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Geometria Espacial: Sólidos Geométricos
Noções Sobre Poliedros
Denominam-se sólidos geométricos as
figuras geométricas do espaço. Entre os sólidos
geométricos, destacamos os poliedros e os corpos
redondos.
Poliedro são sólidos limitados por
polígonos planos que têm, dois a dois, um lado em
comum.
Exemplo:
Postado em
27/ 01 /14
Aluno(a): _______________________________________________
POLIEDROS E PRISMA (1º BIM)
TURMA: 3º A
o mesmo número de lados, e se em todo vértice do
poliedro converge o mesmo número de arestas.
Nessas condições há somente cinco poliedros
regulares, os quais apresentamos:
a) Tetraedro regular
Figura geométrica
Inserir figura
Planificação
Prisma triangular
(9 arestas e 6 vértices)
Cubo
(12 arestas e 8 vértices)
b) hexaedro regular
Figura geométrica
Planificação
Os polígonos são denominados faces do
poliedro. Sendo que os lados e os vértices dos
polígonos
denominam-se,
respectivamente,
arestas e vértices do poliedro.
Os poliedros convexos possuem nomes
especiais de acordo com o número de faces:
Poliedro Convexo
tetraedro
pentaedro
hexaedro
heptaedro
octaedro
icosaedro
Numero de faces
04
05
06
07
08
20
c) octaedro regular
Figura geométrica
Planificação
POLIEDROS REGULARES
Dizemos que um polígono é regular
quando todos os seus lados são congruentes e
todos os seus ângulos também são côngruos. Em
um poliedro convexo se diz regular se suas faces
são regiões poligonais regulares, todas com o
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2014
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d) dodecaedro
Figura geométrica
Planificação
2014
Resolução:
𝐴+2=𝑉+𝐹
𝐴 + 2 = 12 + 8 → 𝐴 = 18
02) Determinar o número de arestas e de vértices de
um poliedro convexo com seis faces quadrangulares e
quatro faces triangulares.
e) Icosaedro
Figura geométrica
Resolução:
∎ 6 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 → 6.4 = 24 𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠
∆ 4 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 → 4.3 = 12 𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠
Total de arestas=36
Planificação
Como cada arestas é contada duas vezes, então
temos apenas 18 arestas.
RELAÇÃO DE EULER
Consideremos um poliedro convexo no qual
designamos, V para o número de vértices; A para o
numero de arestas; F para o número de faces,
podemos concluir que:
𝑨 + 𝟐 = 𝑽 + 𝑭 (Relação de Euler)
∴ Em todo poliedro convexo, o número de arestas mais
dois é igual ao número de vértices mais o nº de faces
Veja alguns exemplos:
A + 2 = V + F ( relação deEuler)
9+2=6+5
11 = 11 (ok!)
A + 2 = V + F ( relação deEuler)
12 + 2 = 8 + 6
14 = 14 (ok!)
Exemplos resolvidos:
01) Num poliedro convexo, o número de faces é 8
e o número de vértices é 12. Determine o número
de arestas.
Aplicando a relação de Euler, temos:
A+2= V+F
18 + 2 = V + (6+4)
V=10
Portanto o poliedro possui 10 faces, 18 arestas e 10
vértices.
EXERCÍCIOS
01) Num poliedro convexo, o número de arestas
é 16 e o número de faces é 9. Entre o total de
vértices que possui este poliedro.
02) Um poliedro convexo tem 6 faces e 8
vértices. Determine o número de arestas.
03) Num poliedro convexo, o número de arestas
excede o número de vértices em 6 unidades.
Determine o número de faces.
04) Um poliedro convexo tem 5 faces
quadrangulares e duas faces pentagonais.
Determine o número de arestas e o número de
vértices.
05) Quantos vértices tem o poliedro convexo,
sabendo que ele apresenta uma face hexagonal e
seis faces triangulares?
06) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4
lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados.
Determine o número de vértices deste poliedro.
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PRISMA
Definição: os primas são poliedros convexos que
têm duas faces paralelas e congruentes
(denominadas bases) e as demais faces em
forma de paralelogramos (chamadas de faces
laterais).
Vejamos alguns exemplos de primas:
2014
Vejamos:
Prisma hexagonal reto
a) Prisma triangular (as bases são triangulares)
Um prisma será regular quando for reto e sua base
for um polígono regular.
b) Prisma hexagonal (as bases são hexágonos)
Prisma quadrangular oblíquo.
No caso de as arestas laterais serem oblíquas aos
planos das bases, o prisma se diz oblíquas.
Num prisma, destacamos:
AREA DA SUPERFÍCIE DE UM PRISMA
Considerando um prisma de base
temos:
n polígonos,
Área da base (Sb) -> é área de uma das regiões
poligonais da base;
Área Lateral (AL) -> corresponde a soma de todas as
áreas representadas pelas faces laterais;
 As arestas das bases: AB, BC, CD, DA,
EF, FG, GH, HE.
 As arestas laterais: AE, DH, CG, BF
 Altura do prisma: corresponde a
distancia entre os planos que contêm as
bases.
Quando
as
arestas
laterais
são
perpendiculares aos planos que contêm as
bases, o prisma é reto; neste caso as faces
laterais são retângulos congruentes. Convém
ressaltar que num prisma reto, a altura
corresponde a mesma medida das arestas
laterais.
