A FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA:
ELEMENTOS PARA UMA ANÁLISE
George Pimentel Fernandes
Das minhas ações desenvolvidas na Universidade Regional do Cariri-URCA, tem sido
marcante a atuação no processo de formação do professorado. Desde 1994, tenho tido a
oportunidade de refletir o ensino da matemática. Diante da heterogeneidade de experiências, um
aspecto tem sido comum: o meu empenho de oferecer o melhor serviço para a comunidade.
No Estado do Ceará tem sido notório a investida que acontece na capacitação de professores.
Em consonância com um projeto estadual a URCA tem desempenhado ações na região sul do Ceará
– Cariri – nos três níveis: Ensino-Pesquisa-Extensão. Nesses sete anos de dedicação, tenho tido a
oportunidade de atuar em todos os três níveis.
Sem dúvida, a análise sobre as mudanças educacionais no Estado do Ceará pode beneficiar a
compreensão daquilo que supostamente é denominado de mudanças. Mas, não é objetivo deste
trabalho analisar diretamente essas políticas. Todavia, temos ciência da impossibilidade de total
segregação deste tema. Daí a razão de voltar a minha atenção para a voz do professorado do ensino
público, colegas para quem tenho trabalhado. Aqui, o “corte no conhecimento” será feito a partir da
Educação Matemática.
Tenho observado que os cursos destinados a capacitar os professores da Educação Básica, tem
a perspectiva de melhorar a qualidade do ensino de matemática. Dois argumentos podem ser os
motivadores para a execução dos cursos: primeiro, os dados estatísticos das avaliações feitas pelo
MEC (SAEB), que revelam o baixo desempenho dos alunos na prova de matemática; segundo, a
tentativa de exterminar a fobia pela matemática. Acrescenta-se, ainda, dois aspectos que deveriam
ser inclusos no processo avaliativo: o envolvimento/compromisso do professor-formador no
processo de formação do professor-aluno e as soluções mirabolantes. Não raro, nestes cursos,
acontece num pragmatismo1 exacerbado, fazendo parecer que a leitura (a fundamentação teórica) é
coisa para dinossauro (obsoleta). As propostas de revolucionar o ensino de matemática, às vezes,
entram em contradição: de um lado, o desconhecimento do processo de produção do conhecimento
matemático, concebendo-o essencialmente como uma lógica formal e, do outro lado, uma
exagerada valorização do conhecimento que o educando apresenta. Assim, os professores
(professor-formador e professor-cursista) tornam-se presas (embora, insistentemente neguem
através do simples discurso) do sistema capitalista e, romaticamente passam a desenvolver um
sentimento de que estão “contribuindo para o progresso social”.
Os cursos destinados aos professores em serviço – a “(de)formação com diproma” – precisam
de uma análise do tipo: a quem e como interessa o curso? Qual é a relação quantitativa entre o valor
economicamente investido e a produção textual? O trabalho pedagógico – após a conclusão do
curso – tem extrapolado a cotidianidade? É óbvio que outras questões podem e devem ser
analisadas. Entretanto, aqui, essas questões tornam-se oportunas para um “despertar introdutório”,
ou seja, para que possibilite um questionamento do trato que é dado ao conhecimento matemático.
Em outras palavras, é inadmissível o isolamento social, onde a matemática é analisada “fora do
sistema solar”. Assim, no decorrer deste texto o leitor perceberá uma relevante pretensão de
contribuir para o debate, referente ao educador que lida com a matemática. Em termos específicos
os elementos, aqui apresentados, resultam da generalização daquilo que vem ocorrendo nos curso
de formação de professores: a preocupação com a realidade do aluno, a aprendizagem a partir do
uso de material concreto e a definição daquilo que deve ser ministrado. Esses aspectos ajudarão,
(in)diretamente, na análise dos problemas referentes à formação do professor.
1
Nesta mesma perspectiva é relativamente fácil encontrar publicações que constituem os “ receituários pedagógicos”:
mostram dezenas de atividades, do tipo, como arrochar o parafuso.
