XXX Olimpı́ada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica Universidade Estadual de Campinas Gabarito da Prova da Primeira Fase – Nı́vel Beta 1 XXX Olimpı́ada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica Universidade Estadual de Campinas Questão 1 20 pontos Um carpinteiro possui uma prancha de madeira com 80 cm de comprimento e 30 cm de largura. Determine como deverá cortar essa peça em duas peças iguais de modo que juntas formem uma peça com 120 cm de comprimento e 20 cm largura. 20 cm Resolução A peça de 80 × 30 centı́metros quadrados deve ser cortada como ilustra a figura abaixo. 40 cm 20 cm 40 cm As duas peças estão ilustradas na figura abaixo. 40 cm 120 cm 2 20 cm As duas peças devem ser encaixadas como ilustra a figura abaixo, formando uma peça de 120 × 20 centı́metros quadrados. XXX Olimpı́ada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica Universidade Estadual de Campinas Questão 2 20 pontos De um retângulo cujos lados medem a e b centı́metros, com 0 < b ≤ a, são retirados dois triângulos equiláteros cujos lados medem b centı́metros, como ilustra a figura abaixo. Entre todas as figuras construı́das desse maneira, com perı́metro fixo medindo 20 centı́metros, determine aquela de área máxima. ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ....... .... ......... . . . . . . . . . . . . . . . . ...... ......... ......... . . . . . . . . ...... ........ ........ b ... ......... ......... . . . . . . . ...... ......... ......... . . . . . . . . ........ ......... ............... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... ....... a Resolução Vamos denotar por AT a área do triângulo equilátero, como indicado na figura acima, por AR a área do retângulo e por AF a área da figura, isto é, √ √ 3 2 3 2 b , AR = ab e AF = ab − b . AT = 4 2 O perı́metro da região é dado por: ⇐⇒ P = 2a + 4b = 20 a = 10 − 2b . Substituindo a = 10 − 2b na expressão de AF , obtemos √ 3 2 b ⇐⇒ AF = 10b − b2 AF = (10 − 2b)b − 2 √ ! 4+ 3 . 2 Note que AF é uma função quadrática em b, cujo gráfico é uma parábola de concavidade voltada para baixo, como ilustra a figura abaixo. 3 XXX Olimpı́ada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica Universidade Estadual de Campinas Assim, a função AF possui um ponto de máximo. Observe também que a função AF possui duas raı́zes dadas por: 20 √ . b1 = 0 e b2 = 4+ 3 Desse modo, o ponto de valor máximo da função AF é atingido no ponto bv dado por: bv = 10 b1 + b 2 √ . = 2 4+ 3 Portanto, o retângulo do qual obtemos a figura de área máxima possui as seguinte dimensões √ 10 20 + 10 3 √ √ b = e a = . 4+ 3 4+ 3 4 XXX Olimpı́ada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica Universidade Estadual de Campinas Questão 3 20 pontos Determine um polinômio p de grau menor do que ou igual a dois de modo que p(1) = 3 2 , p(2) = 1 e p(3) = 3 . 2 (1) Esse polinômio é único? Resolução Considere um polinômio p(x) = a + bx + cx2 , e impondo as condições acima, obtemos o sistema linear com três equações nas incógnitas a, b, c dado por: c = 3 2 p(2) = a + 2b + 4c = 1 p(3) = a + 3b + 9c = 3 2 p(1) = a + b + Utilizando o processo de Escalonamento, operações elementares de linhas, obtemos o seguinte sistema linear na forma escalonada, linha equivalente ao sistema linear acima, a + b + 3 2 c = b + 3c = − 2c = 1 2 1 cuja única solução é dada por: a = 3 , b = −2 e c = 1 . 2 Assim, obtemos um único polinômio satisfazendo as condições dadas em (1) p(x) = 3 − 2x + 5 1 2 x . 2 XXX Olimpı́ada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica Universidade Estadual de Campinas Questão 4 20 pontos Sejam a , b e c números reais. Construı́mos a matriz A de ordem 3×3 da seguinte forma: 1 a a2 A = 1 b b2 . 1 c c2 A transposta da matriz A é denominada matriz associada aos números reais a , b e c , isto é, 1 t V = A = a a2 de Vandermonde, que denotamos por V , 1 1 b c b2 c 2 . Mostre que o determinante da matriz de Vandermonde é dado por: det(V ) = ( b − a )( c − a )( c − b ) . Resolução Sabemos que det(V ) = det(A). Assim, temos 1 a a 2 det(V ) = det(A) = 1 b b2 1 c c2 = bc2 + ab2 + ca2 − ba2 − ac2 − cb2 Somando e subtraindo abc na expressão acima, e agrupando adequadamente os termos, obtemos det(V ) = bc2 + ab2 + ca2 − ba2 − ac2 − cb2 = bc2 + ab2 + ca2 − ba2 − ac2 − cb2 − abc + abc = c( bc + a2 − ac − ab ) − b( bc + a2 − ac − ab ) = ( c − b )( bc + a2 − ac − ab ) = ( c − b )[ c( b − a) − a( b − a ) ] = ( c − b )( c − a )( b − a ) É importante observar que a opção de somar e subtrair abc é necessário pois esses termos estão presente no desenvolvimento da expressão que desejamos obter para o det(V ) e que não tinha na expressão inicial. 