Lista de Cálculo Numérico: Interpolação
Prof: Fernando Tosini
1. Dada a função f (x) = 10x4 + 2x + 1, com os valores de f (0.1) e f (0.2). Determinar o valor
aproximado de f (0.15) e o erro de truncamento cometido.
2. Dada a função f (x) = 10x4 + 2x + 1, com os valores de f (0.1), f (0.2) e f (0.3). Determinar o
valor aproximado de f (0.15) e o erro de truncamento cometido.
3. A tabela abaixo dá o volume de água num tanque elástico (usado para transporte de óleo, leite,
etc. em caminhões) para várias coras de água.
X(m)
Y(m3 )
0.1
1.1052
0.6
1.8221
1.1
3.0042
1.6
4.9530
2.1
8.1662
Usando interpolação quadrática, determinar Y(0.12).
4. A tabela abaixo relaciona o calor especı́fico da água em função da temperatura. Calcular o calor
especı́fico da água a uma temperatura de 25◦ C, usando um polinômio interpolador de 3o grau
pela fórmula:
Temperatura ◦ C
20
30
45
55
Calor Especı́fico
0,99907
0,99826
0,99849
0,99919
(a) De Lagrange;
(b) De Newton;
(c) Comparar os resultados obtidos com o valor real 0, 99852.
5. É dada abaixo a máxima demanda diária de energia elétrica numa cidade.
Data
Demanada Pico (Mw)
21 janeiro
10
31 janeiro
15
10 fevereiro
20
20 fevereiro
13
(a) Determinar o polinômio de Lagrange de 3o grau que interpola em pontos e a data de pico
máximo.
∫
b
f (x)dx
a
(b) Determinar a demanda média: DM =
entre 21 de janeiro e 20 de fevereiro.
b−a
(c) Determinar, usando o polinômio de Newton de 3o grau, a demanda de 14 fevereiro.
1
6. A velocidade v (em m/s) de um foguete lançado do solo foi medida quatro vezes, t segundos
após o lançamento os dados foram registrados na tabela abaixo. Calcular usando um polinômio
de 4o grau, a velocidade aproximada do foguete após 25 segundos do lançamento.
Tempo (s)
Velocidade (m/s)
0
0,0000
8
52,032
20
160,450
30
275,961
45
370,276
7. Um projétil foi lançado de um ponto tomado como origem, conforme a figura abaixo.
Através de uma câmera fotografou-se o projétil a 10 m do ponto de lançamento e foi determinada
sua altitude no local: 6 m.
Uma barreira a 20 m do ponto de lançamento interceptou-o e aı́ foi determinada sua altitude:
4 m.
Com estes três pontos, é possı́vel interpolar a trajetória do projétil. Comparando a equação
teórica da trajetória com a obtida pela interpolação, é possı́vel determinar os parâmetros de
lançamento: o ângulo θ com a horizontal e a velocidade v0 . Assim:
(a) Determine o polinômio interpolador.
(b) Determine θ e v0 , sabendo que a equação da trajetória é dada por:
y = x tan(θ) −
gx2
2v02 cos2 (θ)
Onde g = 9.8 m/s2 .
8. Um veı́culo de fabricação nacional, após vários testes, apresentou os resultados abaixo, quando
se analisou o consumo de combustı́vel de acordo com a velocidade média imposta ao veı́culo. Os
testes foram realizados em rodovia em operação normal de tráfego; numa distância de 72 km.
2
Velocidade (km/h)
55
70
85
100
120
140
Consumo (km/l)
14.08
13.56
13.28
12.27
11.30
10.40
Usando a interpolação de Newton, verificar o consumo aproximado para o caso de ser desenvolvida a velocidade de 80 km/h.
9. Um pára-quedista realizou sei saldos; saltando de alturas distintas em cada salto, foi testada a
precisão de seus saltos em relação a um alvo de “raio de 5m”, de acordo com a altura. A distância
apresentada na tabela abaixo é relativa à circunferência.
Altura (m)
1o salto - 1500
2o salto - 1250
3o salto - 1000
4o salto - 750
5o salto - 500
Distância do Alvo (m)
35
25
15
10
7
Levando em consideração os dados acima, a que provável distância do alvo cairia o pára-quedista
se ele saltasse de uma altura de 850 m? Utilize interpolação polinomial de Gregory-Newton.
10. Uma barra de metal encontra-se presa em duas paredes separadas pela distância de 12 m. A 5 m
da parede A conforme a figura a abaixo, um corpo apoiado sobre a barra faz com que esta toque
no solo. Os pontos de engate nas duas paredes estão a 8m (parede A) e 3 m (parede B) do solo,
conforme mostra a figura a seguir.
Usando interpolação polinomial de Newton podemos estimar:
(a) A altura, em relação ao solo, de um ponto da barra localizado a 2 m da parede A;
(b) Qual deve ser a altura da barra no ponto localizado a 2 m da parede A, para que o trecho
compreendido até 5m da mesma seja representado por um polinômio de grau um.
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11. Os pontos a seguir relacionam a solubilidade, S, da água no óleo mineral, em partes por milhão,
com a temperatura, t, em graus centı́grados. Utilizando interpolação polinomial de GregoryNewton, estime o valor de t quando S = 200 ppm.
Solubilidade
Temperatura
30
15
130
50
230
66
330
76
12. Uma hidroelétrica tem capacidade máxima de 60 MW, que é determinada por três geradores de
30 MW, 15 MW e 15 MW, respectivamente. A demanda de energia varia num ciclo de 24h, sendo
que a demanda mı́nima ocorre entre 2h e 5h e a máxima entre 14h e 17h. Utilizando interpolação
polinomial, método das diferenças finitas ascendentes, estime a demanda mı́nima e a máxima e o
horário em que cada uma ocorre, considerando os dados a seguir.
i
Horas xi
Demanda yi
i
Horas xi
Demanda yi
0
2
16,4
0
14
36,5
1
3
15,2
1
15
43,0
2
4
14,9
2
16
34,0
3
5
16
3
17
31,2
4
Respostas
1. P1 (0.15) = 1.3085 e ET (0.15) = 0.0034
2. P2 (0.15) = 1.302 e ET (0.15) = 0.0028
3. P2 (0.12) = 1.1112026
4. (a) P3 (25) = 0.99854
(b) P3 (25) = 0.99854
(c)
5. (a) P3 (x) = −0.0020x3 + 0.1860x2 − 5.0660x + 52.8820
x = 41.8012 que significa, que a data de pico máximo será 10 de fevereiro, às 19 horas, 13
minutos e 43 segundos;
(b) DM = 16
(c) P3 (14) = 19.3120
6. P4 (25) = 217.4961 m/s
7. (a) P2 (x) = −0.04x2 + 1x
(b) θ = 45◦ e v0 = 15.652 m/s
8. P5 (80) = 13.4667 km/l
9. P4 (850) = 11.4128
10. (a) P (2) = 3.786 m
(b) y = 4.8 m
11. P (200) = 62.4◦ C
12. Dem. Mı́nima: P (3.79) = 14, 85 MW horário: 3h e 48 min
Dem. Máxima: P (14.74) = 43, 68 MW horário: 14h e 44 min
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