ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO
Ficha Informativa/Formativa
MATEMÁTICA - A
10º Ano
2011/2012
Poliedros, Duais e Relação de Euler
Poliedro - Um Poliedro é um sólido geométrico limitado por faces que são polígonos
planos .
Um Poliedro diz-se regular se as suas faces são polígonos regulares e os seus diedros
são iguais .
Nota que :
● Só é possível formar um poliedro regular com quadrados concorrendo no mesmo
vértice : o cubo ;
● Só é possível formar três poliedros regulares com triângulos equiláteros concorrendo
no mesmo vértice : tetraedro , octaedro e icosaedro
● Só existe um poliedro regular em que as faces são pentágonos : o dodecaedro .
POLIEDROS DE PLATÃO (ou regulares): São poliedros em que todas as faces são
polígonos regulares geometricamente iguais e, todas se encontram em igual número em
torno de cada vértice.
Imagem retirada do livro Novo Espaço Belmiro Costa e Ermelinda Rodrigues – Porto Editora
TETRAEDRO
Esas – Sólidos Platónicos
CUBO
OCTAEDRO
1
DODECAEDRO ICOSAEDRO
Ano Lectivo : 2012 - 13
Quantos e quais os poliedros regulares cujas faces são triângulos?
● Se o número de faces que concorrem em cada vértice é 3, tem – se o tetraedro.
● Se o número de faces que concorrem em cada vértice é 4, tem-se o octaedro.
● Se o número de faces que concorrem em cada vértice é 5, tem-se o icosaedro.
Nota que :
● Só há um poliedro regular cujas faces são quadrados, que é o cubo;
● Só há um poliedro regular com faces pentágonos, chamado dodecaedro.
Esas – Sólidos Platónicos
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Ano Lectivo : 2012 - 13
Conclusão : Existem apenas cinco poliedros convexos regulares , conhecidos por
Sólidos Platónicos , que são : tetraedro , cubo , octaedro , icosaedro e dodecaedro .
Relação de Euler : a soma do número de faces com o número de vértices é igual ao
número de arestas mais dois . F  V  A  2
Poliedros Duais : Dual de um poliedro é um outro poliedro , cujas arestas se obtêm
unindo por segmentos de recta os centros das faces consecutivas do poliedro dado .
Imagem retirada do livro
Novo Espaço Belmiro Costa e Ermelinda Rodrigues – Porto Editora
Verifica-se que :
● O dual do tetraedro é o tetraedro .
● O dual do dodecaedro é o icosaedro.
● O dual do cubo é o octaedro .
● O dual do icosaedro é o dodecaedro .
● O dual do octaedro é o cubo.
Recordando a fórmula de Euler podemos concluir que :
● O número de vértices de um poliedro é igual ao número de faces do seu dual .
● O números de arestas de um poliedro é igual ao número de arestas do seu dual .
● O número de faces que concorrem em cada vértice de um poliedro é igual ao número
Esas – Sólidos Platónicos
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Ano Lectivo : 2012 - 13
de lados de cada face do respectivo dual .
Atividade :
Copia e completa a seguinte tabela :
Poliedros
Faces
tetraedro
4
Vértices
Arestas
tetraedro
cubo
8
octaedro
octaedro
12
dodecaedro
cubo
12
icosaedro
icosaedro
Vértices
Faces
30
dodecaedro
Arestas
Dual
Exercícios :
1. Um poliedro convexo tem 9 faces e 15 arestas . O número de vértices é :
(A)
12
(B)
6
(C )
8
( D ) 10
2. Sabendo que um sólido tem 20 faces , então o seu dual tem :
( A ) 20 vértices
( B ) 10 vértices
( C ) 15 vértices
(D)
5 vértices
3. O dual do cubo é :
( A ) o cubo
( B ) o octaedro
( C ) o tetraedro
( D ) o dodecaedro
4. Um dodecaedro tem 12 faces pentagonais regulares . Então os seus vértices são :
( A ) 60
( B ) 30
(C )
20
(D)
12
(D)
18
5. Considera um poliedro convexo com 6 faces e 12 arestas .
5.1 O número de vértices desse poliedro é :
(A)
6
(B) 8
(C)
12
5.2 Qual dos seguintes poliedros poderá ser o seu dual ?
( A ) cubo
( B ) octaedro
( C ) prisma hexagonal
( D ) paralelepípedo
6.Um cubo tem 64 cm3 de volume .
Calcula :
6.1 o comprimento da aresta do seu dual;
6.2 o volume do seu dual.
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Ano Lectivo : 2012 - 13
7. A figura planificada com 6 quadrados representa um sólido Platónico.
Responde às seguintes questões:
7.1 Qual o nome do sólido platónico?
7.2 Quantos vértices e quantas arestas têm este sólido
platónico?
7.3 Diz, justificando, qual o número máximo de faces
quadrangulares que um sólido platónico pode ter,
convergindo para o mesmo vértice.
8. Na figura está representado um cubo e o seu dual.
Sabe-se que a aresta do cubo mede 6 cm.
8.1Mostra que a aresta do octaedro tem de comprimento 3 2 cm .
8.2 Determina a área de uma face do octaedro.
8.3 Mostra que o volume do octaedro é a sexta parte do volume do cubo.
Curiosidade
Platão fez a seguinte associação entre os poliedros regulares e os elementos da natureza:
Tetraedro associou-o ao Fogo ;
Cubo associou-o à Terra;
Icosaedro associou-o ao Universo;
Octaedro associou-o ao Ar;
Dodecaedro associou-o à Água.
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