1. A DOR DO PARTO
No contato com os diferentes colegas do magistério, tenho tido a oportunidade de ouvir alguns
relatos que demonstram uma grande preocupação com a aprendizagem. Quase sempre esses colegas
buscam – nos mais distintos cursos – uma receita que indicará, definitivamente, como deve ser
tratado o conhecimento matemático. Na caracterização desta receita é indicado a REALIDADE do
educando e o contato com o recurso pedagógico (material concreto).
De onde vem o ardente desejo de receber um receituário? Na busca desta resposta é oportuno
evitar o empurra-empurra; pois, se assim for feito, o culpado termina sendo o espermatozóide que
um dia encontrou o óvulo. Na história da educação brasileira, a concepção metafísica exerce fortes
influências, permeando as várias tentativas de mudanças. Nestas tem prevalecido à transposição de
propostas/projetos prontos. No presente, resta a crítica aos gestores, com seus discursos
revolucionários que esbarram na árdua jornada de trabalho do professor ou no “salário atômico”.
Acrescento outra crítica aos critérios de escolha dos colegas que ministram os cursos para a
formação de professores. Neste momento, não tenho qualquer intenção de criticar a mudança de
referencial teórico2, mas sim, a ausência de uma definição político-filosófica.
Diante do acima exposto, retornemos a refletir a convivência com os mais distintos
professores que lidam com o conhecimento matemático. Certamente uma questão que daria “panos
para as mangas” seria a definição da propagada realidade do educando. Possivelmente a
problemática aumentaria se fosse feita qualquer indagação sobre o tipo de educando que a mesma
pressupõe formar. Este aspecto conceitual extrapola o âmbito da neutralidade epistemológica e
chega ao campo ideológico. Infelizmente a “boa vontade” dos projetos de exploração do homem,
pelo homem, tem conduzido a ações que nem sempre são compreendidas. Toda a explicação a
respeito do trato com a matemática tem sido conduzida para o campo da metodologia. Esta, calcada
na psicologia, aparece como a rainha das soluções pedagógicas. E a metodologia, propriamente dita,
com sinônimo de TÉCNICA DE ENSINO. Tudo isso aumenta a “dor do parto”! Em outras
palavras, a propagada expressão freireana LEITURA DO MUNDO tem sido substituída por
MÉTODO. E o “mundo” é definido pelo sensorial. Extrapolar essa diminuta visão é, supostamente,
trabalhar fora da realidade.
“A dificuldade de apreensão de qualquer dado da realidade humana não está em se pesquisar
um fato particular, mas na tentativa de explicá-lo apenas pelas relações internas a esse mesmo
universo particular. A dificuldade resulta do fato de, nessa análise, se abstrair o conjunto das
relações efetivamente constituidoras dos próprios elementos pesquisados e que, embora
possam manifestar-se no interior desse campo mais restrito, não têm nele a sua origem”
(KLEIN, 1996, p.49)
A abstração dos diversos aspectos que caracterizam um dado objeto de estudo tem resultado
em encaminhamentos que demonstram o desconhecimento das condições de trabalho do
professorado.
2. NA VIDA UMA MATEMÁTICA, NA ESCOLA OUTRA MATEMÁTICA?
Em cursos onde é considerado conhecimento matemático tem sido freqüente o uso de
“material concreto” para facilitar a aprendizagem dos educandos. A idéia central é representar, nas
aulas de aulas de matemática aquilo que é conhecido do educando. Permeia a idéia de um
conhecimento popular que promove o sucesso fora da escola, para quem trabalha nos logradouros:
na rua o “educando” é nota DEZ; entretanto, esse mesmo educando passa a ter nota ZERO quando
ingressa na escola. É de fato um tanto superficial – daí, a concepção de que a realidade implica
naquilo que é possível manipular – essa avaliação.
2
A pesquisa de FREITAS (1994) mostra a absorção de Vygotsky e Bakthin no Brasil. Nos diversos depoimentos tornase perceptível que, anteriormente os professores entrevistados fundamentavam os seus trabalhos em outros teóricos.
