INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
1) O problema da interpolação: considerando uma função y = f(x),
definida na tabela:
x y = f(x)
3,0
5,5
3,5
9,8
5,0
15,0
7,3
21,4
9,0
32,0
11,5 53,0
f(6) = ?  Problema de interpolação
f(2) = ?  Problemas de extrapolação
f(13) = ?
2) Definição geral de interpolação: considerando-se a função y = f(x)
definida pelos pontos (x0, y0), (x1, y1),..., (xn, yn). Interpolar a função
f(x) significa escrever uma função g(x) tal que:
g(x0) = f(x0)
g(x1) = f(x1)

g(xn) = f(xn)
= y0
= y1

= yn
3) Interpolação polinomial: g(x)  polinômio
Motivação: teorema de weirtrass:
“Qualquer função pode ser arbitrariamente aproximada
por um polinômio”.
Resultado: Para n+1 pontos de uma função, o polinômio
interpolador tem grau n. Desta forma está garantida a existência do
polinômio e sua unicidade.
Ou seja:
i
0
1
2

n
xi yi
x0
x1
x2

xn
= f(xi)
y0
y1
y2

yn
Pn (x)  a 0  a1x  a 2 x 2    a n 1x n 1  a n x n
Demonstração do resultado: Considerando-se uma “interpolação
quadrática”. Isto é, serão considerados três pontos de uma função
qualquer (a generalização é imediata):
xi
yi = f(xi)
x0
y0
x1
y1
x2
y2
Então o polinômio interpolador para este conjunto de pontos
tem grau 2:
P2 (x)  a 2 x 2  a1x  a 0
Este polinômio deve ser tal que:
P2 ( x 0 )  y0
P2 ( x1 )  y1
P2 ( x 2 )  y 2
(1)
Ou,
a 2 x 02  a1x 0  a 0  y0
a 2 x12  a1x1  a 0  y1
a 2 x  a 1x 2  a 0  y 2
(2)
2
2
O último sistema tem como matriz dos coeficientes das
variáveis:
 x 02

M   x12
 x 22

x 0 1

x1 1
x 2 1
que é conhecida como matriz de Vandermonde. Seu determinante é
dado por:
det(M)  (x 0  x1 )(x 0  x 2 )(x1  x 2 )
mas, como x0, x1 e x2 são pontos de uma função, eles são distintos
entre si. Assim det(M) ≠ 0. Como o determinante da matriz dos
coeficientes das variáveis do sistema (2) não é zero, isto significa que
este sistema tem uma única solução. Ou seja, apenas um trio de
valores para a0, a1 e a2 que verifica as identidades (1).
Exemplo: Escrever o polinômio interpolador para o conjunto de
pontos de uma função y = f(x), dados na tabela a seguir. Estimar o
valor de f(1), usando este polinômio.
x
y = f(x)
-1
15
Resolução:
0
8
Deve
3
-1
ser
escrito
um
polinômio
de
grau
2,
P2 (x)  a 2 x  a1x  a 0 , tal que:
2
P2 (1)  15
P2 (0)  8
P2 (3)  1
Isto é:
a 2 (1) 2  a1 (1)  a 0  15
a 2  a1  a 0  15
a 2 (0) 2  a1 (0)  a 0  8

9a 2  3a1  a 0  1
a 2 (3) 2  a1 (3)  a 0  1
Este sistema tem como solução: a 2
O polinômio interpolador é, então:
P2 (x)  x 2  6x  8
e
a0  8
 1, a1  6 e a 0  8 .
P2 (1)  1  6  8  3
POLINÔMIO INTERPOLADOR DE LAGRANGE
- Polinômio de Lagrange para uma interpolação
considerando-se três pontos de uma função y = f(x).
xi
yi = f(xi)
x0
y0
Proposta:
independentes:
x1
y1
quadrática:
x2
y2
escrevendo-se
p 02 ( x )  x  x 1 x  x 2 
p12 ( x )  x  x 0 x  x 2 
p 22 ( x )  x  x 0 x  x 1 
os
polinômios
linearmente
Obs.: cada polinômio pode ser
representado pelo produtório:
p i2 ( x )   x  x j 
2
j0
( ji )
O espaço vetorial dos polinômios de grau 2 tem dimensão 3.
Isto quer dizer que qualquer conjunto com 3 polinômios de grau 2,
linearmente independentes, é uma base deste espaço vetorial. Assim,
se o conjunto p 02 , p12 , p 22 representa uma base, todo polinômio de grau
2 pode ser escrito como combinação linear destes três polinômios:


