IFBA/Comunicações Digitais/ Prof. Fabrı́cio Simões
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Exercı́cios Extras
1. Sinais g1 (t) = 104 rect(104 t) e g2 (t) = δ(t) são aplicados na entrada dos filtros H1 (f ) =
rect(f /2π20000) e H2 (f ) = rect(f /2π10000) (Figura 1). As saı́das y1 (t) e y2 (t) desses filtros
são multiplicados para obter o sinal y(t) = y1 (t)y2 (t). Encontre a freqüência de amostragem de
y1 (t), y2 (t) e y(t).
Fig. 1: Sistema
O sinal rect é uma função pulso ou janela. O seu comportamento pode ser entendido usando o
gráfico da Figura 2
Fig. 2: Função Pulso
2. Considere um sinal de audio com largura de banda igual a 15KHz. Responda:
(a) Qual é a freqüência de amostragem mı́nima?
(b) Se as amostras são quantizadas usando L = 65536 nı́veis e depois codificadas, determine o
número de bits necessários para codificar uma amostra.
(c) Determine o número de bits por segundo, ou seja a taxa Rb , necessária para codificar o
sinal de aúdio
(d) Por razões práticas, os sinais são amostrados a uma freqüência bem acima da freqüência de
Nyquist. Os CD´s usam 44100 amostras por segundo. Se L = 65536, determine o numero
de bits por segundo necessário para codificar o sinal.
3. Um transmissor envia 100 caracteres em 2 segundos usando um código ASCII de 7 bits seguido
por um oitavo bit para detecção de erro por caracter. É usado um pulso M-ário com 32 nı́veis,
ou seja M = 32. Calcule:
(a) Calcule a taxa de bits Rb e de sı́mbolos Rs transmitidos
(b) Repita a parte (a) para 16PAM, 8PAM, 4PAM e 2PAM.
4. Um sinal de televisão tem uma largura de banda igual a 4,5MHz. Esse sinal é amostrado,
quantizado e codificado para obter um sinal PCM. Determine :
(a) Determine a freqüência de amostragem se o sinal é amostrado a uma freqüência 20% acima
da freqüência de Nyquist.
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(b) Se as amostras são quantizadas em 1024 nı́veis, determine o número de bits para codificar
cada amostra.
(c) Determine a taxa de transmissão Rb .
5. Julgue se os itens estão certo ou errado e justifique.
(a) (Petrobras2004) Para que se obtenha uma transmissão sem distorção, é necessário um
sistema com largura de banda infinita. Devido a limitações fı́sicas, é impossı́vel construir
esse tipo de sistema. Na prática, é possı́vel conseguir uma transmissão com um nı́vel de
distorção satisfatória, mediante sistemas com largura de banda finita, mas suficientemente
grande para atender a requisitos de distorção especificados
(b) (Petrobras2004) O teorema de amostragem tem grande importância para a teoria de comunicação, e seu enunciado diz o seguinte: um sinal limitado em banda que não possua
nenhuma componente espectral acima da freqüência máxima fm Hz é determinado univocamente por seus valores tomados a intervalos uniformes maiores que 2/fm segundos.
6. Um processo estocástico dado pela equação
X(t) = Y cos(wo t + θ),
no qual Y , wo e θ são variáveis aleatórias estatı́sticamente independentes. Assuma que Y tem
uma média igual a 3 e variância igual a 9, que θ é uniformemente distribuı́do no intervalo [π, π]
e wo é distribuı́da uniformemente no intervalo [−6, 6].
(a) Encontre E[x] e E[x2 ];
(b) Encontre a função de autocorrelação do processo.
(c) O processo é estacionário no sentido amplo?
7. O processo estacionário tem uma função de autocorrelação da forma
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Rx (τ ) = 100e−τ cos(2πτ ) + 10 cos(6πτ ) + 36
Encontre a função densidade espectral de potência.
8. Um processo estacionário tem uma densidade espectral de potência dada por
Sx (f ) = 5 para 10/2π ≤ |f | ≤ 20/2π
Sx (f ) = 0 fora do intervalo
(a) Encontre a função de autocorrelação;
(b) Encontre a autocorrelação em τ = 0.
9. Um sinal f (t) = sinc(200t) é amostrado usando o trem de impulsos com freqüências de amostragem
iguais a 150Hz, 200Hz e 300Hz. Para cada um dos casos:
(a) Esboce o espectro do sinal amostrado;
(b) Explique se o sinal f (t) pode ser recuperado;
(c) Se o sinal amostrado é aplicado a um filtro passa-baixa ideal de largura banda 100Hz,
esboce o espectro do sinal de saı́da.
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10. Encontre a densidade espectral de potência dos sinais NRZ polar e RZ unipolar. Qual a largura
de banda de cada caso? Para o código RZ Unipolar, use a identidade matemática
∞
X
n=−∞
e−jn2πf Tb =
∞
2π X
δ(f − n/Tb )
Tb n=−∞
11. Cinco sinais de telemetria, cada um com largura de banda de 1KHz, são transmitidos simultaneamente usando multiplexação por divisão no tempo. O máximo erro tolerável na amplitude
da amostra é 0, 2% do valor de pico do sinal. Os sinais são amostrados a uma freqüência de
amostragem 20% acima da freqüência de amostragem de Nyquist. A geração do quadro e o
sincronismo requer 0, 5% de bits extras. Determine a taxa de transmissão Rb .
12. Dado o processo aleatório x(t) = k, no qual k é uma variável aleatória modelada por uma
densidade de probabilidade uniforme no intervalo [-1,1], responda:
(a) Valor médio de x(t);
(b) Autocorrelação de x(t);
(c) O processo é estacionário no sentido amplo?
(d) Se for estacionário no sentido amplo, qual a sua potência?
13. Repita o problema anterior considerando o processo estocástico
x(t) = a cos(wc t + φ),
nos quais, wc é constante e a e φ são variáveis aleatórias independentes e modeladas por densidade
de probabilidade uniforme nos intervalos [-1,1] e [0,2π], respectivamente.
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Respostas
1. 10kHz, 20kHz e 30kHz.
2. 30kHz, 16 bits, 480kbits/s, 705600 bits/s
3. Rb=400 bits/s, Rs=80 sı́mbolos/s, Rs=100 sı́mbolos/s, Rs=(400/3) sı́mbolos/s, Rs= 200 sı́mbolos/s
e Rs= 400 sı́mbolos/s.
4. 10,8MHz, 10 bits, Rb= 108Mbits/s
5. certo, errado.
6.
√
√
2
7. 50 πe−π( π(f ±fo )) + 5δ(f ± 2π) + 36δ(f )
8. a) Rx (τ ) = 100sinc(10τ )cos(2π15τ )
b)Rx (0)=100W
9. Para fa =150Hz, f (t) não pode ser recuperado
10. Densidades do sinal Polar e Bipolar
Sy (f ) = Tb sinc2 (f Tb )
Sy (f ) = Tb /4 sinc2
µ
f Tb
2
¶"
1 + 2/Tb
∞
X
n=−∞
#
δ(f − 2n/Tb )
11. Rb=108540 bits/s
12. Média nula, Rx (τ ) = 1/3, Estacionário no sentido amplo, 1/3.
13. Média nula, Rx (τ ) = 1/3 cos(wc τ ), Estacionário no sentido amplo e 1/3.