Um aspecto óbvio precisa ser considerado: a função social da escola. Segundo a professora
Betty Oliveira, a escola “(...) é o local por excelência para o desenvolvimento do processo de
transmissão-assimilação do conhecimento elaborado” (OLIVEIRA, 1992, p.92). Diante da
utilização do espaço escolar para outras finalidades a mesma professora acrescenta: “Luta-se pela
existência da escola, mas não se percebe que, ao não se concretizar a sua função precípua – a
democratização do saber escolar – se “desescolariza” os educandos dentro da própria escola”
(Id.p.93).
Hodiernamente fala-se em matemáticas (no plural). Assim, torna-se oportuno a questão: que
matemática deve ser transmitida-assimilada no ambiente escolar? No sentido de contrapor este
espaço, retornemos ao citado conhecimento popular, considerando a matemática que os
trabalhadores apresentam: carpinteiro, vendedor, pedreiro, agricultor, etc.
Ao definir o trabalho que um garoto desenvolve no logradouro, tento apresenta alguns
elementos que possibilite o diálogo sobre o que deve ser ensinado. Inicialmente é oportuna a
pergunta: o garoto que trabalha tem uma matemática? Existe uma relação entre a matemática e a
realidade? Ao estabelecer uma analogia entre os dois ambientes – a rua e a escola – torna-se
perceptível que as condições de exigências são distintas. Na escola, o conhecimento matemático é
exigido segundo uma ordem e as motivações servem para reforçar aquilo que já se encontra
“definido” no currículo escolar. Em contraposição,
“O local de trabalho – a rua – exige sempre, acertos nas operações. E as crianças estão
cônscias que errar significa perder dinheiro. Torna claro para ela o significado real do seu
erro; assim evita de todas as maneiras. Para isso passa a” manipular “os números
representados no dinheiro, nas quatro operações utilizadas. Sendo que a freqüência com que o
trabalho exige é diferente. Isso faz com que os resultados desejados, em determinadas
situações, sejam obtidos com certa facilidade” (FERNANDES, 1998, p. 174).
Do exposto acima destaco três aspectos que merecem uma reflexão nos cursos para
professores:
1o.() A QUESTÃO DO ERRO NA MATEMÁTICA.
Aquilo que é tido como conhecimento popular não admite o erro. Nas situações de trabalho,
onde o trabalhador tem que recorrer a qualquer aspecto da matemática, o erro gera conseqüências.
Assim, para uma criança que vende picolé e que utiliza algumas operações aritméticas, o erro
significa prejuízo, deixar de almoçar, ser espancado, etc. Aqui a criatividade é condição sine qua
non para a sobrevivência. Certamente essa situação diferente, daquela que acontece no espaço
escolar, onde o erro é tratado como parte do processo de aprendizagem.
2O.)”MANIPULAR” OS NÚMEROS.
A transposição de informações oriundas dos logradouros para a sala de aula, tem influenciado
a produção de “recursos pedagógicos” (material concreto), gerando a concepção de que existe uma
estreita relação entre o contato com um dado objeto e a aprendizagem. Todavia,
“A ênfase na manipulação, na verdade, trai a crença de que a criança” “pensa pelas mãos”, ou
seja, é incapaz de pensar sem estar posta fisicamente diante do objeto estudado. É evidente
que o uso de material e recursos diversos, para que o aluno entenda o que o professor está
dizendo, é perfeitamente desejável. Priorizar, no entanto, os artifícios de estratégias de ensino,
em detrimento do conteúdo, é de fato lamentável. E, efetivamente, não há como não
empobrecer o conteúdo, destinando-se tanto tempo a tais experiências” (KLEIN, 1996, p.
74,5).
Não se trata aqui de criticar o uso dos “recursos .pedagógicos”. É oportuno considerar a
especificidade dos assuntos e definir, qualquer recurso, segundo o fim proposto. Considere o
assunto, as operações com radicais de índices iguais/diferentes. É possível que seja consensual, que
o referido assunto deve ser tratado na Educação Básica; mas, como apresentar o referido assunto,
considerando a realidade do aluno e o contato físico com o recurso pedagógico adotado?
