Análise Matemática II
Engenharia Electrotécnica
Folha 1
2005/06
1. Esboce a região, do primeiro quadrante, limitada pelas seguintes curvas e determine a sua área:
a) y = 1, y = x +
1
e x=0;
2
b) y 2 = 2 x e x2 = 3y ;
c) y = tg x, y = cotg x, x = 0 e x =
π
;
2
d) y =
1
x
,y=
e y = x3 .
x
4
2. Considere as regiões planas descritas em coordenadas cartesianas por:
n
o
n
o
1
R1 = (x, y) ∈ IR2 : x2 ≤ y ≤ x + 2 ;
R2 = (x, y) ∈ IR2 : ≤ y ≤ sin x ∧ 0 ≤ x ≤ π ;
2
n
o
n
o
R3 = (x, y) ∈ IR2 : e−x ≤ y ≤ ex ∧ 0 ≤ x ≤ 1 ; R4 = (x, y) ∈ IR2 : x2 + y 2 − 2y ≤ 0 ∧ 4x2 + y 2 ≥ 4 ;
n
o
R5 = (x, y) ∈ IR2 : xy ≥ 1 ∧ x2 ≤ y ≤ 4 ;
n
o
1
R6 = (x, y) ∈ IR2 : x2 + 2 ≤ y ≤ −x2 + 3 .
2
a) Represente graficamente cada uma das regiões.
b) Determine, usando integrais, a área de cada uma das regiões.
c) Determine, usando integrais, o volume do sólido gerado por rotação em torno do eixo Ox, das regiões:
(i ) R1 ;
(ii ) R2 ;
(iii ) R3 ;
(iv ) R5 ;
(v ) R6 .
d) Determine, usando integrais, o volume do sólido gerado por rotação em torno do eixo Oy, das regiões:
(i ) R5 ;
(ii ) R4 ;
(iii ) R1 ;
(iv ) R3 ;
(v ) R6 .
3. Determine, usando integrais, o comprimento do arco de curva em cada um dos seguintes casos:
a) y =
x3
1
+
,
6
2x
b) x = ln(sec y),
x ∈ [1, 3];
h πi
y ∈ 0, ;
3
1
1
c) x = y 2 − ln y, entre os pontos
4
2
µ
¶
1
,1
4
e
¡
√
¢
1 − ln 2, 2 ;
Ã√
!
3
3
d) x2 + y 2 − 2y = 0, entre os pontos (0, 0) e
,
.
2 2
4. Considere as seguintes curvas de equações paramétricas:
(
C1 :
y = cos2 t
(
C3 :
x = sin2 t + 2
x = 2 + 2 sin t
y = 5 cos t

 x= 2
i π πh
cos t , t ∈ − ,
C2 :
;

2 2
y = −tg t
(
x = 2 cos t sin t
C4 :
, t ∈ IR.
y = cos(2t) + 3
, t ∈ IR;
, t ∈ IR;
a) Exprima em coordenadas cartesianas as curvas C1 , C2 , C3 e C4 e identifique-as.
b) Determine, usando integrais, a área da região limitada pela curva:
(i ) C3 ;
(ii ) C4 .
5. Calcule o comprimento das seguintes curvas dadas em coordenadas paramétricas:
½
½
h πi
x = 4 cos3 t
x = eat cos bt
a)
,
t
∈
[0,
1];
b)
,
t
∈
0,
;
y = eat sin bt
y = 4 sin3 t
2
½
½
hπ πi
h πi
x = arcsin(cos t)
x = ln(cos(2t))
c)
,
;
d)
.
, t∈
, t ∈ 0,
y = ln(cos t)
y = 2t
6 4
6
6. Considere a curva de equações paramétricas
½
√
h πi
x = 2α 2 sin t
, t ∈ 0,
, α ∈ IR+ .
y = α sin t
2
Determine o valor de α de modo que o comprimento de arco da curva seja igual a 6.
7. Identifique num referencial cartesiano os seguintes pontos e exprima-os em coordenadas polares:
√ ¢
¡
a) (2, 2);
b) (3, −3);
c) 2, −2 3 ;
d) (0, 2);
e) (−1, 0).
8. Identifique num referencial polar os seguintes pontos e exprima-os em coordenadas cartesianas:
³
³ π´
π´
a) (2, 2π);
b) (3, 0);
c) 4, − ;
d) 1,
;
e) (5, −5π).
2
4
9. Exprima a equação da curva dada em coordenadas polares:
a) y = 0;
b) y = x;
c) x2 + y 2 = a2 , a > 0;
d) (x − 1)2 + y 2 = 1.
10. Considere as seguintes curvas, definidas em coordenadas polares:
√ ª
©
ª
©
C1 : (ρ, θ) ∈ IR+ × IR : ρ = 2 cos(θ) ;
C2 : (ρ, θ) ∈ IR+ × IR : ρ = 2 ;
½
C3 : (ρ, θ) ∈ IR+ × IR : ρ =
C5 :
1
1 + sin θ
¾
©
ª
C4 : (ρ, θ) ∈ IR+ × IR : ρ = sec θ ;
;
½
¾
sin θ
(ρ, θ) ∈ IR+ × IR : ρ =
;
cos2 θ
½
C7 : (ρ, θ) ∈ IR+ × IR : ρ =
8
1 + 3 sin θ
©
ª
C6 : (ρ, θ) ∈ IR+ × IR : θ = 2 ;
¾
.
a) Exprima em coordenadas cartesianas cada uma das curvas e identifique-as.
b) Usando coordenadas polares, calcule a área da região:
i) interior à curva C1 e exterior à curva C2 ;
ii) limitada pelas curvas C2 e C5 e pelo eixo dos Oy, que está no primeiro quadrante.
c) Usando coordenadas polares, calcule o comprimento do arco da curva:
π
π
i) C4 entre θ = − e θ = ;
4
4
ii) C2 entre θ = 0 e o ponto de intersecção das curvas C1 e C2 situado no primeiro quadrante.
11. Considere as seguintes curvas, definidas em coordenadas polares:
½
¾
©
ª
5
C1 : (ρ, θ) ∈ IR+ × IR : ρ = 2 + sin θ ;
C2 : (ρ, θ) ∈ IR+ × IR : ρ =
;
2
©
ª
C3 : (ρ, θ) ∈ IR+ × IR : ρ = 5 sin θ .
Calcule, em coordenadas polares:
a) a área da região interior à curva C3 e exterior à curva C1 ;
b) o comprimento do arco:
i) da curva C3 exterior à curva C1 .
ii) da curva C2 interior à curva C3 .