APOSTILA
EDIÇÃO: 2 - 2011
AUTOR: MAURÍCIO ROBERTO CURY
www.mauriciocury.com
Matemática Financeira
ÍNDICE
1.
INTRODUÇÃO
3
2.
JUROS SIMPLES
5
2.1
Conceitos e Cálculos
5
2.2 Desconto Simples
2.2.1 Desconto Simples Bancário
2.2.2 Desconto Simples Racional
8
8
10
3.
JUROS COMPOSTOS
12
3.1
Conceitos e Cálculos
12
3.2 Cálculo do montante para período fracionário
3.2.1 Convenção Exponencial
3.2.2 Convenção Linear
16
16
17
3.3 Desconto Composto
3.3.1 Desconto Composto Racional, ou ‘Por Dentro’
3.3.2 Desconto Composto Comercial ou Bancário ou ‘Por Fora’
18
18
19
4.
TAXA DE JUROS NOMINAL, PROPORCIONAL, EFETIVA E EQUIVALENTE
22
5.
INFLAÇÃO E CORREÇÃO MONETÁRIA
24
6.
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
28
6
ANUIDADE OU SÉRIES DE PAGAMENTOS UNIFORMES
31
6.1 Anuidade com Parcelas Postecipadas
6.1.1 Valor Futuro ou Montante
31
33
6.2 Anuidade com Parcelas Antecipadas
6.2.1 Valor Futuro ou Montante
35
36
6.3
Renda Perpétua
36
7.
AMORTIZAÇÕES
39
7.1 Sistema Francês de Amortização – SFA - (Sistema Price)
7.1.1 Caso com Período de Carência:
39
40
7.2
Sistema de Amortização Constante – SAC (Sistema Hamburguês)
41
8.
FLUXO DE CAIXA E ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
44
8.1
Fluxo de Caixa
44
8.2
Taxa Mínima de Atratividade
45
8.3 Método do Valor Presente Líquido (VPL)
46
8.3.1 Método do Valor Presente Líquido para Períodos Diferentes de Investimentos
49
8.4
Método da Taxa Interna de Retorno (TIR)
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
51
1
Matemática Financeira
8.5
Comparação entre os Métodos da TIR e do VPL
53
8.6
TIR Modificada (TIRM)
57
9.
DEPRECIAÇÃO
62
APÊNDICE A – RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
67
Maurício R. Cury
2
Edição 2 - 2011
Matemática Financeira
1. Introdução
A Matemática Financeira tem como ponto fundamental o cálculo de
valores monetários em diversas datas transportados pela taxa de juros.
Os juros são o aluguel ou a remuneração pelo capital emprestado ou
aplicado.
A partir daí é possível desenvolver várias aplicações tais como cálculo de
montante, de desconto de títulos, de financiamentos, aplicações, rendas,
análise de investimentos, depreciação e etc.
Basicamente existem dois tipos de capitalização: [Capitalização é a soma
dos juros devidos ao principal, ampliando-se o mesmo e formando o
montante] Capitalização Simples e Capitalização Composta.
A Capitalização Simples (ou Juros Simples) consiste no cálculo de juros
de maneira que seu crescimento, ao longo do tempo, ocorre linearmente.
Os juros são calculados sobre o Capital Inicial.
Na Capitalização Composta (ou Juros Compostos), os juros são
calculados sobre o montante do período anterior, que já possui juros
capitalizados. O crescimento dos juros, ao longo do tempo, ocorre
exponencialmente.
Na capitalização composta, portanto, paga-se mais juros que na
capitalização simples (considerando mesma taxa de juros e mesmo
período), exceto no caso do primeiro período de capitalização onde os
juros são iguais.
O Período de Capitalização é o período no qual os juros são capitalizados
ou incorporados ao principal. Exemplo: se o período de capitalização é
mensal então os juros são incorporados ao capital a cada trinta dias.
A taxa de juros é o índice que permite calcular os juros. Ela é geralmente
expressa em percentual e deve, obrigatoriamente, referenciar o período
de capitalização. Exemplos: 2,4% ao mês; 4,5% ao bimestre; 9% ao
semestre; 13% ao ano.
Serão abordados, nesta apostila, os seguintes tópicos: cálculo de capital,
juros, períodos, montante e taxa de juros para os regimes de
capitalizações simples e composta. Descontos simples e compostos
(bancários e racionais). Taxas de juros nominais, proporcionais, efetivas
e equivalentes. Equivalência de capitais. Anuidade ou série de
pagamentos uniformes. Amortizações: Sistema Price e Sistema de
Amortização Constante (SAC), e ainda é desenvolvido um modelo de
amortização no regime de capitalização simples. Análise de
Investimentos, através dos dois métodos mais utilizados: pelo Valor
Presente Líquido e pela Taxa Interna de Retorno.
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3
Matemática Financeira
Em cada tópico estudado serão resolvidos alguns exercícios e propostos
outros com seus respectivos resultados.
Nomenclatura: os símbolos usados para os parâmetros de cálculo são os
conhecidos universalmente e utilizados nas calculadoras financeiras e
planilhas eletrônicas. Os principais símbolos são:
Símbolo
PV
FV
J
i
n
PMT
VPL
TIR
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Símbolo
Definição
Alternativo
C
[Present Value] Valor Presente, Capital
Inicial
M
[Future Value] Valor Futuro, Montante
INT
{Interest] Juros
t
Taxa de Juros
Tempo, Período, Número de Prestações
[Payment] Pagamento, Prestação
NPV
[Net Present Value] Valor Presente Líquido
IRR
[Internal Rate of Return] Taxa Interna de
Retorno
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4
Matemática Financeira
2.
Juros Simples
2.1 Conceitos e Cálculos
No regime de juros simples, ou capitalização simples, o juro é sempre
calculado sobre o valor principal (ou capital inicial). Os juros
acumulados crescem, ao longo do tempo, de maneira linear conforme
uma progressão aritmética.
Observe o seguinte diagrama, onde o capital inicial aplicado é PV=1.000,
a taxa de juros simples é i=1% por período (O período poderá estar em
qualquer unidade de tempo: dia, semana, mês, semestre, ano, etc.).
FV1=1.000+10
INT1=10
FV2=1.010+10
INT2=10
FV3=1.020+10
INT3=10
FV4=1.030+10
INT4=10
0
1
2
3
4
Períodos
PV=1.000
Em qualquer período (n=1 ou n=2 ou n=3 ou n=4) o juro é sempre
calculado sobre o capital inicial (valor presente), 1% de 1.000, INTj=10.
Considerando :
PV – capital inicial ou valor presente
FV – montante ou valor futuro
i – taxa de juros
n – número de períodos que os juros serão capitalizados
INT – juros calculados no período
Fórmulas para capitalização simples:
j =n
FV = PV + ∑ INTj
j =1
j =n
∑ INTj = PV ⋅ i ⋅ n
j =1
No exemplo acima, os valores para cada período são:
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5
Matemática Financeira
Período Juros
0
1
2
3
4
10
10
10
10
Juros
Capital
Acumulados
1.000
10
1.010
20
1.020
30
1.030
40
1.040
Note que o capital cresce segundo uma progressão aritmética cuja razão
é o Juro.
Exemplo: Quais os juros e montante correspondentes à uma aplicação de
um capital de R$ 150.000 durante 55 dias à uma taxa de 15% ao ano?
Pela fórmula:
INT = 150.000 × 0,15 ×
55
= 3.437,50
360
FV = 150.000 + 3.437,50 = 153.437,50
Observações: - foi considerado ano comercial (de 360 dias). Note que no
uso da fórmula, ‘n’ e ‘i’ tem a mesma periodicidade.
No caso de ano exato (de 365 dias):
55
= 3.390,41
365
FV = 150.000 + 3.390,41 = 153.90,41
INT = 150.000 × 0,15 ×
Caso esteja omisso, adota-se o ano comercial (360 dias), bem como
adota-se o mês comercial (30 dias)..
As fórmulas utilizadas para o regime de capitalização simples são:
FV = PV ⋅ (1 + i ⋅ n )
PV =
i=
FV
PV
FV
(1 + i ⋅ n )
−1
n
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6
Matemática Financeira
n=
FV
PV
−1
i
Para o uso correto destas fórmulas a taxa de juros deve ter periodicidade
conforme a unidade de ‘n’. Por exemplo: se ‘n’ estiver em meses, a taxa
deverá ser ao mês, ou se a taxa for ao ano então ‘n’ deve estar em anos.
Exercícios:
1. Um capital de $720.000 foi aplicado durante 16 meses, à
uma taxa de juros simples de 2,4% ao bimestre. Calcular o
Montante após este período.
2. Quanto tempo deve ficar aplicado um capital de $28.000
para formar um montante de $38.500 se aplicado à uma taxa
de juros simples de 15% ao ano?
3. Um certo capital foi aplicado à uma taxa de juros simples de
4,2% ao trimestre, durante 14 meses, e formou um
montante de $6.697,60. Calcular este capital.
4. Calcular a taxa de juros simples que aplicada sobre um
capital de $8.000.000, durante 28 bimestres, gera um
montante de $15.840.000.
5. Um capital de $65.000 foi aplicado durante 10 meses à uma
taxa de juros simples de 0,95% ao mês. Após este período, o
montante foi aplicado por mais 14 meses à uma taxa de
1,24% ao mês. Calcular o montante após este período.
6. A que taxa de juros simples um capital deve ser aplicado
para que, após dois anos, ele triplique de valor?
7. Um certo capital foi aplicado durante 6 trimestres à uma taxa
de juros simples de 5% ao trimestre. Após este período o
montante foi aplicado por mais 5 quadrimestres à uma taxa
de juros simples de 7,5% ao quadrimestre, resultando num
montante de $195.000. Pergunta-se qual foi o capital
inicialmente aplicado?
8. Quanto tempo será necessário para que um capital
quintuplique de valor se aplicado à uma taxa de juros simples
de 5,5% ao mês?
9. O que rende mais:
Alternativa I: aplicar um capital durante dois anos, à uma
taxa de juros de simples de 3,2% ao mês;
Alternativa II: aplicar, durante dois anos, 30% deste capital à
uma taxa de 5% ao mês e o restante à uma taxa de 2,8% ao
mês
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7
Matemática Financeira
10. Qual a taxa de juros diária que aplicada sobre um capital de
$5.000 durante um ano forma um montante de $5.900?
Repetir o cálculo considerando taxa de juros mensal.
2.2 Desconto Simples
Por muitas vezes as empresas necessitam de recursos financeiros de
terceiros. Além de empréstimos e outras captações de recursos, as
empresas fazem uma operação conhecida como desconto de título de
crédito.
O título de crédito (como uma duplicata) é o compromisso de alguém
com a empresa para o pagamento em uma determinada data. A empresa
necessitando da antecipação deste dinheiro recorre à uma instituição
financeira que aplica um desconto no valor do título. Este desconto é o
juro cobrado pela instituição financeira pela antecipação do dinheiro.
Chama-se “Valor de Face”, ou “Valor Nominal” do título, o valor
nominalmente expresso neste título. O “Valor de Resgate” é o valor
antecipado pelo Banco após ser aplicado o desconto. A “Taxa de
Desconto” é o índice usado para calcular o desconto e o “Período de
Antecipação” é em quanto (tempo) o título foi antecipado.
Chama-se Desconto Simples por ser calculado dentro do regime de
capitalização simples. O Desconto pode ser de dois tipos : (I) Desconto
Simples Bancário, ou Comercial ou “Por Fora” e (II) Desconto Simples
Racional, ou “Por Dentro”.
A nomenclatura utilizada é:
PV – Valor de Resgate (ou Valor Presente, pois ocorre antes de FV)
FV – Valor de Face ou Valor Nominal
i–
Taxa de Desconto (taxa de juros e deve ser expressa com um
determinada periodicidade).
n – Período de antecipação
Db – Desconto Bancário
Dr – Desconto Racional
2.2.1 Desconto Simples Bancário
Também chamado de Desconto “Por Fora”, pois a taxa de desconto é
aplicada sobre o Valor de Face do título.
Db = FV ⋅ i ⋅ n
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8
Matemática Financeira
Db = FV − PV
Destas duas fórmulas vem:
FV ⋅ i ⋅ n = FV − PV
PV = FV − FV ⋅ i ⋅ n
PV = FV ⋅ (1 − i ⋅ n )
ou
FV =
PV
(1 − i ⋅ n )
1 − PV
FV
i=
n
1 − PV
FV
n=
i
Exercícios:
11. Qual o valor do desconto de um título de $22.500
descontado 2 meses antes do seu vencimento à uma taxa de
desconto simples bancário de 2,8% ao mês?
12. Qual o valor de face de um título resgatado 100 dias antes
do seu vencimento por $1.280 sabendo-se que a taxa de
desconto simples bancário utilizada foi de 3,2% ao mês?
13. Um título de $10.000 foi resgatado 45 dias antes do seu
vencimento por $9.550. Calcular a taxa de desconto simples
bancário utilizada.
14. Um título de $15.000 foi resgatado por $12.350 sendo
aplicada uma taxa de desconto simples bancário de 7,9% ao
trimestre. Calcule quanto tempo o pagamento deste título foi
antecipado.
15. Uma empresa decidiu resgatar um título de $30.000, 90
dias antes do seu vencimento, por $28.200 e aplicou este
valor por 90 dias, à uma taxa de juros simples de 1,8% ao
mês. Pergunta-se se esta operação foi vantajosa.
16. Uma empresa possui 6 títulos de diferentes valores e
vencimentos conforme tabela abaixo. Ela decide por
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9
Matemática Financeira
descontá-los num banco que aplica taxa de desconto simples
bancário de 4,1% ao bimestre. Calcular o valor total
resgatado pela empresa.
Título
Título
Título
Título
Título
Título
Título
1
2
3
4
5
6
Valor
Nominal
$12.500
$10.360
$ 9.990
$ 7.500
$21.000
$ 2.340
Vencimento
150 dias
135 dias
125 dias
97 dias
90 dias
55 dias
2.2.2 Desconto Simples Racional
Também chamado de Desconto “Por Dentro”, pois a taxa de desconto é
aplicada sobre o valor de resgate.
Dr = PV ⋅ i ⋅ n
Dr = FV − PV
FV − PV = PV ⋅ i ⋅ n
FV = PV ⋅ (1 + i ⋅ n )
FV
(1 + i ⋅ n )
PV =
FV
PV
i=
n=
−1
n
FV
PV
−1
i
Exercícios:
17. Qual o valor do desconto de um título de $22.500
descontado 2 meses antes do seu vencimento à uma taxa de
desconto simples racional de 2,8% ao mês?
Maurício R. Cury
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10
Matemática Financeira
18. Qual o valor de face de um título resgatado 100 dias antes
do seu vencimento por $1.280 sabendo-se que a taxa de
desconto simples racional utilizada foi de 3,2% ao mês?
19. Um título de $10.000 foi resgatado 45 dias antes do seu
vencimento por $9.550. Calcular a taxa de desconto simples
racional utilizada.
20. Um título de $15.000 foi resgatado por $12.350 sendo
aplicada uma taxa de desconto simples racional de 7,9% ao
trimestre. Calcule quanto tempo o pagamento deste título foi
antecipado.
21. Uma empresa decidiu resgatar um título de $30.000, 90
dias antes do seu vencimento, por $28.200 e aplicou este
valor por 90 dias, à uma taxa de juros simples de 2,3% ao
mês. Pergunta-se se esta operação foi vantajosa.
22. Uma empresa possui 6 títulos de diferentes valores e
vencimentos conforme tabela abaixo. Ela decide por
descontá-los num banco que aplica taxa de desconto simples
racional de 4,1% ao bimestre. Calcular o valor total
resgatado pela empresa.
Título
Título
Título
Título
Título
Título
Título
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1
2
3
4
5
6
Valor
Nominal
$12.500
$10.360
$ 9.990
$ 7.500
$21.000
$ 2.340
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Vencimento
150 dias
135 dias
125 dias
97 dias
90 dias
55 dias
11
Matemática Financeira
3.
Juros Compostos
3.1 Conceitos e Cálculos
No regime de juros compostos os juros calculados num período serão
acrescidos ao capital principal para o cálculo dos juros no próximo
período. Por esta razão diz-se, no caso de regime de capitalização
composta, “juros sobre juros”.
Observe o diagrama abaixo, onde é aplicado um capital de $ 1.000
durante ‘n’ períodos à uma taxa de 1% por período.
FV1=1.000+10
INT1=10
FV2=1.010+10,10
INT2=10,10
FV3=1.020,10+10,20
INT3=10,20
FV4=1.030,30+10,30
INT4=10,30
0
1
2
3
4
Períodos
PV=1.000
No primeiro período a taxa de juros (1%) foi aplicada sobre o Capital
PV=1.000 gerando juros INT1=10 e formando o montante (n=1),
FV1=1.010.
No segundo período a taxa de juros foi aplicada sobre o montante do
período anterior (n=1), FV1=1.010, gerando juros de INT2=10,10 e
formando o montante FV2=1.020,10.
E assim sucessivamente a cada período.
Revendo :
PV de “Valor Presente” ou “Capital Inicial”
FV de “Valor Futuro” ou “Montante”
INT de “Juros”
i de “taxa de juros”
n de “período” ou “tempo”
O Montante pode ser calculado pela seguinte fórmula:
j =n
FVj = PV + ∑ INTj
j =1
ou
) ⋅2
(1 +4i4
) ⋅ .....
(1 4
FV = PV ⋅ (1
1 +4i )4
⋅ (14
+4
i4
+3
i)
44
n vezes
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Matemática Financeira
FV = PV ⋅ (1 + i )
n
Da mesma maneira, para calcular o Valor Presente:
PV =
FV
(1 + i )n
Os Juros são calculados pela fórmula: INT=FV-PV
No exemplo acima, para cada período:
Período
0
1
2
3
4
Juro
10,00
10,10
10,20
10,30
Capital
1.000,00
1.010,00
1.020,10
1.030,30
1.040,60
Note que o capital e os juros crescem segundo uma progressão
geométrica.
Para o cálculo da taxa:
FV = PV ⋅ (1 + i )
(1 + i )n = FV
PV
n
 FV 
1+ i = 

