BACHARELADO EM
ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA FINANCEIRA
M ATEMÁTICA
F INANCEIRA
1a Edição - 2009
SOMESB
S OCIEDADE M ANTENEDORA DE E DUCAÇÃO S UPERIOR DA B AHIA S/C LTDA .
W ILLIAM O LIVEIRA
P RESIDENTE
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G ERMANO TABACOF
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FTC EAD
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A DRIANO P EDREIRA C ATTAI
PAULO H ENRIQUE R IBEIRO DO N ASCIMENTO
E DIÇÃO
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LATEX 2ε
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A NDRÉ P IMENTA , A NTONIO F RANÇA F ILHO, A MANDA RODRIGUES , B RUNO B ENN DE LEMOS, C EFAS G OMES, C LÁUDER
F REDERICO F ILHO, F RANCISCO F RANÇA J ÚNIOR , H ERMÍNIO F ILHO, I SRAEL DANTAS, J OHN C ASAIS, MÁRCIO S ERAFIM ,
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Sumário
Bloco 1: A Matemática e o Cálculo Financeiro
7
Tema 1: Fundamentos da Matemática Financeira
7
Conteúdo 01: Revisão de Conteúdos Matemáticos Básicos
7
1.1
Porcentagem
1.1.1
1.2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercícios Propostos
10
Razão e Proporção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Conteúdo 02: Regimes de Capitalização
1.3
1.4
11
Regime de Capitalização Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.3.1
Taxas Equivalentes em Juro Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3.2
Análise Gráfica - Juros Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.3.3
Exercícios Propostos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Regime de Capitalização Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.4.1
Taxas Equivalentes em Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.4.2
Análise Gráfica dos Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.4.3
Juros Simples × Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4
1.5
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Taxa Nominal × Taxa Efetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.5.1
Exercícios Propostos
Exercícios Propostos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Tema 2: Equivalência de Capitais e suas Implicações nas Operações de Descontos 28
Conteúdo 01: Equivalência de Capitais
28
2.1
Fluxo de Caixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.2
Equivalência de Capitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.2.1
Equivalência de Capitais a Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.2.2
Exercícios Propostos
30
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conteúdo 02: Desconto
2.3
Desconto Racional Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1
2.4
31
Exercícios Propostos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Desconto Comercial Simples ou Bancário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1
33
34
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.5
Relação entre os Descontos: Racional Simples e Comercial Simples . . . . . . . . . . . . . .
35
2.6
Desconto Bancário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.7
Desconto Racional Composto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1
2.8
Exercícios Propostos
32
37
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Desconto Comercial Composto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.8.1
Exercícios Propostos
Exercícios Propostos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Bloco 2: Operações Financeiras e Análise de Investimentos
41
Tema 3: Série de Capitais, Inflação e Depreciação
41
Conteúdo 01: Série de Capitais
41
MATEMÁTICA FINANCEIRA
3
3.1
Série Postecipada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1
3.2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Séries Antecipadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.2.1
3.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Séries Diferidas Postecipadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.3.1
3.4
Exercícios Propostos
Exercícios Propostos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
Séries Diferidas Antecipadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.4.1
Exercícios Propostos
Exercícios Propostos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conteúdo 02: Inflação
56
57
3.4.2
Atualização de Preços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.4.3
Taxa Nominal e Taxa Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.4.4
Exercícios Propostos
60
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conteúdo 03: Depreciação
60
3.4.5
Método de Depreciação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
3.4.6
Plano de Depreciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
3.4.7
Exercícios Propostos
61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tema 4: Sistemas de Amortização e Análise de Investimentos
62
Conteúdo 01: Sistemas de Amortização
62
4.1
Sistema de Amortização Constante - SAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1
4.2
4.3
67
Sistema de Amortização Francês - SAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
Sistema de Amortização Americano - SAA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
4.3.1
4.4
Exercícios Propostos
63
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1
Exercícios Propostos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
Sistema de Amortização Variável - SAV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4.4.1
Exercícios Propostos
Exercícios Propostos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conteúdo 02: Análise de Investimentos
77
77
4.5
Métodos de Avaliação de Investimentos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
4.6
Método do Valor Presente Líquido - VPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
4.6.1
4.7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
Método da Taxa Interna de Retorno - TIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
4.7.1
4.8
Exercícios Propostos
Exercícios Propostos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Método do Prazo de Retorno - “PayBack ”
4.8.1
Exercícios Propostos
Referências Bibliográficas
4
42
FTC EAD |
84
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
88
A PRESENTAÇÃO
DA
D ISCIPLINA
Prezado(a),
Reflexos da “saúde financeira” que o País atravessa nos revelam que profissionais renomados, que
exercem suas profissões no âmbito financeiro, possuem um conhecimento específico nos conteúdos referentes aos temas abordados na Matemática Financeira. Isto significa, dentre outras coisas, que apenas
os profissionais da área de finanças, com uma boa formação acadêmica e com um conhecimento específico em conteúdos financeiros estão credenciados ao “sucesso profissional”.
Portanto, me empenhei bastante na elaboração de um módulo de estudos bastante variado, que englobasse todas as necessidades enumeradas anteriormente, sem fugir, é claro, da importância da “escrita
matemática”, além de amenizar as lacunas deixadas ao longo do ensino médio.
No Tema 1, Fundamentos da Matemática Financeira, abordaremos alguns conteúdos relativos ao
ensino médio, como porcentagem, razão e proporção, que servirão de suporte para a introdução de contextos mais específicos, como as capitalizações simples e composta, que são a base de sustentação para
o bom entendimento dos demais conteúdos relativos à Matemática Financeira. No Tema 2, os conceitos
sobre descontos e equivalência de capitais também serão abordados através de exemplos, numa forma
bastante didática e direcionada. No Tema 3, a inflação, conceito importante, apesar da estabilidade financeira a qual o país se encontra atualmente, será abordado de forma bastante interessante, além, é
claro, das séries de pagamentos, que são utilizadas em quase tudo o que se refere a planos de financiamento e compras parceladas. Ainda neste tema, os conceitos sobre depreciação serão tratados com o
devido cuidado, utilizando uma importante ferramenta, o software Excel na construção dos planos de depreciação. Finalmente, no Tema 4, assuntos como sistemas de amortização e análise de investimentos,
também abordados de forma bastante didática, farão uso do Excel, além de uma calculadora financeira,
baseando-se nos conceitos sobre tomadas de decisão para os métodos de análise de investimentos e
planilhas de amortização para os sistemas de amortização.
Agradecemos pela ajuda de todos os professores que exerceram, de algum modo, influência na construção desse material e, também, aos alunos leitores que nos ajudarão, continuamente, a aprimorá-lo.
Uma boa leitura e que Deus o abençoe nesta caminhada.
Prof. Maurício Porto Silva
MATEMÁTICA FINANCEIRA
5
BLOCO 01
A Matemática e o Cálculo Financeiro
Os conhecimentos matemáticos adquiridos ao longo do ensino médio, em que as conexões necessárias
entre os assuntos muitas vezes não foram realizadas de forma satisfatória, deixam lacunas, dificultando o
entendimento em temas mais aprofundados. Daí se justifica, na elaboração deste módulo de estudos, a preocupação em relembrar alguns destes conteúdos importantes. Neste bloco temático, abordaremos conceitos
introdutórios sobre porcentagem, razão e proporção fazendo uma breve revisão através de conceitos, exercícios
com resolução comentada, além de exercícios propostos.
Noções sobre capitalização simples e composta, através de situações corriqueiras que simulam a incorporação dos juros nos dois sistemas mencionados.
Outro fato importante serão as taxas de juro que, na verdade, são razões nas quais o denominador é
um número sempre fixo e igual a 100. Em alguns casos, por exemplo, as taxas utilizadas são chamadas de
nominais e, desta forma, a sua aparição em qualquer contexto implicará numa análise mais cautelosa.
TEMA 01
Fundamentos da Matemática
Financeira
Conteúdo 01: Revisão de Conteúdos Matemáticos Básicos
É bastante antigo o conceito de juros, tendo sido amplamente divulgado e utilizado ao longo da História.
Esse conceito surgiu naturalmente, quando o homem percebeu existir uma estreita relação entre o dinheiro e
o tempo. Processos de acumulação de capital e a desvalorização da moeda levariam normalmente a ideia de
juros, pois se realizavam basicamente devido ao valor temporal do dinheiro.
As tábuas mais antigas mostram um alto grau de habilidade computacional e deixam claro que o sistema
sexagesimal posicional já estava de longa data estabelecido. Há muitos textos desses primeiros tempos que
tratam da distribuição de produtos agrícolas e de cálculos aritméticos baseados nessas transações. As tábuas
mostram que os sumérios antigos estavam familiarizados com todos os tipos de contratos legais e usuais,
como faturas, recibos, notas promissórias, crédito, juros simples e compostos, hipotecas, escrituras de venda
e endossos.
Há tábuas que são documentos de empresas comerciais e outras que lidam com sistemas de pesos e medidas. Muitos processos aritméticos eram efetuados com a ajuda de várias tábuas. Das 400 tábuas matemáticas
cerca de metade eram tábuas matemáticas. Estas últimas envolvem tábuas de multiplicação, tábuas de inversos
multiplicativos, tábuas de quadrados e cubos e mesmo tábuas de exponenciais. Quanto a estas, provavelmente
eram usadas, juntamente com a interpelação, em problemas de juros compostos. As tábuas de inversos eram
usadas para reduzir a divisão à multiplicação.
Os juros e os impostos existem desde a época dos primeiros registros de civilizações existentes na Terra.
Um dos primeiros indícios apareceu já na Babilônia no ano 2000 a.C. Nas citações mais antigas, os juros eram
pagos sob a forma de sementes ou de outros bens. Muitas das práticas existentes originaram-se dos antigos
costumes de empréstimo e devolução de sementes e de outros produtos agrícolas.
A História também revela que a ideia se tinha tornado tão bem estabelecida que já existia uma firma de
banqueiros internacionais em 575 a.C., com os escritórios centrais na Babilônia. Sua renda era proveniente
MATEMÁTICA FINANCEIRA
7
das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o financiamento do comércio internacional.
O juro não é apenas uma das nossas mais antigas aplicações da Matemática Financeira e Economia, mas
também seus usos sofreram poucas mudanças através dos tempos.
Como em todas as instruções que têm existido por milhares de anos, algumas das práticas relativas a juros
têm sido modificadas para satisfazerem às exigências atuais. Mas alguns dos antigos costumes ainda persistem
de tal modo que o seu uso, nos dias atuais, ainda envolve alguns procedimentos incômodos. Entretanto,
devemos lembrar que todas as antigas práticas que ainda persistem foram inteiramente lógicas no tempo de
sua origem. Por exemplo, quando as sementes eram emprestadas para a semeadura de uma certa área, era
lógico esperar o pagamento na próxima colheita - no prazo de um ano. Assim, o cálculo de juros numa base
anual era mais razoável, tão quanto o estabelecimento de juros compostos para o financiamento das antigas
viagens comerciais, que não poderiam ser concluídas em um ano. Conforme a necessidade de cada época,
foram criadas novas formas de se trabalhar com a relação tempo-juros (juros semestral, bimestral, diário, etc).
Há tábuas nas coleções de Berlin, de Yale e do Louvre que contêm problemas sobre juros compostos e
outras, em Istambul, que parecem ter sido originalmente tábuas de a′ , para n de 1 a 10 e para a = 9, 16, 100 e
225. Com essas tábuas podem-se resolver equações exponenciais do tipo a′ = b . Em uma tábua do Louvre,
de cerca de 1700 a.C., há o seguinte problema: Por quanto tempo deve-se aplicar uma certa soma de dinheiro
a juros compostos anuais de 20% para que ela dobre?
Alguns conceitos matemáticos específicos são de extrema importância e influenciam diretamente a compreensão de temas mais aprofundados, como, por exemplo, a Matemática Financeira. Desta forma, é interessante uma prévia, um tanto quanto detalhada, destes conceitos se um rendimento satisfatório de todo o
conteúdo é desejado.
1.1
Porcentagem
É muito frequente ouvirmos em nosso cotidiano o uso de expressões como “Compre agora o seu automóvel
e ganhe um desconto de 40%” ou, então, “O governo não irá conceder um aumento salarial de 120%”. Na
primeira expressão, poderíamos interpretar da seguinte maneira: para a compra de um automóvel temos que,
para cada R $ 100, 00, houve um desconto de R $ 40, 00. Já na segunda afirmação, percebe-se que, para
cada R $ 100, 00, há um acréscimo de R $ 120, 00. Nas duas situações é fácil perceber que a utilização da
porcentagem, ou percentagem, indica, simplesmente, um acréscimo ou desconto de uma fração do valor total.
1.1 Definição. Porcentagem, ou percentagem, é a fração de um número inteiro expresso em centésimos.
Representa-se com o símbolo % (que se lê "por cento"). Os cálculos de porcentagens são muito usados na
indústria, nas finanças e na ciência para avaliar resultados.
Nota 1. De uma maneira geral, podemos afirmar que toda fração que representará um percentual possui
a
= a%
a forma
100
Por exemplo, se estamos numa pizzaria e pedimos que a metade da pizza seja do sabor calabresa e a outra
1
metade do sabor portuguesa, em termos fracionários a “metade” é representada pela fração . Se estamos
2
interessados em descobrir qual o valor percentual, basta multiplicar o numerador e o denominador da fração
por 50. Isto se faz necessário porque, pela definição de porcentagem, o numerador da fração sempre será igual
a 100. Portanto,
1
50 · 1
50
=
=
= 50%
2
50 · 2
100
Agora, que compreendemos a definição de porcentagem, vamos à resolução de alguns exercícios elementares.
8
FTC EAD |
ER 1. Uma compra foi efetuada no valor de R $ 1500, 00. Obteve-se um desconto de 20%. Qual foi o valor
pago?
Solução: O desconto será 1500 · 20% = 1.500 ·
20
= 1.500 · 0, 2 = 300. Portanto, o que foi pago será
100
exatamente a diferença 1500 − 300 = 1200.
Dica: Para agilizarmos o cálculo, vamos pensar um pouco: O valor total da compra é 100%. Se obtivermos
um desconto de 20%, isso quer dizer que pagaremos somente 80% do valor (100% − 20% = 80%).
ER 2. Um carro, que custava R $ 12.000, 00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 10% sobre o seu preço.
Quanto ele passou a custar?
Solução: O acréscimo será de: 12.000 · 10% = 12.000 ·
10
= 12.000 · 0, 1 = 1.200 Portanto, passará a
100
custar: 12.000 + 1.200 = 13.200
Dica: O valor inicial do carro era de 100%. Se ele sofreu uma valorização de 10% isso quer dizer que ele
passará a custar 110%, ou seja, (100 + 10 = 110) do seu valor inicial.
ER 3. Um computador, que custava R $ 2.000, 00, apresentou um lucro de R $ 100, 00. Que percentual foi o
lucro sobre o preço de venda?
Solução: Observe que, se o lucro sobre o valor de R $ 2.000, 00 foi exatamente R $ 100, 00, isso significa
x
que existe uma determinada fração
tal que:
100
2.000 ·
x
= 100.
100
O valor de x é a solução para o problema e este se baseia na própria definição de porcentagem, nada além
disso. Portanto,
2.000 · x = 10.000 ⇒ x =
10.000
⇒ x = 5%.
2.000
ER 4. Um comerciante, que não possuía conhecimentos de matemática, comprou uma mercadoria por
R $ 200, 00. Acresceu a esse valor 50% de lucro. Certo dia, um freguês pediu um desconto e o comerciante
concedeu um de 40% sobre o novo preço, pensando, assim, que teria um lucro de 10%. O comerciante teve
lucro ou prejuízo? Qual foi esse valor?
Solução: Vamos por etapas. O comerciante comprou a mercadoria por R $ 200, 00 e acresceu 50% sobre
esse valor. Logo, a mercadoria passou a custar R $ 300, 00 afinal:
200 ·
50
= 200 · 0, 5 = 100
100
Como deu um desconto de 40% sobre o preço de venda, temos que recalcular o valor, assim:
300 ·
40
= 300 · 0, 4 = 120
100
Portanto o valor repassado ao consumidor depois dos 40% de desconto foi exatamente 300 − 120 = 180.
Desta forma, como o comerciante comprou a mercadoria por R $ 200, 00 e a vendeu por R $ 180, 00, obteve um
prejuízo de R $ 20, 00 e não um lucro de 10%, como imaginava.
Dica: Perceba que, neste caso, a álgebra incorreta do comerciante se deu quando, ao oferecer um
MATEMÁTICA FINANCEIRA
9
desconto de 40% sobre o valor do produto, ele o fez sobre o valor que já possuía o lucro da venda, ou seja,
aplicou o desconto sobre os R $ 300. Se ele estava interessado num lucro de 10% deveria ter feito da seguinte
maneira: Aplicar o lucro de 50% sobre o valor total do produto, resultando num valor final de revenda de
R $ 300, após o que aplicaria o desconto de 40% sobre o valor de R $ 200 do produto. desta forma, o valor de
revenda seria
R $ 100, 00 +
|
{z
R $ 120, 00
}
lucro de 50%
|
{z
}
= 220, 00(lucro de 10% na venda)
desconto de 40%
Os exercícios a seguir servirão para consolidar o que foi abordado sobre os conceitos de porcentagem,
muitas das maneiras de se equacionar problemas envolvendo porcentagens já foram abordadas anteriormente
e, desta forma, o estudante poderá utilizar muitas destas ideias nas resoluções das atividades propostas abaixo.
1.1.1
Exercícios Propostos
EP 1.1. Uma compra foi efetuada no valor de R $ 1.500, 00. Obteve-se um desconto de 5%. Qual foi o valor
pago em reais?
EP 1.2. Um carro, que custava R $ 12.000, 00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 0, 12% sobre o seu
preço. Quanto ele passou a custar?
EP 1.3. Uma impressora a laser custou R $ 2.000, 00 a uma gráfica. No período de um mês ela apresentou
um lucro de R $ 100, 00. De quanto porcento foi o lucro sobre o preço de compra?
EP 1.4. Um determinado produto teve um acréscimo de 10%, sobre o seu preço de tabela. Após certo
período, teve um decréscimo também de 5% sobre o preço que foi aumentado, obtendo, assim, o preço atual.
Qual é o percentual que o preço atual corresponde em relação ao primeiro valor (preço de tabela)
EP 1.5. De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a taxa
percentual de reprovação foi de 15%. Calcule o número de aprovados.
EP 1.6. Uma bolsa é vendida por R $ 32, 00. Se seu preço fosse aumentado em 20%, quanto passaria a
custar?
EP 1.7. Certa mercadoria, que custava R $ 24, 00, passou a custar R $ 30, 00. Calcule a taxa percentual do
aumento.
EP 1.8. Qual o preço de uma mercadoria que custa R $ 50, 00 após dois aumentos sucessivos de 25% e 20%?
EP 1.9. Qual o preço da mercadoria que custa R $ 100, 00 após dois descontos sucessivos de 30% e de 20%?
EP 1.10. Um comerciante aumenta o preço original P de certa mercadoria em 80%. Em seguida, anuncia
essa mercadoria com desconto de 20%, resultando um preço final de R $ 72, 00. Calcule o valor do preço original
P.
1.2
Razão e Proporção
A aplicação dos conceitos de razão, proporção e porcentagem é algo constante no nosso cotidiano, abrangendo
tanto problemas simples e rápidos, como um desconto numa loja em liquidação, quanto problemas mais complexos relativos à inflação ou a taxa de juros, por exemplo. Vejamos uma revisão básica sobre esses assuntos...
10
FTC EAD |
1.2 Definição. Denomina-se razão de dois números diferentes de zero, o quociente formado por eles.
Assim sendo, suponha que numa sala de aula haja 35 estudantes, sendo 28 destes homens. Observe o
cálculo da razão entre número de estudantes homens e o total de estudantes da sala. Desta forma, podemos
analisar a situação da seguinte maneira, o número total de estudantes é igual a 35 como o número total de
homens é exatamente 28, então a razão que representa o número de homens na sala será:
4
28
= (lê-se 4 para 5).
35
5
E se estivéssemos interessados em saber a razão que representa o número de mulheres dentro desta sala
de aula? Muito simples. Observe que, dentre o total de 35 alunos, 28 são homens. Portanto, os 7 restantes
representam os estudantes do sexo feminino. Assim, a razão que representa o número de mulheres é:
1
7
= (lê-se 1 para 5)
35
5
Observe, ainda, que os conceitos sobre razão e porcentagem possuem uma forte ligação, afinal, quando
4
afirmamos que é a razão que representa a quantidade de homens, podemos também afirmar que 80% do
5
total de estudantes dentro da sala são homens e, desta forma, os 20% restantes representam exatamente o
1
percentual do número de mulheres que foi representado pela razão .
5
Também é válido pensar em razão utilizando grandezas diferentes. Por exemplo, ao estudarmos cinemática
a velocidade é representada por uma razão entre grandezas diferentes, normalmente km/h ou m/s que são as
1
2
unidades mais utilizadas. Em alguns casos, duas razões podem ser iguais, por exemplo, e
produzem o
5 10
mesmo resultado 0, 2 quando dividimos os numeradores 1 e 2 pelos respectivos denominadores 5 e 10. Neste
caso, significa que existe uma proporcionalidade entre as razões.
1.3 Definição. Denomina-se proporção à igualdade entre duas razões. Considerando a, b , c e d , diferentes
de zero, podemos afirmar que eles constituem respectivamente uma proporção se:
c
a
=
b
d
Nesse caso, a, b , c e d são chamados de termos da proporção, sendo a e d os extremos e b e c os meios. Nas
proporções, é valida a seguinte propriedade:
Produto dos meios = Produto dos extremos ⇔ a · d = b · c
Os conceitos citados anteriormente servirão como base para um melhor entendimento dos conteúdos relativos à Matemática Financeira de uma forma geral. Em primeiro lugar, trataremos dos conceitos sobre juros
simples e compostos que formam, na verdade, a essência de todo o assunto relativo à Matemática Financeira.
Conteúdo 02: Regimes de Capitalização
Os conceitos de capitalização simples (Juro Simples) e de capitalização composta (Juro Composto) estão
presentes no dia a dia seja de forma direta ou indiretamente. Adquirir um certo bem de consumo em uma loja
comercial qualquer, aplicar um certo valor em dinheiro numa caderneta de poupança são exemplos práticos
da utilização da Matemática Financeira no cotidiano. Dessa forma, alguns questionamentos importantes se
fazem presentes neste momento, como, por exemplo, “Qual será a melhor forma de investir o nosso dinheiro?”
ou então, “Será que essa forma de pagamento é a melhor dentre todas as disponíveis?” A resposta de tais
perguntas não é tão difícil quanto parece, contudo a compreensão dos conceitos e aplicações dos juros simples
e compostos serão de fundamental importância para que possamos encontrar as respostas.
Os conceitos de juros simples e compostos serão abordados neste tema. Aplicações e exercícios para a
fixação de todos os conceitos que serão apresentados se fazem presentes também. A Matemática Financeira
possui uma linguagem ou forma de apresentação bastante simples e direta, tornando o estudo mais atrativo e
interessante.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
11
1.3
Regime de Capitalização Simples
Quando estudamos assuntos relacionados com o ensino médio como velocidade e aceleração suas unidades
de medidas são dadas pelo quociente entre duas unidades de medidas, no caso da velocidade a unidade será
m
m
(metros por segundo) com respeito a aceleração temos 2 (metros por segundo ao quadrado). Existem
s
s
duas características presentes nas unidades mencionadas, nota-se que ambas são dadas como um quociente
entre medidas e a medida situada no denominador da fração é de natureza temporal, ou seja, uma grandeza
que mede unidade de tempo.
Uma taxa nada mais é do que um quociente entre medidas, onde a medida situada no denominador da
fração é de natureza temporal, dessa forma a aceleração e a velocidade são exemplos de taxas. Uma taxa de
juros representa um valor monetário qualquer medido em unidade de tempo que poderá ser dias, semanas,
meses, anos, semestres e etc. Representaremos a taxa de juros pela letra i admitindo portanto duas formas:
Percentual e unitária.
Taxa de Juros
Forma Percentual
Forma Unitária
2 por cento ao dia
i = 2% a.d.
i = 0, 02 a.d.
24 por cento ao mês
i = 24% a.m.
i = 0, 24 a.m.
30 por cento ao semestre
i = 30% a.s.
i = 0, 30 a.s.
5 por cento ao ano
i = 5% a.a.
i = 0, 05 a.a.
Observe na tabela anterior que as taxas possuem uma forma simplificada na escrita, ao invés de escrevermos “10 por cento ao bimestre” de forma simplificada representamos por i = 10% a.b. isso faz com que a
representação da taxa de juros seja de fácil compreensão. Agora que já sabemos como representar uma
taxa em qualquer unidade temporal, podemos então começar a pensar em capitalizar primeiramente em juros
simples.
Andando pelo centro da cidade um certo individuo se depara com a seguinte proposta.
“Invista R $ 1.000, 00 durante 4 meses aplicando uma taxa fixa de juros i = 10% am”
O primeiro questionamento a ser feito nesta situação é saber o quanto irá lucrar utilizando a taxa de juros
mencionada ? Outra importante pergunta é, como o investimento inicial será capitalizado ?
O investimento inicial será de R $ 1.000, 00. Assim o “capital inicial”, que denotaremos a partir deste instante
pela letra C , será exatamente o valor de R $ 1.000, 00. Portanto, C = R $ 1.000, 00. O capital inicial sofrerá
a ação da taxa de juros i = 10% durante quatro meses que agora chamaremos de “número de períodos”
e representaremos pela letra n. O primeiro período de capitalização sempre será representado por n = 0.
Dessa forma, capitalizar durante quatro períodos significará admitir quatro valores naturais começando pelo
zero, neste caso n ∈ {0, 1, 2, 3}. O juros do período, será representado pela letra J . A simulação é descrita de
forma detalhada na tabela abaixo, observe que em cada um dos períodos será calculado o juros, e em seguida
o montante representado pela letra M , obviamente o montante será a soma do capital com o juros do período
corrente, ou seja:
M =C +J
É fácil perceber que o juros corrente durante toda a simulação é fixo, exceto pelo período n = 0. Dessa
forma podemos afirmar que o juros total será a soma de todos os juros encontrados em cada um dos períodos,
chamando de Jn o juros do período n com n ∈ {0, 1, 2, 3} temos:
J = J0 + J1 + J2 + J3 = 0 + 1.000, 00 · (0, 10) + 1.000, 00 · (0, 10) + 1.000, 00 · (0, 10)
12
FTC EAD |
Período
Capital
Juros
Montante
0
1.000, 00
0
M = 1.000, 00 + 0 = 1.000, 00
1
1.000, 00
M = 1.000, 00 + 100, 00 = 1.100, 00
2
1.000, 00
1.000, 00 · (0, 10) = 100, 00
3
1.000, 00
1.000, 00 · (0, 10) = 100, 00
M = 1.200, 00 + 100, 00 = 1.300, 00
1.000, 00 · (0, 10) = 100, 00
M = 1.100, 00 + 100, 00 = 1.200, 00
Simplificando os cálculos, o juros total da simulação será dado por:
J = 1.000, 00 · (0, 10) · 3.
Observe que se tivéssemos uma quantidade maior de períodos a capitalizar, o produto 1.000, 00 · (0, 10) se
manteria fixo, mudando apenas o número a ser multiplicado pela direita, por exemplo, se capitalizarmos durante
6 períodos, o juros total acumulado será dado por: J = 1.000, 00 · (0, 10) · 5. Assim para uma capitalização
qualquer de um certo capital inicial C submetido a uma taxa de juros i durante um período n, o juros total
acumulado pode ser calculado pela expressão:
J =C ·i ·n
De posse da expressão que calcula os juros fixos durante todo o período de capitalização, podemos encontrar a
relação entre o montante M , o capital inicial C , a taxa de juros i e o número de períodos n. Observe o seguinte
desenvolvimento:
M = C + J , comoJ = C · i · ntemosM = C + C · i · n ⇔ M = C · (1 + i · n)
Para a simulação descrita anteriormente o montante obtido depois de submeter o capital inicial de R $ 1.000, 00
a uma taxa i = 10% a.m. durante quatro meses de capitalização foi M = R $ 1.300, 00. Observe que este
mesmo valor poderá ser calculado utilizando a fórmula M = C · (1 + i · n) onde C = R $ 1.000, 00, i = 10% e
n = 4 meses (verifiquem!!!).
1.4 Definição (Juros Simples). Chamamos de capitalização simples ou regime à juros simples a toda movimentação financeira em que a taxa de juros por período incide sempre sobre o capital inicial. Os juros neste
caso verificam a relação J = C · i · n e além disso o montante M obtido depois de submeter um certo capital C
a uma taxa de juros i durante um certo número de períodos n será dado por:
M = C · (1 + i · n)
Nota 2. As unidades temporais da taxa de juro i , juntamente com o número de períodos n, devem ser
sempre as mesmas. Por exemplo, se i = 4% a.a. o número de períodos deverá necessariamente ser
dado em anos. Suponha, neste caso, que n = 12 meses. Como proceder? Em alguns casos mudar a
unidade temporal do número de períodos é mais simples do que mudar a da taxa de juro. É fácil perceber
que se n = 12 meses, então n = 1 ano e, dessa forma, colocamos a taxa de juro e o número de períodos
em sintonia com respeito à unidade temporal de ambos.
Como mudaríamos a taxa de juro então? A resposta de tal questionamento é simples de responder. Introduziremos, a partir de agora, o conceito de taxas equivalentes e, desta forma, poderemos alterar a unidade
temporal da taxa para qualquer outra unidade que quisermos.
1.3.1
Taxas Equivalentes em Juro Simples
Suponha que tenhamos um certo capital C de R $ 500, 00 e desejamos submeter a um regime de juro simples
utilizando duas taxas de juro ia = 12% a.a. e im = 1% a.m. durante n = 12 meses. Lembrando que n = 12
meses pode ser reescrito como n = 1 ano.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
13
Para a primeira taxa de juros ia = 12% a.a. o montante M1 obtido será:
M1 = 500 · (1 + (0, 12 · 1)) ⇒ M1 = 500 · 1, 12 ⇒ M1 = 560, 00
Para a segunda taxa de juros, ou seja, im = 1% a.m. o montante M2 obtido será:
M2 = 500 · (1 + (0, 01 · 12)) ⇒ M2 = 500 · 1, 12 ⇒ M2 = 560, 00
Observe que M1 = M2 . Por que isso aconteceu? A resposta é mais simples do que parece. Observe atentamente as taxas utilizadas nesta simulação, ia = 12% a.a. e im = 1% a.m., em que a primeira foi dada em anos
ia
.
e a segunda em meses. Além disso, ia = 12 · im ou se preferir, im =
12
As taxas ia e im são chamadas de taxas equivalentes. Em outras palavras, submetendo um mesmo capital
inicial C , num mesmo número de períodos, o montante encontrado será sempre o mesmo. De uma forma geral,
suponha que ia seja uma taxa qualquer dada em anos e que desejamos encontrar as taxas equivalentes em
semestre (is ), bimestre (ib ), meses (im ), quinzenas (iq ) e dias (id ). Supondo que o capital inicial e o número
de períodos são fixos, já sabemos de antemão que os montantes obtidos para cada umas das taxas será o
mesmo. Se n = 1 ano podemos afirmar que n = 2 semestres, n = 6 bimestres, n = 12 meses , n = 24
quinzenas e n = 360 dias. Dessa forma:
Ma = Ms = Mb = Mm = Mq = Md
(1 + ia · 1) = (1 + is · 2) = (1 + ib · 6) = (1 + im · 12) = (1 + iq · 24) = (1 + id · 360)
ia = 2 · is = 6 · ib = 12 · im = 24 · iq = 360 · id
Nota 3. A quantidade de dias em cada mês no regime comercial é sempre igual a 30, não importando se
o mês tem 31 dias ou menos de 30 no caso do mês de fevereiro.
1.3.2
Análise Gráfica - Juros Simples
Uma outra forma de analisar o comportamento de um certo investimento submetido ao regime de juros
simples seria através da análise gráfica. Observe que, uma vez fixados o capital inicial C e a taxa de juros
simples i , a expressão que relaciona essas variáveis juntamente com o montante M e o número de períodos n
torna-se uma função de variáveis M (dependente) e n (independente), como definida abaixo.
M (n) = C · (1 + i · n), em que C e i são fixos.
O domínio dessa função será restrito apenas ao primeiro quadrante. Isto significa que não estaremos
interessados em valores negativos tanto do montante quanto do número de períodos. Dessa forma, D (M ) =
R+ .
M
Outra fato importante é que o gráfico da função juros simples, pelo fato de ser
linear, é representado por uma reta que não passa pela origem. Isto se deve ao fato
de que partiremos sempre de um certo capital inicial C . Assim, quando n = 0 temos, C · (1 + i )
no mínimo, o valor do capital inicial C , haja vista que ainda não completamos um
mês de capitalização para que o juro obtido no primeiro período fosse incorporado
ao montante.
C
1
n
ER 5. Quanto se deve aplicar hoje para obter um montante de R $ 10.000, 00 daqui a 19 meses a uma taxa de
juro simples de 50% a.a?
14
FTC EAD |
Solução: Não temos o capital inicial C . O montante é M = 10.000, 00. O número de períodos é n = 19
meses, que poderá ser transformado em anos através de uma simples regra de três:
Ano Meses
1
12
x
19
19
.
12
A fórmula do montante para o regime de juros simples é dada por M = C · (1 + i · n). Portanto,
Dessa forma, 12 · x = 19 ⇒ x =


