente se,
v
fv : M → R
é um vetor binormal de
tem uma
f (M )
em
f (p).
Seja
ξ¯ a restrição de ξ
M : ∆(m) < 0}
e
Proposição 3.5.
para a superfície
Kc−1 (0) −
P2
(Γ), e denote por M− = {m ∈
B = {(m, v) ∈ Kc −1 (0) : m ∈ M− }.
(i) ξ¯|B : B → M−
é um difeomorsmo local, mais precisamente;
ele é um recobrimento duplo.
(ii) ∆(m) = 0
e m não é um ponto de inexão
ponto singular (dobra) de
Demonstração:
tal que
Seja
⇔
existe
v ∈ S3
tal que (m,v) é um
ξ¯.
(m, v) ∈ B .
m = (0, 0) e v = (0, 0, 0, 1).
Então, podemos escolher coordenadas para
Agora, isto é suciente para notar que se
v
CM
é uma
direção degenerada então
det H(fv )(0, 0) = (ac − b2 )v32 + (ag + ce − 2bf )v3 + (eg − f 2 )
= Kc (m, v3 ) = 0.
Então:
(i) v3 = 0
é uma raiz simples de
Kc (m, v3 ) = 0 ⇔ (∂Kc /∂v3 )(0, 0) 6= 0 ⇔ ξ¯ é
difeomorsmo local.
40
um
Capítulo 3.
R4
Contatos de Superfícies em
com hiperplanos
(ii) v3 = 0 é uma raiz dupla de Kc (m, v3 ) = 0 ⇔ (∂Kc /∂v3 )(0, 0) = 0 e (∂ 2 Kc /∂v32 )(0, 0) 6=
0 ⇔ (m, v)
é um ponto de dobra para
ξ¯.
Observação 3.6. Em cada ponto de Kc−1 (0)−
de curvatura nula para
CM .
Kc−1 (0) −
P2
(Γ)
Demonstração:
(Γ) existe um única direção principal
Esta direção é tangente a superfície
curva formada de pontos do tipo
Proposição 3.7.
P2
Kc−1 (0)
sobre uma
Σ1,1 (Γ).
A imagem das direções principais de curvatura nula no conjunto
sob
ξ¯ são
direções assintóticas sobre M.
A seguinte expressão para o vetor curvatura
η(θ) é dada no capítulo
2 desta dissertação:
1
1
η(θ) = ( (a − c) cos 2θ + b sin 2θ)e3 + ( (e − g) cos 2θ + f sin 2θ)e4 + H,
2
2
onde
H = 12 (a + c)e3 + 21 (e + g)e4 ,
é o vetor curvatura média, também denido no
capítulo 2. Agora podemos escolher um sistema de coordenadas locais para
M
tal
que

a b c
α(m) = 
Está escolha implicará que
nula, e
ou seja,
Seja
e
(∂η/∂θ)(0)
(m, v) ∈ Kc−1 (0) e U ×V
U ×W
0 0 1
Então, temos que
é a direção de curvatura
η(0) = ae3
e
(∂η/∂θ)(0) = 2be3 ,
são paralelos.
página 37, [7]. A matriz de
de
.
e1 = (1, 0, 0, 0) ∈ T(m,v) CM
dξ(m,v) (e1 ) = e1 ∈ Tm M .
η(0)

uma vizinhança de
dΓ(m, v)
(m, v), como na Proposição II.5.5,
é simétrica de ordem 3 em cada ponto
e, portanto diagonlizável.
(m, v)
Os auto-valores correspondem às curvaturas
principais, seus auto-vetores às direções principais de curvatura e seu determinante
em cada ponto sua curvatura Gaussiana. Então, podemos escrever:

λ1

dΓ(m, v) = 
 0
0
41
0
0


λ2 0 
 (m, v)
0 1
Capítulo 3.
para
Contatos de Superfícies em
λj ∈ C ∞ (U × W ), j ∈ {1, 2}.
denotamos os autovetores por
a)
(m, v) ∈ Σ1 (Γ) ⇔
λ2 (m, v) 6= 0.
λ1 = 0
U × W.
e a restrição
com hiperplanos
λj (m, v) são os auto-valores e
ej (m, v), ej ∈ C ∞ (U × W, T f˜(U × W )). Então, temos:
coposto
Dessa forma,
dΓ(m, v) = 1.
Além disso, diminuindo
não se anula em
R4
U,
Podemos supor
λ1 (m, v) = 0
se necessário, podemos assumir que
Portanto, podemos denir
Σ1 (Γ),
e
λ2
localmente, pela equação
λ2 (m, u) 6= 0.