 PV 
1
n
1
n
 FV 
i=
 −1
 PV 
Para o cálculo do número de períodos:
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13
Matemática Financeira
FV = PV ⋅ (1 + i )
n
(1 + i )n = FV
PV
 FV 
 FV 
n
n
ln(1 + i ) = ln
 ou log(1 + i ) = log

 PV 
 PV 
 FV 
 FV 
n ⋅ ln(1 + i ) = ln
 ou n ⋅ log(1 + i ) = log

 PV 
 PV 
 FV 
ln

PV 

n=
ln (1 + i )
ou
 FV 
log

PV 

n=
log(1 + i )
Exemplos:
1. Qual o montante gerado por um capital de $35.000 aplicado durante 4
anos à uma taxa de 12% ao ano?
FV = 35.000 × (1 + 0,12) 4 = 35.000 ×1,573519 = 55.073,18
2. Qual capital preciso aplicar à uma taxa de 3% ao mês, capitalizável
mensalmente, durante 10 meses para produzir um montante de $5.800?
PV =
5.800
5.800
=
= 4.315,74
10
(1 + 0,03) 1,343916
3. A que taxa semestral um capital de $6.000 gera juros de $ 1.813,56
durante 3 anos?
Como a taxa deve ser ao semestre, devemos passar n=3 anos para n=6
semestres.
FV=PV+INT=6.000+1.813,56=7.813,56
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14
Matemática Financeira
1
1
 FV  n
 7.813,56  6
i=
 −1 = 
 − 1 = 1,045 − 1 = 0,045 = 4,5% a.s.
 PV 
 6.000 
4. Durante quanto tempo devo aplicar um capital de $1.000.000, à uma
taxa de juros de 1,5% ao mês, capitalizável mensalmente, para obter um
montante de $1.240.959,51?
 FV 
 1.240.959,51 
ln
 ln

PV 
1.000.000  0,21588488


n=
=
=
= 14,50 meses
ln(1 + i )
ln (1 + 0,015)
0,01488861
Exercícios:
23. Calcular o montante de um capital de $7.800.000 aplicado
durante 18 meses á uma taxa de juros compostos de 3% ao
bimestre, capitalizado bimestralmente.
24. Um capital de $66.200 foi aplicado durante 2 semestres à
uma taxa de juros compostos de 8,5% ao semestre,
capitalizável semestralmente. Após este período, o capital
resultante foi aplicado por mais 3 anos à uma taxa de juros
compostos
de
2,8%
ao
trimestre,
capitalizável
trimestralmente. Calcular o valor do montante após este
período.
25. Quanto de capital é necessário aplicar hoje, para que daqui
a 16 bimestres forme um montante de $3.950,67 sabendo-se
que a taxa de juros compostos usada foi de 3,1% ao
bimestre, capitalizável bimestralmente?
26. Qual a taxa de juros compostos necessária para que um
capital de $100.000 forme um montante de $185.000
durante 7 meses?
27. Em quanto tempo uma taxa de juros compostos de 4% ao
mês triplica um determinado capital?
28. Numa determinada data foram aplicados dois capitais: um
de $100.000 à uma taxa de juros compostos de 3,4% ao mês
e outro de 150.000 à uma taxa de juros compostos de 2,45%
ao mês. Após quanto tempo os montantes das duas
aplicações ficaram iguais?
29. Qual investimento é mais rentável: aplicar $50.000 e
resgatar $75.000 após 7 meses ou, aplicar $25.000 e
resgatar $50.000 após 12 meses?
30. Qual taxa de juros compostos quadruplica um capital após 2
anos?
Maurício R. Cury
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15
Matemática Financeira
31. Se a caderneta de poupança rende 0,5% ao mês, quanto
deverei aplicar para que ela renda juros de $20.000 após 6
semestres?
32. Uma loja está vendendo um televisor por $1.500 a vista ou
em duas parcelas mensais de $766,50 cada, sendo a
primeira de entrada. Se hoje eu possuo $1.500 aplicados e
sabendo que daqui a um mês esta aplicação me renderá
$75,00 de juros, qual a maneira mais vantajosa para mim se
eu quiser comprar este televisor: (1) a vista, sacando todo o
dinheiro aplicado ou (2) em duas parcelas, sacando o
suficiente para dar a entrada e deixar o restante aplicado
durante um mês para depois pagar a segunda prestação?
3.2 Cálculo do montante para período fracionário
Quando o número de períodos de capitalização for um número
fracionário, existem dois critérios para se calcular o montante.
3.2.1 Convenção Exponencial
Neste caso são usados juros compostos tanto para a parte inteira como
para a parte fracionária do período. Adota-se a seguinte fórmula:
FV = PV × (1 + i )
n+
k
m
onde n é a parte inteira do número de períodos e k/m é parte fracionária
do número de períodos.
Por exemplo, para um período de 7 meses e 15 dias e capitalização
mensal, temos n=7 e k/m=15/30=0,5. Ou para um período de 1 ano e
20 dias e capitalização anual temos n=1 e k/m=20/360=0,0555...
Exemplos:
1. Qual o montante gerado por um capital de $5.000.000 aplicado à uma
taxa de 3% ao bimestre, capitalizável bimestralmente, durante 310 dias?
Para passar o período para bimestre divide-se 310 por 60 dias =
5,16666.=n+k/m..
FV = 5.000.000 × (1 + 0,03) 60 = 5.000.000 × 1,1649993 = 5.824.996,46
310
2. Qual o montante gerado por um capital de $1.500.000 aplicado à uma
taxa de 2% ao mês, capitalizável mensalmente, durante 6 meses e 10
dias?
Maurício R. Cury
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16
Matemática Financeira
Neste caso n=6, k=10 e m=30 (1 mês tem 30 dias).
FV = 1.500.000 × (1 + 0,02 )
6+
10
30
= 1.500.000 × 1,13362067 = 1.700.431,00
3.2.2 Convenção Linear
Neste segundo critério são usados juros compostos para a parte inteira e
juros simples para a parte fracionária do período. Adota-se a seguinte
fórmula:
k

n
FV = PV × (1 + i ) × 1 + i × 
m

Utilizando os dados do exemplo 2 anterior:
2. Qual o montante gerado por um capital de $1.500.000 aplicado à uma
taxa de 2% ao mês, capitalizável mensalmente, durante 6 meses e 10
dias?
n=6, k=10 e m=30 (1 mês tem 30 dias).
10 
6

FV = 1.500.000 × (1 + 0,02) × 1 + 0,02 ×  = 1.500.000 × 1,126162× 1,006666 = 1.700.505,25
30 

Exercícios:
Para os exercícios a seguir utilizar os dois métodos estudados:
33. Calcular o montante de um capital de $12.200.000 aplicado
durante 14 meses e 25 dias á uma taxa de juros compostos
de 3,9% ao bimestre, capitalizado bimestralmente.
34. Um capital de $15.234 foi aplicado à uma taxa de juros
compostos de 18,4% ao ano, capitalizável anualmente,
durante 6 anos e 3 trimestres. Calcular o montante.
35. Um capital de $9.990.420 foi aplicado à uma taxa de juros
compostos de 10,5% ao quadrimestre, capitalizável
quadrimestralmente, durante 2 anos e 2 trimestres. Calcular
o montante.
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17
Matemática Financeira
3.3 Desconto Composto
Os conceitos de desconto composto são os mesmos que os de desconto
simples, vistos anteriormente. A diferença é que o desconto composto
está no regime de capitalização composta.
Ele pode ser Desconto Composto Bancário (ou por Fora) ou Desconto
Composto Racional (ou por Dentro), sendo este segundo o mais utilizado
pelas instituições financeiras.
Os termos utilizados nesta operação são os mesmos do desconto
simples. Relembrando:
-
-
Valor Nominal ou Valor de Face do título (FV) é o valor do título na
data do seu vencimento;
Valor de Resgate do título (PV) é o valor antecipado recebido pelo
credor;
Desconto (D) é o valor cobrado pela instituição que realizou a
operação;
Db – Desconto Bancário
Dr – Desconto Racional
Período de Antecipação (n) é em quanto tempo o banco adiantou o
pagamento;
Taxa de Desconto (i) é a taxa de juros, com determinada
periodicidade, cobrada pela instituição financeira.
3.3.1 Desconto Composto Racional, ou ‘Por Dentro’
Neste caso a taxa de desconto é aplicada sobre o valor de resgate do
título. As fórmulas utilizadas são as mesmas vistas no item sobre Juros
Compostos, exceto a primeira:
Dr = FV − PV
FV = PV ⋅ (1 + i )
n
PV =
FV
(1 + i )n
1
n
 FV 
i=
 −1
 PV 
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18
Matemática Financeira
 FV 
ln

PV 

n=
ln (1 + i )
Exemplos:
1. Qual o valor de resgate de um título de R$4.800, descontado 2 meses
antes do seu vencimento à uma taxa de desconto racional composto
de 3,5% ao mês? Qual o valor do desconto?
PV =
FV
4.800
4.800
=
=
= 4.480,85
n
2
(1 + i ) (1 + 0,035) 1,071225
Dr=4.800-4.480,85=319,15
O valor de resgate é de R$4.480,85 e o desconto é de R$319,15
2. Qual a taxa de desconto racional composto foi aplicada a uma
duplicata de R$2.100 resgatada 90 dias antes do seu vencimento por
R$1.924,60?
1
3
1
n
 2.100 
 FV 
i=
 − 1 = 0,0295 = 2,95% a.m.
 −1 = 
PV
1
.
924
,
60




3.3.2 Desconto Composto Comercial ou Bancário ou ‘Por Fora’
Neste caso a taxa de desconto é aplicada sobre o valor de face do título.
As fórmulas utilizadas são mostradas a seguir:
Db = FV − PV
PV = FV × (1 − i )
n
FV =
PV
(1 − i )n
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19
Matemática Financeira
 PV 
i = 1− 

FV


1
n
 PV 
ln

FV 

n=
ln(1 − i )
Exemplos:
1. Quanto tempo foi antecipado um título de R$15.000 resgatado por
R$12.507,53, sabendo que o banco aplica uma taxa de desconto
composto comercial de 3,25% ao mês?
a) pela fórmula:
 PV 
 12.507,53 
ln
 ln

