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Questão 4
a) Sendo i a unidade imaginária, determine as partes real e imaginária do número complexo
1
1
–
+ i.
z0 =
1 + i 2i
b) Determine um polinômio de grau 2, com coeficientes inteiros, que tenha z0 como raiz.
c) Determine os números complexos w tais que z0 ⋅ w tenha módulo igual a 5 
2 e tais que as partes real e
imaginária de z0 ⋅ w sejam iguais.
d) No plano complexo, determine o número complexo z1 que é o simétrico de z0 com relação à reta de equação
y – x = 0.
Resolução
a) Vamos inicialmente escrever z0 na forma algébrica
1
1
–
+i
z0 =
1 + i 2i
1
1–i – 1 i
1
•
• + i ∴ z0 = + i
z0 =
1+i
1 – i 2i i
2
1
Assim, a parte real de z0 é , e a parte imaginária é 1.
2
1
Resposta: e 1
2
b) Como queremos um polinômio de grau 2 com coeficientes inteiros (e portanto reais), do qual z0 é raiz,
1
–
temos que a outra raiz é z0 = 2 – i.
Assim, o polinômio pedido é da forma
1
1
P(x) = a(x – – i) x – + i , com a constante a não nula.
2
2
5
P(x) = a x2 – x +
4 Para que esse polinômio tenha coeficientes inteiros, basta que a seja um múltiplo de 4.
Logo, um polinômio que satisfaz as condições acima é
5
P(x) = 4 x2 – x +
4 P(x) = 4x2 – 4x + 5
(
(
(
)
)
)
c) Como |z0 • w| = 52 e z0 • w = a + ai, com a ∈ , temos:
a2 + a2 = 52
2a2 = 25 • 2 ∴ a = 5 ou a = –5
Desse modo, temos:
z0 • w = 5 + 5i
(1)
ou
z0 • w = –5 – 5i (2)
•Para (1), temos:
z0 • w = 5 + 5i
w=
⇒
( 12 + i ) w = 5 + 5i
5 + 5i
1
+i
2
Efetuando a divisão, obtemos
w = 6 – 2i
•Para (2), temos:
z0 • w = –5 – 5i
1
+ i w = –1 • (5 + 5i)
2
5 + 5i
w = –1 •
1
+i
2
(
)
w = –1 • (6 – 2i)
w = –6 + 2i
Resposta: Os números complexos w são 6 – 2i e –6 + 2i
d) Como os afixos de z0 e z1 são simétricos em relação à reta de equação y – x = 0 (reta suporte das bissetrizes
do 1o e do 3o quadrante), temos que
•a parte real de z1 é igual à parte imaginária de z0 e,
•a parte imaginária de z1 é igual à parte real de z0.
1
Assim, z1 = 1 + i
2