BALANÇO GLOBAL DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO – EQUAÇÃO DE
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Em muitos problemas da engenharia, é necessário determinar as forças que agem em
estruturas sólidas, fixas ou em movimento, devidas a fluidos que se movem em contato com
elas. A equação que permitirá essa análise chama-se equação da quantidade de movimento.
Essa equação nada mais é que a segunda Lei de Newton da dinâmica modificada
funcionalmente para o estudo da Mecânica dos Fluidos. Segundo essa lei, a aceleração de uma
certa massa implica a existência de uma força resultante sobre ela que tem, em cada instante, a
direção e o sentido da aceleração. Acelerar uma massa significa modificar sua velocidade em
módulo e/ou direção, e para que a velocidade de um fluido seja modificada em módulo ou
direção, será necessário aplicar uma força provocada por algum agente externo, em geral uma
superfície sólida em contato com o escoamento.



d mv 
F  ma  m
dt
Para um volume de controle no espaço definido, temos:
Vamos fazer um balanço de quantidade de movimento para este volume de controle:
Portanto:

Sai - Entra  Acúmulo   Forças
QM sai  QM entra  QM acúmulo  QM gerado

A força resultante, F , inclui todas as forças de campo e de superfície atuado sobre o
sistema.
Sabe-se que o que sai menos o que entra é o fluxo líquido de Quantidade de
Movimento (QM) sobre a fronteira do volume de controle que é dada por:

 u u cos  dA  fluxo líquido de QM
A

d
udV  acúmulo de QM

dt V
Assim temos:



d


u

u
cos

dA

u

dV

F

A
dt 
V
Para a variação da QM na direção x, podemos escrever:
 u x u cos  dA 
A

d
u

dV

Fx

x
dt 
V
Onde:
Fx = é a força necessária para manter o volume de controle fixo no espaço.





Fx  Fxg  Fxp  Fxd  R x
onde,

Fxg = força causada pela gravidade agindo sobre o volume de controle na direção x.

Fxg  0 quando se estiver na horizontal

Fxp = força de pressão

Fxd = força de cisalhamento (resistência devido ao atrito com a superfície sólida)

R x = representa a componente da resultante das forças que agem sobre o volume de controle.
Vamos aplicar a equação acima para uma seção da canalização.
Desejamos desenvolver uma formulação matemática da segunda lei de Newton
adequada para um volume de controle. É importante para a análise de forças envolvidas em
sistemas constituídos por fluidos.
Consideraremos a massa fluida em escoamento permanente no interior de um tubo,
conforme figura abaixo.
No instante inicial t0, o volume de fluido (compreendido entre as seções B e C) será:
V=V1+V3
(1)
e no instante t0+dt, o volume será compreendido entre as seções B´ e C´, isto é:
V=V3+V2
Por outro lado, sejam:

M 3 = quantidade de movimento em V3 no instante t 0+dt;

M 2 = quantidade de movimento em V2 no instante t 0+dt;

M 01 = quantidade de movimento em V1 no instante t 0;

M 03 = quantidade de movimento em V3 no instante t 0;
(2)
Então a variação da quantidade de movimento pode ser representada por:




 

d M   M 3  M 2    M 01  M 03 

 

(3)
que também pode ser escrita sob outra forma, agrupando, através de parênteses, as diferenças
entre quantidades de movimento:




 

d M   M 2  M 01    M 3  M 03 

 

(4)
A última parcela (entre parênteses) refere-se a variação da quantidade de movimento
no interior do volume V3 . Acontece, porém, que em V3 , todos os pontos conservam suas
respectivas posições.
Além disso, o escoamento é permanente; logo, as grandezas não
dependem do tempo, o que implica em:


M 3  M 03  0
(5)
donde,



d M  M 2  M 01
(6)
Seja m a massa correspondente ao volume V2, na saída do tubo (ver figura),

deslocando-se com a velocidade média U 2 na saída A2 . Então, a respectiva quantidade de
movimento é:


M2  m U2

(7)

M 2  V2 U 2
(8)
Pela figura, o volume V2 é :
V2  A 2  dL 2
(9)
donde,


M 2  A 2  dL 2  U 2
(10)

Pelo conceito de velocidade média, temos o módulo do vetor U 2 :
U2 
dL 2
dt
dL 2  U 2 dt