FV 
15.000  − 0,181719


n=
=
=
= 5,5
ln (1 − i )
ln(1 − 0,0325) − 0,033040
Resposta: 5,5 meses ou 5 meses e 15 dias.
2. Qual o valor do desconto que o Banco aplicou sobre um título de
R$3.050, descontado 45 dias antes do seu vencimento à uma taxa de
desconto bancário composto de 4% ao mês?
PV = FV × (1 − i ) = 3.050 × (1 − 0,04 ) = 3.050 × 0,940604 = 2.868,84
n
1, 5
Db=3.050-2.868,84=181,16
O valor do desconto é de R$181,16
Exercícios:
Para os exercícios a seguir utilizar os dois métodos estudados (Desconto
Racional e Desconto Bancário):
36. Um título de $34.000 foi resgatado 130 dias antes do seu
vencimento. Se o banco utiliza uma taxa de desconto
composto de 4,1% ao mês, calcular o valor de resgate do
título e o valor do desconto.
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20
Matemática Financeira
37. Um título foi resgatado por $5.126, 3 meses antes do seu
vencimento. Calcular o valor de face deste título sabendo-se
que a taxa de desconto composto utilizada foi de 6,2% ao
bimestre. Calcule também o valor do desconto.
38. Quanto tempo foi antecipado um título de $40.000,
resgatado por $38.451, se a taxa de desconto composto é de
9% ao trimestre?
39. Se um título de $100.000 é resgatado 85 dias antes do seu
vencimento por $92.145, calcule qual a taxa de desconto
composto utilizada.
40. Uma empresa descontou um título de $45.000, 45 dias
antes do seu vencimento, por $38.376,94. A empresa aplicou
este valor no mercado financeiro e após 30 dias rendeu juros
de $1.074,55. Analisar se esta operação foi vantajosa para a
empresa levando-se em conta que o dinheiro continuou
aplicado após os 30 dias.
41. Uma empresa realizou o desconto de vários títulos em
vários bancos que praticam taxas de desconto composto
diferentes, conforme tabela abaixo. A empresa aplicou o total
obtido no mercado financeiro à uma taxa de juros compostos
de 1,4% ao mês. Elaborar uma tabela mostrando a evolução
dos juros e do montante desta aplicação, a cada mês, até o
sexto mês.
Banco
Valor do Título Vencimento
Banco 1
$120.000
240 dias
Banco 2
$ 75.500
160 dias
Banco 3
Banco 4
Banco 5
$ 82.800
$210.000
$102.550
125 dias
92 dias
60 dias
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Taxa de
Desconto
6,38% ao
bimestre
8,87% ao
trimestre
3,74% ao mês
3,01% ao mês
0,15% ao dia
21
Matemática Financeira
4.
Taxa de Juros nominal, proporcional, efetiva e equivalente
Taxa de Juros nominal é aquela cujo valor é uma referência. Geralmente
é expressa para periodicidade anual e transformada para periodicidade
menor de forma proporcional.
Taxa de Juros proporcional é aquela calculada proporcionalmente ao juro
nominal (como no juros simples). Por exemplo, qual a taxa de juros
mensal proporcional à 12% ao ano? Divide-se 12% por 12 e acha-se 1%
ao mês.
Taxa de juros efetiva é a taxa que efetivamente é aplicada no cálculo.
Taxas de juros equivalentes, quando duas ou mais taxas com
periodicidades diferentes são aplicadas a um mesmo capital, durante o
mesmo tempo e produzem o mesmo montante, diz-se que elas são
equivalentes.
No regime de capitalização composta, o cálculo de taxas equivalentes
utiliza-se a seguinte fórmula:
ieq = (1 + i ) − 1
n2
n1
onde n2/n1 é a relação entre a periodicidade das taxas equivalentes.
Exemplos: considerando uma taxa nominal de 24% ao ano no regime
de capitalização composta:
São taxas proporcionais : 2% ao mês, 4% ao bimestre, 12% ao
semestre, etc
Se a capitalização é mensal, então 2% ao mês é a taxa efetiva.
As taxas a seguir são equivalentes à 2% ao mês:
ieq = (1 + 0,02) − 1 = 0,0404 = 4,04% a.b.
2
1
ieq = (1 + 0,02)1 − 1 = 0,0612 = 6,12% a.t.
3
ieq = (1 + 0,02)1 − 1 = 0,1262 = 12,62%a.s.
6
ieq = (1 + 0,02) 1 − 1 = 0,2682 = 26,82% a.a.
12
Ou seja, se aplicar um capital PV a 2% a.m. durante n meses, produzirá
o mesmo montante se for aplicado este capital a 4,04% a.b. durante n/2
bimestres ou a 6,12% a.t. durante n/3 trimestres ou a 12,62% a.s.
durante n/6 semestres ou a 26,82% a.a. durante n/12 anos.
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22
Matemática Financeira
Observação: Apesar de não ser muito aplicado, pode-se dizer que uma
taxa equivalente no regime de juros simples, é a taxa proporcional. Por
exemplo, uma taxa nominal de 12% ao ano, no regime de juros simples,
1% ao mês é uma taxa proporcional e é também a taxa efetiva (é
efetivamente usada no cálculo dos juros) e a taxa equivalente (produz o
mesmo montante que 12% ao ano, se aplicada ao mesmo capital,
durante o mesmo período).
Exercícios:
42. Calcular as taxas equivalentes mensais, bimestrais,
trimestrais,
quadrimestrais,
semestrais
e
anuais
considerando:
(a) Taxa nominal de 18,24% ao ano e capitalização
composta mensal;
(b) Taxa nominal de 26% ao ano e capitalização composta
semestral;
(c) Taxa nominal de 8,9% ao ano e capitalização composta
trimestral
43. Calcular as seguintes taxas equivalentes (capitalização
composta):
(a) 14% ao ano em taxa mensal
(b) 4% ao trimestre em taxa anual
(c) 8% ao semestre em taxa anual
(d) 12,6% ao quadrimestre em taxa bimestral
(e) 1,2% ao mês em taxa diária
(f) 3,8% ao bimestre em taxa semestral
44. Qual das seguintes taxas de juros compostos apresenta
maior rentabilidade?
(a) 1,90% ao mês
(b) 3,75% ao bimestre
(c) 5,75% ao trimestre
(d) 12,00% ao semestre
(e) 24,00% ao ano
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23
Matemática Financeira
5.
Inflação e correção monetária
Inflação significa simplesmente aumento de preços durante um período.
Em maior ou menor grau ela está presente na economia de todos os
países.
A inflação pode ter diversas causas como aumento da demanda dos
produtos e desvalorização da moeda nacional por emissão exagerada de
dinheiro.
Se num determinado período houver retração nos preços, a denominação
dada é deflação.
A correção monetária visa corrigir a perda monetária causada pela
inflação.
No Brasil existem diversos índices para correção monetária, cada um
com uma base de cálculo e uso específicos.
Alguns dos índices de inflação brasileiros: ICV, IGP-DI, INCC-DI, INCC-M,
INPC, IPA-DI, IPA-M, IPC, IPC-DI e IPC.
Para efeito de ilustração, vamos pegar o INPC (Índice Nacional de Preço
ao Consumidor), que é um índice calculado pelo IBGE.
A variação dos preços, no caso do INPC, é apurada do 1º ao 30º dia de
cada mês e tem, como unidade de coleta, estabelecimentos comerciais e
de prestação de serviços, concessionária de serviços públicos e domicílios
(aluguel e condomínio). A população-objetivo do INPC abrange as
famílias com rendimentos mensais compreendidos entre 1 e 6 saláriosmínimos, cujo chefe é assalariado em sua ocupação principal e residente
nas áreas urbanas das regiões qualquer que seja a fonte de rendimentos,
e residentes nas áreas urbanas das regiões.
A tabela a seguir mostra todos os índices do INPC no ano de 2010.
Mês de
2010
INPC
INPC
acumulado
no ano
Mês de
2010
INPC
INPC
acumulado
no ano
Janeiro
0,88%
0,8800%
Julho
-0,07%
3,3112%
Fevereiro
0,70%
1,5861%
Agosto
-0,07%
3,2389%
Março
0,71%
2,3074%
Setembro
0,54%
3,7963%
Abril
0,73%
3,0543%
Outubro
0,92%
4,7513%
Maio
0,43%
3,4974%
Novembro
1,03%
5,8302%
Junho
-0,11%
3,3836%
Dezembro
0,60%
6,4652%
Observe que os índices negativos dos meses junho, julho e agosto,
indicam uma deflação neste período e, nos demais meses, inflação.
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24
Matemática Financeira
Para entender estes números, se uma pessoa teve gastos de R$ 100 no
dia 31 de dezembro de 2009, para adquirir os mesmo produtos em 31 de
janeiro de 2010 ela teria que dispor de
R$ 100 mais 0,88%, ou seja R$ 100 x 1,0088 = R$ 100,88 e teria que
dispor de
R$ 100,88 x 1,007 = R$ 101,58 em 28 de fevereiro de 2010.
O objetivo principal deste módulo é o cálculo da correção monetária com
ou sem juros agregados.
Primeiramente trataremos do cálculo da inflação acumulada num
determinado período.
c ac = (1 + c1 ) ⋅ (1 + c 2 ) ⋅ (1 + c3 ) ⋅ ...... ⋅ (1 + c n ) − 1
Onde cac= inflação acumulada no período de 1 a n.
Cj=inflação no período j (j=1,2,3....n)
Como exemplo, qual o INPC acumulado no primeiro semestre de 2010?
c ac = 1,0088 ⋅ 1,007 ⋅ 1,0071 ⋅ 1,0073 ⋅ 1,0043 ⋅ 0,9989 − 1 = 3,3836%
Para o cálculo da correção monetária num determinado período:
FV = PV ⋅ (1 + cac )
Para fazer a correção monetária de um valor de R$ 500 em 31 de
dezembro de 2009 para 30 de junho de 2010:
FV = 500 ⋅1,0033836 = 516,91
5.1 Taxa de juros nominal e taxa de juros real
No item anterior foi tratada apenas a correção monetária.
Em muitos cálculos na economia, além da correção monetária há a
adição de juros, como por exemplo o cálculo da caderneta de poupança e
do FGTS.
Os juros representam o rendimento real obtido, sendo denominados
juros reais. Os juros reais mais a correção monetária são os juros
nominais.
Para o cálculo da taxa de juros nominal, num determinado período, temse:
i N = (1 + iac ) ⋅ (1 + cac ) − 1
Onde
iN = taxa de juros nominal do período
iac= taxa de juros real no período
Exemplos:
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Matemática Financeira
1. Se determinada aplicação rende juros reais de 0,5% ao mês mais
correção monetária segundo o INPC:
- Taxa de juros nominal em setembro de 2010:
i N = 1,005 ⋅ 1,0054 − 1 = 1,043%
- Taxa de juros real acumulada no ano de 2010:
iac = 1,00512 − 1 = 6,168%
- Taxa de juros nominal acumulada no ano de 2010:
i N = 1,06168 ⋅ 1,064652 − 1 = 13,03%
- se foi aplicado um valor de R$ 1.000 em 31/12/2009, o montante em
31/12/2010 seria de
FV = 1000 ⋅ 1,1303 = 1.130,30
2. Qual o INPC acumulado no 2º semestre de 2010?
c ac = 0,9993 ⋅ 0,993 ⋅ 1,0054 ⋅ 1,0092 ⋅ 1,0103 ⋅ 1,006 − 1 = 2,98%
3. Se um valor de R$ 3.400 foi aplicado em 30/06/2010, num fundo que
rende juros reais de 0,25% ao mês mais correção monetária pelo INPC,
calcular a taxa de juros real, a taxa de juros nominal e o valor do
montante em 31/12/2010.
Taxa de juros real:
iac = 1,00256 − 1 = 1,5094%
Taxa de juros nominal:
iN = 1,015094 ⋅1,0298 − 1 = 4,5344%
Montante em 31/12/2010:
FV = 3400 ⋅1,045344 = 3.554,17
Exercícios:
Considere a tabela a seguir do IPC (Índice de Preços ao Consumidor) de
2009 e 2010, para a resolução dos exercícios.
O IPC/FIPE mede a variação de preços para o consumidor na cidade de
São Paulo com base nos gastos de quem ganha de um a vinte salários
mínimos.
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26
Matemática Financeira
IPC
Janeiro
Fevereiro
Março
Abril
Maio
Junho
Julho
Agosto
Setembro
Outubro
Novembro
Dezembro
2009
0,4600%
0,2700%
0,4000%
0,3100%
0,3300%
0,1300%
0,3300%
0,4800%
0,1600%
0,2500%
0,2900%
0,1800%
2010
1,3400%
0,7400%
0,3400%
0,3900%
0,2200%
0,0400%
0,1700%
0,1700%
0,5300%
1,0400%
0,7200%
0,5400%
45. Calcular o IPC acumulado de 1º de junho de 2009 até 30 de
setembro de 2010.
46. Calcular o IPC médio mensal do ano de 2010.
47. Sobre um capital de R$ 580,00 foi aplicada uma correção monetária
segundo os índices do IPC de 31/12/2008 a 31/05/2009. Calcular o
valor deste capital em 31/05/2009.
48. No período de 31 de janeiro de 2010 a 31 de março de 2010, uma
aplicação rendeu juros reais mais correção monetária, pelo IPC, de
1,7396%. Calcular a taxa de juros real.
Maurício R. Cury
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27
Matemática Financeira
6.
Equivalência de Capitais
Enquanto as taxas equivalentes são aquelas que com periodicidades
diferentes, produzem o mesmo montante, se aplicadas sobre o mesmo
capital durante o mesmo período, diz-se que dois ou mais capitais são
equivalentes se, trabalhando com uma determinada taxa de juros, eles
forem transportados para uma determinada data focal, seus valores
serão iguais.
Obs.: Data focal é a data para qual serão transportados os valores com
os quais se trabalha.
Em outras palavras, considerando uma taxa ‘i’ e dois capitais, um na
data 3 e outro na data 10, estes capitais serão equivalentes se,
transportados para uma data focal qualquer através da taxa ‘i’, eles
apresentarem o mesmo valor.
Exemplo 1: o três capitais do diagrama abaixo são equivalentes para a
taxa de juros compostos de 2% ao mês:
4.080,00
0
1
4.504,64
2
3
4
5
6
4.686,64
7
8
9
Meses
Data Focal 0:
Levando todos estes valores para a data focal zero, a 2% ao mês,
obtêm-se o mesmo valor:
Como cada um dos valores será levado para uma data anterior,
então cada um deles será FV na sua data e PV na data focal 0.
Usando a fórmula de montante para juros compostos:
FV = PV ⋅ (1 + i )
n
4.080 = PV ⋅ (1 + 0,02) → PV =
4.080
= 4.000
1,02
4.080
6
4.504,64 = PV ⋅ (1 + 0,02) → PV =
= 4.000
1,1262
4.080
8
4.686,64 = PV ⋅ (1 + 0,02) → PV =
= 4.000
1,1717
1
Conclui-se que os capitais $4.080 na data 1, $4.504,64 na data 6 e
$4.686,64 na data 8 são equivalentes no regime de juros
compostos à uma taxa de 2% ao mês.
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
28
Matemática Financeira
Se estes capitais são equivalentes, então para qualquer data focal que
eles forem levados, à uma taxa de 2% ao mês, será produzido o
mesmo valor. Vejamos os exemplos abaixo:
- Data Focal 6:
FV = 4.080 ⋅ (1 + 0,02) → FV = 4.080 ⋅1,1041 = 4.504,64
5
FV = 4.504,64 ⋅ (1 + 0,02) → FV = 4.504,64 ⋅1 = 4.504,64
4.686,64
2
4.686,64 = PV ⋅ (1 + 0,02) → PV =
= 4.504,64
1,0404
0
- Data Focal 4:
FV = 4.080 ⋅ (1 + 0,02 ) → FV = 4.080 ⋅1,0612 = 4.329,72
