Energia Potencial e
Conservação da
Energia
Prof. Hebert Monteiro
Introdução



Imagine que você precisa realizar o trabalho de erguer uma pedra pesada
acima de sua cabeça. Parece razoável pensar que elevando essa pedra ao
ar você está armazenando energia no sistema, energia que será mais tarde
convertida em energia cinética quando a pedra cair.
Esse exemplo aponta para a idéia que deve existir uma energia associada
a posição dos corpos em um sistema.
Esse tipo de energia fornece o potencial ou a possibilidade de realização
de um trabalho sobre a pedra, que só será realizado quando a pedra for
libertada.

Por esse motivo a energia associada com a posição do objeto no sistema é
chamada de ENERGIA POTENCIAL.

A discussão sobre o assunto sugere que exista uma energia associada ao
peso do objeto e com sua altura acima do solo. Chamamos essa energia
de ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL.
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Definindo equações

Considere um corpo de massa m que se move ao longo do eixo Y. As
forças que atuam sobre ele são seu peso (ou força gravitacional) e
possivelmente outras forças como a resistência do ar por exemplo que
chamaremos de Foutra.
3

Como podemos ver na figura anterior, o corpo realiza uma queda de uma
altura Y1 acima da origem até uma altura menor Y2 (mais próxima do solo).
O peso e o deslocamento possuem o mesmo sentido, ou seja, o trabalho
que nesse caso é chamado de Wgrav realizado sobre o corpo é positivo de
modo que:
Wgrav = F.d = (m . g) . d →
Wgrav = (m . g) . (y1 – y2) →
Wgrav = mgy1 – mgy2
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
A equação anterior nos mostra que o Wgrav varia de acordo com a
posição do objeto na queda. Essa grandeza, ou seja, o produto
entre o peso (m.g) e a altura y, denomina-se energia potencial
gravitacional.
Ugrav = m.g.y
Ugrav1 = m.g.y1
Ugrav2 = m.g.y2
Seu valor inicial
Seu valor final
Se:
Wgrav = Ugrav,1 – Ugrav,2 → - (Ugrav,2 – Ugrav,1) = - ΔUgrav
Wgrav = - ΔUgrav
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Conservação da Energia Mecânica (somente forças gravitacionais)

Imaginem um objeto movendo-se na vertical de cima para baixo ou de
baixo para cima. A única força atuante sobre ele é a da gravidade. Sendo
assim o objeto possui velocidade v1 quando está na posição y1 e
velocidade v2 quando encontra-se na posição y2.

O teorema do trabalho-energia visto até então diz o seguinte:
Wtot = ΔK = k2 – k1
Como a gravidade é a única força que atua sobre o corpo, de acordo com a
equação anterior:
Wtot = Wgrav = - ΔUgrav
ΔK = - ΔUgrav
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
Que pode ser escrito como:
K1 + Ugrav,1 = K2 + Ugrav,2
(Se somente a gravidade realiza trabalho)
Se chamarmos a soma da energia cinética (k) com a potencial (U) de E
(energia total do sistema), temos que:
E1 = k1 + Ugrav,1
e
E2 = k2 + Ugrav, 2
E1 = E2
(a energia total do sistema é a mesma em qualquer posição)
E = K + Ugrav
O que define e lei da conservação da energia mecânica, que diz:
A energia total de um sistema é constante, ou seja, a mesma, em qualquer
parte do movimento, variando apenas suas componentes Cinética e
Potencial.
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Exercícios

01) Você arremessa uma bola de beisebol de 0,145 kg verticalmente de
baixo para cima, fornecendo-lhe uma velocidade inicial de módulo igual a
20,0 m/s. Usando a conservação da energia, calcule a altura máxima que
ela atinge, supondo que a resistência do ar seja desprezível.
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
2) Certo dia uma escaladora de montanhas de 75 kg sobe do nível de 1500
m de um rochedo vertical até o topo a 2400 m. No dia seguinte, ela desce
do topo até a base do rochedo, que está a uma elevação de 1350m. Qual é
a variação da energia potencial gravitacional dela: a) no primeiro dia; b) no
segundo dia?
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Quando outras forças, além da gravidade, realizam trabalho

Se outras forças além do peso atuam sobre o corpo, então Foutra não é
igual a zero. Nesse caso o trabalho exercido pela força da gravidade
continua o mesmo, más o trabalho total (Wtot) é dado agora pela soma de
Wgrav com o trabalho realizado pela Foutra.
Wtot = Wgrav + Woutra
Wgrav + Woutra = K2 – K1
Ugrav,1 – Ugrav,2 + Woutra = K2 – K1
K1 + Ugrav,1 + Woutra = K2 + Ugrav,2
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Energia Potencial gravitacional para movimentos ao longo de
uma trajetória curva.


Quando a trajetória é curva,
também atuam sobre o corpo a
força gravitacional p = m.g e
possivelmente também outras
forças
que
possuem
uma
resultante chamada Foutra.
Sendo assim, concluímos que
podemos utilizar as mesmas
expressões para energia potencial
gravitacional tanto para uma
trajetória retilínea quanto para
uma trajetória curva, ou seja, o
trabalho realizado pela força
gravitacional depende somente da
diferença de altura entre os dois
pontos da trajetória.
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Exercício

1) Seu primo Tobias pratica Skate deslocando-se para baixo de uma rampa
circular em um playground. Se considerarmos Tobias e seu skate como
uma partícula, seu centro se move ao longo de um quarto de círculo de raio
R = 3,00 m. A massa total de Tobias e seu skate é igual a 25,0 kg. Ele parte
do repouso e não existe nenhum atrito. a) Calcule sua velocidade na parte
inferior da rampa.
12
Resolução
13
Um círculo vertical com atrito.

