UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
ESPERANÇA MATEMÁTICA
Camila Macedo Lima
Ilhéus, Bahia
2003
ESPERANÇA MATEMÁTICA
Monograﬁa apresentada à Disciplina Seminário em
Matemática do Departamento de Ciências Exatas
e Tecnológicas – DCET, da Universidade Estadual de Santa Cruz – UESC, como um dos prérequisitos para obtenção do grau de Bacharelado
em Matemática.
Ilhéus, Bahia
2003
Camila Macedo Lima
ESPERANÇA MATEMÁTICA
Monograﬁa apresentada, julgada e aprovada pelo Corpo Docente do
Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade
Estadual de Santa Cruz como parte dos requisitos de conclusão do curso
de Bacharelado em Matemática.
Irene Maurı́cio Cazorla, Dra.
Orientadora
Eurivalda Ribeiro dos Santos Santana, Msc.
Cleber Guigioli Carrasco, Msc.
Ilhéus, Bahia
2003
A Milena Mendes (minha amiga), que por vezes no
silêncio me mostrou todo apoio, admiração, amor, estı́mulo e a
força de caminharmos juntas foram as armas desta longa e difı́cil
etapa da minha vida e principalmente pela compreensão da minha
ausência.
AGRADECIMENTOS
De forma especial, agradeço a professora Dra. Irene Maurı́cio Cazorla,
pela orientação, pelos ensinamentos, convivência e amizade.
A Professora Eurivalda Santana Msc, agradeço carinhosamente, pelo
apoio constante, incentivo e amizade durante esse perı́odo.
Ao Professor Dr. Humberto Bortolossi pelo apoio e colaboração na
arrumação do trabalho.
Agradeço ainda de uma maneira muito especial a meu namorado(André)
pelo carinho, pela compreensão e atenção nesta etapa, na qual colaborou
na digitação e na implantação das ﬁguras para o texto.
Agradeço a DEUS por tudo !
RESUMO
A presente monograﬁa trata do estudo da esperança matemática, suas
propriedades e aplicações.
Foram trabalhadas as principais variáveis aleatórias, tanto discretas
quanto contı́nuas, fazendo-se uma revisão das principais deﬁnições e conceitos da teoria de probabilidades, bem como suas aplicações nos fenômenos
e experimentos aleatórios dos diversos campos da atividade humana.
ABSTRACT
Índice
1 Introdução
3
2 Probabilidades
4
2.1
Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Noções de Teoria dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3
Deﬁnições de Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Esperança Matemática
24
3.1
Esperança Matemática de Variáveis Aleatórias Discretas . . . . . . . . . . 24
3.2
Esperança Matemática de Variáveis Aleatórias Contı́nuas . . . . . . . . . . 28
4 Principais Modelos Discretos
29
4.1
Modelo Uniforme Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2
Modelo Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3
Modelo Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4
Modelo Geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.5
Modelo Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Principais Modelos Contı́nuos
47
5.1
Modelo Uniforme Contı́nuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2
Modelo Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3
Modelo Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Bibliograﬁa
62
5.4
Apêndice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3
1
Introdução
A Estatı́stica pode ser considerada como a linguagem da ciência uma vez que as
diferentes ferramentas, desenvolvidas por esta área do conhecimento, subsidiam a tomada
de decisões em condições de incerteza. Isto porque em muitos dos problemas enfrentados
pela ciência - a validade das hipóteses formuladas acerca dos fenômenos - não podem ser
veriﬁcados em todos os casos (população), devendo-se recorrer ao estudo de uma parte da
população (amostra), e às vezes de pequenas amostras.
Todavia, ao se analisar o fenômeno estudando apenas uma amostra enfrenta-se um
grande desaﬁo, a validade das inferências decorrentes dessa parte da população. Nesse
contexto, a teoria de probabilidades auxilia a formação de amostras aleatórias, e através
delas é possı́vel se medir a probabilidade de tomar a decisão correta ou não.
Além disso, os modelos probabilı́sticos desenvolvidos ajudam a estudar diversos fenômenos aleatórios presentes na natureza e na sociedade, permitindo a previsão do seu comportamento, onde o homem não tem outro instrumento na tomada de decisão, a não ser
o cálculo de probabilidades.
A esperança matemática é, nesse contexto, crucial uma vez que é o parâmetro mais importante de uma distribuição de probabilidades, pois junto com a variância matemática,
caracterizam plenamente essas distribuições. Por essa razão seu estudo é de vital importância.
A esperança matemática não é nada mais que a média aritmética de uma variável
aleatória - fenômeno ou experimento aleatório, conceito amplamente conhecido na análise
exploratória de dados, somente que este é calculado para os dados da amostra, enquanto
a esperança matemática é calculada nos modelos probabilı́sticos que se ajustam a esses
conjuntos de dados.
4
2
Probabilidades
Neste capı́tulo, se formaliza os conceitos básicos da teoria de probabilidades. A teoria
das Probabilidades é o ramo da Matemática que estuda, desenvolve e em geral pesquisa
modelos que podem ser utilizados para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios.
2.1
Conceitos
Deﬁnição 2.1.1 (Fenômenos Aleatórios): São situações ou acontecimentos cujos resultados não podem ser previstos com certeza. Ex: Condições Climáticas.
Deﬁnição 2.1.2 (Experimentos Aleatórios): São os experimentos que repetidos sob
as mesmas condições produzem resultados geralmente diferentes. Ex: O experimento de
lançar uma moeda.
Deﬁnição 2.1.3 ( Experimentos Determinı́sticos): São os experimentos que quando
repetidos em condições semelhantes conduz ao mesmo resultado. Ex.: Aquecer a água a
100◦ C.
Deﬁnição 2.1.4 (Espaço Amostral): É o conjunto de todos os resultados possı́veis de
um fenômeno ou experimento aleatório. Os elementos do espaço amostral são chamados
de eventos elementares. E os subconjuntos do espaço amostral são denominados eventos.
O espaço amostral pela letra omega(Ω).
Exemplo 2.1.1 No lançamento de um dado, o espaço amostral é o conjunto : Ω =
{1, 2, 3, 4, , 5, 6}.
No exemplo acima o espaço amostral é um conjunto ﬁnito.
Exemplo 2.1.2 Considerando C(cara) e K(coroa), lança-se uma moeda e observa-se a
primeira ocorrência de coroa (K).
5
O espaço amostral é o conjunto: Ω = {K, CK, CCK, CCCK, C...K, ...} . Esse é um
exemplo de experimento aleatório cujo espaço amostral não é ﬁnito.
Deﬁnição 2.1.5 (Espaço amostral discreto): quando os resultados do experimento
denotam uma qualidade ou são resultados de uma contagem, o espaço amostral é dito
discreto, isto é, suscetı́vel de enumeração (ﬁnita ou inﬁnita), nesse caso, cada possı́vel
resultado é chamado de evento elementar.
Exemplo 2.1.3 Uma moeda é lançada duas vezes sobre uma superfı́cie plana . Em cada
um dos dois lançamentos pode ocorrer cara (C) ou coroa (K).
O espaço amostral é o conjunto : Ω = {CC, CK, KC, KK}.
Deﬁnição 2.1.6 (Espaço amostral contı́nuo): quando os resultados do experimento
decorrem de uma mensuração, isto é, os possı́veis resultados não são enumeráveis, o espaço
amostral é chamado de contı́nuo.
Exemplo 2.1.4 Escolhe-se uma lâmpada do processo de fabricação e observa-se o tempo
até ela queimar. Pode-se veriﬁcar que esse tempo varia de lâmpada para lâmpada.
O espaço amostral é o conjunto de todos números reais não negativos.
Ou seja: Ω = {x : x ∈ R e 0 ≤ x ≤ M }, onde M é um número suﬁcientemente grande.
Para resolver problemas, deve-se descrever todos os possı́veis resultados do experimento e calcular o seu número. Ou seja, explicitar qual é o espaço amostral e calcular o
número de elementos contidos nele.
2.2
Noções de Teoria dos Conjuntos
Sejam A e B dois eventos associados a um espaço amostral Ω:
• A união de dois eventos A e B denotada por A ∪ B:
6
A
B
Ω
Figura 1: União A ∪ B: implica na ocorrência de pelo menos um dos eventos.
• A intersecção do evento A com B , denotada por A ∩ B:
A
B
Ω
Figura 2: Interseção A ∩ B: implica na ocorrência simultânea de A e B.
• Dois eventos A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos se A ∩ B = ∅ :
A
B
Ω
Figura 3: Eventos mutuamente exclusivos: quando a interseção deles é o evento impossı́vel.
• A e B são complementares se sua união é o espaço amostral e sua interseção é o
conjunto vazio. O complementar de A é denotado por AC :
7
C
A
A
Ω
Figura 4: Complemento de A(AC ):ocorre quando não ocorre A.
Deﬁnição 2.2.1 Para uma reunião enumerável de eventos: O evento
∞
i=1
Ai é o evento
que ocorre quando pelo menos um dos eventos Ai , para i = 1, 2, ... ocorre.
Deﬁnição 2.2.2 Para uma intersecção enumerável de eventos: O evento
∞
i=1
Ai é o
evento que ocorre quando todos os eventos Ai , para i = 1, 2, ... ocorrerem.
2.2.1
Propriedades de Operações entre Eventos
Sejam A, B e C eventos de um espaço amostral Ω, tem-se:
a) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C);
b) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C);
c) (A ∪ B)C = AC ∩ B C ;
d) (A ∩ B)C = AC ∪ B C ;
Demonstração: Para demonstrar as igualdades acima é preciso mostrar que todo
elemento pertencente ao lado esquerdo pertence ao lado direito e vice-versa.
a) Seja ω ∈ (A ∪ B) ∩ C então ω ∈ (A ∪ B) e ω ∈ C. Daı́ ocorre que ω ∈ A e
ω ∈ C ou ω ∈ B e ω ∈ C, ou seja, ω ∈ (A ∩ C) ou ω ∈ (B ∩ C). Isso implica que
ω ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
b) Seja ω ∈ (A ∩ B) ∪ C então ω ∈ (A ∩ B) ou ω ∈ C. Daı́ ocorre que ω ∈ A ou
ω ∈ C e ω ∈ B ou ω ∈ C, ou seja, ω ∈ (A ∪ C) e ω ∈ (B ∪ C). Isso implica que
ω ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
c) Seja ω ∈ (A ∪ B)C , então ω ∈
/ (A ∪ B) e portanto ω ∈
/Aeω∈
/ B, que por sua vez
implica que ω ∈ AC e ω ∈ B C , ou seja ω ∈ (AC ∩ B C ).
d) Seja ω ∈ (A ∩ B)C , então ω ∈
/ (A ∩ B) e portanto ω ∈
/ A ou ω ∈
/ B, que por sua
vez implica que ω ∈ AC ou ω ∈ B C , ou seja ω ∈ (AC ∪ B C ).