4.504,64
2
4.504,64 = PV ⋅ (1 + 0,02 ) → FV =
= 4.329,72
1,0404
4.686,64
4
4.686,64 = PV ⋅ (1 + 0,02 ) → PV =
= 4.329,72
1,0824
3
Todos os capitais acima são equivalentes no regime de juros
compostos, à uma taxa de 2% ao mês.
Exercícios:
49. Considerando o regime de capitalização composta e uma
taxa de juros de 4,2% ao mês, calcular o capital equivalente
de $15.000:
(a) na data focal 4 meses antes
(b) na data focal 15 meses depois.
50. Uma empresa desejar trocar um título de $58.000, vencível
daqui a 6 meses por outros dois títulos de valores nominais
iguais, sendo o primeiro vencendo hoje e outro daqui a 3
meses. Calcular os valores destes novos títulos considerando
uma taxa de juros compostos de 2,05% ao mês.
51. Esta mesma empresa deseja trocar dois títulos (o primeiro
de $120.000, vencível em 1 ano e o segundo de $210.000,
vencível em 2 anos) por outros dois de valores nominais
iguais com vencimentos um daqui a 6 meses e o outro daqui
a 3 anos. Se a taxa de juros compostos é de 10,5% ao
semestre, calcular os valores dos novos títulos.
52. Um automóvel é vendido à prazo em 5 prestações de
$6.200, sendo a primeira de entrada. Se a concessionária
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
29
Matemática Financeira
usa uma taxa de juros compostos de 2,7% ao mês, calcular o
valor a vista deste automóvel.
53. Quanto será a prestação de um financiamento no valor de
$14.000 a ser pago em 3 parcelas iguais mensais, sendo a
primeira em 30 dias, sabendo-se que a taxa de juros nominal
usada é de 54% ao ano? Considerar regime de capitalização
composta.
54. Se eu estiver trabalhando com uma taxa de juros compostos
de 7% ao trimestre o que é mais vantajoso financeiramente:
Possuir hoje $20.000 ou possuir $45.000 daqui a 3 anos?
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
30
Matemática Financeira
6
Anuidade ou Séries de Pagamentos Uniformes
Quando se contraí uma dívida, esta pode ser paga de uma só vez após
um determinado período, ou pode ser parcelada em prestações iguais,
sendo amortizada a cada período.
Da mesma maneira, quando se investe um dinheiro, ele pode ser
resgatado de uma só vez, ou pode ser recebido em parcelas iguais e
sucessivas, sendo capitalizado a cada período.
Os casos de pagamento de dívida e recebimento de investimento de uma
só vez, após um determinado período, já foram vistos anteriormente nos
itens sobre capitalização simples e composta.
Neste item serão vistos os casos de parcelamentos iguais das dívidas e
investimentos, utilizando amortização/capitalização compostas. Será
usado o método Price onde as prestações possuem o mesmo valor.
Suponha um empréstimo no valor ‘PV’, à uma taxa de juros compostos
de ‘i’ por período e deverá pagar esta dívida em ‘n´’ parcelas periódicas
de valor ‘PMT’ cada.
Ainda existem duas modalidades de pagamento:
1. As parcelas são pagas ao final de cada período. Neste caso
denomina-se pagamento ‘postecipado’.
2. As parcelas são pagas no início de cada período. Neste caso
denomina-se pagamento ‘antecipado’.
6.1
Anuidade com Parcelas Postecipadas
PV
1
2
3
4………………………….n
Períodos
PMT
PMT
PMT
PMT………………………PMT
0
Considerando SDj como o saldo devedor ao final do período ‘j’:
→ SD1 = PV × (1 + i ) − PMT
→ SD2 = SD1 × (1 + i ) − PMT = [PV × (1 + i ) − PMT]× (1 + i ) − PMT
SD2 = PV × (1 + i ) − PMT× (1 + i ) − PMT
2
[
]
→ SD3 = SD2 × (1 + i ) − PMT = PV × (1 + i ) − PMT× (1 + i ) − PMT × (1 + i ) − PMT
2
SD3 = PV × (1+ i ) − PMT× (1+ i ) − PMT× (1+ i ) − PMT
3
Maurício R. Cury
2
Edição 2 - 2011
31
Matemática Financeira
e assim sucessivamente.
Nota-se que a expressão genérica do saldo devedor é:
j =n
SDj = PV × (1 + i ) − PMT × ∑ (1 + i )
n
j −1
j =1
Quando j=n, o saldo devedor deve ser igual a zero, pois após o último
pagamento PMT ao final do período ´n’ a dívida deverá ser liquidada.
Então:
j =n
0 = PV × (1 + i ) − PMT × ∑ (1 + i )
n
j −1
j =1
j =n
PV × (1 + i ) = PMT × ∑ (1 + i )
n
j −1
j =1
j =n
∑ (1 + i )
A expressão
j −1
é a soma de uma PG (progressão
j =1
geométrica) sendo o primeiro termo a1=1 (para j=1), com ‘n’ termos e
razão q=(1+i).
Aplicando a fórmula da soma de uma PG, temos que:
a1 × (q n − 1)
∑ PG = q − 1
(
1 + i)
(
)
∑ 1+ i =
j =n
n
j −1
−1
i
j =1
(1 + i )
PV × (1 + i ) = PMT ×
n
n
PV × (1 + i ) × i
(1 + i )n − 1
−1
i
n
PMT =
dividindo numerador e denominador por
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
(1 + i )
n
32
Matemática Financeira
PMT =
PV × i
1
1−
(1 + i )n
PMT =
PV × i
−n
1 − (1 + i )
Da mesma forma temos:
1 − (1 + i )
PV = PMT ×
PV × i
−n
Exemplos:
1. Um financiamento de R$10.000 a ser pago em 20 prestações mensais
iguais, sendo a primeira após 30 dias do empréstimo, e com uma taxa de
juros de 2% ao mês terá o seguinte valor da prestação:
PMT =
PV × i
10.000 × 0,02
200
=
=
= 611,57
−n
− 20
0,327029
1 − (1 + i )
1 − (1 + 0,02 )
2. Quanto deverá aplicar uma pessoa que deseja receber como retorno,
12 parcelas mensais de R$1.800, sendo a primeira um mês após a
aplicação, e sabendo que a taxa de juros é de 1,2% ao mês?
1 − (1 + i )
i
−n
PV = PMT ×
6.1.1
1 − (1 + 0,012 )
0,012
−12
= 1.800 ×
= 1.800 ×
0,133370
= 20 .005, 46
0,012
Valor Futuro ou Montante
Aqui a questão é o cálculo do montante ou valor futuro quando se
deposita várias parcelas iguais e uniformes ao longo do tempo, conforme
mostrado no diagrama abaixo:
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
33
Matemática Financeira
FV
1
2
3
PMT
PMT
4………………………….n
Períodos
0
PMT
PMT………………………PMT
A última parcela coincide com o valor do montante.
(1 + i )
= PMT ×
n
FV
PMT =
−1
i
FV × i
(1 + i )n − 1
Exemplos:
1. Quanto deverá depositar por mês uma pessoa que deseja obter
R$100.000 daqui a 12 meses aplicando o dinheiro à uma taxa de 1,5%
ao mês, considerando que o resgate ocorrerá no momento da última
parcela?
PMT =
FV × i
100.000 × 0,015
1.500
=
=
= 7.668,00
(1 + i )n − 1 (1 + 0,015)12 − 1 0,195618
2. Quanto terá, ao final de 5 anos, uma pessoa que deposita no final de
cada ano R$15.000 aplicados à uma taxa de 21% ao ano?
(1 + i )
FV = PMT ×
n
i
Maurício R. Cury
−1
(1 + 0,21)
= 15.000 ×
5
0,21
Edição 2 - 2011
−1
= 15.000 × 7,58925 = 113.838,74
34
Matemática Financeira
6.2
Anuidade com Parcelas Antecipadas
PV
1
2
3
4………………………….n-1
PMT
PMT
PMT
PMT………………………PMT
Períodos
0
PMT
São ‘n’ parcelas de valor PMT cada (a primeira em 0 e a última em n-1).
Como a primeira parcela é paga na data 0 (dada como entrada), o valor
financiado/aplicado, na realidade é PV-PMT.
PMT =
PV × i
−n
1 − (1 + i ) × (1 + i )
[
]
[1 − (1 + i ) ]× (1 + i )
PV = PMT ×
−n
i
Exemplos:
1. Um financiamento de R$10.000 a ser pago em 20 prestações mensais
iguais, sendo a primeira como entrada, e com uma taxa de juros de 3%
ao mês, terá como prestação:
PMT =
10.000 × 0,03
300
=
= 652,58
− 20
1 − (1 + 0,03) × (1 + 0,03) 0,459714
[
]
2. Qual o valor a vista de uma mercadoria vendida a prazo em 8
prestações mensais de R$160,00, sendo a primeira de entrada, sabendo
que a taxa de juros usada é de 2,2% ao mês?
[1 − (1 + 0,022) ]× (1 + 0,022) = 26,12728 = 1.187,60
−8
PV = 160 ×
Maurício R. Cury
0,022
Edição 2 - 2011
0,022
35
Matemática Financeira
6.2.1
Valor Futuro ou Montante
Considerando agora, que as parcelas são antecipadas, ou seja, a última
parcela ocorrerá um período antes do montante:
FV
1
2
3
4………………n-1
PMT
PMT
n
Períodos
0
PMT
PMT
(1 + i )
= PMT ×
n
FV
−1
i
PMT =
PMT
PMT
× (1 + i )
FV × i
(1 + i )n − 1 × (1 + i )
[
]
Exemplo: Se eu depositar num fundo de investimentos, no início de cada
mês, R$1.500, durante 10 meses, quanto terei no final do décimo mês,
se o fundo remunera à uma taxa de 0,8% ao mês?
(1 + 0,008)
FV = 1.500 ×
10
0,008
6.3
−1
× (1 + 0,008) =
125,41
= 15.676,10
0,008
Renda Perpétua
O conceito de renda perpétua é utilizado pelas instituições que oferecem
previdência privada.
A renda perpétua, como o próprio nome diz, não tem prazo para acabar
e portanto não há montante a ser calculado. O que ela garante, é uma
renda periódica (baseada na taxa de juros e capital inicial) e o capital
inicial (que não será capitalizado nem depreciado).
Para o cálculo da renda periódica utilizamos a seguinte fórmula:
PMT = PV × i
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
36
Matemática Financeira
E para o cálculo do valor principal (capital inicial):
PV =
PMT
i
Exemplos:
A) Que capital deverá ter uma pessoa que deseja uma renda mensal
perpétua de R$2.000, sabendo-se a taxa de juros paga é de 1% ao
mês?
PV =
PMT 2.000
=
= 200.000
i
0,01
Ou seja, uma pessoa com capital de $200.000 que aplicá-lo à um 1% ao
mês, terá uma renda perpétua de $2.000 mensais pois não há
descapitalização do principal.
B) Uma instituição de previdência privada utiliza-se das seguintes taxas
de juros: paga 0,95% ao mês sobre os depósitos (contribuições)
feitos pelos seus clientes e paga 0,45% ao mês sobre o capital
acumulado para compor a renda vitalícia (aposentadoria) deles. De
quanto deverá ser a aposentadoria de uma pessoa que contribui com
R$66,36 mensais durante 35 anos?
Primeiramente devemos calcular o quanto ela irá acumular ao longo
dos 35 anos:
A pessoa terá, após os 35 anos de contribuição, um capital de
R$363.557,68
Portanto o valor da sua aposentadoria (renda perpétua) será:
PMT = PV × i = 363.557,68 × 0,0045 = 1.636,00
Exercícios:
55. Um aparelho é vendido por uma loja a vista por $2.400. Se
a loja utiliza uma taxa de juros compostos de 2,75% ao mês
para financiar este aparelho, calcular o valor da prestação
caso a venda ocorra em 10 parcelas iguais mensais.
Considerar dois casos: com e sem entrada.
56. Qual o valor a vista de uma mercadoria vendida a prazo em
6 prestações mensais de $233,00, sem entrada, e uma taxa
de juros compostos de 3,03% ao mês?
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
37
Matemática Financeira
57. Se uma mercadoria é vendida a vista por $840 ou parcelada
em 5 prestações mensais iguais, com entrada, de $174,69,
calcular a taxa de juros usada.
58. Se eu depositar $300 mensalmente durante 10 anos e se
aplicação me render 1,2% ao mês, quanto terei ao final deste
período, no momento que eu fizer meu último depósito?
59. Quanto deverei depositar por semestre, para que após 6
anos eu tenha acumulado $350.000, com uma taxa de juros
de 7,42% ao semestre?
60. Uma pessoa está planejando uma renda vitalícia para daqui
a 20 anos de $3.500 mensais. Sabendo que a instituição
financeira paga juros a uma taxa de 0,85% ao mês, quanto
ela deverá depositar mensalmente durante estes 20 anos?
61. Um determinado televisor é vendido pela Loja 1 em 24
prestações iguais mensais de $122,00 cada, sem entrada. A
Loja 2 vende o mesmo televisor em 12 prestações de
$228,67 cada, sem entrada. Se as duas lojas praticam juros
a uma taxa de 2% ao mês, em qual loja o valor a vista é
menor?
62. Desejando fazer um empréstimo de $30.000, certa pessoa
procura um banco que pratica taxa de juros compostos de
3,8% ao mês. Se esta pessoa não pode pagar mais de
$1.500 por mês, qual o número de prestações que deverá ter
este financiamento?
63. Hoje, certa pessoa possui $120.000 aplicados num banco à
uma taxa de juros compostos de 1,6% ao mês. Ela deseja
comprar um apartamento que lhe é oferecido nas seguintes
condições: $100.000 a vista ou $30.000 de entrada mais 120
prestações mensais de $1.485,20 cada. Qual a melhor
condição de compra?
64. Sandra nasceu no dia 22/5/1947. A partir deste dia seus
pais começaram a depositar o equivalente a $1,00
mensalmente num banco que paga uma taxa de juros
compostos de 1,2% ao mês. Após a morte de seus pais ela
continuou a efetuar os depósitos até o dia 22/4/2007. A
partir de 22/5/2007 ela começou a viver dos juros
provenientes da renda acumulada. Calcular o valor desta sua
renda vitalícia e o capital que ela poderá retirar a qualquer
momento.
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
38
Matemática Financeira
7.
Amortizações
Quando se contrai um empréstimo, este pode ser pago de uma só vez,
após um determinado prazo ou pode ser pago de forma parcelada. O
primeiro já foi visto nos itens 2 e 3 (Capitalizações Simples e Composta).
O segundo foi visto, num caso particular, no item 6 (Anuidade com
pagamento uniforme) e tem como método de cálculo o sistema Price ou
SFA (Sistema Francês de Amortização).
Regra geral, amortização significa reduzir o capital principal financiado.
Quando se faz um empréstimo o seu pagamento ocorrerá através de
prestações que são compostas de dois componentes: amortização e
juros.
7.1 Sistema Francês de Amortização – SFA - (Sistema Price)
As características do sistema Price são: os valores das prestações são
iguais, o valores das amortizações crescem ao longo tempo e o valores
dos juros decrescem ao longo tempo.
Neste sistema, o regime de capitalização é o de juros compostos e o
cálculo da prestação é realizado conforme demonstrado no item 6.
Vamos pegar um exemplo para ilustrar este sistema:
Suponha um empréstimo contraído de $1.000.000, a ser pago em 6
prestações anuais (a primeira um ano após a tomada do dinheiro) com
amortização pelo SFA e com taxa de juros de 15% ao ano:
Valor da prestação: $264.236,91
Planilha de Amortização:
Ano
0
1
2
3
4
5
6
Saldo Devedor
1.000.000,00
885.763,09
754.390,64
603.312,33
429.572,27
229.771,20
-
Prestação
Amortização
