Elementos de Matemática
Números complexos - Atividades didáticas de 2007
Versão compilada no dia 24 de Agosto de 2007.
Departamento de Matemática - UEL
Prof. Ulysses Sodré: ulysses(a)uel(pt)br
Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/
Resumo: Notas de aulas construı́das com materiais usados em nossas aulas
na UEL. Elas devem ser usadas como roteiro e não espero que elas venham
a substituir qualquer livro sobre o assunto. Sugiro que o leitor pesquise na
Internet para obter materiais gratuitos para os seus estudos.
Mensagem: ‘Para a liberdade Cristo nos libertou; permanecei, pois, firmes e
não vos dobreis novamente a um jogo de escravidão... Porque vós, irmãos,
fostes chamados à liberdade. Mas não useis da liberdade para dar ocasião à
carne, antes pelo amor servi-vos uns aos outros. Pois toda a lei se cumpre
numa só palavra, a saber: Amarás ao teu próximo como a ti mesmo. Se
vós, porém, vos mordeis e devorais uns aos outros, vede não vos consumais
uns aos outros. Digo, porém: Andai pelo Espı́rito, e não haveis de cumprir
a cobiça da carne. Porque a carne luta contra o Espı́rito, e o Espı́rito contra
a carne; e estes se opõem um ao outro, para que não façais o que quereis.
Mas, se sois guiados pelo Espı́rito, não estais debaixo da lei. Ora, as obras
da carne são manifestas, as quais são: a prostituição, a impureza, a lascı́via,
a idolatria, a feitiçaria, as inimizades, as contendas, os ciúmes, as iras, as
facções, as dissensões, os partidos, as invejas, as bebedices, as orgias, e
coisas semelhantes a estas, contra as quais vos previno, como já antes vos
preveni, que os que tais coisas praticam não herdarão o reino de Deus. Mas
o fruto do Espı́rito é: o amor, o gozo, a paz, a longanimidade, a benignidade,
a bondade, a fidelidade, a mansidão, o domı́nio próprio; contra estas coisas
não há lei. E os que são de Cristo Jesus crucificaram a carne com as suas
paixões e concupiscências. Se vivemos pelo Espı́rito, andemos também pelo
Espı́rito. Não nos tornemos vangloriosos, provocando-nos uns aos outros,
invejando-nos uns aos outros.’ A Bı́blia Sagrada, Carta aos Gálatas, Cap. 5
CONTEÚDO
ii
Conteúdo
1 Introdução aos números complexos
1
2 Definição de número complexo
1
3 Elementos complexos especiais
2
4 Operações básicas com números complexos
3
5 Potências e curiosidade sobre a unidade imaginária
3
6 O inverso de um número complexo
4
7 Diferença e divisão de números complexos
5
8 Representação geométrica de um número complexo
6
9 Módulo e argumento de um número complexo
6
10 Forma polar e o produto de complexos na forma polar
7
11 Potência de um número complexo na forma polar
7
12 Raiz quarta de um complexo na forma polar
8
13 Raiz n-ésima de um número complexo
9
14 Número complexo como uma matriz anti-simétrica
Números complexos - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007
12
Seção 1 Introdução aos números complexos
1
1
Introdução aos números complexos
Na resolução de uma equação algébrica, um fator fundamental é o conjunto
universo que representa o contexto onde poderemos encontrar as soluções.
Por exemplo, se estamos trabalhando no conjunto dos números racionais, a
equação 2x + 7 = 0, terá uma única solução dada por x = − 27 . assim, o
conjunto solução será:
7
S={ }
2
mas, se estamos procurando por um número inteiro como resposta, o conjunto
solução será o conjunto vazio, isto é:
S = ∅ = {}
Analogamente, ao tentar obter o conjunto solução para a equação x2 + 1 = 0
sobre o conjunto dos números reais, obteremos como resposta o conjunto
vazio, isto é:
S = Ø = {}
o que significa que não existe um número real que elevado ao quadrado seja
igual a −1, mas se seguirmos o desenvolvimento da equação pelos métodos
comuns, obteremos:
√
x = i = −1
Unidade imaginária: A expressão acima parece não ter significado prático e
foi por esta razão √
que este número foi denominado imaginário, mas o simples
fato de substituir −1 pela letra i (unidade imaginária) e realizar operações
como se estes números fossem polinômios, faz com que uma série de situações
tanto na Matemática como na vida, tenham sentido prático de grande utilidade
e isto nos leva ao estudo dos números complexos.