Em todos os casos genéricos,
Σ1 (Γ) dene uma subvariedade de U ×W
de dimensão
menor igual à 2.
O conjunto
de curvatura
Σ1 (Γ), (q, u) estará em Σ1,1 (Γ) ou Σ1,0 (Γ) conforme a direção principal
e1 (q, u)
estiver em
T(q,u) Σ1 (Γ)
ou não.
Isto dene, outra vez, uma
Σ1,1 (Γ) de Σ1 (Γ), de dimensão ≤ 1. Podemos denir indutivamente
i−1
i−1
i
z }| {
z }| {
z }| {
Σ1, . . . , 1,0 (Γ) e Σ1, . . . , 1 (Γ) como segue: um ponto (q, u) ∈ Σ1, . . . , 1 (Γ) está em
i−1
i−1
i
z }| {
z }| {
z }| {
Σ1, . . . , 1, 0 (Γ) se e1 (q, u) não é tangente a Σ1, . . . , 1 (Γ) e está em Σ1, . . . , 1 (Γ), caso
subvariedade
contrário.
b) Um ponto
(m, v) ∈ U × W
está em
Σ2 (Γ) ⇔ dΓ(m, v)
umbílicos). Como no caso a), podemos assumir que
λ1 (m, v) = 0
3.2
e
Σ2 (Γ)
tem coposto 2 (pontos
é, localmente, dado por
λ2 (m, v) = 0.
Caraterização geométrica das singularidades de
funções altura
Temos visto que uma função altura
rada em
m
se, somente se,
v
fv : M → R
tem uma singularidade degene-
é um vetor binormal de
f (M )
em
f (m).
Nesta seção
caracterizaremos os tipos de singularidades que ocorrem genericamente.
Denote por
γ
a seção normal de
associado ao vetor binormal
v,
e seja
é, cúspides e caudas de andorinha de
Lema 3.8.
Dado
m∈M
M
χ
tangente na direção assintótica
θ
a curva formada de pontos do tipo
Γ).
e uma função altura
42
fv : M → R ,
temos que:
em
f (M )
Σ1,1
(isto
Capítulo 3.
(i) m
Contatos de Superfícies em
é uma singularidade de dobra de
(ii) m
R4
com hiperplanos
fv ⇔ (m, v) ∈ Σ1,0 (Γ).
é uma singularidade de cúspide de
fv ⇔ (m, v) ∈ Σ1,1,0 (Γ).
(iii) m
é uma singularidade rabo de andorinha de
(iv) m
é um ponto umbílico de
Teorema 3.9.
⇔γ
Para
m∈M
(i) m
tal que
m.
m é singularidade de dobra de
Agora, se
γ
tem torção normal nula em
fv
m,
e temos que:
fv ⇔ θ
é transversal a
é uma singularidade rabo de andorinha de
contato de ordem 1 em
Demonstração:
f
∆(m) < 0:
é uma singularidade de cúspide de
(ii) m
que
fv ⇔ (m, v) ∈ Σ2,0 (Γ).
tem torção normal não-nula em
¯
m ∈ ξ(χ)
fv ⇔ (m, v) ∈ Σ1,1,1,0 (Γ).
fv ⇔ θ
¯ .
ξ(χ)
é tangente a
¯
ξ(χ)
com
m.
Como antes, podemos escolher um sistema de coordenadas local tal
é dada em forma de Monge, e a direção degenerada
v
é
(0, 0, 0, 1).
f
(R2 , 0) →(R4 , 0)
(x, y) 7→ (x, y, f1 (x, y), f2 (x, y))
com
f1 (x, y) = ax2 + 2bxy + cy 2 + M1 x3 + 3M2 x2 y + · · ·
f2 (x, y) = y 2 + P1 x3 + 3P2 x2 y + 3P3 xy 2 + P4 y 3 + Q1 x4 + · · · .
Então, a curvatura Gaussiana
Kc
é dada por:
Kc
R2 × R, 0 → R, 0
(x, y, v3 ) 7→ Kc (x, y, v3 ) = A0 (x, y)v32 + A1 (x, y)v3 + A2 (x, y)
onde
A0 (x, y) = f1xx (x, y).f1yy (x, y) − f12xy (x, y)
A1 (x, y) = f1xx (x, y).f2xx (x, y) + f1yy (x, y)f1xx (x, y)
−2f1xy (x, y).f2xy (x, y)
A2 (x, y) = f2xx (x, y).f2yy (x, y) − f22xy (x, y).
43
Isto é,
Capítulo 3.
Contatos de Superfícies em
CM
A direção de curvatura nula de
Então
dξ¯(m,v) (e1 ) = e1 = θ
R4
com hiperplanos
em
(m, v)
nessas coordenadas é o eixo x.