10.000 = C · 1 + 0, 50 ·
19
12
‹‹
10.000
⇒C = 

1 + 0, 50 ·
19
12
‹‹ ⇒ C ≃ 5.581, 39
Poderíamos resolver a mesma questão mantendo o número de períodos fixo, ou seja, n = 19 meses, porém
alterando a unidade temporal da taxa de juro simples.
ia = 12 · im ⇒ im =
ia
0, 5
=
≃ 0, 0416 = 4, 16% a.m.
12
12
Utilizando esta taxa de juro simples mensal i = 4, 16%, temos:
10.000 = C · [1 + (0, 0416 · 19)] ⇒ C =
10.000
≃ 5.581, 39
(1 + (0, 0416 · 19))
Portanto, o capital procurado é de R $ 5.581, 39.
ER 6. Qual o valor do juro contido no montante de R $ 100.000, 00, resultante da aplicação de um certo capital
à taxa de 42% a.a., durante 13 meses?
Solução: Lembremos, primeiramente, que os juros no regime de capitalização simples são fixos em
cada período e a fórmula para calcular o juro total acumulado depende do capital inicial C , da taxa de juro
simples i e do número de períodos n.
J = C ·i ·n
Precisamos encontrar o capital inicial C para depois calcular o juro total. Como o montante é de R $ 100.000, 00,
através da fórmula M = C · (1 + i · n), podemos, então, encontrar o valor do capital inicial. Observe, ainda,
que as unidades temporais da taxa e do número de períodos são incompatíveis, ou trocamos a taxa de juros
13
de anos para meses ou trocamos o número de períodos de meses para anos. Se n = 13 meses então n =
12
anos.


‹‹
13
100.000

‹‹ ⇒ C ≃ 68.728, 52
⇒C = 
100.000 = C · 1 + 0, 42 ·
13
12
1 + 0, 42 ·
12
Assim, o capital inicial é de R $ 68.728, 52. Calculando o juro total do período, temos que:
J = 68.728, 52 · 0, 42 ·
13
≃ 31.271, 48
12
Poderíamos ter encontrado o valor total dos juros utilizando uma outra relação envolvendo o montante M , o
capital inicial C e o juro total J . A fórmula mencionada é dada por:
M =C +J ⇒J =M −C
MATEMÁTICA FINANCEIRA
15
Assim, bastava subtrair o valor do montante pelo capital e, dessa forma, encontrar o valor para o juros total J .
J = 100.000, 00 − 68.728, 52 = 31.271, 48
Fica a cargo do leitor responder tal questionamento: O juro total encontrado é o mesmo mantendo o número
de períodos igual a 13 meses e transformando a unidade temporal da taxa de juro de ano para meses?
ER 7. Uma empresa aplicou R $ 4.000, 00 do dia 15/06/06 ao dia 21/06/06 e gerou um montante de R $ 4.042, 00.
Qual foi a taxa mensal de rendimento dessa operação?
Solução: Em primeiro lugar, precisamos descobrir o número de períodos existente entre essas duas
datas. Seria muito comum que qualquer pessoa afirmasse que entre as datas 15/06/06 e 21/06/06 existem
apenas 6 dias e isto infelizmente é incorreto. Quando contabilizamos datas, a data de partida deverá também
ser levada em consideração. Dessa forma, não teremos apenas 6 dias. O correto é afirmar que entra as
datas 15/06/06 e 21/06/06 existem 7 dias. Assim, o número de períodos é n = 7 dias. Utilizando a fórmula
M = C · (1 + i · n), temos:
4.042 = 4.000 · (1 + i · 7) ⇒
1, 0105 − 1
4.042
= 1 + i · 7 ⇒ 1, 0105 = 1 + 7 · i ⇒ i =
= 0, 015
4.000
7
Portanto, a taxa de juros simples diária é i = 0, 015. Como o exercício pede a taxa de juros mensal,
devemos utilizar a equivalência de taxas, im = 30 · id . Sendo assim,
im = 30 · id = 30 · 0, 015 = 0, 045 = 4, 5%a.m.
ER 8. Depositei a quantia de R $ 72.000, 00 em um banco que remunera seus clientes à taxa simples de 36%
a.a. Depois de um certo tempo, verifiquei que o meu saldo no banco era de R $ 73.800, 00. Por quantos dias
deu-se esta aplicação?
Solução: A questão pede para encontrarmos o número de períodos em dias, que o capital inicial C =
72.000, 00 foi aplicado a uma taxa de juros simples i = 36% a.a., resultando num montante M = 73.800, 00.
Observe que o número de períodos a ser encontrado deverá estar medido em dias. Dessa forma, devemos
fazer uma mudança na unidade temporal de ano para dias da taxa fornecida.
ia = 360 · id ⇒ id =
ia
0, 36
⇒ id =
⇒ id = 0, 001
360
360
Utilizando a fórmula M = C · (1 + i · n), temos que:
73.800, 00 = 72.000, 00 · (1 + 0, 001 · n) ⇒
1, 025 − 1
73.800, 00
− 1 = 0, 001 · n ⇒ n =
= 25
72.000, 00
0, 001
Assim, o número de períodos procurado é n = 25 dias.
1.3.3
Exercícios Propostos
EP 1.11. Uma empresa tomou emprestada a quantia de R $ 451.000, 00, se comprometendo a liquidar a dívida
em 45 dias, pagando por esta R $ 572.770, 00. Qual a taxa mensal de juros simples adotada nesta operação?
EP 1.12. Depositei a quantia de R $ 72.000, 00 em um banco que remunera seus clientes à taxa de juros
16
FTC EAD |
simples de 36% ao ano. Depois de um certo tempo, o meu saldo neste banco era de R $ 73.800, 00. Por quantos
dias deu-se essa aplicação?
EP 1.13. Uma loja oferece um aparelho por R $ 500, 00 à vista. Na compra deste aparelho a prazo, pede-se
20% do valor à vista como entrada, e mais um pagamento de R $ 550, 00 no prazo de 2 meses. Que taxa de juro
simples a loja está cobrando nessa operação?
EP 1.14. Um capital, aplicado por 5 meses, foi elevado a R $ 42.000, 00. Caso esse capital tivesse sido
aplicado por 10 meses, à mesma taxa de juros simples, teria se elevado R $ 54.000, 00. Encontre esse capital e
a taxa utilizada.
EP 1.15. Um capital, aplicado por 2 meses, elevou-se a
considerada?
2
de si próprio. Qual foi a taxa de juros simples
3
EP 1.16. Um capital (C2 ) supera outro (C1 ) em 20%. Os dois foram aplicados a juros simples a taxas de 10%
a.m. e 7% a.m., respectivamente, e produziram, juntos, em um mesmo prazo, um montante de R $ 205.000, 00.
Determine esse prazo, sabendo que o juro do capital (C2 ) supera (C1 ) em R $ 25.000, 00
EP 1.17. Que taxa de juros simples faz com que um certo capital inicial C triplique de valor em 2 anos e 1
mês?
EP 1.18. A soma de um capital, aplicado durante 110 dias, à taxa de juros simples de 7% a.a., com seu juro,
é igual R $ 2.553, 47. Determine o valor do juro, considerando o ano com 360 dias.
EP 1.19. Um comerciante oferece a seus clientes um abatimento de 5% no caso de compras à vista. Em
contra partida, nas compras à prazo, suas mercadorias sofrem um acréscimo de 15% e dá-se ao cliente um
prazo de 3 meses para efetuar o pagamento. Qual a taxa mensal de juro simples adotada por essa loja?
EP 1.20. Uma pessoa aplicou um certo capital em um banco à taxa de juros simples de 96% a.a. Transcorridos
5 meses, essa pessoa retirou o capital mais o juros e aplicou-os em um outro banco por 3 meses, à taxa de
juros simples de 9% a.m. obtendo, com isso, um juro de R $ 4.536, 00. Qual o capital inicial aplicado por essa
pessoa?
1.4
Regime de Capitalização Composta
Agora que já sabemos lidar com os conceitos de juros simples e equivalência de taxas num regime de juros
simples, podemos começar a pensar como se comporta um capital inicial C num regime de juros compostos,
submetido a uma taxa de juro composto i durante um número de períodos n. Será que o resultado final, ou
seja, o montante M obtido durante a capitalização composta é sempre maior do que a capitalização simples?
A matemática nos reserva situações fascinantes e para responder perguntas dessa natureza devemos possuir
vasto conhecimento dentro do assunto proposto. Para introduzirmos o conceito de juro composto vamos utilizar
como referência a mesma simulação usada para ilustrar o regime de juro simples.
A capitalização composta ou simplesmente juro composto é a forma de movimentação financeira mais
utilizada no mercado. O simples ato de comprar algum bem de consumo parcelado, ou investir um certo capital
inicial numa caderneta de poupança, são exemplos práticos da utilização da capitalização composta no dia a
dia. Entender os conceitos e aplicações dos juros compostos é de fundamental importância no decorrer do
curso de Matemática Financeira, principalmente no estudo de séries de pagamentos.
Lembra do que foi visto com relação a juros simples? Propusemos uma simulação baseada na seguinte
frase:
“Invista R $ 1.000, 00, durante 4 meses, aplicando uma taxa fixa de juros i = 10% a.m.”
MATEMÁTICA FINANCEIRA
17
Naquele instante estávamos interessados em equacionar tanto a fórmula de juros quanto a fórmula do
montante para o regime de juros simples. Observe que naquele momento os juros tinham a característica de
serem fixos durante toda a capitalização. Vamos mudar a maneira de incidir a taxa de juro. Agora, ao invés
de incidir a taxa de juro sempre no capital inicial, incidiremos no montante do período anterior. Utilizaremos a
Tabela 1.1, a seguir, de modo a ilustrar e melhorar a sua compreensão.
Período
Capital
Juros
Montante
0
1.000, 00
0
M = 1.000, 00 + 0 = 1.000, 00
1
1.000, 00
M = 1.000, 00 + 100, 00 = 1.100, 00
2
1.000, 00
1.000, 00 · (0, 10) = 100, 00
3
1.000, 00
1.210, 00 · (0, 10) = 121, 00
M = 1.210, 00 + 121, 00 = 1.331, 00
1.100, 00 · (0, 10) = 110, 00
M = 1.100, 00 + 110, 00 = 1.210, 00
Tabela 1.1: Simulação do Regime de Capitalização Composta
Observamos, pela tabela, que nos períodos n = 0 e n = 1 os montantes obtidos foram exatamente iguais
aos calculados pelo regime de capitalização simples. No entanto, olhando para os períodos n = 2 e n = 3
nota-se um acréscimo significativo se comparados aos respectivos montantes dos períodos em questão no
sistema de capitalização simples.
O juro total, neste caso, também será a soma de todos os juros obtidos em cada período, o grande problema
é que pelo fato de não ser constante, não existirá uma fórmula para o calcularmos diretamente, assim como foi
visto no regime de juros simples.
J = J0 + J1 + J2 + J3 = 0 + 100 + 110 + 121 = 331
Contudo, a fórmula que relaciona o montante M , o capital inicial C e o juro total J continua sendo válida, ou
seja,
M = C + J ⇒ M = 1.000, 00 + 331, 00 ⇒ M = 1.331, 00
Qual será a relação entre o montante M , o capital inicial C , a taxa de juro composto i e o número de períodos
n para o regime de capitalização composta?
De uma forma geral, suponha que tenhamos um certo capital C submetido a uma taxa de juros composta
i durante um número de períodos n. A característica principal do juro composto é que a taxa de juro incidirá
sempre no montante anterior ao período em questão. Dessa forma,
n = 0 ⇒ J0 = 0 ⇒ M0 = C + J0 = C + 0 ⇒ M0 = C
No período seguinte, a taxa incidirá sobre o montante M0 . Como M0 = C , a capitalização ainda se comporta
de forma idêntica ao juro simples. Assim:
n = 1 ⇒ J1 = M0 · i = C · i ⇒ M1 = M0 + J1 = C + C · i ⇒ M1 = C · (1 + i )
Observe que se n = 2, a capitalização composta começa a ter um comportamento bastante diferente se
comparada a simples, pois, neste caso, a taxa de juro i incide sobre o montante anterior e M1 6= C , uma vez
que M1 = C · (1 + i ).
n = 2 ⇒ J2 = M1 · i = C · (1 + i ) · i ⇒ M2 = M1 + J2 ⇒ M2 = C · (1 + i ) + C · (1 + i ) · i
Podemos simplificar a expressão de M2 , pois o termo C · (1 + i ) é um fator comum à expressão. Dessa
forma, pode ser colocado em evidência.
M2 = C · (1 + i ) + C · (1 + i ) · i ⇒ M2 = C · (1 + i ) · (1 + i ) ⇒ M2 = C · (1 + i )2 .
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FTC EAD |
Seguindo essa lógica, é fácil perceber que o montante M3 é dado por M3 = C · (1 + i )3 .
Para um montante qualquer Mn , ou se preferir M (n), a expressão para o seu cálculo é:
M (n) = C · (1 + i )n
De modo a simplificar a notação, utilizaremos somente a variável M para representar o montante num
período qualquer. Dessa forma,
M = C · (1 + i )n
1.5 Definição. Chamamos de capitalização composta ou regime de juros compostos a toda movimentação
financeira em que a taxa de juros, para cada período, incide sempre sobre o montante do período anterior. O
montante M obtido depois de submeter um certo capital C a uma taxa de juros i durante um certo período n é
dado por:
M = C · (1 + i )n
Nota 4. Assim como no regime de juros simples, a taxa de juro composto e o número de períodos
precisam estar sempre na mesma unidade temporal.
1.4.1
Taxas Equivalentes em Juros Compostos
De forma equivalente ao regime a juros simples, podemos encontrar as taxas equivalentes no regime a
juros compostos. A ideia é bastante parecida, exceto pela forma de capitalizar, lembrando que no caso dos
juros simples, a relação entre o montante M , o capital inicial C , o número de períodos n e a taxa de juros i é
representada pela expressão M = C ·(1+ i · n), enquanto que no regime de capitalização composta a expressão
obtida para o cálculo do montante foi M = C · (1 + i )n .
De uma forma geral, suponha que ia seja uma taxa qualquer dada em anos e que desejamos encontrar as
taxas equivalentes em semestre (is ), bimestre (ib ), meses (im ), quinzenas (iq ) e dias (id ), supondo que o capital
inicial e o número de períodos são fixos. Se n = 1 ano, podemos afirmar que n = 2 semestres, n = 6 bimestres,
n = 12 meses , n = 24 quinzenas e n = 360 dias. Dessa forma:
Ma = Ms = Mb = Mm = Mq = Md
(1 + ia )1 = (1 + is )2 = (1 + ib )6 = (1 + im )12 = (1 + iq )24 = (1 + id )360
Observe que, no caso dos juros compostos, o isolamento de uma taxa para efetuar os cálculos e, dessa forma,
encontrar a respectiva taxa equivalente em uma outra unidade de medida temporal não é tão óbvio. No regime
a juros simples, as taxas equivalentes eram proporcionais e, devido a isso, o cálculo se tornou mais simplificado. Neste momento, não temos mais a proporcionalidade, mas isto em nada impedirá de encontrarmos, por
exemplo, a taxa de juros compostos bimestral, possuindo a taxa de juros mensal. Como proceder? Devemos
isolar a variável ib na igualdade (1 + ib )6 = (1 + im )12 . Em hipótese alguma desenvolveremos as potências
de cada parênteses. Este procedimento é totalmente equivocado. Utilizaremos uma maneira mais inteligente,
simples e muito mais elegante. Observe que se o expoente do fator (1 + ib ) fosse 1, ao invés de 6, não teríamos
problema algum em isolar a variável. Por que, então, não tornamos o expoente igual a 1 utilizando uma propriedade matemática? Lembrando que pelo fato de ser uma igualdade, tudo o que for feito no primeiro membro
deverá, necessariamente, ser feito no segundo membro, de forma a preservar o sinal de igualdade entre os
dois membros. Dessa forma,
(1 + ib )6 = (1 + im )12 ⇒
È
6
(1 + ib )6 =
È
6
(1 + im )12 ⇒ (1 + ib ) =
È
6
(1 + im )12
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Agora que “tornamos” o expoente igual a 1 no fator (1 + ib ) podemos, enfim, isolar a variável ib .
ib =
È
6
(1 + im )12 − 1
Observe, ainda, que podemos simplificar os cálculos e, sempre que isto for possível, será realizado.
12
ib = (1 + im ) 6 − 1 ⇒ ib = (1 + im )2 − 1
ER 9. Suponha que um certo capital R $ 500, 00 tenha sido submetido a uma taxa de juros compostos i = 4%
a.m. Encontrar as taxas de juros equivalentes ao ano, ao semestre e ao dia. Encontre o montante para cada
um das referidas taxas, supondo que o número de períodos da capitalização foi n = 6 meses.
Solução: Vamos encontrar, por motivos óbvios, primeiro a taxa de juros equivalente ao ano, afinal o
expoente do fator (1 + ia ) já é 1 e, dessa forma, os cálculos se tornam mais simples.
(1 + ia )1 = (1 + im )12 ⇒ ia = (1 + im )12 − 1 = (1 + 0, 04)12 − 1 ≃ 0, 6010 = 60, 10%a.a.
A taxa de juros equivalente ao semestre será:
(1 + is )2 = (1 + im )12 ⇒ is = (1 + im )6 − 1 = (1 + 0, 04)6 − 1 ≃ 0, 2553 = 26, 53%a.s.
Finalmente, a taxa de juros equivalente ao dia será:
12
(1 + im )
360
= (1 + id )
⇒ id =
È
360
(1 + im
)12
12
− 1 = (1 + 0, 04) 360 − 1 ≃ 0, 0013 = 0, 13%a.d.
Os montantes para cada uma das taxas encontradas são dados a seguir, lembrando que no regime de
capitalização a juros simples a expressão utilizada será M = C · (1 + i )n .
5
anos, será:
O montante anual Ma , utilizando a taxa 60, 10% a.a., com n =
12
6
Ma = 500 · (1 + 0, 6010) 12 ≃ 632, 65.
Utilizando a taxa de juros semestral i = 26, 53% a.s., o montante semestral Ms encontrado durante n = 1
semestre será:
Ms = 500 · (1 + 0, 2653)1 ≃ 632, 65.
Finalmente, utilizando a taxa de juros 0, 13% a.d durante um número de períodos n = 180 dias, o montante
diário Md encontrado foi:
Md = 500 · (1 + 0, 0013)180 ≃ 631, 72
Observe que, dentre os três montantes calculados, o terceiro deles, o montante diário Md , possuiu uma
capitalização inferior aos outros dois valores. Em alguns casos, isto poderá ocorrer, afinal, no cálculo das
taxas estamos fazendo aproximações, pois os valores das mesmas não foram números exatos> Desta forma,
uma pequena variação nos montantes já era esperada.
1.4.2
Análise Gráfica dos Juros Compostos
Assim como foi feito nos juros simples, podemos abordar graficamente os juros compostos. Fixando o capital
inicial C juntamente com a taxa de juros compostos i , a expressão do montante composto M = C · (1 + i )n
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torna-se uma função nas variáveis M (dependente) e n (independente), assim:
M (n) = C · (1 + i )n , ondeC ei são fixos
O domínio dessa função, também, está restrito apenas ao primeiro quadrante. Portanto, não estaremos
interessados em valores negativos, tanto do montante quanto do número de períodos. Dessa forma, Dom(M ) =
R+ .
M
O comportamento da função juros compostos é totalmente diferente se comparado ao da função juros simples. A função juros compostos é exponencial, visto
que a variável independente (n) está situada no expoente do fator (1 + i ), uma vez C · (1 + i )
C
que a taxa de juros compostos está fixa.
Depois de verificar domínio e natureza dos gráficos de ambas as funções juros
simples e composto, será que somos capazes de responder à seguinte pergunta:
1
n
“É melhor aplicar a juros simples ou a juros compostos?”
A resposta, digamos intuitiva, seria obviamente achar que os juros simples fornecem sempre os maiores
montantes. Mas, para surpresa de todos, isto nem sempre será verdade. Em alguns casos investir um certo
capital a juros simples será mais vantajoso do que os juros compostos. Para entender melhor isto, construiremos os gráficos das duas funções num mesmo plano cartesiano, identificando a situação em que ocorre um
montante maior pelo regime a juros simples.
1.4.3
Juros Simples × Juros Compostos
Suponha que um certo investidor dispõe da quantia de R $ 40.000, 00 e vai empregar o seu capital a uma
taxa de 12% ao ano, durante 6 meses. Qual é a melhor forma de ele capitalizar o seu dinheiro, juros simples ou
compostos?
Para responder a esta pergunta, o mais correto será calcular os dois montantes, ou seja, utilizando ambos
os regimes de capitalização e depois comparar os valores obtidos. Lembrando que estamos comparando resultados fornecidos por funções de natureza totalmente distintas, juros simples (função linear) e juros compostos
(função exponencial).
Primeiro capitalizaremos o valor de R $ 40.000, 00 utilizando o regime de capitalização simples, em que a
expressão para o montante é M = C ·(1+ i · n), o número de períodos n = 6 meses e a taxa de juros simples será
de i = 12% ao ano. Observe que a unidade temporal da taxa e do número de períodos não são compatíveis,
utilizando uma equivalência de taxas no regime de juros simples encontraremos a taxa proporcional ao mês.
Assim,
12
ia
⇔ im =
⇔ im = 1
ia = 12 · im ⇔ im =
12
12
Calculando o montante obtido pelo juros simples, temos:
M = 40.000, 00 · (1 + (0, 01 · 6)) ⇔ M = 42.400, 00
Com a capitalização simples, obtivemos um montante igual a R $ 42.400, 00. Será que a capitalização composta proporcionará um montante maior? Vamos calcular agora o montante utilizando a capitalização composta. Antes, precisamos encontrar a taxa quivalente em meses utilizando juros compostos. Dessa forma,
(1 + ia )1 = (1 + im )12 ⇒ im =
È
12
(1 + 0, 12)1 − 1 ⇒ im ≃ 0, 0095
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21
Calculando o montante obtido pelo juros compostos, temos:
M = 40.000, 00 · (1 + 0, 0095)6 ≃ 42.334, 84
Interessante, o montante obtido pela capitalização simples foi maior do que o obtido pela capitalização
composta. Observe ainda que o montante simples, excedeu o composto em R $ 65, 16. Por que isso aconteceu?
A pergunta anterior é fácil de ser respondida, através de uma análise gráfica.
Identificaremos, assim, porque os juros simples renderam mais do que os juros
M
compostos. Observe, na figura ao lado, os gráficos das funções juros simples e
compostos construídos em um mesmo plano cartesiano.
C · (1 + i )
É fácil perceber, pelo gráfico, que se o número de períodos estiver no intervalo
C
0 < n < 1, o gráfico da função juros simples está situado acima do gráfico da
função juros compostos. Assim, as imagens dos elementos que estão nesta faixa
do domínio, possuem valores maiores pela função juros simples do que pela função
juros compostos.
1
n
Observe que para n = 6 meses poderia ser representado por n = 0, 5 ano, pois já sabemos que as unidades
da taxa e do número de períodos têm de ser compatíveis. Como 0 < 0, 5 < 1 fica explicado porque a capitalização simples superou a composta. Caso o número de períodos fosse igual a uma unidade temporal da taxa
de juros, ou seja, n = 1 ano, as capitalizações simples e composta seriam absolutamente iguais e, neste caso,
poderíamos escolher qualquer uma das duas, pois os montantes seriam os mesmos. Supondo n > 1 pelo
fato dos juros compostos possuírem uma natureza exponencial, os montantes obtidos nesta faixa do domínio
seriam sempre maiores do que os obtidos pela função juros simples. Denotando por Js e Jc os juros simples e
compostos, respectivamente, em resumo o que ocorrerá sempre é o seguinte:
n=1
0<n<1
n>1
⇒ Js = Jc
⇒ Js > Jc
⇒ Js < Jc
ER 10. Qual o montante produzido pela aplicação de R $ 58.000, 00 a uma taxa de 125% a.a. pelo prazo de
220 dias?
Solução: A resolução desta questão é bem simples, porém vale a pena lembrar que a unidade temporal
da taxa de juro deve ser sempre igual a unidade do número de períodos. Dessa forma, devemos transformar
n = 220 dias em anos ou transformar 125% a.a. em dias. Utilizaremos a conversão de taxas para esta questão
e deixaremos a outra maneira de resolver a cargo do leitor. Transformando a taxa de juros compostos ao ano
para dias, temos que:
(1 + ia )1 = (1 + id )360 ⇒ id =
È
360
(1 + ia ) − 1 =
È
360
(1 + 1, 25) − 1 ≃ 0, 0022
Portanto, a taxa equivalente em dias ao mesmo período de capitalização será id = 0, 22%. Utilizando a
expressão de juros compostos, encontraremos o montante.
M = 58.000 · (1 + 0, 0022)220 ≃ 95.057, 98
Assim, o montante encontrado será de R $ 95.057, 98
ER 11. Uma pessoa recebe uma proposta de investir hoje uma quantia de R $ 1.000, 00 para receber R $ 1.343, 92
daqui a 10 meses. Calcular as taxas mensal e anual deste investimento.
Solução: Utilizaremos a fórmula de juros compostos de duas maneiras diferentes na resolução deste
exercício. Na primeira, preservaremos o número de período em meses calculando, assim, a taxa de juro
22
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mensal. Na segunda, mudaremos a unidade temporal do número de períodos de meses para anos. Como
10
n = 10 meses, podemos afirmar que n =
anos.
12
10
1.343, 92 = 1.000, 00 · (1 + im )
1.343, 92
⇒
= (1 + im )10 ⇒ im =
1.000, 00
r
10
1.343, 92
−1
1.000, 00
r
1.343, 92
− 1 ≃ 0, 0300. Assim, im = 3% a.m.
1.000, 00
Calculando a taxa de juros anual, temos:
Portanto, im =
10
10
1.343, 92 = 1.000, 00 · (1 + ia ) 12 ⇒

