ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALCÁCER DO SAL
MATEMÁTICA – Exercícios de Exames e Testes Intermédios
11º Ano
Ano Letivo de 2012/2013
Trigonometria
1 Na figura está representado o quadrado
•
•
•
•
é a amplitude, em radianos, do ângulo
Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de ,
por
Exame Matemática A – 2012, 2ª Fase
2 Na figura está representado um trapézio retângulo
Sabe-se que:
•
•
•
é a amplitude, em radianos, do ângulo
•
Mostre que o perímetro do trapézio
é dado, em função de , por
Exame Matemática A – 2012, 1ª Fase
3 Relativamente à figura 2, sabe-se que:
•
o segmento de reta
•
o ponto
•
o segmento de reta
•
o arco de circunferência
é o ponto médio de
Admita que um ponto
com
tem comprimento
é perpendicular a
tem centro em
se desloca ao longo do arco
, e que um ponto
, nunca coincidindo com
se desloca ao longo do segmento de reta
nem
de tal forma que
é sempre perpendicular a
Para cada posição do ponto
a área do triângulo
, seja
a amplitude, em radianos, do ângulo
e seja
Mostre que
Teste Intermédio 12º ano – 24.05.2012
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4 Seja um número real. Sabe-se que é uma solução da equação
Qual das expressões seguintes designa uma solução da equação
(A)
(B)
(C)
?
(D)
Teste Intermédio 11º ano – 09.02.2012
5 Considere o triângulo
representado na figura.
Sabe-se que:
•
•
Seja
Qual das expressões seguintes representa
(A)
(B)
, em função de ?
(C)
(D)
Teste Intermédio 11º ano – 09.02.2012
6 Na figura está representado, num referencial o.n.
Sabe-se que:
• o ponto
• o ponto
, o círculo trigonométrico.
tem coordenadas
tem coordenadas
Considere que um ponto
se move sobre a
circunferência.
Para cada posição do ponto
, seja
e seja
, a amplitude, em radianos, do ângulo
orientado cujo lado origem é o semieixo positivo
e cujo lado extremidade é a semirreta
Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora.
6.1 Mostre que
Sugestão: Exprima as coordenadas do ponto
em função de
e utilize a fórmula da
distância entre dois pontos.
6.2 Resolva os dois itens seguintes tendo em conta que
6.2.1
Determine os valores de
6.2.2
Para um certo valor de
, para os quais
pertencente ao intervalo
, tem-se
Determine , para esse valor de
Teste Intermédio 11º ano – 09.02.2012
7 Determine o valor de
, sabendo que
e que
Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Teste Intermédio 11º ano – 24.05.2011
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8 Na figura estão representados, num referencial o.n.
, uma circunferência e o triângulo
.
Sabe-se que:
•
é a origem do referencial;
a circunferência tem centro no ponto
•
e raio
•
é o ponto de coordenadas
•
pertence à circunferência e tem ordenada negativa;
o ângulo
•
tem amplitude igual a
Qual é a área do triângulo
(A)
(B)
radianos.
?
(C)
(D)
Exame Matemática A – 2011, Época Especial
9 Na figura está representado, num referencial o.n.
, o círculo trigonométrico.
Sabe-se que:
•
é o ponto de coordenadas
•
os pontos
•
pertencem ao eixo
é um diâmetro do círculo trigonométrico
•
•
e
as retas
e
são paralelas ao eixo
é a amplitude do ângulo
•
Qual das expressões seguintes dá o perímetro da região sombreada na figura?
(A)
(B)
(C)
(D)
Exame Matemática A – 2011, 2ª Fase
10
Na figura está representado o círculo trigonométrico.
Sabe-se que:
•
•
•
Seja
a reta é tangente à circunferência no ponto
a reta passa na origem do referencial e intersecta a reta
no ponto , cuja ordenada é
o ponto , situado no terceiro quadrante, pertence à reta
a amplitude, em radianos, do ângulo orientado, assinalado
na figura, que tem por lado origem o semieixo positivo
e por
lado extremidade a semirreta
Qual é o valor de , arredondado às centésimas?
(A)
(B)
(C)
(D)
Teste Intermédio 11º ano – 27.01.2011
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11 Na figura está representada uma circunferência de centro no ponto
e raio
Sabe-se que:
•
o ponto
pertence à circunferência;
•
os pontos
•
o ponto
está entre o ponto
•
o ponto
desloca-se ao longo da semirreta
,
,e
são colineares;
•
é a distância do ponto
•
para cada posição do ponto
e o ponto
, nunca coincidindo com o ponto
ao ponto
, o ponto
é um ponto da circunferência tal que a reta
é tangente à circunferência;
•
Seja
é a amplitude, em radianos, do ângulo
a função, de domínio
,
, definida por
Sem recorrer à calculadora, mostre que
Teste Intermédio 12º ano – 26.05.2011
12
Considere, em
, a equação trigonométrica
Em qual dos intervalos seguintes esta equação não tem solução?
