1
1.1
Aproximações Lineares e Polinômios de Taylor
Aproximações Lineares
Começamos por um exemplo já discutido anteriormente:
Example 1 Seja C (x) = 920 + 2x − 0, 02x2 + 0, 00007x3 o custo total de produzir x Kg de um
certo produto. Pede-se:
a) Calcular o custo marginal C´(x)
C´(x) = 2 − 0, 04x + 0, 00021x2
b) Calcule C (100) e C´(100)
C (100) = 920 + 200 − 200 + 70 = 990
C´(100) = 2 − 4 + 2, 1 = 0, 1
c) Encontre a reta tangente ao gráfico de C (x) em x = 100
y − y0 = m (x − x0 )
y − C (100) = C´(100) (x − 100)
y = C (100) + C´(100) (x − 100)
(neste caso em particular, y = 990 + 0, 1 (x − 100) — nem vale a pena simplificar mais!)
d) Use a reta tangente para estimar C (99), C (101) e C (102)
Seja L (x) = 990 + 0, 1 (x − 100). Note que
L (99) = 990 − 0, 01 = 989, 99 ≈ C (99)
L (101) = 990 + 0, 01 = 990, 01 ≈ C (101)
L (102) = 990 + 0, 02 = 990, 02 ≈ C (102)
y 1005
1000
995
990
985
980
60
80
100
120
140
x
C (x) e sua aproximação linear L (x) no ponto x = 100
1
Definition 2 A função L (x) é chamada de APROXIMAÇÃO LINEAR DE C (x) em x =
100 ou LINEARIZAÇÃO DE C (x) em x = 100. Em geral:
L (x) = f (x0 ) + f´(x0 ) (x − x0 )
Exercise 3 Estime e0,03 .
Solution 4 Seja f (x) = ex . A aproximação linear de f (x) no ponto x = 0 é
L (x) = f (0) + f´(0) (x − 0)
Como f (0) = 1 e f´(x) = ex (portanto f´(0) = 1), temos
L (x) = 1 + x
Assim, L (0, 03) = 1, 03 ≈ e0,03 . Compare com o valor de e0,03 obtido num computador:
e0,03 = 1, 030454534
Esta aproximação simples já acertou 3 casas decimais!
y 2.5
y 12
2.0
11
1.5
10
1.0
9
0.5
8
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
f (x) = ex e L (x) = 1 + x
√
Exercise 5 Estime 100, 04.
√
Solution 6 Seja f (x) = x. Então f´(x) =
a linearização de f (x) em x = 100 é
7
1.0
x
0,04
20
60
f (x) =
1
√
2 x
L (x) = 10 +
Assim, L (100, 04) = 10 +
50
70
80
90 100 110 120 130 140 150
√
x e L (x) = 10 +
x
1
20
e portanto f (100) = 10 e f´(100) =
1
(x − 100)
20
√
= 10, 002 ≈ 100, 04. De fato, o computador diz que
100, 04 = 10, 0019998
Nada mal!
2
(x − 100)
1
20 .
Assim,
1.2
Diferencial
Por uma questão de notação, é comum definir as variáveis
dx = x − x0
dy = L (x) − L (x0 )
∆y = f (x) − f (x0 )
Usando estas variáveis, a aproximação linear de f em x = x0 pode ser expressa como
dy = f´(x0 ) .dx
Note: dx e dy representam quantidades medidas na reta tangente, enquanto ∆y é medido usando
a função original f . O que fizemos nos itens anteriores foi estimar ∆y calculando, em seu lugar,
dy.
Exercise 7 Se o lado L de um quadrado é medido com um erro relativo de 5%, qual o erro relativo
em sua área A = L2 .
Solution 8 Note que não sabemos qual é o lado L do quadrado, e portanto não temos como calcular
dL. No entanto, uma aproximação via reta tangente nos dá:
dA = 2L.dL
Interprete isto! Isto nos dá a relação entre o erro no cálculo da Área e o erro na medição do
Lado, para ESTE lado desconhecido L, e mesmo assim tudo isto é apenas uma aproximação via
reta tangente! De qualquer forma, esta aproximação nos dá
dL
dA
2LdL
=2
=
A
L2
L
Note que não sabemos dA nem dL, mas
lado, isto é, dL
L = 5%. Assim
dL
L
é exatamente o erro relativo (máximo) na medida do
dA
= 10%
A
é o erro relativo (máximo, aproximado) no cálculo da área.
Exercise 9 Você tem de produzir uma esfera metálica de um certo raio. Infelizmente, medir diretamente o raio de uma esfera sólida é complicado (pense nisso). Medir o volume é mais simples:
você pode mergulhá-la num tanque cheio de água e medir o volume da água que transbordou, e daí
tirar o raio via
4
V = πR3
3
Pergunta-se: se o erro relativo no cálculo do volume é de 9%, qual é o erro relativo que você estima
para o cálculo do raio?
Solution 10 Pela aproximação linear, temos
dV = 4πR2 .dR
3
Portanto
Isto é, se
dV
dR
4πR2
= 4 3 dR = 3
V
R
3 πR
dV
V
= 9%, tem-se
dR
= 3%
R
Então não só é mais fácil calcular o raio assim, mas o erro relativo é
do volume!
1.3
1
3
do erro relativo no cálculo
Polinômios de Taylor
Note que a linearização
L (x) = f (x0 ) + f´(x0 ) (x − x0 )
é a única função afim (isto é, polinômio de grau ≤ 1) que concorda com a função f (x) e com sua
derivada no ponto x0 , isto é
L (x0 ) = f (x0 )
L´(x0 ) = f´(x0 )
Perguntamos: seria possível fazer com que L (x) também ”concordasse” com a segunda derivada
de f (x) no ponto x0 (isto é, fazer com que L (x) ”curve” também como f )? É fácil ver que isto
não é possível usando uma aproximação linear do tipo L (x) = Ax + B, pois então L´(x) = 0...