(Proposição anterior). A seção normal
γ
pose ser parame-
trizada por
γ : (R, 0) → (R4 , 0)
s 7→ γ(s) = (s, 0, as2 + · · · , P1 s3 + · · · )
Logo, segue que
γ
tem torção não nula
Vamos mostrar que
P1 6= 0 ⇔ m
⇔ P1 6= 0.
é um ponto de dobra de
fv .
Considere a aplicação
h : (R2 , 0) → (R2 , 0)
(x, y) 7→ (h1 (x, y), h2 (x, y)),
onde
h1 (x, y) =
h2 (x, y) =
∂fv
(x, y)
∂x
∂fv
(x, y)
∂y
= 3P1 x2 + 6P2 xy + 3P3 y 2 + 4Q1 x3 + · · ·
= 2y + 3P2 x2 + 6P3 xy + 3P4 y 2 + · · ·
Observe que o sistema abaixo
(
hk11 = 3P1 x2 + 6P2 xy + 3P3 y 2 = 0
hk22 = 2y = 0
tem apenas a solução trivial em
P1 6= 0.
Daí temos que
cod(fv , Re ) = 2 ⇔
Pela tabela de singularidades do capítulo 1 temos que, se
de dobra de
fv
então
ponto de dobra de
Agora, se
(i) m
C2 ⇔ P1 6= 0.
.
cod(fv , Re ) = 2.
for um ponto
P1 6= 0 ⇔ m
é um
fv .
P1 = 0, (m, v) ∈ Σ1,1 (Γ).
é um ponto de cúspide de
nula é tangente a
Portanto, concluímos que
m
Kc−1 (0)
Então
fv ⇔ (m, v) ∈ Σ1,1,0 (Γ) ⇔
e transversal a curva
a direção de curvatura
Σ1,1,0 (Γ).
(ii) m é uma singularidade rabo de andorinha de fv ⇔ (m, v) ∈ Σ1,1,1,0 (Γ) ⇔ a direção principal nula não é tangente a
Σ1,1,1 (Γ) ⇔
44
a direção principal nula é tangente a
Capítulo 3.
Σ1,1,0 (Γ)
R4
Contatos de Superfícies em
com hiperplanos
com contato de primeira ordem.
¯ 1,1,0 (Γ))
ξ¯ : B → M− é um difeomorsmo local, θ é transversal a ξ(Σ
¯ 1,1,0 (Γ)), com contato de primeira ordem em (ii).
tangente a ξ(Σ
Desde que
em
(i) e
Observação 3.10.
(i) Genericamente, as curvas de
M
composta de pontos tendo
uma singularidade mais degenerada que uma dobra não podem encontrar a curva
∆−1 (0)
em um ponto rabo de andorinha.
A caracterização das singularidades das funções altura sobre a curva
∆−1 (0)
é
dada pelo teorema abaixo:
Teorema 3.11.
(i)
Se
∆(m) = 0,
e
fv
e:
é uma dobra ou uma cúspide de
• m
(ii) m
fv ⇔ θ
M,
é transversal a curva
então
m
∆−1 (0)
de
f (M ).
é uma singularidade de cúspide de
é um ponto umbílico de
• m
não é um ponto de inexão de
é uma singularidade de dobra de
pontos parabólicos de
• m
m
fv ⇔ m
fv ⇔ θ
é tangente a
∆−1 (0).
é um ponto de inexão de
é um ponto de cruzamento normal de
∆−1 (0) ⇔ m
M.
Além disso,
é um ponto de inexão
do tipo real;
• m
é um ponto de inexão isolado de
∆−1 (0) ⇔ m
é um ponto de inexão do
tipo imaginário.
Demonstração:
Com a mesma escolha de coordenadas como no teorema anterior,
temos:
Kc = A0 (x, y)v32 + A1 (x, y)v3 + A2 (x, y),
45
Capítulo 3.
Contatos de Superfícies em
R4
com hiperplanos
onde
A0 (x, y) = −4b2 + 12[(cM1 − 2bM2 )x + (cM2 − 2bM3 )y] + · · · ,
A0 (0, 0) 6= 0
A1 (x, y) = 12[(M1 + cP1 − 2bP2 )x + (M2 + cP2 − 2bP3 )y] + · · · ,
A2 (x, y) = 12(P1 x + P2 y) + [24Q1 + 36(P1 P3 − P22 )]x2
+[48Q2 + 36(P1 P4 − P2 P3 )]xy
+[24Q3 + 36(P2 P4 − P32 )]y 2
+[40R1 + 72(P1 Q3 + P3 Q1 − 2P2 Q2 )]x3 + · · ·
Ainda, nessas coordenadas, a função
∆:M →R
tem a seguinte representação local
∆ : (R2 , 0) → (R, 0)
(x, y) 7→ ∆(x, y) =
Agora, o conjunto discriminante de
1
[A0 (x, y)A2 (x, y)
16
Kc−1 (0),
− 41 A21 (x, y)].
