CORPOS RÍGIDOS:
As forças que actuam
num corpo rígido podem
ser divididas em dois
grupos:
1. Forças externas
(que representam as acções
externas sobre o corpo rígido)
2. Forças internas
(que representam as forças
que mantêm as partículas que
forma o corpo rígido)
F
F’
De acordo com o principio da transmissibilidade, o efeito
de uma força externa num corpo rigido não se altera, se a
força for movida ao longo da sua linha de acção.
Duas forças actuando num corpo rígido em dois pontos
diferentes, têm o mesmo efeito sobre o corpo rígido se
tiverem a mesma intensidade, a mesma direcção e a
mesma linha de acção.
Estas forças dizem-se forças equivalentes.
Conceito de
Momento de uma força
em torno de um ponto O
Mo
O momento da força F
em torno do ponto O é
definido como o produto
externo vectorial
MO = r x F
F
O
r
θ
A
d
sendo r é o vector posição
desenhado do ponto O
ao ponto de aplicação
da força F. O ângulo
entre as linhas de acção
de r e F é o ângulo θ.
O valor do momento de F em torno de O pode ser dado por
MO = r F sen θ = F d
onde d é a distância medida na perpendicular de O até à
linha de acção da força F.
Regra da mão direita:
Momento Resultante:
Sentido da rotação
Convenção de sinais do Momento de uma Força
Binário:
Duas forças F e -F com a mesma intensidade, linhas de
acção paralelas e sentidos opostos formam um binário.
O momento de um binário é independente do ponto em
torno do qual é calculado; é sempre um vector M
perpendicular ao plano das duas forças e com uma
intensidade igual a: M = F d .
Dois binários que tenham o
mesmo valor M dizem-se
equivalentes (uma vez que têm o
mesmo efeito sobre o corpo
rígido):
Um binário representado pelo vector M pode ser
decomposto vectorialmente.
Qualquer força F actuante num ponto A de um corpo rígido
pode ser substituída por um sistema Força e Momento
num ponto arbitrário O, que consiste numa força F aplicada
em O e um momento MO que é igual ao momento da força
F em torno da sua posição original - ponto O.
O vector força F e o vector momento MO são sempre
perpendiculares um ao outro.
F3
F1
A3
M1
r1 A1
r3 r
2 A
2
O
F2
F3
F1
O
M3
R
M2
O
F2
R
MO
Qualquer sistema de forças pode ser reduzido a um
sistema Força e Momento num dado ponto O.
Em geral, a força resultante R e o vector momento MO
não serão perpendiculares entre si.
F3
F1
R
A3
r1 A1
r2 A
2
O
r3
F2
O
R
MO
Dois sistemas de forças, F1, F2, F3 . . . , e F’1, F’2, F’3 . . . ,
são equivalentes se e só se
Σ F = Σ F’
e
Σ Mo = Σ Mo’
Exemplo:
Determinar os momentos em torno do ponto O para as forças
representadas nos seguintes casos:
Exemplo:
Uma força de F = 90 N é aplicada na barra AB.
Sabendo que o comprimento da barra é L = 225 mm,
determinar o momento da força em torno de B.
EQUILIBRIO DE CORPOS RÍGIDOS
Para o equilibrio de corpos rígidos, temos
ΣF=0
Σ MO = 0
Para o caso tridimensional, as condições necessárias e
suficientes para o equilibrio podem ser expressas pelas seis
equações escalares:
ΣFx = 0
ΣMx = 0
ΣFy = 0
ΣMy = 0
ΣFz = 0
ΣMz = 0
Estas equações podem ser usadas para determinar forças
desconhecidas aplicadas ao corpo rígido ou as reacções
exercidas nos suportes, por exemplo.
