ME210: Lista 1: Análise combinatória/ Probabilidade
March 2, 2015
Exercı́cio 1: De quantas maneiras 3 livros de matemática, 5 livros de fı́sica
e 1 dicionário podem ser colocados na prateleira, se
(a) os livros de matemática têm que ficar junto;
(b) o dicionário tem que separar os livros de matemática dos livros de fı́sica?
Exercı́cio 2: De quantas maneiras podemos fazer um arranjo de n bolinhas, das quais r são brancas e n − r verdes (bolinhas da mesma cor são
indistinguı́veis)?
Exercı́cio 3: Quantos são os anagramas da palavra “ARARAQUARA” que
não possuem duas letras A juntas?
Exercı́cio 4: Prove usando um argumento combinatório que,
n
m
n
n−k
=
m
k
k
m−k
para 0 < k ≤ m ≤ n.
Exercı́cio 5: Expande as expressões (2x + y)5 , (x1 + 2x2 + 3x3 )4 . Suponha
que você precisa expandir a expressão (x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 )6 quantos
termos haverá na somatória?
Exercı́cio 6: Sejam A, B e C três subconjuntos de E. Mostrar que se:
A ∪ C ⊂ A ∪ B e A ∩ C ⊂ A ∩ B então o conjunto C está incluido em B.
Exercı́cio 7: Prove as leis de De Morgan, vistas em aula.
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Exercı́cio 8: Sejam A, B e C três eventos em um espaço de probabilidade.
Expresse os seguintes eventos em termos de A, B e C:
(a) Apenas A ocorre.
(b) A e B ocorrem, mas C não ocorre.
(c) Os três eventos ocorrem.
(d) Pelo menos um dos três eventos ocorre.
(e) Nenhum dos três eventos ocorre.
(f) Exatamente um dos três eventos ocorre.
(g) No máximo um dos três eventos ocorre.
(h) Pelo menos dois dos três eventos ocorrem.
Exercı́cio 9: Sejam A e B eventos disjuntos tais que P [A] = 0, 2 e P [B] =
0, 6. Qual é a probabilidade que
(a) A ou B ocorra;
(b) A ocorra, mas B não ocorra.
Exercı́cio10: Descreva um espaço amostral Ω adequado aos seguintes experimentos aleatórios. Responda se Ω é finito, infinito enumerável ou infinito
não-enumerável, e determine a sua cardinalidade no caso finito.
(a) Escolhe-se ao acaso uma famı́lia com duas crianças de um municı́pio e
são registrados os sexos do primeiro e do segundo filhos.
(b) No item (a), observa-se apenas o número de meninas na famı́lia selecionada.
(c) No item (a), registra-se o peso (em quilogramas) com que cada uma das
crianças nasceu.
(d) Vinte produtos eletrônicos sõ sorteados de um lote e a quantidade de
produtos com defeito é contada.
(e) Um dado é lançado quatro vezes e a sequência de números obtida é anotada.
(f) Registra-se o total de pontos quando um dado é lançado quatro vezes.
Exercı́cio 11: Suponha que em uma festa cada um dos N homens presentes
joga o seu chapéu no centro da sala. Os chapeis são misturados e depois
cada homem pegue aleatoriamente um chapéu. Qual é a probabilidade que
nenhum dos homens pegue o seu chapéu? (Hint: considerar o evento com2
plementar e usar o princı́pio de inclusão-exclusão.) Qual é o limite dessa
probabilidade quando N → ∞?
Exercı́cio 12: Numa urna há 4 bolinhas brancas, 3 verdes e 5 azuis. Escolhemos 4 bolinhas. Qual é a probabilidade de que foram escolhidas 2 bolinhas
de uma cor e 2 bolinhas de outra cor? Qual é a probabilidade de que todas
as bolinhas escolhidas são da mesma cor? Considere dois casos: escolha sem
reposição e com reposição.
Exercı́cio 13: Quatro números são sorteados ao acaso, sem reposição, do
conjunto {0, 1, ..., 9}. Calcule as probabilidades de que
(a) os quatro números formem uma seguida (por exemplo, 2, 3, 4, 5).
(b) todos sejam maiores que 5.
(c) o número 0 seja escolhido.
(d) pelo menos um seja maior que 7.
(e) todos sejam ı́mpares.
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