6 XXX Olimpı́ada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica Universidade Estadual de Campinas Questão 5 20 pontos Seja o paralelepı́pedo retângulo ABCDEF GH, como na figura abaixo, com M e N pontos médios das arestas BF e DH, respectivamente. Considere AB = 8 cm, BC = 4 cm e CG = 6 cm. (a) Determine a tangente do ângulo formado pelos segmentos M N e M H. (b) Determine o raio e a posição do centro do cı́rculo que passa pelos vértices A, E, C, G. (c) Descreva a seção do paralelepı́pedo ABCDEF GH pelo plano determinado pelos pontos O, P, B, onde O e P são os pontos médios das arestas EH e HG, respectivamente. Desenhe a seção no paralelepı́pedo. (d) Determine a razão entre o volume do sólido ABCDV , onde V é um ponto qualquer no interior do retângulo EF GH, e o volume do paralelepı́pedo ABCDEF GH. (e) Quantos e quais são os planos de simetria do paralelepı́pedo? (f ) Desenhe os planos de simetria destacando as seções que cada um determina no paralelepı́pedo e descreva essas seções. Resolução 7 XXX Olimpı́ada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica Universidade Estadual de Campinas cH. O triângulo HN M é retângulo com ângulo reto no vértice (a) Seja α o ângulo N M N . Logo, HN tan α = , MN onde HN = 6 CG = = 3 , 2 2 M N = BD e (BD)2 = (AB)2 + (AD)2 . √ Logo, (BD)2 = 82 + 42 = 80, ou seja, BD = 4 5. Portanto, tan α = 3 HN = √ . MN 4 5 8 XXX Olimpı́ada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica Universidade Estadual de Campinas (b) Como AECG é retângulo, o centro do cı́rculo que passa por A, E, C, G é o ponto X encontro de suas diagonais, como ilustra a figura abaixo. O raio r do cı́rculo passando por A, E, C, G é metade da diagonal AG do paralelepı́pedo. Assim, r = Como AC √ = AG = 2 29. AG 2 e (AG)2 = (AC)2 + (CG)2 . BD , (AC)2 = 80 pelo item (a) e (AG)2 = 80 + 62 = 116. Logo, Portanto, √ AG = 29 . 2 (c) Seja π o plano determinado pelos pontos O, P, B. O plano π contém a reta OP , assim o segmento OP da face EF GH do paralelepı́pedo está neste plano. A reta paralela a OP passando por B está contida no plano π e intersecta as retas AD e DC nos pontos I e J, respectivamente. Assim, as retas OI e P L estão em π e, consequentemente os segmentos OK e P L, respectivamente das faces ADHE e DCGH do paralelepı́pedo estão no plano π. Como os pontos K e B pertencem ao plano π e a face ABF E do paralelepı́pedo, o segmento BK está contido na seção. Da mesma forma, os pontos B e L pertencem ao plano π e a face BCGF do paralelepı́pedo e, assim, o segmento BL está contido na seção. r = 9 XXX Olimpı́ada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica Universidade Estadual de Campinas Portanto a seção do paralelepı́pedo determinada pelo plano π é o pentágono (região pentagonal) OP LBK, como ilustra a figura abaixo. (d) O sólido ABCDV é a pirâmide ABCDV de base o retângulo ABCD e altura V V 0 , onde V 0 é o pé da perpendicular baixada de V na base ABCD. Como V V 0 = CG, o volume da pirâmide Vpi é dado por: Vpi = 1 1 Ab V V 0 = Ab CG , 3 3 onde Ab é a área da base ABCD do paralelepı́pedo. O volume Vp do paralelepı́pedo ABCDEF GH é Vp = Ab CG, pois CG é a altura do paralelepı́pedo. Assim, a razão entre o volume da pirâmide e o volume do paralelepı́pedo é dada por: Vpi 1 = . Vp 3 10 XXX Olimpı́ada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica Universidade Estadual de Campinas (e) São três os planos de simetria do paralelepı́pedo. π1 : plano paralelo às faces ADHE e BCGF passando por P . π2 : plano paralelo às faces ABF E e DCGH passando por O. 11 XXX Olimpı́ada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica Universidade Estadual de Campinas π3 : plano paralelo às faces ABCD e EF GH passando por M e N . (f ) A seção determinada pelo plano π1 é o retângulo P IJK, onde P, I, J, K são os pontos médios das arestas HG, EF, AB, DC, respectivamente. 12 XXX Olimpı́ada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica Universidade Estadual de Campinas A seção determinada pelo plano π2 é o retângulo OLQR, onde O, L, Q, R são os pontos médios das arestas EH, AD, BC, F G, respectivamente. A seção determinada pelo plano π3 é o retângulo N SM T , onde N, S, M, T são os pontos médios das arestas DH, AE, BF, CG, respectivamente. 13