(11)
donde,



M 2   A 2  U 2 dt  U 2


(12)
Analogamente, para a referida massa m correspondente ao volume V1 , na entrada do

tubo, deslocando-se com velocidade média U1 , temos:



M 01   A1  U1 dt  U1


(13)
Substituindo-se (12) e (13) em (6), resulta:


dM
 
 
  A 2 U 2  U 2   A1 U1  U1 
dt


 

(14)
Para um sistema movendo-se em relação a um sistema inercial de referência, a
Segunda Lei de Newton afirma que a soma de todas as forças externas atuando sobre o
sistema é igual a taxa de variação com o tempo da sua quantidade de movimento.


dM
 F  dt
(15)
SISTEMA

onde : M representa a quantidade de movimento.
Donde resulta na seguinte expressão para a quantidade total de movimento na massa
fluida:

 
 
F


A
U
U

A
U
2



  2 2   1 1  U1 



(16)
Já vimos anteriormente que a equação da continuidade para o escoamento permanente
pode ser escrita como:
Q  A1U1  A 2 U 2
(17)
donde resulta,
 F  QU


 U1 

(18)
  
F

w

 U 2  U1 
(19)


2

onde Q representa a vazão volumétrica e w representa a vazão mássica.
Esta é a equação da conservação da quantidade de movimento para os fluidos ideais,
em escoamento permanente.
Para variações de quantidade de movimento na direção x, podemos escrever:



F x  w  U 2 x  U 1x 



(20)

onde, Fx representa a força necessária para manter o volume de controle fixo no espaço,
sendo definido como:





Fx  Fxg  Fxp  Fxd  R x
(21)
A partir da equação (19) vamos determinar as expressões da reação ao empuxo nas
curvas de tubulações, situado no plano XOY, conforme figura abaixo:
Conforme figura, podemos escrever a Equação (19) da seguinte forma:


F x  w U 2 cos a 2  U1 cos a 1 


(22)


F x  w  U 2 cos a 2  U1 


(23)

cos 0 = 1

Os esforços atuantes na curva, representados de modo esquemático na figura acima, são os
seguintes, em módulo:
a) esforço da pressão unitária P1 na área A1 :
F1  P1A1
(24)
b) esforço da pressão unitária P2 na área A2 :
F2  P2 A 2
c) peso W do fluido entre as seções A1 e A2.
d) Componente horizontal R x da reação ao deslocamento do fluido na curva da tubulação.
e) Componente horizontal Ry da reação ao deslocamento do fluido na curva da tubulação.
O somatório destes esforços é igual a resultante das forças de massa, donde:
(25)

F  F  F
1
2
 W  Rx  Ry
(26)
Projetando esta sobre OX e observando o sinal negativo para os esforços que tem sentido
oposto ao do referido eixo, obtemos:

F
x
 2  R
 F1  cos  0  F2  cos a 2   W  cos 
x
 2
 cos  0  R y  cos 
(27)
Resulta,
F x  F1  F2  cos a 2   R x
(28)
Que substituindo em (23) fornece:


F1  F2  cos a 2   R x  w U 2 cos a 2  U1 


(29)


R x  P1A1  P2 A 2  cos a 2   w U 2 cos a 2  U1 


(30)
ou,
que é a expressão que representa a componente HORIZONTAL da reação ao empuxo em
curvas de tubulação.
Agora projetemos sobre o eixo OY, observando o sinal negativo para os esforços que
tem sentido oposto ao do mencionado, obtemos:
 2  F  sen a   W  cos0  R

F y  F1  cos 
2
2
x
 2  R
 cos 
y
 cos 0
(31)

F y  F2  sen a 2   W  R y
(31)

F y  w U 2 sen a 2
(32)
w U 2 sen a 2  F2  sen a 2   W  R y
(33)


R y  W   w U 2  F2   sen a 2 


(34)


R y  W   w U 2  P2 A 2   sen a 2 


(35)
que é a expressão que representa a componente VERTICAL da reação ao empuxo em curvas
de tubulação.
Aplicando o Teorema de Pitágoras às componentes R x e Ry , temos finalmente:
R  R 2x  R 2y
que representa o módulo da reação ao empuxo resultante nas curvas de tubulações .
(36)