Juros
264.236,91
264.236,91
264.236,91
264.236,91
264.236,91
264.236,91
114.236,91
131.372,45
151.078,31
173.740,06
199.801,07
229.771,20
150.000,00
132.864,46
113.158,60
90.496,85
64.435,84
34.465,68
Observações:
- As prestações são iguais, a amortização cresce ao longo do
tempo e os juros decrescem ao longo do tempo;
- Os juros de um determinado ano são calculados sobre o saldo
devedor do ano imediatamente anterior, por exemplo, os juros
de $113.158,60 do ano 3 é correspondente à 15% (taxa de
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
39
Matemática Financeira
-
-
juros) de $754.390,64 (Saldo devedor do ano anterior, ou seja
ano2);
A amortização de cada ano é a diferença entre a prestação e os
juros do mesmo ano (Ano 4: $173.740,06=$264.236,91$90.469,85);
O saldo devedor de um determinado ano é a diferença do saldo
devedor do ano imediatamente anterior pela amortização do ano
vigente (Ano 2: $754.390,64=$885.763,09-$131.372,45)
7.1.1 Caso com Período de Carência:
Existem empréstimos onde há um período de carência, ou seja, o
pagamento da primeira prestação ocorrerá alguns períodos após a
tomada do empréstimo. Geralmente, neste tipo de empréstimo, os juros
são capitalizados no período de carência.
Exemplo: um empréstimo de $250.000, com 4 meses de carência, a ser
pago em 7 prestações bimestrais e com taxa de juros de 4,5% ao
bimestre.
$250.000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Bimestres
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
Carência
PMT
No período de 0 a 2 (carência) serão capitalizados juros.
Existem duas alternativas para o cálculo da prestação PMT:
1. Leva-se o valor de $250.000 para a data focal 1 e considera-se as
parcelas postecipadas ou
2. Leva-se o valor de $250.000 para a data focal 2 e considera=se as
parcelas antecipadas.
Tanto em um caso como outro o resultado é o mesmo.
No caso de parcelas postecipadas:
Na data focal 1:
FV = PV ⋅ (1 + i ) = 250000 ⋅ (1 + 0,045) = 261.250
n
Maurício R. Cury
1
Edição 2 - 2011
40
Matemática Financeira
Calculando o valor da prestação:
PMT =
261250⋅ 0,045 11756,25
PV × i
=
=
= 44.334,51
−n
−7
0,265172
1 − (1 + i )
1 − (1 + 0,045)
Portanto o valor de cada prestação bimestral é de $44.334,51
No caso de parcelas antecipadas:
Na data focal 2:
FV = PV ⋅ (1 + i ) = 250000 ⋅ (1 + 0,045) = 273.006,25
n
2
Calculando o valor da prestação:
PMT =
PV × i
273.006,25⋅ 0,045
12285,28
=
=
= 44.334,51
−n
−7
1 − (1 + i ) × (1 + i ) 1 − (1 + 0,045) ⋅ (1 + 0,045) 0,277104
[
]
[
]
A tabela de amortização fica:
Bimestre
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Saldo Devedor
(*)
250.000,00
261.250,00
228.671,74
194.627,46
159.051,19
121.873,98
83.023,80
42.425,37
Prestação
-
44.334,51
44.334,51
44.334,51
44.334,51
44.334,51
44.334,51
44.334,51
Amortização
32.578,26
34.044,28
35.576,27
37.177,21
38.850,18
40.598,44
42.425,37
Juros
11.250,00
11.756,25
10.290,23
8.758,24
7.157,30
5.484,33
3.736,07
1.909,14
(*) O valor do saldo devedor de cada data já exclui os valores
pagos de amortização e juros da mesma data.
7.2 Sistema de Amortização Constante – SAC (Sistema
Hamburguês)
Neste sistema os valores das amortizações são iguais e os valores da
prestações e dos juros decrescem ao longo do tempo.
O valor de cada amortização é a divisão do valor financiado pelo número
de prestações.
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
41
Matemática Financeira
Exemplo: empréstimo de $1.000.000, a ser pago em 6 prestações anuais
(a primeira um ano após a tomada do dinheiro) com amortização pelo
SAC com taxa de juros de 15% ao ano:
Para calcular o valor da amortização em cada período:
Amortizaçã o =
PV 1.000.000
=
= 166.666,67
n
6
A tabela de amortização fica:
Ano
0
1
2
3
4
5
6
Saldo Devedor
1.000.000,00
833.333,33
666.666,67
500.000,00
333.333,33
166.666,67
0,00
Prestação
316.666,67
291.666,67
266.666,67
241.666,67
216.666,67
191.666,67
Amortização
166.666,67
166.666,67
166.666,67
166.666,67
166.666,67
166.666,67
Juros
150.000,00
125.000,00
100.000,00
75.000,00
50.000,00
25.000,00
Os juros de cada período são calculados pela taxa de juros sobre o saldo
devedor do período anterior. A valor de cada prestação é a soma da
amortização com os juros respectivos.
Exercícios:
65. Montar a planilha de amortização para um financiamento de
$205.000, pelo Sistema Francês de Amortização, que deve
ser amortizado em 12 prestações mensais (parcelas
postecipadas) , sem carência, e com taxa de juros de 1,8%
ao mês.
66. Montar a planilha de amortização para um financiamento de
$62.500, a ser amortizado em 6 parcelas semestrais, com
um ano de carência, e uma taxa nominal de juros de 36% ao
ano. Considerar:
(a) Sistema Price
(b) Sistema Hamburguês
67. Uma pessoa comprou um apartamento e captou parte do
valor através de um banco, nas seguintes condições:
Valor do apartamento: $60.000
Valor da poupança: $24.000 (Dado de entrada)
Número de Prestações: 24 mensais
Amortização: Sistema Francês de Amortização
Taxa Nominal de Juros: 9% ao ano
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
42
Matemática Financeira
Um mês após o pagamento da 12ª prestação, esta pessoa
propôs ao banco liquidar a dívida. Qual o valor que ela deve
pagar ao Banco?
68. Usando os dados do exercício anterior, considerar que esta
pessoa resolveu, após o pagamento das 12 prestações,
mover uma ação judicial contra o Banco alegando que o
Sistema Price não poderia ter sido utilizado para o cálculo do
financiamento pois fere a legislação vigente. Na ação ela
propõe resolver o problema refinanciando o saldo devedor
(após o pagamento da 12ª amortização) utilizando o sistema
Hamburguês para pagar em 12 prestações. Montar a planilha
de amortização desta proposta.
69. Descobrir qual o menor saldo devedor, após o pagamento
de 12 parcelas mensais, de um financiamento de $1.350.000
amortizado em 36 meses e com taxa de juros de 2,05% ao
mês: se amortizado pelo sistema Francês ou pelo Sistema
Hamburguês? Nos dois casos, calcule também o total de
juros pagos até a 12ª prestação.
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
43
Matemática Financeira
8.
Fluxo de Caixa e Análise de Investimentos
Aqui será visto a análise de investimentos sobre o ponto de vista
financeiro. Não será levado em conta a análise dos riscos envolvidos e
outras considerações que geralmente são relevantes na tomada de
decisão sobre um investimento.
Existem vários métodos de análise de investimentos, mas serão
estudados apenas os dois mais utilizados: o Método do Valor Presente
Líquido (VPL) e o Método da Taxa Interna de Retorno (TIR).
O fluxo de caixa é uma tabela ou um diagrama onde são mostradas as
entradas e saídas de dinheiro de um empreendimento, negócio,
investimento, etc, no decorrer de um determinado período.
8.1 Fluxo de Caixa
O fluxo de caixa pode ser representado através de tabela ou diagrama:
Julho/2003
Agosto/2003
Entrada
Setembro/2003
Outubro/2003
Novembro/2003
$4.500
$7.500
$14.800
Saída
$16.000
$1.500
$2.300
Saldo
Saldo Acumulado
($16.000)
($16.000)
($1.500)
($17.500)
$2.200
($15.300)
$4.700
$7.500
($7.800)
$10.100
$2.300
Este exemplo mostra o fluxo de caixa de um empresa num período de
cinco de meses.
A linha ‘Saldo’, contém os saldos de cada mês. O saldo de cada mês é
calculado pela entrada do mês menos a saída deste mês.
A linha ‘Saldo Acumulado’ contém o saldo total do negócio acumulado
mês a mês.
Ele é calculado somando-se o saldo acumulado do mês anterior com o
saldo do mês.
No exemplo acima, supondo que o saldo acumulado deste negócio, no
mês anterior a Julho/2003 (Junho/2003) seja igual a zero, então teremos
Saldo Acumulado de Julho/2003 = 0 + ($16.000)
Saldo Acumulado de Agosto/2003=
($16.000)
($17.500)
Saldo Acumulado de Setembro/2003= ($17.500)
($15.300)
Maurício R. Cury
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+
+
($1.500)
=
$2.200
=
44
Matemática Financeira
Saldo Acumulado de Outubro/2003=
Saldo Acumulado de Novembro/2003=
$2.300
($15.300) + $7.500 = ($7.800)
($7.800) +
$10.100 =
Este fluxo de caixa pode ser representado também por um diagrama,
mostrando todas as entradas e saídas.
Neste caso, as entradas são representadas com setas para cima e as
saídas com setas para baixo e todas com os respectivos valores como
abaixo:
$4.500
Jul/2003
$16.000
Ago/2003
$1.500
Set/2003
$7.500
Out/2003
$2.300
$14.800
Nov/2003
Mês
$4.700
Para o uso na análise de investimentos é mais prático usar o fluxo de
caixa livre onde estão apenas os valores do saldo mensal como se segue:
$2.200
Jul/2003
$16.000
Ago/2003
Set/2003
$7.500
Out/2003
$10.100
Nov/2003
Mês
$1.500
8.2 Taxa Mínima de Atratividade
Quando tomar uma decisão de investimento o investidor deve ter um
parâmetro de comparação entre o que ele considera desejável ou
atrativo.
Este parâmetro é chamado de Taxa Mínima de Atratividade e representa
uma taxa de juros mínima de rentabilidade que o investidor deseja para
aquele tipo de investimento.
Maurício R. Cury
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45
Matemática Financeira
A taxa mínima de atratividade é determina por cada investidor. Você
pode ter investidores distintos que num mesmo tipo de investimento
tenham taxas distintas.
Por exemplo, para um determinado investidor aplicar um capital num
empreendimento imobiliário pode implicar em uma taxa mínima de
atratividade de 52% ao ano. Já para outro investidor, aplicar o mesmo
capital neste mesmo empreendimento pode implicar numa taxa mínima
de atratividade de 45% ao ano.
Este parâmetro será utilizado nos métodos de análise de investimentos.
8.3 Método do Valor Presente Líquido (VPL)
Este método consiste em calcular os capitais equivalentes de todas as
entradas e saídas de caixa, na data focal ZERO, utilizando como taxa de
juros a taxa mínima de atratividade. Somam-se todos os capitais
equivalentes das entradas de caixa e subtrai-se da soma de todos os
capitais equivalentes das saídas de caixa obtendo-se o Valor Presente
Líquido (VPL) do investimento.
•
•
•
Se o VPL for maior que zero, implica que o investimento é
atrativo (tem rentabilidade maior que a taxa mínima de
atratividade).
Se o VPL for menor que zero, implica que o investimento não é
atrativo (tem rentabilidade menor que a taxa mínima de
atratividade).
Se o VPL for igual a zero, implica que o investimento tem
rentabilidade igual à taxa mínima de atratividade.
Para o cálculo do VPL:
VPL = FC 0 +
FC 3
FC n
FC1
FC 2
+
+
+
.....
+
(1 + tma ) (1 + tma )2 (1 + tma )3
(1 + tma )n
Onde, FCj = fluxo de caixa livre do período j
E tma=taxa mínima de atratividade
Observação: para usar este método na comparação de duas ou mais
alternativas de investimentos, o tempo de duração deve ser igual para
todos os investimentos. Caso contrário usa-se um artifício que veremos
mais adiante.
Maurício R. Cury
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46
Matemática Financeira
Exemplo 1: Um investidor que adotou taxa mínima de atratividade de
36% ao ano, deseja investir $500.000 num empreendimento que
apresenta custos bimestrais de $25.200 e receita mensal de $79.500
durante 8 meses. Analisar se o investimento é atrativo.
O primeiro passo é fazer o diagrama de fluxo de caixa:
$79.500 $79.500 $79.500 $79.500 $79.500 $79.500 $79.500 $79.500
0
1
$500.000
2
3
4
$25.200
5
$25.200
6
7
$25.200
8
Mês
$25.200
1
tma = 1,36 12 − 1 = 2,595% a.m.
79500
54300
79500
54300
79500
+
+
+
+
+
2
3
4
1,02595 1,02595
1,02595
1,02595
1,02595 5
54300
79500
54300
+
+
+
= −21.112,07
6
7
1,02595
1,02595
1,02595 8
VPL = −500000 +
Na HP12C:
f CLEAR FIN
500000 CHS g CF0
79500 g CFj
79500 ENTER 25200
79500 g CFj
79500 ENTER 25200
79500 g CFj
79500 ENTER 25200
79500 g CFj
79500 ENTER 25200
2,595 i a
f NPV
-
g
CFj
-
g
CFj
-
g
CFj
-
g
CFj
O resultado é :VPL=($21.112,07)
Como VPL é menor que zero o investimento não é atrativo.
Maurício R. Cury
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47
Matemática Financeira
Exemplo 2: Um investidor deseja comprar um imóvel por $180.000. Ele
prevê gastar em reformas, $15.000 no primeiro mês, $12.000 no
segundo mês, $12.000 no terceiro mês, $10.000 no quarto mês e $9.000
no quinto mês e espera vendê-lo no sétimo mês por $330.000. Usando o
Método do VPL verificar se este investimento é atrativo para uma taxa
mínima de atratividade de 42,6% ao ano.
Fluxo de Caixa:
$330.000
0
1
2
$180.000 $15.000 $12.000
tma = 1,426
3
$12.000
4
$10.000
5
6
7
Mês
$9.000
1
12
− 1 = 3,00% a.m.
15000 12000 12000 10000 9000 330000
VPL = −180000 −
−
−
−
−
+
= 42.865,50
1,03
1,03 2
1,03 3
1,03 4 1,03 5
1,03 6
Pela HP12C:
f CLEAR FIN
180000 CHS g
15000 CHS g
12000 CHS g
2 Nj
10000 CHS g
9000 CHS g
330000 g CFj
3,00 i a
f NPV
CF0
CFj
CFj
CFj
CFj
Resultado: VPL=$ 42.865,50 => Como VPL é maior que zero então o
investimento é atrativo.
Maurício R. Cury
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Matemática Financeira
8.3.1 Método do Valor Presente Líquido para Períodos Diferentes
de Investimentos
Na análise de duas ou mais alternativas de investimentos pelo método do
valor presente, deve-se verificar primeiramente se os períodos das
alternativas são iguais.
Caso estes períodos sejam diferentes então é usado o seguinte artifício:
-
-
calcular o mínimo múltiplo comum dos períodos
envolvidos;
em cada investimento o fluxo de caixa de cada