(A)
(B)
(C)
(D)
Teste Intermédio 11º ano – 27.01.2011
13
Sejam ,
e três números reais.
Sabe-se que:
•
•
•
Qual das expressões seguintes é equivalente a
(A)
(B)
?
(C)
(D)
Teste Intermédio 11º ano – 27.01.2011
14
Considere, num referencial o.n.
Para um certo valor de
, a superfície esférica
pertencente ao intervalo
, o ponto
, de equação
, de coordenadas
pertence à superfície esférica
Determine os valores numéricos das coordenadas do ponto
Teste Intermédio 11º ano – 06.05.2010
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15
Na figura , está representada, em referencial o.n.
, a circunferência de centro em
e raio
Os pontos
e
e
são os pontos de intersecção da circunferência com os semieixos positivos
, respetivamente.
Considere que um ponto
se desloca ao longo do arco
nunca coincidindo com o ponto
Para cada posição do ponto
,
, nem com o ponto
, sabe-se que:
•
o ponto
é o ponto do eixo
tal que
•
a reta é a mediatriz do segmento
•
o ponto
é o ponto de intersecção da reta com o
eixo
•
Seja
é a amplitude, em radianos, do ângulo
a função, de domínio
,
, definida por
Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora.
15.1 Mostre que a área do triângulo
é dada por
15.2 Determine o valor de , pertencente ao intervalo
, para o qual se tem
15.3 Seja um número real, pertencente ao intervalo
, tal que
Determine o valor de
Teste Intermédio 11º ano – 27.01.2011
16
Na figura, estão representados, num referencial o.n.
uma circunferência e o triângulo
,
.
Sabe-se que:
•
a circunferência tem diâmetro
•
o ponto
•
o vértice
•
o ponto
tem coordenadas
do triângulo
;
;
coincide com a origem do referencial;
desloca-se ao longo da semicircunferência superior.
Para cada posição do ponto
, seja
a amplitude do ângulo
, com
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, mostre que o perímetro do triângulo
é dado, em função de
, por
Exame Matemática A – 2010, 1ª Fase
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17
Um depósito de combustível tem a forma de uma esfera.
As figuras representam dois cortes do mesmo
depósito, com alturas de combustível distintas.
Os cortes são feitos por um plano vertical que
passa pelo centro da esfera.
Sabe-se que:
•
o ponto
é o centro da esfera;
•
a esfera tem metros de diâmetro;
•
a amplitude , em radianos, do arco
é igual à amplitude do ângulo ao centro
correspondente.
A altura
, em metros, do combustível existente no depósito, em função de , por , de
domínio
Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
17.1 Mostre que
, para qualquer
17.2 Resolva a condição
,
Interprete o resultado obtido no contexto da situação apresentada.
Exame Matemática A – 2010, 2ª Fase
18
Na figura está representado um triângulo retângulo
, cujos catetos,
e
, medem unidades.
Considere que um ponto
coincidindo com
se desloca sobre o cateto
, nunca
nem com
Para cada posição do ponto
do ângulo
, seja a amplitude, em radianos,
Seja a função que, a cada valor de , faz corresponder o
perímetro do triângulo
Usando exclusivamente métodos analíticos, mostre que
Teste Intermédio 12º ano – 19.05.2010
19 Em cada uma das figuras seguintes, está representado, no círculo trigonométrico, a traço
grosso, o lado extremidade de um ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo
Em qual das figuras esse ângulo pode ter radianos de amplitude?
(A)
(B)
(C)
(D)
Teste Intermédio 11º ano – 27.01.2010
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20
Considere a equação trigonométrica
Em qual dos intervalos seguintes esta equação não tem solução?
(A)
(B)
(C)
(D)
Teste Intermédio 11º ano – 27.01.2010
21
Na figura está representado o quadrado
Considere que um ponto
se desloca ao longo do lado
nunca coincidindo com o ponto
Para cada posição do ponto
ângulo
de lado
,
, nem com o ponto
, seja a amplitude, em radianos, do
,
Resolva os três itens seguintes, sem recorrer à calculadora, a não
ser para efetuar eventuais cálculos numéricos.
21.1 Mostre que a área da região sombreada é dada por
21.2 Determine o valor de para o qual a área da região sombreada é
21.3 Para um certo valor de , sabe-se que
Determine, para esse valor de , a área da região sombreada.
