Geometria Analítica
2. (Ufba 2011) Considere, no plano cartesiano, os pontos
(
)
A(0, 2), B(−2, 4), C(0, 6), A’(0, 0), B’ 6 2,0 e um ponto C’
Parte I
que tem coordenadas positivas.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Um funcionário do setor de planejamento de uma
distribuidora de materiais escolares verifica que as lojas dos
seus três clientes mais importantes estão localizadas nos
pontos A(0,0), B(6,0) e C(3,4). Todas as unidades são
dadas em quilômetros.
O setor de planejamento decidiu instalar um depósito no
ponto P(x,y), de modo que as distâncias entre o depósito
e as três lojas sejam iguais: PA = PB = PC.
Sabendo que
e
produto das coordenadas do ponto C’.
, determine o
Parte II
1. (Unicamp 2013) Na formulação de fertilizantes, os
teores percentuais dos macronutrientes N, P e K,
associados respectivamente a nitrogênio, fósforo e
potássio, são representados por x, y e z.
a) Os teores de certo fertilizante satisfazem o seguinte
sistema de equações lineares:
3x + y − z = 0,20

2y + z = 0,55


z = 0,25

Uma pesquisa feita na Loja A estima que a quantidade de
certo tipo de lapiseiras vendidas varia linearmente, de
acordo com o preço de cada uma. O mesmo ocorre com o
preço unitário de determinado tipo de agenda escolar e a
quantidade vendida.
Preço de uma
lapiseira
R$ 10,00
R$ 15,00
R$ 20,00
Quantidade
100
80
60
Preço de
uma agenda
R$ 24,00
R$ 13,50
R$ 30,00
Calcule x e y nesse caso.
b) Suponha que para outro fertilizante valem as relações
24% ≤ x + y + z ≤ 54%, x ≥ 10%, y ≥ 20% e z = 10%.
Indique no plano cartesiano abaixo a região de teores (x,
y) admissíveis para tal fertilizante.
Quantidade
200
270
160
A Loja B monta dois tipos de estojos de madeira fechados.
Um tipo, com 24 lápis de cor em cada estojo, é uma caixa
que tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base
quadrada, de 16 cm de lado e volume igual a 576 cm3 .
O outro tipo, com 18 lápis de cor em cada estojo, tem a
forma de um cubo, e o seu custo de fabricação é 3 do
4
custo de fabricação do primeiro estojo.
Para o lojista, o custo de fabricação de cada estojo,
independente de sua forma, é R$0,10 o centímetro
quadrado.
A Loja C, a menor de todas, trabalha somente com três
funcionários: Alberto, Beatriz e Carla. A soma dos salários
mensais dos três, em dezembro de 2011, era de
R$5.000,00.
2. (Ita 2013) Determine a área da figura plana situada no
primeiro quadrante e delimitada pelas curvas
(y − x − 2)(y +
x
− 2) = 0 e x2 − 2x + y 2 − 8 = 0.
2
3. (Ufpr 2013) Considere as retas r e s representadas no
plano cartesiano abaixo.
1. (Fgv 2012) Determine a quantos quilômetros da Loja A
deverá ser instalado o depósito da distribuidora de
materiais escolares. Aproxime a resposta para um número
inteiro de quilômetros.
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a) Escreva a equação da reta r.
b) Qual deve ser o coeficiente angular da reta s, de modo
que ela divida o triângulo cinza em dois triângulos com
áreas iguais? Justifique sua resposta.
8. (Uel 2012) Um pássaro sobrevoa uma rampa conforme
mostra a figura. A ave faz seu voo em linha reta e paralela à
calçada.
4. (Ufba 2012) Dados os pontos P(–1, 2) e Q(1, 2),
determine o par de coordenadas cartesianas de cada ponto
S da parábola y = 2x2 , de abscissa x ≠ ±1 , de modo que
as retas SP e SQ sejam perpendiculares.
5. (Ufjf 2012) No plano cartesiano, considere os pontos
A( −1,2) e B(3,4).
a) Encontre a equação da reta r que passa por A e forma
com o eixo das abscissas um ângulo de 135º, medido do
eixo para a reta no sentido anti-horário.
b) Seja s a reta que passa por B e é perpendicular à reta r.
Encontre as coordenadas do ponto P , determinado pela
intersecção das retas r e s .
c) Determine a equação da circunferência que possui
centro no ponto Q(2,1) e tangencia as retas r e s.
6. (Uftm 2012) O gráfico representa a função f : ℝ → ℝ,
x
dada por f ( x ) = 6 – 2sen .
