Departamento de Matemática - Secção de Estatı́stica e Aplicações
Probabilidades e Estatı́stica
LEGM, LEIC-A, LEMat, MA, MEQ
2o semestre – 2007/08
10/5/2008 – 9 horas
1o Teste
Duração: 1 hora e 30 minutos
Justifique convenientemente todas as respostas!
Grupo I
10 valores
1. Uma máquina simples só pode avariar se falhar pelo menos uma de duas componentes, A e B.
Admitindo que a probabilidade da máquina avariar é 0.8, que a probabilidade da componente B
falhar é 0.6 e que as componentes A e B funcionam de forma independente:
(a) Calcule a probabilidade da componente A falhar.
(2.0)
(b) Sabendo que a máquina avariou, determine a probabilidade disso ser devido à falha de ambas
as componentes. Será que se pode afirmar que o funcionamento das duas componentes é
condicionalmente independente à máquina avariar?
(2.0)
2. Um fabricante de computadores portáteis faz diariamente o controlo de qualidade da produção.
Considere que o número de computadores que não passam nesse controlo tem uma distribuição de
Poisson tal que a probabilidade de, num dia, haver pelo menos um computador nessas condições
é 0.1.
(a) Determine o valor esperado e a variância do número de computadores que não passam no
controlo por semana (5 dias).
(2.0)
(b) Numa semana, qual é a probabilidade de haver pelo menos dois dias em que não há nenhum
computador que não passe o controlo?
(2.0)
(c) Calcule a probabilidade de só após um mês (20 dias) ser observado o primeiro dia em que há
pelo menos um computador que não passa o controlo.
(2.0)
Grupo II
10 valores
1. Um produto é composto por dois sistemas A e B. O sistema A inclui um só motor enquanto que o
sistema B inclui dois outros motores. Designando por X e Y as variáveis aleatórias que indicam
o número de motores a funcionar, respectivamente nos sistemas A e B, admita que a função de
probabilidade conjunta do par aleatório (X, Y ) é a seguinte:
X\Y
0
1
0
0.05
0.05
1
0.05
0.15
2
0.05
0.65
(a) Determine o coeficiente de correlação entre as duas variáveis. Comente.
(2.5)
(b) Sabendo que o motor do sistema A está a funcionar, determine os números esperado, mediano
e o mais provável de motores a funcionar no sistema B.
(2.5)
2. Segundo os cálculos do engenheiro civil responsável pelo tráfego de uma dada ponte, a carga W
(em toneladas) que o tabuleiro dessa ponte pode suportar sem sofrer danos estruturais segue uma
distribuição normal, de valor médio 400 e desvio padrão 40. Considere que os pesos dos veı́culos
que nela circulam são variáveis aleatórias normais, independentes, com valor médio 3 toneladas e
desvio padrão 0.3 toneladas.
(a) Admita que, em certo momento, estão 100 veı́culos sobre a ponte. Determine a probabilidade
de o peso total desses veı́culos exceder 400 toneladas.
(2.5)
(b) Prove que o valor esperado e a variância da variável aleatória que representa a diferença entre o
peso total de n veı́culos e a carga W que a ponte pode suportar são, respectivamente, 3n−400
e 0.09n + 1600, admitindo que o peso total e a carga são variáveis aleatórias independentes.
Determine ainda o maior valor de n para o qual a probabilidade de ocorrência de danos na
estrutura é inferior a 0.1.
(2.5)
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