Gabarito de
Matemática
do 8º ano do E.F.
Lista de Exercícios (L17)
a
Queridos alunos, nesta lista vamos resolver equações fracionárias (aquelas que
possuem incógnita nos denominadores) e mais algumas situações-problema através de
equações, veja os exemplos:
Exemplo 1:
Exemplo 2: O dobro da quantia que Marcos possui e mais R$ 15,00 dá para comprar
exatamente um objeto que custa R$ 60,00. Quanto Marcos possui?
A) R$ 20,00
B) R$ 20,50
C) R$ 22,00
D) R$ 22,50
Vamos começar por representar a incógnita do problema por uma letra (você escolhe!).
A incógnita do problema é a quantia que Marcos possui (o que o problema quer saber).
Incógnita: quantia que Marcos possui: q
Repare que estamos lidando com uma quantia de dinheiro, então “q” só poderá assumir
valores, neste caso, inteiro ou decimal mas não negativo, ok?
Dobro da quantia que Marcos possui: 2.q ou 2q.
Veja que Marcos possui uma quantia q, então o dobro de q é 2q.
Equação: 2q + 15 = 60.
O problema diz: o dobro da quantia que Marcos possui (2q) mais quinze reais (+15) dá
para comprar exatamente um objeto que custa sessenta reais (= 60), isto é, se “dá para
comprar exatamente” (exatamente!) quer dizer então que é igual (=).
Resolução:
2q + 15 = 60 <=> 2q = 60 – 15 <=> 2q = 45 <=> q = 45/2 <=> q = 22,50 reais.
Verificando se a solução (valor de q) satisfaz as condições do problema:
22,50 é decimal, positivo (ok!). O dobro de 22,50 é 45,00 e 45,00 mais 15 é exatamente igual
a 60.
Portanto, Marcos possui R$ 22,50.
Exemplo 3: (CESGRANRIO) José viaja 350 quilômetros para ir de carro de sua casa à
cidade onde moram seus pais. Numa dessas viagens, após alguns quilômetros, ele parou
para um cafezinho. A seguir, percorreu o triplo da quantidade de quilômetros que havia
percorrido antes de parar. Quantos quilômetros ele percorreu após o café?
A) 87,5
B) 125,6
C) 262,5
D) 267,5
E) 272,0
Este é um tipo de problema que devemos pensar “de trás para frente” para
determinarmos sua incógnita. Observe o seguinte trecho do enunciado:
“percorreu o triplo da quantidade de quilômetros que havia percorrido antes de parar…”
Vamos supor que José, antes de parar, tenha percorrido uma distância d. Então, o
triplo de d é 3d, ok?
Desse modo, acabamos de representar a incógnita do problema por d.
Incógnita: quantidade percorrida antes de parar: d.
Triplo da quantidade percorrida: 3d.
Equação: De acordo com o problema, José percorre um quantidade d antes de parar e
depois percorre o triplo dessa quantidade, isto é, 3d. Então, o total percorrido por José é de
(d + 3d).
Mas, o problema diz ainda que o total percorrido (quantidade) até a casa dos pais é de
350 km.
Portanto, concluímos que as quantidades devem ser iguais.
d + 3d = 350.
Resolução:
d + 3d = 350 <=> 4d = 350 <=> d = 350/4 <=> d = 87,5 km (atenção, essa não é a resposta
final, viu?).
Após o café, José percorreu o triplo de d, ou seja, 3 x 87,5 = 262,5 km.
Essa solução satisfaz as condições do problema. Não é um número negativo. Somando o
que José percorreu antes do café com o percorrido depois, temos 350 km. (verifique!)
1. Resolva as equações fracionárias abaixo, escrevendo as restrições da incógnita:
a)
x=3
C.E. x  0
d)
4x
2
3s  2
x=2
x=2
C.E. x  0
f)
2
1
5
1
 