Teste Intermédio 11º ano – 27.01.2010
22
Na figura está representado um triângulo inscrito numa
circunferência de centro
e raio igual a .
Um dos lados do triângulo é um diâmetro da circunferência.
Qual das expressões seguintes representa, em função de
, a
área da parte sombreada?
(A)
(B)
(C)
(D)
Exame Matemática A – 2009, 1ª Fase
23
Na figura está representado, em referencial o.n.
, o
círculo trigonométrico.
Os pontos
e
paralela ao eixo
tem
pertencem à circunferência, sendo a reta
. O ponto
pertence ao eixo
. O ângulo
de amplitude.
Qual é o perímetro do triângulo (valor aproximado às décimas) ?
(A)
(B)
(C)
(D)
Teste Intermédio 11º ano – 07.05.2009
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24
A Inês olhou para o seu relógio quando este marcava 10 h e 45 min.
Passado algum tempo, ao ver novamente as horas, a Inês concluiu que o ponteiro dos
minutos tinha rodado
radianos.
Que horas marcava o relógio da Inês, neste último instante?
(A) 11 h e 15 min
(B) 11 h e 45 min
(C) 12 h e 15 min
(D) 13 h e 45 min
Teste Intermédio 11º ano – 07.05.2009
25
Considere a equação trigonométrica
Num dos intervalos seguintes, esta equação tem apenas uma solução. Em qual deles?
(A)
(B)
(C)
(D)
Teste Intermédio 11º ano – 29.01.2009
26
Na figura estão representados, em referencial o.n.
•
o círculo trigonométrico
•
o raio
•
o arco de circunferência
deste círculo
, de centro no ponto
Tal como a figura sugere, o ponto
quadrante, os pontos
e
pertence ao primeiro
pertencem ao eixo
e a reta
é perpendicular a este eixo.
Seja a amplitude do ângulo
Qual é a abcissa do ponto
(A)
?
(B)
(C)
(D)
Teste Intermédio 11º ano – 29.01.2009
27 Relativamente à figura junta, sabe-se que:
•
o triângulo
•
o ponto
•
•
é retângulo
pertence ao cateto
designa a amplitude, em radianos, do ângulo
e
27.1 Mostre que a área do triângulo
é dada por
27.2 Determine o valor de para o qual a área do triângulo
27.3 Sabendo que
e que
é igual a
, determine o valor de
Teste Intermédio 11º ano – 29.01.2009
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28 Na figura está representado, em referencial o.n.
circunferência
, um arco de
, de centro na origem do referencial e raio igual a .
A reta tem equação
O ponto
Seja
pertence ao arco
a amplitude do ângulo
Qual das expressões seguintes dá a distância
do ponto
(A)
(C)
(B)
à reta ?
(D)
Teste Intermédio 11º ano – 06.05.2008
29
Seja
Qual das expressões seguintes designa um número positivo?
(A)
(B)
(C)
(D)
Teste Intermédio 11º ano – 06.05.2008
30
Na figura está representado o círculo trigonométrico.
Tal como a figura sugere,
pertence à circunferência,
e
é a origem do referencial,
é o ponto de coordenadas
é o ponto de coordenadas
A amplitude, em radianos, do ângulo
é
Qual é o valor, arredondado às centésimas, da área do
triângulo
(A)
?
(B)
(C)
(D)
Teste Intermédio 12º ano – 29.04.2008
31
Na figura está representado um triângulo
com dois ângulos de amplitude
e um
ângulo de amplitude .
Qual das igualdades seguintes é verdadeira, para
qualquer triângulo nestas condições?
(A)
(B)
(C)
(D)
Teste Intermédio 11º ano – 24.01.2008
32
Seja
um valor pertencente ao intervalo
.
Qual das expressões seguintes designa um número real positivo?
(A)
(B)
(C)
(D)
Teste Intermédio 11º ano – 24.01.2008
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33
Considere a equação
Qual dos seguintes valores é solução desta equação?
(A)
(B)
(C)
(D)
Teste Intermédio 11º ano – 24.01.2008
34 Na figura estão representadas, em referencial o. n.
, uma reta
e uma circunferência com centro na origem e raio igual a
Os pontos
O ponto
e
pertencem à circunferência.
também pertence ao eixo das abcissas.
Admita agora que o ponto
se desloca ao longo da
circunferência, no primeiro quadrante.