2
Definição de número complexo
Um número complexo é um número que pode ser escrito na forma z = a + bi
onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. O número real a é
a parte real do número complexo z e o número real b é a parte imaginária do
número complexo z, denotadas por: a = Re(z) e b = Im(z).
Números complexos - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007
Seção 3 Elementos complexos especiais
2
Exemplos de números complexos são apresentados na tabela.
Número complexo Parte real Parte imaginária
2+3i
2
3
2-3i
2
-3
2
2
0
3i
0
3
-3i
0
-3
0
0
0
Notações: O conjunto dos números complexos é denotado pela letra C e o
conjunto dos números reais pela letra R. Como todo número real x pode ser
escrito como o número complexo z = x + 0i, assumiremos que o conjunto dos
números reais está contido no conjunto dos números complexos.
3
Elementos complexos especiais
1. Igualdade de números complexos: Definimos a igualdade entre os
números complexos z = a + bi e w = c + di, escrevendo
z = w se, e somente se, a = c e b = d
Exemplo: Os números complexos z = 2 + yi e w = c + 3i são iguais,
pois c = 2 e y = 3.
2. Oposto de um número complexo: O oposto do número complexo
z = a + bi é o número complexo denotado por −z = −(a + bi), isto é:
−z = oposto(a + bi) = (−a) + (−b)i
Exemplo: O oposto de z = −2 + 3i é o número complexo −z = 2 − 3i.
3. Conjugado de um número complexo: O número complexo conjugado
de z = a + bi é o número complexo denotado por z = a − bi, isto é:
z = conjugado(a + bi) = a + (−b)i = a − bi
Exemplo: O conjugado de z = 2 − 3i é o número complexo z = 2 + 3i.
Números complexos - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007
Seção 4 Operações básicas com números complexos
4
3
Operações básicas com números complexos
Dados os números complexos z = a+bi e w = c+di, definimos duas operações
fundamentais, adição e produto, agindo sobre eles, da seguinte forma:
z + w = (a + bi) + (c + di) =
(a + c) + (b + d)i
z · w = (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Observação: Estas operações lembram as operações com expressões polinomiais, pois a adição é realizada da forma:
(a + bx) + (c + dx) = (a + c) + (b + d)x
e o produto é realizado na forma:
a + bx
c + dx
X
ac + bcx
adx
+ bdx2
ac + (ad + bc)x + bdx2
bastando substituir x2 por −1.
Exemplos:
1. Se z = 2 + 3i e w = 4 − 6i, então z + w = (2 + 3i) + (4 − 6i) = 6 − 3i.
2. Se z = 2 + 3i e w = 4 − 6i, então z.w = (2 + 3i).(4 − 6i) = −4 + 0i.
5
Potências e curiosidade sobre a unidade imaginária
Potências de i: Ao tomar i =
simples para as potências de i:
√
−1, temos uma seqüência de valores muito
Potência i i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8 i9
Valor i −1 −i 1 i −1 −i 1 i
Pela tabela acima observamos que as potência de i cujos expoentes são
múltiplos de 4, fornecem o resultado 1, logo toda potência de i pode ter
Números complexos - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007
Seção 6 O inverso de um número complexo
4
o expoente decomposto em um múltiplo de 4 mais um resto que poderá ser
0, 1, 2 ou 3. Dessa forma podemos calcular rapidamente qualquer potência
de i, apenas conhecendo o resto da divisão do expoente por 4.
Exercı́cio: Calcular os valores dos números complexos: i402 , i4033 e i1998 . Como
exemplo: i402 = i400 .i2 = 1.(−1) = −1.
Curiosidade geométrica sobre i: Ao pensar um número complexo z = a+bi
como um vetor z = (a, b) no plano cartesiano, a multiplicação de um número
complexo z = a + bi pela unidade imaginária i, resulta em um outro número
complexo w = −b + ai, que forma um ângulo reto (90 graus) com o número
complexo z = a + bi dado.