8
Podemos calcular a probabilidade da união de eventos através da seguinte propriedade:
Deﬁnição 2.2.3 (Regra da adição de probabilidades): Dá-se a regra da adição como
método para achar a probabilidade de ocorrência de um ou de outro evento (ou de ambos)
na realização de um experimento .
Sejam A e B eventos de Ω então:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Como consequência da regra da adição obtem-se a seguinte relação:
P (A) = 1 − P (AC )
Demonstração: Para provar essa igualdade, aplica-se a regra da adição, onde substituise B por AC .
Temos então:
P (A ∪ AC ) = P (A) + P (AC ) − P (A ∩ AC )
P (A ∪ AC ) = P (A) + P (AC ) − p(∅)
P (A ∪ AC ) = P (A) + P (AC ) − 0
1 = P (A) + P (AC )
P (A) = 1 − P (AC )
Exemplo 2.2.1 A probabilidade de um evento A ocorrer é de 0,2 e de A ∪ B ocorrer é
de 0,7. Sabendo que os eventos são mutuamente exclusivos, calcule a P (B).
Solução:
Se que P (A ∪ B) = 0,7, P (A) = 0,2 e que por deﬁnição P (A ∩ B) = 0, pois A e B
são mutuamente exclusivos, aplicando-se a fórmula da regra da adição, tem-se:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
0,7 = 0,2 + P (B) − 0
P (B) = 0,7 − 0,2
P (B) = 0,5.
Em muitas situações, uma subsequência de eventos aleatórios pode ser separado em
9
etapas. A informação do que ocorreu em uma determinada etapa pode inﬂuenciar nas
probabilidade de ocorrência das etapas sucessivas.
Nestes casos, ganha-se informação e pode-se “recalcular”as probabilidades de interesse, essas probabilidade recebem o nome de Probabilidade Condicional, cuja deﬁnição
apresenta-se a seguir.
Deﬁnição 2.2.4 (Probabilidade Condicional): Sejam A e B dois eventos de um
espaço amostral, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é representada
por P (A|B) e dada por: P (A|B) =
P (A∩B)
,
P (B)
P (B) > 0.
• A probabilidade condicional de um evento A dado a ocorrência do evento B pode
ser visualizada pelo diagrama abaixo.
A
B
Ω
Figura 5: Probabilidade Condicional de A dado que B ocorreu
Exemplo 2.2.2 Considere os dados da tabela abaixo:
Curso \ Sexo
M
F
Total
Matemática
70
40
110
Fı́sica
15
15
30
Estatı́stica
10
20
30
Computação
20
10
30
Total
115
85
200
Determine a probabilidade de escolher ao acaso um estudante do sexo masculino,
sabendo que ele é do curso de Estatı́stica.
Solução:
P (M |Est.) =
P (M ∩ Est.)
=
P (Est.)
10
200
30
200
=
10
= 0, 3.
30
10
Da deﬁnição de probabilidade Condicional, se deduz a Regra da multiplicação do
Produto de Probabilidades: Sejam A e B eventos de Ω. Então,
P (A ∩ B) = P (A|B) P (B), com P (B) > 0.
Deﬁnição 2.2.5 (Independência de Eventos): Dois eventos A e B são independentes
se a ocorrência de B não altera a probabilidade da ocorrência de A. Isto é,
P (A|B) = P (A), P (B) > 0,
ou ainda a seguinte forma equivalente:
P (A ∩ B) = P (A) P (B)
Logo, dois eventos são independentes se a probabilidade da interseção é igual ao
produto de suas probabilidades isoladas, ou ainda, se a probabilidade conjunta é produto
das probabilidades marginais.
Exemplo 2.2.3 : Se P (A ∪ B) = 0, 8; P (A) = 0, 5 e P (B) = x, determine o valor de x
quando A e B forem independentes.
Solução:
Aplicando a fórmula de independência de eventos:
P (A ∩ B) = P (A)P (B)
então, substituindo na fórmula da regra da adição de probabilidades:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
0.8 = 0.5 + x − (0.5x)
0.8 = 0.5 + x − 0.5x
0.5 = 0.5 + 0.5x
0.5x = 0.8 − 0.5
x = 0.6.
Logo, P (B) = 0, 6
11
2.2.2
Variáveis Aleatórias
Deﬁnição 2.2.6 (Variável Aleatória): É qualquer função de número real, deﬁnida no
espaço amostral associado a um experimento aleatório.
Apesar da terminologia variável aleatória, é uma função cujo domı́nio é o espaço
amostral (Ω) e contradomı́nio formado pelos números reais.
Observa-se que a variável aleatória é uma função matemática, todavia seu domı́nio é
formado pelo espaço amostral (Ω) associado ao experimento ou fenômeno aleatório, que
depende dos elementos que compõem a amostra ou experimento.
Geralmente, quando o espaço amostral é formado por eventos que denotam qualidade,
a variável aleatória tem um papel importante, pois transforma os eventos em números,
facilitando o tratamento matemático destes.
Exemplo 2.2.4 : Lançamento de 3 moedas, onde a variável aleatória X: n◦ de caras
(C) obtidas nas três moedas
Ω
X: Ω
IR
CCC, CCK
CKC, CKK
KCC, KCK
KKC, KKK
0
1
2
IR
3
Figura 6: Variável aleatória - espaço amostral discreto.
Já quando o espaço amostral é contı́nuo, via de regra, a variável aleatória é a própria
identidade.
Exemplo 2.2.5 : Tempo de vida de uma lâmpada escolhida aleatoriamente de uma linha
de produção.
X: Ω
IR
Ω:
IR
0
M
0
M
Figura 7: Variável aleatória - espaço amostral contı́nuo.
IR
12
Observações Importantes:
1)Nas aplicações, é conveniente trabalhar com números e não com eventos, daı́, o uso
da variável aleatória.
2)Uma variável aleatória X será discreta se o número de valores possı́veis de X (seu
contradomı́nio) for ﬁnito ou inﬁnito numerável. caso seu contradomı́nio seja um intervalo
ou uma coleção de intervalos, ela será uma variável contı́nua.
3)A diferença de uma variável aleatória de uma função matemática, é que seu domı́nio
é formado pelo espaço amostral, que depende das leis de probabilidade para sua formação,
já isso não acontece como, por exemplo, na função X 2 : R −→ R.
2.3
2.3.1
Deﬁnições de Probabilidades
Probabilidade Laplaciana
Deﬁnição 2.3.1 (Probabilidade Laplaciana): É a razão entre o número de elementos
do evento (A) sobre o número total de elementos do espaço amostral.
Laplace referia-se aos elementos de A (ou eventos elementares que compõe A) como os
casos favoráveis. Os elementos do espaço amostral Ω eram chamados de casos possı́veis.
n◦ de casos favoráveis
probabilidade = ¯◦
n¯ de casos possı́veis
Suponha que os experimentos aleatórios tenham as seguintes caracterı́sticas:
a)Existe um número ﬁnito n de eventos elementares (casos possı́veis). A união de
todos os eventos elementares é o espaço amostral Ω.
b)Os eventos elementares são igualmente prováveis.
c)Todo evento A é uma união de m eventos elementares, onde m ≤ n.
Então: P (A) =
#(A)
#(Ω)
=
m 1
.
n
Conseqüências da Deﬁnição
1) Para todo evento A, 0 ≤ P (A) ≤ 1;
2) P (Ω) = 1;
1
O sı́mbolo # indica a cardinalidade do conjunto.
13
3) P (∅) = 0. Isso vale porque #(∅) = 0;
4) Se A ∩ B = ∅ então P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
Exemplo 2.3.1 Três moedas são jogadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de
obter duas caras?
Solução:
Indicando C como cara e K como coroa, o espaço amostral é dado por:
Ω = {KKK, KKC, KCK, KCC, CKK, CKC, CCK, CCC}
onde, #(Ω) = n◦¯ casos possı́veis = 8.
Se A indica o evento “obter duas caras”, então
A = {CCK, CKC, KCC}
Assim, #(A) = n◦¯ casos favoráveis = 3. Portanto, pela deﬁnição tem-se que:
P (A) =
#(A)
3
= = 0, 375.
#(Ω)
8
Logo a probabilidade de obter duas caras é de 0,375.
Observa-se que isto é verdadeiro somente se os eventos são equiprováveis, isto é, se a
P (C) = P (K) = 12 , caso contrário isto é falso.
2.3.2
Probabilidade Frequentista
Deﬁnição 2.3.2 (Probabilidade Frequentista): Repete-se o experimento n vezes e
anota-se quantas vezes ocorre o evento A associado a esse experimento.
A probabilidade neste caso é dada por:
P (A) =
n(A)
n
onde, n(A) é o número de vezes que ocorre o evento A.
Exemplo 2.3.2 Considere a tabela abaixo e calcule a probabilidade de uma pessoa ser
sorteada e ser do sexo masculino?
14
Sexo
Alunos
M
3743
F
3537
Total
7280
Solução:
Aplicando a deﬁnição de Probabilidade Frequentista, tem-se que:
P (M ) =
3743
n(M )
=
= 0, 514.
n
7280
Logo a probabilidade de ser sorteada uma pessoa do sexo masculino é de 0,514.
2.3.3
Probabilidade Axiomática
Todavia, as duas deﬁnições anteriores de probabilidades apresentam suas inconstâncias.
Assim, em 1833, Kolmogorov deﬁniu a função de probabilidade em uma classe de eventos do espaço amostral que satisfaz três axiomas. Todas as operações deﬁnidas entre os
eventos conduzem a novos eventos que pertencem a essa classe.
Deﬁnição 2.3.3 (Probabilidade Axiomática): É uma função deﬁnida numa classe F
de eventos de Ω que satisfaz os seguintes axiomas:
a) P (A) ≥ 0 para todo A ∈ F ;
b) Se (An )n≥1 é uma sequência de eventos de F , que são mutuamente exclusivos,
então:
P
∞
An
n=1
=
∞
P (An );
n=1
c) P (Ω) = 1.
Se o espaço amostral Ω é enumerável, pode-se deﬁnir a probabilidade na classe de
todos os subconjuntos de Ω que é denotado por P (Ω). Neste caso, o espaço amostral
pode ser representado como sendo: Ω = {ω1 , ω2 , ...}. Associando a cada ωn , n = 1, 2, ...,
∞
um número P (ωn ), tal que P (ωn ) ≥ 0 e
P (ωn ) = 1.
n=1
15
Onde P (ωn ) é denominado de probabilidade do evento simples ωn , n = 1, 2, ...