2
a) Sabendo-se que a rampa forma um ângulo de 135º com
a calçada, conforme mostra a figura, e que a distância do
muro de apoio até o pé da rampa é de 3 metros, calcule
o comprimento da rampa.
b) Determine a menor distância entre o pássaro e a rampa
no instante em que o pássaro se encontra a 5 metros do
muro e a 6 metros da calçada em que se apoia a rampa.
Apresente os cálculos realizados na resolução de cada
item.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Notações
ℕ : Conjunto dos números naturais;
ℝ : Conjunto dos números reais;
ℝ + : Conjunto dos números reais não negativos;
i: unidade imaginária; i2 = −1 ;
P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A;
n(A) : número de elementos do conjunto finito A;
a) Determine p e r.
b) Calcule m, n e q. Em seguida, determine a equação da
reta que passa pelos pontos ( 0, n ) e ( q, m ) .
7. (Ufpe 2012) Uma circunferência está circunscrita ao
triângulo com lados sobre as retas com equações x = 0,
y = 0 e 4x + 3y = 24, conforme a ilustração abaixo.
Encontre a equação da circunferência e indique a soma das
coordenadas de seu centro e de seu raio.
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AB : segmento de reta unindo os pontos A e B;
arg z : argumento do número complexo z;
[a,b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}
A \ B = {x : x ∈ A e x ∉ B}
A c : complementar do conjunto A;
n
∑ ak xk = a0 + a1x +a2 x2 + ... + an xn ,n ∈ ℕ .
k =0
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são
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cartesianos retangulares.
a)
9. (Ita 2012) As interseções das retas r : x − 3y + 3 = 0, s : x
+ 2y − 7 = 0 e t : x + 7y − 7 = 0, duas a duas,
respectivamente, definem os vértices de um triângulo que
é a base de um prisma reto de altura igual a 2 unidades de
comprimento. Determine:
a) A área total da superfície do prisma.
b) O volume do prisma.
Sabendo-se
que
Q(x) =
a1x 2 + a2 x + a3
b1x 2 + b2 x + b3
b1x 2 + b2 x + b3 ≠ 0) independe
determinar seu valor.
de
x,
(com
pede-se
b) Na figura, se os pontos A, B e C são vértices de um
triângulo isósceles e o segmento AC é um dos
diâmetros da circunferência convenientemente centrada
na origem do sistema ortogonal, pede-se determinar a
medida do segmento AB em função de a1.
10. (Ufba 2011) Considerem-se em um sistema de
coordenadas cartesianas — tendo o metro como unidade
de medida para os eixos Ox e Oy — duas partículas P1 e P2.
Sabendo que, no instante t = 0, a partícula P1 parte da
origem, na direção positiva do eixo Oy, com velocidade
constante de 2 m/s, e a partícula P2 parte do ponto (10, 0)
em direção à origem dos eixos com velocidade constante
de 1m/s, escreva uma equação da reta que passa pelos
pontos que determinam a posição das duas partículas no
instante em que o quadrado da distância entre elas é
mínimo.
11. (Ufmg 2011) Considere as retas r, s e t de equações,
respectivamente,
x+7
y = 2x − 4, y = − x + 11 e y =
.
5
a) Trace, no plano coordenado abaixo, os gráficos dessas
três retas.
14. (Ueg 2010) Em uma chácara há um pasto que é
utilizado para criar vacas e bezerros. Esse pasto tem área
de dois hectares, sendo que cada um corresponde a um
quadrado de 100 metros de lado. Observações técnicas
indicam que cada vaca deverá ocupar uma área de, no
2
2
mínimo, 1000 m e cada bezerro de, no mínimo, 400 m .
a) De acordo com as observações técnicas, esse pasto
comportará 15 vacas e 15 bezerros? Justifique sua
resposta.
b) Represente algébrica e graficamente as condições dessa
situação, respeitando as observações técnicas.
15. (Ufg 2010) No plano cartesiano, as retas r e s, de
equações 2x − 3y + 3 = 0 e x + 3y − 1 = 0, respectivamente,
se intersectam em um ponto C. Considerando o ponto
P(0,−4), determine as coordenadas de dois pontos, A ∈ r e B
∈ s , de modo que o segmento CP seja uma mediana do
triângulo ABC.
b) Calcule as coordenadas dos pontos de interseção
A = r ∩ s, B = r ∩ t e C = s ∩ t.
c) Determine a área do triângulo ABC.
12. (Ufpe 2011) Seja (a, b) o ortocentro do triângulo com
vértices nos pontos com coordenadas ( 5,1) , ( 7,2 ) e (1,3 ) .
Assinale 4a − 2b .