Exercı́cio: Tomar um número complexo z = a + bi, multiplicar por i para
obter z1 = i.z, depois multiplicar o resultado z1 por i para obter z2 = i.z1 .
Continue multiplicando os resultados obtidos por i até ficar cansado ou então
use a inteligência para descobrir algum fato geométrico significativo neste
contexto. Após constatar que você é inteligente, faça um desenho no plano
cartesiano contendo os resultados das multiplicações.
6
O inverso de um número complexo
Dado o número complexo z = a+bi 6= 0 (a 6= 0 ou b 6= 0) definimos o inverso
de z como o número z −1 = u + iv, tal que
z.z −1 = 1
O produto de z pelo seu inverso z −1 deve ser igual a 1, isto é:
(a + bi).(u + iv) = (au − bv) + (av + bu)i = 1 = 1 + 0.i
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Seção 7 Diferença e divisão de números complexos
5
o que nos leva a um sistema com duas equações e duas incógnitas:
au − bv = 1
bu + av = 0
Este sistema pode ser resolvido pela regra de Cramer e possui uma única
solução (pois a 6= 0 ou b 6= 0), fornecendo:
u=
a
,
a2 + b 2
v=
b
a2 + b 2
assim, o inverso do número complexo z = a + bi é:
z −1 =
b
a
−
i
a2 + b 2 a2 + b 2
Calculando o inverso de um número complexo: Para obter o inverso de
um número complexo, por exemplo, o inverso de z = 5 + 12i, deve-se:
1. Escrever o inverso desejado na forma de uma fração.
z −1 =
1
5 + 12i
2. Multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo conjugado de z.
z −1 =
1 5 − 12i
5 + 12i 5 − 12i
3. Realizar as operações indicadas, lembrando que i2 = −1, simplificar os
números complexos pela redução dos termos semelhantes, para obter
z −1 =
7
1 5 − 12i 5 − 12i
5
12
1
=
=
=
−
i
5 + 12i 5 + 12i 5 − 12i
169
169 169
Diferença e divisão de números complexos
Diferença de números complexos: A diferença entre os números complexos
z = a + bi e w = c + di é o número complexo obtido pela soma entre z e
−w, isto é, z − w = z + (−w).
Números complexos - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007
Seção 8 Representação geométrica de um número complexo
6
Exemplo: A diferença entre os complexos z = 2 + 3i e w = 5 + 12i é igual a
z − w = (2 + 3i) + (−5 − 12i) = (2 − 5) + (3 − 12)i = −3 − 9i.
Divisão de números complexos: A divisão entre os números complexos
z = a + bi e w = c + di (w 6= 0) é definida como o número complexo obtido
pelo produto entre z e w−1 , isto é, z/w = z.w−1 .
Exemplo: Dividimos o complexo z = 2 + 3i por w = 5 + 12i, multiplicando o
numerador e o denominador da fração z/w pelo conjugado de w:
2 + 3i
(2 + 3i)(5 − 12i)
46 − 9i
46
9
z
=
=
=
=
−
i
w
5 + 12i (5 + 12i)(5 − 12i)
169
169 169
8
Representação geométrica de um número complexo
Um complexo da forma z = a + bi, pode ser representado no plano cartesiano,
como um ponto (par ordenado) tomando-se a abscissa deste ponto como a
parte real do número complexo a no eixo OX e a ordenada b como a parte
imaginária do número complexo z no eixo OY, sendo que o número complexo
0 = 0 + 0i é representado pela própria origem (0, 0) do sistema.
9
Módulo e argumento de um número complexo
Módulo de um número complexo: No gráfico anterior existe um triângulo
retângulo cuja medida da hipotenusa é a distância da origem 0 ao número
complexo z, denotada pela letra grega ρ nos livros, mas aqui denotada por r,
o cateto horizontal corresponde à parte real a do número complexo e o cateto
vertical corresponde à parte imaginária b do número complexo z.