Oportunamente, pode surgir um recurso que atenda aos dois critérios previamente estabelecidos,
mas, não constitui uma garantia de que ocorrerá a aprendizagem, visto que, “(...) o objeto de
conhecimento não existe fora de relações humanas”(Id. p.94). Isso significa que a simples
manipulação do objeto é insuficiente para substituir a relação sujeito-sujeito. O uso de um dado
recurso pedagógico – o objeto – caracteriza apenas a relação do tipo sujeito-objeto.
O contato material que acontece nos logradouro é extremamente limitado e caracteriza-se
como uma relação do tipo sujeito-objeto, onde é imposta segundo o interesse do homem. Assim, se
em determinado momento é atribuído outra função para um objeto, então, ocorre uma nova
caracterização deste objeto. Essa situação pode ser exemplificada com a brincadeira do cavalo de
cabo de vassoura. A função inicial é varrer; para nova função é imposta – dento das condições
materiais possíveis – a materialização de um animal.
Quando o objeto decorre da relação sujeito-sujeito, o mesmo passa a ser usado segundo o
interesse da própria relação. É a compreensão conceitual o grande fim da utilização de um recurso
qualquer. Conseqüentemente, esse objeto assume um irrelevante papel, no processo de
aprendizagem, diante do ato de internalização conceitual.
3O.)A EXIGÊNCIA DA MATEMÁTICA.
A produção do conhecimento é decorrente da própria relação que o homem mantém com as
mais distintas condições humana/materiais. Obviamente que são as condições que o homem
mantém, em determinado momento histórico que propicia a elaboração de novas idéias. Estas não
precisam de um ambiente especializado, como um laboratório, para nascerem. Mas, certamente
requerem a percepção e o estabelecimento de interligações daquilo que existe, para que o homem
possa explicar ou extrapolar a própria existência. Isso significa que o trato com o conhecimento já
produzido é indispensável.
Uma condição que certamente influencia a produção do conhecimento matemática é a
necessidade de atender as exigências do próprio conhecimento. Isso é perceptível em uma análise
histórica do conhecimento onde se percebe que a matemática trabalhada na escola é fruto de uma
série de erros-e-acertos. O que é produzido em determinado momento é satisfatório
momentaneamente. A produção do conhecimento é constante, ou seja, uma vez resolvido
determinado problema, surgem outros...
No percurso histórico da matemática é possível identificar “matemáticos” desenvolveram suas
idéias sem qualquer preocupação com a praticidade – aqui faço referência a cotidianidade. Será que
isso define uma produção introspectiva? Toda a produção/aprendizagem tem um momento que
permeia a mente daquele que busca o atendimento de uma dada necessidade. Mas, isso não elimina
outros contatos, por exemplo, com os livros.
Acima considerei a exigência da matemática segundo a necessidade do próprio conhecimento.
Trata-se de uma exigência epistemológica. Outra exigência, pode ser decorrente do próprio
trabalho, como atividade mantenedora do homem. Neste caso, a exigência da matemática acontece
no campo do empirismo, ou seja, uma matemática que visa ao atendimento das necessidades
imediatas. Neste tipo de exigência não existe motivo para qualquer análise do conhecimento.
Assim, o processo de transmissão não exige recursos e espaço adequado, simplesmente o mais
velho/experiente transmite para um novato. Com um certo tempo, este passa a repetir; mas, sem
qualquer perspectiva de ocorrer novas produções do conhecimento decorrente do assunto inicial.
Até por que, o conhecimento inicial atende as necessidades. Seria essa uma nova matemática?
Considere a situação de uma pessoa que vigia carros nas vias públicas. Que tipo de
conhecimento matemático é exigido? Aqui, um pesquisador com uma boa capacidade imaginativa,
poderia estabelecer uma série de analogia: a aplicação do conceito de limite no deslocamento dos
carros, o cálculo de área, a relação biunívoca entre o material de limpeza e o número de carros, etc.