Mas e se usássemos uma quadrática?
PERGUNTA: Dada uma função f (x) e um ponto a, poderíamos encontrar uma
função quadrática
p2 (x) = Ax2 + Bx + C
tal que
p2 (a) = f (a)
p2´(a) = f´(a)
p2´(a) = f´´(a)
Vejamos... isto significa que
Aa2 + Ba + C = f (a)
2Aa + B = f´(a)
2A = f´´(a)
Hmmmm... lembre que as incógnitas aqui são A, B e C! Podemos achar A da última equação,
substituir na de cima, achar B, substituir de novo, achar C. Não vamos fazer estas contas, mas
acho que está claro que a resposta é SIM.
Fizemos as contas para você, completamos quadrados, rearrumamos tudo... O polinômio ficou
assim
f´´(a)
p2 (x) = f (a) + f´(a) (x − a) +
(x − a)2
2
4
Este é o chamado polinômio de Taylor de grau 2 de f (x) no ponto a. Tente convencer-se a
partir desta fórmula de que as primeira e segunda derivadas de p2 no ponto a são iguais às de f de
fato. Viu?
Example 11 Estime e0,03 usando uma aproximação quadrática em x = 0.
Como antes, tomamos f (x) = ex e a = 0. Então f´(x) = ex , f´´(x) = ex e f (0) = f´(0) = f´´(0).
Em suma
x2
p2 (x) = 1 + x +
2
Portanto
0, 0009
p2 (0, 03) = 1 + 0, 03 +
= 1, 03045
2
Você ainda se lembra de e0,03 = 1, 030454534? Uau! Temos 5 casas decimais corretas!
y 2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
f (x) = ex , L (x) = 1 + x e p2 (x) (tracejado)
1.4
Por que parar em grau 2? Por que não grau n?
De fato (tente adivinhar...)
pn (x) = f (a) + f´(a) (x − a) +
f´´(a)
f´´(a)
f (n) (a)
(x − a)2 +
(x − a)3 + ... +
(x − a)n
2!
3!
n!
é o único polinômio de grau menor ou igual a n que satisfaz
pn (a) = f (a)
pn´(a) = f´(a)
pn´(a) = f´´(a)
...
p(n)
(a)
=
f (n) (a)
n
(convença-se disto olhando a fórmula acima). Ele é chamado polinômio de Taylor de f de grau
n em x = a.
5
Example 12 Seja f (x) = ex e tome a = 0. Como f (n) (0) = e0 = 1 para todo n, o polinômio de
Taylor de grau n será
x2 x3
xn
pn (x) = 1 + x +
+
+ ... +
2!
3!
n!
0,03
Usando ordem 3, já temos 7 casas decimais corretas para e :
T3 (0, 03) = 1 + 0, 03 +
0, 0009 0, 000027
+
= 1, 0304545
2
6
Proposition 13 Seja f (x) uam função cujas n + 1 primeiras derivadas são contínuas em volta de
x = a e pn (x) o seu polinômio de Taylor. Então
f (n+1) (a)
f (x) − pn (x)
f (x) − pn (x)
= 0 e lim
=
n
n+1
x→a
x→a (x − a)
(n + 1)!
(x − a)
lim
Proof. Basta notar que todos os limites abaixo podem ser obtidos usando L´Hôspital (pois
todos tão indeterminações do tipo 0/0)
lim
x→a
f (x) − pn (x)
(x − a)n+1
=
... =
f ′ (x) − p′n (x)
f ′′ (x) − p′′n (x)
= ...
n = lim
x→a (n + 1) (x − a)
x→a (n + 1) n (x − a)n−1
lim
(n)
f (n) (x) − pn (x)
f (n+1) (x) − p(n+1) (x)
= lim
x→a (n + 1)! (x − a)
x→a
(n + 1)!
lim
No entanto, p(n+1) = 0 (pois p é um polinômio de grau n), obtendo o resultado indicado. O outro
limite agora sai fazendo
f (x) − pn (x)
f (x) − pn (x)
f (n+1) (a)
=
lim
(x
−
a)
=
0.
=0
x→a
x→a
(n + 1)!
(x − a)n
(x − a)n+1
lim
Este resultado indica que, em geral, quanto mais termos colocarmos no polinômio de Taylor
melhor será a aproximação (pelo menos perto de x = a)... mas aí o polinômio de Taylor pode ficar
tão complicado que talvez seja melhor calcular a função f diretamente (com auxílio de calculadora,
talvez)!
Por outro lado... Pense bem: como é que a sua calculadora calcula e0,03 ??? Pense.... Como?
Digo a você: sua calculadora usa um polinômio de Taylor (com muitos termos, suficientes para
conseguir a precisão de 8 ou 10 casas decimais de sua calculadora)!!!! Afinal, calculadoras e computadores só sabem originalmente multiplicar e somar — que são as operações que você vê num
polinômio!
Pense.... Como a calculadora faz sin (1, 23)? Desenha uma figurinha com 1, 23 radianos no
ângulo medidos com um bom transferidor e calcula o seno no círculo trigonométrico?? Não! Sua
calculadora usa um polinômio de Taylor para o seno (o veremos em breve), com muitos termos,
suficientes para a precisão desejada!!!
Legal, né?
6