1.343, 92
10
= (1 + ia ) 12 ⇒ ia =
1.000, 00

1.343, 92
1.000, 00
‹ 12
10
− 1.
‹ 12
1.343, 92 10
− 1 ≃ 0, 4257 e, dessa forma, ia = 42, 57% a.a.
1.000, 00
Uma outra forma de calcular a taxa de juros anual é utilizando a equivalência de taxas uma vez que a
Assim, ia =
taxa mensal já tinha sido calculada, ou seja,
(1 + ia )1 = (1 + im )12 ⇒ ia = (1 + im )12 − 1 = (1 + 0, 03)12 − 1 ≃ 0, 4257
ER 12. Em quanto tempo um certo capital C pode produzir juros iguais a um terço do seu valor, se aplicado a
uma taxa de 4, 9% a.m.?
Solução: A questão atenta para o fato de os juros obtidos nesta capitalização serem iguais a um terço do
C
capital empregado, o que significa J = . Devemos tomar cuidado para não confundir a fórmula do cálculo
3
de juros no sistema de capitalização simples, com os juros mencionados nesta questão. A caracterização
principal com respeito ao regime de capitalização composta é que o juros por períodos não são constantes e,
portanto, não existe uma fórmula específica para encontrá-lo. Contudo, podemos usar uma relação bastante
conhecida que relaciona o montante M , juntamente com o capital inicial C e o juros J :
M =C +J
Assim, como J =
C
, substituindo em M = C + J , temos que:
3
M =C+
3C + C
4C
C
=
=
3
3
3
Mas a fórmula do montante no regime de capitalização composta diz que M = C · (1 + i )n . Assim, é correto
afirmar que:
4C
4
= C · (1 + i )n ⇒ = (1 + 0, 049)n
3
3
Observe que, neste caso, nos deparamos com uma situação nova. A variável que estamos interessados em
encontrar está situada no expoente de um fator. Como isolaremos a mesma? Para resolver esta situação
inconveniente utilizaremos os logaritmos e, apenas por facilidade nos cálculos, utilizaremos o logaritmo na
base 10.
 ‹
4
4
= (1 + 0, 049)n = log
3
3
 ‹
n
= log(1 + 0, 049) ⇒ log
4
3
= n · log(1, 049)
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23
Assim, isolando o número de períodos n, temos que:
…
n=
log
 ‹ Ǒ
4
3
log(1, 049)
≃ 6 meses.
Nota 5. O recursos utilizados na questão anterior serão sempre necessários quando quisermos encontrar
o número de períodos num regime de capitalização composta, afinal, a fórmula do montante em juros
compostos é, na verdade, uma função exponencial se fixarmos a taxa i e o capital inicial C deixando M e
n, respectivamente, como variáveis dependente e independentes.
ER 13. Qual será o tempo necessário para que um capital C , aplicado à taxa de 20% a.a., duplique o seu
valor?
Solução: Supondo que M seja o montante obtido depois de capitalizar C durante um certo número de
períodos n utilizando a taxa de juros compostos i = 20% a.a., então:
M =2·C
Utilizando a fórmula para juros compostos, temos que:
2 · C = C · (1 + 0, 20)n ⇒ 2 = (1, 20)n ⇒ log 2 = n · log(1, 20) ⇒ n =
log 2
≃ 3, 8
log(1, 20)
Dessa forma, serão necessários n = 3, 8 anos para que o capital inicial dobre de valor.
1.4.4
Exercícios Propostos
EP 1.21. Que capital, aplicado a uma taxa de juro composto de 15% ao ano, durante 10 anos, produz juro de
R $ 1.065.945, 30?
EP 1.22. Que taxa mensal de juro composto é recebida por um investidor que aplicou R $ 50.000, 00 e resgatou,
após 8 meses, a quantia de R $ 92.546, 50?
EP 1.23. Um objeto custa, à vista, R $ 2.000, 00. Na compra a prazo, dá-se R $ 700, 00 de entrada e mais um
pagamento de R $ 1.800, 00 para 60 dias. Qual a taxa de juro composto envolvida nesta operação?
EP 1.24. Por quanto tempo deve-se aplicar um capital de R $ 10.000, 00 à taxa de juros compostos de 5% a.m.
para obter-se, no final do prazo, um montante de R $ 14.489, 01?
EP 1.25. Um investidor aplicou um capital à taxa de juro composto de 4% ao mês e, no final de n meses,
produziu um montante igual a 1, 48 do capital investido. Qual o valor de n?
EP 1.26. O preço de um objeto é R $ 1.200, 00, podendo esse valor ser pago daqui a 3 meses. Na compra
deste objeto à vista dá-se um desconto de 15%. Qual a taxa de juro composto envolvida nessa operação?
EP 1.27. Que taxa mensal de juro composto faz um certo capital inicial C triplicar de valor em 5 meses?
EP 1.28. Com a finalidade de comprar um aparelho que custa R $ 42.076, 56 uma pessoa fez uma aplicação
de R $ 30.000, 00 em um banco que paga 7% a.m. de juro composto. Quanto tempo levou essa aplicação para
atingir o valor desejado?
EP 1.29. Uma pessoa investiu em um banco R $ 150.000, 00 à taxa de 10% a.m. por 4 meses e 10 dias. Qual
o montante relativo a essa aplicação?
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EP 1.30. Em 1992, depositei R $ 300.000, 00 a juro composto e recebi, após 4 meses, R $ 856.830, 00. Por
quanto tempo deveria aplicar este capital, à mesma taxa, para obter R $ 1.882.455, 51?
1.5
Taxa Nominal × Taxa Efetiva
É muito comum em alguns tipos de movimentações financeiras expressar a taxa de juro em termos anuais.
Contudo, essas mesmas operações são, às vezes, realizadas em períodos de capitalização mensal, bimestral,
trimestral, semestral, etc. Desse fato decorrem situações em que a taxa de juro é expressa em um período de
capitalização que não coincide com o período de tempo ao qual a taxa se refere.
Nesses casos se faz necessária a distinção entre o significado de taxa nominal e taxa efetiva.
1.6 Definição. Chamamos de taxa efetiva aquela que, como o próprio nome já diz, efetivamente verifica uma
operação financeira.
1.7 Definição. Taxa Nominal é uma taxa aparente que só pode ser definida quando a unidade à qual a taxa
se refere não coincide com a unidade do período de capitalização, e a conversão é feita calculando-se a taxa
proporcional.
Alguns esclarecimentos são importantes, neste momento, a fim de não tornar algumas interpretações ambíguas.
• Toda vez que a unidade temporal da taxa coincidir com o período de capitalização, estamos nos referindo
a uma taxa efetiva. São exemplos de taxas efetivas:
10% a.m. capitalizado mensalmente.
5% a.t. capitalizado trimestralmente.
• Toda vez que a unidade temporal da taxa não coincidir com o período de capitalização, estamos nos
referindo a uma taxa nominal. São exemplos de taxa nominal:
15% a.a. capitalizado mensalmente.
4% a.s. capitalizado quinzenalmente.
Nota 6. No caso das taxas efetivas, já que o período de capitalização coincide com a unidade temporal
da taxa, costuma-se apenas escrever a taxa sem o período de capitalização, já que são coincidentes.
Dessa forma, ao invés de escrevermos 10% a.m. capitalizados mensalmente, escrevemos apenas 10%
a.m.
Quando mencionamos que um certo capital inicial C será capitalizado a uma taxa de juro composto utilizando uma taxa, por exemplo, de 20% a.a., fica claro que a taxa possui capitalização anual. Contudo,
poderíamos pensar na mesma situação, porém com uma pequena diferença. E se a mesma taxa de 20%
a.a. fosse capitalizada mensalmente? Será que o montante obtido seria o mesmo? Nesses casos, devemos
tomar cuidado, pois a taxa em questão é a nominal. Em outras palavras, a verdadeira taxa, ou seja, a efetiva
está “mascarada” ou disfarçada.
Por convenção, a obtenção da taxa efetiva que está embutida numa taxa nominal será feita no sistema
de capitalização simples, calculando a taxa proporcional à dada, relativa à unidade de tempo mencionada na
capitalização. Dessa forma,
ik
i= ,
k
em que:
MATEMÁTICA FINANCEIRA
25
• i é a taxa efetiva
• ik é a taxa nominal
• k número de vezes em que o período correspondente à taxa foi dividido.
ER 14. Suponha que R $ 1.000, 00 seja capitalizado a uma taxa de juro i = 12% a.a. capitalizada mensalmente.
Encontre o montante utilizado e a taxa efetiva anual.
Solução: Observe que a taxa, apesar de ser anual, está sendo capitalizada mensalmente. Desta forma,
precisamos encontrar a taxa proporcional à taxa nominal. Em um ano contamos com 12 meses. Assim, a
i
⇒ im = 1 a.m. Calculando o montante, temos que:
taxa efetiva mensal im =
12
M = 1.000, 00 · (1 + 0, 01)24 ⇒ M = 1.269, 73.
A taxa de juro efetiva anual será obtida através de uma equivalência de taxas, utilizando a taxa efetiva
mensal im = 1 a.m. Dessa forma,
(1 + ia )1 = (1 + im )12 ⇒ ia = (1 + 0, 01)12 − 1 ≃ 0, 1268.
Portanto, a taxa de juros anual efetiva, neste caso, é de 12, 68%. Em outras palavras, se tal simulação fosse
referente a um financiamento, o consumidor acabaria pagando mais do que ele imaginava.
ER 15. Sabendo-se que uma taxa de juros nominal de 48% ao semestre é capitalizada trimestralmente
encontre a taxa de juro efetiva semestral.
Solução: O primeiro passo é encontrar a taxa de juro efetiva trimestral, pois, neste caso, a taxa semestral
está sendo capitalizada trimestralmente. Em 1 semestre temos, exatamente, 2 trimestres. Assim, a taxa de
48
juros trimestral será it =
⇒ it = 24% ao trimestre. Para encontrar a taxa de juro efetiva semestral,
2
usaremos, mais uma vez, a equivalência de taxas. Portanto,
(1 + is )1 = (1 + it )2 ⇒ is = (1 + 0, 24)2 − 1 = 0, 5376 ⇒ is = 53, 76%.
ER 16. A taxa de 36% ao bimestre com capitalização mensal é equivalente a uma taxa trimestral de?
Solução: Lembrando que 1 bimestre possui exatamente 2 meses. Assim, a taxa efetiva mensal im =
36
⇒ im = 18% ao mês. Utilizando a equivalência de taxa temos:
2
(1 + it )1 = (1 + im )3 ⇒ it = (1 + 0, 18)3 − 1 ≃ 0, 6430 ⇒ it = 64, 30%
ER 17. Suponha que R $ 200.000, 00 sejam depositados numa caderneta de poupança que não possui correção
monetária e que rende juros de 8% a.a., capitalizados semestralmente. Se nenhuma retirada ou depósito
adicional foi feito, então qual o total de juros creditados durante 3 anos?
Solução: Em primeiro lugar, devemos encontrar a taxa de juros efetiva semestral. Em 1 ano temos 2
8
semestres, dessa forma is = ⇒ is = 4% ao semestre. O número de períodos é igual a 3 anos, que podem
2
ser transformados em 6 semestres. Calculando o montante obtido, temos:
M = 200.000, 00 · (1 + 0, 04)6 ≃ 253.063, 80
26
FTC EAD |
Lembrando que não existe uma fórmula específica para o cálculo do juro composto, a única alternativa, neste
caso, será a relação entre o montante M , o capital inicial C e o juro J , ou seja, M = C + J . Portanto, o juro
acumulado é:
J = M − C ⇒ J = 253.063, 80 − 200.000, 00 = 53.063, 80.
1.5.1
Exercícios Propostos
EP 1.31. Um capital é aplicado a uma taxa de juro de 120% a.a., capitalizado mensalmente. Calcule a taxa
efetiva mensal e a taxa da operação sabendo que a mesma durou 3 meses.
EP 1.32. Em quantos meses os juros ultrapassarão o valor do capital aplicado, se a taxa for 24% a.a. e
capitalizada trimestralmente?
EP 1.33. A importância de R $ 40.000, 00 foi aplicada em um banco que remunera seus cliente à taxa de 108%
a.a. com capitalização semestral, por um período de 2 meses. Qual o montante relativo a essa aplicação?
EP 1.34. Qual a taxa nominal anual, com capitalizações quadrimestrais, que conduz à taxa efetiva de 50%
a.a.?
EP 1.35. Quanto se deve depositar hoje, em um banco que paga 84% a.a. com capitalizações trimestrais,
para que ao final de 15 meses se tenha um montante de R $ 25.937, 42.
Gabarito
1.1 R $ 1.425, 00 1.2 R $ 12.014, 40 1.3 5% 1.4 R $ 1.425, 00 1.5 323 1.6 R $ 38, 40 1.7 R $ 25, 00 1.8 R $ 75, 00 1.9 R $ 56, 00 1.10 P = R $ 50, 00
1.11 i = 18% ao mês 1.12 n = 25 dias 1.13 i = 18, 75% ao mês 1.14 C = R $ 30.000, 00 1.15 i = 0, 25% ao mês 1.16 n = 10 meses
1.17 i = 8% ao mês 1.18 J = R $ 53, 47 1.19 7, 02% ao mês 1.20 C = R $ 12.000, 00. 1.21 C = R $ 350.000, 00 1.22 i = 8% ao mês 1.23
i = 17, 67% ao mês 1.24 n = 7, 6 meses 1.25 n = 10 meses 1.26 i = 5, 6% ao mês 1.27 i = 24, 57% ao mês 1.28 n = 5 meses 1.29
M = R $ 226.704, 15 1.30 n = 7 meses 1.31 im = 10% e ia = 2, 14%. 1.32 n > 35, 7 meses. 1.33 R $ 46.190, 60. 1.34 i = 43, 41% a.a. cap.
quadrimestralmente. 1.35 Aproximadamente R $ 10.000, 00.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
27
Equivalência de Capitais e suas
TEMA 02
Implicações nas Operações de Descontos
Conteúdo 01: Equivalência de Capitais
Saber movimentar um certo capital inicial seja a juros simples ou compostos, é de fundamental importância
quando precisamos decidir sobre a escolha de dois ou mais investimentos. Denotando por VP (valor presente)
e VF (valor futuro), um certo capital inicial poderá ser deslocado através dos n períodos de capitalização de
forma simples ou composta.
2.1
Fluxo de Caixa
Definimos fluxo de caixa como uma sucessão de pagamentos e/ou recebimentos previstos ao longo do
tempo. Com a finalidade de facilitar a representação do fluxo de caixa, utilizamos um diagrama, chamado
diagrama de fluxo de caixa, que se constitui numa ferramenta gráfica de grande utilização na representação de
capitais que são movimentados durante uma certa quantidade n de períodos. No diagrama de fluxo de caixa,
convencionamos:
• Um eixo horizontal, orientado para a direita, indicando a quantidade de períodos (dias, meses, etc.).
• As setas que são orientadas para cima representam as saídas de caixa (pagamentos, desembolsos, etc.).
• As que são orientadas para baixo representam as entradas de caixa (recebimentos, reembolsos, etc.).
8.000, 00
Exemplo 2.1. O diagrama ao lado mostra a situação na
qual uma pessoa investiu R $ 8.000, 00 e, depois de 4 meses,
recebeu o valor de R $ 12.000, 00.
meses
0
1
2
3
4
12.000, 00
Exemplo 2.2. O diagrama ao lado mostra a situação
na qual uma pessoa adquiriu um bem, pagando por ele
R $ 10.000, 00, contraindo uma dívida mensal, durante 3
meses, de R $ 5.000, 00.
10.000, 00
meses
0
1
2
3
5.000, 00 5.000, 00 5.000, 00
2.2
Equivalência de Capitais
Dois ou mais capitais com datas de vencimento diferentes são ditos equivalentes quando, transportados a
uma mesma data, utilizando uma mesma taxa, produzirem, nesta data, valores iguais. A data para a qual os
capitais serão transportados é chamada data focal.
A data focal poderá estar situada antes ou depois de um certo capital, se pensarmos em termos de diagrama
de fluxo de caixa. Assim, estaremos interessados em avançar ou recuar um determinado capital, submetido a
dois ou mais investimentos, do modo a verificá-lo em uma mesma data focal, com a finalidade de analisar qual
será o mais rentável. Essa movimentação do capital pelo diagrama de fluxo de caixa poderá ser feita através
28
FTC EAD |
de juro simples ou composto. Contudo, o mercado financeiro utiliza apenas a prática do juro composto e, assim
sendo, daremos maior ênfase à equivalência de capitais utilizando a capitalização composta.
2.2.1
Equivalência de Capitais a Juros Compostos
Utilizando a capitalização composta, estaremos interessados em movimentar um certo valor ou capital,
adiantando ou recuando para uma determinada data focal, tendo como base o diagrama de fluxo de caixa.
O diagrama do fluxo de caixa será mais uma vez importante na resolução dos problemas que envolvam a
equivalência de capitais a juros compostos, pelo fato de ilustrar, de forma clara e objetiva, a situação corrente.
ER 1. Um comerciante tem dois pagamentos a realizar: Um de R $ 90.000, 00, com vencimento para 5 meses,
e outro de R $ 140.000, 00, com vencimento para 7 meses, e deseja pagá-los hoje. Quanto deverá desembolsar,
se a operação vai se realizar a 4% a.m.?
Solução: Ambos os pagamentos deverão ter
seu valores atualizados na data focal zero pelo
x
critério da capitalização composta. A taxa e o
número de períodos já estão com suas unidades
temporais compatíveis, sem a necessidade de
ajuste. Dessa forma, denotando por VP1 e VP2
meses
0
os valores presentes de ambos os pagamentos
na data focal zero, temos:
VP1 =
90.000
(1 + 0, 04)5
⇒ VP1 = 90.000 · (1, 04)−5
5
7
90.000, 00
140.000, 00
⇒ VP1 = R $ 73.973, 43
Calculando o valor presente na data focal zero para o segundo pagamento, ficamos com:
VP2 =
140.000
(1 + 0, 04)7
⇒ VP2 = 140.000 · (1, 04)−7
⇒ VP2 = R $ 106.388, 52
Perceba que o valor total X será exatamente a soma dos valores presentes na data focal zero, ou seja, VP1 e
VP2 , dessa forma:
X = VP1 + VP2 = 73.973, 43 + 106.388, 52 = 180.361, 95.
ER 2. Uma loja vende suas mercadorias em 3 pagamentos mensais iguais, acrescentando ao preço destas
20% sobre o preço à vista, com o primeiro pagamento feito no ato da compra. Encontre a taxa de juro composto
cobrada por esta loja.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
29
Solução: Nesta questão devemos comparar todos os valores na data
P
focal zero, porque sabemos o preço P à vista. A taxa a ser encontrada
deverá ser dada em meses, pois o período de cada uma das parcelas
é mensal. Assim, pela figura, temos que:
P = 0, 4 · P +
meses
0, 4 · P
0, 4 · P
0, 4 · P
0, 4 · P
⇒ 0, 6 · P =
.
+
+
1+i
(1 + i )2
1+i
(1 + i )2
0
O fator P é comum a todos os termos, então podemos cancelá-lo.
Segue que,
0, 6 =
0, 4
0, 4
+
1+i
(1 + i )2
1
2
0, 4P 0, 4P 0, 4P
⇒ 0, 6 · (1 + i )2 = 0, 4 · (1 + i ) + 0, 4 ⇒ 3 · (1 + i )2 − 2 · (1 + i ) − 2 = 0
⇒ 1+i =
2+
√
28
⇒ 1 + i = 1, 21525 ⇒ i ≈ 21, 53%
6
Observe que a equação 3 · (1 + i )2 − 2 · (1 + i ) − 2 = 0 é do 2◦ grau na variável 1 + i , portanto deve possuir, no
‚
√ Œ
2 − 28
máximo, 2 raízes. Uma das raízes é negativa
e não se aplica a questão. Assim, a taxa procurada
6
é i ≈ 21, 53% a.m.
ER 3. Suponha que uma determinada empresa deva realizar dois pagamentos em um banco, onde R $ 100.000, 00
deverão ser pagos hoje e R $ 70.000, 00 para 6 meses. Por motivos de conveniência, a empresa propõe ao banco
que faça uma substituição na sua dívida por um pagamento de R $ 150.000, 00 em 3 meses e o saldo restante
da dívida para 9 meses. Qual o valor do saldo restante, supondo que o banco opere com uma taxa de juros
compostos de 10% a.m.?
Solução:
x
150.000
Observe que, nesta situação, será interessante
comparar todos os valores na data focal 9 meses, na qual se encontra o valor do saldo devedor X . Denotando por VF1 , VF2 e VF3
meses
os valores futuros de cada um dos pagamentos dado pela figura 0
anterior, temos:
100.000
n
9
VF1 = VP1 ·(1 + i )
⇒ VF1 = 100.000 · (1 + 0, 1)
VF2 = VP2 ·(1 + i )n
⇒
VF3 = VP3 ·(1 + i )n
⇒ VF3 = 150.000 · (1 + 0, 1)6
VF2 = 70.000 · (1 + 0, 1)3
3
6
9
70.000
⇒ VF1 = R $ 235.794, 80
⇒
VF2 = R $ 93.170, 00
⇒ VF3 = R $ 265.734, 15
O pagamento que deveria ter sido efetuado pela empresa, na data focal 9, é representado pela soma
VF1 + VF2 . O pagamento proposto pela empresa ao banco, com saldo devedor para 9 meses, é representado
por VF3 +X . Ambos os valores na data focal 9 serão equivalentes. Assim:
VF3 +X = VF1 + VF2 ⇒ X = 235.794, 80 + 93.170, 00 − 265.734, 15 ⇒ X = R $ 63.230, 65
2.2.2
Exercícios Propostos
EP 2.1. Uma determinada empresa detém um título no valor de R $ 200.000, 00 cujo vencimento será em 6
meses. Sentindo a necessidade de adiantar o pagamento, a empresa propõe ao banco uma substituição do
30
FTC EAD |
título por um outro cujo vencimento será três meses antes. Qual será o valor do novo título, se o desconto
empregado pelo banco é o racional composto, utilizando uma taxa de 5% ao mês?
EP 2.2. Um cliente resolve quitar sua dívida de R $ 100.000, 00 com um determinado banco, que vence em 3
meses. No entanto, ele propõe ao banco que parcele a dívida em dois pagamentos iguais, sendo um no ato do
acordo (hoje) e o outro para 2 meses. Qual o valor desses pagamentos, considerando uma taxa composta de
8% ao mês?
EP 2.3. O débito de uma empresa com um banco é R $ 100.000, 00, com vencimento na data de hoje. Por
motivos financeiros, a empresa propõe a troca de sua dívidas por notas promissórias com o primeiro valor
sendo de R $ 50.000, 00 para 30 dias e uma outra, de X reais, para 60 dias. Qual o valor de X se o banco opera
com uma taxa de juro composto de 4% a.m.?
Conteúdo 02: Desconto
A noção intuitiva que temos sobre desconto, entre outras coisas, seria, por exemplo, o abatimento efetuado
sobre um certo bem de consumo quando realizamos a compra do mesmo à vista. Na Matemática Financeira,
a ideia de desconto é o abatimento realizado sobre o valor de um certo título ao qual alguém faz jus por
“comprá-lo” em data anterior ao seu vencimento. O desconto será indicado pela letra D .
Os descontos são classificados em:
¨
• Desconto Racional
Simples
Composto
¨
• Desconto Comercial
Simples
Composto
Abordaremos cada um dos tipos de descontos de forma clara, objetiva e ilustrativa, a fim de tornar o estudo
da Matemática Financeira uma prática atrativa.
Antes de deduzirmos a expressão que calcula o desconto racional simples, é de suma importância destacarmos alguns conceitos importantes relativos à data de análise do problema.
• Valor nominal ou valor futuro do título: Refere-se ao valor de resgate definido para um título em sua
data de vencimento, ou seja, o montante da operação (V F ).
• Valor atual ou valor presente do título: É o valor atual na data do desconto (VP).
Exemplo 2.3. Suponha que uma pessoa possua em mãos uma duplicata no valor de R $ 30.000, 00. Admitindo que ela tenha “vendido” a duplicata a um banco pelo valor de R $ 20.000, 00 numa data anterior ao seu
vencimento, temos que:
Valor Nominal : VF
=
R $ 30.000, 00
Valor Atual (na data do resgate) : VP =
R $ 20.000, 00
Desconto : D = VF − VP
⇒ D = R $ 10.000, 00
De uma forma simplificada, poderíamos interpretar o desconto como sendo um juro cobrado pelo comprador
do título, a pretexto de “aluguel” do dinheiro antecipado. Observe que podemos calcular o desconto baseado no
valor atual (VP) ou nominal (V F ) do título. O mais correto seria calculá-lo tendo como base o valor atual, pois,
sendo o desconto uma espécie de juro e sendo o juro proporcional ao valor atual do título, que representa o
valor do capital naquele momento. No entanto, na grande maioria dos casos, o desconto será calculado sobre
o valor nominal do título devido a maior rentabilidade por parte do comprador do título.
A incidência do desconto sobre o valor nominal ou sobre o valor atual geram os descontos racional (calculado sobre A) e o comercial (calculado sobre N ). A seguir, estudaremos, de forma detalhada, cada um dos
tipos de desconto mencionados anteriormente.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
31
2.3
Desconto Racional Simples
Também chamado de desconto real ou desconto “por dentro”, é aplicado sobre o valor atual do título e o
indicaremos, por motivos óbvios, pela letra D . Esse tipo de desconto funciona de forma equivalente aos juros
simples e, desta forma, o capital inicial corresponderá ao valor atual do título. Portanto, se um certo título for
descontado n períodos de tempo antes de sua data de vencimento, a uma taxa i e com um certo valor presente
VP, temos:
D = VP ·i · n
Na maioria das situações que envolvem descontos, o valor nominal do título é conhecido e não o atual.
Dessa forma, se faz necessário deduzir a fórmula de desconto simples em função de VF.
Observe que VF = VP +D . Assim, VP = VF −D . Segue que
D = VP ·i · n = (VP −D ) · i · n = VF ·i · n − D · i · n
⇒ D + D · i · n = VF ·i · n ⇒ D · (1 + i · n) = VF ·i · n
Isolando o valor de D , temos: D =
VF ·i · n
1+i ·n
Podemos deduzir uma importante relação para ser utilizada em desconto racional. A relação entre o valor
nominal (N ) e o valor atual (A).
VP = VF −D
⇒
⇒
VP = VF −
VP =
VF ·i · n
1+i ·n
VF + VF ·i · n − VF ·i · n
1+i ·n
⇒ VP =
⇒
VF ·(1 + i · n) − VF ·i · n
1+i ·n
VP =
VF
1+i ·n
VF
pode ser reescrita como VF = VP ·(1 + i · n) e, desta forma, percebemos que,
1+i ·n
na verdade, estamos adaptando a fórmula da capitalização simples ou juro simples, VF = VP ·(1 + i · n) ao
desconto.
Observe que VP =
ER 18. Uma pessoa pretende saldar uma dívida cujo valor nominal é de R $ 6.462, 50, dois meses antes da
data de vencimento. Qual o desconto que será obtido por ela se a taxa corrente no mercado é de 60% a.a. e o
critério adotado foi o do desconto racional simples?
Solução: Para responder este exercício, basta utilizar de forma direta a expressão do desconto racional
VF ·i · n
simples D =
.
1+i ·n
Devemos observar que a taxa de juros está com unidade temporal diferente do número de períodos que,
no caso em questão, é n = 2 meses. Utilizando equivalência de taxas para juro simples, temos:
ia = 12 · im ⇒ im =
60
ia
⇒ im =
⇒ im = 5
12
12
Assim, substituindo os valores na fórmula do desconto racional simples, temos:
D=
646, 25
6.462, 50 · 0, 05 · 2
⇒D=
⇒ D = R $ 587, 50
1 + 0, 05 · 2
1, 1
ER 19. Qual o valor atual de uma nota promissória de R $ 7.500, 00, quatro meses antes do seu vencimento, à
taxa de 24% a.a. considerando o desconto como racional simples?
32
FTC EAD |
Solução: Utilizaremos nesta questão a relação entre valor atual e valor nominal de um título, ou seja,
VF
VP =
. Mais uma vez, a única alteração que devemos fazer é mudar a taxa de ano para mês utilizando
1+i ·n
a equivalência de taxas a juros simples. Assim,
ia = 12 · im ⇒ im =
24
ia
⇒ im =
⇒ im = 2.
12
12
Calculando o valor atual da promissória, temos:
VP =
7.500, 00
7.500, 00
⇒ VP =
⇒ VP ≃ R $ 6.944, 44
1 + 0, 02 · 4
1, 08
ER 20. Uma nota promissória, resgatada 90 dias antes de seu vencimento, foi negociada por R $ 53.409, 00, à
taxa de desconto racional de 84% a.a. Qual era o valor nominal desse título?
Solução: Para a resolução desta questão, utilizaremos a relação entre valor nominal e valor atual dada
pela expressão VF = VP ·(1 + i · n). A taxa deverá ser alterada para mês, utilizando a equivalência de taxa,
lembrando, ainda, que 90 dias são, na verdade, 3 meses. Portanto,
ia = 12 · im ⇒ im =
ia
84
⇒ im =
⇒ im = 7
12
12
Calculando o valor nominal da promissória, temos:
VF = 53.409, 00 · (1 + 0, 07 · 3) ⇒ VF = R $ 64.624, 89
ER 21. Um título foi resgatado racionalmente 2 meses antes de seu vencimento. Qual foi a taxa de juro
simples adotada nessa operação, se o desconto concedido foi igual à metade do valor atual do título na data
do resgate?
Solução: Já sabemos que o desconto racional simples é aplicado diretamente no valor atual de qualquer
título n períodos antes de seu vencimento> Assim, D = VP ·i · n.
VP
A questão nos informa que D =
no ato do resgate, se n = 2 meses, calculando o valor de i temos:
2
1
1
VP
= VP ·i · 2 ⇒ = 2 · i ⇒ i = = 0, 25 ⇒ i = 25% ao mês
2
2
4
2.3.1
Exercícios Propostos
EP 2.4. Um título com valor nominal de R $ 50.000, 00 foi resgatado 35 dias antes de sua data de vencimento,
à taxa de 90% a.a., sobre o critério de desconto racional simples. Qual foi o desconto concedido? Por quanto
foi negociado o título?
EP 2.5. Qual o valor líquido de uma promissória, de valor nominal R $ 70.213, 15, resgatada 2 meses antes de
seu vencimento, a 17% a.m., pelo critério de desconto racional?
EP 2.6. O valor atual de um título 5 dias antes do seu vencimento é igual a 10 vezes o desconto racional a
ele relativo. Qual a taxa envolvida nesta operação?
EP 2.7. Dois títulos, A e B , foram resgatados por R $ 220.000, 00 à taxa de 5% ao mês, 2 e 3 meses, respectivamente, antes de suas datas de vencimento. Sabe-se que o valor do resgate do título B supera o valor do
MATEMÁTICA FINANCEIRA
33
resgate do título A em 20% deste. Pede-se para encontrar o valor do desconto “por dentro” obtido em cada
título.
EP 2.8. Uma pessoa tomou uma quantia de R $ 30.000, 00 emprestada para pagamento em 1 ano, à taxa de
18, 5% a.m. Quatro meses antes do prazo previsto para o vencimento, essa pessoa propôs o pagamento da
dívida, desde que fosse efetuado um desconto racional simples pela taxa em vigor na época (25%). Qual o
valor que o devedor está propondo pagar?
2.4
Desconto Comercial Simples ou Bancário
Também chamado de desconto “por fora” é o desconto aplicado sobre o valor nominal do título. Indicaremos
o desconto comercial simples por D . Observe que este tipo de desconto é o mais utilizado, afinal para quem
está comprando um certo título antes de sua data de vencimento, é interessante aplicar o desconto no valor
nominal do título, pois, desta forma, o valor do desconto será o maior possível. Este tipo de desconto equivale
a uma espécie de juro simples, em que o capital inicial ou VP foi substituído pelo valor nominal do título ou VF.
Para um título ser descontado de forma comercial a uma taxa de desconto comercial id , n períodos de tempo
antes de sua data de vencimento, devemos ter:
D = VF ·id · n
A relação entre o valor atual e o nominal, lembrando que VF = VP +D , poderá ser deduzida da seguinte forma:
VP = VF −D ⇒ VP = VF − VF ·id · n ⇒ VP = VF ·(1 − id · n)
Se quisermos colocar o valor nominal em função do valor atual basta isolar a variável VF em VP = VF ·(1− id · n),
assim:
VP
VF =
1 − id · n
ER 22. Em 2002, um título com valor nominal de R $ 35.000, 00 foi resgatado 40 dias antes de seu vencimento,
à taxa de 30% a.m. Qual o desconto comercial concedido?
Solução: Para resolver esta questão, podemos utilizar de forma direta a expressão que calcula o desconto composto D . Antes, precisamos mudar a unidade temporal da taxa fornecida de mês para dias,
utilizando a equivalência de taxas, assim:
im = 30 · id ⇒ id =
30
im
⇒ id =
⇒ id = 1
30
30
Calculando o desconto comercial simples, temos:
D = 35.000, 00 · 0, 01 · 40 ⇒ D = R $ 14.000, 00
ER 23. Em 2007, resolvi quitar uma dívida de R $ 8.500, 00, faltando 23 dias para o seu vencimento. Que valor
devo pagar, se meu credor exigiu que a a operação se realizasse com base na taxa de desconto comercial de
36% ao mês?
Solução: Esta questão pede para ser calculado o valor atual da dívida na referida data. Assim, utilizaremos a relação entre valor atual e valor nominal para desconto comercial simples. A taxa, mais uma vez,
34
FTC EAD |
deverá ser alterada de mês para dias. Assim,
im = 30 · id ⇒ id =
im
36
⇒ id =
⇒ id = 1, 2.
30
30
Calculando o valor atual na referida data, temos:
VP = 8.500, 00 · (1 − (0, 012 · 23)) ⇒ VP = 8.500, 00 · 0, 724 ⇒ VP = R $ 6.154, 00
ER 24. Por uma duplicata de R $ 20.000, 00 um banco pagou o líquido de R $ 19.250, 00. Quantos dias ainda
faltavam para o vencimento do título, se a operação deu-se à taxa comercial simples de 30% ao mês?
Solução: Assim como foi feito na questão anterior, podemos utilizar a relação entre valor atual e nominal
para desconto comercial. A taxa tem de ser alterada para dias, afinal a questão pede o número de períodos
antes da data de vencimento do título em dias.
ia = 360 · id ⇒ id =
30
ia
⇒ id =
⇒ id ≃ 0, 0833
360
360
Calculando o número de períodos n temos:
19.250, 00 = 20.000, 00 = (1 − 0, 000833 · n) ⇒ −0, 000833 · n =
2.4.1
19.250, 00
− 1 ⇒ n ≃ 45dias
20.000, 00
Exercícios Propostos
EP 2.9. Em 2002 o resgate de uma nota promissória de R $ 320.000, 00, um mês e 15 dias antes de seu
vencimento, foi feito com desconto comercial simples de R $ 144.000, 00. Qual é a taxa diária de desconto
adotada nesta operação?
EP 2.10. Qual foi o prazo de antecipação de um título de R $ 32.000, 00, negociado com desconto de
R $ 8.064, 00, à taxa comercial de 7% ao mês?
EP 2.11. O quociente entre os descontos comercial e racional de um título é de 1, 5. Qual a taxa de desconto
comercial ic adotada na operação, se ir = 2 · ic e o período de antecipação foi de 5 meses.
EP 2.12. Em 2007, por uma duplicata de R $ 50.000, 00, um banco pagou, em data anterior a seu vencimento
R $ 30.000, 00. Encontre o período de antecipação do título, sabendo que a operação se deu sobre o critério do
desconto comercial.
EP 2.13. Um título com valor nominal de R $ 10.000, 00 deveria ter sido resgatado pelos critérios de desconto
“por fora”. No entanto, na hora de efetuar os cálculos, o critério usado, por engano, foi o do desconto “por
dentro”. Qual a diferença gerada por este equívoco, se isto ocorreu 2 meses antes do vencimento, a 15% a.m.?
2.5
Relação entre os Descontos: Racional Simples e Comercial Simples
Em alguns casos, existe a necessidade de calcularmos o desconto racional simples tendo o comercial
simples, ou vice-versa. Assim, podemos encontrar uma relação que envolva os dois descontos ao mesmo
tempo. A dedução para esta relação é bastante simples e de fácil compreensão. Sabemos que o desconto
MATEMÁTICA FINANCEIRA
35
racional simples, ou desconto “por dentro”, é calculado sobre o valor atual de um certo título, denotando por
Dr . A sua expressão é dada por:
VF ·i · n
(i ) Dr =
1+i ·n
O desconto comercial simples ou “por fora” é calculado sobre o valor nominal de um determinado título. Isso
faz com que o comprador do título se beneficie, afinal o valor a ser descontado será maior. Denotando por Dc ,
a expressão para o desconto comercial simples é:
(ii ) Dc = VF ·id · n
Observe que o desconto comercial simples é exatamente o numerado da expressão para o desconto racional
simples, usando (i ) e (ii ) temos:
Dc
Dr =
ouDc = Dr · (1 + i · n)
1+i ·n
ER 25. Numa operação de desconto de um título a vencer em 5 meses o Dc é R $ 140, 00 maior que o Dr .
Determine o valor nominal do título se a taxa empregada foi de 24% a.a.
Solução: Em primeiro lugar, precisamos ajustar o a unidade temporal da taxa de juros com o número de
períodos n. Como a capitalização é simples, usaremos a equivalência de taxas a juros simples. Assim,
ia = 12 · im ⇒ im =
24
ia
⇒ im =
⇒ im = 2
12
12
Observe que se encontrarmos o valor do desconto comercial dc utilizando a expressão Dc = VF ·i · n, encontramos o valor nominal N . A questão nos informa que Dc = Dr + 140 ⇒ Dr = 140 − Dc mas Dc = Dr · (1 + i · n).
Assim, Dc = Dr · (1 + (0, 02 · 5) ⇒ Dc = 1, 1 · Dr . Logo, D = 140 − Dc e Dc = 1, 1 · Dr . Portanto,
Dc = 1, 1 · (140 − Dc ) ⇒ Dc − 1, 1 · Dc = −140 · 1, 1 ⇒ −0, 1 · Dc = −154 ⇒ Dc = 1540.
Voltando a expressão que calcula o desconto comercial composto, temos,
1540 = VF ·0, 02 · 5 ⇒ VF =
2.6
1540
⇒ VF = R $ 15.400, 00.
0, 1
Desconto Bancário
Sempre que utilizamos serviços bancários, tais como abertura de contas, emissão de extrato bancário,
emissão de talões de cheques, por exemplo, existe, nesses casos, um percentual cobrado pelo banco por
oferecer tais serviços.
O desconto bancário pode ser considerado uma extensão do desconto comercial, para isso, basta que
acrescentemos a taxa de serviço bancário “t”, que comumente inclui o IOF (Imposto sobre Operações Financeiras), que incide sobre o valor nominal. Assim, as expressões que calculam o desconto comercial simples e
o valor a ser liberado sofrem um pequena alteração com a inclusão da taxa de desconto bancário. Deste modo,
as expressões passam a ser:
• Desconto Bancário:
D = VF ·id · n + VF ·t
⇒ D = VF ·(id · n + t ))
• Valor Presente:
VP = VF −D
36
FTC EAD |
⇒ VP = VF − VF ·(id · n + t ))
⇒ VP = VF ·[1 − (id · n + t )]
ER 26. Uma empresa foi a um banco e descontou uma duplicata no valor de R $ 18.000, 00, 108 dias antes do
vencimento. Se o banco cobrou uma comissão de 0, 5% e que a taxa de desconto comercial foi de 30% a.a.,
determine o valor descontado.
Solução: A resolução desta questão é bem simples, mas devemos estar atentos para a unidade temporal
da taxa de juro, afinal o número de períodos foi dado em dias. Transformando a quantidade de dias em anos,
basta resolver a seguinte regra de três:
Anos
1
Dias
360
x
108
3
108
que simplificado por 36 resulta em x =
. Utilizando a
360
10
expressão para o cálculo valor presente, temos:
portanto, 360 · x = 108 e, desta forma, x =
•