investimento é repetidos tantas vezes quanto forem
necessárias até atingir o valor do MMC, formando os
fluxos de caixas equalizados.
Desta maneira todos os investimentos, para efeito de
cálculos e análise, ficarão com a mesma duração.
Exemplo 3: Um investidor tem três alternativas
$5.000.000 conforme os fluxos de caixa abaixo:
Investimento 1:
Ano
0
1
2
3
4
Investimento 2:
Ano
0
1
2
3
Investimento 3:
Ano
0
1
2
Entradas
para
investir
Saídas
$5.000.000
$1.200.000
$2.800.000
$3.100.000
$2.500.000
Entradas
Saídas
$5.000.000
$2.700.000
$2.700.000
$2.700.000
Entradas
Saídas
$5.000.000
$3.600.000
$3.100.000
Se o investidor adotou uma taxa mínima de atratividade de 25% ao ano
verificar, pelo método do valor presente líquido, qual a melhor
alternativa de investimento.
Maurício R. Cury
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49
Matemática Financeira
Resolução: As durações dos investimentos são diferentes (4, 3 e 2 anos).
O MMC destes três números é igual a 12 anos.
Para cada investimento, é repetido o seu respectivo fluxo de caixa até
atingir 12 anos. Os valores do Ano 0 devem coincidir com os valores do
último ano do respectivo fluxo caixa:
Investimento 1: Seu fluxo de caixa deve ser repetido 3 vezes:
Ano
Entradas
Saídas
0
$5.000.000
1
$1.200.000
2
$2.800.000
3
$3.100.000
4
(*)
$2.500.000
5
$1.200.000
6
$2.800.000
7
$3.100.000
8
(*)
$2.500.000
9
$1.200.000
10
$2.800.000
11
$3.100.000
12
$2.500.000
(*) Observe que nos anos 4 e 8 o valor de saída de $2.500.000 é
resultante da diferença dos $5.000.000 de saída do ano 0 com o valor de
entrada de $2.500.000 do ano 4.
O VPL deste
$5.572.901,57
fluxo
de
caixa
equalizado,
do
Investimento
1,
é
Investimento 2: Repete-se seu fluxo de caixa 4 vezes:
Ano
Entradas
Saídas
0
$5.000.000
1
$2.700.000
2
$2.700.000
3
$2.300.000
4
$2.700.000
5
$2.700.000
6
$2.300.000
7
$2.700.000
8
$2.700.000
9
$2.300.000
10
$2.700.000
11
$2.700.000
12
$2.700.000
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Matemática Financeira
O VPL deste
$516.021,01
fluxo
de
caixa
equalizado,
do
Investimento
2,
é
Investimento 3: Repete-se o fluxo de caixa 6 vezes:
Ano
Entradas
Saídas
0
$5.000.000
1
$3.600.000
2
$1.900.000
3
$3.600.000
4
$1.900.000
5
$3.600.000
6
$1.900.000
7
$3.600.000
8
$1.900.000
9
$3.600.000
10
$1.900.000
11
$3.600.000
12
$3.100.000
O VPL deste fluxo
($351.817,09)
de
caixa
equalizado, do
Investimento
3, é:
Deste modo conclui-se que a melhor alternativa é o Investimento 1 pois
apresenta o maior VPL=$5.572.901,57
8.4 Método da Taxa Interna de Retorno (TIR)
Este método consiste em encontrar a taxa de juros que faz o VPL do
fluxo de caixa se igualar à zero.
Esta taxa de juros é chamada de TIR (taxa Interna de Retorno) e
representa a real rentabilidade do investimento.
Para a análise do investimento considera-se:
•
•
•
Se a TIR for maior que a taxa mínima de atratividade, implica
que o investimento é atrativo (tem rentabilidade maior que a taxa
mínima de atratividade).
Se a TIR for menor que a taxa mínima de atratividade, implica
que o investimento não é atrativo (tem rentabilidade menor que
a taxa mínima de atratividade).
Se a TIR for igual a taxa mínima de atratividade, implica que o
investimento tem rentabilidade igual à taxa mínima de
atratividade.
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
51
Matemática Financeira
Exemplo 1: Utilizando os dados do Exemplo 1 do item 8.3.
79500
54300
79500
54300
79500
+
+
+
+
+
2
3
4
1 + TIR (1 + TIR ) (1 + TIR ) (1 + TIR ) (1 + TIR )5
54300
79500
54300
+
+
+
=0
6
7
(1 + TIR ) (1 + TIR ) (1 + TIR )8
VPL = −500000 +
Não existe um método analítico para o cálculo da TIR, na equação acima.
Deve-se recorrer a um método numérico.
O resultado é TIR=1,57% a.m.
Pela HP12C:
f CLEAR FIN
500000 CHS g CF0
79500 g CFj
79500 ENTER 25200
79500 g CFj
79500 ENTER 25200
79500 g CFj
79500 ENTER 25200
79500 g CFj
79500 ENTER 25200
f IRR
-
g
CFj
-
g
CFj
-
g
CFj
-
g
CFj
então, pelo método da TIR, o investimento não é atrativo pois a TIR
(1,57% a.m.) é menor que a taxa mínima de atratividade (2,595%
a.m.).
Exemplo 2: Para o exemplo 2 do item 8.3, TIR=6,26% ao mês ou
107,2% ao ano. Como a TIR é maior que a taxa mínima de atratividade,
então o investimento foi compensador.
Exemplo 3: Para o exemplo 3 do item 8.3:
Pelo método da TIR não há a necessidade de se encontrar os fluxos de
caixa equalizados.
Usam-se os fluxos de caixas originais.
TIR1=28,6% ao ano
TIR2=28,6% ao ano
TIR3=22,6% ao ano
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
52
Matemática Financeira
Pelo método da TIR, os investimentos 1 e 2 são atrativos pois tem TIR
superior à taxa mínima de atratividade. O investimento 3 não é atrativo
pois a TIR é inferior à taxa mínima de atratividade.
Comparando os investimentos 1 e 2, ambos apresentam, praticamente, a
mesma rentabilidade (TIR1=TIR2).
8.5 Comparação entre os Métodos da TIR e do VPL
Ao se analisar uma ou mais alternativas de investimentos com os
métodos estudados deve-se tomar alguns cuidados.
O método da TIR pode apresentar vários resultados para um mesmo
fluxo de caixa. Este método é utilizado por muitos profissionais da área
financeira e marketing na tomada de decisão de investimentos. Sugerese o método da TIR seja usado por pessoas que tenham profundos
conhecimentos na área financeira pois ele apresenta algumas distorções
e alguns cuidados devem ser tomados.
Deve-se dar preferência ao método do VPL, principalmente quando
ocorrer de, ao analisar dois ou mais investimentos, um determinado
investimento ser mais atrativo pelo método da TIR e ser menos atrativo
pelo método do VPL.
Quando um investimento é analisado isoladamente, se ele for atrativo
pelo método do VPL, seguramente ele também o será pelo método da
TIR. Porém a situação descrita no parágrafo anterior ocorre com certa
freqüência e quando se deparar com ela escolha o método do VPL para a
tomada de decisão.
GRÁFICO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO
Este gráfico facilita a ‘vizualização’ do comportamento dos investimentos
que estão sendo analisados.
Neste gráfico o VPL é colocado no eixo y e as taxas de juros no eixo x.
Exemplo:
Para um investimento inicial de $50.000, com taxa mínima atratividade
de 12% ao semestre e com o seguinte fluxo de caixa:
Semestre
0
1
2
3
4
5
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Entradas
Saídas
$50.000
$10.000
$20.000
$35.000
$42.500
$41.000
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53
Matemática Financeira
O interessante é montar uma tabela com as taxas e os VPL´s e calcular
cada VPL utilizando-se o método já visto.
Taxa
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
50%
55%
60%
VPL
98.500
74.988
56.402
41.515
29.450
19.563
11.380
4.546
(1.212)
(6.100)
(10.280)
(13.879)
(16.998)
Com estes valores traça-se o gráfico VPL x taxa:
Gráfico do Valor presente Líquido
120.000
98.500
80.000
TIR=39% a.s.
60.000
44.695
40.000
20.000
60%
55%
50%
45%
40%
35%
30%
25%
20%
12%
15%
-20.000
10%
5%
0
0%
Valor Presente Líquido
100.000
-40.000
taxa de desconto
Note o seguinte:
1. Para taxa igual a 0%, VPL=98.500, que é a somatória de todos
os
saldos
do
fluxo
de
caixa
(50.000+10.000+20.000+35.000+42.500+41.000);
2. Para taxa igual a 12% (igual à taxa mínima de atratividade), VPL
é igual a 44.695, que pelo método do VPL significa que o
investimento é atrativo;
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
54
Matemática Financeira
3. O ponto no eixo da taxa de desconto onde a curva passa
(quando VPL=0) tem o valor da TIR (lembre-se que a TIR é taxa
de juros que ‘zera’ o fluxo de caixa na data focal ZERO);
Este gráfico se torna mais útil quando utilizado na comparação de duas
ou mais alternativas de investimento.
Outro exemplo:
Considere duas alternativas de investimento, para um capital inicial de
$100.000, taxa mínima de atratividade de 4% ao mês e com seus
respectivos fluxos de caixa abaixo:
Mês Investimento Investimento
1
2
0
-100.000
-100.000
1
35.000
7.000
2
32.000
10.000
3
29.000
13.000
4
26.000
16.000
5
23.000
19.000
6
20.000
22.000
7
17.000
25.000
8
14.000
28.000
9
11.000
31.000
10
8.000
34.000
11
5.000
37.000
12
2.000
40.000
Antes de criar a tabela de VPL x taxa é interessante calcular os valores
da TIR de cada investimento e dos VPL´s segundo seus métodos:
Investimento 1 : TIR=23,21% ao mês e VPL=$86.734
Investimento 2 : TIR=15,26% ao mês e VPL=$107.439
Pelo método da TIR o Investimento 1 é melhor que o Investimento 2 e
pelo método do VPL o Investimento 2 é melhor que o Investimento 1.
Então, qual investimento efetivamente é mais vantajoso que o outro?
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
55
Matemática Financeira
A tabela VPL x taxa fica:
Taxa Investimento1 Investimento2
0%
122.000
182.000
2%
103.123
141.041
4%
86.734
107.439
6%
72.424
79.697
8%
59.861
56.654
10%
48.776
37.400
12%
38.946
21.217
14%
30.191
7.542
16%
22.357
(4.079)
18%
15.320
(14.004)
20%
8.973
(22.525)
22%
3.227
(29.877)
24%
(1.993)
(36.249)
26%
(6.752)
(41.799)
28%
(11.102)
(46.652)
30%
(15.093)
(50.916)
32%
(18.763)
(54.677)
E o gráfico resultante:
Gráfico do Valor Presente Líquido
Investimento 2
150.000
Ponto de Equilíbrio
107.439
100.000
86.734
VPL
TIR=15,26% a.m.
50.000
Investimento 1
TIR=23,21% a.m.
7,30%
0
0%
4%
8%
12%
16%
20%
24%
28%
32%
-50.000
Taxa Mensal
Observando as curvas deste gráfico nota-se que o Investimento 2 é mais
sensível à variação da taxa de desconto que o Investimento 1. Como a
parte mais significativa da entrada de caixa ocorre nos últimos períodos
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
56
Matemática Financeira
então a variação do VPL é maior pois a influência da taxa+período é mais
acentuada.
Chega-se a algumas conclusões: quando o custo do capital é baixo (no
caso até 7,3% ao mês – que é o ponto de equilíbrio) o Investimento 2 é
uma alternativa melhor que o Investimento 1. E quando o custo do
capital se torna maior (no caso, acima de 7,3% ao mês) o Investimento
1 é a melhor alternativa.
Como neste exemplo adotou-se uma taxa mínima de atratividade de 4%
ao mês é preferível adotar o Investimento 2 que apresenta maior VPL,
apesar dele apresentar menor TIR que o Investimento 1.
De outro modo, se houver a necessidade de entrada rápida de caixa
pode ser adotado o Investimento 1. Lembre-se que existem vários
parâmetros a serem analisados na decisão de um investimento.
8.6 TIR Modificada (TIRM)
O método da TIR, vista anteriormente, considera que os saldos positivos
dos fluxos de caixa são reinvestidas à uma taxa igual à TIR.
Porém, geralmente, os saldos positivos dos fluxos de caixa são
reinvestidos ao custo do capital. A TIR modificada é um método que leva
este fato em consideração e é um avaliador mais preciso que a TIR
regular.
A TIR modificada pode considerar, também, que o capital investido é
capitado no mercado financeiro caso o investidor opte em não dispor de
seus próprios recursos.
Neste caso, para se calcular a TIRM, é necessário conhecer duas taxas: a
de reinvestimento (taxa na qual o mercado financeiro paga pela
aplicação) e a taxa e captação (taxa na qual o mercado financeiro cobra
pelo empréstimo). Na maioria dos casos utiliza-se apenas da taxa de
reinvestimento pois parte-se do princípio que o capital investido vem dos
recursos próprios dos investidores.
O método da TIR modificada é mais necessário nos casos de fluxo de
caixa não convencional.
O processo para se calcular a TIRM é o seguinte:
1. Todos os saldos positivos do fluxo de caixa são levados à
última data focal deste fluxo à taxa de juros do custo do
capital (taxa de reinvestimento) e somados. (Vamos chamar
esta soma de FV – ‘Valor Futuro’);
2. Todos os saldos negativos do fluxo de caixa são levados à
data focal ZERO pela taxa de juros igual ao custo do capital
(que pode ser a taxa de captação quando os recursos são
obtidos no mercado financeiro ou a taxa de reinvestimento
quando os recursos são dos próprios investidores) e somados
(Vamos chamar de PV – ‘Valor Presente’);
Maurício R. Cury
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57
Matemática Financeira
3. Calcular a que taxa de juros que faz com que FV se iguale a
PV na data focal ZERO;
4. Esta taxa é a TIRM.
5. Se a TIRM é maior que a taxa do custo de capital, então o
projeto deve ser aceito, caso contrário não deve ser aceito.
Exemplo: Analisar, pelo método da TIRM, a viabilidade dos dois projetos
descritos através de seus fluxos de caixa a seguir e com um custo de
capital de 5% ao mês:
Mês
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Projeto 1
(50.000)
15.000
25.000
35.000
(10.000)
(10.000)
25.000
28.000
32.000
Projeto 2
(50.000)
(15.000)
48.000
52.000
15.000
(12.000)
(15.000)
15.000
25.000
Para o Projeto 1 (valores levados às data focais ZERO e 8):
Mês
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Total
Fluxo de
Caixa do
Projeto 1
(50.000,00)
15.000,00
25.000,00
35.000,00
(10.000,00)
(10.000,00)
25.000,00
28.000,00
32.000,00
Saídas na
Entradas na
Data Focal
Data Focal 8
ZERO
50.000,00
21.106,51
33.502,39
44.669,85
8.227,02
7.835,26
27.562,50
29.400,00
32.000,00
PV=66.062,2 FV=188.241,2
9
5
A TIRM é a taxa que equivale PV e FV na data focal ZERO. Para calculá-la
utiliza-se a fórmula já vista em juros compostos:
1
n
 FV 
i =
 −1
PV


