Como Implementar um Problema
O objetivo desta aula é fornecer algumas noções técnicas sobre os
passos necessários para implementação numérica de um caso no
PHOENICS.
Serão abordados os itens:
• As equações de transporte e seus modelos simplificados;
• As formas de discretização;
• A escolha da grade;
• A definição das propriedades;
• As condições de contorno e termos fontes.
FORMA GERAL DAS EQUAÇÕES NO PHOENICS
PHOENICS provê soluções para versões discretizadas de um
conujunto de EDP que têm a forma geral:



     V
t
Transiente

Convecção
 
Difusão
• t é o tempo;
•  é a densidade;
• V é o vetor velocidade;
•  é a propriedade a ser conservada;
•  é o coeficiente de difusão de ;
• S representa os termos fontes;


S
Fonte
Difusão(Fick )   
FORMA CONSERVATIVA DE ALGUMAS
EQ. DE TRANSPORTE



     V
t
Transiente

Convecção
 

Difusão

S
Fonte
Variável


S
Massa
Quantidade Movimento
1
0
0
Energia (Cp)
Energia Cinética Turbulenta
Dissipação En. Cin. Turbulenta
Vorticidade
…
Entropia

V


g
-P +

T
k Cp
 T
DP
 Dissipação q '''
Dt
Modelos Matemáticos Simplificados
As equações de transporte, na sua forma geral, são bastante
complexas devido aos termos não lineares e seus acoplamentos.
Uma significativa redução do esforço computacional é obtida se o
escoamento puder ser modelado de forma mais simples:
• Laminar / Turbulento
• Incompressível / Compressível
• Euler (s/ viscosidade) / Navier Stokes (viscoso)
• Potencial (irrotacional) / Euler (rotacional)
• Stokes (Re -> 0 ) / Re ~ 1 (inercia e viscoso dominantes)
• Camada Limite (Re -> inf) / Re ~ 1 (inercia e viscoso dominantes)
É frequente o surgimento de escoamentos complexos em casos
aplicados onde reações químicas (combustão), turbulência ,
interações entre fases e domínio complexo surgem simultâneamente.
MODELOS IMPLEMENTADOS NO VR
17 modelos
Modelo Numérico de Discretização:
Método dos Volumes Finitos
• O método dos Volumes Finitos, VF, utiliza a forma integral das
equações de contorno como ponto de partida.
• O domínio de solução é subdividido em um número finito de volumes
de controle, VC, adjacentes entre sí onde as equações de conservação
são aplicadas.
• Cada variável é calculada no centroide de cada VC. Os valores das
variáveis e propriedades nas faces do VC são determinados por
interpolação.
•O método VF pode acomodar qualquer tipo de grade e é, portanto,
aplicável para geometrias complexas.
• A grade passa a definir as fronteiras do VC e não é necessariamente
relacionada a um sistema de coordenadas.
Forma Discretizada da Equação I
•  representa uma variável genérica que pode ser: u1, u2, v1, v2, w1,
w2, k, e, h1, h2, C1 a C150.
• P não aparece na lista pois ela é calculada por meio das sucessivas
correções da pressão que vem dos ajustes de velocidade para
satisfazer o balanço de massa. (método SIMPLE)
• O domínio de cálculo é dividido em volumes cujas faces são
identificadas pelas direções cardiais West-East (x), South-North (y) e
Low-High (z)
y
North
P
East
x
z
High
Discretização do meio
contínuo no espaço e
no tempo &
nomenclatura das
direções.
Molécula computacional
Forma Discretizada da Equação II
No plano (x,y), p. exemplo, os
centros VCs maiúsculas e faces
VCs minúsculas.
O método dos Volumes Finitos
representa a influência que o ponto
P recebe dos vizinhos na forma de
produtos de coeficientes e do valor
das variáveis:
P
a E  E  a W  W  a N  N  a S  S  a T  T  S 