VP = VF ·[1 − (id · n + t )] ⇒ VP = 18.000 · 1 − 0, 3 ·
3
+ 0, 005
10
‹˜
⇒ VP = R $ 16.290, 00
ER 27. Em um banco, com taxa de serviço de 2%, foi descontado no dia 05/03/07 um título no valor nominal
de R $ 10.000, 00, com vencimento em 13/06/07. Se o valor descontado bancário fosse de R $ 9.100, 00, qual
seria a taxa de desconto adotada?
Solução: Apesar de ser algo tão simples, contar dias entre duas datas é a coisa mais fácil de se confundir. Existem 2 meses e 8 dias entre as datas citadas anteriormente. Assim, n = 2, 8 meses. Utilizando a
fórmula do valor presente com taxa bancária temos:
VP = VF ·[1 − (id · n + t )]
⇒ 9.100 = 10.000 · [2, 8 · id + 0, 02]
⇒ 9.100 = 28.000 · id + 200
⇒ id =
2.7
9.100 − 200
≃ 0, 3178 ⇒ i ≃ 31, 78% ao mês
28.000
Desconto Racional Composto
O desconto racional composto, com relação a um certo título de crédito, é a diferença entre o valor nominal
e o valor atual deste, os quais são determinados com base no sistema de capitalização composta.
D = VF − VP
A fórmula para o desconto racional em função do valor nominal do título será obtida pela fórmula de montante
composto VF = VP ·(1 + i )n , assim temos:
VF = VP ·(1 + i )n ⇒ VP =
VF
ou VP = VF ·(1 + i )−n
(1 + i )n
Como D = VF − VP e VP = VF ·(1 + i )−n , ficamos com:
D = VF − VF ·(1 + i )−n ⇒ D = VF ·[1 − (1 + i )−n ]
ER 28. Encontrar o desconto racional composto, concedido no resgate de um título de R $ 50.000, 00, recebido
2 meses antes do seu vencimento à taxa de 3% ao mês.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
37
Solução: Observa-se que a unidade temporal da taxa e do número de períodos estão compatíveis, caso
tivéssemos que mudar a taxa, por exemplo, usaríamos a equivalência de taxa para juros compostos. Dessa
forma, podemos utilizar a fórmula para desconto racional composto de forma imediata.
D = 50.000, 00 · [1 − (1 + 0, 03)−2] ⇒ D = 50.000, 00 · 0, 057404 ⇒ D = R $ 2.870, 20
ER 29. Qual o valor atual de um título de R $ 100.000, 00, resgatado racionalmente à taxa composta de 4%
a.m., 3 meses antes do seu vencimento?
Solução: Utilizando de forma imediata a relação entre valor atual juntamente com valor nominal VP =
VF ·(1 + i )−n , temos que:
VP = 100.000, 00 · (1 + 0, 04)−3 ⇒ VP = 100.000, 00 · 0, 888996 ⇒ VP = R $ 88.899, 60
ER 30. Por ter pago uma dívida de R $ 300.000, 00, 4 meses antes de seu vencimento, uma pessoa obteve um
desconto de R $ 22.846, 50. Qual a taxa de desconto racional envolvida nessa operação?
Solução: Podemos aplicar de forma imediata a expressão D = VF ·[1 − (1 + i )−n ], uma vez que todos os
dados fornecidos estão com suas unidades compatíveis. Assim,
D = VF ·[1 − (1 + i )−n ] ⇒ 22.846, 50 = 300.000, 00 · [1 − (1 + i )−4 ]
⇒
22.846, 50
= 1 − (1 + i )−4
300.000, 00
⇒ 0, 076155 = 1 − (1 + i )−4
⇒ (1 + i )−4 = 0, 923845
r
⇒ i=
2.7.1
4
1
− 1 ≃ 0, 02
0, 923845
Exercícios Propostos
EP 2.14. Uma indústria obteve um empréstimo para ser pago, em um único pagamento de R $ 2.000.000, 00,
após 1 ano. Decorridos 10 meses, a diretoria resolveu liquidá-lo. Qual o desconto racional composto a que fez
jus se a taxa adotada na operação foi de 5% ao mês?
EP 2.15. Com base na taxa composta de 10% ao mês, um título foi descontado 3 meses antes de seu
vencimento. Qual o valor atual desse título se o seu valor nominal é de R $ 400.000, 00?
EP 2.16. Encontre a taxa de juro composto adotada no desconto racional de um título de R $ 975.000, 00,
sabendo que o título sofreu um desconto de R $ 125.344, 50 a 4 meses de seu vencimento.
EP 2.17. Por um título de R $ 1.000.000, 00 paguei R $ 887.971, 00. Qual o prazo de antecipação desse título
se o desconto racional composto deu-se a 2% a.m.?
EP 2.18. O valor de um título, descontado 6 meses antes de seu vencimento, reduziu-se de R $ 465, 85 para
R $ 350, 00. Qual a taxa bimestral racional composta, adotada nessa operação?
38
FTC EAD |
2.8
Desconto Comercial Composto
Pelo motivo de estar fora de uso no âmbito financeiro, não será dada a mesma ênfase ao desconto comercial
composto se compararmos com os outros tipos de descontos visto até agora. No entanto, deduziremos as
fórmulas necessárias para o cálculo do valor atual, nominal e do desconto comercial composto. Além disso,
deixaremos como motivação aos leitores dois exercícios resolvidos sobre este tipo de desconto.
O desconto comercial composto será obtido a partir do desconto comercial simples, aplicando a fórmula
VP = VF ·(1 − i ) período a período, de forma bastante semelhante ao que foi feito com o juro composto.
Chamando de VPn o valor atual comercial do título, n períodos antes de sua data de vencimento descontado a
taxa composta i , temos:
VP1 = VF ·(1 − i )
VP2 = VP1 ·(1 − i ) ⇒ VP2 = VF ·(1 − i ) · (1 − i ) = VF ·(1 − i )2
VP3 = VP2 ·(1 − i ) ⇒ VP3 = VF ·(1 − i )2 · (1 − i ) = VF ·(1 − i )3
..
..
.
.
Seguindo essa lógica, temos que o valor atual comercial do título VPn será dado pela expressão:
VPn = VF ·(1 − i )n
Por abreviação de notação, utilizaremos apenas VP no lugar VPn quando nos referirmos ao valor obtido
depois de efetuado o desconto comercial composto. Podemos visualizar a expressão anterior de uma outra
maneira, o valor nominal do título em função do valor atual comercial do título, dessa forma:
VF =
VP
ou VF = VP ·(1 − i )−n
(1 − i )n
Para encontrarmos a expressão do desconto comercial composto, que denotaremos por D , basta lembrarmos que VF = VP +D , assim:
D = VF − VP ⇒ D = VF − VF ·(1 − i )n ⇒ D = VF ·[1 − (1 − i )n ].
A seguir, alguns exemplos resolvidos servirão para fortalecer as notações e a utilização do desconto comercial composto.
ER 31. Obter o desconto comercial composto, concedido num resgate de um título de R $ 50.000, 00, 2 meses
antes de seu vencimento, à taxa de 3% ao mês.
Solução: Observe que as unidades do número de períodos n e da taxa de desconto comercial composto
i = 3% ao mês estão totalmente compatíveis. Dessa forma, podemos aplicar a fórmula para o juro comercial
composto de forma imediata.
D = F V · [1 − (1 − i )n ] = 50.000, 00 · [1 − (1 − 0, 03)2 ] = 50.000, 00 · 0, 0591 = R $ 2.955, 00
ER 32. Qual o valor de um título de R $ 100.000, 00, 3 meses antes de seu vencimento, considerando-se uma
taxa composta de 4% ao mês, sob o critério de desconto comercial composto?
Solução: Nesta questão, estamos interessados em achar o valor atual do título, ou seja, VP na data
em questão. Podemos usar de forma imediata a relação entre VP e F V uma vez que todos os elementos
envolvidos estão com suas unidades compatíveis, desta forma:
VP = VF ·(1 − i )n = 100.000, 00 · (1 − 0, 04)3 = 100.000, 00 · 0, 9216 = R $ 92.160, 00
MATEMÁTICA FINANCEIRA
39
2.8.1
Exercícios Propostos
EP 2.19. Uma empresa deve R $ 80.000, 00 a um banco e o vencimento se dará daqui a 10 meses. No entanto,
4 meses antes do vencimento da dívida resolve quitar antecipadamente o empréstimo e solicita ao banco um
desconto. O banco informa que opera de acordo com o conceito de desconto composto “por fora”, sendo sua
taxa de desconto para esse tipo de operação de 3, 5% ao mês. Pede-se calcular o valor líquido que a empresa
deve pagar ao banco quando da liquidação antecipada do empréstimo.
EP 2.20. Um título foi descontado à taxa de 3% a.m. 5 meses antes de seu vencimento. Sabe-se que
esta operação produziu um desconto de R $ 39.000, 00. Admitindo o conceito de desconto comercial composto,
calcular o valor nominal do título.
EP 2.21. Um título de valor nominal de R $ 35.000, 00 é negociado mediante uma operação de desconto
composto “por fora” 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto adotada é de 5% ao mês. Pede-se
determinar o valor descontado e o desconto.
Gabarito
2.1 R $ 172.767, 51. 2.2 R $ 44.515, 66. 2.3 R $ 56.160, 00. 2.4 D = R $ 1.807, 23 e VP = R $ 48.192, 77 2.5 VP = R $ 52.397, 87. 2.6
i = 2% a.d. 2.7 DA = R $ 10.000, 00 e DB = R $ 18.000, 00. 2.8 VP = R $ 48.300, 00. 2.9 i = 1% ao dia. 2.10 n = 3, 6 meses. 2.11
ic = 20% ao mês. 2.12 n = 10 dias. 2.13 R $ 692, 31. 2.14 D = R $ 185.942, 00. 2.15 VP = R $ 300.526, 00. 2.16 i = 3, 5% ao mês.
2.17 n = 6 meses. 2.18 i = 10% ao bimestre. 2.19 R $ 69.374, 40. 2.20 R $ 276.074, 92. 2.21 Desconto - R $ 4.991, 88, Valor Descontado R $ 30.008, 12.
40
FTC EAD |
BLOCO 02
Operações Financeiras e
Análise de Investimentos
Podemos afirmar que Operações Financeiras são realizadas diariamente, seja por profissionais da própria
área, tais como administradores, contadores e economistas, como também por um simples cidadão ao comprar
um determinado bem de consumo através de um financiamento. Assim, é fácil perceber que as pessoas
que possuem um conhecimento específico em transações ou operações financeiras representam um conjunto
restrito de cidadãos que não se deixam levar por certas “facilidades” que o mercado financeiro proporciona,
utilizando veículos de comunicação em massa, como a televisão, por exemplo.
Ter em mãos o dinheiro necessário para investir no próprio negócio ou dar entrada na casa própria, na
maioria das vezes, é menos importante, do que, por exemplo, saber realmente como irá pagar o financiamento,
que tipo de plano será utilizado ou, então, quais as taxas estão sendo utilizadas nesta operação.
Desta forma, neste bloco temático proponho uma abordagem ampla sobre os conceitos de séries de capitais, detalhando os tipos mais utilizados no mercado financeiro, além de conteúdos envolvendo um assunto tão
importante no contexto mundial como a inflação, passando pelos sistemas de amortização, alguns bem conhecidos, como os utilizados nos planos de habitação e, finalizando, os métodos de análise de investimentos,
que são de extrema importância e de grande utilidade na escolha correta que minimize os custos, maximizando
o retorno financeiro devido ao investimento.
Série de Capitais, Inflação e
TEMA 03
Depreciação
Conteúdo 01: Série de Capitais
Todos nós, no dia a dia, nos defrontamos com apelos de consumo e de poupança através de planos de
pagamentos que se adaptam aos mais diversos orçamentos. Negócios são possíveis através do parcelamento
ou recomposição de débitos, alternativas de investimentos em máquinas e equipamentos de vida útil economicamente limitada, ou suas respectivas substituições, também são algumas situações com as quais as empresas
se defrontam em seus orçamentos de capital. O estudo das séries nos fornece o instrumental necessário para
estabelecer planos de poupança, de financiamento, de recomposição de dívidas e avaliação de alternativas de
investimentos.
Define-se série, renda ou anuidade, uma sucessão de pagamentos, exigíveis em épocas pré-determinadas,
destinada a extinguir uma dívida ou constituir um capital. Cada um dos pagamentos que compõem uma série
denomina-se termo de uma renda e, conforme sejam iguais ou não, a série se denominará, respectivamente,
uniforme ou variável.
Se os pagamentos forem exigidos em épocas cujos intervalos de tempo são iguais, a série se denominará
periódica. Se os pagamentos forem exigidos em intervalos de tempo variados, a série se denominará nãoperiódica.
Se o primeiro pagamento for exigido no primeiro intervalo de tempo a que se referir uma determinada taxa
de juros, teremos uma série imediata, caso contrário, ela será diferida. Teremos uma série temporária ou uma
perpetuidade conforme seja, respectivamente, finito ou infinito o número de seus termos. As séries periódicas
e uniformes podem ser divididas em séries postecipadas, antecipadas e diferidas. As séries periódicas e uniformes serão o alvo principal do nosso estudo, pelo simples fato de sua grande utilização no âmbito financeiro.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
41
3.1
Série Postecipada
São as séries nas quais os pagamentos ou recebimentos são efetuados no fim de cada intervalo de tempo a
que se referir a taxa de juros considerada. Os pagamentos ou recebimentos para este tipo de série são sempre
constantes, durante todo o período da capitalização. Um modelo de uma série postecipada é dado pela figura
a seguir. Nota-se, pela figura, que o início da série não é a data focal zero e esta será a característica principal
das séries postecipadas. Os pagamentos serão denotados por PMT, uma vez que são constantes; os valores
presente (VP) e futuro (V F ) continuam com as mesmas notações, assim como a taxa de juros i juntamente
com o número de períodos n. A capitalização utilizada para as séries postecipadas e também para as demais
séries será do tipo composta. Uma série postecipada pode ser representada, em sua forma geral, pela figura:
Série Postecipada
VP
0
1
2
3
4
VF
5
n
7
6
PMT PMT PMT
PMT
Utilizando uma didática um pouco diferente do modo convencional, ao invés de fazermos demonstrações
teóricas das fórmulas do valor presente (VP) e do valor futuro (V F ), utilizaremos exemplos práticos no intuito
de chegarmos às mesmas fórmulas de uma maneira mais natural. Veja o seguinte exemplo:
Exemplo 3.1. Suponha que uma certa pessoa deseja fazer 6 aplicações mensais, iguais e consecutivas, de
R $ 200, 00 a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês. Sabendo que a primeira parcela do investimento
será aplicada ao final do primeiro mês, ou seja, 30 dias após a data tomada (data focal zero) como referência
ao início do investimento, encontrar o montante ou valor futuro ao final de 6 meses de investimento.
A situação descrita anteriormente pode ser representada, em termos de diagrama de fluxo de caixa, pela
figura a seguir:
Série Postecipada
VF =?
meses
0
1
2
3
200, 00 200, 00 200, 00
4
5
6
6
7
200, 00
Encontrar o valor futuro do investimento ao final de 6 meses significa encontrar cada um dos valores futuros
proporcionados por cada depósito na data focal n = 6 e adicioná-los. Utilizando equivalência de capitais, já
sabemos que um determinado valor poderá ser adiantado ou recuado na linha do tempo através da capitalização composta. Observe que apenas o depósito no mês 6 não precisará ser deslocado, uma vez que está
posicionado exatamente na data de análise do problema (data focal 6). Assim, para cada um dos pagamentos,
42
FTC EAD |
temos que:
mês 1
mês 2
mês 3
mês 4
mês 5
mês 6
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
VF1
VF2
VF3
VF4
VF5
VF6
= 200 · (1 + 0, 04)5
= 200 · (1 + 0, 04)4
= 200 · (1 + 0, 04)3
= 200 · (1 + 0, 04)2
= 200 · (1 + 0, 04)1
= 200 · (1 + 0, 04)0
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
VF1
VF2
VF3
VF4
VF5
VF6
≈ 243, 33
≈ 233, 97
≈ 224, 97
≈ 216, 32
≈ 208, 00
≈ 200, 00
Lembrando que devemos acrescentar a parcela de R $ 200, 00, referente ao mês 6, que não sofrerá deslocamento algum. Dessa forma, o valor futuro total do investimento será dado por:
VF = VF1 + VF2 + VF3 + VF4 + VF5 + VF6 ⇒ VF = 1.326, 59
Tal procedimento não seria recomendado em séries cujo número de termos fosse muito elevado. Imagine,
por exemplo, calcular o valor futuro numa série de 100 termos, utilizando a ideia do exemplo anterior? Portanto,
temos que equacionar tal problema deduzindo uma expressão que nos facilite o cálculo do valor futuro sem
precisar calcular o valor futuro de cada termo da série na data focal escolhida. Podemos pensar a mesma situação anterior de uma forma mais sofisticada e elegante. O valor futuro, encontrado através da adição de cada
um dos valores futuros obtidos pelo deslocamento de cada um dos termos da série, poderá ser rearrumado e
visto da seguinte maneira:
VF = 200 + 200 · (1 + 0, 04)1 + 200 · (1 + 0, 04)2 + 200 · (1 + 0, 04)3 + 200 · (1 + 0, 04)4 + 200 · (1 + 0, 04)5
Se observamos com bastante atenção, a soma dos F Vi , com 1 ≤ i ≤ 6, é, na verdade, a soma finita dos termos
de uma progressão geométrica (verifiquem!) cuja razão q é a divisão de um termo qualquer (exceto o primeiro
termo) pelo seu antecessor. Calculando a razão da P.G., temos:
q=
200 · (1 + 0, 04)1
a2
⇒q=
⇒ q = (1 + 0, 04)
a1
200
A soma para uma quantidade finita de termos de uma P .G . qualquer é dada pela expressão:
Sn =
a1 · (q n − 1)
q−1
Utilizando-a para o nosso exemplo, em que a1 = 200 e n = 6, temos:
S6 =
a1 · (q 6 − 1)
200 · ((1 + 0, 04)6 − 1)
⇒ S6 =
⇒ S6 ≈ 1.326, 59.
q−1
(1 + 0, 04) − 1
Calcular o valor futuro utilizando a soma dos termos de uma P.G. finita será uma ferramenta importante no
estudo de todas as séries que serão abordadas neste tema.
Generalizando para um série postecipada de n pagamentos ou recebimentos denotados por PMT, contados
ao final do primeiro período de capitalização composta, utilizando uma taxa de juros i , o valor futuro, ao final
de n períodos de capitalização, é dado por:
•
(1 + i )n − 1
VF = PMT ·
i
•
˜
˜
(1 + i )n − 1
é chamado de fator de acumulação de capital e denotado por
i
FAC (i , n) ou an|i (lê-se a, n cantoneira i , é muito utilizado em concursos devido à não permissão da
utilização de calculadoras. Assim, para encontrar o fator de acumulação, o candidato utiliza tabelas finanNota 7. O elemento
ceiras com os coeficientes já pré-calculados). Fica a cargo do leitor escolher a notação que lhe for mais
conveniente pois ambas estão corretas e são bastante utilizadas.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
43
Análogo ao que foi feito com relação ao valor presente das séries postecipadas, utilizaremos também um
exemplo, com a finalidade de encontrarmos a expressão para o cálculo do valor presente (V P ) nas séries
postecipadas.
Exemplo 3.2. Qual será o valor presente que, financiado à taxa de 4% ao mês, poderá ser pago em 5
prestações mensais, iguais e sucessivas, de R $ 200, 00 cada uma?
A situação descrita pelo exemplo 3.2 é representada através de um diagrama de fluxo de caixa, dado pela
figura a seguir:
Série Postecipada
VP =?
meses
0
1
2
3
4
5
6
200, 00 200, 00 200, 00
5
7
200, 00
Como feito anteriormente, através da equivalência de capitais o valor presente que salda a dívida financiada
através de 5 pagamentos de R $ 200, 00 cada será obtido pela adição de cada um dos valores presentes de cada
termo da série. Em outras palavras, iremos retroceder cada um dos termos até a data focal zero. Assim,
mês 1
⇒ VP1 =
200
(1 + 0, 04)1
⇒ VP1 ≈ 192, 31
mês 2
⇒ VP2 =
200
(1 + 0, 04)2
⇒ VP2 ≈ 184, 91
mês 3
⇒ VP3 =
200
(1 + 0, 04)3
⇒ VP3 ≈ 177, 80
mês 4
⇒ VP4 =
200
(1 + 0, 04)4
⇒ VP4 ≈ 170, 96
mês 5
⇒ VP5 =
200
(1 + 0, 04)5
⇒ VP5 ≈ 164, 38
Portanto, o valor presente procurado será exatamente a soma de todos os valores presentes obtidos de cada
um dos termos.
VP = VP1 + VP2 + VP3 + VP4 + VP5 ⇒ VP ≈ 890, 36.
Como poderíamos deduzir a fórmula do valor presente, tendo em mãos a expressão que calcula o valor
futuro de qualquer série postecipada? Vamos pensar da seguinte forma: o valor presente VP = 890, 36 foi
obtido através da equivalência de capitais, na data focal zero, de cada um dos termos da série. Observe
que, se tivéssemos o valor futuro associado ao valor presente VP = 890, 36, poderíamos utilizar mais uma
vez a equivalência de capitais na data focal zero e, desta forma, o valor encontrado seria exatamente igual a
VP = 890, 36.
Para qualquer série postecipada podemos comparar o valor presente na data focal zero com o valor futuro
na data focal n, ou seja, no final da capitalização, através da relação de juros compostos:
VF = VP ·(1 + i )n
O valor futuro, por sua vez, pode ser calculado através da expressão deduzida anteriormente:
•
VF = PMT ·
44
FTC EAD |
(1 + i )n − 1
i
˜
Utilizando as duas expressões, podemos afirmar que:
•
VP ·(1 + i )n = PMT ·
(1 + i )n − 1
i
˜
Isolando a variável VP na expressão anterior, ficamos com:
•
VP = PMT ·
(1 + i )n − 1
i · (1 + i )n
˜
Apesar da expressão colocar o valor de VP em função da taxa de juros i dos termos PMT da série e do
número de períodos n, podemos simplificar os cálculos de modo a tornar essa relação simples de ser utilizada.
Vamos proceder da seguinte forma: primeiro, colocaremos o termo (1 + i )n em evidência no numerado.
2
˜3
•
1
(1 + i )n 7
7
5
i · (1 + i )n
n
6 (1 + i ) 1 −
VP = PMT · 6
4
Depois disso, podemos cancelar o fator (1 + i )n , já que é comum tanto no numerador quanto no denominador,
1
= (1 + i )−n , chegamos a:
lembrando ainda que
(1 + i )n
1 − (1 + i )−n
VP = PMT ·
.
i
Isto significa que podemos encontrar o valor presente de uma série postecipada qualquer de n termos iguais,
capitalizados a uma taxa de juro composto i .
Voltando à questão anterior, já sabemos do valor presente que foi VP = 890, 36. Utilizando a fórmula para o
valor presente da série postecipada, vamos encontrar VP para o exemplo e comparar com o valor encontrado
anteriormente, assim:
1 − (1 + 0, 04)−5
VP = 200 ·
⇒ VP ≈ 890, 36
0, 04
Os valores são exatamente iguais, como era de se imaginar, afinal utilizamos algo muito importante na Matemática
Financeira, a equivalência de capitais numa mesma data focal utilizando uma mesma taxa de juros e, portanto,
já sabíamos que o resultado seria o mesmo.
1 − (1 + i )−n
Nota 8. O fator
, também é conhecido por fator de valor atual ou, de forma abreviada, por
i
F VA(i , n). A notação an|i também poderá ser utilizada pelo leitor, sem restrições.
ER 4. Qual o valor futuro ou montante, no final de 8 meses, referente a uma aplicação de R $ 1.000, 00 por
mês, à taxa de 5% ao mês?
Solução: A questão é uma aplicação direta da fórmula para o valor futuro de uma série postecipada
como mostra a figura abaixo:
Série Postecipada
VF =?
meses
0
1
2
3
1.000, 001.000, 001.000, 00
4
5
6
6
7
1.000, 00
MATEMÁTICA FINANCEIRA
45
Observe que a unidade temporal da taxa tem de ser sempre igual à unidade em que as parcelas são
depositadas, no caso em questão, meses. Assim, aplicando a fórmula para o valor futuro, temos:
(1 + 0, 05)8 − 1
⇒ VF ≈ R $ 9.549, 11
VF = 1.000 ·
0, 05
ER 5. Calcule o número de prestações semestrais de R $ 15.000, 00, cada uma, capaz de liquidar um financiamento de R $ 49.882, 65, à taxa de 44% ao ano.
Solução: Nesta questão, devemos ficar atentos, pois a taxa de juros não está com mesma unidade temporal das prestações. Utilizando uma equivalência de taxas, podemos encontrar a taxa semestral equivalente.
Assim,
(1 + ia ) = (1 + is )2 ⇒ is =
p
1 + ia − 1 ⇒ is =
√
1 + 0, 44 − 1 ⇒ is ≈ 20%
Série Postecipada
VP = 49.882, 65
semestre
0
1
2
3
4
5
15.000, 00 15.000, 00 15.000, 00
6
n 7=?
15.000, 00
Para encontrar o valor de n, utilizaremos a fórmula do valor presente para séries postecipadas.
VP = PMT ·
49.882, 65
1 − (1 + i )−n
1 − (1 + 0, 2)−n
1 − (1, 2)−n
⇒ 49.882, 65 = 15.000, 00 ·
⇒
=·
i
0, 2
15.000, 00
0, 2
1 − (1, 2)−n
⇒ 3, 32551 =
⇒ 0, 665102 = 1 − (1, 2)−n ⇒ (1, 2)−n = 0, 334898
0, 2
⇒ log(1, 2)−n = log 0, 334898 ⇒ n = −
log 0, 334898
⇒ n ≈ 6 semestres
log(1, 2)
ER 6. Um empréstimo de R $ 30.000, 00 é concedido por uma instituição financeira para ser liquidado em 12
prestações iguais, mensais e consecutivas. Sabendo que a taxa de juros é de 3, 5% ao mês, calcular o valor
das parcelas.
Solução: Para calcular o valor das prestações, utilizaremos a fórmula do valor presente para séries
postecipadas isolando PMT. A taxa não precisa ser alterada, uma vez que as prestações serão mensais.
46
FTC EAD |
Série Postecipada
VP = 30.000, 00
meses
0
PMT = 3.1.1
1
2
3
PMT
PMT
PMT
4
5
6
12
7
PMT
VP
30.000
⇒ PMT = ⇒ PMT = 3.104, 52
−n
1 − (1 + i )
1 − (1 + 0, 035)−12
i
0, 035
Exercícios Propostos
EP 3.1. Quanto deverá ser aplicado, a cada 2 meses, em um “fundo de renda fixa”, à taxa de 5% ao bimestre,
durante 3 anos e meio, para que se obtenha, ao final desse prazo, um montante de R $ 175.000, 00?
EP 3.2. Uma certa loja de eletro-eletrônicos vende um aparelho de som à vista por R $ 780, 00 ou dois cheques
pré-datados de R $ 413, 00 para 30 e 60 dias. Determinar a taxa de juro composta mensal.
EP 3.3. Calcular o valor presente de um fluxo de 15 pagamentos mensais de R $ 2.100, 00 cada, sendo que o
primeiro desembolso ocorre de hoje a 15 dias. Admita uma taxa de juros de 2, 2% ao mês.
EP 3.4. Uma televisão está sendo negociada em 6 pagamentos mensais de R $ 72, 00 cada. Qual deverá ser
a entrada, de forma que o financiamento seja equivalente ao preço a vista de R $ 650, 00, utilizando uma taxa
de juros igual a 3, 9% ao mês.
As séries que trataremos a seguir são conhecidas pelo nome de antecipadas. Tais séries possuem uma
característica importante: o primeiro pagamento ou recebimento ocorre sempre no início do período, ou seja,
exatamente na data focal zero. Para dedução das fórmulas do valor presente e futuro das séries antecipadas,
utilizaremos o que já foi visto para as séries postecipadas.
3.2
Séries Antecipadas
As séries chamadas de antecipadas ou com termos antecipados são caracterizadas pelos pagamentos ou
recebimentos começarem antes do vencimento do primeiro período. Assim, a primeira prestação será sempre
