Prof.: André Luiz http://www.andreluizifto.xpg.com.br Geometria Espacial: Sólidos Geométricos Noções Sobre Poliedros Denominam-se sólidos geométricos as figuras geométricas do espaço. Entre os sólidos geométricos, destacamos os poliedros e os corpos redondos. Poliedro são sólidos limitados por polígonos planos que têm, dois a dois, um lado em comum. Exemplo: Postado em 27/ 01 /14 Aluno(a): _______________________________________________ POLIEDROS E PRISMA (1º BIM) TURMA: 3º A o mesmo número de lados, e se em todo vértice do poliedro converge o mesmo número de arestas. Nessas condições há somente cinco poliedros regulares, os quais apresentamos: a) Tetraedro regular Figura geométrica Inserir figura Planificação Prisma triangular (9 arestas e 6 vértices) Cubo (12 arestas e 8 vértices) b) hexaedro regular Figura geométrica Planificação Os polígonos são denominados faces do poliedro. Sendo que os lados e os vértices dos polígonos denominam-se, respectivamente, arestas e vértices do poliedro. Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces: Poliedro Convexo tetraedro pentaedro hexaedro heptaedro octaedro icosaedro Numero de faces 04 05 06 07 08 20 c) octaedro regular Figura geométrica Planificação POLIEDROS REGULARES Dizemos que um polígono é regular quando todos os seus lados são congruentes e todos os seus ângulos também são côngruos. Em um poliedro convexo se diz regular se suas faces são regiões poligonais regulares, todas com o Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia β Campus Gurupi β TO. Curso: Médio Int. em Agronegócio Série: 3º ano β Turma Única 2014 Prof.: André Luiz http://www.andreluizifto.xpg.com.br Geometria Espacial: Sólidos Geométricos Postado em 27/ 01 /14 d) dodecaedro Figura geométrica Planificação 2014 Resolução: π΄+2=π+πΉ π΄ + 2 = 12 + 8 β π΄ = 18 02) Determinar o número de arestas e de vértices de um poliedro convexo com seis faces quadrangulares e quatro faces triangulares. e) Icosaedro Figura geométrica Resolução: β 6 πππππ ππ’πππππππ’πππππ β 6.4 = 24 ππππ π‘ππ β 4 πππππ π‘ππππππ’πππππ β 4.3 = 12 ππππ π‘ππ Total de arestas=36 Planificação Como cada arestas é contada duas vezes, então temos apenas 18 arestas. RELAÇÃO DE EULER Consideremos um poliedro convexo no qual designamos, V para o número de vértices; A para o numero de arestas; F para o número de faces, podemos concluir que: π¨ + π = π½ + π (Relação de Euler) β΄ Em todo poliedro convexo, o número de arestas mais dois é igual ao número de vértices mais o nº de faces Veja alguns exemplos: A + 2 = V + F ( relação deEuler) 9+2=6+5 11 = 11 (ok!) A + 2 = V + F ( relação deEuler) 12 + 2 = 8 + 6 14 = 14 (ok!) Exemplos resolvidos: 01) Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de vértices é 12. Determine o número de arestas. Aplicando a relação de Euler, temos: A+2= V+F 18 + 2 = V + (6+4) V=10 Portanto o poliedro possui 10 faces, 18 arestas e 10 vértices. EXERCÍCIOS 01) Num poliedro convexo, o número de arestas é 16 e o número de faces é 9. Entre o total de vértices que possui este poliedro. 02) Um poliedro convexo tem 6 faces e 8 vértices. Determine o número de arestas. 03) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Determine o número de faces. 04) Um poliedro convexo tem 5 faces quadrangulares e duas faces pentagonais. Determine o número de arestas e o número de vértices. 05) Quantos vértices tem o poliedro convexo, sabendo que ele apresenta uma face hexagonal e seis faces triangulares? 06) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Determine o número de vértices deste poliedro. Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia β Campus Gurupi β TO. Curso: Médio Int. em Agronegócio Série: 3º ano β Turma Única Prof.: André Luiz http://www.andreluizifto.xpg.com.br Geometria Espacial: Sólidos Geométricos Postado em 27/ 01 /14 - PRISMA Definição: os primas são poliedros convexos que têm duas faces paralelas e congruentes (denominadas bases) e as demais faces em forma de paralelogramos (chamadas de faces laterais). Vejamos alguns exemplos de primas: 2014 Vejamos: Prisma hexagonal reto a) Prisma triangular (as bases são triangulares) Um prisma será regular quando for reto e sua base for um polígono regular. b) Prisma hexagonal (as bases são hexágonos) Prisma quadrangular oblíquo. No caso de as arestas laterais serem oblíquas aos planos das bases, o prisma se diz oblíquas. Num prisma, destacamos: AREA DA SUPERFÍCIE DE UM PRISMA Considerando um prisma de base temos: n polígonos, Área da base (Sb) -> é área de uma das regiões poligonais da base; Área Lateral (AL) -> corresponde a soma de todas as áreas representadas pelas faces laterais; ο As arestas das bases: AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE. ο As arestas laterais: AE, DH, CG, BF ο Altura do prisma: corresponde a distancia entre os planos que contêm as bases. Quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos que contêm as bases, o prisma é reto; neste caso as faces laterais são retângulos congruentes. Convém ressaltar que num prisma reto, a altura corresponde