c) 17/3
d) 11/2
e) 5,3
5. A distância do centro C da circunferência λ à reta r é:
MATEMÁTICA - RÔMULO
Aula 01 – Revisão Prova Final
1. O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices
P=(0,0), Q=(6,0) e R=(3,5), é:
a) equilátero.
b) isósceles, mas não equilátero.
c) escaleno.
d) retângulo.
e) obtusângulo.
2. Num plano, são dados 4 pontos através de
coordenadas: (1,1), (2,4), (6,5) e (5,2). Ligando-se os 4
pontos pela ordem dada e fechando o polígono através da
ligação de (1, 1) e (5, 2), por meio de segmentos de reta,
obtém-se um
a) quadrado de perímetro 4 17
b) paralelogramo de perímetro 2 17 + 2 10
c) losango de perímetro 4 17
a)
b)
c)
d)
e)
2
2
2
2 2
3 2
4 2
6. Na figura abaixo tem-se o losango ABCD, com A(1;1) e
C(4;4), e cuja diagonal AC forma ângulo de medida 60°
com o lado AB.
d) retângulo de perímetro 2 17 + 2 10
e) trapézio isósceles de perímetro 2 17 + 2 10
3. Considere o retângulo da figura abaixo, onde as
diagonais são OP e AB, sendo P=(a,b). Considere as
afirmações:
O perímetro desse losango é
a) 3 2
b) 6
c) 12 2
d) 24 2
e) 48
I - O ponto médio da diagonal OP é (a/2, b/2).
II - As diagonais se cortam ao meio.
III - O coeficiente angular da diagonal AB é b/a.
IV - Se as diagonais são perpendiculares, o retângulo é
um quadrado.
Atribuindo V para as afirmações verdadeiras e F para as
falsas, assinale a seqüência CORRETA:
a) V V V V
b) V V V F
c) V V F V
d) V V F F
e) V F V V
4. Os pontos (0,8), (3,1) e (1,y) do plano são colineares.
O valor de y é igual a:
a) 5
b) 6
7. No plano cartesiano, o triângulo de vértices A(1,-2),
B(m,4) e C(0,6) é retângulo em A. O valor de m é igual a:
a) 47
b) 48
c) 49
d) 50
e) 51
8. Sejam r: x + qy - 1 = 0 e s: px + 5y + 2 = 0 duas retas
perpendiculares entre si. Então, é correto afirmar que:
a) p/q = -5
b) p/q = 5
c) p/q = 1
d) p . q = -1
e) p . q = 5
9. Sejam M = (1, 2), N‚ = (3, 4) e P = (1,-1) os pontos
médios dos lados de um triângulo. As coordenadas dos
vértices desse triângulo são:
a) (-1, -3), (3, 7) e (3, 1)
b) (1, 3), (3, 7) e (3, 1)
c) (-1, -3), (-3, 7) e (3, -1)
d) (-1, -3), (3, 7) e (3, -1)
e) (-1, 3), (3, 7) e (3, 1)
GABARITO - Aula 01 – Revisão Prova Final
1. B
2. B
3. C
4. C
5. B
6. C
7. C
8. A
9. A
Aula 02 – Revisão Prova Final
1. A reta s passa pelo ponto (0,3) e é perpendicular à reta
AB onde A=(0,0) e B é o centro da circunferência
x2+y2 - 2x - 4y = 20. Então a equação de s é:
a) x- 2y = - 6
b) x + 2y = 6
c) x + y = 3
d) y - x = 3
e) 2x + y = 6
2. Os pontos P e Q dividem o segmento de extremos (5,
8) e (1, 2) em três partes iguais. Se as retas
perpendiculares a esse segmento pelos pontos P e Q
interceptam o eixo y nos pontos (0, p) e (0, q), com p >
q, então 6q - 3p é igual a:
a) 10.
b) 8.
c) 7.
d) 5.
e) 2.
e) - 1/3 ; x + 3y + 5 = 0.
6. Considere, no plano cartesiano, o triângulo de vértices
A = (0, 0), B = (3, 1) e C = (1, 2) e avalie as afirmativas a
seguir.
