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CAPÍTULO 3 - Tópicos gerais de
probabilidade
O conhecimento de probabilidade constrói a base que nos permite entender como
a inferência estatística e as técnicas de auxílio de decisão são desenvolvidas, porque elas
funcionam, e como as conclusões obtidas a partir desses procedimentos podem ser
apresentadas e interpretadas corretamente. Para o perfeito entendimento de probabilidade,
alguns conceitos são importantes.
2. Alguns Conceitos
2.1.Experimentos probabilísticos ou aleatórios
Um experimento que pode resultar em diferentes resultados, mesmo que seja
repetido sempre da mesma maneira várias vezes, é chamado experimento aleatório.
Vale observar que “experimento” se refere a um ensaio científico destinado à certificação
de um fenômeno.
Características de um experimento aleatório:
a) Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob condições essencialmente
inalteradas.
b) Muito embora não se possa afirmar que resultado particular ocorrerá, é sempre
possível descrever o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento.
c) Quando o experimento for realizado repetidamente os resultados individuais parecem
ocorrer de forma acidental. Contudo,se o experimento for repetido um grande número de
vezes, uma certa regularidade surgirá. Isto é, será observada uma estabilização na
frequência dos distintos resultados do experimento. É esta regularidade que torna possível
construir um modelo matemático preciso, com o qual se analisará o experimento.
Exemplos:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
E1 : Ensaiar uma lâmpada quanto a duração da vida até queimar
E 2 : Escolher, ao acaso, um ponto de um círculo de raio unitário.
E3 : Registrar as vazões num certo rio, no mesmo mês, dia e hora em anos
sucesssivos.
E 4 : jogar um dado ao ar e observar a sua face superior.
E5 : Seleção de três ítens ao acaso de uma linha de fabricação. Cada ítem é
inspecionado e classificado com defeituoso ou não defeituoso.
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2.2. Espaço amostral
O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório é
chamado espaço amostral do experimento. Sua representação é dada pela letra S.
Exemplo:
Aos experimentos aleatórios exemplificados anteriormente estão associados
os seguintes espaços amostrais, respectivamente:
(i) S1 = {t | t ≥ 0}
(ii) S2 = {(x,y); x2 + y2 ≤ 1}
(iii) S3 = {q | 0 ≤ q ≤ qmax} , onde q é a vazão
(iv) S4 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(v) S5 = {DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN} sendo D =
defeituoso e N= não defeituoso.
2.3. Eventos
Um evento é um subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.
Temos, então, que o próprio S e o conjunto vazio ∅, constituem eventos.
Qualquer resultado individual pode ser tomado como um evento.
exemplos:
se tomarmos o espaço amostral S4 apresentado acima poderíamos ter como eventos:
A={sair número par}={2,4,6}; ou B={sair número maior que 4}={5,6}, etc.
OBS.:Novos eventos podem ser originados da combinação de eventos existentes.
A união de dois eventos é o evento que consiste de todos os resultados que estão
contidos em qualquer um dos dois eventos originais. Simbolicamente usamos E1 ∪ E2.
A interseção de dois eventos é o evento que consite the todos os resultados que
estão contidos em ambos os eventos originais (ou seja, estão em comum).
Simbolicamente usamos E1 ∩ E2.
O complemento de um evento em um espaço amostral corresponde ao conjunto
de resultados que não fazem parte do evento original. Simbolicamente usamos E para
representar o complemento do evento E.
2.4. Eventos Mutuamente Exclusivos
Dois eventos são ditos mutuamente exclusivos se eles não puderem ocorrer
simultaneamente, isto é, A∩B=∅. Equivalem aos conjuntos disjuntos na teoria dos
conjuntos.
Exemplo: Considere o espaço amostral S4 definido enteriormente. Considere também os
eventos associados a S4: A={1}; B={5, 6}; C={número par}. Temos, então, que:
A e B são mutuamente exclusivos pois A∩B=∅
A e C são mutuamente exclusivos pois A∩C=∅
B e C não são mutuamente exclusivos pois B∩C={6}.
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3. Noções Fundamentais de Probabilidade - Conceitos
Independentemente do experimento aleatório em questão, uma vez definidos
alguns eventos de interesse, importante se faz atribuir valores de probabilidade a tais
eventos. Vejamos alguns concentos úteis.