Mas, esses conhecimentos não constituem a condição vital para o vigiar se manter neste tipo de
trabalho. Então, que matemática é indispensável para o exercício deste tipo de trabalho? Algumas
‘CONTAS’ no momento de uma compra ou quando tiver que passar um troco. “Na verdade, trata-se
de uma reprodução do conhecimento já obtido pela humanidade. Não há aí a geração de algo, a
penas a reprodução sob diferentes matizes, daquilo que o gênero humano verdadeiramente já
produziu” (GIARDENETTO, 1999, p. 112).
Esse conhecimento é determinado pela “lógica prático-utilitária”: “as respostas que o
indivíduo foi obrigado a dar para aquelas atividades não “vieram de dentro” como parece mas são
aquelas que ele obrigatoriamente terá que dar, custe o que custar, sem o que não permanecerá no
trabalho” (Id. p. 65). Repito: é possível falar em uma matemática para o caso do vigia de carros? O
conhecimento matemático exigido neste tipo de trabalho reflete aquilo que foi, historicamente,
produzido pelo homem, o sistema decimal. Assim, a mudança dialetal3 não assegura a existência de
“outro sistema decimal”. Outro aspecto que serve para uma análise refere-se ao número reduzido de
algoritmos, tornando-os gradativamente em ações mecânicas.
A busca de uma teorização que fundamente a práxis do professor de matemática deve incluir,
entre outros aspectos, os três acima citados. No caso do ERRO é oportuno analisa-lo como uma
diferenciação que ocorre entre a “matemática escolar” e a “matemática popular”. Considere, por
exemplo o cálculo de uma área representada por um quadrilátero, onde os quatro lados têm medidas
desiguais. Para um agricultor o processo de obtenção da área é distinto daquele usado por um
matemático. Ambos, obtêm com “exatidão”; entretanto, pode existir diferença no produto.
Imediatamente vem a mente a idéia de erro. É preciso que fique definido o meu fim. Se
momentaneamente interessa a exatidão, necessariamente, é oportuno a obtenção do cálculo feito
pelo matemático. Neste caso trata-se de uma definição por um conhecimento elaborado/analisado
ao longo da história secular e que, teve uma continuidade a ponto de chegar ao momento atual. É
importante excluir o romantismo que não possibilita que o educando extrapole a cotidianidade. A
validação daquilo que é exclusivo ao agricultor depende essencial daquele meio. Por essa razão,
torna-se indispensável, considerar na escola aquele conhecimento historicamente produzido. O que
não impede que seja estabelecida uma analogia entre aquilo que é peculiar de uma dada região e o
conhecimento historicamente produzido.
2. UM CONVITE PARA A REFLEXÃO
Com a finalidade de apresentar algumas considerações que proporcionem uma reflexão sobre
a EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, apresento algumas questões; entretanto, antecipo com um rápido
relato histórico sobre o estudo do limite. Trata-se de um assunto imprescindível em um curso de
graduação em matemática.
Com uma certa freqüência a preocupação dos professores-formadores com a REALIDADE
DO ALUNO e o uso de MATERIAL CONCRETO limita-se ao Ensino Fundamental. Será que os
demais educandos não são merecedores destas inovações no ensino da matemática? Com a
finalidade de contribuir para essa questão é que apresento um assunto que extrapola o âmbito da
Educação Básica:
Elementos Históricos do Limite (BOYER, EVES):
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Ao analisar a linguagem científica e a cotidiana, MORTIMER, define para a primeira “uma reflexão consciente no seu
uso, e aproxima-se muito mais da linguagem escrita”. No uso do segundo tipo de linguagem ”As pessoas não têm
necessidade de estarem refletindo a todo o momento sobre o que vão dizer (1998, p.103).
Para o discípulo de Platão, Eudoxo de Cnido (408-355?a.C.) um problema servia de estímulo
para a produção: a comparação de configurações curvas e retilíneas. A busca de soluções resultou
no método de exaustão (correspondente grego para o que hoje é denominado de cálculo integral).
