UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
DISCIPLINA DE ELETRÔNICA DE POTÊNCIA I
PROF.: LEANDRO MICHELS
ESTUDO DIRIGIDO – POTÊNCIA
1. Introdução
Potência é a taxa de transferência de energia entre duas regiões do
espaço. Quando esta troca de energia for feita através de um circuito
elétrico, têm-se a potência elétrica. Considerem-se, então, duas regiões A
e B, interconectadas por um par de fios.
i(t)
A
v(t)
B
A potência elétrica transmitida neste caso é:
p (t ) = v (t ) × i (t )
Onde: v(t) é a tensão entre os fios
i(t) é a corrente que circula nos fios
Como p(t) fornece a potência em cada instante, ela é denominada
potência instantânea.
2. Definições
Valor médio, eficaz, de pico, e de pico-a-pico de uma grandeza.
Seja uma função f(x) periódica qualquer, exemplificada na figura abaixo:
O valor médio de um sinal periódico é definido da seguinte maneira:
T
f médio
1
= ∫ f (t )dt
T 0
O valor eficaz de um sinal periódico é:
T
f eficaz =
1
T ∫0
f 2 (t )dt
O valor de pico de um sinal periódico nada mais é do que do que o
máximo valor que o sinal assume durante o período. O valor de pico-apico é o resultado da subtração do valor de pico e o valor mínimo que a
função assume durante o período.
3. Sinais senoidais
Aplicando-se as equações mostradas acima, para sinais senoidais, têm-se:
T
Pmédio
T
V I
1
1
= ∫ v(t )i(t )dt = ∫ Vmax sen(ωt ) I max sen(ωt − θ ) = max max ⎡⎣cos θ − 2cos ( 2ωt − θ ) ⎤⎦
2
T 0
T 0
Onde cos θ constitui a componente constante da potência (potência
ativa), e cos(2ω- θ ) constitui a componente alternada da potência
(potência reativa).
Na equação acima, observa-se que q potência varia com o tempo,
podendo inclusive trocar de sinal em cada ciclo. Isto significaria que a
energia ora está fluindo em um sentido ora em outro.
A componente alternada da potência é transmitida da fonte para a
carga e posteriormente da carga para a fonte, em cada ciclo. Por isso,
esta potência não realiza trabalho útil.
Potência aparente
A potência aparente é dada pelo produto da tensão eficaz e da corrente
eficaz:
S=V*I
Potência reativa
É dada pela relação Q = V * I sen θ
Fator de potência
É dado por: FP = cos θ
4. Sinais não senoidais
O aumento de número de equipamentos eletrônicos na indústria, edifícios
e residências tem provocado um aumento crescente dos problemas nas
redes elétricas devido à inserção de cargas não lineares no sistema. Em
razão disso constata-se a geração de tensões e correntes não senoidais,
transitórios e outros distúrbios.
Já que a análise anterior só é válida para tensões e correntes senoidais,
sinais distorcidos precisam de uma abordagem diferente para a sua
análise. Estes sinais, sempre que forem periódicos, podem ser decompostos
em componentes harmônicos (teorema de Fourier).
Uma vez que os sinais de corrente e tensão foram decompostos em
componentes senoidais, a equação P=V*I cos θ é válida para
componentes de mesma freqüência. Caso contrário o valor médio da
potência instantânea é zero. Isto é:
∞
P = I 0V0 + ∑ Vk I k cos θ k
k =1
∞
Q = ∑ Vk I k senθ k
k =1
Exemplo: a figura abaixo mostra dois sinais senoidais de freqüências 100Hz
e 300Hz, e o produto delas. Note-se que o valor médio do produto é zero,
ou seja, componentes de correntes e tensões de freqüências diferentes
não geram potência ativa.
Potência aparente
S = P2 + Q2 + D2
∞
D2 =
∑ {V
, sendo:
I cos(θ n )}
2 2
1 n
n=2
, Assumindo que a tensão é senoidal.
