ENEM
Geometria
Círculos
Wallace Alves da Silva
DICAS MATEMÁTICAS
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Círculo
Olá Galera,
Na aula de hoje vamos estudar os círculos, seus elementos e suas propriedades
Na Matemática e na Geometria, um círculo ou disco é o conjunto dos pontos internos de
uma circunferência. Por vezes, também se chama círculo ao conjunto de pontos cuja distância
ao centro é menor ou igual a um dado valor (ao qual chamamos raio). Fonte: wikipedia
Elementos do círculo:
Posições relativas entre retas e circunferência:
Sendo d1, d2 e d3 as distâncias do centro O as retas s, t e r respecitvamente. Vale lembrar que
OP = R e é perpendicular a reta tangente t.
Obs.: Segmentos tangentes
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Consequência: Teorema de Pitot
AB + CD = AD + BC
Posições relativas entre círculos:
Vamos considerar d a distância entre os centros dos dois círculos e r e R os raios de cada
círculo.
1ª posição - Círculos exteriores: d > R + r
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2ª posição - Tangentes Exteriormente: d = R + r
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3ª posição - Tangentes interiormente: d = R - r
4ª posição - Secantes: R - r < d < R + r
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5ª posição - Interiores: 0 < d < R- r
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Obs.: se d = 0 , chamamos círculos concêntricos
PERÍMETRO DO CÍRCULO
O perímetro de uma figura é calculado através da soma dos comprimentos de todos os lados.
Portanto, não temos uma expressão definida para o cálculo do perímetro de figuras. Mas na
circunferência, a maneira de calcular o perímetro é diferente, pois as regiões circulares não são
formadas por segmentos de retas. O comprimento da circunferência é dado em função do raio,
isto de forma proporcional, quanto maior o raio maior o comprimento da circunferência.
Para determinarmos o comprimento da circunferência ou seu perímetro, utilizamos uma
expressão única, sempre dependendo do tamanho do raio, observe:
C = 2 * π * r, onde:
C = raio da circunferência (medida do centro à extremidade)
π = 3,14 (aproximadamente)
r = raio
Exemplo 1
Determine quantos metros, aproximadamente, uma pessoa percorrerá se der 8 voltas completas em
torno de um canteiro circular de 2 m de raio.
Resolução:
Calcular quantos metros essa pessoa percorre em uma volta e depois multiplicar por 8.
C=2*π*r
C = 2 * 3,14 * 2
C = 12,56
Comprimento do percurso
C = 12,56 * 8
C = 100,48 metros
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Exemplo 2
O pneu de um veículo, com 400 mm de raio, ao dar uma volta completa, percorre quantos metros
aproximadamente?
Resolução:
Precisamos transformar 400 mm em metros, para isso basta dividirmos 400 por 1000, resultando em
0,4m. Agora basta aplicarmos a expressão do comprimento de uma circunferência.
C=2*π*r
C = 2 * 3,14 * 0,4
C = 2,512 metros
O pneu percorre aproximadamente 2,5 metros.
Exemplo 3
Um ciclista de uma prova de resistência deve percorrer 600 km sobre uma pista circular de raio 100
m. Qual o número aproximado de voltas que ele dará?
Resolução:
Calcular o comprimento da pista
C=2*π*r
C = 2 * 3,14 * 100
C = 628 metros
Convertendo 600 km em metros
Como 1 km possui 1000 metros, então 600 * 1000 = 600 000 metros
Calculando o número aproximado de voltas
Basta dividir o percurso pelo comprimento da pista:
600 000 : 628 = 955 (aproximadamente)
Portanto, o ciclista deverá dar aproximadamente 955 voltas.
EXERCÍCIOS:
1. Qual é o comprimento da circunferência de raio igual a:
a.r=5cm
b.r=3,5cm
c.r=3kcm
d.r=a/2cm
Resposta:
a - raio= 5 cm, comprimento = 10 pi cm
b - raio= 7/2 cm, comprimento = 7 pi cm
c - raio = 3k cm, comprimento = 6k pi cm
d - raio = a/2 cm, comprimento = a pi cm
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2. Uma roda gigante tem 8 metros de raio. Quanto
percorrerá uma pessoa na roda gigante em 6 voltas?
Resposta: 96 pi metros
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3. Calcular o raio de uma roda gigante que em 6 voltas
percorre uma distância de 66 metros.
Resposta: r = 5,5 pi metros
4. Dado um quadrado de perímetro 4L, obter: (a) O raio da
circunferência inscrita neste quadrado. e (b) O raio da
circunferência circunscrita ao quadrado.
Resposta:
(a) O lado do quadado mede L e o raio da circunferência inscrita é a metade
do lado, isto é r=L/2.
(b) O raio da circunferência circunscrita é a metade da diagonal do
quadrado de lado L;
r²=2(L/2)²=L²/2
r=L R[2]/2
5. No R², uma circunferência tem centro no ponto (2,1) e
passa pelo ponto (5,-3). Qual é o comprimento da
circunferência?
Resposta:
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O raio da circunferência é a distância entre o centro (2,1)
e o ponto (5,-3). Pelo teorema de Pitágoras temos:
r²=(5-2)²+(-3-1)²=9+16=25
r=5
O comprimento da circunferência é 2×5×pi=10 pi
unidades
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6. Calcular a área do círculo conhecendo-se o raio r ou o
diâmetro d.
a.r=3cm
b.d=3kR[2]cm
c.r=2R[3]cm
d.d=9cm
Resposta:
a.
r=3 cm, A=9 pi cm²
b. d=3k R[2] cm, A=½×9×k² pi cm²
c. r=2R[3] cm, A=12 pi cm²
d. d=a/2 cm, A=81/4 pi cm²
7. Calcular a área da região limitada por duas
circunferências concêntricas, uma com raio
10 cm e a outra com raio 6 cm.
Resposta:
Na figura a região está pintada de verde e sua área é a área do círculo maior
menos a área do círculo menor.
Área=pi(R²-r²)=pi(100-36)=64 pi cm²
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8. Qual é a área do círculo circunscrito em um
triângulo equilátero cujo lado mede 18 cm?
Resposta:
Na figura ao lado, seja a o apótema, r o raio e h a altura do
triângulo então, h=a+r.
18²=h²+9²
h=R[324-81]=R[243]=9 R[3]
Por outro lado, r²=9²+(h-r)²=81+h²-2hr+r²
81+243-2×9 R[3]×r=0
r=18/R[3]
Área do círculo = pi×r²=108 pi cm²
Fonte: http://soumaisenem.com.br/matematica/conhecimentos-geometricos/circulo
Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geom-areas/geom-areascirc-a.htm
Fonte: http://www.mundoeducacao.com/matematica/perimetro-circulo.htm
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