13. (Unifesp 2011) Considere a1, a2 , a3 , b1, b2 , b3 números
16. (Ufg 2010) Considere no plano cartesiano, duas retas, r
e s, cujas equações são, respectivamente, dadas por y = x −
5 e y = 2x + 12. Encontre a equação da reta que passa pelo
ponto P(1,3) e intersecta r e s nos pontos A e B, com A ∈ r e
B ∈ s, de modo que o ponto P seja o ponto médio do
segmento AB.
17. (Unicamp 2010) No desenho a seguir, a reta y = ax (a >
0) e a reta que passa por B e C são perpendiculares,
interceptando-se em A. Supondo que B é o ponto (2,0),
resolva as questões que se seguem.
a) Determine as coordenadas do ponto C em função de a.
reais estritamente positivos, tais que os pontos (a1, b1 ),
(a2 , b2 ) e (a3 , b3 ) pertençam à reta y = 2x.
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b) Supondo, agora, que a = 3, determine as coordenadas do
ponto A e a equação da circunferência com centro em A
e tangente ao eixo x.
18. (Ufc 1996) A reta 2x + 3y = 5, ao interceptar os dois
eixos coordenados, forma com estes um triângulo
retângulo. Calcule o valor da hipotenusa desse triângulo.
4. (Ufmg 2012) Um triângulo equilátero ABC , cujo lado
mede 1 cm, é colocado sobre um plano cartesiano, de
modo que, inicialmente, o lado AC está apoiado sobre o
eixo e o vértice C , sobre a origem.
Em seguida, esse triângulo é girado, seguidamente, sobre o
vértice que está à direita e apoiado sobre o eixo x, como
mostrado nesta figura:
Parte III
1. (Ita 2013) Determine a área da figura plana situada no
primeiro quadrante e delimitada pelas curvas
(y − x − 2)(y +
x
− 2) = 0 e x2 − 2x + y 2 − 8 = 0.
2
2. (Unicamp 2013) Considere a família de retas no plano
cartesiano descrita pela equação
(2 − p )x + (2 p + 1)y + 8 p + 4 = 0, nas variáveis x e y, em
que p é um parâmetro real.
a) Determine o valor do parâmetro p para que a reta
correspondente intercepte perpendicularmente o eixo y.
Encontre o ponto de interseção neste caso.
b) Considere a reta x + 3 y + 12 = 0 dessa família para p =
1. Denote por A o seu ponto de interseção com o eixo x e
por O a origem do plano cartesiano. Exiba a equação da
circunferência em que o segmento OA é um diâmetro.
3. (Ufpe 2012) Uma circunferência está circunscrita ao
triângulo com lados sobre as retas com equações x = 0,
y = 0 e 4x + 3y = 24, conforme a ilustração abaixo.
Encontre a equação da circunferência e indique a soma das
coordenadas de seu centro e de seu raio.
a) Determine uma equação que descreve a trajetória do
ponto A, da sua posição inicial até ele tocar novamente,
pela primeira vez, o eixo x.
b) Determine o comprimento da trajetória percorrida pelo
ponto A, da sua posição inicial até ele tocar novamente,
pela primeira vez, o eixo x.
c) Determine as coordenadas de todos os pontos da
1
trajetória do ponto A que estão a uma altura do eixo
2
x.
5. (Unicamp 2011) Suponha um trecho retilíneo de estrada,
com um posto rodoviário no quilômetro zero. Suponha,
também, que uma estação da guarda florestal esteja
localizada a 40 km do posto rodoviário, em linha reta, e a
24 km de distância da estrada, conforme a figura a seguir.
a) Duas antenas de rádio atendem a região. A área de
cobertura da primeira antena, localizada na estação da
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guarda florestal, corresponde a um círculo que tangencia
a estrada. O alcance da segunda, instalada no posto
rodoviário, atinge, sem ultrapassar, o ponto da estrada
que está mais próximo da estação da guarda florestal.
Explicite as duas desigualdades que definem as regiões
circulares cobertas por essas antenas, e esboce essas
regiões no gráfico abaixo, identificando a área coberta
simultaneamente pelas duas antenas.
b) Pretende-se substituir as antenas atuais por uma única
antena, mais potente, a ser instalada em um ponto da
estrada, de modo que as distâncias dessa antena ao
posto rodoviário e à estação da guarda florestal sejam
iguais. Determine em que quilômetro da estrada essa
antena deve ser instalada.
6. (Ufpe 2011) Na ilustração a seguir, temos a
circunferência com equação x 2 + y 2 + 6x + 8y = 75 e a
reta passando pela origem e pelo centro da circunferência.
Determine o ponto da circunferência mais distante da
origem e indique esta distancia.