√
Se z = a + bi é um número complexo, então r = a2 + b2 é a medida da
hipotenusa, isto é, o módulo do número complexo z, denotado por |z|:
p
|z| = a2 + b2
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Seção 10 Forma polar e o produto de complexos na forma polar
7
Argumento de um número complexo: O ângulo θ formado pelo segmento
OZ e o eixo OX, é denominado o argumento do número complexo z. Pelas
definições da trigonometria circular temos as três relações:
a
cos(θ) = ,
r
b
sin(θ) = ,
r
tan(θ) =
b
a
Sugerimos que use o cosseno ou o seno do ângulo para definir o argumento,
uma vez que a tangente apresenta alguns problemas.
10
Forma polar e o produto de complexos na forma polar
Forma polar de um número complexo: Com duas relações trigonométricas
apresentadas antes, podemos escrever:
z = a + bi = r cos(θ) + ri sin(θ) = r[cos(θ) + i sin(θ)]
e esta última é a forma polar do número complexo z.
Produto de complexos na forma polar: Sejam os números complexos:
z = r[cos(m) + i sin(m)]
w = s[cos(n) + i sin(n)]
onde r = |z| e m é o argumentos de z e s = |w| e n é o argumentos de w.
Realizando o produto entre os números z e w e usando as relações
cos(m + n) = cos(m) cos(n) − sin(m) sin(n)
sin(m + n) = sin(m) cos(n) + sin(n) cos(m)
podemos escrever o produto na forma:
z · w = rs[cos(m + n) + i sin(m + n)]
11
Potência de um número complexo na forma polar
Com o produto de números complexos na forma polar, obtemos a potência de
ordem k do número complexo z = r[cos(m) + i sin(m)] como
z k = rk [cos(km) + i sin(km)]
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Seção 12 Raiz quarta de um complexo na forma polar
8
√
Exemplo: Seja o complexo z = 1 + i, tal que |z| = 2 e o argumento é
m = π/4 (45 graus). Para elevar este número à potência 16, basta escrever:
z 16 = 28[cos(4π) + i sin(4π)] = 256
12
Raiz quarta de um complexo na forma polar
Como extrair a raiz quarta de um número complexo? Um ponto fundamental
que valoriza a existência dos números complexos é podermos extrair a raiz
de ordem 4 de um número complexo, mesmo que ele seja um número real
negativo, o que significa resolver uma equação algébrica do quarto grau.
Por exemplo, para extrair a raiz quarta do número −16, devemos obter as
quatro raı́zes da equação algébrica x4 + 16 = 0.
Antes de apresentar o processo para obter a raiz quarta de um número complexo w, devemos conhecer r = |w| e o argumento t de w, o que permite
escrever o número complexo w na forma polar:
w = r[cos(t) + i sin(t)]
Primeiro vamos construir um desenho mostrando este número complexo w em
um cı́rculo de raio r e observar o argumento t, dado pelo ângulo entre o eixo
OX e o número complexo w.
O passo seguinte é obter um outro número complexo z(1) cujo módulo é a
raiz quarta de r e cujo argumento é 41 de t.
Este número complexo é a primeira das quatro raı́zes complexas procuradas.
√
z(1) = 4 r [cos(t/4) + i sin(t/4)]
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Seção 13 Raiz n-ésima de um número complexo
9
As outras raı́zes são:
z(2) = i z(1)
z(3) = i z(2)
z(4) = i z(3)
Todas as quatro raı́zes aparecem no gráfico, mas observamos que este processo
para obter as quatro raı́zes do número complexo w ficou facilitado em virtude
da propriedade geométrica que o número complexo i multiplicado por outro
número complexo, roda este último de π/2 radianos e outro fato interessante é
que todas as quatro raı́zes de w estão localizadas sobre a mesma circunferência
e os ângulos formados entre duas raı́zes consecutivas é de 90 graus.
Se os quatro números complexos forem ligados, aparecerá um quadrado rodado
de t/4 radianos em relação ao eixo OX.