Um conceito
Seja E um experimento aleatório. Seja S um espaço amostral associado ao
experimento E. Podemos entender a probabilidade como sendo em número real associado
a um evento A qualquer, que satisfaz as seguintes propriedades:
(1) 0 ≤ P(A)
(2) P(S) = 1
(3) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então P(A∪B) = P(A) + P(B)
Generalizando para o caso de um número finito de eventos mutuamente
exclusivos, tem-se:
n
P ( A 1 ∪ A 2 ∪... ∪A n ) = P ( A1 ) + P ( A 2 ) +... + P ( A n ) = ∑ P ( A i )
i =1
Todas essas propriedades parecem concordar com nosso conceito intuitivo de
probabilidade, e essas poucas propriedades são suficientes para permitir toda a estrutura
matemática a ser desenvolvida.
Deve-se notar que as propriedades (ou axiomas, conforme citado em algumas
referências) acima não fornecem uma maneira objetiva de se atribuir valores à
probabilidade de um evento.
Este seria o conceito subjetivo, moderno ou axiomático de probabilidade.
Enfim, este conceito não fornece formas e sim condições para o cálculo de
probabilidades, ou seja, qualquer processo de cálculo de probabilidade é válido desde que
satisfaça os axiomas.
Outro Conceito
Uma regra mais prática que nos fornece uma maneira mais objetiva para a
atribuição numérica da probabilidade de um evento é dado pelo chamado conceito
clássico ou probabilidade a priori. Este conceito está ligado aos jogos de azar, que
deram origem à teoria de probabilidade nos idos do século XVI.
Entretanto, o método clássico para a obtenção de probabilidades se aplica a
situações em que temos espaços amostrais finitos equiprováveis e enumeráveis.
Definição: Espaço amostral finito equiprovável: Seja S um espaço
amostral formado por um número finito de elementos. Se cada ponto ai de
S tem a mesma probabilidade de ocorrer, então a espaço amostral chamase equiprovável ou uniforme. Em particular, se S contém n pontos
amostrais então a probabilidade de cada ponto será 1/n.
S = {a1, a2, …, an}
P(a i ) = Probabilidade de ai
P(a i ) ≥ 0, i = 1,2,..., n e
n
∑ P(a ) = 1
i
i =1
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Desse modo, a probabilidade do evento A, associado a um espaço amostral finito
equiprovável, é dada por:
NCF
P(A ) =
NCP
sendo: NCF = Número de casos favoráveis ao evento A
NCP = número de casos possíveis pelos quais E pode ocorrer
Exemplos:
i) Seja E o experimento relativo ao lançamento de um dado honesto. Seja A o evento
ocorrência da face 6. Portanto, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} e P(A) = 1/6
ii) Considerando ainda o mesmo experimento, seja B o evento ocorrência de uma face
par. Logo, B = {2, 4, 6}; então: P(B) = 3/6 = 1/2
iii) Seja o espaço amostral referente ao número de caras obtidas em dois lances de uma
moeda. Seja A o evento ocorrência de uma cara. Então, S = {0, 1, 2} e A = {1}.
Aqui (Exemplo iii) o conceito clássico não pode ser imediatamente aplicado, pois
os pontos de S não são equiprováveis, ou seja, P(A) ≠ 1/3.
Observando o espaço amostral original: S' = {cc, ck, kc, kk}, sendo c=cara e
k=coroa, vê-se que A = {ck, kc} e, portanto, P(A) = 2/4 = 1/2.
Poderíamos empregar corretamente o espaço S da seguinte maneira: os resultados
0 e 2 são igualmente prováveis, enquanto o resultado 1 é duas vezes mais provável que
qualquer um dos outros.
Ainda outro conceito
Por outro lado, a maneira teórica mais objetiva de se atribuírem probabilidades
seria em casos onde o experimento pode ser repetido indefinidas vezes. A probabilidade
seria o limite para o qual tenderia a proporção de vezes em que o evento ocorre, à medida
que se aumenta o número de repetições do experimento, sob as mesmas condições. Ou
seja, seria através da frequência relativa do evento considerado.
Este seria o terceiro conceito de probabilidade: frequência relativa ou probabilidade a
posteriori ou probabilidade empírica.
Esta definição tem por base o princípio estatístico da estabilidade, ou seja, à
medida que o número de repetições do experimento aumenta, a frequência relativa se
aproxima da probabilidade P(A).
Exemplo: Em 660 lançamentos de uma moeda foram observadas 310 caras. Qual a
probabilidade de, num lançamento dessa moeda obter-se coroa?
Como foram obtidas 310 caras, ocorreram 350 coroas, logo: f = 350/660 =
0,5303.
Mas não é absolutamente essencial realizar um experimento para obter dados
amostrais. Em muitos casos dispomos de informação histórica precisa, que pode ser
usada da mesma maneira. Por exemplo, se quisermos a estimativa da probabilidade de
certo jogador acertar um pênalti, não precisamos montar um experimento, caso já
tenhamos os resultados anotados de vários treinamentos. Ou seja, não precisamos mandar
ele bater vários pênaltis e contar os acertos.