a E  a W  a N  a S  a T  a P 
coeficiente
0  a E  E   P   a W  W   P   a N  N   P   a S  S   P  
a T  T   P   S  a P  P 
forma de resíduo zero
Forma Discretizada da Equação III
• As equações de conservação são discretizadas na
forma de um sistema de equações algébricas lineares
constituido pela soma das ‘moléculas computacionais’
que realizam o balanço em cada VC.
• Os coeficientes que multiplicam cada variável levam as
informações sobre transporte convectivo e difusivo da
propriedade em questão.
• Todos os coeficientes, aP e seus vizinhos anb, são
sempre positivos.
• Existem diversos esquemas discretizantes que
conduzem. A escolha deles influência na solução e na
taxa de convergência.
Esquemas de Discretização Convecção & Difusão:
HYBRIDO (default)
Geometria - Grade I
• A localização discreta onde as variáveis serão calculadas é definida
pela grade numérica.
• Ela é uma representação do domínio geométrico onde o problema
será resolvido.
• A grade transmite ao modelo informações a respeito da localização
do centróide do VC e dos centros das faces, das áreas das faces e do
volume e também da distância entre centróides e faces de VC
adjacentes.
• A definição da grade é parte fundamental do problema:
- A precisão numérica da solução depende diretamente da
definição da grade uma vez que as variáveis são calculadas em
pontos discretos definidos pela grade.
- A definição da grade é um dos elementos que influência na taxa
de convergência (ou divergência) da solução.
- O custo computacional é basicamente determinado pelo
tamanho da grade.
Grades Cartesianas e Polares
Uniforme
Cartesiana
Uniforme
Polar
Não-Uniforme
Power
Não-Uniforme
duas regiões
Não-Uniforme
Fine Grid Embedding
O sistema polar de coordenadas do PHOENICS
• O Sistema cilíndrico polar está implementado no PHOENICS e seus
termos fontes associados: centrífugo e coriolis para as equações de
quantidade de movimento.
• No sistema polar é necessário definir o Raio Interno, RINNER.
• As demais especificações de domínio são coincidentes com
aquelas do sistema cartesiano.
• A direção X do cartesiano
corresponde a direção tangencial.
• A direção Y do cartesiano
corresponde a direção radial.
• A direção Z do cartesiano
corresponde a direção axial.
Necessidade do Controle Espaçamento Grade
• É necessário controlar o espaçamento da grade para capturar
características do escoamento que mudam rápidamente (altos gradientes) e
ao mesmo tempo economizar tempo computacional em regiões que variam
lentamente.
• O tamanho da grada é um ‘filtro’ do tamanho do fenômeno que se quer
detectar. Estruturas do escoamento menores que 2x o espaçamento da
grade não serão detectadas (alaising).
• Escoamento de Camada
Limite. Aplica-se grades nãouniformes Power ou duasregiões
• Esteira de Vórtices em cilindros. Aplicase ‘fine grid embedding’ para capturar as
dimensões dos vórtices
Grades BFC e Mult-Block para Geometrias Complexas
Body Fitted Coordinates - BFC
Ortogonal ou Não Ortogonal
