Física Geral e Experimental I
Trabalho e Energia Cinética
Prof. Hebert Monteiro
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2
A unidade de Trablaho no S.I. é o Joule. Sendo a unidade da força o Newton
(N) e a unidade do deslocamento o metro (m), concluimos que:
1 joule = (1 newton) (1 metro) ou 1J = 1 N.m
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Quando a força aplicada está na direção do movimento temos o trabalho
representado pela equação W = F.d, porém, se ao empurrar um carro por
exemplo, a força aplicada formar um ângulo Ф com o seu deslocamento?
Nesse caso F possui uma componente na direção do deslocamento
FII = F.cosФ e uma componente na direção perpendicular ao movimento
F _|_ = F. sen Ф. Neste caso somente a componente FII é importante pra
nós, pois, é atuante no movimento, tornando a equação do trabalho:
W = F.d.cos Ф
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Exercício
1) Esteban exerce uma força uniforme de 210N sobre o carro enguiçado na figura
anterior, conforme o desloca por uma distância de 18m. O carro também está
com um pneu furado, de modo que para manter o movimento retilíneo Esteban
deve empurrá-lo a um ângulo de 30° em relação ã direção do movimento. a)
Quanto trabalho ele realiza? b) Disposto a cooperar mais, Esteban empurra
outro carro enguiçado com uma força uniforme F = (160N)i – (40N)j. O
deslocamento do carro é d = (14m)i + (11m)j. Quanto trabalho ele realiza neste
caso?
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Trabalho: positivo, negativo ou nulo.
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Exemplo de trabalho nulo
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Exemplo de trabalho negativo
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Trabalho realizado por diversas forças
O fazendeiro engata o trenó
carregado de madeira ao seu
trator e o puxa até uma
distância de 20m ao longo de
um terreno horizontal. O peso
total do trenó carregado é igual
a 14700 N. O trator exerce uma
força constante de 5000N,
formando um ângulo de 36,9°,
acima da horizontal, como visto
na figura. Existe uma força de
atrito de 3500N que se opõe ao
movimento. Calculemos o
trabalho que cada força realiza
sobre o trenó e o trabalho total
realizado por todas as forças.
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Solução
1°) Passo: Identificar os ângulos entre cada força e o deslocamento.
Wp = 0 (direção perpendicular ao deslocamento), pela mesma razão:
Wn = 0, logo Wn = Wp = 0.
Falta considerar a força exercida pelo trator Ft e a força de atrito f. Pela equação,
o trabalho realizado por Ft é:
Wt = Ft.d.cosФ => Wt = (5000N) . (20m) . 0,800 => Wt = 80000 N.m = 80Kj
A força de atrito possui sentido contrário ao deslocamento de modo que Ф = 180°.
Wf = f.d.cos180° = (3500N) . (20m) . (-1) => Wf = (-70Kj)
Wtot = Wp + Wn + Wt + Wf = 0 + 0 + 80Kj + (-70Kj) => Wtot = 10Kj
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Energia cinética e o teorema do trabalho-energia.
O trabalho total realizado pelas forças externas sobre um corpo é relacionado com o
deslocamento do corpo. Contudo o trabalho total também é relacionado com a
velocidade do corpo.
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Imaginem um objeto de massa m movimentando-se na horizontal da esquerda
para direita. Imaginem também que em um determinado momento da sua
trajetória uma força é aplicada na mesma direção do movimento, realizando
um trabalho positivo sobre ele e assim aumentando a velocidade do objeto,
que passa de vo para vf, indo do ponto xo ao ponto xf, realizando assim um
deslocamento d = xf –xo. Podemos dizer então que:
2
2
Vf = Vo + 2.a.d
Pela segunda lei de Newton: F = m . a
Isolando a aceleração na primeira fórmula, temos:
2
2
a = Vf – Vo
2.d
Substituindo na equação da segunda lei de Newton, temos:
2
2
2
2
F = m . Vf – Vo  F.d = m . Vf - m . Vo
2.d
2
2
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O produto F.d é o trabalho W realizado pela força resultante F e, portanto é o
trabalho total Wtot realizado por todas as forças que atuam sobre a
partícula.
2
A grandeza m . V é denominada energia cinética K do objeto:
2
K=m.V
2
2
A energia cinética é uma grandeza também escalar e só depende da massa e
da velocidade do objeto, sendo indiferente o sentido e a direção do
movimento.
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2
2
Voltando à equação: F.d = m . Vf - m . Vo , podemos interpretá-la em termos
2
2
do trabalho e da energia cinética.
2
2
Se o primeiro menbro Kf = m . Vf e o segundo membro Ko = m . Vo , a dife2
2
rença entre os dois termos é a variação da energia cinética. Logo, dizemos:
O trabalho realizado pela força resultante sobre a partícula fornece a variação
da energia cinética da partícula:
Wtot = Kf – Ko = ΔK
Este resultado é conhecido como o Teorema do Trabalho-energia.
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
Quando o Wtot é positivo, a energia cinética aumenta (a energia final K2 é
maior que a energia inicial K1) e a velocidade final da partícula é maior que
a velocidade incial.