P2 (x)  k 0 p02 (x)  k1p12 (x)  k 2 p22 (x)
(1)
Determinação de k0, k1 e k2: para que este seja o polinômio
interpolador para os pontos da tabela:
P2 (x 0 )  y0
 k 0 p02 (x 0 )  k1p12 (x 0 )  k 2 p 22 (x 0 )  y0
y
k 0 p 02 ( x 0 )  0  0  y 0  k 0  0 0
p2 (x 0 )
P2 (x1 )  y1 
P2 (x 2 )  y2
k 0p02 (x1 )  k1p12 (x1 )  k 2 p22 (x1 )  y1
y
0  k1p12 ( x1 )  0  y1  k1  1 1
p 2 ( x1 )
 k 0 p02 (x 2 )  k1p12 (x 2 )  k 2 p 22 (x 2 )  y 2
y
0  0  k 2 p 22 ( x 2 )  y 2  k 2  2 2
p2 (x 2 )
Substituindo-se em (1):
p 02 ( x )
p12 ( x )
p 22 ( x )
P2 ( x )  y 0 0
 y1 1
 y2 2
p2 (x 0 )
p 2 ( x1 )
p2 (x 2 )
pi2 ( x )
P2 ( x )   yi i
p2 (x i )
i 0
2
(2)
Mas, sabe-se:
p i2 ( x )   x  x j 
E, assim:
p ( x i )   x i  x j 
2
j0
( ji )
2
i
2
substituindo em (2):
j0
( ji )
 x  x 
2
j
2
P2 ( x )   y
i 0
j0
( ji )
i 2
 x
i
 xj
2
2
i 0
j0
( ji )
  yi 
(x  x j )
(x i  x j )
j0
( ji )
Este é o polinômio interpolador de lagrange de grau 2. Que também
pode ser apresentado da seguinte maneira:
Definindo-se a função Li(x):
2
Li ( x )  
j0
( ji )
(x  x j )
(x i  x j )
Escreve-se o polinômio de Lagrange de grau 2:
2
P2 ( x )   yi Li ( x )
i 0
GENERALIZAÇÃO:
Sejam n+1 pontos de uma função y = f(x):
xi
yi = f(xi)
x0
y0
x1
y1
x2
y2
...
...
xn
yn
O polinômio interpolador de Lagrange para este conjunto de
pontos é:
n
Pn ( x )   yi Li ( x )
i 0
onde,
n
Li ( x )  
j0
( ji )
(x  x j )
(x i  x j )
EXEMPLO: um carro viajando ao longo de uma estrada reta é
cronometrado em vários pontos. Os dados tirados das observações
são fornecidos na tabela a seguir, onde o tempo é expresso em
segundos, a distância em pés e a velocidade em pés por segundo.
Tempo (s)
Distância (ft)
Velocidade (ft/s)
0
0
75
2
225
77
5
383
80
8
623
74
13
993
72
a) Estimar o valor da velocidade do carro após 4 segundos do
início da cronometragem;
b) Estimar a distância percorrida pelo carro no momento em que
o cronômetro marcava 10 segundos.
Em ambos os quesitos usar 4 pontos da tabela.
Resolução: nos dois quesitos deve ser usado um polinômio de grau 3.
O polinômio a ser usado é o polinômio interpolador de Lagrange.
a) Neste quesito serão usados os primeiros 4 pontos da tabela:
Tempo (s)
Velocidade (ft/s)
0
75
2
77
5
80
8
74
Usando os termos usuais, variável independente x e y como variável
dependente (y = f(x) ), esta tabela pode ser escrita:
x
0
2
5
8
y = f(x)
75
77
80
74
E, assim, o objetivo aqui é estimar o valor de f(4), aproximando-o
por um polinômio de grau 3: f(4)P3(4).
Polinômio de lagrange para 4 pontos:
3
P3 ( x )   yi Li ( x )
i 0
P3 (x)  y0 L0 (x)  y1L1 (x)  y2 L2 (x)  y3L3 (x)
P3 (x)  75L0 (x)  77L1 (x)  80L2 (x)  74L3 (x)
Em x = 4:
P3 (4)  75L0 (4)  77L1 (4)  80L2 (4)  74L3 (4)
Determinação dos valores das funções L:
( x  x1 ) ( x  x 2 ) ( x  x 3 )

