INSTITUTO DE PROMOÇÃO SOCIAL DE BUSTOS
Ficha de trabalho: Matemática B
Setembro/2009
Introdução ao Cálculo das Probabilidades
Distribuição de Probabilidades
Experiência aleatória é uma experiência que se pode repetir tantas vezes quantas se queira nas mesmas condições e
da qual são conhecidos os resultados possíveis mas não é possível prever (determinar) o seu resultado.
Exemplo: Lançar uma moeda ao ar.
Experiência determinista é uma experiência em que é possível determinar o resultado mesmo antes de ser
efectuada, desde que sejam conhecidas as condições em que se realiza.
Exemplo: Atirar uma pedra a um lago.
Espaço Amostral, designa-se por S ou Ω, é o conjunto de todos os resultados possíveis, associados a uma experiência
aleatória.
Acontecimento associado a uma experiência aleatória é cada um dos resultados possíveis e consequentemente, um
dos subconjuntos do espaço amostral.
Acontecimento certo é aquele que consta de todos os elementos do espaço de resultados. O
acontecimento certo verifica-se sempre.
Acontecimento Impossível é aquele que não tem qualquer elemento do espaço amostral. O acontecimento
impossível nunca se verifica.
Acontecimentos incompatíveis são aqueles em que a realização de um implica a não realização do outro.
S
Verifica-se:
A ∩ B = { }=Ø
A
B
Acontecimentos contrários A e A , são aqueles em os resultados de um deles são todos os elementos do
espaço amostral que não são resultados do outro.
S
Verifica-se:
i) A ∩ A = { } e
A
A
ii) A ∪ A = S
Acontecimento diferença entre A e B é aquele que se realiza se e só se A se realiza sem que B se realize.
Aos elementos de A retiram-se os de B.
S
A
A\B
B
A – B = A\B
Conceito frequencista de Probabilidade (Lei dos Grandes Números): A probabilidade P(A) de um acontecimento A,
é o valor para que tende a frequência relativa desse acontecimento quando se repete a experiência um grande
número de vezes.
Regina Costa Vidal
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Propriedades:
Verifique que:
0 ≤ P(A) ≤ 1 ; P(S) = 1
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) se A ∩ B = { }
P(A) = 1 − P(A)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) se A ∩ B ≠ { }
Definição clássica de Probabilidade ( Lei de Laplace): No caso dos acontecimentos do espaço amostral serem
equiprováveis a probabilidade de um determinado acontecimento A é o quociente entre o número de casos
favoráveis a esse acontecimento e o número de casos possíveis (número de elementos do espaço amostral).
Prática
1. A turma do 12ºX da Escola Secundária de Trabalheira é constituída por 26 alunos. Sabe-se que, nesta
turma, 18 alunos estão inscritos em Matemática , 14 em Geologia e 2 em nenhuma destas
disciplinas.
Considere a experiência aleatória que consiste em seleccionar ao acaso um aluno desta turma e
anotar as disciplinas em que está inscrito.
Sejam M e G os conjuntos associados aos seguintes acontecimentos:
M: “Estar inscrito em Matemática.”
G: “Estar inscrito em Geologia.”
1.1. Represente a informação dada num diagrama de Venn.
1.2. Indique o número de elementos dos conjuntos seguintes:
1.2.1. M ∩ G
1.2.2. M ∪ G
1.2.3. G
1.2.4. M \ G
2. Num saco temos três fichas numeradas de 1 a 3.
2
3
1
Considere as experiências:
A: “Extrair sucessivamente duas fichas, repondo a 1ª ficha antes de 2ª extracção.”
B: “Extrair sucessivamente duas fichas, sem reposição.”
2.1. Construa um diagrama de árvore para indicar todos os casos possíveis de A e B.
2.2. Relativamente à experiência A defina os acontecimentos:
C: “Extrair dois números ímpares.”
D: “Extrair um múltiplo de 3.”
2.3. Relativamente à experiência B defina os acontecimentos:
E:“Extrair o número 2.”
F: “Não extrair o número 3.”
3. Considere a experiência que consiste no lançamento de dois dados um cúbico e outro tetraédrico,
com as faces numeradas de 1 a 6 e de 1 a 4, respectivamente e observar os resultados.
3.1. Construa uma tabela de dupla entrada para indicar todos os casos possíveis.
3.2. Identifique os acontecimentos seguintes:
3.2.1. A: “ A soma dos pontos obtidos é igual a 6.”
3.2.2. B: “ A soma obtida dos pontos obtidos é superior a 8.”
3.2.3. C: “A soma dos pontos obtida é um número primo superior a 7.”
3.2.4. D: “A soma dos pontos obtidos é um número natural.”
3.3. Classifique os acontecimentos AeB, C, D. Justifique.
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4. De dois acontecimentos incompatíveis A e B sabe-se que:
Calcule P(A) , P(B) e P(A ∪ B) .
P(A) = 0,7 e P(B) = 2P(A) .
5. Lançou-se 70 vezes um dado tetraédrico, com os vértices numerados de 1 a 4.
Obteve-se 15 vezes o vértice um, 20 vezes o vértice dois, 12 vezes o vértice três e
as restantes o vértice quatro.
5.1. Elabore um quadro de distribuição de frequências relativas dos
acontecimentos elementares.