Deﬁnição 2.3.4 : Seja Ω um espaço amostral enumerável e seja A um subconjunto de
Ω. A probabilidade de A é deﬁnida da seguinte forma:
P (A) =
P (ωn )
n:ω∈A
Sendo que a probabilidade deﬁnida dessa maneira, satisfaz os axiomas da deﬁnição
de probabilidade de Kolmogorov.
2.3.4
Funções de Probabilidade
Deﬁnição 2.3.5 (Função Discreta de Probabilidade): Se X uma variável aleatória
discreta e x1 , x2 , x3 , ..., seus diferentes valores a função que atribui a cada valor da variável
aleatória X, uma probabilidade é denominada de função discreta de probabilidade ou simplesmente função de probabilidade. A notação a ser utilizada é: P (X = xi ) = p(xi ), ı =
1, 2, 3...)
Ou ainda,
X = xi
x1 x2 x3 ...
P (X = xi ) p1 p2 p3 ...
Uma função de probabilidade satisfaz: 0 ≤ pi ≤ 1 e
pi = 1
i
As variáveis aleatórias são completamente caracterizadas pela função de probabilidade e uma parte importante da estatı́stica é justamente obter, para uma dada variável
de interesse, a função de probabilidade que melhor represente seu comportamento na
população.
Exemplo 2.3.3 Descreva o comportamento da variável X= número de caras em dois
lançamentos dessa moeda, considerando que cada evento é equiprovável.
Solução:
Seja X= número de caras em dois lançamentos de uma moeda, logo o espaço amostral
associado a este experimento é:
Ω = {CC, CK, KC, KK}
16
Segue que X pode assumir os valores 0,1 ou 2.
Para atribuir probabilidades a cada um desses valores, é necessário fazer alguma
suposição a respeito da probabilidade de ocorrência de cara ou coroa.
Admitindo que a moeda é honesta, isto é os eventos são equiprováveis, então, as
probabilidades de cada face serão iguais: P (C) = P (K) = 12 .
Para deduzir a função de probabilidade de X, observe que:
Para X = 0, ocorre nos eventos: KK, isso implica que a probabilidade P (X = 0) = 14 .
Para X = 1, ocorre nos eventos: CK, KC, isso implica que a probabilidade P (X =
1) =
2
4
= 12 .
Para X = 2, ocorre nos eventos: CC, isso implica que a probabilidade P (X = 2) = 14 .
Logo, as probabilidades associadas aos valores de X são:
X=x 0 1 2
1
4
px
1
2
1
4
Portanto, essa é a função de probabilidade para a variável aleatória (X): número de
caras em dois lançamentos dessa moeda.
Observa-se que caso a moeda não seja honesta, a função de probabilidade será diferente.
Deﬁnição 2.3.6 (Função Acumulada de Probabilidade): A função acumulada de
probabilidade ou função de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é
deﬁnida, para qualquer número real x, pela seguinte expressão:
F (x) = P (X ≤ x).
Exemplo 2.3.4 :Uma população de 1000 crianças foi analisada num estudo para determinar a efetividade de uma vacina contra um tipo de alergia. No estudo, as crianças
recebiam uma dose de vacina e após um mês passavam por um novo teste. Caso ainda
tivessem tido alguma reação alérgica, recebiam outra dose da vacina. Ao ﬁm de cinco
doses todas as crianças foram consideradas imunizadas. os resultados completos estão na
tabela a seguir.
Doses
f req.
1
2
3
4
5
245 288 256 145 66
17
Supondo que uma criança dessa população é sorteada ao acaso qual será a probabilidade dela ter recebido duas doses?
Solução:
A probabilidade pode ser estimada através da frequência de ocorrência, dada na
tabela, então temos que a probabilidade de uma criança ter recebido duas doses é dada
por:
P (ter recebido 2 doses) =
288
= 0, 288.
1000
Logo, a probabilidade de uma criança ter recebido 2 doses é igual a 0,288.
Calculando para as outras doses, analogamente, tem-se a seguinte função de probabilidade da variável aleatória:
N umero de Doses
pi
1
2
3
4
5
0, 245 0, 288 0, 256 0, 145 0, 066
Exemplo 2.3.5 Considerando o exemplo acima. Suponha agora que desejamos calcular
a probabilidade da criança ter recebido até duas doses. Neste caso, é preciso obter a função
de distribuição no ponto dois, ou seja, tem-se que calcular a probabilidade acumulada de
ocorrência de valores menores ou iguais a dois.
Solução:
Pela deﬁnição de probabilidade acumulada, tem-se:
F (2) = P (X ≤ 2) = P (X = 1) + P (X = 2) = 0, 533.
Note que, tendo em vista que a variável só assume valores inteiros, esse valor ﬁca
inalterado no intervalo [2, 3). Isto é, F (2, 1); F (2, 45); ou F (2, 99) têm todos o mesmo
valor acima.
Por essa razão:
F (x) = P (X ≤ x) = 0, 533 para 2 ≤ x < 3.
18
Os valores completos da função de distribuição são os seguintes:
⎧
⎪
0,
se x < 1;
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
0, 245, se 1 ≤ x < 2;
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 0, 533, se 2 ≤ x < 3;
f (t) =
⎪
0, 789, se 3 ≤ x < 4;
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
0, 934, se 4 ≤ x < 5;
⎪
⎪
⎪
⎩
1,
se x ≥ 5
A ﬁgura 8 ilustra essa função
F (x)
1.000
0.934
0.789
0.533
0.245
0
1
2
3
4
5
x
Figura 8: Função de Distribuição - doses de vacina.
Deﬁnição 2.3.7 (Função Contı́nua de Probabilidade): Uma função f (x) é uma
função contı́nua de probabilidade ou função de densidade de probabilidade para uma
variável aleatória contı́nua X, se satisfaz duas condições:
i)f (x) ≥ 0, para todo x ∈ (−∞, ∞);
ii)A área deﬁnida por f(x) é igual a 1.
Com o auxı́lio do cálculo diferencial e integral, pode-se caracterizar a condição ii)
através de:
∞
f (x)dx = 1.
−∞
Observações:
• Para calcular probabilidades em um intervalo [a, b], onde a ≤ b, então P (a ≤ X ≤
19
b) =
b
f (x)dx; a integral, indica que a probabilidade de X estar entre a e b está
a
deﬁnida pela a área sob a função f deﬁnida pelo intervalo [a, b].
• Por essa forma de atribuir probabilidades no caso contı́nuo, tem-se área zero para
qualquer valor individual, isto é, P (X = k) = 0 para qualquer k. Portanto, em
se tratando de variáveis aleatórias contı́nuas, a probabilidade de ocorrência de um
x
valor isolado é sempre zero, ou seja, P (X = x0 ) = x00 f (x)dx = 0.
• Conseqüentemente, as probabilidades calculadas sobre os intervalos [a, b], [a, b), (a, b]
e (a, b) são as mesmas, para quaisquer valores de a e b, ou seja P (a ≤ x ≤ b) =
P (a ≤ x < b) = P (a < x ≤ b) = P (a < x < b)
Exemplo 2.3.6 : Seja X uma variável aleatória contı́nua, com a seguinte função densidade de probabilidade:
f (x) =
2x, para 0 < x < 1;
0,
para quaisquer outros valores;
Veriﬁque se essa função é uma função densidade de probabilidade e calcule a P ( 14 <
x < 34 ).
Solução:
i) Para f (x) ser uma função de densidade, esta deve cumprir as condições da deﬁnição.
De fato,
Podemos observar que f (x) ≥ 0, isso prova a primeira condição.
ii)Veriﬁcando a segunda condição:
∞
f (x)dx = 1.
0
d(x) +
−∞
Logo,
1
d(x) = 1.
1
2x, para 0 < x < 1;
0,
para quaisquer outros valores;
é uma função densidade de probabilidade.
Seu gráﬁco será:
∞
2xd(x) +
0
f (x) =
−∞
20
f (x)
2
1
1
0
1
2
x
Figura 9: Função de densidade de probabilidade de f (x)
Calculando F (x) temos que:
• Para x < 0,
x
F (x) = −∞ 0 d(x) = 0.
• Para 0 ≤ x < 1,
0
x
F (x) = −∞ 0 d(x) + 0 2x d(x) = x2 .
• Para x ≥ 1,
0
1
∞
F (x) = −∞ 0 d(x) + 0 2x d(x) + 0 0 d(x) = 1.
Cujo gráﬁco será:
f (x)
1
0
1
x
Figura 10: Função Repartição
Nota-se que o gráﬁco de F(x) no caso de variável aleatória discreta é constituı́do por
segmentos de retas horizontais, tipo degraus, e no caso de variável aleatória contı́nua, ele
é contı́nuo para todo x.
21
Determinar a P ( 14 < x < 34 ).
Solução:
P
1
3
<X<
4
4
=
3
4
1
4
2x dx
2x2 34
P
=
2 14
2 2
1
1
1
3
3
P
−
= .
<X<
=
4
4
4
4
2
1
3
<X<
4
4
Logo a probabilidade P ( 14 < X < 34 ) é igual a 12 .
Exemplo 2.3.7 : Num teste educacional com crianças, o tempo para a realização de uma
bateria de questões de raciocı́nio verbal e lógico é medido e anotado para ser comparado
com um modelo teórico. Este teste é utilizado para identiﬁcar o desenvolvimento das
crianças e auxiliar a aplicação de medidas corretivas. O modelo teórico considera T ,
tempo de teste em minutos, como uma variável aleatória contı́nua com função densidade
de probabilidade dada por:
⎧
1
⎪
⎪
⎪
⎨ 40 (t − 4), se 8 ≤ t < 10;
3
f (t) =
,
se 10 ≤ t ≤ 15;
20
⎪
⎪
⎪
⎩ 0,
caso contrário.
Veriﬁque se f (t) é uma função densidade e calcule a probabilidade para P (9 < T ≤ 12).
Solução:
O gráﬁco da função densidade é apresentado a seguir, observando que a função f (t)
se anula quando t < 8 ou t > 15.
22
f(t)
3/20
1/10
0
8
10
15
t
Figura 11: Função densidade de f (t)
veriﬁcando se f (t) é uma função densidade de probabilidade:
i)f (t) deve ser positiva
1
(t − 4) é sempre ≥ 0
40
3
f (t) =
é sempre ≥ 0
20
f (t) =
Logo a função f (t) ≥ 0 satisfaz a primeira condição.
∞
ii)
f (t)dt = 1.