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Parte IV: Como cai na UFJF
1. (Ufjf 2012) No plano cartesiano, considere os pontos
A( −1,2) e B(3,4).
a) Encontre a equação da reta r que passa por A e forma
com o eixo das abscissas um ângulo de 135º, medido do
eixo para a reta no sentido anti-horário.
b) Seja s a reta que passa por B e é perpendicular à reta r.
Encontre as coordenadas do ponto P , determinado pela
intersecção das retas r e s .
c) Determine a equação da circunferência que possui
centro no ponto Q(2,1) e tangencia as retas r e s.
2. (Ufjf 2012) Considere as retas r1 : y = m1x + b1 e
r2 : y = m2 x + b2 , tais que r1 e r2 são paralelas, a reta r1
passa pelo ponto A(0, 2) e a reta r2 passa pelo ponto B(1,
0). Sabendo que a reta ℓ passando pelos pontos A e B é
perpendicular à reta r1, qual é o valor do produto m2 ⋅ b1 ?
a) Determine a equação da circunferência de centro no
ponto A e que contém o ponto B.
b) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto médio
do segmento AB e é perpendicular ao mesmo
segmento.
c) Fixando a extremidade em A e rotacionando a haste no
sentido horário em 60°, quais são as coordenadas da
posição final da extremidade inicialmente em B ?
6. (Ufjf 2007) Considere o retângulo ABCD a seguir. Os
pontos C e D têm coordenadas cartesianas respectivamente
iguais a (9, 4) e (1, 4). O ponto E é um ponto no segmento
 1
 CD e AEB é um ângulo reto.
4
CD tal que EC = 
1
a) − .
2
b) 0.
1
c) .
2
d) 1.
e) 2.
3. (Ufjf 2011) No plano cartesiano, considere os pontos
2 5
A  ,  , B ( 2,5 ) e C ( 4,3 ) , e a reta r que passa pelo
3 3
ponto A e que divide o ângulo BÂC ao meio. Sabendo que
os pontos B e C pertencem a uma circunferência de
centro A, qual é a ordenada do ponto em que a reta r
intersecta o eixo y ?
7
6
4
b)
3
2
c)
3
3
d)
4
e) 1
a)
4. (Ufjf 2011) No plano cartesiano, seja λ a circunferência
de centro C = (3,5) e raio 4 e seja r a reta de equação y = -x
+6.
A reta que passa pelos pontos B e E tem equação na forma
y = áx + â, onde:
a) á ∈ [ - 2, - 1] e â < - 7.
b) á ∈ [ - 4, - 2] e 0 < â < 1.
c) á ∈ [ - 1, 0] e â < 9.
d) á ∈ [ - 2, - 1] e â > 11.
e) á ∈ [ - 3, - 2] e â > 10.
7. (Ufjf 2007) Considere uma circunferência C1 de equação
2
2
x + y + 8x – 2y – 83 = 0. Seja agora uma circunferência C2
de centro em O(13, –2) que passa pelo ponto P(9, 0). A área
da figura plana formada pelos pontos internos à
circunferência C1 e externos à circunferência C2, em
unidades de área, é:
a) 20р.
b) 80ð.
c) 100ð.
d) 120ð.
e) 200ð.
2
a) Determine todos os valores de x para os quais o ponto P
= (x, y) pertence à reta r e está no interior da
circunferência λ .
b) Encontre a equação cartesiana da circunferência λ1
concêntrica à circunferência λ e tangente à reta r.
5. (Ufjf 2011) No plano cartesiano, considere uma haste
metálica rígida, de espessura desprezível, com
extremidades nos pontos A(3, 3) e B(5, 1).
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2
8. (Ufjf 2007) Considere a circunferência ë : x + y - 4x - 6y
- 3 = 0 e a reta r : x + y = 0.
a) Determine a equação da reta que passa pelo centro da
circunferência ë e é perpendicular à reta r.
b) Determine a equação da circunferência concêntrica à
circunferência ë e tangente à reta r.
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9. (Ufjf 2006) Os centros das circunferências tangentes às
2
2
2
2
circunferências x + y = 25 e (x - 10) + y = 25 formam
triângulos equiláteros com os centros dessas duas
circunferências.
Determine as equações dessas circunferências tangentes.
10. (Ufjf 2003) Sobre o conjunto de pontos de interseção
2
2
da circunferência x + (y - 2) = 2 com a reta mx - y + 2 = 0,
onde m é real, podemos afirmar que:
a) contém um único ponto.
b) é o conjunto vazio.
c) contém dois pontos.
d) contém três pontos.
e) depende de m
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