Área Total ( AT) -> representa a soma de todas as
áreas deste prisma ( área da base + áreas laterais)
Exemplos1: Dado um prisma reto com base
hexagonal (hexágono regular), cuja altura é
𝑕 = 3 𝑚 e cujo raio do círculo que circunscreve a
base é 𝑟 = 2𝑚 . Determine:
a)a área da base;
b) a área lateral
c) a área total
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Resolução:
Exemplo 2:
2014
Num prisma triangular regular, a medida da aresta
da base é igual a medida h da altura do prisma.
Sabendo-se que a área lateral é 10 m², calcule a
área total do prisma.
Resolução:
Planificando temos:
Planificando temos:
a) Cálculo da área da base (Sb)
a área da base é um hexágono regular que pode
ser decomposto em 6 triângulos eqüiláteros de
lado igual ao raio da circunferência.
A face lateral é um retângulo de dimensões a e h.
Então a área lateral:
𝐴𝐿 = 3. 𝐴𝐹
Como o raio é igual a aresta, temos:
𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 =
𝑎² 3
4
→ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 =
2² 3
4
𝑎² 3
4
𝑆𝐹 = 𝑎. 𝑕 → 𝑆𝐿 3. 𝑎. 𝑎 = 3𝑎²
= 3 𝑚²
Como a base do prisma contém 6 triângulos
eqüiláteros, temos:
𝐴𝑏 = 6.
E que h=a
→ 6 3 𝑚²
b) a área lateral;
Num prisma regular, as faces laterais são retângulos.
𝐴𝐿 = 6. 𝐴𝑟𝑒𝑡 = 6.2. 3 = 12 3 𝑚²
c) a área total
𝐴 𝑇 = 𝐴𝐿 + 2𝐴𝑏 = 12 3 + 2 . 6 3 = 24 3 𝑚²
𝐴𝐿 = 10 → 3𝑎² = 10 → 𝑎 =
10
3
A base é um triângulo equilátero:
𝑎² 3 (10/3)² 3 10 3
𝐴𝑏 =
→
→
4
4
12
Calculando a área total (AT)
𝐴 𝑇 = 𝐴𝐿 + 2𝐴𝑏 = 10 + 2 .
10 3
3
→ 10 1 +
12
6
Resposta:
𝐴 𝑇 = 10 1 +
3
𝑚²
6
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Resumindo:
Em relação ao número de lados dos polígonos da
base, os prismas podem ser:
Triangulares → as bases são triângulos;
Quadrangulares → as base são quadriláteros;
Pentagonais → as bases são pentágonos;
Hexagonais → as bases são hexágonos;
.
.
.
E assim por diante.
Quanto a inclinação das arestas laterais, os
primas classificam em:
Retos: as arestas laterais são perpendiculares
aos planos das bases; assim as faces laterais são
retângulos;
Oblíquos: as arestas laterais são oblíquas aos
planos das bases, desse modo, as faces laterais
são simplesmente paralelogramos.
2014
EXERCÍCIOS
01) Calcule á área lateral e o volume de um
prisma reto cuja base é um triângulo de lados
4cm, 6cm e 8cm e altura é 2 cm.
02) Um prisma pentagonal regular tem 20 cm de
altura. A aresta da base do prisma mede 4 cm.
Encontre a sua área total.
03) Considere os prismas retos e regulares
indicados a seguir
De cada uma das figuras acima, determine:
a) a área lateral b) a área total c) o volume
VOLUME DE UM PRISMA
O volume de um prisma é obtido através do
produto da base pela sua altura.
04) Um calendário de madeira tem a forma e as
dimensões da figura abaixo. Quantos cm² de
madeira foram utilizados para confeccionar o
calendário?
V=Ab * h
Exemplo:
Calcular o volume de um prisma triangular
regular no qual a aresta da base é igual a 4 cm e
sua altura mede 10 3 𝑚
05) a altura de um prisma hexagonal regular é
igual a 5 cm. Sendo 2 cm a aresta da base,
determine o volume do prisma.
06) Calcule o volume de ar contido em um galpão
com a forma e as dimensões dadas pela figura a
seguir
Como a base é um triangulo equilátero, temos:
𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 =
𝑎² 3
4
→
4² 3
4
= 4 3 𝑐𝑚²
E altura h=10 3 𝑐𝑚
V = 4 3 𝑚² . 10 3 𝑚= 120 cm³
07) Calcule o volume de um prisma reto, cuja
base é um triangulo equilátero de lado 2 cm,
sabendo que a área lateral é 30 cm²
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Paralelepípedo Retângulo e Cubo
-
Entre os principais prismas, destacam-se o
paralelepípedo retângulo e o cubo.
2014
EXERCÍCIOS
Paralelepípedo retângulo: possui as seis faces
retangulares e são inúmeros os objetos que tem
a sua forma: um tijolo, uma caixa de sapatos,
uma caixa de fósforos, um livro, etc.
As dimensões de um paralelepípedo são
chamadas de comprimento, largura e altura.
No
paralelepípedo
demonstrar que
retângulo,
pode-se
Diagonal: 𝑑 = 𝑎² + 𝑏² + 𝑐²
Área total: 𝐴 𝑇 = 2(𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐)
Volume: 𝑉 = 𝑎. 𝑏. 𝑐
EXEMPLO:
Determinar o comprimento da diagonal de um
cubo de aresta a, a área lateral, área total e
volume.
Calculando a diagonal do lado:
𝑑² = 𝑎² + 𝑎² → 𝑑² = 2𝑎²
𝐷² = 𝑑² + 𝑎² → 𝐷² = 2𝑎² + 𝑎² → 𝐷² = 3𝑎²
𝐷=𝑎 3
Área lateral:
𝐴𝐿 = 4𝑎²
Área Total:
𝐴 𝑇 = 6𝑎²
Volume
𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 = 𝑎³
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