5.2. Determine a frequência relativa de cada um dos acontecimentos:
5.2.1. A: “Sair um vértice não inferior a 3.”
5.2.2. B: “Sair um vértice par.”
6. Numa caixa há bombons de café e de licor. Retirando, ao acaso, um bombom da caixa, a
1
probabilidade de ele ser de café é . Quantos bombons há de licor, sabendo que há seis bombons de
4
café?
7. A figura representa um quadrado. Determine a probabilidade de:
7.1. Escolhidos dois vértices ao acaso, eles definirem uma diagonal.
7.2. Escolhidos três vértices ao acaso, eles definirem um triângulo.
A
D
B
C
8. Quando se tira, ao acaso, uma carta de um baralho de 52 cartas, calcule a probabilidade de:
8.1. Sair às.
8.2. Sair copas.
8.3. Sair copas e figura.
8.4. Sair paus ou rei.
8.5. Não sair figura.
9. O António tem, num bolso do casaco, duas moedas de 0,50€, uma moeda de 1€ e uma de 0,20€. Se
retirar, duas moedas, ao acaso determine a probabilidade de, com elas perfazer uma quantia que
permita pagar uma despesa de 1,20€.
10. Considere uma caixa com quatro camisolas, uma de cada cor, e uma caixa com quatro saias, com as
mesmas cores das camisolas. Retirou-se, ao acaso, uma camisola e uma saia. Determine a
probabilidade de obter uma saia e uma camisola da mesma cor.
11. Um casal tem três filhos e decidiram ir ao cinema. Sabe-se que vão ocupar lugares consecutivos e que
o pai e a mãe se sentam ao lado um do outro. Determine de quantas maneiras diferentes pode a
família ocupar os cinco lugares.
12. Considere todos os números de algarismos diferentes menores que 2000 que são possíveis escrever
com os algarismos 1,2,3,4 e 5. Determine a probabilidade de ao escolher, ao acaso, um desses
números ele ser par.
13. Um fabricante de bicicletas atribui um código de fábrica a cada bicicleta que produz. Cada código é
formado por 4 algarismos (de 0 a 9). Sabendo que 0034 é um dos códigos possíveis e que o código
0000 não existe, diga qual o número máximo de bicicletas que o fabricante pode produzir.
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14. Numa turma do 12º ano de uma escola foi constituída uma equipa de cinco elementos para participar
num concurso. Os seus nomes são João (J), Ana(A), Pedro(P), Rui(R) e Susana(S).
14.1. A 1ª prova consta de três questões colocadas a três elementos distintos da equipa. A 1ª e a 3ª
questões são dirigidas a rapazes e a 2ª é dirigida a uma rapariga. Determine a probabilidade de o
João ser escolhido para responder a uma das questões. Apresente o resultado sob a forma de
fracção irredutível.
R: 2/3
14.2. Para a última prova foram escolhidos ao acaso dois elementos da equipa. Determine a
probabilidade de os elementos escolhidos não serem do mesmo sexo. Apresente o resultado sob
a forma de percentagem.
R: 60%
15. Um número telefónico é constituído por cinco dígitos. Qual a probabilidade que o número telefónico
contenha:
15.1. Um ou mais dígitos repetidos.
R:0,6976
15.2. Exactamente um dígito igual a 3.
R:0,06561
16. Num torneio de Voleibol estão inscritas 5 equipas: Frei Gil Voleibol, Académica de Espinho, Ala de
Gondomar, Castelo Maia e Boavista. As equipas inscritas vão jogar todas contra todas, apenas uma
vez. Determine qual o número de jogos que se irão realizar.
17. Num saco há cinco fichas, sendo duas brancas e três azuis. Retiram-se, sucessivamente, sem
reposição três fichas. Construa a tabela de distribuição da variável aleatória X=”Numero de fichas
brancas saídas”.
R:ncp=10
Sugestão: Construir uma tabela de dupla entrada para identificar o espaço amostral.
18. O Xavier foi à Feira do Livro. Ao visitar as diversas livrarias da feira, o Xavier deparou-se com alguns
livros que pretende comprar, principalmente três de José Saramago, com os preços de 11 euros, 13
euros e 15 euros dois de Lobo Antunes, com os preços de 18 e 30 euros, e, finalmente, dois de Miguel
Sousa Tavares, que custam 22 e 24 euros, respectivamente. O Xavier decidiu comprar um livro de
cada um dos três autores.
18.1. Determine de quantas maneiras diferentes o pode fazer.
18.2. Admita que o Xavier escolheu os três livros ao acaso. Considere a variável aleatória X que
representa o custo dos três livros que o Xavier vai comprar.
18.2.1. Diga quais os possíveis valores que a variável X pode tomar.
18.2.2. Defina, através de uma tabela, a distribuição de probabilidades da variável aleatória X.
18.2.3. Quando foi pagar reparou que só tinha 55 euros. Determine a probabilidade de poder
pagar a despesa em dinheiro.
19. Num saco estão quatro bolas com os números: 10, 20, 30 e 40. Extraem-se simultaneamente, duas
bolas do saco e toma-se nota dos números saídos. Seja X a variável aleatória que corresponde ao
maior número que saiu. Defina através de uma tabela a distribuição de probabilidades.
20. Um fabricante analisou os registos diários do número de artigos vendidos por um dos seus
representantes e elaborou a seguinte tabela de resultados:
Xi- Nº artigos vendidos
P(X=Xi)
0
0,1
1
0,35
2
0,3
3
0,1
4
P
5
0,07
6
0,06
Calcule o valor de p.
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