paga na data focal zero, ou seja, na data início do contrato de empréstimo, financiamento ou qualquer outra
operação financeira que implique em pagamentos ou recebimentos de prestações.
Série Antecipada
VP
0
1
2
3
PMT
PMT
PMT
PMT
4
VF
5
n
6
7
PMT
MATEMÁTICA FINANCEIRA
47
As fórmulas para o cálculo do valor presente VP e do valor futuro VF serão deduzidas a partir do valor
presente e futuro das séries postecipadas. Com o intuito de ilustrar e tornar mais didática a dedução das
fórmulas, utilizaremos um exemplo com a finalidade de tornar mais simples a compreensão deste tipo de série.
Exemplo 3.3. Qual será o valor futuro ou montante ao final do 6o mês de aplicação de seis prestações iguais,
mensais e consecutivas de R $ 200, 00, à taxa de 4% ao mês, sabendo que a primeira prestação é feita na data
focal zero, ou seja, exatamente na data início do contrato?
Série Antecipada
VF =?
meses
0
1
2
3
4
n
6
5
200, 00 200, 00 200, 00 200, 00
7
200, 00
Encontrar o que procuramos, ou seja, o valor futuro ao final de 6 meses, significará deslocar todos os
pagamentos, mês a mês, e compará-los na mesma data focal 5. O montante procurado será nada mais nada
menos do que a soma de todos os valores futuros obtidos de cada pagamento deslocado. Portanto, para cada
pagamento, temos:
mês0 ⇒ VF0 = 200 · (1 + 0, 04)6 ⇒ VF0 ≈ 253, 06
mês1 ⇒ VF1 = 200 · (1 + 0, 04)5 ⇒ VF1 ≈ 243, 33
mês2 ⇒ VF2 = 200 · (1 + 0, 04)4 ⇒ VF2 ≈ 233, 97
mês3 ⇒ VF3 = 200 · (1 + 0, 04)3 ⇒ VF3 ≈ 224, 97
mês4 ⇒ VF4 = 200 · (1 + 0, 04)2 ⇒ VF4 ≈ 216, 32
mês5 ⇒ VF5 = 200 · (1 + 0, 04)1 ⇒ VF5 ≈ 208, 00
Assim, ao final do sexto mês, o montante ou valor futuro obtido será exatamente a soma de todos os valores
futuros de cada termo da série. Dessa forma,
VF = VF0 + VF1 + VF2 + VF3 + VF4 + VF5 ⇒ VF = 1.379, 65
Observe que a situação utilizada para ilustrar e deduzir as fórmulas do valor futuro e presente para as séries
antecipadas é a mesma utilizada para as séries postecipadas, exceto pela forma de capitalizar. Afinal, as séries
postecipadas não possuem pagamentos ou recebimentos na data início da série. Naquele momento o valor
futuro obtido para a série postecipada foi R $ 1.326, 59. Com o mesmo exemplo e utilizando um novo tipo de
série, no caso, antecipada, obtemos um montante igual a R $ 1.379, 65. É fácil perceber que os valores futuros
encontrados para cada uma das séries estão interligados, afinal “a distância” de um para o outro é de apenas
1 período de capitalização, ou, no caso em questão, um mês. Desta forma, é correto afirmar que:
1.379, 65 = (1 + 0, 04)1 · 1.326, 59
Em outras palavras, encontrar o valor futuro de uma série antecipada significa encontrar o valor futuro de
uma série postecipada e capitalizar o valor por mais um período apenas. Assim, a fórmula para o cálculo do
valor futuro das séries antecipadas é:
•
˜
(1 + i )n − 1
VF = (1 + i ) · PMT ·
.
i
Com relação ao valor presente para as séries antecipadas, antes da fórmula propriamente dita, encontraremos cada um dos valores presentes para um determinado exemplo, assim como feito nas séries postecipadas e, logo após, deduziremos a fórmula. Lembrando que o valor presente VP para uma série de capitais
48
FTC EAD |
qualquer será a soma de todos os valores presentes de cada um dos termos da série, quando deslocados a
juro composto para a data focal zero. Através de mais um exemplo, ilustraremos a relação existente entre o
valor presente das séries antecipadas com o da série postecipada.
ER 7. Qual será o valor presente que, financiado à taxa de 4% ao mês, poderá ser pago em 5 prestações
mensais, iguais e sucessivas de R $ 200, 00 cada uma, sendo a primeira delas a vencer hoje, ou seja, data focal
zero?
Solução: O diagrama de fluxo de caixa, para este exercício, é dado a seguir.
200
mês0 ⇒ VP0 =
(1 + 0, 04)0
Série Antecipada
VP =?
meses
0
1
2
3
4
200, 00 200, 00 200, 00 200, 00 200, 00
⇒ VP1 ≈ 200, 00
mês1 ⇒ VP1 =
200
(1 + 0, 04)1
⇒ VP1 ≈ 192, 31
mês2 ⇒ VP2 =
200
(1 + 0, 04)2
⇒ VP2 ≈ 184, 91
mês3 ⇒ VP3 =
200
(1 + 0, 04)3
⇒ VP3 ≈ 177, 80
200
⇒ VP4 ≈ 170, 96
(1 + 0, 04)4
O valor presente procurado é a soma de cada um dos valores presentes, deslocados para a data focal
mês4 ⇒ VP4 =
zero. Assim,
VP = VP0 + VP1 + VP2 + VP3 + VP4 ⇒ VP = 925, 98
Observe que, para o exercício 3.2, em que a série é postecipada, o valor presente encontrado foi R $ 890, 36.
Se modificarmos a série do exercício 3.2 para uma série do tipo antecipada, o valor presente será igual à
R $ 925, 98. Lembrando que, no caso das séries postecipadas, o valor presente era calculado um período antes
do primeiro termo, afinal tais séries começam sempre um período após o início do financiamento. Desse modo,
quando encontramos o valor presente para as séries antecipadas, o resultado obtido está situado na data focal
zero igual às séries postecipadas, porém, ainda existe um termo nesta data focal. Assim, para que os valores
presentes sejam equivalentes, precisamos “descapitalizar”, por mais um período, o valor presente obtido na
série antecipada e, somente assim, tal valor será equivalente ao obtido pela série postecipada. Portanto,
890, 36 =
1
925, 98
ou então890, 36 =
· 925, 98.
1 + 0, 04
1 + 0, 04
Concluímos, então, que o valor presente para a série antecipada será igual ao da série postecipada, se
recuarmos por mais um período de capitalização. De forma geral, podemos escrever:
1
1 − (1 + i )−n
1 − (1 + i )−n
⇔ VP = (1 + i )−1 · PMT ·
· PMT ·
VP =
(1 + i )
i
i
Através de alguns exemplos resolvidos mostraremos a grande aplicação das séries antecipadas. Na grande
maioria dos casos, as séries postecipadas se caracterizam, por exemplo, por compras em que o consumidor
terá de efetuar um valor de entrada na aquisição de um determinado bem de consumo.
ER 8. Uma pessoa deve pagar um financiamento em 6 prestações mensais antecipadas de R $ 13.000, 00,
cada. Calcular o valor do financiamento se a taxa de juros cobrada for de 24% ao ano.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
49
Série Antecipada
VP =?
meses
0
1
2
3
4
5
13.000, 00 13.000, 00 13.000, 00 13.000, 00 13.000, 00 13.000, 00
Solução: Observe que o número de prestações está com uma unidade diferente da taxa utilizada. Desta
forma precisamos colocar a taxa na unidade temporal mensal, utilizando equivalência de taxas a juros compostos.
1
⇒ im = (1 + 0, 24) 12 − 1 ⇒ im ≈ 0, 0181
12
(1 + ia ) = (1 + im )
De posse da taxa de juros equivalente mensal, calculemos o valor presente da série. Assim,
VP = (1 + i )−1 · PMT ·
1 − (1 + i )−n
i
⇒ VP = (1 + 0, 0181)−1 · 13.000 ·
1 − (1 + 0, 0181)−6
0, 0181
⇒ VP ≈ R $ 71.984, 90
ER 9. Quantas aplicações mensais de R $ 1.000, 00 são necessárias para se obter um valor futuro de R $ 33.426, 47,
sabendo-se que a taxa de juros utilizada é de 3% ao mês, que a primeira aplicação é feita no ato da assinatura
do contrato e que a última, 30 dias antes do resgate daquele valor?
Solução: Para este exemplo utilizaremos a expressão que calcula o
Série Antecipada
VF = 33.426, 47
valor futuro das séries antecipadas.
A taxa fornecida é dada em meses,
meses
0
dessa forma o número de períodos a
ser encontrado será calculado de 30
2
3
1.000, 00 1.000, 00 1.000, 00
em 30 dias.
•
VF = (1 + i ) · PMT ·
˜
n 4=?
n+
51
1.000, 00 1.000, 00
•
(1 + i )n − 1
(1 + 0, 03)n − 1
⇒ 33.426, 47 = (1 + 0, 03) · 1.000 ·
i
0, 03
•
⇒
1
˜
•
(1 + 0, 03)n − 1
(1 + 0, 03)n − 1
33.426, 47
=
⇒ 32, 4528835 =
(1 + 0, 03) · 1.000
0, 03
0, 03
⇒ (1, 03)n = 1, 973586504 ⇒ n =
˜
˜
log 1, 973586504
⇒ n ≈ 23 meses
log 1, 03
ER 10. Quanto se deve depositar no início de cada mês para que, ao final de 3 anos, não se processando
nenhuma retirada, se tenha R $ 60.000, 00, supondo que a instituição financeira opere com uma taxa de juro de
3, 2% ao mês?
50
FTC EAD |
Solução: Observe que, ao final de 3 anos,
Série Antecipada
VF = 60.000, 00
terão se passado exatamente 3 · 12 meses.
Assim, o número de períodos da série antecipada é n = 36 meses. Como a taxa de juros já foi dada em meses, podemos aplicar
meses
0
1
2
3
4
5
36
6
37
7
de forma direta a expressão para o valor futuro das séries antecipadas.
PMT PMT PMT
•
PMT
˜
(1 + i )n − 1
(1 + 0, 032)36 − 1
VF = (1 + i ) · PMT ·
⇒ 60.000, 00 = (1 + 0, 032) · PMT ·
i
0, 032
⇒
3.2.1
PMT =
60.000, 00
60.000, 00
⇒ PMT =
⇒ PMT = 882, 61
36
67, 98025181
(1 + 0, 032) − 1
(1 + 0, 032) ·
0, 032
Exercícios Propostos
EP 3.5. Um determinado terreno está sendo vendido por R $ 20.000, 00 à vista, ou por 40% de entrada e o
restante em 12 prestações mensais. Utilizando uma taxa de 2, 5% ao mês, determine o valor de cada prestação
mensal.
EP 3.6. Que montante obterá uma pessoa que deposite periodicamente R $ 170, 00, conforme a tabela?
N ◦ de Prestações
Período
Taxa mensal
7
mês
7, 5
12
trimestre
16
5
semestre
9
EP 3.7. Considerando juros nominais de 36% ao ano, determinar o tempo necessário para liquidar um
financiamento de R $ 842, 36 por meio de prestações mensais antecipadas de R $ 120, 00.
EP 3.8. Uma loja financia compras cobrando uma taxa de juros efetiva de 8% ao mês e oferece as seguintes
opções de pagamento:
(a) 12 parcelas mensais iguais postecipadas;
(b) 15 parcelas mensais iguais, com entrada;
Se o valor da compra é de R $ 3.200, 00, determinar o valor de cada prestação.
Séries Diferidas
Diferimento ou carência é representado, em termos de diagrama de fluxo de caixa, por uma certa quantidade
m de períodos, com m > 1, que antecedem o início dos termos de uma determinada série. As séries que
possuem tal característica são chamadas de diferidas e sua utilização no mercado financeiro, em geral, é
bastante significativa. As séries diferidas estão divididas em dois grupos:
¨
Séries Diferidas
Postecipadas
Antecipadas
MATEMÁTICA FINANCEIRA
51
Situações, como comprar parcelado e pagar em 60, 90 ou 120 dias, são exemplos de aplicação das séries
diferidas. Apesar de parecer uma ótima proposta, os juros corrente nas situações que envolvem carência estarão embutidos no valor do produto. São as armadilhas que muitos estabelecimentos utilizam para “mascarar”
o valor real do produto.
3.3
Séries Diferidas Postecipadas
A série diferida postecipada tem como
principal característica o fato de o primeiro
termo estar situado exatamente um período
unitário após o tempo de carência m. Observe que, neste caso, encontrando o valor
presente, pela equivalência de capitais de
todos os n termos da série na data focal
m, basta retroceder VP mais m períodos de
modo a encontrá-lo na respectiva data focal
zero.
Série Diferida Postecipada
VP
m
0
VF
m+1 m+2
m+n
PMT PMT
PMT
Carência
O valor presente na data focal m será dado pela soma de cada um dos termos atualizados na mesma data
focal, utilizando uma taxa de juros compostos i . Dessa forma,
VP
=
PMT
PMT
PMT
+
+ ...+
(1 + i )m+1−m
(1 + i )m+2−m
(1 + i )m+n−m
=
PMT
PMT
1
1
PMT
1
+
+ ...+
= PMT ·
+
+ ...+
1
2
n
1
2
(1 + i )
(1 + i )
(1 + i )
(1 + i )
(1 + i )
(1 + i )n
•
•
˜
˜
1
1
1
representa a soma dos n primeiros termos de uma P.G. e,
+
+ ...+
(1 + i )1
(1 + i )2
(1 + i )n
desta forma, podemos calcular a soma desses elementos através da expressão:
Observe que
Sn =
a1 · (q n − 1)
(1 + i )−2
⇒ q = (1 + i )−1 .
ondeq =
q−1
(1 + i )−1
Portanto, o valor presente na data focal m será:
2
3
−1
6 (1 + i )
VP = PMT · 4
−n
· [(1 + i )
1
−1
1+i
− 1] 7
2
3
−1
6 (1 + i )
5 = PMT · 4
−n
· [(1 + i )
−i
1+i
− 1] 7
5 = PMT ·
1 − (1 + i )−n
i
Lembrando-se que este valor presente está sendo calculado na data focal m, mas estamos
interessados
em
1 − (1 + i )−n
encontrar o valor presente na data focal zero. Para isso, basta que atualizemos VP = PMT ·
na
i
referida data. Assim:
1 − (1 + i )−n
−m
VP = (1 + i )
· PMT ·
.
i
A expressão que calcula o valor presente para as séries diferidas postecipadas se assemelha bastante com
a fórmula para o valor presente das séries antecipadas.
Para encontrar o valor futuro das séries diferidas postecipadas, basta atualizar todos os pagamentos na data
focal m + n através de equivalência de capitais ou, então, aproveitar que já temos em mãos o valor presente na
data focal m e atualizá-lo na data focal n + m. Caminhar de m até m + n significa capitalizar durante n períodos.
Assim,
•
˜
1 − (1 + i )−n
(1 + i )n − 1
n
· (1 + i )n ⇒ VF = PMT ·
VF = VP ·(1 + i ) ⇒ VF = PMT ·
i
i
52
FTC EAD |
Observe que o valor futuro para uma série do tipo diferida postecipada é exatamente igual ao da série postecipada. Vejamos alguns exemplos de aplicação desse tipo de série.
ER 11. Ana compra de um amigo uma casa, cujo valor à vista é de R $ 150.000, 00 nas seguintes condições:
Entrada de R $ 50.000, 00 mais prestações mensais de R $ 18.598, 04, com 13 meses de carência. Sabendo-se
que a taxa de juros utilizada na transação é de 4, 5% ao mês, encontre o número de prestações.
Solução: O problema trata de uma série diferida postecipada, como mostra a figura. Dessa forma, a
primeira parcela vence exatamente um período unitário após a carência, ou seja, no mês 14. A taxa de juros
já está de acordo com o período (meses). Devemos lembrar, ainda, que foi feito um pagamento (entrada) na
data focal zero, assim o valor presente a ser considerado será VP = 150.000, 00 − 50.000, 00 = 100.000, 00.
Utilizando a fórmula para valor presente das séries diferidas postecipadas, temos:
Série Diferida Postecipada
VP = 150.000, 00
13
0
14
meses
13 + n
15
Carência
50.000, 00
18.598, 04 18.598, 04
VP = (1 + i )−m · PMT ·
1 − (1 + i )−n
1 − (1 + 0, 045)−n
⇒ 100.000 = (1 + 0, 045)−13 · 18.598, 04 ·
i
0, 045
⇒
18.598, 04
1 − (1 + 0, 045)−n
1 − (1 + 0, 045)−n
100.000
=
⇒
9,
528940132
=
(1 + 0, 045)−13 · 18.598, 04
0, 045
0, 045
⇒ 0, 428802305 = 1 − (1 + 0, 045)−n ⇒ n = −
log 0, 571197694
⇒ n ≈ 12 parcelas
log 1, 045
ER 12. Um financiamento de R $ 50.000, 00 será pago em 12 prestações mensais aplicando-se juros de 18%
ao ano. Se o início dos pagamentos deve ocorrer ao término de um período de carência de 3 meses, calcular
o valor das prestações.
Solução: Em primeiro lugar, devemos transformar a taxa de juros de ano para meses, utilizando a
equivalência de taxas.
12
(1 + ia ) = (1 + im )
1
⇒ im = (1 + 0, 18) 12 − 1 ⇒ im ≈ 0, 0138
Série Diferida Postecipada
0
1
2
Carência
3
4
5
PMT
PMT
VF = 50.000, 00
6
7
meses
15
8
PMT
MATEMÁTICA FINANCEIRA
53
O tempo de carência da série são 3 meses, isto significa que m = 3. Utilizando a fórmula do valor presente
para séries diferidas postecipadas, temos:
−m
VP = (1 + i )
1 − (1 + i )−n
1 − (1 + 0, 0138)−12
⇒ 50.000 = (1 + 0, 0138)−3 · PMT ·
· PMT ·
i
0, 0138
2
6
⇒ PMT = 6
4
3
7
50.000
50.000
7
−12 5 ⇒ PMT = 10, 54679466 ⇒ PMT ≈ 4.425, 93
1
−
(1
+
0,
0138)
(1 + 0, 0138)−3 ·
0, 0138
ER 13. Um clube vende títulos de sócio mediante uma entrada de R $ 500, 00 e 36 prestações mensais de
R $ 200, 00. Para facilitar a venda, permite que o pagamento da 1a prestação ocorra 4 meses após a compra.
Qual é o valor do título à vista se a taxa de juros é de 2, 5% ao mês?
Solução:
Devemos estar atentos para esta questão, pois existe um pagamento (entrada) efetu-
ado na data focal zero.
Desta forma, o valor à vista do título será a soma do valor presente na
data focal zero com a entrada de R $ 200, 00.
A taxa já está na unidade temporal das prestações,
assim podemos utilizar a fórmula do valor presente para séries diferidas postecipadas de forma direta
Série Diferida Postecipada
VP =?
0
3
3
1
2
Carência
500, 00
5
5
6
meses
39
8
7
200, 00 200, 00
VP = (1 + i )−m · PMT ·
4
4
200, 00
1 − (1 + i )−n
1 − (1 + 0, 025)−36
= (1 + 0, 025)−3 · 200 ·
≈ 4.374, 86
i
0, 025
Chamando por VAT ao valor à vista do título, temos:
VAT = VP +500, 00 ⇒ VAT = 4.374, 86 + 500, 00 ⇒ VAT = 4.874, 86.
3.3.1
Exercícios Propostos
EP 3.9. Determinar o preço de um televisor que é vendido em 10 prestações iguais e mensais de R $ 80, 00,
sendo a primeira prestação a ser paga 3 meses após a data da compra. Considere uma taxa de juros de 4%
ao mês.
EP 3.10. Uma dívida de R $ 34000, 00 foi financiada em 24 pagamentos mensais, com carência de 8 meses, à
taxa de 2, 34% ao mês. Calcular o valor das prestações.
EP 3.11. Uma mercadoria é vendida a prazo em 5 pagamentos mensais e iguais de R $ 700, 00. Sendo de
3, 5% a taxa de juro, determinar o seu preço à vista, admitindo que o primeiro pagamento será efetuado ao final
do segundo mês.
EP 3.12. Um equipamento de som profissional é vendido à vista por R $ 8.000, 00, ou em 4 pagamentos
mensais de R $ 2.085, 79, ocorrendo o primeiro pagamento 3 meses após a compra. Qual deve ser o valor da
entrada, admitindo uma taxa de juro igual a 4% ao mês?
54
FTC EAD |
3.4
Séries Diferidas Antecipadas
A característica principal de uma série
diferida do tipo antecipada é que o
primeiro termo coincide com o final do
período de carência. A dedução das expressões para o valor presente e futuro
será baseada nas fórmulas para as séries
diferidas postecipadas.
Série Diferida Antecipada
VP
0
1
2
Carência
m
3
m4
+1 m5
+2
VF
meses
7 m + 8n − 1
6
PMT PMT PMT
PMT
1 − (1 + i )−n
A fórmula VP = (1 + i )
· PMT ·
foi deduzida baseada na data focal m final do período de
i
carência, porém o primeiro termo da série estava situado 1 período após o encerramento da carência, ou seja,
m + 1. Precisamos fazer um pequeno ajuste nesta expressão de modo a torná-la válida para as séries diferidas
antecipadas. Como já existe um termo posicionado na data focal m, significa que estamos atualizando, através
de equivalência de capitais n − 1 termos, supondo, é claro, que o número total de termos da série seja n. Assim,
na data focal m:
−m
1 − (1 + i )−(n−1)
1 − (1 + i )−n+1
⇒ VP = PMT · 1 +
.
VP = PMT + PMT ·
i
i
Para encontrarmos o valor presente na data focal zero utilizaremos, mais uma vez, a equivalência de capitais
em VP. Assim,
VP = (1 + i )−m · PMT · 1 +
1 − (1 + i )−n+1
i
Para encontrarmos o valor futuro, basta deslocar o valor presente, que já foi calculado na data focal m,
utilizando a equivalência de capitais, n períodos a frente, ou seja, multiplicaremos VP pelo fator (1+i )n . Portanto,
1 − (1 + i )−n+1
VF = VP ·(1 + i ) ⇒ VF = PMT · 1 +
· (1 + i )n .
i
n
ER 14. Ana Rita receberá 12 prestações mensais iguais a R $ 20.000, 00 com a carência de 12 meses. Sabendo
que a taxa de juro é de 4% ao mês. Determine o valor atual com as prestações vencendo ao final do período.
Solução: Este caso representa uma série do tipo diferida antecipada, ou seja, o primeiro termo vence
exatamente no final do período de carência. A taxa de juro está com unidade temporal equivalente ao número
de períodos. Desta forma, podemos usar de forma direta a expressão que calcula o valor presente na data
focal zero para séries diferidas antecipadas.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
55
Série Diferida Antecipada
VP =?
0
12
3
1
2
Carência
13
4
14
5
6
meses
23
8
7
20.000, 00 20.000, 00 20.000, 00
−m
VP = (1 + i )
20.000, 00
1 − (1 + i )−n+1
1 − (1 + 0, 04)−12+1
· PMT · 1 +
= (1 + 0, 04)−12 · 20.000 · 1 +
i
0, 04
1 − (1 + 0, 04)−12+1
= 12491, 94099 · 1 +
≈ 121.927, 30
0, 04
ER 15. Encontre o valor de cada prestação na compra de um automóvel cujo valor à vista é de R $ 30.000, 00,
a uma taxa de 3, 5% ao mês, durante 36 meses, sendo que a primeira parcela vence exatamente ao final de um
prazo de carência de 90 dias.
Solução: Para responder esta questão podemos usar de forma direta a fórmula para o valor presente
das séries diferidas antecipadas. Dessa forma,
Série Diferida Antecipada
VP =?
0
1
2
Carência
3
3
4
4
5
5
PMT
PMT
PMT
30.000 = (1 + 0, 035)−3 · PMT · 1 +
6
meses
38
8
7
1 − (1 + 0, 035)−36+1
0, 035
PMT
Segue que:
PMT =
3.4.1
30.000
≈ 1.583, 83.
1 − (1 + 0, 035)−36+1
−3
(1 + 0, 035) · 1 +
0, 035
Exercícios Propostos
EP 3.13. Uma certa imobiliária está fazendo liquidação de alguns dos seus apartamentos. Um individuo
está interessado em um imóvel no valor de R $ 300.000, 00 e a imobiliária propôs financiar o apartamento em 15
anos, utilizando uma taxa de juros mensal de 4, 5%. Se a primeira parcela vence ao final de 120 dias, qual será
o valor de cada um das parcelas?
EP 3.14. Se o financiamento de um automóvel, em 24 meses, a uma taxa de juros 3% ao mês, com carência
de 4 meses (sendo que a primeira parcela vence exatamente no final do período de carência), proporciona um
valor de parcela igual a R $ 2.500, 00, qual será o valor do automóvel?
56
FTC EAD |
Conteúdo 02: Inflação
A inflação caracteriza-se por aumentos persistentes e generalizados dos preços dos bens e serviços à
disposição da sociedade. Quando ocorre o fenômeno inverso chamamos de deflação.
Além de saber as razões pelas quais os preços sobem e mostrar como limitar essa tendência, também há
interesse em saber como encontrar um índice que reflita essa subida.
O índice que mede a inflação é, em geral, encontrado por uma média ponderada da variação dos preços de
certos produtos e serviços. Mas que produtos e serviços devem entrar nessa média? Que critérios vão definir
o peso atribuído a esse ou àquele produto? Em que lugares do país deve-se fazer essa coleta de preços? A
coleta se dará em que dias do mês?
Variações nas respostas a essas perguntas levam diversas instituições a calcular, cada qual, um índice, de
acordo com os seus critérios e metodologias. Assim, temos o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
(IBGE), que calcula o IPC (Índice de Preços ao Consumidor) e o INPC (Índice Nacional de Preço ao Consumidor). O Dieese (Departamento Intersindical de Economia e Estatística), que calcula o ICV (Índice de Custo de
Vida). A Fundação Getúlio Vargas (FGV), que calcula o IGP (Índice Geral de Preços).
3.4.2
Atualização de Preços
Os índices de preços podem ser representados de duas formas: absoluta ou relativa. Dizemos que os
índices são relativos quando estão se referindo a um determinado período de tempo (dia, mês, ano, etc.). Os
índices absolutos referem-se a valores acumulados a partir de um certo valor, em uma determinada data. O
índice absoluto mais utilizado talvez seja o IGP-DI (Índice Geral de Preços - Disponibilidade Interna).
Estando os índices em sua forma absoluta, podemos obter a taxa pela diferença entre o quociente do índice
final e do início do período e a unidade.
i′ =
I
− 1onde:
Ir
• i ′ é a taxa de inflação do período.
• I é o índice absoluto atual.
• Ir é o índice absoluto de referência.
Através de um exemplo, mostraremos a utilização dos índices mencionados anteriormente.
ER 16. Em 1970, o IGP-DI da FGV era de 297 e, em 1975, era de 690. Qual a inflação do período?
Solução: i ′ =
I
690
− 1 ⇒ i′ =
− 1 ⇒ i ′ ≈ 1, 3232oui ′ ≈ 132, 32%
Ir
270
MATEMÁTICA FINANCEIRA
57
Nota 9. No caso dos índices relativos, para obtermos a taxa de inflação basta utilizarmos a expressão:
i ′ = (1 + I1 ) · (1 + I2 ) . . . (1 + In ) − 1onde:
• i ′ é a taxa de inflação acumulada no período de 1 a n;
• I1 é o índice de preços do mês 1;
• I2 é o índice de preços do mês 2;
• In é o índice de preços do mês n.
ER 17. A taxa de inflação no Brasil, em 1940, foi de 6, 3% a.a. Em 1941, foi de 16, 2% a.a. Qual a inflação
nesses dois anos?
Solução: Foram acumulados nesses dois anos,
i ′ = (1 + I1 ) · (1 + I2 ) − 1 = (1 + 0, 063) · (1 + 0, 162) − 1 = 23, 52%
3.4.3
Taxa Nominal e Taxa Real
Se um dado investimento foi feito numa economia inflacionada, a taxa total da operação realizada poderá
ser dividida em duas partes: a taxa de inflação e a taxa real de juros. A taxa que se obtém pela divisão dos
valores atualizados é a taxa real de juros.
Vamos encontrar uma relação entre as taxas de juros real e nominal. Para isto, vamos supor que um certo
capital inicial ou valor presente VP é aplicado por um período de tempo unitário a uma certa taxa nominal i . O
montante ou valor futuro VF1 ao final do período será dado por:
(i ) VF1 = VP ·(1 + i )
Consideremos agora que durante o mesmo período a taxa de inflação (desvalorização da moeda) foi igual
a i ′ . O capital corrigido por esta taxa acarretaria um montante:
(ii ) VF2 = VP ·(1 + i ′ )
A taxa real de juros, que indicaremos pela letra r , será aquela que, aplicada ao montante VF1 , produzirá o
montante VF2 . Dessa forma, é correto afirmar:
(iii ) VF1 = VP2 ·(1 + r )
Usando (i ), (ii ) e (iii ), chegamos à relação:
VP ·(1 + i ) = VP ·(1 + i ′ ) · (1 + r ) ⇔ 1 + r =
em que,
• r : Taxa real da operação;
• i : Taxa nominal da operação;
• i ′ : Taxa de inflação do período;
58
FTC EAD |
1+i
1+i
⇔r =
− 1,
′
1+i
1 + i′
• n : Número de períodos.
ER 18. R $ 100.000, 00 foram emprestados para serem quitado por R $ 150.000, 00 ao final de um ano. Se a
inflação no período foi de 20%, qual a taxa real do empréstimo?
Solução: Utilizando a fórmula da capitalização composta, estamos interessados em encontrar a taxa
nominal da transação. Portanto,