−∞
8
f (t)dt +
−∞
8
10
15
∞
1
3
f (t)dt
(t − 4)dt +
dt +
40
10 20
15
10
15
1
1
3
0+
( t − )dt +
dt + 0
40
10
8
10 20
2
t
3 15
t 10
−
+ t
80 10 8
20 10
1 3
+
4 4
=
=
=
20
80
=
4
= 1.
4
+
15
20
=
Logo, f (t) é uma função densidade de probabilidade.
Para determinar a P (9 < T ≤ 12), Deve-se calcular a integral sob f (t) no intervalo (9, 12]
da ﬁgura abaixo:
23
f(t)
3/20
1/10
0
8
9
10
12
15
t
Figura 12: Função densidade de f (t)
Neste caso, a integral deve ser dividida em duas partes, pois a função f (t) é diferente
nos intervalos (9, 10) e [10, 12].
Então:
P (9 < T ≤ 12) =
f (t)dt
9
=
=
=
=
=
10
12
f (t)dt +
f (t)dt
10
12
1
3
(t − 4)dt +
dt
40
9
10 20
2
t 9
3 10
t
−
+ t
80 10 10 20 12
11
6
+
80 20
7
16
0, 4375.
9
=
12
10
24
3
Esperança Matemática
Neste capı́tulo será apresentado o tópico principal da monograﬁa que é a deﬁnição
de Esperança Matemática ou valor esperado de uma variável aleatória, um dos conceitos
mais relevantes da Teoria das Probabilidades.
A esperança matemática de uma variável aleatória é usualmente referida como uma
medida de posição da distribuição dessa variável, e será calculada para diversas variáveis
aleatórias discretas e contı́nuas e sua aplicabilidade será vista nos capı́tulos seguintes.
3.1
Esperança Matemática de Variáveis Aleatórias
Discretas
Seja o espaço amostral Ω, cujos pontos amostrais são denotados por ω e uma probabilidade P deﬁnida em Ω.
Deﬁnição 3.1.1 (Esperança Matemática de Variáveis Aleatórias Discretas): A
esperança matemática de uma variável aleatória discreta X, deﬁnida em um espaço
amostral Ω no qual está deﬁnida uma probabilidade P é dada por:
E(X) =
X(ω) P (ω)
ω∈Ω
desde que
|X(ω) P (ω)| < ∞.
ω∈Ω
A expressão da esperança por meio da distribuição de probabilidade X será mostrada
no próximo lema.
Lema 3.1.1 : A esperança matemática de uma variável aleatória discreta X que assume
25
os valores xi , com respectivas probabilidades P [X = xi ], para i = 1, 2, ... é dada por:
E(X) =
∞
xi P (X = xi )
i=1
Prova:
Partindo da deﬁnição para mostrar o lema, denotando por ωj , para j = 1, 2, ...,
como a série
X(ω) P (ω) é absolutamente convergente, a ordem das parcelas pode ser
ω∈Ω
modiﬁcada obtendo-se a mesma soma.
∞
E(X) =
j=1
∞
E(X) =
i=1
∞
E(X) =
i=1
∞
E(X) =
X(ωj ) P (ωj )
⎡
⎣
∴ E(X) =
X(ωj ) P (ωj )⎦
j:X(ωj )=xi
⎡
⎣
⎤
xi P (ωj )⎦
j:X(ωj )=xi
⎡
xi ⎣
i=1
∞
⎤
⎤
P (ωj )⎦
j:X(ωj )=xi
xi P (X = xi ).
i=1
Exemplo 3.1.1 : Uma pequena cirurgia dentária pode ser realizada por um método
cujo tempo de recuperação (em dias) é modelado pela variável aleatória X. Determine a
Esperança Matemática da variável X da função discreta de probabilidade abaixo:
X
pi
5
10
15
20
0, 3 0, 2 0, 4 0, 1
Solução:
A partir da deﬁnição tem-se que:
E(X) =
∞
xi P (X = xi ) = −5 × 0, 3 + 10 × 0, 2 + 15 × 0, 4 + 20 × 0, 1 = 11, 5
i=1
Espera-se que o tempo médio de recuperação da cirurgia dentária seja de 11,5 dias.
26
3.1.1
Propriedades da Esperança Matemática
Seja X e Y variáveis aleatórias deﬁnidas em um espaço amostral Ω e C um número
real, então cX, X ± Y e XY deﬁnidas em Ω também são variáveis aleatórias.
A Esperança Matemática, que muitas vezes é referida simplesmente por esperança,
tem a propriedade da linearidade que será veriﬁcada através das seguintes propriedades
que serão demonstradas para o caso das variáveis aleatórias discretas.
i) A esperança de uma constante é a própria constante: E(c) = c.
Prova:
E(c) =
c P (xi ) = c
ω∈Ω
P (xi ) = c.
ω∈Ω
ii) Multiplicando uma variável aleatória X por uma constante, sua esperança ﬁca
multiplicada por essa constante: E(cX) = cE(X).
Prova:
E(cX) =
c xi P (xi ) = c
ω∈Ω
xi P (xi ) = c = cE(X).
ω∈Ω
iii) A esperança da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias é igual a soma
ou diferença das esperanças: E(X ± Y ) = E(X) ± E(Y ).
Prova:
E(X ± Y ) =
x
E(X ± Y ) =
E(X ± Y ) =
x
E(X ± Y ) =
y
x
(x ± y)P (x, y)
x P (x, y) ±
y
x
P (x, y)
y
x P (x) ±
x
x
±
y
y
y P (x, y)
y
P (x, y)
x
y P (y)
y
E(X ± Y ) = E(X) ± E(Y ).
Esse resultado tem ampla aplicação e também é válido para mais de duas variáveis.
iii) Somando ou subtraindo uma constante a uma variável aleatória, a esperança ﬁca
somada ou subtraı́da por essa constante: E(X ± c) = E(X) ± c.
27
Prova:
(X ± c) = E(X) ± E(c) = E(X) ± c.
iv) Este resultado pode ser facilmente estendido para a soma de um número inteiro
n de variáveis aleatórias, isto é se existem as esperanças de X1 , X2 , ...Xn então existe a
esperança de X1 + X2 + ... + Xn e tem-se:
E(X1 + X2 + ... + Xn ) = E(X1 ) + E(X2 ) + ... + E(Xn ).
v) A esperança do produto de duas variáveis aleatórias Com distribuição conjunta
P (x, y), será o produto das esperanças, sempre que as variáveis aleatórias forem independentes: E(XY ) = E(X)E(Y ).
Prova:
E(XY ) =
x
E(XY ) =
x
E(XY ) =
x yP (x, y)
y
x y P (x) P (y)
y
x P (x)
x
y P (y)
y
E(XY ) = E(X)E(Y ).
Esse resultado aﬁrma que a independência de X e Y implica na esperança do produto
XY ser igual ao produto da esperança de X pela esperança de Y . Entretanto, se a
esperança do produto de duas variáveis é o produto das esperanças, não necessariamente
é verdade que X e Y são independentes.
Exemplo 3.1.2 : Uma loteria vende 100 bilhetes. O preço de cada bilhete é R$ 1, 20
e o bilhete sorteado paga um prêmio de R$ 100, 00. Você compra um bilhete. Qual a
esperança de seu ganho?.
Solução:
Seja X a variável aleatória que indica o eu ganho. E portanto X assume o valor
R$ 1, 20 com probabilidade 0,99 e R$ 98, 80 com probabilidade 0,01. Temos para a
esperança de X:
E(X) = 1, 20 × 0, 99 + 98, 80 × 0, 01 = 2, 176.
Observa-se que para o caso discreto a esperança matemática coincide com o conceito
28
de média aritmética para dados discretos onde a probabilidade substitui a frequência
relativa de ocorrência dos eventos .
3.2
Esperança Matemática de Variáveis Aleatórias
Contı́nuas
Deﬁnição 3.2.1 (Esperança Matemática de Variáveis Aleatórias Contı́nuas): A
esperança de uma variável aleatória X, com densidade de probabilidade f (x) é dada por:
∞
E(X) =
x f (x)dx.
−∞
Exemplo 3.2.1 Calcular a esperança da variável aleatória X cuja função de densidade
de probabilidade é dada por:
⎧
⎪
⎪
⎨ 2x,
f (x) =
−2x
3
⎪
⎪
⎩ 0,
para 0 ≤ x ≤ 0, 5
+ 43 , para 0, 5 ≤ x ≤ 2;
no complementar.
Solução:
Aplicando a fórmula da esperança para variáveis aleatórias contı́nuas, tem-se que:
0,5
2 −2x 4
E(X) =
x 2xdx +
x
+
dx
3
3
0
0,5
3
x3 0,5
2 x 2
4 x2 2
= 2 + −
+
3 0
3 3 0,5 3 2 0,5
63 2
1
30
1
−
+
4−
=
=
12 36 3
4
36
= 0, 8333.
29
4
Principais Modelos Discretos
Neste capı́tulo apresenta-se os principais modelos probabilı́sticos utilizados para descrever vários fenômenos ou situações encontrados na natureza ou ainda em experimentos
aleatórios.
Esses modelos são expressos por uma famı́lia de distribuições de probabilidade que
dependem de um ou mais parâmetros. Será estudado a Esperança Matemática e sua
aplicabilidade em todos os modelos discretos apresentados.
4.1
Modelo Uniforme Discreto
A seguir apresenta-se o modelo mais simples, que é aquele que atribui igual probabilidade a todos possı́veis valores da variável.
Deﬁnição 4.1.1 (Modelo Uniforme Discreto): Seja X uma variável aleatória cujos
possı́veis valores são representados por x1 , x2 , ..., xn , então X “segue”o modelo Uniforme
Discreto com parâmetros (1, n) se atribui a mesma probabilidade
valores, isto é, sua função de probabilidade é dada por:
P (X = xi ) =
1
, ∨i = 1, 2, .., n.
n
O gráﬁco da função densidade para n = 10 é dado por:
1
n
a cada um desses n
30
P (X= x )
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
Figura 13: Modelo uniforme discreto no intervalo [1, 10].
Exemplo 4.1.1 : Um usuário de transporte coletivo chega pontualmente às oito horas
para pegar o ônibus. Devido ao trânsito caótico, a demora pode ser qualquer tempo entre
1 e 20 minutos (admita que o relógio “pule”de minuto em minuto). Pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de demorar mais de 10 minutos?
b) Qual a probabilidade da demora não chegar a 5 minutos?
c) Qual a probabilidade da demora ﬁcar entre 5 e 10 minutos inclusive?