Arquimedes (287-212 a.C.) ao mostrar a diferença entre os volumes das figuras circunscritas
e inscrita torna nítida a diferença entre a sua produção e o hodierno conhecimento sobre cálculo
integra. Isso foi decorrente do total desconhecimento do conceito de limite de função.
No século XVII, Pierre de Fermat escreve o “Método para achar máximos e mínimos”
(1629), semelhante ao que é usado atualmente no Cálculo. Entretanto, ainda faltava um conceito, o
de LIMITE. No mesmo século, Isaac Newton apresenta uma concepção de limite de uma função, em
sua obra “Philosophiae naturalis princiia mathematica”(1687).
Outro conceito, foi proposto por Joan Lê Rond d’Alembert (século XVIII). Este, como não foi
apresentado em uma linguagem que possibilitasse uma continuidade, “caiu em desuso”. No mesmo
período surge a “função derivada” de Joseph Louis Lagrange que constitui uma tentativa de
eliminar a necessidade de limites. Isso aconteceu por não ser dado o devido valor a questão da
convergência e da divergência.
Na década de 20 do século XIX, o professor da École Polytechnique, Augustin-Louis Cauchy
trabalha com o conceito proposto por d’Alembert, apresentando uma concepção que resguarda
com precisão o conceito de limite. No mesmo século o alemão Karl Weierstrass atribui uma nova
linguagem para esse conceito. E este chega aos livros que são adotados nos cursos de graduação.
A criação do cálculo por Newton e Leibniz, final do século XVII, gerou sucessores que deram
continuidade. Aqui, destacamos àqueles que negligenciaram nas suas investidas e chegaram a
justificar suas demonstrações a partir dos resultados. Posteriormente, Cauchy apresentou o método
dos limites, pondo fim a uma situação forjada. Por fim, Weierstrass (e colaboradores)
consolidaram o cálculo com a aritmetização da análise.
Diante do histórico exposto torna-se oportuno uma parada para um pensar:
1o) que relação existe entre a realidade e o estudo do limite?
2o) Para que serve um conhecimento que, supostamente, não tem como ser aplicado? Para que
serve um conhecimento se, ao olhos do aluno, ele não guarda quaisquer relação com sua realidade
concreta?
3o)a matemática, a ser difundida na instituição educacional, deve ter um vinculo com o
conhecimento popular ou com o conhecimento dos compêndios de matemática?
3. CONSIDERAÇÕES FINAIS
O processo de formação do professor no Ceará não difere muito do que vem ocorrendo em
outros estados. O grande desafio é lutar por melhores condições de trabalho; isso certamente
envolve um horário definido de estudo e a participação do professorado em curso que façam uma
análise crítica da política educacional.
O trato com o conhecimento matemático, nos mais distintos cursos, tem se caracterizado pela
ausência de uma análise que considere as condições de trabalho. Considerar a realidade do aluno,
nas aulas de matemática, não significa apenas usar “material concreto”. É oportuno que as aulas
extrapolem a cotidianidade. Para isso pode ser feita uma analogia com uma dada situação vinculada
ao mundo do trabalho. Mas, nunca a aula de matemática deve limitar-se ao conhecimento do
vendedor, agricultor, etc.
BIBLIOGRAFIA
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EVES, H. introdução à História da Matemática. Campinas, SP : Editora da UNICAMP, 1997.
FERNANDES, G. P. A relação entre o trabalho infantil e a aprendizagem das quatro operações
matemmática. In: Encontro de Pesquisa Educacional do Nordeste: Educação Matemática, Natal,
17 a 20 de junho de 1997; John A. Fossa (org.). – Natal : EDUFRN, 1998.
GIARDINETTO, J.R.B. Matemática escolar e matemática da vida cotidiana. Campinas, SP :
Autores Associados, 1999.
KLEIN, L. R. Alfabetização: quem tem medo de ensinar? São Paulo : Cortez, 1996.
OLIVEIRA, B.A. (Org.) Socialização do saber escolar. São Paulo : Cortez, 1992.