5. Sistema trifásico
A presença de harmônicos de corrente pode gerar problemas em sistemas
trifásicos. Em sistemas a quatro fios, estes harmônicos podem contribuir
para a existência de grandes correntes no fio neutro, mesmo tratando-se
de tensões e cargas equilibradas. Capacitores de correção de fator de
potência podem estar expostos a correntes eficazes maiores que o
esperado, causando aquecimento.
5.1. Sistema a quatro fios (3F + N)
Considerando o sistema mostrado abaixo:
As correntes de linha podem ser expressas utilizando a série de Fourier:
∞
ia (t ) = I a 0 + ∑ I ak cos( kω t − θ ak )
k =1
∞
ib (t ) = I b 0 + ∑ I bk cos( k (ω t − 120D ) − θ ak )
k =1
∞
ic (t ) = I c 0 + ∑ I ck cos( k (ω t + 120D ) − θ ck )
k =1
A corrente de neutro é dada por: in = ia + ib + ic
; ou seja:
∞
in ( t ) = I a 0 + I 0 + I 0 + ∑ ⎣⎡ I ak cos( k ω t − θ ak ) + I bk cos( k (ω t − 120 D ) − θ bk ) + I ck cos( k (ω t + 120 D ) − θ ck ) ⎤⎦
k =1
Considerando que o sistema é balanceado, ou seja, Iak = Ibk = Ick = Ik
θak = θbk = θck = θk
in (t ) = 3I 0 +
∞
∑
k = 3,6,9...
in _ eficaz = 3 I 0 2 +
e
:
3I k cos(kωt − θ k )
∞
∑
k = 3,6,9...
3
Ik 2
2
Das expressões acima demonstradas, conclui-se que a fundamental e a
maioria dos harmônicos de corrente se cancelam no condutor neutro, mas
os harmônicos de ordens zero e múltiplas de três se superpõem, já que eles
estarão em fase (teorema de Fortescue, a ser abordado na disciplina de
proteção de sistemas elétricos – PSE).
5.2. Sistema a três fios (3F)
Já que não existe fio neutro, in deve ser zero. Sendo assim, as correntes de
linha não podem conter harmônicos de ordem zero ou múltiplo de três.
Se a carga é ligada em Y, uma tensão é induzida no ponto comum
contendo nível CC e harmônicos de ordem múltipla de três, de tal forma a
anular estas componentes de corrente.
Se a carga é ligada em Δ, os harmônicos de ordem múltipla de Três
circulam na carga, sem passar por nenhuma das três linhas.
6.
Tabela de integrais úteis
α2
α2
⎡ωt sen(2ωt ) ⎤
∫α sen (ωt)dωt = ⎢⎣ 2 − 4 ⎥⎦α
1
1
2
α2
α2
⎡ωt sen(2ωt ) ⎤
∫α cos (ωt)dωt = ⎢⎣ 2 + 4 ⎥⎦α
1
1
2
7. Exercícios propostos
7.1. Calcular o valor eficaz, médio e CA
1)
2)
3)
4)
5)
7.2. Calcular a potência média, aparente, reativa e de distorção
(considerar até o 13º harmônico.
1)
2)
3)
4)
7.3. Calcular a potência média, aparente e ( Q 2 + D 2 )
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Solução dos exercícios:
8.1.
1) 7.07;
5.0;
5.0;
2) 12.2;
0;
12.2;
3) 6.86;
5.50;
4.10;
4) 15.41;
15.00;
3.53;
5) 3.53;
0;
3.53;
1) 103.0;
109.5;
0;
30.0;
2) 63.16;
99.98;
63.70;
40.06;
3) 127.32;
141.4;
0;
62.15;
4) 0;
100;
100;
0;
1) 200;
300;
223.3;
2) 0;
35.4;
35.4;
3) 0;
59.2;
59.2;
4) 28.41;
41.65;
30.46;
5) 31.83;
35.35;
15.38
6) 0;
1.25;
1.25;
8.2.
8.3.