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Exemplo:
Em Sobral, no Ceará, observaram-se seis anos de seca no período 1901-66 (66 anos).
Qual é a probabilidade do próximo ano ser seco?
Aqui, a estimativa f da probabilidade p será: f = 6/66 = 1/11.
Importante:
Ao adotarmos o método empírico, é importante atentarmos para os seguintes
aspectos:
a) A probabilidade assim determinada é apenas uma estimativa do verdadeiro valor.
b) Quanto maior a amostra, mais confiável é a estimativa da probabilidade (desde que os
princípios teóricos de amostragem sejam considerados ).
c) A probabilidade só é válida para um conjunto de condições idênticas àquelas sob as
quais se originaram os dados.
Exemplo:
Se jogarmos um dado “honesto” 90 vezes e obtivermos o resultado do quadro a
seguir, teremos, na freqüência relativa, a probabilidade "a posteriori" e na freqüência
esperada relativa, a probabilidade "a priori". Quando o número de tentativas aumenta
consideravelmente, as duas se aproximam.
Resultado hipotético do lançamento de um dado 90 vezes consecutivas
Face nº
Freqüência
observada
Freqüência relativa
Freqüência
esperada
Freqüência
esperada relativa
1
2
3
4
5
6
12
17
15
18
10
18
12/90 = 0,133
17/90 = 0,189
15/90 = 0,167
18/90 = 0,200
10/90 = 0,111
18/90 = 0,200
15
15
15
15
15
15
1/6 = 0,167
1/6 = 0,167
1/6 = 0,167
1/6 = 0,167
1/6 = 0,167
1/6 = 0,167
∑
90
1,000
Outro exemplo:
Abaixo estão representados os histogramas de 6 experimentos de lançamento de
um dado honesto. Cada experimento foi repetido um diferente número de vezes. Foram
usados 6, 12, 60, 240, 2400 e 24000 repetições, respectivamente. Observa-se que, à
medida que se aumenta o número de repetições, a frequência relativa de cada resultado do
dado se aproxma de 1/6, que seria o verdadeiro valor de probabilidade.
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0
0
2
2
4
4
Arremessos de um dado honesto. Número de arremessos variando de 6 a 24000.
0
1
2
3
4
5
6
1
2
3
5
6
5
6
5
6
sample(6, 12, T)
0
0
4
20
8
40
14
sample(6, 6, T)
4
0
1
2
3
4
5
6
1
2
4
sample(6, 240, T)
0
0
200
2000
sample(6, 60, T)
3
1
2
3
4
5
6
1
sample(6, 2400, T)
2
3
4
sample(6, 24000, T)
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Uma definição – Probabilidade Geométrica.
Suponhamos que um segmento l seja parte de um outro segmento L e que se tenha
escolhido ao acaso um ponto de L . Se admitirmos que a probabilidade de este ponto
pertencer a l é proporcional ao comprimento de l e não depende do lugar que l ocupa
em L , então a probabilidade de que o ponto selecionado esteja em l será
P=
comprimento de l
comprimento de L
Exemplo: Sejam AB um segmento de reta e E um evento que se caracteriza pela
escolha, ao acaso, de um ponto do segmento AB , que pertença também ao segmento
menor ab, contido em AB . Se os comprimentos de AB e ab são, respectivamente, 5 e
2 unidades, qual é a probabilidade da ocorrência de E ?
Solução:
comprimento de ab 2
=
comprimento de AB 5
Analogamente, suponhamos que uma figura plana g seja parte de uma outra
figura plana G e que se tenha escolhido ao acaso um ponto de G . Se admitirmos que a
probabilidade de este ponto pertencer a g é proporcional à área de g e não depende do
lugar que g ocupa em G , então a probabilidade de que o ponto selecionado esteja em g
será:
P(E ) =
P=
área de g
área de G
Exemplo: Seja um experimento referente à escolha de um ponto ao acaso de um círculo
de raio r centrado na origem. Tem-se então:
S = {(x , y ):x 2 + y 2 ≤ r 2 }
ou seja, os pares de valores (x, y ) que satisfazem a condição x 2 + y 2 ≤ r 2 , são os pontos
amostrais que compõe S .
Supondo um círculo de raio igual a 2 e os eventos A = {(x , y ):x 2 + y 2 ≤ 2} e
1
B = (x, y ):x 2 + y 2 ≤  , pede-se calcular P(A) e P(B).