I. O triângulo ABC é isósceles.
II. O ponto D = (2, 1/2) pertence ao segmento AB.
III. A equação da reta que passa pelos pontos B e C é
2x + y = 5.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa I é verdadeira.
b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
7. O conjunto dos pontos (x,y), do plano cartesiano que
satisfazem t2 - t - 6 = 0, onde t = |x - y|, consiste de
a) uma reta.
b) duas retas.
c) quatro retas.
d) uma parábola.
e) duas parábolas.
8. Considere os pontos A = (1, - 2); B = (- 2, 4) e C = (3,
3). A altura do triângulo ABC pelo vértice C tem equação:
a) 2y - x - 3 = 0
b) y - 2x + 3 = 0
c) 2y + x + 3 = 0
d) y + 2x + 9 = 0
e) 2y + x - 9 = 0
9. Observe o gráfico abaixo:
3. A área delimitada pelos eixos x = 0, y = 0 e pelas retas
x + y = 1 e 2x + y = 4 é:
a) 3
b) 2
c) 3,5
d) 2,5
e) 1,5
4. Se P é o ponto de intersecção das retas de equações x y - 2 = 0 e x + y = 3, a área do triângulo de vértices A(0,
3), B(2, 0) e P é
a) 1/3.
b) 5/3.
c) 8/3.
d) 10/3.
e) 20/3.
5. Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o
coeficiente angular e a equação geral da reta que passa
pelos pontos P e Q, sendo P = (2, 1) e Q o simétrico, em
relação ao eixo y, do ponto Q'=(1,2) são,
respectivamente:
a) 1/3; x - 3y - 5 = 0.
b) 2/3; 2x - 3y -1 = 0.
c) - 1/3 ; x + 3y - 5 = 0.
d) 1/3; x + 3y - 5 = 0.
A distância entre o ponto de interseção das retas r e s e a
reta t é:
a) 1
b)
2
c) 2 2
d) 3 2
e) 4 2
GABARITO – Aula 02 – Revisão Prova Final
1. B
2. B
3. C
4. D
5. C
6. A
7. B
8. A
9. C
Aula 03 – Revisão Prova Final
1. A reta r de equação y = a x + b passa pelo ponto (0, 1), e para cada unidade de variação de x há uma variação
em y, no mesmo sentido, de 7 unidades.
Sua equação é
a) y = 7 x - 1
b) y = 7 x + 1
c) y = x - 7
d) y = x + 7
e) y = -7 x - 1
2. Considere a circunferência C: x2 + y2 – 8x – 6y + 9 = 0
e a reta r: 4x + 3y - 10 = 0.
Assinale a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) CORRETA(S).
(01) A circunferência C intercepta o eixo das abscissas em
2 (dois) pontos e o das ordenadas em 1 (um) ponto.
(02) O centro de C é o ponto (3, 4).
(04) A distância da reta r ao centro de C é menor do
que 4.
(08) r ∩ C = ∅.
(16) A função y dada pela equação da reta r é
decrescente.
5. No plano cartesiano, os pontos A(-1,4) e B(3,6) são
simétricos em relação à reta (r). O coeficiente angular da
reta (r) vale:
a) – 1
b) – 2
c) – 3
d) – 4
e) – 5
6. No plano cartesiano, existem dois valores de m de
modo que a distância do ponto P(m,1) à reta de equação
3x + 4y + 4 = 0 seja 6; a soma destes valores é:
a) - 16/3
b) - 17/3
c) - 18/3
d) - 19/3
e) - 20/3
7. Na figura abaixo os pontos A, B e C estão
representados em um sistema de eixos cartesianos
ortogonais entre si, de origem O.
3. Duas irmãs receberam como herança um terreno na
forma do quadrilátero ABCD, representado abaixo em um
sistema de coordenadas. Elas pretendem dividi-lo,
construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB e
passando pelo ponto P = (a, 0). O valor de a para que se
obtenham dois lotes de mesma área é:
É verdade que a equação da
a) circunferência de centro em B
x2 + y2 - 8x - 6y + 24 = 0.
b) circunferência de centro em B
x2 + y2 - 6x - 4y + 15 = 0.
c) reta horizontal que passa por A é y = 2.
d) reta que passa por C e é paralela à
quadrante é x - y - 2 = 0.
e) reta que passa por C e é paralela à
quadrante é x + y - 2 = 0.
a)
5 -1
b) 5 - 2 2
c) 5 d) 2 +
2
5
e) 5 + 2 2
4. Os pontos (-1, 6), (0, 0) e (3, 1) são três vértices
consecutivos de um paralelogramo. Assinale a opção que
apresenta o ponto correspondente ao quarto vértice.
a) (2, 7).
b) (4, -5).
c) (1, -6).
d) (-4, 5).
e) (6, 3).
e
raio
1
é
e
raio
1
é
bissetriz do 1°
bissetriz do 1°
8. Em um sistema de coordenadas cartesianas no plano, a
equação de uma circunferência C é x2 + y+2 - 2y - 7 = 0.