é dado por:
{(x, y)/∃v3 : Kc (x, y, v3 ) = 0 e (∂Kc /∂v3 )(x, y, v3 ) = 0}.
Temos que
∂Kc
(x, y, v3 )
∂v3
= 2A0 (x, y)v3 + A1 (x, y) = 0 ⇒ v3 =
−A1 (x,y)
(A0 (0, 0)
2A0 (x,y)
6= 0).
Desta forma,
2
−A1 (x, y)
−A1 (x, y)
+ A1 (x, y)
+ A2 (x, y) = 0 ⇔
A0 (x, y)
2A0 (x, y)
2A0 (x, y)
−A21 (x, y) + 4A0 (x, y)A2 (x, y)
=
=0⇔
4A0 (x, y)
A0 (x, y)A2 (x, y) − 14 A21 (x, y) = 0 ⇔ ∆(x, y) = 0,
discriminante de
(a)
m
tica
e1
Kc−1 (0).
é transversal a curva
é o conjunto
fv ⇔ (∂A2 /∂x)(0, 0) = 12P1 6= 0 ⇔
a direção assintó-
∆ = 0.
(b) Em um ponto de cúspide,
e1
∆=0
Então:
é um ponto de dobra de
a direção assintótica
ou seja, a curva
∆x (0, 0) = −4b2 P1 = 0, ∆y (0, 0) = −4b2 P2 6= 0, e assim
é tangente a curva
∆ = 0.
Como consequência deste teorema temos a seguinte observação:
46
Capítulo 3.
Contatos de Superfícies em
Observação 3.12.
Se
f
componentes conexas de
R4
com hiperplanos
M
é um mergulho genérico de
∆−1 (0)
em
R4 ,
então cada uma das
pode ser de um dos seguintes tipos:
(1) curva mergulhada;
(2) curva imersa com um número nito de auto-intersecções transversais, e
(3) ponto isolado.
Corolário 3.13. Se f
é um mergulho genérico de
M
em
R4 ,
então
∆−1 (0)∩k −1 (0) =
∅.
Corolário 3.14.
f
Dado um mergulho genérico
o conjunto de pontos parabólicos,
Corolário 3.15.
−1
∆ (0)
M
de
R4
em
sem pontos de inexão,
é uma união disjunta de círculos.
Dado um mergulho generico
f
de
M
em
R4
sem pontos de inexão
então:
(1)
H0 (M− ) = H0 (Kc−1 (0))
(2)
H0 (∆−1 (0)) = H0 (Kc−1 (0)) + g(Kc−1 (0)),
onde
g
Hj
denota o gênero e
o j-ésimo
grupo de homologia com coecientes inteiros.
Demonstração:
Como o mergulho genérico
Corolário 3.14 que
Kc−1 (0)
se projeta sobre uma componente conexa de
Além disso, cada componente com genus
∆−1 (0),
Dizemos que
existe uma vizinhança
Se para todo
M
g
de
M− .
Kc−1 (0)) dá origem a g + 1 componentes
Isto mostra o corolário.
Denição 3.16.
que
é sem pontos de inexão temos pelo
∆−1 (0) é uma união disjunta de círculos, neste caso, cada uma das
componentes conexas de
de
f
V
de
p
T
é um hiperplano suporte local de
tal que
p ∈ M , f (M )
f (V )
f (M )
ca de um mesmo lado de
possui um hiperplano suporte local em
em
f (p)
se
T.
f (p),
dizemos
é localmente convexa.
Corolário 3.17.
Seja
f
um mergulho genérico de
convexa se, e somente se,
∆≤0
e
∆−1 (0)
M
em
R4 .
Então,
M
é localmente
consiste de pontos de inexão isolados de
M.
47
Capítulo 3.
Contatos de Superfícies em
Demonstração:
e seja
(q1 , q2 )
2-jatos de
Consideremos
a
a 2
f1 , f2 .
f
R4
com hiperplanos
dada na forma de monge,
forma fundamental de
M
em
p,
onde
Note que o 2-jato da função altura
Armamos que
M
fato, neste caso pela
fv
(x, y) 7→ (x, y, f1 (x, y), f2 (x, y)),
q1 , q2
é
são respectivamente os
v3 q1 + v4 q2
não é localmente convexa em ponto
p
tal que
∆(p) > 0.