2) Imaginemos o exercício anterior, porem, considerando a existência de
uma força de atrito f que realiza trabalho. Nesse caso, o trabalho não
gravitacional realizado sobre Tobias entre os pontos 1 e 2, Woutra, é
diferente de zero. Considere a velocidade de Tobias na base da rampa
sendo 6 m/s. Encontre o trabalho realizado pela força de atrito.
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Um plano inclinado com atrito

3) Uma caixa de 12 kg está em
repouso sobre o solo. Desejamos
levá-la até um caminhão fazendo-a
deslizar 2,5 m sobre uma rampa
inclinada 30º. Um trabalhador,
ignorando o atrito, calculou que ele
poderia fazer a caixa chegar ao topo
da rampa lançando-a com uma
velocidade inicial de 5,0 m/s na base
da rampa. Porém, o atrito não é
desprezível; a caixa desliza 1,6 m
subindo a rampa, pára e desliza
retornando para baixo. a) Supondo
que a força de atrito seja constante,
calcule o seu módulo. b) Qual a
velocidade da caixa quando ela
atinge a base da rampa?
15
Resolução
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Energia Potencial Elástica
Há muitas situações em que encontramos energia potencial de
natureza diferente da gravitacional. Um exemplo é o estilingue com
tiras de borracha. A força que estica as tiras de borracha realiza
trabalho sobre elas, armazenando-o nas tiras esticadas até o
momento em que você a solta. A seguir, a tira de borracha fornece
energia cinética para a pedra.
Dizemos que um corpo é elástico quando ele volta a ter a mesma
forma e o mesmo tamanho que possuía antes da deformação.
Para sermos específicos consideraremos o processo de energia em
molas ideais, como aquelas que foram discutidas no bimestre
passado.
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No bimestre passado que o trabalho realizado sobre a mola para mover
sua extremidade desde uma posição inicial x1 até uma posição final x2 é
dado por:
2
2
W = 1 Kx2 - 1 Kx1 (Trabalho realizado sobre a mola)
2
2
De acordo com o a Terceira Lei de Newton, o trabalho realizado pela mola
será igual e de sinal contrário ao outro. Portanto:
Wel = -
2
1 Kx2 - 1 Kx1
2
2
2
2
2
 Wel = 1 Kx1 - 1 Kx2 (Trabalho realizado pe2
2
la mola).
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
Como no caso do trabalho gravitacional, podemos representar o
trabalho realizado pela mola em termos de uma quantidade do
início e no fim do deslocamento. Essa quantidade é a energia
potencial elástica dada por:
Uel = 1 Kx
2
(Energia Potencial Elástica)
Sendo assim:
2
2
Wel = 1 Kx1 - 1 Kx2 = Uel1 – Uel2 = - ΔUel
2
2
Wel = Uel1 – Uel2
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
O teorema do Trabalho-Energia afirma que:
Wtot = K2 – K1, se Wtot = Wel, então:
Wtot = Wel = Uel1 – Uel2, logo:
K2 – K1 = Uel1 – Uel2
K1 + Uel1 = K2 + Uel2 Então:
1 mv12 + 1 kx12 = 1 mv22 + 1 kx22 (Somente força elástica realiza trabalho)
2
2
2
2
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Exercícios
1) Um objeto com massa m = 0,200 Kg está em repouso sobre um
trilho de ar sem atrito, ligado a uma mola cuja constante é dada por
K = 5,0 N/m. Você puxa o objeto fazendo a mola se alongar 0,100 m
e a seguir o liberta sem velocidade inicial. O objeto começa a se
mover retornando para sua posição inicial (x = 0 m). Qual é o valor
da velocidade do objeto no ponto x = 0,080 m?
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2) Uma força de 800 N estica uma mola até uma distância de 0,200 m.
a) Qual é a energia potencial da mola quando ela está esticada a
0,200m ? b) Qual é a energia potencial da mola quando ela está
comprimida 5,0 cm?
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Movimento com Energia Potencial Elástica e
Trabalho Realizado por outras Forças

Analogamente ao que foi visto em outra ocasião, quando temos
uma outra força atuando em um sistema mecânico, além, da força
elástica, o trabalho realizado é chamado de Woutra e compõe a
expressão da seguinte forma:
K1 + Uel1 + Woutra = K2 + Uel2
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Exercícios
1) Utilizando as informações do exercício anterior, suponha que o
objeto esteja em repouso na posição inicial x = 0, quando a mola
ainda não está deformada. Aplicamos então sobre o objeto uma
força F constante no sentido +x com módulo igual a 0,610 N. Qual é
a velocidade do cavaleiro no ponto x = 0,100 m?
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Movimento com forças Gravitacional, Elástica e de Atrito

Em algumas situações como a que será estudada adiante,
poderemos ter Força Gravitacional, Força Elástica e Força de Atrito
atuando sobre o mesmo sistema mecânico. Como o princípio da
conservação da energia é sempre verdadeiro, utilizaremos o
mesmo para analisar a situação, onde:
K1 + U1 = K2 + U2
K1 + Ugrav1 + Uel1 = K2 + Ugrav2 + Uel2
K1 + Ugrav1 + Uel1 + Woutra = K2 + Ugrav2 + Uel2
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Exercício
1) Em um projeto com um cenário
para calcular o “pior caso”, um
elevador de 2000 kg com o
cabo quebrado cai a 4,0 m/s
sobre
a
mola
de
amortecimento no fundo do
poço. A mola é projetada para
fazer o elevador parar quando
ela sofre uma compressão de
2,0 m. Durante o movimento,
uma braçadeira de segurança
exerce sobre o elevador uma
força de atrito constante igual
a 17000 N. Como consultor do
projeto, você foi solicitado a
calcular a constante de mola
que deveria ser usada.
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Resolução
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