1
150.000 = 100.000 · (1 + i ) ⇒ i =
‹
150.000
− 1 ≈ 0, 5(50%)
100.000
Encontrando a taxa real da operação, temos:
r=
1 + 0, 50
1+i
−1=
− 1 = 0, 25(25%)
′
1+i
1 + 0, 20
ER 19. Uma determinada aplicação de R $ 38.600, 00, pelo prazo de 7 meses, gera um resgate de R $ 48.400, 00.
Sendo os juros reais de 1, 5% ao mês, calcular a taxa de correção monetária mensal e a taxa nominal de juros
desta operação.
Solução: Para encontrar a taxa de juros nominal, basta aplicar a fórmula do montante composto VF =
VP ·(1 + i )n , sendo VF = 48.400, 00, VP = 38.600, 00, n = 7. Assim:

7
48.400, 00 = 38.600, 00 · (1 + i ) ⇒ (1 + i ) =
‹1
48.400, 00 7
38.600, 00
Segue que

i=
‹1
48.400, 00 7
− 1 ≈ 0, 0328
38.600, 00
A correção monetária será, na verdade, a taxa real da operação devido à influência da taxa de juros existente.
Assim,
r=
1 + 0, 0328
− 1 ≈ 0, 0175 ⇒ r ≈ 1, 75% ao mês
1 + 0, 015
ER 20. Um imóvel foi adquirido por R $ 3.000, 00 em uma determinada data, sendo vendido por R $ 30.000, 00
quatro anos depois. Sendo a taxa de inflação em cada um desses anos de 100%, determinar a rentabilidade
nominal e real anual desta operação.
Solução: Para encontrarmos a rentabilidade nominal utilizaremos a fórmula do juro composto VF =
VP ·(1 + i )n , sendo VP = 3.000, 00, VF = 30.000, 00, n = 4 e, como incógnita, a taxa i .
30.000 = 3.000 · (1 + i )4 ⇒ (1 + i )4 =
30.000
⇒i =
3.000

30.000
3.000
‹ 14
− 1 ≈ 0, 7783 = 77, 83%
Para encontrarmos a rentabilidade real anual utilizaremos a relação r =
1+i
− 1, em que i é a taxa
1 + i′
nominal da operação e i ′ é a inflação do período. Assim,
r=
1, 7783
1 + 0, 7783
−1⇒r =
− 1 ⇒ r = −0, 11085 ⇒ r = −11, 09% ao ano
1+1
2
MATEMÁTICA FINANCEIRA
59
3.4.4
Exercícios Propostos
EP 3.15. A taxa nominal de juros explicitada num empréstimo é de 42% ao ano. Tendo ocorrido uma variação
de 18% nos índices de preços neste mesmo período, determinar a taxa real anual de juros do empréstimo.
EP 3.16. Se um investidor auferiu a taxa real de 8% em determinado período, determinar a taxa nominal se,
neste mesmo período, a C M (correção monetária) foi de 85%.
EP 3.17. Calcular o montante de um empréstimo de R $ 10.000, 00 ao fim de 3 meses sabendo que a taxa de
juros é de 8% a.m. e a inflação durante todo o período foi de 4, 5%.
Conteúdo 03: Depreciação
A diferença entre o preço de compra de um bem e seu valor de troca (valor residual), no fim de um certo
tempo, chama-se depreciação. Esta desvalorização ocorre devido, principalmente, ao desgaste e ao envelhecimento. Por exemplo, ao comprar uma máquina por R $ 2.000, 00 e, após 10 anos, revender por R $ 500, 00,
obteve-se uma depreciação de R $ 1.500, 00. Dentre os métodos de depreciação existentes apenas o método
linear será alvo do nosso estudo.
Seja VP o custo de um ativo, cuja vida é estimada em n anos. Admitamos, no decorrer desse prazo, que
seu valor residual seja R . Isto significa que esse ativo sofre, em n anos, a depreciação VP −R . O problema
matemático sobre depreciação consiste, então, em calcular uma quota periódica, constante ou variável, que
permita, no fim daquele prazo, formar a soma VP −R , partida com a depreciação do ativo. A separação periódica dessas quotas constituirá um fundo crescente, cujo valor, no fim de n anos, será igual a VP −R .
3.4.5
Método de Depreciação Linear
Por ser o mais simples, é o mais utilizado. Consiste em dividir o total a depreciar pelo número de anos de
vida útil do bem. Desse modo, a quota anual para a constituição do fundo é constante e igual a:
Nota 10. Em geral, a depreciação de um ativo não é função linear do
tempo, sendo mais acentuada no princípio do que nos últimos anos
de vida estimada, do que resulta ser o valor dos ativos, calculado por
esse método, muito diferente da realidade.
Nota 11. Como, em geral, à medida que se acentua o uso de uma
DL =
VP −R
,
n
em que
• DL valor da depreciação;
máquina, tornam-se mais freqüentes os reparos e maiores os gastos
de conservação, é conveniente formar o fundo de depreciação por
• VP valor de compra do bem;
uma quota decrescente, de modo que sejam menos onerados por
esse fundo os períodos em que se tornem maiores aqueles gastos, a
• R valor residual;
fim de se conseguir mais uniformidade no custo de produção.
• n vida útil do bem;
ER 21. Estima-se em 8 anos a duração de uma máquina cujo custo é de R $ 20.000, 00 e em R $ 2.000, 00 o
seu valor residual no fim prazo citado. Calcular, pelo método linear, a quota anual para o fundo de depreciação
e a variação desse fundo no prazo estipulado.
Solução: Aplicando-se, diretamente, a expressão para a depreciação linear, temos:
DL =
20.000, 00 − 2.000
VP −R
⇒ DL =
⇒ DL = 2.250, 00.
n
8
Portanto, o equipamento sofrerá uma depreciação de R $ 2.250, 00 por cada ano, até o total de oito anos.
60
FTC EAD |
3.4.6
Plano de Depreciação
O plano de depreciação consiste num
quadro que demonstra, no final de cada
período, a quota de depreciação reservada,
o valor do fundo de provisão para a depreciação e o valor do bem, após este teste de
uso. A tabela é montada de acordo com a
quantidade de anos que representam a vida
útil do bem de consumo. Para cada ano vencido, o valor da depreciação será subtraido
do valor atual. Para o exemplo 21, o plano
de depreciação é dado pela tabela ao lado:
Ano
Depreciação
Depreciação Acumulada
Residual
0
-
-
20.000, 00
1
2.250, 00
2.250, 00
17.750, 00
2
2.250, 00
4.500, 00
15.500, 00
3
2.250, 00
6.750, 00
13.250, 00
4
2.250, 00
9.000, 00
11.000, 00
5
2.250, 00
11.250, 00
8.750, 00
6
2.250, 00
13.500, 00
6.500, 00
7
2.250, 00
15.750, 00
4.250, 00
8
2.250, 00
18.000, 00
2.000, 00
ER 22. Os móveis e os utensílios de uma empresa foram adquiridos por R $ 30.500, 00. Sabendo que a vida
útil é de 5 anos e o valor residual é de R $ 2.000, 00, montar a planilha de depreciação pelo Método Linear.
Solução:
O primeiro passo para a resolução
Ano
Depreciação
Depreciação
Acumulada
Residual
0
-
-
30.500, 00
1
5.700, 00
5.700, 00
24.800, 00
2
5.700, 00
11.400, 00
19.100, 00
Montando o plano de depreciação para o exem-
3
5.700, 00
17.100, 00
13.400, 00
plo, sabendo que a cada ano os móveis e utensílios da empresa depreciarão em R $ 5.700, 00
4
5.700, 00
22.800, 00
7.700, 00
5
5.700, 00
28.500, 00
2.000, 00
desta questão é encontrar o valor ou quota de
depreciação ao longo dos 5 anos.
30.500 − 2.000
VP −R
=
= 5.700.
DL =
n
5
temos:
3.4.7
Exercícios Propostos
EP 3.18. Para uma máquina, adquirida por R $ 5.000, 00, vida útil de 7 anos e valor residual nulo. Monte, pelo
método da depreciação linear, a planilha de depreciação.
EP 3.19. Monte a planilha de depreciação para o método linear de um automóvel comprado por R $ 18.000, 00,
com vida útil de 5 anos e valor residual de R $ 5.000, 00.
Gabarito
3.1 R $ 4.900, 00. 3.2 i = 3, 91% ao mês. 3.3 R $ 26.874, 90. 3.4 R $ 271, 33. 3.5 R $ 1.169, 85 3.6 R $ 1.605, 88, R $ 98.482, 32 e
R $ 5.165, 56. 3.7 7 meses. 3.8 (a) R $ 424, 62 (b) R $ 346, 16 3.9 R $ 599, 92. 3.10 R $ 2.247, 42. 3.11 R $ 3.053, 66. 3.12 R $ 1.000, 00.
3.13 R $ 15.411, 32. 3.14 R $ 30.549, 54. 3.15 r = 20, 34% a.a. 3.16 i = 99, 8% no período. 3.17 R $ 11.039, 04.
Depreciação
Valor
Ano
Depreciação
Acumulada
Residual
Depreciação
Valor
Ano
Depreciação
0
0, 00
0, 00
5.000, 00
Acumulada
Residual
1
714, 28
714, 28
4.285, 72
0
0, 00
0, 00
18.000, 00
2
714, 28
1.428, 56
2.857, 16
1
2.600, 00
2.600, 00
15.400, 00
3.18
3.19
3
714, 28
2.142, 84
714, 32
2
2.600, 00
5.200, 00
10.200, 00
4
714, 28
2.857, 12
−2.142, 80
3
2.600, 00
7.800, 00
2.400, 00
5
714, 28
3.571, 40
−5.714, 20
4
2.600, 00
10.400, 00
−8.000, 00
6
714, 28
4.285, 68
−9.999, 88
5
2.600, 00
13.000, 00
−21.000, 00
7
714, 28
4.999, 96
−14.999, 84
MATEMÁTICA FINANCEIRA
61
TEMA 04
Sistemas de Amortização e Análise de
Investimentos
Conteúdo 01: Sistemas de Amortização
Os sistemas de amortização são desenvolvidos, basicamente, para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos do principal e encargos financeiros. É importante
conhecer os detalhes dos contratos de empréstimo e as diferentes modalidades de amortização, com suas
vantagens e desvantagens, para, ao final, saber escolher, dentre as possibilidades oferecidas, qual será a mais
vantajosa para a pessoa física ou empresa.
Poderíamos definir a amortização como um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos
periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à
soma do reembolso do capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de
ambos, sendo que os juros são sempre calculados sobre o saldo devedor. Serão considerados, apenas, o
regime de juros compostos, pois, se os juros são calculados deste modo, o não pagamento em um dado
período levará a um saldo devedor maior.
A carência também pode estar presente nos processos de amortizações, sendo designada como o período
que vai da data de concessão do empréstimo até a data em que será paga a primeira prestação. Qualquer
sistema de amortização que será abordado dentro deste tema pode ou não ter carência. Dentre os sistemas de
amortização presentes no âmbito financeiro daremos um maior enfoque, pela sua grande utilização no mercado
financeiro, aos seguintes:
⋄ (SAC) Sistema de Amortização Constante;
⋄ (SAA) Sistema de Amortização Americano;
⋄ (Price) Sistema de Amortização Francês;
⋄ (SAV) Sistema de Amortização Variável.
Antes de abordarmos cada um dos sistemas de amortização mencionados anteriormente, vamos nos familiarizar com algumas nomenclaturas de uso corrente.
• Mutuário - Também chamado de devedor é, exatamente, o responsável por adquirir um determinado
empréstimo contraindo, desta forma, uma dívida.
• Mutuante - Conhecido como credor, é a parte responsável por financiar um determinado empréstimo ao
mutuário.
• Principal (VP) - É o valor de contrato do financiamento que o mutuário assume perante o agente de
financiamento e que serve de base para a apuração da prestação.
• Prestação (PMT) - É a parte do valor pago periodicamente, apurada na data de assinatura do eventual
contrato, por meio da fórmula matemática do sistema de amortização acordado pela duas partes (mutuário e mutuante). É composta de tal forma que uma parcela amortiza a dívida (amortização) e a outra
parcela remunera o capital emprestado (juros).
Prestação = Amortização + Juros
• Amortização (AMORT) - É a parte do valor da prestação que será subtraido periodicamente do saldo
devedor remanescente amortizando o capital emprestado. Compreende a parcela da efetiva devolução
da dívida ou a reposição do principal ao financiador ou mutuante.
62
FTC EAD |
• Juros (J) - É a parcela que integra o valor da prestação que é destinada ao pagamento dos juros remuneratórios do período decorrido.
• Saldo Devedor (SD) - É o valor da dívida imediatamente após o pagamento de uma determinada
prestação.
• Prazo (n) - É o período total de contratação de um determinado empréstimo.
4.1
Sistema de Amortização Constante - SAC
Como o próprio nome já indica, o sistema de amortização constante tem como principal característica o
fato de que amortizações são sempre constantes (iguais) durante todo o prazo da operação. Os juros são
decrescentes período a período, afinal incidem sempre sobre o saldo devedor, que se reduz a cada período
após o pagamento da referida amortização. Uma característica interessante sobre as prestações periódicas e
sucessivas no SAC é que formam uma progressão geométrica, devido ao comportamento da amortização e
dos juros envolvidos.
Através de um exemplo prático e bastante didático, ilustraremos uma situação, construindo a planilha de
pagamentos para a referida operação de empréstimo pelo sistema de amortização constante.
ER 23. Uma determinada empresa contraiu um empréstimo de R $ 100.000, 00 (principal) numa instituição financeira que cobra juros de 25% ao ano. Responsabilizando-se a pagar o empréstimo em 10 parcelas mensais,
a empresa aceitou quitar a dívida utilizando o sistema de amortização constante (SAC). Construa a planilha de
pagamentos com 5 colunas nomeadas por: períodos, saldo devedor, amortização, juros e prestação.
Solução: Antes dos cálculos necessários para montar a planilha, devemos lembrar que a unidade temporal da taxa de juros sempre coincide com a unidade do número de períodos. Assim, se faz necessária uma
conversão de ano para meses através da equivalência de taxas a juros compostos, ou seja,
12
(1 + ia ) = (1 + im )
1
⇒ im = (1 + 0, 25) 12 − 1 ⇒ im ≈ 0, 0187.
A amortização em cada período é constante, característica principal do SAC. Desse modo, o valor de
cada amortização é dado por:
Amortização =
100.000, 00
Valor do principal
⇒ Amortização =
= 10.000, 00.
número de prestações
10
Observe que toda planilha, para qualquer um dos sistemas de amortização, começa na data focal zero,
e, nesta, não há amortização, juros e, muito menos, valor de prestação.
Períodos
Saldo Devedor
Amortização
Juros
Prestação
0
100.000, 00
-
-
-
A partir do início do primeiro período (mês 1) o juro, a amortização e a primeira parcela a ser paga estão
presentes. Os juros de um determinado período serão calculados com base no saldo devedor do período
anterior. Denotando por J1 o juro do primeiro período, temos:
J1 = 100.000 · 0, 0187 ⇒ J1 = 1.870.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
63
O valor de uma prestação é igual à soma da amortização com os juros do período. Dessa forma, para o
primeiro mês, a parcela a ser paga é:
VF1 = Amortização + J1 ⇒ VF1 = 10.000 + 1.870 ⇒ VF1 = 11.870.
Portanto, para o primeiro período, a segunda linha de nossa planilha é preenchida da seguinte forma:
Períodos
Saldo Devedor
Amortização
Juros
Prestação
0
100.000, 00
-
-
-
1
90.000, 00
10.000,00
1.870,00
11.870
Para o segundo período, o valor do juros incide sobre o saldo devedor do período anterior, ou seja, o mês
1. Observe, pela tabela, que o valor de R $ 100.000, 00 foi amortizado em R $ 10.000, 00, resultando num saldo
devedor para o mês 2 de R $ 90.000, 00. Calculando os juros do período, temos:
J2 = 90.000 · 0, 0187 ⇒ J2 = 1.683.
Para o segundo período, o valor da prestação é dado pela soma da amortização de R $ 10.000, 00 com o
juros do período J2 = 1.683. Assim:
VF2 = amortização + J2 ⇒ VF2 = 10.000 + 1.683 ⇒ VF2 = 11.683.
Dessa forma, para o segundo período a planilha financeira corresponde a:
Períodos
Saldo Devedor
Amortização
Juros
Prestação
0
100.000, 00
-
-
-
1
90.000, 00
10.000,00
1.870,00
11.870
2
80.000, 00
10.000,00
1.683,00
11.683
Continuando com este processo, ou seja, calculando-se os juros em cada período, utilizando o saldo
devedor do período anterior e, além disso, levando em consideração que, em cada período, a parcela é
sempre a soma do juros com a amortização, a planilha completa, com todos os seus elementos calculados,
é dada por:
64
FTC EAD |
Períodos
Saldo Devedor
Amortização
Juros
Prestação
0
100.000, 00
-
-
-
1
90.000, 00
10.000, 00
1.870, 00
11.870, 00
2
80.000, 00
10.000, 00
1.683, 00
11.683, 00
3
70.000, 00
10.000, 00
1.496, 00
11.496, 00
4
60.000, 00
10.000, 00
1.309, 00
11.309, 00
5
50.000, 00
10.000, 00
1.122, 00
11.122, 00
6
40.000, 00
10.000, 00
935, 00
10.935, 00
7
30.000, 00
10.000, 00
748, 00
10.748, 00
8
20.000, 00
10.000, 00
561, 00
10.561, 00
9
10.000, 00
10.000, 00
374, 00
10.374, 00
10
-
10.000, 00
187, 00
10.187, 00
Total
-
100.000, 00
10.285, 00
110.285, 00
Observe, nesta tabela, que os juros decrescem período a período, afinal incidimos a taxa de juros sobre
o saldo devedor, que é sempre amortizado em cada período.
Agora que já sabemos como proceder para amortizar uma dívida de forma constante, podemos, enfim,
deduzir as expressões que calculam os juros e as parcelas por período.
Denotando-se a amortização por AMORT, é fácil perceber, pela tabela anterior, que em cada período n,
temos a seguinte relação:
VP
= AMORT1 = AMORT2 = . . . = AMORTn
n
Além disso, ainda pela tabela anterior, percebemos que a soma das amortizações em cada período
coincide com o principal, ou seja:
VP = AMORT1 + AMORT2 + . . . + AMORTn .
O juro do primeiro período foi calculados incidindo a taxa de juro i sobre o saldo devedor do período
anterior, que no caso é, exatamente, o valor do principal, ou seja, VP. Portanto,
J1 = VP ·i .
Para o segundo período, o juro denotado por J2 foi calculado, fazendo-se incidir a taxa de juros i sobre o
saldo devedor do período anterior, ou seja, no primeiro período. O saldo devedor no primeiro período (SD1 ) é
exatamente a diferença entre o valor principal (VP) pela amortização do período (AMORT1 ), assim:
SD1 = VP −
VP
n
Então, para o segundo período, os juros foram calculados da seguinte maneira:

J2 = VP −
VP
n
‹
•
· i ⇒ J2 =
˜
VP ·(n − 1)
· i.
n
O saldo devedor no segundo período (SD2 ) é a diferença entre o saldo devedor do período anterior (SD1 )
pela amortização do período AMORT2 . Assim,