2

Solução:
( )
2
1
área do círculo de raio 2 π 2
P(A ) =
=
=
2
2
área do círculo de raio 2
π(2 )
e
2
1 π 1 
área do círculo de raio


2 =  2 =1
P(B ) =
2
8
área do círculo de raio 2
π(2 )
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3.1. Principais Teoremas para o Cálculo de Probabilidades
O cálculo de probabilidades, além dos axiomas apresentados na página 3, se
baseia em quatro teoremas auxíliares. Os diagramas de Venn são úteis na compreensão,
tanto dos teoremas, quanto dos processos de demonstração.
I) Se ∅ for o conjunto vazio, então P(∅) = 0
Prova:
A = A∪∅
P(A) = P(A∪∅) = P(A) + P(∅)
logo, P(∅) = P(A) - P(A) = 0
(propriedade 2)
II) Se A é o complemento de A, então P(A ) = 1 - P(A)
Prova:
S = A ∪ A ⇒ 1 = P(A) + P(A )
logo, P(A ) = 1 - P(A).
(propriedades 2 e 3)
III) Se A e B forem dois eventos quaisquer, então P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
Prova:
A idéia desta demonstração é decompor A∪B e B em dois eventos mutuamente
exclusivos.
logo, podemos escrever:
A∪B = A ∪ (B∩ A ) ......(1)
B = (A∩B) ∪ (B∩A ) .....(2)
consequentemente,
P(A∪B) = P(A) + P(B∩A ) .....(1)
P(B) = P(A∩B) + P(B∩A ) .....(2)
Subtraíndo-se a primeira igualdade da segunda, tem-se:
P(A∪B) - P(B) = P(A) - P(A∩B) e , então:
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
FATO: Para três eventos quaisquer A, B e C, temos que:
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)
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IV) Se A⊂B, então P(A) ≤ P(B)
Prova:
B = A ∪ (B∩A )
P(B) = P[A ∪ (B∩A )]
P(B) = P(A) + P(B∩A )
logo P(B) é ≥ P(A) pois P(B∩A ) é ≥ 0 pelo axioma enunciado em 3.
4. Probabilidade Condicional
Sejam A e B dois eventos associados ao experimento E. A probabilidade do
evento B condicionada à ocorrência do evento A, ou seja, a probabilidade condicional de
B dado A, é dada por:
P ( A ∩ B)
, para P(A) > 0
P(B/A) =
P( A )
P ( A ∩ B)
Analogamente: P(A/B) =
, para P(B) > 0
P ( B)
Pode-se verificar que P(B/A) satisfaz aos vários postulados de probabilidade. Isto é:
i) 0 ≤ P ( B / A ) ≤ 1
ii) P(S/A) = 1
iii) P ( B1 ∪ B2 ) / A = P ( B1 / A ) + P ( B2 / A ) − P ( B1 ∩ B2 ) / A
ou
P ( B1 / A ) + P ( B2 / A ) se B1 ∩ B2 = ∅
obs: Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então: P(B/A) = P(A/B) = 0
Exemplo:
Os dados abaixo se referem a 200 alunos matriculados em determinado Instituto
de matemática, de acordo com o sexo e o curso:
Masculino Feminino Total
Matemática Pura
60
50
110
Estatística
80
10
90
Total
140
60
200
Qual seria a probabilidade de uma pessoa aleatoriamente escolhida:
a) Estar matriculada em matemática pura?
b) Estar matriculada em matemática pura, dado ser homem?
c) Ser homem?
d) Ser homem dado que Esta matriculado em estatística?
e) Estar matriculada em matemática pura, sabendo-se que é mulher ?
Solução:
sejam os eventos:
A={aluno faz matemática pura}
E={aluno faz estatística}
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M={aluno é do sexo masculino}
F={aluno é do sexo feminino}
a) P(A) =
NCF 110
=
NCP 200
P ( A ∩ M ) 60 200
60 200 60
b) P(A/M) =
=
=
⋅
=
140
P( M)
200 140 140
200
140
c) P(M) =
200
P ( M ∩ E ) 80 200 80
d)P(M/E) =
=
=
90
P( E )
90
200
P ( M ∩ F) 50 200 50
e) P(M/F) =
=
=
60
P ( F)
60
200
Podemos verificar que podemos calcular a probabilidade condicional [P(B/A)] de
dois eventos A e B quaisquer de duas maneiras:
i) Empregando a definição, onde P(A∩B) e P(A) são calculados em relação ao espaço
amostral original S;
ii) Diretamente, pela consideração da probabilidade de B em relação ao espaço amostral
reduzido determinado pela ocorrência do evento A.
5. Teorema do Produto das Probabilidades
Vimos que a probabilidade condicional de A na hipótese H (ou dado H) é
P( A ∩ H )
P(A/H) =
(1)
P( H )
A fórmula (1) é frequentemente usada na forma
P(A∩H) = P(A/H) . P(H)
(2)
Esse resultado é conhecido pelo nome de teorema do produto.