Solução:
Dado que a demora pode ser entre 1 a 20 minutos, tem-se que a probabilidade de
demorar um minuto é P (1 min) =
1
,
20
então:
a) Probabilidade de demorar mais de 10 minutos:
P (10 min) = P (11 min) + P (12 min) + ... + P (20 min)
1
1
1
+
+ ... +
=
20 20
20
1
= 10( )
20
1
=
2
= 0, 5.
31
b)Probabilidade da demora não chegar a 5 minutos:
P (x < 5 min) = P (1 min) + P (2 min) + P (3 min) + P (4 min)
1
1
1
1
+
+
+
=
20 20 20 20
1
= 4( )
20
4
1
=
=
20
5
= 0, 2.
c)Probabilidade da demora ﬁcar entre 5 e 10 minutos inclusive:
P (5 min ≤ x ≤ 10 min) = P (5 min) + P (6 min) + P (7 min) +
+ P (8 min) + P (9 min) + P (10 min)
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
=
20 20 20 20 20 20
1
= 6( )
20
6
3
=
=
20
10
= 0, 3.
4.1.1
Aplicação da Esperança Matemática
A partir da deﬁnição de Esperança Matemática vista no Capitulo 3, calcular-se-a
Esperança Matemática para o Modelo Uniforme Discreto.
Lema 4.1.1 : Seja Y uma variável aleatória com Modelo Uniforme Discreto, assumindo
valores entre 1 e n. Aplicando a deﬁnição de Esperança Matemática e utilizando a expressão conhecida para a soma de uma progressão aritmética, tem-se que:
E(Y ) =
Prova:
n+1
2
32
De fato,
E(Y ) =
E(Y ) =
n
yi P (Y = yi )
i=1
n
i=1
yi
1
n
1
E(Y ) =
yi
n i=1
n
n
E(Y ) =
E(Y ) =
yi
i=1
n
n(n+1)
2
n
n+1
∴ E(Y ) =
.
2
Exemplo 4.1.2 : Uma rifa tem 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Milena tem 5 bilhetes
consecutivos numerados de 21 até 25 e Artur tem outros 5 bilhetes com os números 1,
11, 29, 68 e 93. Quem tem maior possibilidade de ser sorteado? Calcule a Esperança
Matemática.
Solução:
A primeira impressão parece que com números espalhados é a melhor maneira de
ganhar o sorteio ou se tem mais chance. Entretanto, assumindo a honestidade da rifa,
todos os números tem a mesma probabilidade de ocorrência, com
1
100
para cada um.
Seja X a variável aleatória o número sorteado, que por sua vez segue o Modelo Uniforme Discreto e, portanto, Milena e Artur com 5 bilhetes tem a mesma probabilidade de
ganhar a rifa.
Pode-se veriﬁcar a aﬁrmação acima calculando:
P (M ilena ganhar) = P (X = 21) + P (X = 22) + P (x = 23) + P (x = 24) + P (x = 25)
1
1
1
1
1
=
+
+
+
+
100 100 100 100 100
5
=
= 0, 05.
100
33
e calculando:
P (Artur ganhar) = P (X = 1) + P (X = 11) + P (x = 29) + P (x = 68) + P (x = 93)
1
1
1
1
1
+
+
+
+
=
100 100 100 100 100
5
=
= 0, 05.
100
Logo, pode-se observar que a maior ou menor probabilidade de ganhar depende de
quantos bilhetes se tem e não da particular escolha do número.
Calculando a Esperança, tem-se que:
(n + 1)
2
100 + 1
E(x) =
2
101
E(x) =
= 50, 5.
2
E(x) =
Logo a Esperança Matemática E(X) = 50, 5.
4.2
Modelo Bernoulli
O Modelo Bernoulli é adequado quando ocorrem situações em que a variável de interesse assumem somente dois valores, são experimentos que têm alternativas dicotômicas
e podem ser representadas por respostas do tipo sucesso e fracasso. Esses experimentos
recebem o nome de Ensaio de Bernoulli e dão origem ao modelo a seguir.
Deﬁnição 4.2.1 (Modelo Bernoulli): Uma variável X “segue”o Modelo Bernoulli se
atribui 0 ou 1, à ocorrência de fracasso (F ) ou sucesso (S) respectivamente, com p representando a probabilidade de sucesso e 1 − p a probabilidade de fracasso, onde 0 ≤ p ≤ 1.
Neste caso, sua função discreta de probabilidade é dada por :
X=x
0
1
P [X = x] 1 − p p
ou,
P (X = x) = px (1 − p)(1−x) , x = 0, 1.
Exemplo 4.2.1 : Uma urna tem 30 bolas brancas (B) e 20 verdes (V ). Considerando
como sucesso o sorteio da bola verde e fracasso caso contrário. Calcule a probabilidade
de ter-se sucesso no primeiro sorteio.
34
Solução:
Seguindo a deﬁnição do modelo Bernoulli,tem-se que:
30
= 0, 6.
50
20
P (sucesso) = P (V ) =
= 0, 4.
50
P (f racasso) = P (B) =
Tem-se então que:
4.2.1
X=x
0
1
P [X = x]
30
50
20
50
Aplicação da Esperança
Da deﬁnição de Esperança Matemática vista no Capitulo 3, deﬁnir-se-a Esperança
Matemática para o Modelo Bernoulli.
Lema 4.2.1 : Seja X uma variável aleatória com Distribuição de Bernoulli com parâmetro
p. A Esperança Matemática para o Modelo Bernoulli é dada por:
E(X) = p.
Prova:
De fato, tem-se que:
E(X) =
E(X) =
2
i=1
2
xi P (X = xi )
xi P (X = xi )
i=1
E(X = 0 × P (X = 0) + 1 × P (X = 1)
E(X) = 0 × (p0 (1 − p)(1−0) ) + 1 × (p1 (1 − p)(1−1) )
E(X) = 0 × (1 − p) + 1 × (p)
∴ E(X) = p
Exemplo 4.2.2 : Considerando os dados do Exemplo 4.2.1, tem-se que a Esperança
Matemática é dada por: E(X) = p = probabilidade de obtermos sucesso = 0, 4.
35
Exemplo 4.2.3 : Lança-se um dado, onde queremos veriﬁcar a ocorrência da face 5.
Qual a Esperança de obtermos sucesso?.
Solução:
Supondo que o dado é honesto, tem-se que a probabilidade de ocorrência da face 5 é
igual a P (x = 5) = 16 , onde ter-se-a sucesso. E a probabilidade da não ocorrência da face
5 é igual a P (x = 5) = 56 , onde ter-se-a fracasso. Então:
X = xi
0
1
⇒
P (X = xi ) 1 − p p
X = xi
0 1
P (X = xi )
5
6
1
6
Logo ter-se-a que E(X) = p = 16 .
4.3
Modelo Binomial
A repetição de n ensaios independentes de Bernoulli, todos com a mesma probabilidade p de sucesso em cada ensaio, dá origem a mais importante variável aleatória discreta,
denominada Modelo Binomial.
Deﬁnição 4.3.1 Seja X o número de sucessos em n ensaios independentes de Bernoulli,
com probabilidade de sucesso p. X “segue”uma Distribuição Binomial com parâmetros n
e p se sua função de probabilidade é dada por:
n k
P (X = k) =
p (1 − p)n−k ,
k
com
n
k
k = 0, 1, 2, ..n.
representando o coeﬁciente binomial calculado por:
n!
k!(n − k)!
A notação: X ∼ B(n, p), é utilizada para indicar que a variável aleatória X segue o
modelo Binomial com parâmetros n e p.
Observa-se que as probabilidades são completamente caracterizadas pela informação
dos parâmetros.
36
Exemplo 4.3.1 : Uma moeda é lançada 20 vezes. Qual a probabilidade de saı́rem 8
caras?
Solução:
Supondo que a moeda não é viciada e sabendo que a probabilidade de sair cara é
igual a 12 , então pode-se aplicar a fórmula de distribuição da probabilidade Binomial para
k = 8:
P (X = k) =
P (k = 8) =
n
pk (1 − p)n−k
k
20
8
× (0.5)8 × (0.5)12
20!
8!(20 − 8)!
= (125970) × (0, 5)20
=
= 0, 12013.
Logo a probabilidade de saı́rem 8 caras é igual a 0,12013.
4.3.1
Aplicação da Esperança
A seguir se determina à Esperança de E(X) do Modelo Binomial com parâmetros
n e p, a partir da deﬁnição dada no capı́tulo 3.
Lema 4.3.1 Para uma variável aleatória X com distribuição Binomial de parâmetros n
e p, tem-se que a Esperança Matemática para o Modelo Binomial é dada por:
E(X) = n p.
Prova:
37
E(X) =
n
xi P (X = xi )
i=1
E(X) =
E(X) =
E(X) =
n
k=0
n
k=0
n
k
k
k
k=0
E(X) =
n
k=0
n
k
pk (1 − p)n−k
n!
(n − k)! k!
pk (1 − p)n−k
n!
k (k − 1)! (n − k)!
pk (1 − p)n−k
n!
pk (1 − p)n−k
(k − 1)! (n − k)!
n
n (n − 1)!
p pk−1 (1 − p)n−k
(k
−
1)!
(n
−
k)!
k=0
n
(n − 1)!
E(X) = n p
pk−1 (1 − p)n−k
(k
−
1)!
(n
−
k)!
k=0
E(X) =
Fazendoj = k − 1 e r = n − 1, teremos:
n
r!
E(X) = n p
pk−1 (1 − p)n−k
j!
(n
−
(j
+
1))!
k=0
n
r!
E(X) = n p
pk−1 (1 − p)n−k
j! (r − j)!
k=0
E(X) = n p (p + (1 − p))n
∴ E(X) = n p.
Exemplo 4.3.2 : Na linha de produção de uma fábrica, em condições normais de funcionamento cada uma das peças pode ser considerada como produzida independentemente
das demais. Se retira uma amostra de n peças da linha de produção e se p denota a fração
de peças defeituosas que são produzidas, então X, o número de peças defeituosas na
amostra, é uma variável aleatória com distribuição binomial com parâmetros n e p . Para
n = 5 e p = 0.1, calcule a probabilidade:
a) de uma peça defeituosa;
b) de duas peças defeituosas;
c) de pelo menos uma peça defeituosa;
38
d) a esperança matemática.
Solução:
Neste exemplo observa-se uma sequência de cinco ensaios de Bernoulli com probabilidade p = 0.1. A partir desses dados pode-se aplicar a fórmula para calcular os ı́tens
a, b e c, então:
a)P (X = 1):
P (X = k) =
P (X = 1) =
n
k
5
1
pk (1 − p)n−k
p1 (1 − 0.1)5−1
5!
(0.1)1 (0.9)4
1!(5 − 1)!