SD2 = SD1 − AMORT2 ⇒ SD2 = VP −
VP
n
‹
−
VP
VP
⇒ SD2 = VP −2 ·
.
n
n
O juro para o terceiro período (J3 ), incidirá sobre o saldo devedor do período dois (SD2 ). Calculando J3 ,
temos que:
•
˜
J3 = SD2 ·i ⇒ J3 = VP −2 ·
•
˜
VP
VP ·(n − 2)
· i ⇒ J3 =
·i
n
n
Prosseguindo desta forma, podemos afirmar que os juros acumulados num certo período t será a soma
de todos os juros calculados em cada um dos períodos. Portanto,
Jt =
VP
· [n − (t − 1)] · i .
n
De modo a garantir a consistência desta fórmula, faremos um teste utilizando uma das linnhas da planilha
anterior, para algum período escolhido de forma aleatória. Por exemplo, para n = 4, os juros calculados foram
exatamente R $ 1.309, 00. Pela fórmula, fazendo t = 4, n = 10, VP = R $ 100.000, 00, com taxa de juros
MATEMÁTICA FINANCEIRA
65
i = 0, 0187, temos:
J4 =
100.000, 00
· [10 − (4 − 1)] · 0, 0187 ⇒ J4 = 1.309, 00.
10
Podemos, ainda, utilizando a expressão que calcula os juros para qualquer período t , encontrar o valor
de cada prestação. Para isto, basta lembrar que:
VFt = AMORTn + Jt =
VP
VP VP
+
· [n − (t − 1)] · i =
[1 + (n − t + 1) · i ]
n
n
n
Para testar a veracidade da expressão anterior, poderíamos utilizar mais uma vez a linha 4 da planilha
construída, fazendo t = 4. No período 4, a parcela encontrada foi igual a R $ 11.309, 00, com a utilização da
fórmula encontramos:
VF4 =
100.000, 00
[1 + (10 − 4 + 1) · 0, 0187] ⇒ VF4 = 11.309, 00
10
No caso da existência de carência no SAC podem ocorrer, basicamente, três situações: Os juros são pagos
durante a carência, os juros são capitalizados e pagos no vencimento da primeira amortização ou os juros são
capitalizados e acrescidos ao saldo devedor gerando um fluxo de amortizações maior. Por motivos óbvios,
a melhor dentre as três escolhas é o pagamento dos juros durante o período de carência, mas fica a cargo
do leitor a verificação de tal afirmação. Como efeito ilustrativo, utilizaremos um exemplo de um sistema de
amortização constante com o pagamento dos juros durante o período de carência.
ER 24. Construir a planilha de pagamentos pelo sistema de amortização constante, devido a um empréstimo
de R $ 100.000, 00 (principal) perante uma instituição financeira que cobra juros de 1, 87% ao mês, se comprometendo o devedor a quitar a dívida em 10 meses, com carência de 4 meses para o inicio da primeira amortização.
Solução: Durante os 4 primeiros meses, por ser um período de carência, não existirá nenhuma amortização ficando, portanto, o saldo devedor estagnado no valor de R $ 100.000, 00. Todavia, durante esse período
de carência, os juros acumulados devidos a encargos financeiros, etc, deverão ser pagos em cada um dos 4
meses iniciais. Calculando as 4 primeiras prestações, temos:
VF1 = AMORT1 + J1
VF2 = AMORT2 + J2
VF3 = AMORT3 + J3
VF4 = AMORT4 + J4
⇒ VF1 = 100.000 · 0, 0187 = 1.870, 00
⇒ VF2 = 100.000 · 0, 0187 = 1.870, 00
⇒ VF3 = 100.000 · 0, 0187 = 1.870, 00
⇒ VF4 = 100.000 · 0, 0187 = 1.870, 00
Portanto, em cada um dos quatro primeiros meses, o mutuário terá de desembolsar R $ 2.000, 00. Somente
a partir do 5◦ mês começaram as amortizações, de forma semelhante ao que foi visto para o exemplo sem
carência. A planilha completa para este exemplo é dada a seguir:
66
FTC EAD |
Períodos
Saldo Devedor
Amortização
Juros
Prestação
0
100.000, 00
-
-
-
1
100.000, 00
-
1.870, 00
1.870, 00
2
100.000, 00
-
1.870, 00
1.870, 00
3
100.000, 00
-
1.870, 00
1.870, 00
4
100.000, 00
-
1.870, 00
1.870, 00
5
90.000, 00
10.000, 00
1.870, 00
11.870, 00
6
80.000, 00
10.000, 00
1.683, 00
11.683, 00
7
70.000, 00
10.000, 00
1.496, 00
11.496, 00
8
60.000, 00
10.000, 00
1.309, 00
11.309, 00
9
50.000, 00
10.000, 00
1.122, 00
11.122, 00
10
40.000, 00
10.000, 00
935, 00
10.935, 00
11
30.000, 00
10.000, 00
748, 00
10.748, 00
12
20.000, 00
10.000, 00
561, 00
10.561, 00
13
10.000, 00
10.000, 00
374, 00
10.374, 00
14
-
10.000, 00
187, 00
10.187, 00
Total
-
100.000, 00
17.765, 00
117.765, 00
Comparando os dois exemplos, com ou sem carência, nota-se que o valor a ser pago pelo mesmo empréstimo de R $ 100.000, 00 utilizando a mesma taxa de juros mensal 1, 87% passou de R $ 110.285, 00 para
R $ 117.765, 00, ou seja, um aumento de 6, 35%.
4.1.1
Exercícios Propostos
EP 4.1. Uma pessoa está negociando a compra de um imóvel pelo valor de R $ 350.000, 00. Tendo que pagar
em cada mês uma quantia de R $ 70.000, 00, monte a planilha de pagamentos pelo sistema SAC, levando em
consideração uma taxa mensal de 2, 5%.
EP 4.2. Um banco concede um financiamento de R $ 660.000, 00 para ser liquidado em 8 pagamentos mensais
pelo sistema SAC. A operação será realizada com carência de 3 meses, sendo que os juros serão pagos
durante esse período. Sabendo que o banco utiliza uma taxa de juros anual de 34, 49%, monte a planilha de
pagamentos.
EP 4.3. Um banco concede um financiamento de R $ 80.000, 00 para ser liquidado em 8 pagamentos mensais pelo SAC. A operação é realizada com carência de 4 meses, sendo juros capitalizados neste período e
incorporados ao saldo devedor. A taxa efetiva de juros é 23% a.a. Construir a planilha deste financiamento.
EP 4.4. Um empréstimo de R $ 50.000, 00 será liquidado em 40 prestações mensais, à taxa de 4% ao mês.
Calcule o valor da 25a prestação utilizando o sistema de amortização constante.
4.2
Sistema de Amortização Francês - SAF
Este sistema foi criado na França, no final do século X I X , e aprimorado no século anterior por Richard
Price. Também conhecido como Sistema de Amortização Francês ou Sistema de Prestação Constante, é muito
utilizado nas compras de prazos menores e no crédito direto ao consumidor.
O sistema consiste em um plano de amortização de um dívida em prestações periódicas iguais e sucessivas,
MATEMÁTICA FINANCEIRA
67
em que o valor de cada prestação ou pagamento é composto por duas parcelas distintas: uma de juros e outra
de capital (chamado amortização).
As prestações no sistema Francês ou Price são iguais entre si e calculadas de tal forma que uma parcela
da prestação paga os juros e a outra amortiza o principal. Os juros decrescem, enquanto as parcelas de
amortização crescem com o tempo.
Com o intuito de tornar mais fácil a compreensão do sistema de amortização Francês ou SAF por abreviação, utilizaremos um exemplo prático, calculando cada um dos ítens que compõem a planilha de pagamentos.
ER 25. Um empresa levanta um financiamento de R $ 2.000.000, 00 sem carência para ser amortizado em 6
anos pelo SAF. Os pagamentos são efetuados anualmente a uma taxa de juros de 9% a.a. Montar a planilha
de pagamentos.
Solução: A planilha de pagamentos pelo sistema de amortização francês é construída a partir das prestações. O
VP = 2.000.000, 00
comportamento constante das prestações, durante todo o
período de tempo n, se assemelha às séries postecipadas.
Assim, calcularemos o valor de cada uma das prestações
anos
0
usando a expressão do valor presente para séries postecipadas.
VP = VF ·
•
1
2
3
PMT PMT
˜
1 − (1 + i )−n
i
⇒ VF = VP ·
=•
i
1 − (1 + i )−n
6
4
PMT
2.000.000
˜ = 445.839, 57.
0, 09
1 − (1 + 0, 09)−6
Assim, a última coluna da planilha de pagamentos pelo SAF será formada pelo valor de cada uma das
prestações calculadas anteriormente.
Períodos
Saldo Devedor
Amortização
Juros
Prestação
0
2.000.000, 00’
-
-
-
1
445.839, 57
2
445.839, 57
3
445.839, 57
4
445.839, 57
5
445.839, 57
6
445.839, 57
Total
-
2.675.037, 40
Os demais elementos da planilha serão calculados de forma sequencial. Já que temos o valor da
prestação em cada período, podemos usar a relação entre prestação, amortização e juros.
Prestação = Amortização + Juros.
Para o primeiro período (1◦ ano), os juros deverão incidir sobre o saldo devedor do período anterior.
Assim, calculando J1 , temos:
J1 = VP ·i ⇒ J1 = 2.000.000, 00 · 0, 09 ⇒ J1 = 180.000, 00
68
FTC EAD |
Portanto, a primeira amortização AMORT1 será calculada pela diferença entre VF1 e J1 . Dessa forma:
AMORT1 = VF1 − J1 ⇒ AMORT1 = 445.839, 57 − 180.000, 00 ⇒ AMORT1 = 265.839, 57.
O saldo devedor para o primeiro período é encontrado pela diferença entre o saldo devedor do período
anterior e a amortização do período. Assim:
SD1 = VP − AMORT1 ⇒ SD1 = 2.000.000, 00 − 265.839, 57 ⇒ SD1 = 1.734.160, 43
Portanto, atualizando a primeira linha da tabela com os valores da amortização e do juro para o primeiro
período, temos:
Períodos
Saldo Devedor
Amortização
Juros
Prestação
0
2.000.000, 00
-
-
-
1
1.734.160, 43
265.839, 57
180.000, 00
445.839, 57
2
445.839, 57
3
445.839, 57
4
445.839, 57
5
445.839, 57
6
445.839, 57
Total
2.675.037, 42
-
Para o segundo período (2◦ ano), o juro é calculado com base no saldo devedor do primeiro período, ou
seja, sobre R $ 1.734.160, 43. Assim:
J2 = SD1 ·i ⇒ J2 = 1.734.160, 43 · 0, 09 ⇒ J2 = 156.074, 44.
De posse do valor de J2 e da prestação do período, podemos encontrar o valor da amortização.
AMORT2 = VF2 − J2 ⇒ AMORT2 = 445.839, 57 − 156.074, 44 ⇒ AMORT2 = 289.765, 13
Finalmente, podemos encontrar o saldo devedor para o segundo período, que será dado pela diferença
entre o saldo devedor do período anterior SD1 e pela amortização do período AMORT2 . Desta forma:
SD2 = SD1 − AMORT2 ⇒ SD2 = 1.734.160, 43 − 289.765, 13 ⇒ SD2 = 1.444.395, 31.
Atualizando os referidos dados para o período 2, na respectiva linha 2 da planilha de pagamentos pelo
SAF, temos:
Períodos
Saldo Devedor
Amortização
Juros
Prestação
0
2.000.000, 00
-
-
-
1
1.734.160, 73
265.839, 57
180.000, 00
445.839, 57
2
1.444.395, 31
289.765, 13
156.074, 44
445.839, 57
3
445.839, 57
4
445.839, 57
5
445.839, 57
6
Total
445.839, 57
-
2.675.037, 42
MATEMÁTICA FINANCEIRA
69
Continuando desta forma, calculando em primeiro lugar os juros para cada um dos períodos e, logo após
a amortização e o saldo devedor, rigorosamente os três nesta ordem, a planilha finalizada de pagamentos
pelo SAF será:
Períodos
Saldo Devedor
Amortização
Juros
Prestação
0
2.000.000, 00
-
-
-
1
1.734.160, 73
265.839, 57
180.000, 00
445.839, 57
2
1.444.395, 31
289.765, 13
156.074, 44
445.839, 57
3
1.128.551, 32
315.843, 99
129.995, 58
445.839, 57
4
784.281, 37
344.269, 95
101.569, 62
445.839, 57
5
409.027, 13
375.254, 24
70.585, 32
445.839, 57
6
0, 00
409.027, 13
36.812, 44
445.839, 57
Total
-
2.000.000, 00
675.037, 40
2.675.037, 40
Assim como foi feito para o SAC, podemos deduzir as fórmulas para os juros e as amortizações, pois, neste
caso, as prestações são constantes durante todo o período e serão calculadas a parte utilizando a fórmula para
o valor presente das séries postecipadas.
Portanto, para encontrarmos as n prestações que serão pagas durante qualquer período t no SAF, basta
calcular VF através da fórmula:
VF = VP
.
1 − (1 + i )−n
i
Com respeito às amortizações é válido lembrar que, para cada um dos períodos t , encontraremos cada uma
das amortizações, pela diferença entre as prestações VF e os juros J. Para o primeiro período, por exemplo,
tivemos:
AMORT1 = VF − J1 ⇒ AMORT1 = VF − VP ·i
No segundo período, ou linha 2 da planilha de pagamentos, a respectiva amortização foi encontrada da
seguinte maneira:
AMORT2 = VF − J2 ⇒ AMORT2 = VF − SD1 ·i .
Como SD1 = VP − AMORT1 , temos:
AMORT2 = VF −(VP − AMORT1 ) · i
⇒ AMORT2 = (VF − VP ·i ) + AMORT1 ·i
|
{z
}
AMORT1
⇒ AMORT2 = AMORT1 ·(1 + i )1
No terceiro período, ou linha 3 da planilha, a amortização foi encontrada da seguinte forma:
AMORT3 = VF − J3 ⇒ AMORT3 = VF − SD2 ·i
70
FTC EAD |
Mas, SD2 = SD1 − AMORT2 . Assim:
⇒ AMORT3 = VF − SD1 ·i +[AMORT1 ·(1 + i )1 ] · i
AMORT3 = VF −(SD1 − AMORT2 ) · i
|
{z
}
AMORT2
⇒ AMORT3 = AMORT2 + AMORT1 ·(1 + i )1
⇒ AMORT3 = AMORT1 ·(1 + i )1 + AMORT1 ·(1 + i )1 · i
⇒ AMORT3 = AMORT1 ·(1 + i )1 · (1 + i )1
⇒ AMORT3 = AMORT1 ·(1 + i )2
Se continuarmos com este raciocínio podemos, enfim, concluir que a amortização para um período t qualquer será:
AMORTt = AMORT1 ·(1 + i )t −1 .
Para testarmos a veracidade desta fórmula, escolhemos a linha 5 da planilha de pagamentos do exemplo
25 a fim de verificar a consistência da expressão.
AMORT5 = AMORT1 ·(1 + 0, 09)5−1 ⇒ AMORT5 = 265.839, 57 · (1, 09)4 ⇒ AMORT5 ≈ 375.254, 25
Portanto, a expressão é válida e poderá ser utilizada em qualquer um dos períodos existentes.
Com respeito ao saldo devedor (SD) em cada um dos períodos, vale lembrar que, para o primeiro período o
saldo devedor será sempre a diferença entre o principal pela amortização do período. Assim:
SD1 = VP − AMORT1 .
Como AMORT1 = VF − J1 e J1 = VP ·i temos:
SD1 = VP −(VF − VP ·i ) ⇒ SD1 = VP ·(1 + i ) − VF .
Como já foi mencionado anteriormente, o sistema de amortização francês, por possuir parcelas fixas durante
todo o período, tem um comportamento similar a uma série postecipada. Isto significa que podemos obter a
expressão que calcula o valor presente de tais séries da seguinte maneira:
SD1
1 − (1 + i )−n
(1 + i ) − (1 + i )−n+1
− VF = VF ·
= VP ·(1 + i ) − VF = (1 + i ) · VF ·
−1
i
i
= VF ·
(1 + i ) − (1 + i )−n+1 − i
i
= VF ·
1 − (1 + i )−n+1
i
Para o segundo período, o saldo devedor será a diferença entre o saldo devedor do período anterior (SD1 )
pela amortização do período. Dessa forma:
SD2
=
SD1 − AMORT2 = SD1 −(VF − J2 ) = SD1 − VF + SD1 ·i = SD1 ·(1 + i ) − VF
=
(1 + i ) · VF ·
1 − (1 + i )−n+1
(1 + i ) − (1 + i )−n+2
1 − (1 + i )−n+2
− 1 = VF ·
− VF = VF ·
i
i
i
Prosseguindo de forma semelhante para os demais períodos, podemos, então, concluir que o saldo devedor
para qualquer período t será calculado através da expressão:
1 − (1 + i )−n+t
.
SDt = VF ·
i
MATEMÁTICA FINANCEIRA
71
Vamos verificar a consistência da expressão que deduzimos para o saldo devedor. Suponha, para o exemplo 25, que não foi calculado o saldo devedor para o período 4. Observe que, pela fórmula deduzida,
não precisamos saber o valor do saldo devedor dos períodos anteriores. Impondo a condição que t = 4 na
expressão para o saldo devedor, temos:
1 − (1 + 0, 09)−6+4
SD4 = 445.839, 57 ·
⇒ SD4 ≈ 784.281, 37
0, 09
Nota 12. Vale a pena ressaltar que o valor encontrado para o saldo devedor no 4◦ período na planilha foi
centavos de real menor do que o encontrado pela fórmula do saldo devedor. Isto se justifica, visto que as
prestações encontradas sofreram um arrendondamento numérico, fato este que contribui para o aumento
em centavos no valor encontrado pela fórmula do SDt .
Com respeito aos juros encontrados durante todos os t períodos, podemos também deduzir uma expressão
que calcule de forma direta cada um. Para o primeiro período, J1 é calculado fazendo a taxa de juros incidir
sobre o valor presente VP. Para os demais juros, calculamos o valor através da incidência sobre o saldo
devedor do período que o antecede, assim:
J2
J3
Jt
=
=
..
.
=
SD1 ·i
SD2 ·i
SDt −1 ·i
1 − (1 + i )−n+t
Como o saldo devedor já é fornecido pela expressão SDt = VF ·
i
temos:
”
—
1 − (1 + i )−n+t −1
Jt = VF ·
· i ⇒ Jt = VF · 1 − (1 + i )t −(n+1)
i
Curiosamente, poderíamos, por exemplo, calcular o valor do juros acumulados para o período 3 do exemplo
25 e comparar o resultado obtido pela fórmula com o da planilha. Portanto, teremos:
”
—
J3 = 445.839, 57 · 1 − (1 + 0, 09)3−(6+1) ≈ 129.995, 57
Caso o SAF possua carência, o procedimento adotado será semelhante ao feito para o sistema de amortização constante - SAC, com carência. Os juros serão pagos no período de carência, por ser a melhor alternativa
entre as três mencionadas para o SAC.
ER 26. Um equipamento no valor de R $ 1.200.000, 00 está sendo financiado por um certo banco no prazo de 6
anos. A taxa de juros contratada é de 15% ao ano e as amortizações anuais serão feitas pelo método Francês.
O banco ainda concede um carência de 2 anos, sendo que nesse período os juros deverão ser pagos. Elaborar
a planilha financeira de pagamentos
Solução: Como o exemplo envolve um período de carência, devemos, antes de mais nada, calcular os
juros que deverão ser pagos durante estes dois anos, fazendo incidir sobre o principal R $ 1.200.000, 00 a taxa
de 15% ao ano.
J = 1.200.000, 00 · 0, 15 ⇒ J = 180.000, 00
Podemos calcular o valor de cada parcela que deverá ser paga ao final do período de carência, utilizando
a fórmula do valor presente para séries postecipadas, assim:
1 − (1 + i )−n
1.200.000, 00
≈ 317.084, 29
⇒ VF VP = VF ·
i
1 − (1 + 0, 15)−6
0, 15
72
FTC EAD |
Utilizando as expressões desenvolvidas para amortização, saldo devedor e juros para cada um dos períodos,
encontramos a seguinte tabela:
Períodos
Saldo Devedor
Amortização
Juros
Prestação
0
1.200.000, 00
-
-
-
1
1.200.000, 00
-
180.000, 00
180.000, 00
2
1.200.000, 00
-
180.000, 00
180.000, 00
3
1.062.915, 71
137.084, 29
180.000, 00
317.084, 29
4
905.268, 78
157.646, 93
159.437, 36
317.084, 29
5
723.974, 81
181.293, 97
135.790, 32
317.084, 29
6
515.486, 75
208.488, 07
108.596, 22
317.084, 29
7
275.725, 47
239.761, 28
77.323, 01
317.084, 29
8
0, 00
275.725, 47
42.358, 82
317.084, 29
Total
-
1.200.000, 00
1.062.505, 73
2.262.505, 73
Nota 13. As fórmulas desenvolvidas para o sistema de amortização Francês não levam em consideração situações com carência e, sempre que existir, devemos fazer uma adaptação na variável t . Por
exemplo, na linha três da tabela anterior começam, de fato, as amortizações. Assim, para calcular os
”
—
juros, por exemplo, utilizando a fórmula Jt = VF · 1 − (1 + i )t −(n+1) , está incorreto fazer t = 3, afinal as
amortizações começam em t = 3. Como proceder nesses casos? Basta fazer uma simples translação,
impondo que a variável t seja substituída por t − 3 na fórmula, assim a nova expressão será dada por
”
—
Jt = VF · 1 − (1 + i )(t −3)−(n+1) e, portanto, calculamos de maneira correta os juros nesse período.
Agora que já foram mostradas todas as características do sistema de amortização Francês, alguns exercícios propostos são dados a seguir. Lembrando que para cada um dos exercícios deverá ser montada uma
planilha de pagamentos. Nossa sugestão é que seja utilizado o Excel na construção de cada planilha com o
intuito de amenizar os cálculos e tornar o estudo mais dinâmico.
4.2.1
Exercícios Propostos
EP 4.5. Um financiamento no valor de R $ 240.000, 00 deve ser saldado em 30 prestações mensais pelo
sistema SAF. A taxa de juros contratada é de 3% ao mês. Montar a planilha de pagamentos.
EP 4.6. Uma determinada empresa contraiu uma dívida de 1.000.000, 00, que foi financiada por um banco
a juros de 40% ao ano. Supondo que as primeiras prestações comecem a vencer 3 meses após o inicio de
assinatura do financiamento, monte a planilha de pagamentos levando em consideração que a empresa dispõe
de somente 5 meses para quitar sua dívida.
EP 4.7. Um equipamento no valor de R $ 50.000, 00 está sendo financiado por um banco pelo prazo de 6 anos.
A taxa de juros contratada é de 21% a.a. pelo SAF. O banco concede ainda uma carência de 3 anos para início
dos pagamentos, sendo os juros cobrados neste período. Elaborar a planilha deste financiamento.
EP 4.8. Uma empresa efetuou um financiamento de R $ 34.000, 00 para aquisição de equipamentos com
uma taxa especial de 3% ao mês em 36 prestações mensais, pelo sistema francês de amortização. Calcule o
somatório dos juros entre a 11a e a 23a prestação.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
73
4.3
Sistema de Amortização Americano - SAA
Neste modelo de sistema de amortização não existem amortizações periódicas durante todo o prazo. Em
cada um dos períodos que antecedem ao último, os juros serão pagos normalmente; somente no último
período, o valor total financiado é pago por inteiro, juntamente com os juros do período.
Um situação comum aos mutuários que assinam um contrato de financiamento pelo SAA é a constituição
de um fundo de amortização no qual serão acumuladas poupanças periódicas durante o prazo do empréstimo.
O objetivo principal deste fundo é que o montante obtido, ao final do prazo n do empréstimo, seja igual ao valor
da dívida. Podemos representar o fundo de amortização através de uma série postecipada, com n parcelas
iguais a PMT, utilizando uma taxa de juros compostos i , produzindo ao final do prazo um montante VF, que
pode ser calculado através da expressão:
•
VF = PMT ·
(1 + i )n − 1
i
˜
Podemos, ainda, associar o sistema de amortização americano a um sistema que possui sempre carência
de, no mínimo, t − 1 períodos, afinal, no último período, a dívida por total será amortizada. Através de um exemplo prático, montaremos a planilha de pagamentos, juntamente com o fundo de reserva, para um determinado
empréstimo a ser pago.
ER 27. Um financiamento no valor de R $ 2.000.000, 00 é concedido a uma empresa pelo prazo de 4 semestres.
A taxa de juros contratada é de 10% ao semestre. Sendo adotado o sistema de amortização americano para
sanar tal dívida, montar a planilha de pagamentos e encontrar as parcelas para o fundo de amortização.
Solução:
Em primeiro lugar, devemos encontrar as
VF = 2.000.000, 00
prestações, durante os 4 períodos, utilizando a fórmula para
valor futuro das séries postecipadas.
•
VF =
⇓
PMT =
(1 + i )n − 1
PMT ·
i
˜
semestres
0
VF
2.000.000, 00
≈ 470.980, 09.
•
˜=
(1 + i )n − 1
(1 + 0, 04)4 − 1
i
0, 04
1
2
3
4
PMT PMT PMT PMT
Lembrando, ainda, que no sistema de amortização americano o valor das parcelas será igual ao valor
dos juros durante t − 1 períodos no último período, o valor da parcela será acrescido do valor do principal de
R $ 2.000.000, 00. Assim, do período 1 até 3 o valor de cada parcela será:
VF = 2.000.000, 00 · 0, 04 = 80.000, 00
A planilha de pagamentos é dada a seguir:
74
FTC EAD |
Períodos
Saldo Devedor
Amortização
Juros
Prestação
0
2.000.000, 00
-
-
-
1
2.000.000, 00
-
80.000, 00
80.000, 00
2
2.000.000, 00
-
80.000, 00
80.000, 00
3
2.000.000, 00
-
80.000, 00
80.000, 00
4
2.000.000, 00
2.000.000, 00
80.000, 00
2.080.000, 00
Total
-
2.000.000, 00
320.000, 00
2.320.000, 00
4.3.1
Exercícios Propostos
EP 4.9. Em fevereiro de 2005 uma pessoa adquiriu um casa financiada pelo banco Esperança, pelo prazo de
120 meses pelo SAC. Sabendo-se que o valor financiado foi de R $ 60.000 e que a taxa efetiva de juros cobrada
pelo banco é 19, 5618% a.a. e que a primeira prestação foi paga no mês de março desse mesmo ano, calcule:
(a) O valor da prestação a vencer em março de 2006.
(b) O total de juros pagos durante o ano de 2006.
EP 4.10. Uma empresa efetuou um empréstimo de R $ 8.000, 00, pelo sistema americano, à taxa de 5% ao
mês, para pagamento em 5 meses, pagando o juro durante o período. Construir a planilha de pagamentos
conjugada com a planilha de parcelas que serão depositadas para formar o fundo de amortização.
4.4
Sistema de Amortização Variável - SAV
Existem situações nas quais o mutuário e o mutuante fixam acordo entre si com a finalidade de saldar um
determinado empréstimo, em que as amortizações não são constantes durante todo o prazo de vigência do
contrato assinado pelas duas partes.
Observe que, neste caso, a planilha de pagamentos começa a ser montada pelas amortizações que já estão
pré-definidas, ficando os juros, as prestações e o saldo devedor para serem calculados posteriormente.
Através de um exemplo, vamos visualizar o comportamento de uma determinada situação em que as duas
partes (mutuário e mutuante) fixam um acordo de pagamento de um determinado empréstimo ou dívida, com
amortizações pré-determinadas.
ER 28. Uma determinada empresa contraiu um empréstimo de R $ 160.000, 00 para ser amortizado, anualmente, da seguinte forma: 1◦ ano - R $ 10.000, 00; 2◦ ano - R $ 30.000, 00; 3◦ ano - R $ 50.000, 00; 4◦ ano -
R $ 70.000, 00. Se o acordo entre as partes propôs uma taxa de 10% ao ano, monte a planilha de pagamentos.
Solução: O primeiro passo para a construção da planilha será posicionar as amortizações pré-fixadas
nos respectivos períodos, assim:
Períodos
Saldo Devedor
Amortização
Juros
Prestação
0
160.000, 00
-
-
-
1
10.000, 00
2
30.000, 00
3
50.000, 00
4
70.000, 00
Total
-
160.000, 00
Os juros do primeiro período J1 serão calculados fazendo incidir sobre o principal a taxa de juros anual
de 10%, portanto:
J1 = 160.000, 00 · 0, 10 ⇒ J1 = 16.000
A prestação do primeiro período será a soma da amortização com os juros ambos do período, assim:
VF1 = AMORT1 + J1 ⇒ VF1 = 10.000, 00 + 16.000, 00 ⇒ J1 = 26.000, 00
MATEMÁTICA FINANCEIRA
75
Para calcular o saldo devedor do primeiro período, basta subtrair o saldo devedor do período anterior,
pela amortização do período. Desta forma:
SD1 = VP − AMORT1 ⇒ 160.000, 00 − 10.000, 00 ⇒ SD1 = 150.000, 00
Atualizando os valores encontrados para o primeiro período na tabela de pagamentos, temos:
Períodos
Saldo Devedor
Amortização
Juros
Prestação
0
160.000, 00
-
-
-
1
150.000, 00
10.000, 00
16.000, 00
26.000, 00
2
30.000, 00
3
50.000, 00
4
70.000, 00
Total
-
160.000, 00
Para o segundo período, o saldo devedor SD2 é dado pela diferença entre SD1 e a amortização do período
AMORT2 , assim:
SD2 = SD1 − AMORT2 ⇒ SD2 = 150.000, 00 − 30.000, 00 ⇒ SD2 = 120.000, 00
Os juros para o segundo período são calculados fazendo a taxa de 10% incidir sobre o saldo devedor do
período anterior, ou seja, SD1 , portanto:
J2 = SD1 ·i ⇒ J2 = 150.000, 00 · 0, 10 ⇒ J2 = 15.000, 00
A prestação para o segundo período será dada pela soma dos juros juntamente com a amortização,
ambos do período.
VF2 = AMORT2 + J2 ⇒ VF2 = 30.000, 00 + 15.000, 00 ⇒ VF2 = 45.000, 00
Atualizando os dados para o segundo período na planilha de pagamentos, temos:
Períodos
Saldo Devedor
Amortização
Juros
Prestação
0
160.000, 00
-
-
-
1
150.000, 00
10.000, 00
16.000, 00
26.000, 00
2
120.000, 00
30.000, 00
15.000, 00
45.000, 00
3
50.000, 00
4
70.000, 00
Total
-
160.000, 00
Prosseguindo desta forma, calculando os juros de um período fazendo a taxa incidir sobre o saldo devedor do período anterior, somando a amortização do período com os juros do período para, então, obter a
prestação e finalmente subtrair do saldo devedor de um período anterior a amortização do período e, com
isso, encontrar o respectivo saldo devedor, a tabela finalizada será:
76
FTC EAD |
4.4.1
Períodos
Saldo Devedor
Amortização
Juros
Prestação
0
160.000, 00
-
-
-
1
150.000, 00
10.000, 00
16.000, 00
26.000, 00
2
120.000, 00
30.000, 00
15.000, 00
45.000, 00
3
70.000, 00
50.000, 00
12.000, 00
62.000, 00
4
0, 00
70.000, 00
7.000, 00
77.000, 00
Total
-
160.000, 00
50.000, 00
210.000, 00
Exercícios Propostos
EP 4.11. Monte a planilha de pagamentos para um empréstimo de R $ 200.000, 00 que deverá ser liquidado
em 6 pagamentos mensais, com amortizações pré-determinadas da seguinte forma:
1◦ mês − R $ 10.000, 00 3◦ mês − R $ 20.000, 00 5◦ mês − R $ 55.000, 00
2◦ mês − R $ 15.000, 00 4◦ mês − R $ 35.000, 00 6◦ mês − R $ 65.000, 00
Utilizando uma taxa de juros anual de 35%, monte a planilha de pagamentos.
EP 4.12. Uma dívida de R $ 1.260, 00 deverá ser quitada em 5 prestações mensais, com as seguintes devoluções do principal: R $ 300, 00 no primeiro mês, R $ 400, 00 no segundo, R $ 200, 00 no terceiro mês, e finalmente R $ 360, 00 no último mês. Se a taxa de juros utilizada na operação é de 6% ao mês, monte a planilha de
pagamentos.
Conteúdo 02: Análise de Investimentos
Poderíamos resumir, em poucas palavras, que toda operação financeira é, na verdade, representada através
de fluxos de caixa, ou seja, fluxos futuros esperados de recebimentos e pagamentos de caixa.
A análise de investimentos consiste em aplicar critérios que permitam identificar a escolha da alternativa
mais interessante, assim como definir se é ou não justificável investir recursos financeiros na implementação
de determinados projetos de investimento.
Avaliar um projeto de investimento, sob o ponto de vista financeiro, consiste em analisar sob o enfoque
empresarial, ou seja, medir o valor projetado de tal forma que haja a maximização do lucro. A avaliação
econômica, por sua vez, além de medir os fatores financeiros, também analisa outras variáveis, como a conjuntura econômica, demanda de mercado e restrições orçamentárias.
4.5
Métodos de Avaliação de Investimentos
Os métodos de análise de investimentos são processos quantitativos capazes de determinar as alternativas
factíveis ou ótimas para a aplicação do capital e ordená-las hierarquicamente de acordo com sua desejabilidade
econômica. Os métodos mais utilizados na análise de investimentos são os seguintes:
• Método do valor presente líquido
• Método do valor anual líquido
• Método do custo anual uniforme
MATEMÁTICA FINANCEIRA
77
• Método da taxa interna de retorno
• Método do prazo de retorno - (Pay-back )
• Método da relação benefício - custo
Dentre os métodos citados anteriormente, daremos uma maior abordagem aos que são mais utilizados e
comuns dentro do âmbito financeiro. São eles: Método do valor presente líquido, Método da taxa interna de
retorno e Método do prazo de retorno - (Pay-back ).
4.6
Método do Valor Presente Líquido - VPL
Com a finalidade de atender à condição ou requisito básico, o qual afirma que as alternativas só poderão ser
comparadas se os seus respectivos fluxos de caixa forem transladados ou transportados a um ponto comum
ou data focal. A data focal zero, ou “data presente”, será o ponto de comparação no método do valor presente.
A característica principal do método do valor presente é a transferência de todos os eventos financeiros que
compõem o fluxo de caixa da alternativa sob análise para a data zero do seu respectivo fluxo de caixa. Possui,
ainda, outras duas denominações: Valor presente líquido - VPL ou simplesmente Valor líquido - VL.
O valor atual é um aferidor ou maneira de se medir o que entendemos por lucro ou prejuízo que se obtém ao
investir em um determinado projeto, utilizando uma taxa mínima de atratividade (TMA). Desta forma, calculando
o VPL e encontrando um valor positivo, significa, em termos práticos, que o valor presente dos recebimentos é
maior do que os correspondentes reembolsos ou, ainda, é um projeto economicamente interessante em virtude
da taxa de atratividade considerada. No caso de comparação de mais de uma alternativa de investimento, a
escolhida será a que possuir o maior VPL dentre todas as consideradas. Caso o VPL seja negativo, significa
que os benefícios não são suficientes para assegurar a recuperação do capital investido à taxa de atratividade
utilizada e, dessa forma, o projeto deverá ser rejeitado. Finalmente, quando VPL for nulo o projeto representa
um retorno de capital simplesmente igual ao investimento utilizando uma determinada taxa de atratividade e,
nesses casos, costuma-se também não aprovar os investimentos. Em termos matemáticos, o VPL poderá ser
representado pela diferença entre os valores de caixa de entrada ou saída, FC1 , FC2 , . . . , FCn pelo fluxo de caixa
no momento zero FC0 que poderá representar um investimento, empréstimo ou financiamento. Dessa forma,
temos:
•
˜
FCn
FC2
FC1
− FC0
+ ... +
+
VPL =
(1 + i ) (1 + i )2
(1 + i )n
Através de alguns exemplos, mostraremos a aplicação do método do valor presente em algumas das muitas
situações que o envolvem.
ER 29. Estabelecer o valor máximo de compra de um negócio, através do método do valor presente, no qual
são estimados ingressos anuais de R $ 50.000, 00 durante um horizonte de avaliação de 4 anos e um valor de
mercado no final deste período de R $ 100.000, 00, sabendo-se que o custo de oportunidade é de 20% ao ano.
78
FTC EAD |
Solução: Observe, pela figura, que o primeiro
passo é transportar o valor de R $ 100.000, 00 para
VF = 100.000, 00
VPL =?
a data focal zero, afinal este valor é exatamente o
investimento inicial que foi feito no inicio do plane-
anos
jamento. Assim:
VP =
0
FV
100.000
⇒ VP =
⇒ VP ≈ 48.225, 31.
n
(1 + i )
(1 + 0, 20)4
1
2
3
4
FC0 =? 50.000, 0050.000, 0050.000, 0050.000, 00
Montando a expressão para o valor presente, temos:
•
VPL =
|
50.000
50.000
50.000
50.000
+
+
+
2
3
(1 + 0, 20) (1 + 0, 20)
(1 + 0, 20)
(1 + 0, 20)4
{z
˜
}
Soma dos 4 termos de uma PG−48.225,31
Lembrando que a soma dos elementos de uma PG finita é: Sn =