A generalização desse resultado para três eventos A, B, C, é obtida por:
P(A ∩ B ∩ C ) P(A ∩ B ∩ C )
P[C / (A ∩ B)] =
, então:
=
P(A ∩ B)
P(A ).P(B / A )
P(A∩B∩C) = P[C/(A∩B)] . P(B/A) . P(A)
As generalizações para quatro ou mais eventos saem diretamente pelo mesmo
processo.
6. Independência Estocástica (ou Probabilística)
Dois eventos A e B, pertencentes a um mesmo espaço amostral (S), são
independentes se as seguintes condições são válidas:
P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B),
então:
P(A∩B) = P(A) . P(B)
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obs: n eventos A 1 , A 2 , ⋅⋅⋅, A n são ditos mutuamente independentes se eles forem
independentes 2 a 2, 3 a 3, ...,n a n. Isto é, se as seguintes igualdades forem verificadas:
Para 1<i<j<k<n
P ( A i ∩ A j ) = P ( A i ). P ( A j )
P ( A i ∩ A j ∩ A k ) = P ( A i ). P ( A j ). P ( A k )
...
n
P ( A 1 ∩ A 2 ∩... ∩A n ) = ∏ P ( A i )
i =1
7. Partição do Espaço Amostral e o Teorema de BAYES
7.1. Teorema da Probabilidade Total
Inicialmente, enunciaremos um teorema útil que relaciona a probabilidade de um
evento com probabilidades condicionais, o qual é chamado Teorema da Probabilidade
Total.
Sejam B1 , B2 , ... , Bn eventos mutuamente exclusivos e exaustivos.
Definição: { B1 , B2 , ... , Bn } é um conjunto de eventos mutuamente exclusivos e
exaustivos se quaisquer dois eventos Bi e B j não podem ocorrer ao mesmo tempo e um
deles deve ocorrer. Simbolicamente, Bi ∩ B j = ∅, para i ≠ j, e B1 ∪ B2 ∪... ∪ Bn = S.
B1 , B2 , ..., Bn são eventos que formam uma partição do espaço amostral S. Então,
para um evento arbitrário A, tem-se:
n
P ( A ) = P ( A / B1 ). P ( B1 ) + P ( A / B2 ). P ( B2 ) + ⋅⋅⋅ + P ( A / Bn ). P ( Bn ) = ∑ P ( A / Bi ). P ( Bi )
i =1
Prova:
Seja o diagrama de Venn a seguir:
É claro que podemos escrever A como a união de eventos mutuamente exclusivos,
isto é:
Logo:
A = ( A ∩ B1 ) ∪ ( A ∩ B2 ) ∪ ⋅⋅⋅ ∪ ( A ∩ Bn ).
P ( A ) = P ( A ∩ B1 ) + P ( A ∩ B2 ) + ⋅⋅⋅ + P ( A ∩ Bn ).
Mediante aplicação da probabilidade condicional, onde:
P ( A ∩ Bi )
P ( A / Bi ) =
⇒ P ( A ∩ Bi ) = P ( A / Bi ). P ( Bi ) ,
P ( Bi )
teremos
P ( A ) = P ( A / B1 ). P ( B1 ) + P ( A / B2 ). P ( B2 ) + ⋅⋅⋅ + P ( A / Bn ). P ( Bn )
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n
∴ P ( A ) = ∑ P ( A / Bi ). P ( Bi )
i =1
obs: Esta relação é útil quando desejamos calcular P(A) e esta é difícil de ser calculada
diretamente, e sabemos da(s) ocorrência(s) do(s) B i . O fato é que é mais fácil calcular os
termos que compõem o somatório do que a própria P(A).
7.2. Teorema de Bayes
Com base na definição de probabilidade condicional e na partição do espaço
amostral considerada anteriormente, pode-se estabelecer um resultado bastante útil,
geralmente conhecido como Teorema de Bayes, o qual apresentaremos agora:
Sejam A e B dois eventos arbitrários com P(A) > 0 e P(B) > 0. Então:
P ( B ∩ A ) P ( A / B). P ( B)
P(B/A) =
=
P( A )
P( A )
Combinando este resultado com o teorema da probabilidade total, temos, como
consequência,
P(A / B j ).P(B j )
P(B j / A) = n
∑ P(A / B ).P(B )
i
i
i =1
Para a aplicação do teorema, as probabilidades P(B j ) devem ser conhecidas e
convenientemente consideradas, e os B i representam um conjunto de eventos
mutuamente exclusivos e exaustivos.