= 5 × (0.1) × (0.6561)
=
= 0.32805.
b)P (X = 2):
P (X = k) =
P (X = 2) =
n
k
5
2
pk (1 − p)n−k
p2 (1 − 0.1)5−2
5!
(0.1)2 (0.9)3
2!(5 − 2)!
= 10 × (0.01) × (0.729)
=
= 0.0729.
39
c)P (X ≥ 1):
P (X = k) =
n
k
pk (1 − p)n−k
P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0)
5 0
p (1 − 0.1)5−0
= 1−
0
5!
(0.1)0 (0.9)5
0!(5 − 0)!
= 1 − 1 × 1 × (0.59049)
= 1−
= 0.40951.
d)
E(X) = n × p = 5 × 0.1 = 0.5.
Isto signiﬁca que espera-se encontrar em média, meia peça defeituosa para cada cinco
peças ou uma para cada dez.
4.4
Modelo Geométrico
Para deﬁnir o Modelo Geométrico deve-se considerar uma sequência ilimitada de ensaios de Bernoulli, com probabilidade de sucesso p em cada ensaio. Designando sucesso
por (S) e fracasso por (F ). Pode-se representar o Modelo Geométrico como o número de
ensaios de Bernoulli que precedem o primeiro sucesso.
Deﬁnição 4.4.1 (Modelo Geométrico): Uma variável aleatória X tem distribuição
Geométrica de parâmetro p se sua função de probabilidade tem a forma:
P (X = k) = p (1 − p)k ,
0 ≤ p ≤ 1 e k = 0, 1, 2...
A notação: X ∼ G(p), indica que a variável aleatória X segue o modelo Geométrico
com parâmetro p.
Exemplo 4.4.1 : Uma linha de produção está sendo analisada para efeito de controle de
qualidade das peças produzidas. Tendo em vista o alto padrão requerido, a produção é
interrompida para regulagem toda vez que uma peça defeituosa é observada. Se 0,01 é a
probabilidade da peça ser defeituosa, estude o comportamento da variável X, quantidade
40
de peças boas produzidas antes da 1a defeituosa e determine a probabilidade de encontrar
peça defeituosa na segunda peça observada.
Solução:
Admitindo que cada peça tem a mesma probabilidade de ser defeituosa, independente
da qualidade das demais, e denotando como sucesso a ocorrência de peça defeituosa, podese aplicar o Modelo Geométrico, pois a variável em questão : quantidade de peças boas
produzidas antes da 1a defeituosa, é exatamente o quanto se espera até a ocorrência do
primeiro sucesso.
Estudando o comportamento da variável X, tem-se:
P (X = k) = 0, 01 × (0, 99)k ,
k = 0, 1, 2, ..
A ﬁgura 14 ilustra o comportamento desta variável aleatória:
P(Q = k)
0.010
0.008
0.006
0.004
0.002
0
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
K
Figura 14: Modelo Geométrico (p = 0, 01).
Observando o gráﬁco pode-se perceber que a probabilidade vai diminuindo quando
k assume valores muito grandes. Então pode-se concluir que com o comportamento da
variável X, é pouco provável que a produção seja interrompida se não aparecer uma peça
defeituosa logo nas primeiras inspeções.
41
Calculando a probabilidade de encontrar uma peça defeituosa na segunda peça examinada:
P (X = k) = p × (1 − p)k
P (X = 1) = (0, 01)1 × (0, 99)1
= 0, 01 × (0, 99)
= 0, 00099.
Exemplo 4.4.2 : A probabilidade de encontrar o sinal de trânsito aberto numa esquina
é 0.20. Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local cinco vezes, para
encontrar o sinal aberto pela primeira vez?
Solução:
Pode-se analisar como sendo sucesso a ocorrência de encontrar o sinal o aberto, para
que isso aconteça necessariamente após ter passado pelo local cinco vezes, então terı́a-se
quatro tentativas que precedem o primeiro sucesso. Assim pode-se aplicar a fórmula de
probabilidade do modelo geométrico, para k = 4(fracasso) e p = 0, 20.
P (X = k) = p × (1 − p)k
P (X = 4) = (0, 20) × (1 − 0, 20)4
= (0, 20) × (0, 8)4
= 0, 08192.
4.4.1
Aplicação da Esperança
A seguir apresenta-se a Esperança de Matemática para o Modelo Geométrico.
Lema 4.4.1 : Para uma variável aleatória X com distribuição geométrica de parâmetro
p, a Esperança Matemática é dada por:
E(X) =
Prova:
Usando a deﬁnição de Esperança, tem-se:
1−p
p
42
E(X) =
n
xi P (X = xi )
i=1
E(X) =
∞
j (1 − p)j p
j=0
E(X) = p
∞
j (1 − p)j
j=1
E(X) = p (1 − p)
∞
j (1 − p)j−1
j=1
Calculando o somatório que é obtido da série geométrica, cuja soma vale para todo
número real x no intervalo (0, 1), tem-se que:
∞
i=1
i (x)i−1 =
1
.
(1 − x)2
Então para x = 1 − p, temos:
∞
j (1 − p)j−1 =
j=1
1
1
1
= 2
=
2
2
(1 − (1 − p))
(1 − (2 (1 − p)) + p )
p
Substituindo no somatório:
1
p2
p (1 − p)
E(X) =
p2
1−p
∴ E(X) =
p
E(X) = p (1 − p)
Exemplo 4.4.3 : Qual a probabilidade de que um dado deva ser lançado 15 vezes para
que na 15a vez ocorra a face 6 pela primeira vez? Determine a Esperança matemática.
Solução:
Supondo que o dado é honesto, então a probabilidade da face 6 é igual a 16 , que por
sua vez é igual a probabilidade de cada face. Sendo sucesso a ocorrência da face 6 na
43
15a vez, tem-se então como fracasso 14 lançamentos que precedem o primeiro sucesso.
Aplicando a fórmula da probabilidade para o modelo geométrico, tem-se que:
P (X = k) = p × (1 − p)k
1
1
P (X = 14) =
× (1 − )14
6
6
= 0, 166 × (0, 833)14
= 0, 0129.
E(X) =
E(X) =
1−p
p
1 − 16
1
6
E(X) = 5.
4.5
Modelo Poisson
O modelo de Poisson tem grande importância tanto teórica como aplicada, esse modelo
tem sido muito utilizado em experimentos fı́sicos e biológicos.
Deﬁnição 4.5.1 (Modelo Poisson): Uma variável aleatória Xtem distribuição de Poisson com parâmetro λ > 0 se sua função de probabilidade é dada por:
P (X = k) =
e−λ λk
,
k!
k = 0, 1, 2, ...,
onde o parâmetro λ sendo usualmente referido como a taxa de ocorrência.
Temos assim uma famı́lia de distribuições de Poisson dependendo do parâmetro λ.
Usaremos a notação X ∼ P (λ) para indicar que a variável X segue o modelo Poisson com
parâmetro λ.
Exemplo 4.5.1 : A emissão de partı́culas radioativas tem sido modelada através de
uma distribuição de Poisson, com o valor do parâmetro dependendo da fonte utilizada.
Supondo que o modelo Poisson com parâmetro 5, isto é, a taxa média de ocorrência é de
5 emissões a cada minuto. Calcule a probabilidade de haver mais de 2 emissões em um
minuto.
Solução:
44
Seja X a variável número de partı́culas alfa emitidas por minuto, e λ = 5 então:
X P (5), a probabilidade de haver mais de duas emissões em um minuto é dada por:
P (X > 2) =
∞
P (X = k)
k=3
= 1−
2
P (X = k)
k=0
2
e−5 5k
= 1−
k!
k=0
e−5 50 e−5 51 e−5 52
= 1−
+
+
0!
1!
2!
= 1 − (e−5 + 5 × e−5 + 12, 5 × e−5 )
= 1 − [e−5 × (18, 5)]
= 1 − [(0, 00673) × (18, 5)]
= 1 − 0, 1246
= 0, 8753.
Logo, P (X > 2) = 0, 873. A ﬁgura 15 ilustra a função discreta de probabilidade do
modelo Poisson P (5).
P (X = k)
0.16
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
k
Figura 15: Modelo Poisson (λ = 5).
Se o intervalo de tempo é alterado, a variável aleatória mantém a mesma distribuição
de Poisson, mais com valor do parâmetro ajustado de forma conveniente.
45
4.5.1
Aplicação da Esperança
A seguir deﬁni-se a Esperança Matemática do Modelo Poisson.
Lema 4.5.1 : Seja X uma variável aleatória com distribuição de Poisson com parâmetro
λ, a Esperança Matemática é dada por:
E(X) = λ
Prova:
Da deﬁnição de Esperança tem-se que:
E(X) =
n
xi P (X = xi )
i=1
E(X) =
∞
k=0
−λ
E(X) = e
k
e−λ λk
k!
∞
k=1
k
eλ
k − 1!
Fazendo j = k − 1:
E(X) = λe
−λ
∞
λj
j!
j=0
∴ E(X) = λ
Exemplo 4.5.2 : Numa linha adutora de água, de 60 km de extensão, ocorrem 30 vazamentos no perı́odo de um mês. Qual a probabilidade de ocorrer, durante o mês, pelo
menos 3 vazamentos num certo setor de 3 km de extensão?.
Solução:
46
Tem-se que X vazamentos por Km, isto implica que λ = 1, 5 vazamentos por cada 3
Kms.
P (pelo menos 3) = 1 − P (X = 0) + P (x = 1) + P (x = 2)
−1,5
1, 50 e−1,5 1, 51 e−1,5 1, 52
e
+
+
= 1−
0!
1!
2!
−1,5
−1,5
−5
+ 1, 5e
+ 1, 125 × e )
= 1 − (e
= 1 − [e−1,5 (1 + 1, 5 + 1, 125)]
= 1 − (0.2231) × (3, 625)
= 1 − 0, 8087
= 0, 191.
47
5
Principais Modelos Contı́nuos
Neste capı́tulo apresenta-se os modelos probabilı́sticos descritos por variáveis aleatórias
que possuem uma função de densidade de probabilidade, que segundo deﬁnição, é uma
função positiva e com integral igual a 1 os quais dependem de um ou mais parâmetros.
Esses modelos constituem uma famı́lia de distribuições de probabilidade.
5.1
Modelo Uniforme Contı́nuo
Inicia-se essa seção apresentando um dos modelos mais simples de variáveis aleatórias
contı́nuas.
Deﬁnição 5.1.1 (Modelo Uniforme Contı́nuo): Uma variável aleatória X tem distribuição Uniforme Contı́nua no intervalo [a, b], a < b, se sua função densidade de probabilidade é dada por:
⎧
⎨
1
, se a ≤ x ≤ b;
b−a
f (x) =
⎩ 0,
caso contrário.
