MA13 - Exercı́cios da Unidades 10 e 11
Tópicos de Matemática Elementar (vol.2), SBM.
Problemas selecionados da seção 4.2, pág. 174 em diante.
1. Na figura abaixo mostra três quadrados. Calcule o lado do quadrado
maior sabendo que os dois menores têm lados 4cm e 6cm.
2. O triângulo ABC é retângulo em A e P é o pé da bissetriz interna
relativa ao ângulo reto. Calcule a distância de P ao lado AC em função
dos catetos b e c.
3. Seja ABCD um paralelogramo com lados AB = 10 e AD = 24. Sejam
E e F os pés das perpendiculares baixadas desde A aos lados BC e
CD. Sabendo que AF = 20 calcule o comprimento de AE.
4. Seja ABC um triângulo com BC = a, AC = b e AB = c. Sejam M , N
e P pontos sobre os lados AB, BC e CA, respectivamente, de forma
que AM N P é um losango.
(a) Calcule o lado do losango em função de a, b e c.
(b) Mostre como determinar com régua e compasso a posição do ponto M .
5. Em um trapézio ABCD de bases AB = a e CD = b uma reta paralela
às bases é traçada pelo ponto de interseção das diagonais cortando os
lados AD e BC em M e N . Mostre que M N é média harmônica entre
a e b.
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6. Seja ABC um triângulo tal que B̂ = 2Ĉ. Mostre que b2 = c2 + ac.
7. Seja ABC um triângulo retângulo de catetos b e c e altura h relativa à
1
1
1
hipotenusa. Mostre que 2 = 2 + 2 .
h
b
c
8. Dados segmentos de comprimentos √
a, b e c, construa com régua e compasso o segmento de comprimento a2 + b2 − c2 .
9. Duas torres, uma com 30m de altura e outra com 40m de altura estão
situadas em terreno plano a 50m uma da outra. Entre ambas há uma
fonte para a qual dois passarinhos partem, no mesmo instante e com
velocidades iguais do alto de cada torre. Sabendo que os passarinhos
chegam à fonte simultaneamente, calcule a distância dos fonte à torre
mais baixa.
10. No quadrado ABCD e lado 10, P é um ponto da circunferência circunscrita. Calcule o valor da soma dos quadrados das distâncias de P aos
vértices do quadrado.
11. Seja ABCD um trapézio retângulo em A de bases AB = 12 e CD = 4.
Sabendo que ABCD é circunscritı́vel calcule as distâncias dos vértices
do trapézio ao centro da circunferência inscrita.
12. As retas r e s são tangentes à circunferência circunscrita ao triângulo
ABC respectivamente em B e C. Sendo D, E e F os pés das perpendiculares baixadas de A às retas BC, r e s, respectivamente, prove que
AD2 = AE · AF .
Problemas suplementares
13. Qual é a natureza do triângulo de lados 19, 21 e 29?
14. Os lados de um triângulo medem 5, 7 e 8. Calcule o cosseno do maior
ângulo.
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15. O lados de um triângulo formam uma progressão aritmética de razão
r e um dos ângulos mede 120o . Calcule o perı́metro desse triângulo em
função de r.
16. Em um quadrante AOB de centro O e raio 1 o ponto M do arco AB
é tal que a sua distância ao raio OB é a metade da sua distância ao
ponto A. Calcule M A.
17. Um trapézio isósceles tem bases de 4cm e 2cm e altura igual a 3cm.
Determine o cosseno do ângulo entre as diagonais.
18. Descreva um processo para calcular o raio da circunferência circunscrita
a um triângulo cujos lados são conhecidos.
19. Os lados de um triângulo medem 5, 7 e 8. Calcule a altura relativa ao
maior lado.
20. Em um triângulo ABC mostre que o comprimento da mediana relativa
1q 2
2(b + c2 ) − a2 .
ao vértice A é m =
2
21. Em um triângulo ABC mostre que o comprimento da bissetriz interna
2 q
relativa ao vértice A é β =
bcp(p − a) onde p é o semiperı́metro
b+c
do triângulo.
22. No triângulo ABC os pontos M e N dos lados BC e CA, respectiC
B
= 32 e N
= 14 . As cevianas AM e BN
vamente são tais que M
MC
NA
PA
B
cortam-se em P . Calcule as razões P M e PP N
.
23. No triângulo do exercı́cio anterior, a reta CP corta o lado AB em L.
LA
Determine a razão LB
.
24. Em um paralelogramo, mostre que a soma dos quadrados dos lados é
igual a soma dos quadrados das diagonais.
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