1
8
 188241,25 
i=
 − 1 = 0,1398 = 13,98% a.m.
66062
,
29


Então a TIRM do Projeto 1 é 13,98% ao mês.
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58
Matemática Financeira
Para o Projeto 2:
Mês
Fluxo de
Caixa do
Projeto 2
(50.000,00)
(15.000,00)
48.000,00
52.000,00
15.000,00
(12.000,00)
(15.000,00)
15.000,00
25.000,00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Total
Saídas na
Entradas na
Data Focal
Data Focal 8
ZERO
50.000,00
14.285,71
64.324,59
66.366,64
18.232,59
9.402,31
11.193,23
15.750,00
25.000,00
PV=84.881,26 FV=189.673,8
3
A TIRM do Projeto 2 será de 10,57% ao mês conforme calculado abaixo:
1
8
 1889673,83 
i=
 − 1 = 0,1057 = 10,57% a.m.
84881
,
26


Então, pela TIRM, a melhor alternativa é o Projeto 1 pois apresenta
maior TIRM.
Pelo método da TIR regular, para o Projeto 1, TIR=29,69% ao mês
contra TIR=25,74% ao mês do Projeto 2.
Pelo método do VPL para o Projeto 1, VPL=$61.347 e para o Projeto 2,
VPL=$43.497.
Portanto, em qualquer um dos três métodos vistos, o Projeto 1 é
superior ao Projeto 2.
Exercícios:
(*) Para os exercícios abaixo utilizar, sempre que possível, os
três métodos estudados. Fazer o gráfico do VPL.
70.
Uma empresa deseja investir $1.200.000 na compra de
um equipamento que lhe dará receita mensal de $87.000. Os
custos operacionais e de manutenção são de $15.200
mensais. Sabendo-se que o valor residual deste equipamento
(após 18 meses) é de $420.000 e que a taxa mínima de
atratividade adotada pela empresa é de 42% ao ano, analisar
se este investimento é atrativo.
71.
Analisar se os investimentos abaixo são atrativos e qual
deles é melhor:
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59
Matemática Financeira
Investimento1:
Semestre
0
1
2
3
Investimento2:
Semestre
0
1
2
3
Entrada
76.000
83.000
95.500
Entrada
95.500
83.000
76.000
Saída
159.000
23.000
Saída
159.000
23.000
Considerar taxa mínima de atratividade = 20% ao semestre.
72.
Antônio acabou de ser demitido e recebeu de
indenização $180.000. Ele está em dúvida em como investir
este capital em duas alternativas possíveis: a primeira é
aplicar este dinheiro no mercado financeiro num fundo de
renda fixa que tem rendimento líquido de 1,5% ao mês. A
segunda alternativa é adquirir uma casa lotérica por
$180.000, que tem lucro líquido mensal de $4.800 e valor
residual, daqui a 12 meses, de $150.000. Em qual alternativa
Antônio deve investir?
73.
Uma fábrica pretende investir na modernização dos
seus equipamentos. Ela fará a alienação dos equipamentos
antigos por $120.000 e tem duas opções de compra dos
novos equipamentos:
Equipamento
1
Valor do Equipamento
Custo Semestral de
Manutenção
Custo Mensal de Mão de Obra
Custo Mensal de matéria
Prima
Outras Despesas Semestrais
Valor Residual após 18 meses
Receita Mensal
Equipamento 2
$600.000
$35.000
$750.000
$20.000
$10.000
$15.000
$8.500
$20.000
$50.000
$250.000
$145.000
$50.000
$315.000
$160.000
Considerando que o custo de capital é de 40% ao ano, qual a
melhor alternativa?
74.
Verificar se os investimentos abaixo, descritos pelos
seus fluxos de caixa, são atrativos e qual deles é o mais
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60
Matemática Financeira
interessante. Considerar taxa mínima de atratividade igual a
34% ao ano.:
Investimento1
Investimento 2
Ano Fluxo de Caixa
Ano Fluxo
de
Caixa
0
($300.000)
0
($300.000)
1
1
$130.000
2
2
$348.200
3
$666.698
3
$480.244
4
$666.698
75.
Verificar qual dos investimentos abaixo descritos pelos
seus fluxos de caixa é o mais atrativo, considerando que a
taxa mínima de atratividade e a taxa de reinvestimento são
de 1,8% ao mês e a taxa de captação é de 3,6% ao mês:
Mês Investimento Investimento
1
2
0
$-150.000
$-150.000
1
$-100.000
$-40.000
2
$60.000
3
$69.000
$60.000
4
$60.000
5
$60.000
6
$95.000
7
8
9
$95.000
10
$125.000
-
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61
Matemática Financeira
9.
Depreciação
Depreciação significa desvalorização.
Quando uma empresa adquire um ativo imobilizado (máquina,
equipamentos, veículos, imóveis, etc) este sofre um desgaste no
decorrer do tempo e consequentemente, uma desvalorização.
A depreciação real de um ativo destes, num determinado período, é a
diferença entre o seu valor de aquisição e o seu valor de revenda.
A legislação dos países permite que as empresas recuperem parte deste
prejuízo, lançando no seu balanço, periodicamente, parte da depreciação
como despesa, diminuindo assim a base de cálculo e o valor a ser pago
do imposto de renda.
As empresas devem seguir as regras impostas pela legislação, tais como
o método do cálculo da depreciação (a depreciação lançada não é a real
e sim a depreciação contábil ou teórica) e o prazo para a depreciação
total de cada ativo (por exemplo máquinas e equipamentos em 10 anos,
imóveis em 20 anos, etc).
Para o cálculo da depreciação teórica existem vários métodos. É
permitido às empresas a escolha de um destes métodos.
Serão abordados neste módulo três métodos: o Linear, o de Cole eo
Exponencial.
Definições e fórmulas comuns:
Para qualquer um dos métodos, as definições e fórmulas a seguir são
válidas:
j =n
DPt = ∑ DPj
j =1
Onde DPt = Depreciação total nos período 1 à n
DPj = Depreciação no período j
VRn = VA − DPt
Onde: VRn=Valor Residual após n períodos
VA=Valor de aquisição
Por exemplo, seja um ativo adquirido por R$ 80.000 e depreciado em 3
anos por R$ 24.000. O seu valor residual, ao final do 3º ano, é de R$
56.000.
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62
Matemática Financeira
9.1
Método Linear
No método linear, a depreciação por período é constante, portanto a
depreciação por período é calculada por:
DPj =
VA
n
Onde n é o número total de períodos para a depreciação total do ativo.
Exemplo:
Um veículo foi adquirido por uma empresa por R$ 50.000. Se para este
tipo de ativo é permitida uma depreciação total em 5 anos, qual o valor
da depreciação por ano?
Montar uma tabela contendo o plano de depreciação.
50000
= 10.000
5
DPj =
Ano
Depreciação
Depreciação
Acumulada
10.000
10.000
10.000
10.000
10.000
10.000
20.000
30.000
40.000
50.000
0
1
2
3
4
5
9.2
Valor
Residual
50.000
40.000
30.000
20.000
10.000
0
Método de Cole ou da Soma dos Dígitos
No método de Cole, a depreciação por período decresce no decorrer do
tempo, segundo a fórmula:
DPj = VA ⋅ Fr j
Fr j =
n − j +1
k =n
∑k
k =1
Onde: DPj = depreciação no período j
Frj= Fração a depreciar
j = período da apuração da depreciação
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63
Matemática Financeira
n=total de períodos para a depreciação total do ativo
Exemplo:
Um equipamento foi adquirido por uma empresa por R$ 120.000. Se
para este tipo de ativo é permitida uma depreciação total em 10 anos,
montar o plano de depreciação.
Ano
Fração Depreciação Depreciação
Acumulada
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9.3
10/55
9/55
8/55
7/55
6/55
5/55
4/55
3/55
2/55
1/55
21.818
19.636
17.455
15.273
13.091
10.909
8.727
6.545
4.364
2.182
21.818
41.455
58.909
74.182
87.273
98.182
106.909
113.455
117.818
120.000
Valor
Residual
120.000
98.182
78.545
61.091
45.818
32.727
21.818
13.091
6.545
2.182
0
Método Exponencial
No método Exponencial, a depreciação por período decresce no decorrer
do tempo exponencialmente.
Neste método, é impossível depreciar cem por cento do ativo, pela
própria definição do método.
As fórmulas utilizadas são:
VR j = VA ⋅ (1 − t d )
j
VR j = VR j −1 ⋅ (1 − t d )
∑ DP
j
= VA − VR j
Onde: VRj=Valor residual no final do período j
td=taxa de depreciação
j=número de períodos de depreciação
∑ DPj = depreciação acumulada até o período j
VA= valor de aquisição do ativo
Exemplo: uma empresa adota o método exponencial para o cálculo da
depreciação dos seus ativos. Um ativo foi adquirido por R$ 70.000 e será
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64
Matemática Financeira
depreciado em 5 anos a uma taxa de 25% ao ano. Montar o plano de
depreciação.
Ano
Depreciação Depreciação
Acumulada
0
1
2
3
4
5
17.500
13.125
9.844
7.383
5.537
17.500
30.625
40.469
47.852
53.389
Valor
Residual
70.000
52.500
39.375
29.531
22.148
16.611
Exercícios
76.
Qual o valor residual de um ativo, após 6 anos de depreciação
linear, adquirido por R$ 75.000 e cujo prazo de depreciação total é
de 10 anos?
77.
Qual a depreciação no 15º ano de um imóvel, adquirido por R$
1.400.000 e depreciável cem por cento em vinte anos, se o método
utilizado for o da Soma dos Dígitos?
78.
Qual o valor residual de um ativo, após 8 anos de depreciação
exponencial, a uma taxa de 18% ao ano, adquirido por R$ 200.000
e cujo prazo de depreciação total é de 10 anos?
79.
Uma empresa adquiriu um ativo por R$ 48.000 e fará a
depreciação pelo método linear. O prazo permitido para a
depreciação total deste ativo é de 10 anos. O total que será
depreciado até o 7º ano será de
80.
Um imóvel adquirido por R$ 800 mil, totalmente depreciável em 20
anos pelo método de Cole, terá um valor residual no 8º ano de
81.
Um automóvel é adquirido por uma empresa por R$ 65.500 e
depreciável totalmente em 5 anos. Se a taxa de depreciação é de
22% ao ano, qual será o total depreciado até o 4º ano
82.
Se um ativo depreciável em 5 anos linearmente, teve uma
depreciação acumulada de R$ 36.000 no 4º ano, então o seu valor
residual neste ano foi
83. O valor de aquisição de um ativo, depreciável em 10 anos pelo
método de Cole, cuja depreciação no 5º ano é de R$ 27.273 é