Quando Wtot é negativo, a energia cinética diminui (K2, é menor do que K1)
e a velocidade final da partícula é menor do que a velocidade incial.

Quanto Wtot = 0, a energia cinética é constante (K1 = K2) e a velocidade
não se altera.
A energia cinética e o trabalho possuem as mesmas unidades de medida,
ou seja o Joule (J).
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
Exercícios
1) Vamos utilizar como objeto o trenó carregado de madeira do exemplo
anterior. Suponha que a velocidade inicial v1 é 2,0 m/s. Qual a velocidade
escalar no trenó após um deslocamento de 20m ? Calcular utilizando o
teorema do trabalho-energia. (Wtot = K2 – K1). Obs: m = p/g (Massa é o
quociente entre peso e gravidade).
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2) Em um bate estaca, um martelo de aço de 200 kg é elevado até uma altura
de 3,0m acima do topo de uma viga I vertical que deve ser cravada no solo
como mostra a figura. A seguir, o martelo é solto, enterrando mais 7,4cm a
viga I. Os trilhos verticais que guiam a cabeça do martelo exercem sobre
ele uma força de atrito constante igual a 60N. Use o teorema do trabalhoenergia para achar: a) a velocidade da cabeça do martelo no momento em
que atinge a viga I. b) a força média exercida pela cabeça do martelo sobre
a mesma viga. Despreze os efeitos do ar.
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
3) Dois rebocadores puxam um navio petroleiro. Cada rebocador
exerce uma for;a constante de 1,80 x 106N. , uma a 14º na direção
noroeste e outra a 19° na direção nordeste, sendo o petroleiro
puxado 0,75 km. Qual o trabalho total realizado sobre o petroleiro?

4) Use o teorema do trabalho-energia para resolver os seguintes
problemas: a) Um galho cai do topo de uma arvore de 95,0 m de
altura, partindo do repouso. Qual a sua velocidade ao atingir o solo?
b) Um vulcão ejeta uma rocha diretamente de baixo para cima a
525m no ar. Qual a velocidade da rocha no instante em que saiu do
vulcão? c) Uma esquiadora que se move a 5,0 m/s encontra um
longo trecho horizontal aspero de neve com coeficiente de atrito
cinético com 0,220 com seu esqui. Qual distância ela percorre
desse trecho antes de parar? (d) Suponha que o trecho áspero
tivesse apenas 2,90 m de comprimento. Qual seria sua velocidade
no final do trecho?
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
Para acelerar uma partícula de massa m a partir do repouso (energia
cinética zero) até uma velocidade v, o trabalho realizado sobre ela deve ser
2
igual à variação da energia cinética desde zero até K = m. v
2
Wtot = K – 0 = k
Wtot = k
Portanto, quando em repouso, a energia cinética de uma partícula é igual ao
trabalho total realizado para acelerá-la a partir do repouso até sua
velocidade presente.
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Trabalho e energia com forças variáveis

Até o momento consideramos apenas forças constantes e movimentos
retilíneos, porém podemos imaginar diversas situações em que as forças
aplicadas variam em módulo, direção e sentido e o corpo se desloca em
trajetória curva por exemplo.

Exemplo de força variável: Quando comprimimos uma mola. Quanto mais
comprimimos a mola, maior é a força que temos que aplicar sobre ela, de
modo que a força então não é constante.