Multi-Block
Ortogonal ou Não Ortogonal
Grade Cartesiana com Objetos Imersos:
• Iteração volume a volume tipo ‘escada’ ou;
• Iteração via software com algoritmo
PARSOL
Tela do VR-PHOENICS com
propriedades da Grade
Escolha do solver, direção principal do escoamento e eixos XYZ I
• O PHOENICS possui três tipos de ‘solvers’ para sistemas de
equações lineares que trabalham com métodos iterativos: (1)
Varredura (sweeps)- DEFAULT; (2) Whole field e (3) ponto a ponto
Group 7. Variables: STOREd,SOLVEd,NAMEd
ONEPHS = T
NAME( 1) =P1 ;NAME( 5) =V1
NAME( 7) =W1 ;NAME( 14) =TEMP
* Y in SOLUTN argument list denotes:
* 1-stored 2-solved 3-whole-field
* 4-point-by-point 5-explicit 6-harmonic averaging
SOLUTN(P1 ,Y,Y,N,N,N,Y)
SOLUTN(V1 ,Y,Y,N,N,N,Y)
SOLUTN(W1 ,Y,Y,N,N,N,Y)
SOLUTN(TEMP,Y,Y,Y,N,N,Y)
Escolha do solver, direção principal do escoamento e eixos XYZ II
• Dividindo o domínio em fatias (slabs) no plano XY pode-se imaginar
um solver iterativo que:
1.
- Monta um único sistema de equações IZ = 1 a IZ last e
resolve - whole field
2. - Resolve slab a slab de IZ = 1 a IZ = last - solver por
varredura - DEFAULT
3. - Visita ponto a ponto do domínio - point by point
METODOLOGIAS DE SOLUÇÃO – II
Solução do sistema linear de equações:
• Método TDMA (TriDiagonal Matrix Algorithm) linha
por linha.
• Método do Gradiente Conjugado.
• Método de
sucessivas.
Gauss-Seidel
com
sobre-relaxações
Acoplamento pressão-velocidade: SIMPLE (base)
Escolha do solver, direção principal do escoamento e eixos XYZ
• Como a maioria dos modelos são não-lineares, o solver whole field
não é recomendado pois tem um custo computacional maior e
necessita a cada iteração uma atualização;
• O point-by-point por sua vez transmite os efeitos dos contornos e dos
termos de transporte muito lentamente aos pontos vizinhos e, apesar
de ser simples, também não é computacionalmente conveniente.
• O melhor compromisso encontra-se na solução por ‘slabs’ DEFAULT.
• Como a varredura ocorre somente na direção Z é importante que a
direção principal do escoamento coincida com o eixo Z no caso de
problemas 3D.
• Casos 2D isto não se aplica pois ele por sí constitui um único slab.
• Casos com BFC é mandatório que a direção principal do escoamento
e o eixo Z coincidam.
Condições Iniciais e de Contorno
• Qualquer modelo matemático expresso por meio de eq.
diferenciais não é completo a menos que sejam definidas
as C.I. e C.C.
• As C.I. e C.C. variam dependendo do tipo de equação
diferencial que o modelo emprega.
• As equações diferenciais parciais de segunda ordem são
classificadas por três tipos: Elípticas, Parabólicas e
Hiperbólicas.
• A distinção é feita baseando-se na natureza das
características, regiões do espaço (superfícies ou linhas)
onde a informação sobre a solução é transportada.
Condições Iniciais e de Contorno - EDP - HIPERBÓLICAS
• Hiperbólicas: duas características reais e distintas. A informação se
propaga com velocidade finita em duas direções.
 2
x
Y
2