13
Raiz n-ésima de um número complexo
Existe uma importantı́ssima relação atribuı́da a Euler:
eit = cos(t) + i sin(t)
que é verdadeira para todo argumento t real ou complexo. A constante e tem
o valor aproximado 2, 71828... Para facilitar a escrita usamos com freqüencia:
exp(it) = cos(t) + i sin(t)
Relação notável: A partir da relação de Euler, é possı́vel construir uma
relação notável com os mais importantes sinais e constantes da Matemática:
ei · π + 1 = 0
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Seção 13 Raiz n-ésima de um número complexo
10
Voltemos agora à expressão de exp(it). Se multiplicarmos o número eit por
um número complexo z, o resultado será um outro número complexo com o
mesmo módulo rodado de t radianos em relação ao número complexo z.
Exemplo: O produto do complexo z por exp(iπ/8) = cos(π/8) + i sin(π/8),
gera um número complexo z(1) que forma com o eixo OX um ângulo de π/8
radianos, no sentido anti-horário.
Agora resolveremos a equação xn = w, onde n é um número natural e w é
um número complexo dado.
Como antes, podemos escrever o número complexo w = r[cos(t) + i sin(t)] e
usar a relação de Euler, para obter:
w = reit
Para extrair a raiz n-ésima, construı́mos a primeira raiz que é dada pelo número
complexo
√
z(1) = n re2iπ/n
Todas as outras n − 1 raı́zes serão obtidas pela multiplicação recursiva dada
por:
z(k) = z(k − 1) e2iπ/n
onde k varia de 2 até n.
Exemplo: Para obter a primeira raiz da equação x8 = −64, observamos a
posição do número complexo w = −64 + 0i, constatando que o seu módulo
é igual a 64 e o argumento é igual a π radianos (180 graus).
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Seção 13 Raiz n-ésima de um número complexo
11
A raiz oitava de 64 é igual a 2 e o argumento da primeira raiz é π/8, então
z(1) pode ser escrita na forma polar:
√
iπ/8
z(1) = 2e
= 2[cos(π/8) + i sin(π/8)] = 2(1 + i)
Obtemos as outras raı́zes pela multiplicação pelo número complexo:
√
2
e2iπ/8 = 2[cos(π/4) + i sin(π/4)] =
(1 + i)
2
Assim:
√
z(1) =
z(2) =
z(3) =
z(4) =
2
(1 + i)
2
√
2
z(1) (1 + i)
√2
2
z(2) (1 + i)
√2
2
z(3) (1 + i)
2
√
2
(1 + i)
2
√
2
z(6) = z(5) (1 + i)
√2
2
z(7) = z(6) (1 + i)
√2
2
z(8) = z(7) (1 + i)
2
z(5) = z(4)
Exercı́cio: No plano cartesiano, construir os 8 números complexos e ligue todas
as raı́zes consecutivas para obter um octógono regular rodado de π/8 radianos
em relação ao eixo OX. Tente comparar este método com outros que você
conhece e realize exercı́cios para observar como aconteceu o aprendizado.
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Seção 14 Número complexo como uma matriz anti-simétrica
14
12
Número complexo como uma matriz anti-simétrica
É interessante estudar um número complexo da forma z = a + bi quando ele
é tratado como uma matriz quadrada anti-simétrica 2 × 2 de números reais
da forma:
a −b
z=
b a
As propriedades dos números complexos são obtidas com as correspondentes
operações matriciais, transformando as caracterı́sticas geométricas dos números
complexos em algo simples.
Exemplo: Consideremos os números complexos z = a + bi e w = c + di nas
formas matriciais:
a −b
c −d
z=
e
w=
b a
d c
1. Para somar números complexos basta somar as respectivas matrizes:
a −b
c −d
a + c −(b + d)
z +w =
+
=
= (a+c)+(b+d)i
b a
d c
b+d a+c
2. Para multiplicar números complexos basta multiplicar as respectivas matrizes:
a −b
c −d
ac−bd −(ad+bc)
z·w =
=
= (ac−bd)+(ad+bc)i
b a
d c
ad+bc ac−bd
3. O conjugado do número complexo z é a transposta da respectiva matriz.
4. O inverso de um número complexo z 6= θ é a inversa da respectiva matriz.
5. O número complexo θ = 0 + 0i é representado pela matriz nula.
6. O número complexo 1 = 1 + 0i é representado pela matriz identidade.
7. A associatividade e a comutatividade de números complexos corresponde
respectivamente à associatividade e comutatividade das respectivas matrizes.
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