Sabe-se que as retas r e s são perpendiculares entre si,
interceptando-se no ponto (2, 3), e que r contém o centro
da circunferência C. Assim, é correto afirmar:
(01) O ponto (2, 3) pertence à circunferência C.
(02) A reta s é tangente à circunferência C.
(04) A circunferência C intercepta o eixo y nos pontos de
ordenadas 1 + 2 2 e 1 - 2 2
(08) A reta s tem coeficiente angular menor que -1.
(16) A reta t, paralela à reta s e que passa pela origem do
sistema de coordenadas, não intercepta a circunferência
C.
9. Considere o triângulo com lados sobre as retas y = 2x,
y = x/3 e y = -x + 6. Estude a veracidade das seguintes
afirmações:
(
(
) O ponto (2,1) está no interior do triângulo.
) O ponto (5,5) está no exterior do triângulo.
(
(
(
) O maior lado do triângulo mede 2 5 .
) O triângulo tem área 15/2.
) O circuncentro do triângulo é o ponto (2,3/2).
b) 35
c) 30
d) 25
e) 20
3. Seja R a região sombreada na figura abaixo.
Assinale a seqüência CORRETA:
a) V V V V V
b) V V V F V
c) V V F V F
d) V V F F F
e) V V F V V
10. No plano cartesiano, o ponto da reta (r) 3x - 4y = 5
mais próximo da origem tem coordenadas cuja soma vale:
a) -2/5
b) -1/5
c) 0
d) 1/5
e) 2/5
GABARITO – Aula 03 – Revisão Prova Final
1. A
2. 21
3. B
4. A
5. B
6. A
7. D
8. 07
9. E
10. B
Aula 04 – Revisão Prova Final
1. Seja P o pé da perpendicular baixada do ponto
Q=(28,4) sobre a reta que passa pelos pontos A=(0,0) e
B=(3,4). A distância de P a B, em unidades de
comprimento, é:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 15
e) 17
2. No plano cartesiano, considere o triângulo determinado
pelo ponto A e pelos pontos de abscissas -3 e 7,
representado a seguir.
Essa região é o conjunto dos pontos (x, y) do plano
cartesiano, com y µ 0 e tais que
a) y ≤ (3/2x)+3 e y ≤ -3x+3
b) y ≤ (2/3x)+3 e y ≤ -3x+1
c) y ≤ (3/2x)+3 e y ≥ -3x+3
d) y ≤ 3x+3 e y ≤ (-3/2x)+3
e) y ≥ 2x+3 e y ≥ -3x-1
4. No gráfico abaixo, os pontos A(-1, -1) e B(3, -1) são
vértices do quadrado ABCD. A respeito da reta de equação
y = x, é correto afirmar:
a) Contém o vértice D.
b) Contém o lado BC.
c) É paralela ao eixo x.
d) Contém o centro do quadrado.
e) É perpendicular à reta 2x - 2y+1 = 0.
5. Os pontos A = (0, 0) e B = (3, 0) são vértices
consecutivos de um paralelogramo ABCD situado no
primeiro quadrante. O lado åî é perpendicular à reta y = 2x e o ponto D pertence à circunferência de centro na
origem e raio
a) (6, 2)
b) (6, 1)
c) (5, 3)
d) (5, 2)
e) (5, 1)
5 . Então, as coordenadas de C são:
6. Assinale o que for correto.
01) Se o coeficiente angular de uma reta é nulo, essa reta
é obrigatoriamente coincidente com o eixo das abscissas.
02) Uma reta perpendicular ao eixo das ordenadas tem
coeficiente angular nulo.
04) Se os coeficientes angulares de duas retas são ambos
positivos, essas retas podem ser perpendiculares.
08) Se a inclinação de uma reta em relação ao semi-eixo
positivo das abscissas é um ângulo agudo, seu coeficiente
angular é positivo.