Para cada posição do ponto
, seja
a amplitude do ângulo
orientado cujo lado origem é o semieixo positivo
e cujo lado
extremidade é a semi-reta
Seja
o comprimento do segmento
34.1 Mostre que
34.2 Para uma certa posição do ponto
, tem-se
.
Sem recorrer à calculadora, determine, para este caso, o valor de .
Teste Intermédio 11º ano – 24.01.2008
35 Indique as soluções da equação
(A)
e
(B)
que pertencem ao intervalo
e
(C)
e
(D)
.
e
Teste Intermédio 11º ano – 10.05.2007
36 Na figura junta estão representados, em referencial o. n.
:
•
o círculo trigonométrico
•
a reta , de equação
•
o ângulo, de amplitude , que tem por lado origem o
semieixo positivo
•
e por lado extremidade a semi-reta
o ponto , intersecção do prolongamento da semi-reta
com a reta .
Como a figura sugere, a ordenada de
é
Sem recorrer à calculadora, determine o valor de
Teste Intermédio 11º ano – 10.05.2007
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37
Na figura está representado, em referencial o.n.
, um arco
, que está contido na circunferência de equação
O ponto
pertence ao eixo
.
e o segmento de reta
é
perpendicular a este eixo.
é a amplitude, em radianos, do ângulo
.
Qual é a expressão que dá o perímetro da região sombreada, em função de ?
(A)
(B)
(C)
(D)
Exame Matemática A – 2006, 2ª Fase
38
Na figura está representado o círculo
trigonométrico e um triângulo
O ponto
.
desloca-se ao longo da circunferência, no
primeiro quadrante.
O ponto
desloca-se ao longo do eixo
modo que o triângulo
Sendo
, de tal
é sempre isósceles.
a amplitude, em radianos, do ângulo
,
qual das expressões seguintes dá a área do triângulo
, em função de ?
(A)
(B)
(C)
(D)
Teste Intermédio 11º ano – 19.5.2006
39 Da amplitude
de um certo ângulo orientado sabe-se que
Qual das expressões seguintes dá o valor de
(A)
(B)
(C)
(D)
e
.
?
Teste Intermédio 11º ano – 19.05.2006
40 Sabe-se que
é uma solução da equação
Qual das expressões seguintes designa uma solução da equação
(A)
(B)
(C)
?
(D)
Teste Intermédio 11º ano – 19.05.2006
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41 Na figura está representado um trapézio retângulo
, cujas bases têm
e
unidades de
comprimento.
Considera que um ponto
se desloca sobre o lado
Para cada posição do ponto
, seja
Pretende-se determinar o valor de
.
a amplitude, em radianos, do ângulo
para o qual o segmento
.
divide o trapézio em duas
figuras com a mesma área.
Qual das equações seguintes traduz este problema?
(A)
(B)
(C)
(D)
Exame Matemática A – 2003, 2 Fase
42 Na figura está representado a sombreado um polígono
Tem-se que:
é um quadrado de lado
•
•
é um arco de circunferência de centro em
ponto
move-se ao longo desse arco; em
consequência, o ponto
segmento
•
;o
desloca-se sobre o
, de tal forma que se tem sempre
designa a amplitude, em radianos, do ângulo
42.1 Mostre que a área do polígono
é dada, em função de , por
Sugestão: pode ser-lhe útil considerar o trapézio
42.2 Determine
e
Interprete geometricamente cada um dos valores obtidos.
42.3 Recorra à calculadora para determinar graficamente as soluções da equação que
lhe permite resolver o seguinte problema:
Quais são os valores de
para os quais a área do polígono
é
?
Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora,
nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes
de alguns pontos. Apresente os valores pedidos na forma de dízima, arredondados às
décimas.
Exame Matemática A – 2003, 1ª Fase, 1ª Chamada
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43 Considere uma circunferência
Um ponto
e raio , tangente a uma reta .
começa a deslocar-se sobre a
circunferência, no sentido indicado pela figura.
Inicialmente, o ponto
encontra-se à distância de
unidades da reta .
Seja
a distância de
a , após uma rotação de amplitude .
Qual das igualdades seguintes é verdadeira para qualquer número real positivo ?
(A)
(B)
(C)
(D)
Exame Matemática A – 2002, 2ª Fase
44 Na figura estão representados, em referencial o. n.
trigonométrico e um triângulo
Os pontos
e
O segmento
, o círculo
.
pertencem à circunferência.
é perpendicular ao semieixo positivo
.
O ponto
é o ponto de interseção da circunferência com o semieixo
positivo
.
Seja
a amplitude do ângulo
Qual das expressões seguintes dá a área do triângulo
(A)
(B)
, em função de ?