O teorema do trabalho-energia também é verdadeiro para essas situações
e com ele analisaremos os vários movimentos.
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x2
 F dx
x
x1
Trabalho realizado por uma força variável em movimento retilíneo
Imaginem por exemplo dirigir um
carro em estrada retilínea com sinais
de parada onde o motorista precisa
alternar entre pisar no freio e no
acelerador.
Agora visualizem no primeiro gráfico
uma partícula que possui uma
determinada força na posíção x1 e
outra força na posiçao x2. Abaixo
verifiquem o gráfico da força em
funçao da distância.
Wtot = Fax Δxa + Fbx Δxb + …
x2
W=
 F dx
x
x1
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Aplicando o conhecimento em deformações de molas
Para esticarmos uma mola à uma distância x além de sua posição não
deformada, devemos aplicar uma força de módulo F em cada uma de suas
extremidades. O módulo da força F é diretamente proporcional ao módulo
do deslocamento x:
Fx = K.x
Constante da mola.
22
x
 Kx.dx
 Kx.dx
x
0
0
O trabalho realizado por F quando o alongamento varia de zero a um valor
máximo X é dado por:
x
W=
 Fx
x
.dx =
 Kx.dx
2
= 1 KX
2
0
0
Quando temos uma mola sendo alongada x1 e depois de x1 sendo
alongada x2, o trabalho realizado para esticá-la até um alongamento final x2
é dado por:
x2
 Fx.dx
W=
x1
x2
=
 Kx.dx
x1
2
= 1 Kx2 - 1 Kx1
2
2
2
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Exercício

Uma mulher pesando 60N está em pé sobre uma balança de mola
contendo uma mola rígida como na figura abaixo. No equilíbrio, a mola está
comprimida 1,0 cm sob a ação do seu peso. Calcule a constante da mola e
o trabalho total realizado pela força de compressão sobre a mola.
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Teorema do trabalho-energia para um movimento retilíneo com força
variável
Como sabemos a intensidade da força é diretamente proporcional à
velocidade do movimento descrito pelo objeto. Assim, quando temos uma
situação onde a força varia durante o movimento retilíneo, teremos também
a velocidade do objeto variando durante o deslocamento. A equação que
representa tal situação é:
v2
Wtot =
 m.v .dv
x
x
v1
2
A integral de Vxdvx é simplesmente igual a vx . Substituindo os limites da
2
integral, achamos finalmente:
2
Wtot = mv2 – mv1
2
2
2
25
Exercício

Um cavaleiro com 0,100Kg de
massa
está
ligado
à
extremidade de um trilho de ar
horizontal por uma mola cuja
constante
é
20
N/m.
Inicialmente a mola não está
esticada e o cavaleiro se move
com velocidade igual a 1,5 m/s
da esquerda para a direita.
Encontre a distância máxima d
que o cavaleiro pode se mover
para a direita. a) Supondo que
o ar esteja passando no trilho e
o atrito seja desprezível. b)
Supondo que o ar não esteja
passando pelo trilho e o
coeficiente de atrito cinético
seja μc = 0,47.
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Potência

Muitas vezes precisamos saber quanto tempo demoramos para realizar um
trabalho. Isso pode ser descrito pela potência. Na linguagem comum
potência é confundido com energia ou força. Na física, temos uma definição
muito mais precisa, onde potência é a taxa temporal da realização de um
trabalho. Trata-se de uma grandeza escalar cuja unidade de medida é o
Watt (W). 1W = 1J/s
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
No sistema inglês a unidade de medida de potência é o horsepower (hp)
que quer dizer potência de cavalo)
1 hp = 746 W
29

Em mecânica podemos escrever a potência em função da força e da
velocidade, sendo:
P = F.v
Exercício:
1) Cada um dos dois motores a jato de um avião Boeing 767 desenvolve
uma propulsão (força que acelera o avião) iagual a 197000N. Quando o
avião está voando a 250m/s (900 km/h), qual a potência instantânea que
cada motor desenvolve? Em W e hp.
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2) Uma velocista de Chicago com massa de 50,0 Kg sobe correndo as
escadas da Torre Sears em Chicago, o edifício mais alto dos Estados
Unidos, altura de 443 m. Para que ela atinja o topo em 15,0 minutos, qual
deve ser a sua potência média em watts? E em quilowatts? E em
horsepower?
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