Qual é o valor de um litro de ar?
• Não é quase nada
• Mas o valor médio do ar é infinito
• O valor médio não é o valor de um litro
Quanto vale uma maçã?
•
•
•
•
Eu tenho 5 maçãs
O valor médio é 18 “vales por maçã”
Se “deitar fora” uma, fico com 4 maçãs
Como são iguais, o valor desta será o que
perco: V(5) – V(4)
• O que será isto?
• 90 “vales” – 83 “vales” = 7 “vales”
Em termos matemáticos
• Sendo que m é a quantidade disponível de
maças, o valor da última maçã vem dado
por:
• ∆V (m ) = V ( m) − V (m − 1) “vales”
Só um bocadinho?
• Qual o valor de 0,1 maçã?
• ∆ V ( m) = V ( m) − V ( m − 0,1) “vales”
• Por ser a última, está na margem
• Chama-se-lhe valor marginal
Mas eu quero “vales por litro”
• Tenho que dividir o valor pela quantidade
Vmg (m) =
∆V (m) V (m) − V (m − ∆ m)
=
∆m
∆m
Qual é o valor de um litro de ar?
Vmg ( muito ) =
V ( muito ) − V (muito − 1)
1
V (muito ) ≈ V (muito − 1)
• “vales por maçã” ou “vales por litro”
⇒ Vmg (m ) ≈ 0
1
E um bocadinho pequenino?
 V ( m) − V ( m − ∆m) 
Vmg ( m) = Lim 

∆m →0
∆m


• O que representa este limite?
Valor por unidade de um
bocadinho?
• Eu corri durante 1 s à velocidade de 36 Km
por hora.
• Telefonei durante 3 minutos ao custo de 18
Euro por hora
• Pago 10000 Euro por ano a quem me cortar
a relva numa hora.
Aproximação de Taylor de
primeira ordem (linear)
V ' ( m) =
V ( m) − V (m − dm) V ( m + dm) − V (m )
=
dm
dm
V (m + dm) = V (m ) + V ' (m)dm
O que representa o V marginal?
• Em termos matemáticos, representa a
derivada no ponto da função valor
• Em termos económicos, representa a perda
de valor por unidade de ter menos um
bocadinho da nossa coisa.
Outro exemplo
• Telefono 3 minutos e pago 0,3 Euro
– Custou-me 6 Euro à hora
• Telefono 1 minutos e pago 0,1 Euro
– Custou-me 6 Euro à hora
• Telefono 0,5 minutos e pago 0,05 Euro
– Custou-me 6 Euro à hora
Matematização da realidade
• A matematização da realidade é uma
representação conceptual que permite
avançar no estudo das implicações dos
princípios da teoria.
• E.g., se os indivíduos tiverem funções valor
côncavas, a re-distribuição aumentará o
bem-estar agregado?
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Modelos complexos?
• O grau de abstracção e complexidade do
modelo matemático deve ser o mínimo
possível para descrever a realidade com o
detalhe pretendido.
Exemplo das maçãs
• Ajusto uma função de grau 4 no Excel
• V(m) = 40,88 m –7,113 m 2 +0,612 m 3 –0,021 m 4
• Posso obter por manipulação algébrica
– O valor médio
– O valor marginal
• Se queremos maior o detalhe, precisamos de
modelos mais complexos.
• Valor
• V(m) = 40,88 m –7,113 m 2 +0,612 m 3 –0,021 m 4
• Valor médio
• Vm éd(m) = 40,88 –7,113 m +0,612 m 2 –0,021 m 3
"Vales
100 "
80
60
40
• Valor marginal
• Vmg(m) = 40,88 –14,23 m +1,84 m
V(n) = -0,0210x4 + 0,6118x3 - 7,1125x2 + 40,8784x
R2 = 0,9998
20
2 –0,084 m 3
0
• O valor médio é diferente do valor marginal
Valor e escassez
• Considerando uma mesma coisa e uma
mesma pessoa, em termos de tendência
geral, quanto maior for a escassez, menor
será o seu valor total e maior será o seu
valor marginal.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n
10
É possível trocar
• Eu em vez de consumir, posso trocar
• Trocar maçãs por morangos
• Eu vendo maçãs e compro morangos
• Em termos matemáticos,
– V’(m) > 0 e V’’(m) < 0
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Análise custo – benefício
• Eu tenho uma afectação alternativa para as
maçãs
– Como-as
– Vendo-as por morangos
• Tenho que comparar os custos com os
benefícios
Quanto me custa isso
• Passo a ter/comer apenas 4 maçãs
– Tinha V(5)0 e passo a ter V(4)0
– No modelo ajustado dá
89,94 – 83,50 = 6,44 “vales”
– No modelo original dá
90 “vales” – 83 “vales” = 7 “vales”
Vendo a maçã?
• Se eu sou maximizador, vendo a maçã se
benefício for maior que o custo
• Benefício –Custo
• 17,20 “vales” – 6,44 “vales”
• Benefício líquido= 10,76 “vales”
Análise custo – benefício
• Há outra pessoa que tem 50 morangos
• Dou aos morangos o seguinte valor
• V(n) 1 = 3,670 n – 0,0469 n 2 + 0,000204 n 3 “vales”
• Posso comprar morangos ao preço relativo
de k morangos por cada maçã
• Será que devo vender uma maçã?
Quanto beneficio com isso?
• Passo a ter/comer k morangos
– Se k = 5
– Tenho 5 morangos quando não tinha nenhum
– Ganho V(5)1 – V(5)1
17,20 – 0 = 17,20 “ vales”
Sim, dar ordem de vender
• O benefício ser maior que o custo faz com
que o valor do meu cabaz aumente (no
benefício líquido).
• De 90 “vales” passo para 100,76 “vales”
• E a outra pessoa quererá comprar?
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