1
 2
M  1 y
2
2
0
Características
(Mach const.)
P
Y
X
b
a
P depende das
informações
ao longo do
segmento a-b
c
X
C.C.: necessário conhecer u & v ou
 ao longo da linha
Condições Iniciais e de Contorno - EDP - PARABÓLICAS
• Parabólicas: as linhas características se degeneram para uma única
curva real. A informação se propaga com velocidade finita em uma
direção. Fisicamente significa que a informação de P influencia a
solução somente em um lado do plano XY
2
u
Y
Y
u
u
 u
v

x
y
y 2
u = Uinlet
u = Uext
P
u=0
X
• O valor de P influência a solução somente aos pontos à sua direita.
• P depende dos valores à sua esquerda mas não daqueles à sua direita.
• A solução numérica utiliza um processo de marcha em X.
• É necessário especificar somente uma fronteira em X a outra
extremidade é aberta
X
Condições Iniciais e de Contorno - EDP - ELÍPTICAS
• Elípticas: as linhas características são complexas. A informação se
propaga em todas direções com velocidade infinita.
• Fisicamente significa que a informação de P recebe a influência de
todos os pontos do domínio!
 2T
Y
x
2

 2T
y
2
0
T/ x = 0
Neuman
• Em EDP Elípticas somente
se você conhecer os valores
em todo o contorno você
pode determinar a solução
T/ x = 0
Neuman
X
q”= -kT/ x
Neuman
P
T=0
Dirichlet
y
OUTLET
INLET
Condições de Contorno p/ Escoamentos
NWALL
BLOCK
SWALL
z
PATCH NAMES
VARIÁVEL
INLET
OUTLET
NWALL
SWALL
MASSA
WINA
---
---
---
---
---
---
---
---
---
W=0
V=0
No slip
W=0
V=0
No slip
W=0
V=0
No slip
W=0
V=0
No slip
PRESSÃO
---
Q.
MOVIMENTO
WIN2A
ENERGIA
CpTINWINA
P = PREF(*)
Fixa P
referência
saída
dW/dz=0
dV/dz=0
Local//e
parabólico
BLCNWALL BLCHWALL
dT/dz=0
T = Twall dT/dy=q.A/k dT/dy = 0
Local//e
Temp. fluxo de calor
bloco
Parabólico
fixa
imposto
adiabático
dT/dz = 0
bloco
adiabático
Condição Inicial (tempo)
• Tal como o espaço o tempo também é representado numa grade cujos
volumes variam com incrementos no tempo.
• Os modelos transientes são de natureza PARABÓLICA no tempo. Isto é,
um evento no futuro não pode influenciar o que acontece no presente.
• Nenhuma condição pode ser imposta na solução (exceto no contorno)
em qualquer instante após o início (t=0).
• Portanto o problema é especificado com uma condição ou campo inicial.
• Existem duas possibilidades de implementação de esquemas
transientes: IMPLÍCITA (default) ou EXPLÍCITA
Group 7. Variables: STOREd,SOLVEd,NAMEd
NAME( 1) =P1 ;NAME( 3) =U1
NAME( 5) =V1
* Y in SOLUTN argument list denotes:
* 1-stored 2-solved 3-whole-field
* 4-point-by-point 5-explicit 6-harmonic averaging
SOLUTN(P1 ,Y,Y,N,N,N,N)
SOLUTN(U1 ,Y,Y,N,N,N,Y)
SOLUTN(V1 ,Y,Y,N,N,N,Y)
Implementação Condições de Contorno e Fontes PHOENICS
• As condições de contorno e os termos fontes das equações são
implementados com o mesmo procedimento no PHOENICS.
• Lista dos tipos de c.c. e termos fonte disponíveis no VR.
Propriedes dos Materiais: sólidos, líquidos e gases
Propriedes dos Materiais: sólidos, líquidos e gases
SUMMARY
• To properly define a case in phoenics one has to
specify:
Grade
Laminar/Turbulento
Isotérmico/Calor
Compressível/Incomp
Termos Fonte
Propriedades
de transporte
Esquema Numérico
Condições
Iniciais
Arquivos saída
• The boundary conditions are specified through
objects on the tool bar of VR
Conselhos Gerais sobre Implementação de Problemas
• O PHOENICS, como qualquer outro pacote de CFD passará a falsa
impressão que você poderá fazer tudo daqui por diante. Não é
verdade, não crie altas expectivas nem falsas impressões.
• Inicie seus casos da forma mais simples possível. Verifique os
aspectos fundamentais e básicos do problema antes de implementálo.
• Procure na biblioteca do PHOENCS algum exemplo parecido com
aquilo que você deseja. A biblioteca de casos é um dos grandes
diferenciais do PHOENICS, use-a.
• Introduza as modificações no seu problema uma a uma, nunca
todas de uma vez. Teste-as isoladamente.
• Tenha em mente que o método numérico complementa a análise de
um problema mas não substitui medidas experimentais. É bom,
sempre que possível , comparar seus resultados numéricos com
algum dado experimental.