De
Proposição 2.9 temos que o feixe [q1 , q2 ] intersecta o cone D
apenas na origem. Implicando, que não existe forma quadrática
q ∈ [q1 , q2 ]
denida
positiva (ou negativa). Logo, todas as funções altura tem uma sela não-degenerada
em
p.
Portanto a armação é provada.
Proposição 2.9
que o feixe
existem números reais
αeβ
[q1 , q2 ]
tais que
Por outro lado, se
intersecta
D
q = αq1 + βq2
∆(p) < 0
em duas retas.
temos pela
Daí, temos que
está dentro do cone
D, ou seja, q
é
uma forma quadrática denida positiva (ou negativa). Desta maneira a função altura
fv
onde
v = (0, 0, α, β)
pois, note que
tem um máximo (ou mínimo) local em
H(fv )(p)
p, det H(fv )(p) 6= 0,
é a matriz associada a forma quadrática
q = αq1 + βq2 ,
esta
por sua vez é denida positiva (ou negativa) e, portanto o hiperplano ortogonal a
v
é
um hiperplano suporte local.
Agora, se
e
p é um ponto de inexão do tipo imaginário,
rankα(p) = 1,
logo, segue da
Proposição 2.9
implicando que
fv
dentro do cone
D,
v = (0, 0, 0, 1).
Assim o hiperplano ortogonal a
Corolário 3.18.
Seja
f : S 2 → R4
temos que
que o feixe
∆(p) = 0, k(p) > 0
[q1 , q2 ]
é uma reta
tem um máximo (ou mínimo) local em
v
p,
onde
é um hiperplano suporte local.
um mergulho genérico convexo. Então,
S2
tem
pontos de inexão.
Demonstração: Suponha que f não tem pontos de inexão. Então, pelo Corolário
3.15, H0 (M− ) = H0 (Kc−1 (0)). Como é M é convexa, segue do Corolário 3.17 que o
−1
−1
conjunto ∆ (0) é vazio. Então, pela Proposição 3.5, Kc (0) é difeomorfo a duas
2
copias disjuntas de S , a qual é uma contradição com o Corolário 3.15.
48
Referências Bibliográcas
[1] D. K. H. Mochida, M. C. Romero-Fuster and M. A. S Ruas.: The Geometry of
Surfaces in 4-space from a Contact Viewpoint. Geometriae Dedicata. 54, (1995),
323 - 332.
[2] Barreiro, R.M.S.: Propriedades genéricas de superfícies do
R4
dotado de forma
bilinear. Dissertação de Mestrado, ICMSC-USP, (1981).
[3] Carmo, Manfredo P. do.: Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies. Textos
Universitários. Rio de Janeiro. SBM, 2005.
[4] Carmo, Manfredo P. do.: Geometria Riemanniana. IMPA, Rio de Janeiro, 2008.
[5] Lima, E. L.: Álgebra Linear. IMPA, Rio de Janeiro, 2009.
[6] Carmo, Manfredo P. do.: Dierential Forms And Applications. Springer, Rio de
Janeiro, 1994.
[7] Mochida, D. K. H.: Geometria genérica de subvariedades em codimensão maior
que 1 em
Rn .
Tese de Doutorado, ICMCSC-USP, 1993.
[8] C. G. Gibson.: Singular points of smooth mappings. Research Notes in Math. 25,
Pitman, London (1979).
[9] Looijenga, E. J. N.:
Structural stability of smooth families of
Thesis, University of Amsterdam, 1974.
49
C ∞ -functions,
Referências Bibliográcas
[10] Little, J. A.: On singularities of submanifolds of higher dimensional Euclidean
space. Ann. Mat. Pura Appl. (Ser.4A) 83 (1969), 261-336.
[11] Golubitsky M., Guillemin V.: Stable mappings and their singularities. Graduate
text in mathematics, 14.
[12] Lima, E. L.: Variedades Diferenciáveis. IMPA, Rio de Janeiro, 1973.
[13] LU, Yung-chen.:Singularity theory and an introduction to catastrophy theory.
Universitext, 1976.
[14] Romero Fuster, M. C.:Sphere stratications and the Gauss map. Proc. Royal
Society of Edinburg, 95 A (1983), 115-136.
[15] Smith, M. I. N.: Curvature, singularities and projections of smooth maps, Thesis,
Durham, 1971.
[16] A. Cima, A. Gasull and J. Torregrosa.:
On the Relation between Index and
Multiplicity. Journal of the London Mathematical Society. 57, (1998), 757 - 768.
50