Tipo de apoio
Reacções
deslizante com pino
Pino
superfície lisa
superfície rugosa
Encastramento
Tipo de apoio/ligação
ligação a um cabo
corrediça sem atrito
Reacções
ligação a uma barra
idem
força com direcção
conhecida
força com linha de
acção conhecida
Nota:
• Considere-se o corpo rígido AB sujeito a
duas forças F1 e F2
• Para o equilibrio estático, o somatório de
momentos em torno de A tem de ser nulo.
Logo, o momento de F2 tem de ser zero.
Resulta que a linha de acção da força F2
tem necessariamente de passar por A.
• Similarmente, a linha de acção de F1 tem
de passar por B para que o somatório de
momentos em torno de B seja zero.
Exemplo 1:
Massa da grua: 1000 Kg
Diagrama de
corpo livre:
• Calcular a reacção em B resolvendo a
equação do equilibrio dos momentos de
todas as forças em torno de A:
∑ M A = 0 : + B(1.5m ) − 9.81 kN(2m )
− 23.5 kN(6m ) = 0
B = +107.1 kN
• Calcular as reacções em A
(segundo x e y) resolvendo as equações
de equilibrio das forças horizontais e
verticais:
∑ Fx = 0 : Ax + B = 0
Ax = −107.1 kN
∑ Fy = 0 : Ay − 9.81 kN − 23.5 kN = 0
Ay = +33.3 kN
Exemplo 2:
A estrutura da figura suporta parte de um
telhado de um pequeno edificio.
A força de tracção no cabo DF é 150 kN.
E x = −90.0 kN
Calcular a reacção no suporte fixo E
(encastramento).
E y = +200 kN
M E = 180.0 kN ⋅ m
Exemplo 3:
Considere a grua móvel representada na figura. A grua está a levantar uma
carga W=25 kN. O peso próprio do braço da grua ABC, 3 kN, e o peso
combinado do condutor e do tractor, 50 kN, estão representados na figura,
aplicados nos respectivos centros de massa.
Determinar as reacções nas rodas da frente e nas rodas de trás.
Exemplo 4:
Dois caixotes, cada um com uma massa de 350 Kg, estão
colocados sobre a caixa de uma carrinha pick-up que tem uma
massa de 1400 Kg. Determinar as reacções no eixo traseiro A e
no eixo dianteiro B.
A) 12119.3 N , B) 8460.7 N
Exemplo 5:
O sistema representado na figura consiste numa viga horizontal ABC, cujo peso é
W=5.4 kN, e uma viga vertical DBE. As duas vigas estão soldadas uma à outra em
B. O sistema é usado para levantar um caixote que pesa 16.2 kN.
O cabo ADCF é montado com uma pré-tensão por forma a que a força de tracção é
de 20 kN. Determinar as forças e o momento de reacção no encastramento E, para
as duas posições extremas da carga com x = 0.5 m e x = 7 m.
Exemplo 6:
Exemplo 7:
Exemplo 8:
Exemplo 9:
CG
1100
1800
1100
Considere o automóvel desportivo representado na figura. O automóvel está destravado e é
mantido na posição indicada através do cabo AB. Não considere quaisquer efeitos de atrito no
solo, uma vez que os travões não estão actuados.
Ocentro de gravidade do automóvel está localizado exactamente a meio da distância entre-eixos,
a uma altura de 500 mm do solo. O olhal A está a cerca de 250 mm do solo.
Calcule as reacções nos eixos e a força de tracção no cabo AB.
Exemplo 10:
Exemplo 10:
Para a estrutura
recticulada,
representada na figura,
calcular as reacções
nos apoios A e B.
Diagrama de corpo livre:
Ax=-3.33kN, Ay=2 kN, By=3.33 kN
Exemplo 10:
Para a estrutura recticulada, representada na figura, conhecidas as
reacções nos apoios A e B, calcular as forças nas seguintes barras:
1) AC e AB, efectuando o equilibrio estático do nó A (0; 3.89 kN)
2) CD e BD, efectuando o equilibrio estático do nó D.