(C)
(D)
Exame Matemática A – 2002, 1ª Fase, 2ª Chamada
45 Na figura está representada um quadrado
O ponto
lado
desloca-se sobre o lado
de lado
, o ponto
desloca-se sobre o
, de tal forma que se tem sempre
Para cada posição do ponto
, seja
.
a amplitude do ângulo
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, mostre que o do perímetro quadrilátero
é dado, em função de , por
Exame Matemática A – 2002, 1ª Fase, 1ª Chamada
46 Na figura está representado um triângulo retângulo
hipotenusa mede
.
Qual das expressões seguintes dá a área (em
) do triângulo
, em função da amplitude, , do ângulo
(A)
, cuja
(B)
?
(C)
(D)
Exame Matemática – 2000, Prova para Militares
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47 Na figura está representado um lago artificial de forma retangular.
Pretende-se construir uma ponte, ligando duas margens do
lago, entre os pontos
e
, tal como a figura ilustra.
A ponte tem um ponto de apoio
margens e a
Seja
, situado a
de uma das
da outra.
a amplitude do ângulo
47.1 Mostre que o comprimento da ponte, em metros, é dado por
47.2 Considerando que a localização de
e
pode variar, determine o comprimento da
ponte para o qual se tem
Apresente o resultado em metros, arredondado às décimas.
Exame Matemática A – 2001, Época Especial
48 Na figura estão representado, em referencial o.n.
:
•
um quarto de círculo de centro na origem e raio
•
uma semirreta paralela ao eixo
•
um ponto
•
um ângulo de amplitude , cujo lado origem é o semieixo
positivo
, com origem no ponto
pertencente a esta semirreta
e cujo lado extremidade é a semirreta
Qual das expressões seguintes dá a área da região sombreada, em
função de ?
(A)
(B)
(C)
(D)
Exame Matemática A – 2001, 1ª Fase, 2ª Chamada
49
Na figura está representada uma pirâmide quadrangular regular.
Sabe-se que:
•
A base da pirâmide tem centro
•
é o ponto médio da aresta
•
designa a amplitude do ângulo
e lado
Mostre que a área total da pirâmide é dada, em função de , por
Exame Matemática A – 2001, 1ª Fase, 1ª Chamada
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50 Considere a função
, definida por
é um trapézio isósceles; os lados
e
são paralelos.
Tem-se que:
•
•
Seja , a amplitude do ângulo do ângulo
50.1 Mostre que, para cada
50.2 Determine
, a área do trapézio é igual a
e interprete geometricamente o resultado obtido, caracterizando o
quadrilátero que se obtém para
Exame Matemática – 1999, Prova Modelo
51 Na figura
•
o triângulo
é isósceles
•
é um retângulo
•
e
designa a amplitude do ângulo
Mostre que a área do triângulo
é dada, em função de , por
(Nota: Pode ser-lhe útil reparar que
)
Exame Matemática – 1998, 2ª Fase
52 A figura representa um canteiro de forma circular com
de raio.
O canteiro tem uma zona retangular, que se destina à plantação de flores, e uma zona
relvada, assinalada a sombreado na figura.
Os vértices
,
,
e
do retângulo pertencem à circunferência que
limita o canteiro.
Na figura também estão assinalados:
•
dois diâmetros da circunferência,
e
, que contêm os
pontos médios dos lados do retângulo
•
o centro
•
o ângulo
da circunferência
Mostre que a área (em
, de amplitude
) da zona relvada é dada, em função , por
Exame Matemática – 1998, 1ª Fase, 2ª Chamada
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53 Duas povoações
e
, distanciadas
uma da outra,
estão a igual distância de uma fonte de abastecimento de
água, localizada em
.
Pretende-se construir uma canalização ligando a fonte às duas
povoações, como se indica na figura. A canalização é
formada por três canos: um que vai da fonte
e dois que partem de
e de
, um para
até um ponto
e outro para
. O ponto
está a igual distância de
.
Tem-se ainda que:
•
•
o ponto
, ponto médio de
, dista
de
é a amplitude do ângulo
53.1 Tomando para unidade o quilómetro, mostre que o comprimento total da
canalização é dado por
(Sugestão: Comece por mostrar que
53.2 Calcule
e que
)
e interprete o resultado obtido, referindo a forma da canalização e
consequente comprimento.
Exame Matemática – 1998, 1ª Fase, 1ª Chamada
54 Considere a função
definida em
Mostre que, para qualquer
área de um triângulo
•
•
•
•
por
,
éa
, em que
é a amplitude do ângulo
;
;
é a altura relativa ao vértice
;
.
Exame Matemática – 1998, Prova Modelo
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