 L0 (x)  (x  x ) (x  x ) (x  x )
0
1
0
2
0
3



(4  2) (4  5) (4  8)
 0,10
L 0 (4) 
(
0

2
)
(
0

5
)
(
0

8
)

(x  x 0 ) (x  x 2 ) (x  x 3 )

L
(
x
)

1

( x1  x 0 ) ( x1  x 2 ) ( x1  x 3 )



(4  0) (4  5) (4  8)
 0,44
 L1 (4) 
(
2

0
)
(
2

5
)
(
2

8
)

( x  x 0 ) ( x  x1 ) ( x  x 3 )

L 2 ( x )  ( x  x ) ( x  x ) ( x  x )
2
0
2
1
2
3



(4  0) (4  2) (4  8)
 0,71
 L 2 (4) 
(
5

0
)
(
5

2
)
(
5

8
)

( x  x 0 ) ( x  x1 ) ( x  x 2 )

L
(
x
)

3

( x 3  x 0 ) ( x 3  x1 ) ( x 3  x 2 )



(4  0) (4  2) (4  5)
 0,06
L3 (4) 
(
8

0
)
(
8

2
)
(
8

5
)

Em (*):
P3 (4)  75(0,10)  77(0,44)  80(0,71)  74(0,06)  78,74
Ou seja, a velocidade após 4 segundos era de 78,74 ft/s.
(*)
b) Neste quesito serão usados os últimos 4 pontos da tabela:
Tempo (s)
Distância (ft)
2
225
5
383
8
623
13
993
A tabela agora fica:
x y = f(x)
2
225
5
383
8
623
13
993
O objetivo aqui, então, é estimar o valor de f(10), aproximando-o por
um polinômio de grau 3: f(10)P3(10).
O polinômio de lagrange para 4 pontos:
3
P3 ( x )   yi Li ( x )
i 0
P3 (x)  y0 L0 (x)  y1L1 (x)  y2 L2 (x)  y3L3 (x)
P3 (x)  225L0 (x)  383L1 (x)  623L2 (x)  993L3 (x)
Em x = 10:
P3 (10)  225L0 (10)  383L1 (10)  623L2 (10)  993L3 (10)
Determinação dos valores das funções L:
( x  x1 ) ( x  x 2 ) ( x  x 3 )

L
(
x
)

0

( x 0  x1 ) ( x 0  x 2 ) ( x 0  x 3 )



(10  5) (10  8) (10  13)
 0,15
L 0 (10) 
(
2

5
)
(
2

8
)
(
2

13
)

(**)
(x  x 0 ) (x  x 2 ) (x  x 3 )

L
(
x
)

1

( x1  x 0 ) ( x1  x 2 ) ( x1  x 3 )



(10  2) (10  8) (10  13)
 0,67
L1 (10) 
(5  2) (5  8) (5  13)

( x  x 0 ) ( x  x1 ) ( x  x 3 )

L
(
x
)

2

( x 2  x 0 ) ( x 2  x1 ) ( x 2  x 3 )



(10  2) (10  5) (10  13)
 1,33
L 2 (10) 
(
8

2
)
(
8

5
)
(
8

13
)

( x  x 0 ) ( x  x1 ) ( x  x 2 )

L
(
x
)

3

( x 3  x 0 ) ( x 3  x1 ) ( x 3  x 2 )



(10  2) (10  5) (10  8)
 0,18
L3 (10) 
(13  2) (13  5) (13  8)

Em (**):
P3 (10)  225(0,15)  383(0,67)  623(1,33)  993(0,18)  784,47
Ou seja, a distância percorrida após 10 segundos foi de 784,47 ft.