Sua utilidade consiste em permitir-nos calcular a probabilidade a posteriori
[P(B/A)] em termos das informações a priori P(B) e P(A).
Exemplo:
Em uma escola, as turmas A, B e C têm 40, 50 e 10 % do total de alunos de
determinada série, respectivamente. Dos alunos de cada turma, 3, 5 e 2 %,
respectivamente, serão reprovados. Escolhido ao acaso um aluno dessa série, pede-se:
a) Qual a probabilidade de o aluno ser reprovado?
b) Seleciona-se ao acaso um aluno dessa escola. Sabendo-se que o aluno será reprovado,
qual a probabilidade de que ele seja da turma B?
Solução:
Sejam os eventos:
A={aluno da turma A}
B={aluno da turma B}
C={aluno da turma C}
R={aluno reprovado}
Método 1:
P(A) = 0,40
P(B) = 0,50
P(C) = 0,10
P(R/A) = 0,03
P(R/B) = 0,05
P(R/C) = 0,02
R = {(R ∩ A) ∪ (R ∩ B) ∪ (R ∩ C)}
a)
P(R) = P(R∩A) + P(R∩B) + P(R∩C)
P(R) = P(A) . P(R/A) + P(B) . P(R/B) + P(C) . P(R/C)
P(R) = 0,40 . 0,03 + 0,50 . 0,05 + 0,10 . 0,02
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P(R) = 0,012 + 0,025 + 0,002 = 0,039
b) P(B/R) =
P ( B ∩ R ) P ( B). P ( R / B) 0, 50. 0, 05 0, 025 25
=
=
=
=
= 0, 641
P( R )
P( R )
0, 039
0, 039 39
Método 2:
R
0,012
0,025
0,002
0,039
A
B
C
R
0,388
0,475
0,098
0,961
0,40
0,50
0,10
1,00
a) P(R) = 0,039
0, 025
b) P(B/R) =
= 0, 641
0, 039
Método 3: (Diagrama em árvore)
R
0,03
0,97 R
0,40 A
0,05 R
0,50
B
0,95 R
0,10 C 0,02
R
0,98 R
a) P(R) = P(A∩R) + P(B∩R) + P(C∩R) = 0,40 . 0,03 + 0,50 . 0,05 + 0,10 . 0,02 = 0,039
P ( B ∩ R ) 0, 50 . 0, 05
b) P(B/R) =
=
= 0, 641
P( R )
0, 039
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INF 162
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8. Exercícios propostos
1. Numa prova há 7 questões do tipo verdadeiro-falso ( V ou F ). Calcule a probabilidade
de acertarmos todas as 7 questões se:
a) Escolhermos aleatoriamente as 7 respostas.
b) Escolhermos aleatoriamente as respostas, mas, sabendo que ha mais respostas V do F.
2. Num exame de múltipla escolha há 3 alternativas para cada questão e apenas uma delas
é correta. Portanto, para cada questão, um aluno tem probabilidade 1/3 de escolher a
resposta correta se ele esta assinalando aleatoriamente e 1 se sabe a resposta. Um
estudante sabe 30% das respostas do exame. Se ele assinalou corretamente uma das
questões, qual é a probabilidade de que ele tenha a assinalado ao acaso ?
3. Certa firma utiliza um teste para classificar os funcionários em categorias; ao final eles
são classificados em: 25% bons ( B ); 50% médios ( M ) e 25% fracos ( F ).
Um novo teste é proposto, de tal forma a classificar os funcionários como
aprovado
( A ) ou reprovado ( R ). Com base em informações do antigo teste, foram obtidas as
seguintes probabilidades com o novo teste.
CATEGORIAS
B
M
F
% de APROVADOS
80
50
20
Deseja-se saber qual a probabilidade de um fucionário aprovado no novo teste, ser
classificado como fraco pelo antigo teste ?
4. Considere a escolha aleatória de um número entre os 10 primeiros números inteiros
positivos ( a partir de 1 ), e os eventos:
A = {1,2,3,4,5}; B = {4,5,6,7} e C = {5,9}. Pede-se: Os eventos são Mutuamente
Independentes ? Mostre porquê.
5. Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Uma bola é selecionada,
aleatoriamente, dessa urna e não é reposta. Em seguida, duas bolas de cor diferente da
bola extraída anteriormente ( branca ou vermelha ) são colocadas na urna. Se uma
segunda bola é extraída aleatoriamente, qual é a probabilidade de:
a) A segunda bola ser vermelha ?
b) A segunda bola ser da mesma cor da primeira ?
6. Tendo-se tomado, ao acaso, dois números positivos x e y , que não excedem a dois,
determinar a probabilidade P de que o produto xy não exceda à unidade e o quociente
y x não exceda a dois. DICA: represente, num mesmo gráfico, essas duas funções e use
seu conhecimento de Cálculo para solucionar o problema.