x3 4 x3 3
1
2
C.E. x  0
h)
8
2
3
1

x=
C.E. x  1 e x 
11
3
x  1 3x  1
j)
x4 x3
11

x=
C.E. x  5 e x  1
13
x  5 x 1
l)
5x  1 5x  1

x2
x2
n)
x 1 x 1

x2 x2
p)
x  5 x 1

x2 x4
x=-
1 3
4 1
 

2 x 4 3x 3
g)
1 2
3
  2
x x 2x
i)
x2 1

x
2
k)
3x  1 2

2x
5
2
6
x
o) 2 -
x=
x=
x=
5 2

x 3
5
11
1
3
C.E. x  0
C.E. x  0
15
4
x=
7 1 5 1
  
x 4 x 2
3
4
C.E. x  0
x=4
1
1 1


s)
6x 4x 3
u)
12
4

x
x2
2
1

x 2x
e)
q)
b)
x = -3
c) 2 
m)
C.E. x  0
4 1 17
 
5 x 15
C.E. x  0
C.E. x  0
x=8
1
x=
4
x 1 3  x 1


x
2x
2
x=
C.E. x  0
1
2
x 1 x  2

x 1 x  2
7 1 4 1
t)   
x 3 x 4
r)
v)
C.E. x  0
C.E. x  0 e x  2
C.E. x 
2
3
x = 39 C.E. x  3
x = 0 C.E. x  2 e -2
x = 0 C.E. x  2 e -2
x=-
11
C.E. x  2 e -4
5
x = -1 C.E. x  1 e -2
x = 36 C.E. x  0
2
1
3
1
 

x = -5 C.E. x  -1
x 1 4 x 1 2
2. Copie e resolva os seguintes problemas:
a) Em uma caixa há bolas brancas e vermelhas, num total de 360 bolas. Se o número de
bolas brancas é quatro vezes maior que o de bolas vermelhas, qual o número de bolas
brancas?
x  4 x  360
São 288 bolas brancas.
b) O perímetro de um triângulo é 88 cm. Um lado mede o dobro da base, e o outro lado é
igual à base mais 4 cm. Determine a medida de cada lado.
x  2 x  x  4  88
Os lados do triângulo são 21 cm, 42 cm e 25 cm.
c) Divida R$ 10.000,00 entre duas pessoas de modo que a parte da primeira seja
2
da parte
3
da segunda.
x
2x
 10.000
3
Elas receberão R$ 6.000,00 e R$ 4.000,00.
d) As medidas das dimensões de um terreno retangular são 2x + 7 e x (em metros). Para
cercá-lo com quatro voltas de arame farpado, foram gastos 536 metros desse material.
Quais são as dimensões desse terreno?
4(2 x  7  x  2 x  7  x)  536
As dimensões do terreno são 20 m e 47 m.
e) A diferença entre um número e sua quinta parte é 45. Qual é esse número?
x
x
= 45
5
O número é
225
ou 56,25.
4
f) De um tonel de vinho, retira-se
1
do volume que ele continha; em seguida retiram-se 21
5
litros e o tonel fica pela metade. Qual a capacidade do tonel?
x
x
 21 
5
2
A capacidade do tonel é de 70 litros.
g) A mãe de Maria e de Mário comprou um saco de balas para eles. Mário separou
balas deste pacote e, em seguida, Maria tirou
2
das
5
3
das que restaram. Finalmente, juntos
4
comeram as 15 balas restantes. Quantas balas havia no saco?
2x 9x

 15  x
5 20
Haviam no saco 100 balas.
h) Numa lanchonete a despesa de R$ 48,00 foi dividida entre três pessoas da seguinte
forma: o Rui pagou (3x +1) reais, o Felipe pagou (2x + 2) reais e o João 4x reais. Quantos
reais coube a cada uma dessas três pessoas?
(3x  1)  (2 x  2)  4 x  48
Rui pagou R$ 16,00, Felipe pagou R$ 12,00 e João R$ 20,00.
i) Um comerciante tem um ponto em uma região no centro da cidade por onde passam
5.000 pessoas por dia. A tabela a seguir mostra o número de pessoas que passam por esse
ponto nos três períodos do dia:
10 x  2600  x  200  5000
Período
manhã
tarde
noite
Número de pessoas
10x
2600
x + 200
Quantas pessoas passam por esse ponto no período da:
a) manhã? 2000 pessoas
b) noite? 400 pessoas