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Matemática Financeira
84. A taxa de depreciação de um ativo adquirido por R$ 98.000 e com
valor residual de R$ 36.961 no 6º ano é:
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66
Matemática Financeira
APÊNDICE A – RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
$858.240
2 anos e meio
$5.600
3,5% ao bimestre
$83.530,98
100% ao ano
$109.090,91
6 anos e 21 dias
Alternativa II : taxa média de juros de 3,46% ao mês.
0,05% ao dia
1,5% ao mês
$1.260
$1.432,84
3% ao mês
6 meses e 21 dias, ou 3 trimestres e 21 dias
Não foi vantajosa pois o montante da aplicação em 90 dias foi de $29.722,80,
valor menor ao que se obteria se resgatasse o título na data de seu
vencimento.
$58.723,16
$1.193,18
$1.416,53
3,14% ao mês
8 meses e 4 dias
A operação foi vantajosa pois em 90 dias obteve-se $30.145,80 contra os
$30.000 que teria se resgatasse o título.
$59.099,06
$10.177.230,83
$108.551,25
$2.424,00
9,19% ao mês
2 anos e 4 meses
3 anos, 7 meses e 27 dias
Os dois investimentos são igualmente rentáveis pois tem a mesma taxa de
juros de 5,96% ao mês
100% ao ano
$16.712,90
Em duas parcelas pois ainda terei um saldo positivo de $3,68
Parte fracionária com juros simples:
$16.205.753,26
Parte fracionária com juros compostos:
$16.202.864,81
Parte fracionária com juros simples:
$47.760,23
Parte fracionária com juros compostos:
$47.636,29
Parte fracionária com juros simples:
$21.151.530,46
Parte fracionária com juros compostos:
$21.125.200,11
Desconto Racional:
Resgate: $28.566,64
Desconto: $5.433,36
Desconto Bancário:
Resgate: $28.359,13
Desconto: $5.640,87
Desconto Racional:
Face: $5.610,03
Desconto: $484,03
Desconto Bancário:
Face: $5.642,54
Desconto: $516,54
Desconto Racional:
41 dias ou 1 mês e 11 dias
Desconto Bancário:
37 dias ou 1 mês e 7 dias
Desconto Racional:
2,93% ao mês
Desconto Bancário:
2,85% ao mês
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67
Matemática Financeira
40. Desconto Racional:
Desconto Bancário:
Não foi vantajosa, pois em 45 dias o montante foi de
$40.000 contra os $45.000 se resgatasse o título
nesta data
Mesma resposta e mesmo valor
41. Desconto Racional:
Mês
0
1
2
3
4
5
6
Juros
Mês
0
1
2
3
4
5
6
Juros
7.211,98
7.312,95
7.415,33
7.519,15
7.624,41
7.731,16
Montante
515.141,61
522.353,59
529.666,54
537.081,87
544.601,02
552.225,43
559.956,59
Desconto Bancário:
7.164,67
7.264,97
7.366,68
7.469,82
7.574,39
7.680,44
Montante
511.762,03
518.926,70
526.191,67
533.558,35
541.028,17
548.602,57
556.283,00
42. (a)
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
1,52% a.m. 3,06% a.b. 4,63% a.t.
6,22% a.q. 9,47%
a.s.
19,85% a.a.
(b) 2,06% a.m. 4,16% a.b. 6,30% a.t.
8,49% a.q. 13%
a.s
27,69% a.a.
(c) 0,74% a.m. 1,48% a.b. 2,23% a.t.
2,98% a.q. 4,5%
a.s
9,20% a.a.
(a) 1,10% a.m.
(b) 16,99% a.a.
(c) 16,64% a.a.
(d) 6,11% a.b.
(e) 0,04% a.d.
(f)
11,84% a.s.
(d) (Se calcularmos as taxas equivalentes anuais de cada item veremos que a
do item (d) é a maior, ou seja, 25,44% a.a.)
5,9104%
0,5193%
R$ 590,34
0,65% a.m.
(a) $12.723,90
(b) $27.803,98
$26.456,86
$164.431,44
$29.412,30
$5.092,83
É mais vantajoso possuir $20.000 hoje, pois à uma taxa de 7% a.t., $45.000
daqui a três anos equivalem hoje a $19.980,54
Com entrada: $270,34
Sem entrada: $277,78
$1.260,95
1,99% a.m.
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
68
Matemática Financeira
58.
59.
60.
61.
62.
63.
$79.616,82
$17.768,77
$523,88
Loja1: $2.307,50 a vista (Loja2: $ 2.418,26 a vista)
39 prestações de $1.487,30
A melhor condição é a vista, pois o comprador teria que dispor de $79.007,80
da sua aplicação (a 1,6% a.m.) para saldar as prestações, contra os $70.000
que teria que dispor para pagamento a vista.
64. Renda Mensal Vitalícia : $5.433,36
Capital: $452.780,16
65.
Mês
Saldo Devedor Juros
Amortização Prestação
0
205.000,00
1
189.542,59
3.690,00 15.457,41
19.147,41
2
173.806,96
3.411,77 15.735,64
19.147,41
3
157.788,08
3.128,53 16.018,88
19.147,41
4
141.480,86
2.840,19 16.307,22
19.147,41
5
124.880,11
2.546,66 16.600,75
19.147,41
6
107.980,54
2.247,84 16.899,56
19.147,41
7
90.776,79
1.943,65 17.203,76
19.147,41
8
73.263,36
1.633,98 17.513,42
19.147,41
9
55.434,70
1.318,74 17.828,66
19.147,41
10
37.285,12
997,82
18.149,58
19.147,41
11
18.808,85
671,13
18.476,27
19.147,41
12
0,00
338,56
18.808,85
19.147,41
Total
24.768,8 205.000,00 229.768,8
6
6
66. (a) Sistema Price
Juros
Amortização Prestação
Semestre Saldo
Devedor
0
62.500,00
1
73.750,00
11.250,00
2
87.025,00
13.275,00
3
77.808,17
15.664,50 9.216,83
24.881,33
4
66.932,31
14.005,47 10.875,86
24.881,33
5
54.098,80
12.047,82 12.833,51
24.881,33
6
38.955,26
9.737,78 15.143,54
24.881,33
7
21.085,87
7.011,95 17.869,38
24.881,33
8
0,00
3.795,46 21.085,87
24.881,33
Total
86.787,9 87.025,00
149.287,97
7
(b) Sistema Hamburguês
Semestre Saldo
Juros
Amortização Prestação
Devedor
0
62.500,00
1
73.750,00
11.250,00
2
87.025,00
13.275,00
3
72.520,83
15.664,50 14.504,17
30.168,67
4
58.016,67
13.053,75 14.504,17
27.557,92
5
43.512,50
10.443,00 14.504,17
24.947,17
6
29.008,33
7.832,25 14.504,17
22.336,42
7
14.504,17
5.221,50 14.504,17
19.725,67
8
0,00
2.610,75 14.504,17
17.114,92
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
69
Matemática Financeira
Total
79.350,7 87.025,00
5
67. $18.947,49
68.
Mês
SD
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Total
18.806,44
17.239,23
15.672,03
14.104,83
12.537,62
10.970,42
9.403,22
7.836,02
6.268,81
4.701,61
3.134,41
1.567,20
0,00
141.850,75
Juros
Amortizaçã Prestaçã
o
o
141,05
129,29
117,54
105,79
94,03
82,28
70,52
58,77
47,02
35,26
23,51
11,75
916,81
1.567,20
1.567,20
1.567,20
1.567,20
1.567,20
1.567,20
1.567,20
1.567,20
1.567,20
1.567,20
1.567,20
1.567,20
18.806,44
1.708,25
1.696,50
1.684,74
1.672,99
1.661,24
1.649,48
1.637,73
1.625,97
1.614,22
1.602,47
1.590,71
1.578,96
19.723,2
5
69. O menor saldo devedor é pelo Sistema Hamburguês de $900.000 contra
$1.004.129 do Sistema Francês.
Total de Juros:
Sistema Francês:
$294.815,94
Sistema Hamburguês:
$281.362,50
70. O investimento é atrativo:
TIR=47,2% ao ano
VPL=$38.617,94
TIRM=45,0% ao ano
Gráfico do Valor Presente Líquido - Exercício 68
600.000
400.000
300.000
TIR=47,2% aa
200.000
100.000
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
(100.000)
10%
0%
Valor Presente Líquido
500.000
(200.000)
(300.000)
Taxa Anual
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
70
Matemática Financeira
71. Investimento 2 é melhor, analisado por qualquer um dos métodos:
VPL2=$3.037,04
VPL1=(1.928,24)
TIR2=21,2% a.s.
TIR1=19,3% a.s.
TIRM2=20,8% a.s.
TIRM1=19,5% a.s.
Gráfico do VPL - Exercício 69
80.000
TIR1=19,3%
Valor Presente Líquido
60.000
Investimento 2
40.000
TIR2=21,2%
20.000
Investimento 1
30%
25%
20%
(20.000)
15%
10%
5%
0%
-
(40.000)
Taxa Semestral
72. Deve investir no mercado financeiro a 1,5% ao mês. Considerando esta taxa
como o custo do capital temos:
VPL=($2.186)
TIR=1,38% a.m.
TIRM=1,40% a.m.
Gráfico do VPL - Exercício 70
30.000
25.000
TIR=1,38%
Valor Presente Líquido
20.000
15.000
10.000
5.000
2,0%
1,8%
1,6%
1,4%
1,2%
1,0%
0,8%
0,6%
0,4%
0,2%
(5.000)
0,0%
-
(10.000)
(15.000)
Taxa Mensal
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
71
Matemática Financeira
73. Pelo Método do VPL, melhor investimento é a Máquina 2 (VPL2=$1.121.474
contra VPL2=$1.039.511).
Pelos Métodos da TIR e da TIRM o melhor investimento seria na Máquina 1
(TIR1=17,93% a.m. / TIRM1=8,75% a.m. contra TIR2=15,78% a.m. /
TIRM2=8,20% a.m.
Deve-se adotar o investimento na Máquina 2 por apresentar maior retorno
líquido (método do VPL).
Gráfico do VPL - Exercício 71
1.800.000
Máquina 2
1.200.000
900.000
TIR= 17,93%
TIR= 15,78%
600.000
Máquina 1
300.000
20%
19%
18%
17%
16%
15%
14%
13%
12%
11%
(300.000)
10%
9%
8%
7%
6%
5%
2%
1%
0%
4%
2,84%
0
3%
Valor Presente Líquido
1.500.000
Taxa de Desconto Mensal
74. Investimento 1: VPL=$316.300
TIR=54,2% a.a.
TIRM=51,0% a.a.
Investimento 2: VPL=$316.300
TIR=68,5% a.a.
TIRM=57,9% a.a.
Os dois investimentos são interessantes (VPL>0 e TIR e TIRM>taxa mínima de
atratividade). Pelo método do VPL ambos são equivalentes, porém pelos
métodos da TIR e da TIRM, o Investimento 2 é mais interessante. Pode-se
optar pela adoção do Investimento 2 caso se tenha a necessidade de entrada
de caixa mais rápida.
Gráfico do VPL - Exercício 72
3.400.000
2.900.000
Investimento 1
2.400.000
1.900.000
1.400.000
900.000
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
-100.000
10%
400.000 Investimento 2
0%
Valor Presente Líquido
3.900.000
Taxa Anual
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Edição 2 - 2011
72
Matemática Financeira
75. Método do VPL Investimento1 (VPL=$88.013,41 contra $69.358,38 do
Investimento2)
Métodos da TIR e TIRM Investimento2 (TIR=7,5% am e TIRM=5,5% am
contra TIR=6,4% am e TIRM=5,0% am do Investimento 1).
Deve-se adotar o Investimento1 pois apresenta maior retorno líquido ao
investidor. Porém pode-se adotar o Investimento2 caso haja a necessidade de
maior liquidez.
Gráfico do VPL - Exercício 73
150.000
Investimento 1
110.000
90.000
70.000
50.000
30.000
Investimento 2
9%
8%
10%
-30.000
7%
6%
5%
4%
3%
2%
-10.000
1%
10.000
0%
Valor Presente Líquido
130.000
-50.000
Taxa Mensal
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
R$ 30.000
R$ 40.000
R$ 40.883
R$ 33.600
R$ 297.143
R$ 41.255
R$ 9.000
R$ 250.000
15% a.a.
Maurício R. Cury
Edição 2 - 2011
73