41
INF 162
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RESPOSTAS
1) a) 1/128 b) 1/64
2) 7/16
3) 0,10
4) Não
5) a) 41/72 b) 13/36
6) aproximadamente 0,385.
________________________________________________________________________
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA
--Departamento de Informática/CCE
INF 161 - Iniciação à Estatística / INF 162 – Estatística I
Lista de Exercícios: Probabilidade
1) Considerando o espaço amostral de um experimento constituído do lançamento de
dois dados perfeitamente simétricos, pede-se:
a) Qual a probabilidade de que o primeiro dado mostre a face 2 e o segundo a face
3?
b) Qual a probabilidade de que ambos os dados mostrem a mesma face?
c) Qual a probabilidade de que o segundo dado mostre um número par?
2) Uma moeda perfeita é lançada 3 vezes e observado o número de caras. Qual é a
probabilidade de ocorrer?
a) Pelo menos uma cara?
b) Só cara ou só coroa?
c) Exatamente uma cara?
3) Dos 10 alunos de uma classe, 3 têm olhos azuis. Se duas delas são escolhidas
aleatoriamente, qual é a probabilidade de:
a) Ambas terem olhos azuis?
b) Nenhuma ter olhos azuis?
c) Pelo menos uma ter olhos azuis?
4) Em um certo colégio, 25% dos estudantes foram reprovados em matemática, 15% em
química e 10% em matemática e química ao mesmo tempo. Um estudante é
selecionado aleatoriamente.
Pede-se:
a) Se ele foi reprovado em química, qual é a probabilidade de ter sido reprovado
em matemática?
b) Se ele foi reprovado em matemática, qual a probabilidade de ter sido reprovado
em química?
c) Qual é a probabilidade de ter sido reprovado em matemática ou química?
42
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5) Um dado é viciado de tal forma que a probabilidade de sair um certo número é
proporcional ao seu valor. Pede-se:
a) Qual é a probabilidade de sair o 3, sabendo-se que o ponto que saiu é ímpar?
b) Qual é a probabilidade de sair um número par, sabendo-se que saiu um número
maior que 3?
6) Sejam A, B e C três eventos de um mesmo espaço amostral S . Sabendo-se que:
1
1
1
P(A ) = P(B ) = ;P(C ) = ;P(A ∩ B ) = ;
3
4
8
1
1
P ( A ∩ C) = P ( B ∩ C) =
e P( A ∩ B ∩ C) =
,
9
20
Calcular as probabilidades:
a) De ocorrer pelo menos um dos eventos A, B ou C ;
b) De que não se realize nenhum dos eventos A, B ou C ;
c) De que o evento A se realize, sabendo-se que já ocorreu B ou C .
7) Sendo S = {1,2,3,4} um Espaço amostral Equiprovável e os eventos A={1,2},
B={1,3} e C={1,4}. Verifique se os eventos A, B e C são mutuamente
independentes.
8) Dois homens h1 e h2 e três mulheres m1, m2 e m3 estão num torneio de xadrez. Os do
mesmo sexo tem igual probabilidade de vencer, mas cada mulher tem duas vezes
mais probabilidade de vencer o torneio do que qualquer um dos homens. Pede-se:
a) Qual é a probabilidade de que uma mulher vença o torneio ?
b) Se h1 e m1 são casados, qual é a probabilidade de que um deles vença o torneio?
9) Um homem possui duas moedas, uma comum e a outra cunhada com duas caras. Ele
apanhou uma moeda aleatoriamente e a lançou, se ocorreu a face cara, qual é a
probabilidade de que a moeda lançada tenha sido a de duas caras ?
10) Jogam-se dois dados. Se as duas faces mostram números diferentes, qual é a
probabilidade de que uma das faces seja o 4 ?
11) Considere dois tipos de caixas de bombons, B e C. O tipo B contém 65% de
bombons doces e 35% de bombons amargos, enquanto no tipo C essas percentagens
de sabor são inversas. Além disso, 45% de todas as caixas de bombons são do tipo B,
e as restantes do tipo C. Escolhe-se, aleatoriamente, uma caixa e um bombom dessa
caixa; se for constatado que ele é do tipo doce, qual é a probabilidade de ter vindo de
uma caixa do tipo C ?