a mesma medida das arestas laterais. Área Total ( AT) -> representa a soma de todas as áreas deste prisma ( área da base + áreas laterais) Exemplos1: Dado um prisma reto com base hexagonal (hexágono regular), cuja altura é π = 3 π e cujo raio do círculo que circunscreve a base é π = 2π . Determine: a)a área da base; b) a área lateral c) a área total Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia β Campus Gurupi β TO. Curso: Médio Int. em Agronegócio Série: 3º ano β Turma Única Prof.: André Luiz http://www.andreluizifto.xpg.com.br Geometria Espacial: Sólidos Geométricos Postado em 27/ 01 /14 Resolução: Exemplo 2: 2014 Num prisma triangular regular, a medida da aresta da base é igual a medida h da altura do prisma. Sabendo-se que a área lateral é 10 m², calcule a área total do prisma. Resolução: Planificando temos: Planificando temos: a) Cálculo da área da base (Sb) a área da base é um hexágono regular que pode ser decomposto em 6 triângulos eqüiláteros de lado igual ao raio da circunferência. A face lateral é um retângulo de dimensões a e h. Então a área lateral: π΄πΏ = 3. π΄πΉ Como o raio é igual a aresta, temos: π΄π‘πππππ = π² 3 4 β π΄π‘πππππ = 2² 3 4 π² 3 4 ππΉ = π. π β ππΏ 3. π. π = 3π² = 3 π² Como a base do prisma contém 6 triângulos eqüiláteros, temos: π΄π = 6. E que h=a β 6 3 π² b) a área lateral; Num prisma regular, as faces laterais são retângulos. π΄πΏ = 6. π΄πππ‘ = 6.2. 3 = 12 3 π² c) a área total π΄ π = π΄πΏ + 2π΄π = 12 3 + 2 . 6 3 = 24 3 π² π΄πΏ = 10 β 3π² = 10 β π = 10 3 A base é um triângulo equilátero: π² 3 (10/3)² 3 10 3 π΄π = β β 4 4 12 Calculando a área total (AT) π΄ π = π΄πΏ + 2π΄π = 10 + 2 . 10 3 3 β 10 1 + 12 6 Resposta: π΄ π = 10 1 + 3 π² 6 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia β Campus Gurupi β TO. Curso: Médio Int. em Agronegócio Série: 3º ano β Turma Única Prof.: André Luiz http://www.andreluizifto.xpg.com.br Geometria Espacial: Sólidos Geométricos Postado em 27/ 01 /14 Resumindo: Em relação ao número de lados dos polígonos da base, os prismas podem ser: Triangulares β as bases são triângulos; Quadrangulares β as base são quadriláteros; Pentagonais β as bases são pentágonos; Hexagonais β as bases são hexágonos; . . . E assim por diante. Quanto a inclinação das arestas laterais, os primas classificam em: Retos: as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases; assim as faces laterais são retângulos; Oblíquos: as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases, desse modo, as faces laterais são simplesmente paralelogramos. 2014 EXERCÍCIOS 01) Calcule á área lateral e o volume de um prisma reto cuja base é um triângulo de lados 4cm, 6cm e 8cm e altura é 2 cm. 02) Um prisma pentagonal regular tem 20 cm de altura. A aresta da base do prisma mede 4 cm. Encontre a sua área total. 03) Considere os prismas retos e regulares indicados a seguir De cada uma das figuras acima, determine: a) a área lateral b) a área total c) o volume VOLUME DE UM PRISMA O volume de um prisma é obtido através do produto da base pela sua altura. 04) Um calendário de madeira tem a forma e as dimensões da figura abaixo. Quantos cm² de madeira foram utilizados para confeccionar o calendário? V=Ab * h Exemplo: Calcular o volume de um prisma triangular regular no qual a aresta da base é igual a 4 cm e sua altura mede 10 3 π 05) a altura de um prisma hexagonal regular é igual a 5 cm. Sendo 2 cm a aresta da base, determine o volume do prisma. 06) Calcule o volume de ar contido em um galpão com a forma e as dimensões dadas pela figura a seguir Como a base é um triangulo equilátero, temos: π΄π‘πππππ = π² 3 4 β 4² 3 4 = 4 3 ππ² E altura h=10 3 ππ V = 4 3 π² . 10 3 π= 120 cm³ 07) Calcule o volume de um prisma reto, cuja base é um triangulo equilátero de lado 2 cm, sabendo que a área lateral é 30 cm² Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia β Campus Gurupi β TO. Curso: Médio Int. em Agronegócio Série: 3º ano β Turma Única Prof.: André Luiz http://www.andreluizifto.xpg.com.br Geometria Espacial: Sólidos Geométricos Postado em 27/ 01 /14 Paralelepípedo Retângulo e Cubo - Entre os principais prismas, destacam-se o paralelepípedo retângulo e o cubo. 2014 EXERCÍCIOS Paralelepípedo retângulo: possui as seis faces retangulares e são inúmeros os objetos que tem a sua forma: um tijolo, uma caixa de sapatos, uma caixa de fósforos, um livro, etc. As dimensões de um paralelepípedo são chamadas de comprimento, largura e altura. No paralelepípedo demonstrar que retângulo, pode-se Diagonal: π = π² + π² + π² Área total: π΄ π = 2(ππ + ππ + ππ) Volume: π = π. π. π EXEMPLO: Determinar o comprimento da diagonal de um cubo de aresta a, a área lateral, área total e volume. Calculando a diagonal do lado: π² = π² + π² β π² = 2π² π·² = π² + π² β π·² = 2π² + π² β π·² = 3π² π·=π 3 Área lateral: π΄πΏ = 4π² Área Total: π΄ π = 6π² Volume πππ’ππ = π³ Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia β Campus Gurupi β TO. Curso: Médio Int. em Agronegócio Série: 3º ano β Turma Única
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