Utiliza-se a notação X ∼ U [a, b] para indicar que X segue o modelo Uniforme
Contı́nuo no intervalo considerado.
48
f (x)
1/(b-a)
0
a
b
x
Figura 16: Função de Densidade de probabilidade do Modelo Uniforme Contı́nuo.
Como no caso discreto o Modelo Uniforme Contı́nuo pressupõe que os valores possı́veis
para a variável aleatória tem a mesma probabilidade de ocorrência.
Exemplo 5.1.1 : Um ponto é escolhido ao acaso no intervalo [0, 2]. Qual a probabilidade
de que esteja entre 1 e 1,5?
Solução:
Utilizando a fórmula para encontrar a função de densidade de probabilidade, no intervalo [0, 2]. Tem-se que:
⎧
⎨ 1 , se 0 ≤ x ≤ 2;
2
f (x) =
⎩ 0, caso contrário.
Portanto, essa é a função densidade de probabilidade. Então
b pode-se calcular a probabilidade P (1 ≤ x ≤ 1, 5), sabendo que : P (a ≤ X ≤ b) =
f (x)dx. Logo,
a
1,5
1
dx
2
1
1 1,5
=
x
2
1
1, 5 1
=
−
2
2
= 0, 25.
P (1 ≤ X ≤ 1, 5) =
49
5.1.1
Aplicação da Esperança
Encontrando a Esperança Matemática do Modelo Uniforme Contı́nuo.
Lema 5.1.1 : Seja X uma variável aleatória com distribuição Uniforme Contı́nuo no
intervalo [a, b], a Esperança Matemática é dada por:
E(X) =
b+a
2
Prova:
Da deﬁnição de Esperança Matemática de uma variável aleatória contı́nua, tem-se
que:
∞
E(X) =
x f (x) dx
−∞
b
1
dx
b−a
a
2
1
x b
E(X) =
b−a 2 a
b 2 − a2
E(X) =
2(b − a)
b+a
∴ E(X) =
2
E(X) =
x
Exemplo 5.1.2 : Com o objetivo de veriﬁcar a resistência à pressão de água, os técnicos
de qualidade de uma empresa inspecionam os tubos de PVC produzidos. Os tubos inspecionados têm 6 metros de comprimento e são submetidos a grandes pressões até o
aparecimento de um vazamento, cuja distância a uma das extremidades (ﬁxadas a priori) é anotada para ﬁns de análise posterior. Escolhe-se um tubo ao acaso para ser
inspecionado. Calcular a probabilidade de que o vazamento esteja, no máximo a 1 metro
das extremidades, bem como a esperança matemática.
Solução:
Sendo a variável aleatória X = distância correspondente ao vazamento. Vamos admitir igual probabilidade de ocorrência em todos os pontos, tem-se então que X ∼ U [0, 6]
50
onde sua função densidade de probabilidade é dada por:
⎧
⎨ 1 , se 0 ≤ x ≤ 6;
6
f (x) =
⎩ 0, caso contrário.
Para calcular a probabilidade de que o vazamento esteja, no máximo, a 1 metro das
extremidades, tem-se que calcular a probabilidade de X ∈ {[0, 1] ∪ [5, 6]}. Conforme
ilustração da ﬁgura 17.
f (x)
1/ 6
0
1
5
6
x
Figura 17: Função densidade Uniforme Contı́nua de f (x).
Calculando P (X ∈ {[0, 1] ∪ [5, 6]}) através da integral correspondente nos intervalos
[0, 1] e [5, 6].Como os intervalos [0, 1] e [5, 6] são disjuntos a probabilidade de sua união é
a soma das probabilidades de ocorrência de cada intervalo:
P (X ∈ {[0, 1] ∪ [5, 6]}) = P (0 ≤ x ≤ 1) + P (5 ≤ x ≤ 6)
1
6
1
1
=
dx +
dx
0 6
5 6
x 1 x 6
=
+ 6 0 65 6 5
1
−0 +
−
=
6
6 6
1
.
=
3
Calculando a esperança de X, temos que:
E(X) =
b+a
0+6
=
= 3.
2
2
51
5.2
Modelo Exponencial
Deﬁnição 5.2.1 (Modelo Exponencial): Uma variável aleatória contı́nua X, assumindo valores não negativos, segue o modelo exponencial com parâmetro λ > 0 se sua
função densidade de probabilidade é dada por:
λ e−λx , se x ≥ 0;
f (x) =
0,
caso contrário.
Usando a notação X ∼ Exp(λ) para indicar que X segue uma distribuição exponencial
de parâmetro λ. A ﬁgura 18 representa a função de densidade exponencial:
f (x)
λ
0
x
Figura 18: Função Densidade de Probabilidade da Exponencial.
A função de distribuição de X é dada por
x
x
λ e−λt dt = (−e−λt ) = 1 − e−λx
F (X) =
0
0
Logo,
F (X) =
1 − e−λx , se x > 0;
0,
se x ≤ 0.
A ﬁgura 19 representa a função de distribuição da Exponencial:
52
f (x)
1
x
0
Figura 19: Função de Distribuição de F(x) da Exponencial.
A probabilidade do modelo exponencial é calculada da seguinte forma:
b
b
P (a < X < b) =
λ e−λx dx = −e−λx = e−λa − e−λb
a
a
onde a inclusão ou não dos extremos a e b não altera o cálculo da probabilidade efetuada
acima.
Exemplo 5.2.1 : A duração de uma lâmpada é uma variável aleatória T cuja função
densidade de probabilidade é:
⎧
−t
⎨ 1 e 1000
, para t ≥ 0 (t em horas);
1000
f (t) =
⎩ 0,
caso contrário.
Calcular a probabilidade de uma lâmpada:
a) Queimar antes de 1000 horas;
b) Durar entre 800 e 1200 horas.
Solução:
Aplicando a fórmula para calcular a probabilidade da exponencial tem-se:
53
a):
1000
P (X < 1000) =
−t
e 1000 dt
0
0
= e 1000 − e
−1000
1000
= 1 − e−1 = 1 − 0, 3678
= 0, 632.
Logo a probabilidade de uma lâmpada queimar antes de 1000 horas é de 0,632.
b):
1200
P (800 < X < 1200) =
−t
e 1000 dt
800
1200
800
= −e− 1000 − −e− 1200
= −e−1,2 + e−0,8 = −0, 301 + 0, 449
= 0, 1483.
Logo a probabilidade da lâmpada durar entre 800 a 1200 horas é de 0,1483.
5.2.1
Propriedade do Modelo Exponencial
(Falha de Memória): Essa é uma propriedade muito importante da Exponencial
e essa é a única distribuição contı́nua com essa propriedade. Considere um componente
que tem distribuição de tempo de vida exponencial. Se ele durou até o instante t, então
a probabilidade condicional dele durar mais s unidades de tempo além do instante t, é a
mesma que um componente novo venha durar s unidades de tempo.
Em outras palavras, a informação da ”idade“ do equipamento pode ser esquecida e o
que importa, para o cálculo da probabilidade, é quantos anos a mais queremos que dure.
Para tal, seja X ∼ Exp(λ) e s, t > 0, temos que: P [X ≥ t + s|X ≥ t] = P [X ≥ s].
De fato, seja X o tempo de vida desse componente, então:
P [X ≥ t + s, X ≥ t]
P [X ≥ t]
P [X ≥ t + s]
P [X ≥ t + s|X ≥ t] =
P [X ≥ t]
e−λ(t+s)
P [X ≥ t + s|X ≥ t] =
e−λt
−λs
∴ P [X ≥ t + s|X ≥ t] = e
= P [X ≥ s].
P [X ≥ t + s|X ≥ t] =
54
Exemplo 5.2.2 : O intervalo de tempo em minutos entre emissões consecutivas de uma
fonte radioativa é uma variável aleatória com distribuição Exponencial de parâmetro
λ = 0, 2. Calcule a probabilidade de haver uma emissão em um intervalo inferior a 2
minutos e determine a probabilidade do intervalo ser superior ou igual a sete, sabendo
que ele é superior a cinco minutos.
Solução:
Calculando a probabilidade para um intervalo menor que 2 minutos através da fórmula
de probabilidade exponencial:
2
0, 2 e−0,2x dx
0
2
−0,2x = −e
P (X < 2) =
= 1 − e−0,4
0
= 0, 33.
Logo a probabilidade de haver uma emissão em um intervalo inferior a dois minutos
é de 0,33. calculando a probabilidade do intervalo ser superior ou igual a sete, sabendo
que esse foi superior a cinco minutos, e que λ = 0, 2, aplicando a fórmula da propriedade
de falta de memória. Então:
P [X ≥ 7|X ≥ 5]
P [X ≥ 5]
P [X ≥ 7]
=
P [X ≥ 5]
e−0,2(7)
= −0,2(5)
e
= e−(1,4−1,0)
P [X ≥ 7|X ≥ 5] =
= e( − 0, 4)
= 0, 67.
Como,
P [X > t + s|X > t] = P [X > s] ⇒ P [X > 7|X > 5] = P [X > 2] = 0, 67.
5.2.2
Aplicação da Esperança
Encontrando a Esperança Matemática do Modelo Exponencial.
55
Lema 5.2.1 : Seja X uma variável aleatória com distribuição Exponencial de parâmetro
λ, a Esperança Matemática é dada por:
1
λ
E(X) =
Prova:
Da deﬁnição de Esperança Matemática para uma variável aleatória contı́nua, temos
que:
∞
E(X) =
x f (x) dx
−∞
∞
x λe−λx dx
0
1 −λx ∞
−λx
E(X) = −x e
e
−
λ
0
1
∴ E(X) =
λ
E(X) =
Exemplo 5.2.3 : Uma indústria fabrica lâmpadas especiais que ﬁcam em operação continuamente. A empresa oferece a seus clientes a garantia de reposição, caso a lâmpada
dure menos de 50 horas. A vida útil dessas lâmpadas é modelada através da distribuição
Exponencial com parâmetro
1
.
8000
Calcule a proporção de trocas por defeito de fabricação
e determine a esperança matemática.
Solução:
Sendo a variável aleatória T = tempo de vida da lâmpada e se a densidade Exponencial tem parâmetro λ =
1
,
8000
1
então: T ∼ Exp( 8000
).
A probabilidade desejada será:
P (T < 50) =
50
−t
e 8000 dt
0
−50
= 1 − e 8000
= 0, 006.
Logo, a proporção de trocas por defeito de fabricação será aproximadamente de 0,006.
56
A esperança matemática é dada por:
E(X) =
1
1
= 1 = 8000 horas.