43
INF 162
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12) Definir e dar exemplos de:
a) Eventos Mutuamente Exclusivos
b) Eventos Independentes
13) Quatro urnas A, B,. C, e D contém bolas coloridas conforme abaixo:
URNA
A
B
C
D
VERMELHA
1
6
8
0
COR DA BOLA
BRANCA
6
2
1
6
AZUL
3
2
1
4
Pede-se:
a) Se, aleatoriamente, extrai-se uma bola vermelha de uma das urnas, qual é a
probabilidade de ter sido da urna B ?
b) Se forem extraídas duas bolas, sem reposição, da urna C. Qual é a probabilidade
de que ambas NÃO sejam vermelhas ?
14) Numa placa de petri 20%, 40%, 25% e 15% do total das colônias bacterianas são dos
tipos A, B, C e D, respectivamente. Sabe-se que 3%, 5%. 6% e 20% de cada colônia,
respectivamente, são patogênicas.
a) Se for retirada uma amostra aleatória de uma única colônia bacteriana, qual é a
probabilidade de que esta amostra contenha somente bactérias patogênicas ?
b) Se for constatado que a amostra do item a possui somente bactérias patogênicas,
qual é a probabilidade de que as bactérias sejam do tipo D ?
15) Quatro equipes A, B, C e D participam de um torneio que premiará uma única equipe
campeã. Quanto às probabilidades de cada equipe vencer o torneio, as equipes C e D
são equiprováveis, a equipe A é duas vezes mais provável do que B, e B duas vezes
mais do que as equipes C e D. Pede-se: Qual é a probabilidade de que as equipes C
ou D sejam campeãs?
16) Considere o seguinte Experimento Aleatório: Lançamento de um dado até que a face
com o número 5 ocorra pela primeira vez. Pede-se:
a) O Espaço Amostral desse experimento.
b) Uma fórmula geral para o cálculo das probabilidades.
c) Mostre que a soma das probabilidades associadas aos pontos amostrais é um.
a
obs: S n = 1 , numa P.G. infinita ou ilimitada, quando 0<q<1.
1− q
d) Qual é a probabilidade de ocorrer a face 5 no terceiro lançamento ?
17) Uma urna contém 5 bolas pretas, três vermelhas e duas brancas. Foram extraídas 3
bolas com reposição. Qual a probabilidade de terem sido duas bolas pretas e uma
vermelha?
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INF 162
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18) Uma caixa contém 8 peças, das quais 3 são defeituosas e uma caixa B contém 5
peças, das quais 2 são defeituosas. Uma peça é retirada aleatoriamente de cada caixa:
a) Qual a probabilidade p de que ambas as peças não sejam defeituosas?
b) Qual a probabilidade p de que uma peça seja defeituosa e a outra não?
c) Se uma peça é defeituosa e a outra não, qual é a probabilidade p de que a peça
defeituosa venha da caixa A?
19) Suponhamos que a probabilidade de que um vigia noturno num navio com luzes
apagadas descubra um periscópio em certas condições de tempo é 0,7. Qual é a
probabilidade de que uma combinação de dois vigias similares A e B, fizesse a
descoberta?
20) A e B são eventos mutuamente exclusivos. Determine quais das relações abaixo são
verdadeiras e quais são falsas. JUSTIFIQUE.
a) P(A/B) = P(A)
b) P(A∪B/C) = P(A/C) + P(B/C)
P(A / B) P(B / A)
c) P(A) = 0, P(B) = 0, ou ambas
d)
=
P(B)
P (A )
e) P(A∩B) = P(A).P(B)
Repita o problema supondo A e B independentes.
RESPOSTAS
1) a) 1/36
b) 1/6
c) 1/2
2) a) 7/8
b) 1/4
c) 3/8
3) a) 1/15
b) 7/15
c) 8/15
4) a) 2/3
b) 2/5
c) 0,30
5) a) 1/3
b) 2/3
6) a) 223/360
b) 137/360
c) 67/170
7) Não são independentes porque a igualdade 3 a 3 não se verifica, isto é:
P( A ∩ B ∩ C ) ≠ P( A) ⋅ P( B) ⋅ P(C )
8) a) 3/4
b) 3/8
9) 2/3
10) 1/3
11) ≅ 0.3969
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INF 162
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13) a) 6/15
b) 1/45
14) a) 0.071
b)
≅ 0.4225
15) 0.25
16) a) S = {5,F5,FF5, ...} F = Qualquer face exceto 5
b) A probabilidade de ocorrer a face 5 no n-ésimo lançamento do dado
n −1
5 1

é: P(n ) =    
6 6
1
5
c) a1 = , q = e Sn = 1
6
6
d) ≅ 0.116
17) 9/40
18) a) 3/8
b) 19/40
c) 9/19
19) 0,91
20)
A e B mutuamente exclusivos
a) F
b) V
c) F
d) V
e) F
A e B independentes
a) V
b) F
c) F
d) F
e) V
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