S4 =
50.000
·
(1 + 0, 20)
‹
a1 · (q n − 1)
1
, temos, para n = 4 e q =
,
q−1
1, 20
4
1
−1
50.000
1, 2
50.000
1, 20
=
· (1, 2−4 − 1) ·
=
· (1, 2−4 − 1) ≈ 129.436, 73.
1
1, 2
−0, 2
−0, 2
−1
1, 20
Calculando o valor presente, chegamos a: VPL = 129.436, 73 − 48.225, 31 = 81.211, 42.
ER 30. A Secretaria Municipal da cidade Longedemais planeja instalar uma rede de abastecimento de água
em um distrito agrícola para reduzir o número de doenças que acometem os moradores locais. Espera-se que
a construção da rede exija o suporte financeiro da prefeitura, somando R $ 200.000, 00 provenientes dos cofres
municipais e que proporcionará uma redução de custos com a saúde pública na ordem de R $ 20.000, 00 por
ano durante os próximos 10 anos. Sendo a TMA para o município de 15% ao ano, analise se o investimento é
atrativo ou não.
VPL =?
Solução: Neste exemplo, o investimento inicial
já está posicionado na data focal zero, dessa
forma podemos usar a expressão que calcula o
anos
1
2
10
20.000
20.000
20.000
valor presente de forma direta. Assim:
200.000
•
VPL =
|
˜
20.000
20.000
20.000
−200.000, 00.
+ ...+
+
(1 + 0, 15) (1 + 0, 15)2
(1 + 0, 15)10
{z
}
Soma dos 10 termos de uma P .G .
Apesar de muitos não gostarem da utilização da fórmula para a soma dos termos de uma PG, em alguns
casos a sua não utilização tornará os cálculos bastante trabalhosos e cansativos. Neste exemplo, temos que
somar 10 valores, é e claro que somar de um em um tornará a tarefa muito mais complicada.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
79
Fazendo n = 10 e q =
1
temos:
1, 15

S10 =
20.000
·
(1 + 0, 15)
‹
10
1
−1
20.000
1, 15
1, 15
=
· (1, 15−10 − 1) ·
≈ 100.375, 37.
1
(1 + 0, 15)
−0, 15
−1
1, 15
Assim, temos que VPL = 100.375, 37 − 200.000, 00 = −99.624, 63.
Observe que, pelo método do valor presente, é mais viável economicamente não construir a rede de
abastecimento de água, pois o VPL < 0. Em outras palavras, é melhor gastar a cada ano a quantia de
R $ 20.000, 00 a mais com saúde pública do que investir os R $ 100.000, 00 na rede de abastecimento de água.
Gostaríamos, ainda, de deixar bem claro que a análise feita é puramente econômica, ou seja, fatores sociais
não estão envolvidos na análise.
ER 31. Determinada empresa transportadora está avaliando a compra de um caminhão por R $ 60.000, 00.
O veículo será usado durante 5 anos, após o que prevê-se um valor de revenda de R $ 7.200, 00. A empresa
estima, ainda, um custo anual de manutenção, combustível, etc. de R $ 24.000, 00 no primeiro ano, crescendo
esse gasto aproximadamente 10% ao ano. Segundo avaliação da empresa, são esperados benefícios líquidos
de caixa gerados pelo caminhão de R $ 60.000, 00, R $ 56.000, 00, R $ 48.000, 00, R $ 40.000, 00 e R $ 36.000, 00,
respectivamente, nos próximos 5 anos. Para uma taxa de 12% ao ano, demonstrar se é economicamente
interessante a compra desse caminhão.
Solução: A resolução aqui, VP
se =?
comparada com as anteriores, é
um pouco diferente. Neste caso,
60.000, 00 56.000, 00 48.000, 00 40.000, 00 36.000, 00
temos dois fluxos de caixa que
representarão, respectivamente,0
anos
1
2
3
4
5
os benefícios e os custos pela
compra do caminhão.
Analisando os benefícios decorrentes da compra do caminhão, estaremos interessados em verificar o
valor atual dos mesmos, em outras palavras, estaremos deslocando cada um para a data focal zero, assim:
PV =
60.000 56.000 48.000 40.000 36.000
+
+
+
≈ 178.227, 83
+
1, 12
1, 122
1, 123
1, 124
1, 125
O valor de R $ 178.227, 83 representa todos os valores atualizados na data focal zero. Analisando, agora,
os custos decorridos pela compra do caminhão, temos:
VP =?
anos
0
1
2
3
4
5
60.000, 00 56.000, 00 48.000, 00 40.000, 00 36.000, 00
80
FTC EAD |
Procedendo da mesma forma, ou seja, deslocando todos os valores para a data focal zero, temos:
•
PV = 60.000 +
˜
24.000 26.400 29.040 31.944 35.138, 40
7.200, 00
−
+
+
+
= 159.298, 60
+
2
3
4
5
1, 12
1, 12
1, 12
1, 12
1, 12
1, 125
Para analisarmos se tal proposta é vantajosa ou não, de posse dos valores presentes tanto dos benefícios
quanto dos custos, faremos uma simples subtração. Afinal, os custos, neste caso, funcionam como o investimento inicial na data focal zero, assim:
VPL = 178.227, 83 − 159.298, 60 ⇒ VPL = 18.929, 23.
Desta forma, é correto afirmar que comprar o caminhão será um investimento vantajoso.
4.6.1
Exercícios Propostos
EP 4.13. Suponha que a tabela ao lado represente o fluxo de caixa, em
termos anuais, dos investimentos A, B e C , cujas respectivas taxas de
atratividade são 5%, 10% e 15%. Utilizando o método do valor presente,
encontre os VPL de cada um dos investimentos.
Ano
Fluxos de Caixa
0
-R $ 15.000, 00
1
R $ 7.000, 00
2
R $ 5.000, 00
3
R $ 3.000, 00
4
R $ 2.000, 00
5
R $ 1.000, 00
EP 4.14. Um empréstimo de R $ 22.000, 00 será liquidado em três prestações mensais e sucessivas de
R $ 12.000, 00, R $ 5.000, 00 e R $ 8.000, 00. Considerando uma taxa de atratividade de 7% ao mês, encontre o
valor líquido presente.
EP 4.15. Um bem é vendido à vista por R $ 318.000, 00 ou a prazo por R $ 90.000, 00 de entrada, mais três
prestações mensais e iguais de R $ 80.000, 00 cada uma, vencendo a primeira um mês após a entrada. Qual a
melhor alternativa para um comprador que pode aplicar seu dinheiro à taxa de 3% ao mês?
EP 4.16. Investiu-se hoje R $ 50.000, 00 num projeto cujo retorno será de 4 parcelas mensais de R $ 16.100, 00,
sendo a primeira após 30 dias do investimento. Considerando a taxa de atratividade de mercado de 10, 8% ao
mês, verifique se o projeto é viável.
EP 4.17. A Imobiliária Barracão S/A vende um apartamento de 3/4 por R $ 150.000, 00 a vista. Como alternativas de pagamento a prazo, oferece dois planos:
• Plano A: Entrada de R $ 55.000, 00 mais 4 prestações trimestrais de R $ 31.000, 00.
• Plano B: Entrada de R $ 30.000, 00 mais 8 prestações trimestrais de R $ 23.000, 00.
O Sr. João de Sousa, capitalista que aplica seu dinheiro a 10% ao trimestre, deseja saber qual é a melhor
opção de compra.
EP 4.18. Para a venda de um imóvel são apresentadas duas propostas:
• Proposta 1 - R $ 100.000, 00 de entrada, 36 prestações mensais de R $ 3.000, 00 e 3 parcelas anuais
intermediárias de R $ 20.000, 00.
• Proposta 2 - entrada de R $ 80.000, 00, 12 parcelas mensais de R $ 4.000, 00, seguidas de 12 parcelas
mensais de R $ 9.000, 00.
Sabendo-se que a taxa de juros vigente é de 2, 5% ao mês, qual é a melhor opção para o comprador?
MATEMÁTICA FINANCEIRA
81
4.7
Método da Taxa Interna de Retorno - TIR
A taxa interna de retorno (TIR) é a taxa de rendimento que é obtida pelos recursos aplicados em um projeto
de investimento. A TIR é a taxa de juros que valida a equação de equivalência entre o fluxo de caixa das
receitas e o fluxo de caixa dos desembolsos. Normalmente, adota-se a data a data de início da operação, no
caso o “momento zero”, como a data focal de comparação dos fluxos de caixa.
Normalmente, o fluxo de caixa no momento zero é representado pelo valor do investimento, empréstimo
ou financiamento; os demais fluxos de caixa indicam os valores das receitas ou prestações devidas. Em
termos matemáticos, poderíamos representar essa equivalência entre o investimento inicial FC0 e as receitas
ou despesas FC1 , FC2 , . . . , FCn da seguinte forma:
FC0 =
FC1
FCn
FC2
+ ...+
.
+
2
1+i
(1 + i )
(1 + i )n
A taxa i que aparece na equação é, exatamente, a taxa interna de retorno que estamos interessados em
encontrar, afinal, através dela, podemos analisar se o valor investido será capaz de cobrir os custos durante
um certo prazo de vigência de um determinado investimento. Observe que o calculo de i na equação anterior
não é tão simples quanto parece, afinal podemos nos deparar com situações polinomiais de grau maior do que
2, e, desta forma, fica mais complicado solucionar o problema. Para melhor compreensão do que foi dito até
aqui, vamos ilustrar o cálculo da taxa interna de retorno de um exemplo prático.
ER 32. Um determinado empréstimo concedido a uma empresa, no valor de R $ 30.000, 00, deverá ser em
duas prestações mensais de R $ 15.500, 00, a contar da data de hoje. Encontre a taxa interna de retorno.
Solução: Observando, atentamente, o fluxo de caixa anterior, estamos interessados em descobrir qual a taxa de juros
mensal i que torna uma igualdade entre os termos:
30.000 =
VP = 30.000, 00
15.500
15.500
+
.
1+i
(1 + i )2
meses
Sempre que o maior expoente do fator 1 + i for 2, podemos
resolver a equação de forma direta sem problemas, pois,
através de uma mudança de variável, podemos transformar
a equação anterior numa equação do segundo grau.
Seja 1 + i = z na equação acima, desta forma temos:
0
1
2
15.500, 0015.500, 00
2
30.000 =
z
15.500 15.500 × 1.000
⇒ 30 · z 2 − 15, 5 · z − 15, 5 = 0 (Eq. do 2◦ grau)
+
2
z
z
O discriminante desta equação é ∆ = (−15, 5)2 − 4 · 30 · (−15, 5) = 2100, 25 e as raízes, na variável z , são:
√
√
15, 5 − 2100, 25
15, 5 + 2100, 25
′′
′
≈ 1, 022141 e z =
≈ −0, 505475.
z =
60
60
Por motivos óbvios, o valor negativo de z não nos interessa e será descartado. Observe que estamos procurando o valor de i , como 1 + i = Z , então:
1 + i = 1, 022141 ⇒ i = 1, 022141 − 1 ⇒ i = 0, 022141 ⇒ i = 2, 21% ao mês.
Na existência de expoentes maiores do que 2 para o fator 1 + i , o problema pode ser solucionado de
maneira bem simples com uma calculadora financeira específica. Contudo, calculadoras deste tipo não são
acessíveis a todos, pois, o valor de compra é muito alto. Mesmo assim, ainda existe uma maneira de solu82
FTC EAD |
cionar este problema. Não é a melhor delas, mas pode ser usada de forma uma tanto quanto satisfatória.
Para ilustrar uma situação na qual isto ocorra, utilizaremos o exemplo dado a seguir.
ER 33. Uma aplicação financeira envolve uma saída de caixa de R $ 47.000, 00 no momento inicial, e os
seguintes benefícios esperados de caixa ao final dos três meses imediatamente posteriores são: R $ 12.000, 00,
R $ 15.000, 00 e R $ 23.000, 00. Determinar a rentabilidade mensal ou taxa interna de retorno dessa operação
Solução: De forma análoga ao exemplo anterior, após
montado o fluxo de caixa que representa a situação, estare-
12.000, 0015.000, 0023.000, 00
mos interessados em encontrar a taxa de juros i que verifica
a seguinte igualdade:
z 47.000 =
15.000
23.000
12.000
+
+
.
1+i
(1 + i)2
(1 + i)3
meses
0
1
2
3
VP = 47.000, 00
Observe que, mesmo fazendo a mudança de variável 1 + i = z e efetuando os devidos cálculos de modo
a reduzir as frações ao mesmo denominador, chegaremos ao polinômio de grau 3 cujas raízes não podem
ser encontradas pela fórmula de Baskara.
47.000 · z 3 − 12.000 · z 2 − 15.000 · z − 23.000 = 0.
Dessa maneira, precisamos encontrar uma forma alternativa de calcular a taxa interna de retorno i .
Infelizmente, o maneira que será descrita aqui é um tanto quanto empírica. Como já sabemos que a taxa de
juros i transforma todos os pagamentos na data focal zero, no valor presente R $ 47.000, 00, através de uma
suposição vamos tentar encontrar um intervalo de taxas, de modo que o valor presente esteja no mínimo
entre as taxas “escolhidas”. Sejam, então, as taxas i = 2% e i = 3%. Substituindo em z de modo a encontrar
o valor presente fornecido, temos:
i = 2% ⇒ VP =
23.000
15.000
12.000
+
≈ 47.855, 65
+
1 + 0, 02 (1 + 0, 02)2 (1 + 0, 02)3
i = 3% ⇒ VP =
12.000
23.000
15.000
+
≈ 46.837, 68
+
1 + 0, 03 (1 + 0, 03)2 (1 + 0, 03)3
Observe, ainda, que 46.837, 68 < 47.000, 00 < 47.855, 65. Portanto, a taxa de retorno procurada deverá
estar entre 2 < i < 3. Perceba que o valor fornecido pela taxa de juros escolhida, i = 3%, se aproximou pela
esquerda do valor R $ 47.000, 00. Assim, concluímos que a taxa procurada está muito próxima de 3%. Para
refinar mais e mais este intervalo de taxas, utilizaremos uma técnica conhecida como interpolação linear, que
nada mais é do que uma regra de três simples. Montaremos a interpolação linear da seguinte forma:
Valores Presentes
Taxas (%)
47.855, 65 − 46.837, 68 :
2−3
47.000, 00 − 46.837, 68 :
i −3
MATEMÁTICA FINANCEIRA
83
Assim, os cálculos ficam reduzidos a:
47.855, 65 − 46.837, 68
47.000, 00 − 46.837, 68
1017, 97
162, 32
=
⇒−
=
2−3
i −3
1
i −3
⇒ −1017, 97 · i + 3053, 91 = 162, 32 ⇒ i =
162, 32 − 3053, 91
≈ 2, 84%
−1017, 97
Verificando o valor presente proporcionado pela taxa i = 2, 84%, temos:
i = 2, 84% ⇒ VP =
12.000
23.000
15.000
+
≈ 46.988, 23
+
2
1 + 0, 0284 (1 + 0, 0284)
(1 + 0, 0284)3
Como o valor presente obtido está bem próximo do valor real de R $ 47.000, 00, a taxa encontrada pode ser
considerada satisfatória. Observe que, para um problema relativamente simples como este, o tempo que
se gasta para encontrar uma taxa interna de retorno é muito grande se tentarmos por interpolação linear.
Existem disponíveis de forma gratuita, na internet, simuladores de máquinas financeiras de todos os tipos,
assim aconselhamos ao leitor que utilize tais simuladores com o intuito de agilizar cálculos, lembrando que
antes de saber utilizar uma máquina financeira precisamos saber o que estamos calculando realmente.
Os exemplos propostos a seguir visam solidificar as ideias mostradas até aqui sobre os conceitos referentes
ao método da taxa interna de retorno. É válido lembrar que alguns dos exemplos serão resolvidos de forma
mais prática com a utilização de máquinas financeiras ou simuladores das mesmas.
4.7.1
Exercícios Propostos
EP 4.19. Calcular a taxa interna de retorno correspondente a um empréstimo de R $ 1.000, 00 a ser liquidado
em três pagamentos mensais de R $ 300, 00, R $ 400, 00 e R $ 500, 00.
EP 4.20. Um imóvel é colocado à venda por R $ 360.000, 00 à vista, ou em 7 prestações mensais nos seguintes
valores:
• As duas primeiras parcelas de R $ 50.000, 00
• As duas seguintes de R $ 70.000, 00
• As três ultimas de R $ 80.000, 00
Determinar o custo mensal desta operação expresso pela taxa interna de retorno.
EP 4.21. Um empresa contrata um financiamento de R $ 25.000, 00 para ser pago em 6 prestações trimestrais,
iguais e sucessivas, de R $ 8.600, 00 cada. Sabe-se que a primeira prestação será liquidada ao final do 9◦ (dois
trimestres de carência). Determinar a TIR dessa operação de financiamento.
4.8
Método do Prazo de Retorno - “PayBack”
O método do prazo de retorno, ou simplesmente PayBack, utiliza como indicador o prazo de retorno do
investimento como medida de avaliação de alternativas. O prazo de retorno ou PayBack, que a partir deste momento denotaremos por PB representa o número de períodos que se fazem necessários para que os benefícios
se igualem aos custos em um fluxo de caixa.
84
FTC EAD |
Em outras palavras, o prazo de retorno será o tempo necessário para que sejam recuperados todos os
recursos despendidos na implantação de um determinado projeto. A ordenação dos projetos é uma função do
número de períodos necessários para a recuperação do investimentos; quanto menor o período de PayBack
melhor será o projeto.
Chamando por T MRI o Tempo Mínimo de Retorno do Investimento, é fácil perceber que se o PayBack
ou simplesmente PB < T MRI significará que o investimento é viável; caso contrário, ou seja, se PB ≥
T MRI , significa que o tempo de espera para que o capital investido retorne é maior com relação ao T MRI ,
caracterizando, portanto, a inviabilidade do projeto.
De forma geral, quanto mais alongado o prazo de re-pagamento do empréstimo, ou payback, menos interessante ele se torna para o emprestador. O payback, ou payout, é utilizado como referência para julgar
a atratividade relativa das opções de investimento. Deve ser encarado com reservas, apenas como um indicador; não servindo para seleção entre alternativas de investimento. Por exemplo, imagine-se uma empresa
transnacional tendo que decidir entre dois possíveis investimentos em projetos distintos, em um mesmo país,
localizados em áreas geográficas diferentes de sua sede. Imagine-se que tal país ofereça boas oportunidades
de negócios, mas também apresente riscos de ordem política, que poderão acarretar violenta desvalorização
cambial ou inflação galopante, o que, por sua vez, na hora da remessa de lucros para o exterior, diminuirá os
resultados em uma moeda forte. Nesse caso hipotético, a empresa transnacional poderá optar por alternativas de investimento, nesse país em questão, que tenham menor prazo de re-pagamento, vale dizer, menor
payback. Logicamente, investimentos de maior envergadura, como aqueles ligados à infraestrutura (hidroelétricas, estradas de ferro, estradas de rodagem), ou na indústria mineral (minério de ferro, petróleo) e siderurgia,
poderão ter prazos de re-pagamento dilatados, com payback superior a 10 anos. Se a política da empresa
estrangeira investidora, no entanto, for de acreditar naquele país (geralmente, países em desenvolvimento oferecem boas oportunidades de investimento como as citadas) e de reinvestir seus lucros no país em questão,
sem repatriação de lucros convertidos em moeda forte, o peso dado ao fator payback poderá reduzir-se, na
tomada de decisão da empresa transnacional hipotética.
VP =?
Supondo que um determinado investimento
seja representado através do fluxo de caixa
abaixo, vamos deduzir a expressão que calcula o
número de períodos necessários para que o investimento inicial retorne.
0
1
2
n
FC0
FC1
FC2
FCn
Como os gastos ou recebimentos são constantes, podemos utilizar a expressão que calcula o valor presente
para as séries postecipadas, assim:
1 − (1 + i )−n
VP ·i
VP ·i
VP = VF ·
⇒
= 1 − (1 + i )−n ⇒ (1 + i )−n = 1 −
i
VF
VF
Aplicando o logaritmo em ambos os lados da igualdade, podemos isolar o valor de n, assim:
(1 + i )−n = 1 −
•
VP ·i
VP ·i
⇒ −n log(1 + i ) = log 1 −
VF
VF
•
˜
⇒n=−
VP ·i
VF
log(1 + i )
˜
log 1 −
Observe que a dedução feita está levando em consideração a uniformidade dos pagamentos ou recebimentos do investimento. Caso isto não ocorra, antes de utilizar a expressão para calcular o número de períodos n
devemos transformar o fluxo de caixa do investimento numa série postecipada.
ER 34. Determine o tempo de retorno de um determinado capital no valor de R $ 2.000, 00 considerando uma
taxa mínima de atratividade igual a 5% ao ano com receitas anuais dadas pelo fluxo de caixa abaixo:
MATEMÁTICA FINANCEIRA
85
Solução: O primeiro passo será encontrar o valor presente de todos os recebimentos na data focal zero.
Portanto,
VP =
800
600
200
100
700
+
+
+
+
2
3
4
1 + 0, 05 (1 + 0, 05)
(1 + 0, 05)
(1 + 0, 05)
(1 + 0, 05)5
VP = 761, 90 + 634, 92 + 518, 30 + 164, 54 + 78, 35 = 2.158, 01
VP =?
800
700
600
200
100
anos
0
1
2
3
4
5
2.000
Observe que o fluxo de caixa não possui termos iguais durante todo o período e, dessa forma, precisamos
transformá-lo em uma série postecipada. Para isto, devemos encontrar o valor de cada um das prestações.
VP = VF ·
VP
2.158, 01
1 − (1 + i )−n
=
≈ 498, 44
⇒ VF = i
1 − (1 + i )−n
1 − (1 + 0, 05)−5
i
0, 05
461, 95 461, 95 461, 95 461, 95 461, 95
anos
0
1
2
3
4
5
2.000
Agora que todos os recebimentos estão uniformes podemos calcular o valor do prazo de retorno para o
investimento inicial de R $ 2.000, 00.
•
n=−
VP ·i
VF
log(1 + i )
˜
log 1 −
•
=−
2.000 · 0, 05
498, 44
log(1 + 0, 05)
log 1 −
˜
=−
−0, 097250
≈ 4, 6 meses
0, 021189
Observe que tal investimento foi vantajoso, se considerarmos que o tempo mínimo de retorno do investimento ocorreria ao final de 5 anos, o prazo de retorno que foi 4, 6 é menor, ou seja, os lucros obtidos pelo
investimento inicial de R $ 2.000, 00 ocorrerão 0, 4 meses antes do prazo mínimo.
4.8.1
Exercícios Propostos
EP 4.22. Uma empresa tem a sua disposição dois projetos de investimento a analisar. O Projeto A necessita
de um investimento inicial de R $ 2.000, 00, gerando receitas anuais de R $ 800, 00, R $ 700, 00 e R $ 1.000, 00. Já
o projeto B também precisa de um investimento inicial de R $ 2.000, 00, gerando receitas anuais de R $ 600, 00,
R $ 800, 00, R $ 1.000, 00 e R $ 1.100, 00. Sabendo que a taxa de atratividade anual é de 6%, qual dos dois projetos
a empresa deverá escolher se analisarmos pelo método do prazo de retorno?
86
FTC EAD |
EP 4.23. André é um rapaz trabalhador e quer montar seu próprio negócio. Ele pretende recuperar seu
investimento dentro de no máximo 4 anos. Dentre as possibilidades, surgiram 3 oportunidades livres de risco.
As três precisam de R $ 110.000, 00 de investimento inicial e prometem os fluxos de caixa para 4 anos, conforme
a tabela:
-
Ano 1
Ano 2
Ano 3
Ano 4
Oferta 1
R $ 55.000, 00
R $ 60.500, 00
R $ 66.550, 00
R $ 73.205, 00
Oferta 2
R $ 11.000, 00
R $ 127.050, 00
R $ 26.620, 00
R $ 131.769
Oferta 3
R $ 110.000, 00
R $ 12.100, 00
R $ 79.860, 00
-
Utilizando uma taxa de atratividade mensal de 10%, qual seria a melhor, dentre as três opções, analisando
pelo método do prazo de retorno?
Gabarito
4.13 VPLA = 1.222, 26, VPLB = −263, 24 e VPLA = −1.519, 09. 4.14 R $ 112, 52. 4.15 VPL = R $ 1.711, 09 a prazo. 4.16 É viável,
pois, VPL = 163, 42 > 0. 4.17 A vista, pois, VPL A = −3.265, 83 e VPL B = −2.703, 30. 4.18 A proposta 2, pois VPL1 = 204.819, 25 e
VPL2 = 189.676, 05. 4.19 i = 9, 265% ao mês. 4.20 i = 7, 08% ao mês 4.21 i = 14, 65% ao trimestre. 4.22 O melhor é escolher o projeto
B pois nA ≈ 2, 7 e nB ≈ 2, 6 e desta forma nB < nA . 4.23 Oferta 1.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
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Referências Bibliográficas
[1] BUSSAB, Wilton O. & MORETTINI, Pedro A.; Estatística Básica. 4a edição. São Paulo: Atual, 2001.
[2] IEZZI, Gelson & HAZZAN, Samuel; Fundamentos de Matemática Elementar: Seqüências, Matrizes,
Determinantes, Sistemas. VOL. 4. 7a edição. São Paulo: Atual, 2004.
[3] MORGADO, Augusto César & outros; Coleção Professor de Matemática: Progressões e Matemática
Financeira. Rio de Janeiro: SBM, 1992.
[4] AYRES JR, FrankMatemática Financeira. São Paulo: Mcgraw-Hill, 1974.
[5] FRANCISCO, WalterMatemática Financeira. São Paulo: Atlas, 1974.
[6] BRUNI, Adriano Leal & FAMÁ, Rubens; Matemática Financeira: com HP12C e Excel (Série Finanças
na Prática). São Paulo: Atlas, 2002.
[7] MATHIAS, W. E. & GOMES, J. M.; Matemática Financeira: com mais de 600 exercícios resolvidos e
propostos. 2a edição. São Paulo: Atlas, 1996.
[8] SAMANEZ, Carlos Patrício; Matemática Financeira: Aplicações à Análise de Investimentos. 4a edição.
São Paulo: Prentice-Hall, 2006.
[9] KUHNN, O. L. & BAUER, U. R.; Matemática Financeira Aplicada e Análise de Investimentos. 2a edição.
São Paulo: Atlas, 1996.
[10] ASSAF, A. N.Matemática Financeira e Suas Aplicações. 8a edição. São Paulo: Atlas, 2003.
[11] PARENTE, Eduardo & CARIBÉ, Roberto; Coleção Ensino Técnico: Matemática Comercial e Financeira. São Paulo: FTD, .
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Anotações
FTC EAD
Faculdade de Tecnologia e Ciências – Educação a Distância
Democratizando a educação.
www.ead.ftc.br