λ
8000
Isso signiﬁca que a duração média das lâmpadas é de 8000 horas.
5.3
Modelo Normal
O Modelo Normal é o modelo teórico mais importante dentre os contı́nuos e discretos
ele é muito utilizado em aplicações e também serve como aproximação para muitas outras
distribuições.
Deﬁnição 5.3.1 (Modelo Normal): Uma variável aleatória contı́nua X tem distribuição
Normal com parâmetros µ e σ 2 , se sua função de densidade é dada por:
(x−µ)2
1
f (x) = √
e− 2σ2 ,
σ 2π
para − ∞ < x < ∞.
As constantes µ e σ 2 satisfazem as condições: −∞ < µ < ∞ e σ 2 > 0.
A notação X ∼ N (µ, σ 2 ), é utilizada para indicar que X tem distribuição Normal
com parâmetro µ e σ 2 .
Propriedades da Densidade Normal:
i) f (x) é simétrica em relação a µ;
ii) f (x) → 0 quando x → ±∞;
iii) o valor máximo de f (x) se dá para x = µ.
A ﬁgura 20 ilustra propriedades.
57
f (x)
µ
x
Figura 20: Densidade Normal.
Para calcular a probabilidade para um intervalo [a, b], deve-se integrar a função densidade no intervalo de interesse, ou seja:
P (a ≤ X ≤ b) =
a
b
(x−µ)2
1
√
e− 2σ2 dx.
σ 2π
As probabilidades para o Modelo Normal são calculadas com o auxı́lio da tabela da
Normal padronizada, pois a integral acima só pode ser resolvida de modo aproximado e
por métodos numéricos, o que hoje já é feito pelos estatı́sticos.
Para calcular probabilidades de X ∼ N (µ, σ 2 ), utiliza-se a transformação que conduz a
distribuição normal padrão N (0, 1), isto é, com média 0 e variância 1. Como a densidade
da distribuição N (0, 1) é simétrica em torno da origem, basta encontrar para valores
positivos.
5.3.1
Normal Padronizada
Deﬁnição 5.3.2 (Normal Padronizada N (0, 1)): Considere X ∼ N (µ, σ 2 ) e seja
Z uma nova variável aleatória Z =
X−µ
,
σ
então Z N (0, 1) será denominada de Normal
reduzida ou Normal Padronizada, cujas probabilidades se encontram na Tabela Normal
Padrão, disponı́vel universalmente.
58
Para calcular a probabilidade de X ∈ [a, b], procedemos da seguinte forma:
P (a ≤ X ≤ b) = P (a − µ ≤ X − µ ≤ b − µ)
a−µ
X −µ
b−µ
P (a ≤ X ≤ b) = P
≤
≤
σ
σ
σ
a−µ
b−µ
P (a ≤ X ≤ b) = P
≤Z≤
σ
σ
Isso implica que para obter probabilidades com distribuição Normal, quaisquer que
sejam os valores de µ e σ, pode-se utilizar a Normal Padronizada.
Os valores para P (0 ≤ Z ≤ z), z ≥ 0 são apresentados na tabela de Normal Padronizada
(Apêndice A). Como a função de densidade é simétrica pode-se calcular valores de probabilidade em outros intervalos e a probabilidade de estar acima (ou abaixo) de zero é 0,5.
Note que na tabela só contém a parte decimal, pois a probabilidade é sempre um número
entre 0 e 1.
A seguir apresenta-se alguns exemplos de como utilizar a tabela para calcular probabilidades.
Exemplo 5.3.1 : Seja X uma variável aleatória com distribuição N (10, 100).calcule:
a) P (X > 30)
b) P (10 < X < 20).
Solução:
Utilizando a deﬁnição de Normal Padronizada, temos que Z =
X−10
10
tem distribuição
N (0, 1), então:
a):
30 − 10
X −µ
√
> √
P (X > 30) = P
σ
100
= P (Z > 2)
= 0, 5 − P (0 < Z < 2) utilizando-se a tabela (Apêndice A), tem-se:
= 0, 5 − 0, 47725.
59
b):
X −µ
20 − 10
10 − 10
√
< √
< √
P (10 < X < 20) = P
100
σ
100
X − 10
<1
= P 0<
10
= P (0 < Z < 1) veriﬁcando na tabela (Apêndice A), temos:
= 0, 34134.
Essa probabilidade corresponde à área sombreada no gráﬁco:
0
1
Figura 21: Cálculo de Probabilidade P (10 < Z < 20)
Exemplo 5.3.2 : Seja X uma variável aleatória com distribuição N (2, 9),calcule a P (0 ≤
X < 2).
Para obter essa probabilidade, utiliza-se a simetria da Normal, ilustrada na ﬁgura 23.
0−2
X −µ
2−2
√ < √
P (0 ≤ X < 2) = P
< √
9
σ
9
= P (−2, 3 < Z < 0)
= P (0 < Z < 2, 3) utilizando a tabela (Apêndice A), temos:
= 0, 2486.
60
-2/3
0
2/3
Figura 22: Calculo da Probabilidade P (0 < Z < 2, 3)
Observação: Pode-se também calcular o valor na qual a probabilidade se origina,
utilizando assim a tabela no sentido inverso. Como se mostra no exemplo a seguir.
Exemplo 5.3.3 : Quanto vale c tal que P (0 < Z < c) = 0, 4?
Solução:
Neste caso, essa probabilidade deve ser procurada no corpo da tabela. A probabilidade
que mais se aproxima de 0,4, procurando na tabela è 0,3997; que corresponde a 1,28 que
será o valor de c.
5.3.2
Aplicação da Esperança
A seguir deﬁni-se a Esperança Matemática para o Modelo Normal.
Lema 5.3.1 : Seja X uma variável aleatória com distribuição Normal N (µ, σ 2 ) e parâmetros
µ e σ 2 , a Esperança matemática é deﬁnida por:
E(X) = µ
Prova:
Ao se observar o gráﬁco da função densidade da distribuição Normal, observa-se que
f (x) é simétrica em relação a µ, sendo assim E(X) = µ. Para provar partindo-se da
deﬁnição de Esperança Matemática para uma variável aleatória contı́nua. Neste caso
61
tem-se que:
∞
E(X) =
x f (x) dx
−∞
∞
E(X) =
x
−∞
(x−µ)2
1
√
e− 2σ2 dx
σ 2π
x−µ
Fazendo a transformação de variáveis Z =
, temos:
σ ∞
−z 2
1
√
E(X) =
(µ + zσ) e 2 dz
σ 2π −∞
∞
∞
−z 2
−z 2
1
1
E(X) = µ √
e 2 dz + √
z e 2 dz
2π −∞
2π −∞
∞
∞
−z 2
−z 2
1
Como: √2π
e 2 dz = 1. E como
z e 2 dz é ı́mpar, então está integral será nula.
Logo:
−∞
−∞
∴ E(X) = µ.
62
Bibliograﬁa
[1] BOTTER,D.A.; PAULA,G.A.;LEITE,J.G Noções de Estatı́stica- São Paulo:
IME/USP, 1996.
[2] BUSSAB, W.O. e MORETTIN, P.A Estatı́stica Básica- 5.ed. São Paulo: Saraiva,
2000.
[3] DANTAS, C.A.B Probabilidade: Um Curso Introdutório- São Paulo: Edusp, 1997.
[4] DEGROOT, M.H.; SCHERVISH, M.J Probability and Statistics- 3.ed. New York:
Addison-Wesley, 2001.
[5] FELLER, W. Probabilidades- São Paulo: Atlas, 1976.
[6] JAMES, B.R. Probabilidade: Um Curso em Nı́vel Intermediário. - 2ed. Rio de
Janeiro: IMPA, 1981.
[7] HOEL, P.H. Estatı́stica Elementar - São Paulo: Atlas, 1981.
[8] HOEL, P.G.;PORT,S.C e STONE,C.J Introduçaõ á Teoria da Probabilidade- Rio de
Janeiro: Interferência, 1971.
[9] MAGALHÃES, M.N Noções de Probabilidade e Estatı́stica- 4.ed. São Paulo: Editora
da Universiade de São Paulo(Edusp), 2002.
[10] MENDENHALL, W. Probabilidade e Estatı́stica- Rio de Janeiro: Campus, 1971.
63
5.4
Apêndice A
TABELA 1 - DI STRI BUI ÇÃO NORMAL PADRÃO
Pr obabilidades P (0 < Z < Zc)
Exemplo: P (0 < Z < 1,23) = 0,39065
Zc
0,00
0,10
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,00000
0,03983
0,00399
0,04380
0,00798
0,04776
0,01197
0,05172
0,01595
0,05567
0,01994
0,05962
0,02392
0,06356
0,02790
0,06749
0,03188
0,07142
0,03586
0,07535
0,20
0,30
0,07926
0,11791
0,08317
0,12172
0,08706
0,12552
0,09095
0,12930
0,09483
0,13307
0,09871
0,13683
0,10257
0,14058
0,10642
0,14431
0,11026
0,14803
0,11409
0,15173
0,40
0,50
0,15542
0,19146
0,15910
0,19497
0,16276
0,19847
0,16640
0,20194
0,17003
0,20540
0,17364
0,20884
0,17724
0,21226
0,18082
0,21566
0,18439
0,21904
0,18793
0,22240
0,60
0,70
0,22575
0,25804
0,22907
0,26115
0,23237
0,26424
0,23565
0,26730
0,23891
0,27035
0,24215
0,27337
0,24537
0,27637
0,24857
0,27935
0,25175
0,28230
0,25490
0,28524
0,80
0,90
0,28814
0,31594
0,29103
0,31859
0,29389
0,32121
0,29673
0,32381
0,29955
0,32639
0,30234
0,32894
0,30511
0,33147
0,30785
0,33398
0,31057
0,33646
0,31327
0,33891
1,00
1,10
0,34134
0,36433
0,34375
0,36650
0,34614
0,36864
0,34849
0,37076
0,35083
0,37286
0,35314
0,37493
0,35543
0,37698
0,35769
0,37900
0,35993
0,38100
0,36214
0,38298
1,20
1,30
0,38493
0,40320
0,38686
0,40490
0,38877
0,40658
0,39065
0,40824
0,39251
0,40988
0,39435
0,41149
0,39617
0,41308
0,39796
0,41466
0,39973
0,41621
0,40147
0,41774
1,40
1,50
0,41924
0,43319
0,42073
0,43448
0,42220
0,43574
0,42364
0,43699
0,42507
0,43822
0,42647
0,43943
0,42785
0,44062
0,42922
0,44179
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Figura 23: Tabela de Distribuição da Normal Padronizada