16) Duas retas paralelas entre si têm o mesmo coeficiente
angular.
A área desse triângulo é:
a) 40
7. São dadas as retas r, s e t, de equações x - 2y + 1 = 0,
2x - 4y + 3 = 0 e 2x + y – 3 = 0, respectivamente. É
correto afirmar que:
a) r, s e t concorrem em um único ponto.
b) r e t são concorrentes e r é coincidente com s.
c) r, s e t são duas a duas, paralelas entre si.
d) r é paralela a s e s é perpendicular a t.
e) r é paralela a t e s é perpendicular a r.
8. Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, os
pontos A=(4,1), B=(1,1), C=(4,5) e a reta r representada
pela equação x+y – 2 = 0.
Determine a soma dos números
associados à(s)
proposição(ões) VERDADEIRA(S).
(01) O ponto médio do lado æè é o ponto M de
coordenadas (5/2,3).
(02) A distância do ponto C à origem do sistema de
coordenadas cartesianas é de 6 unidades.
(04) O ponto A pertence à reta r.
(08) A reta s de equação -5x+5y-13=0 e a reta r são
perpendiculares.
(16) A equação da reta que passa pelos pontos A e B é y1=0.
GABARITO - Aula 04 – Revisão Prova Final
1. D
2. E
3. A
4. D
5. E
6. 26
7. D
8. 25
Aula 05 – Revisão Prova Final
1.
Sendo
λ
a
circunferência
de
equação
x2 + y2 - 6y + 7 = 0 no plano cartesiano, considere as
seguintes afirmativas:
I. O raio de λ é 7 .
II. O centro de λ é o ponto C = (0, 3).
III. A reta r tangente a λ no ponto P = (1, 2) tem
equação y = 1 + x.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa II é verdadeira.
b) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
2. Sejam a reta s: 12x - 5y + 7 = 0 e a circunferência
C: x2 + y2 + 4x + 2y = 11. A reta p, que é perpendicular a
s e é secante a C, corta o eixo Oy num ponto cuja
ordenada pertence ao seguinte intervalo
a) (- 91/12, - 81/12)
b) (-81/12, - 74/12)
c) (- 74/12, 30/12)
d) (30/12, 74/12)
e) (75/12, 91/12)
3. Na decoração de uma pré-escola são usadas placas
com formas de figuras geométricas. Uma destas placas é
formada por uma figura que pode ser definida por
x2 + y2 - 8x - 8y + 28 ≤ 0 quando projetada em um plano
cartesiano xy, onde x e y são dados em metros. Esta placa
vai ser pintada usando duas cores, cuja separação é
definida pela reta y = x no plano xy. Considerando o
plano cartesiano xy como referência, a região acima da
reta será pintada de vermelho e a região abaixo da reta,
de verde. Sabendo que a escola vai fazer 12 destas placas
e que, é necessária uma lata de tinta para pintar 3m2 de
placa, serão necessárias, no mínimo, quantas latas de
tinta vermelha?
a) 12
b) 24
c) 26
d) 32
e) 48
4. A cidade D localiza-se à mesma distância das cidades A
e B, e dista 10 km da cidade C. Em um mapa rodoviário
de escala 1:100 000, a localização das cidades A, B, C e D
mostra que A, B e C não estão alinhadas. Nesse mapa, a
cidade D está localizada na intersecção entre
a) a mediatriz de AB e a circunferência de centro C e raio
10 cm.
b) a mediatriz de AB e a circunferência de centro C e raio
1 cm.
c) as circunferências de raio 10 cm e centros A, B e C.
d) as bissetrizes de CÂB e CBA e a circunferência de
centro C e raio 10 cm.
e) as bissetrizes de CÂB e CBA e a circunferência de
centro C e raio 1 cm.
5. Sobre o conjunto de pontos de interseção da
circunferência x2 + (y - 2)2 = 2 com a reta mx - y + 2 =
0, onde m é real, podemos afirmar que:
a) contém um único ponto.
b) é o conjunto vazio.
c) contém dois pontos.
d) contém três pontos.
e) depende de m.
6. A área da região assinalada na figura é 4π. A equação
da circunferência de centro em P é, então:
a) x2 + y2 - 8x - 6y - 7 = 0
b) x2 + y2 - 8x - 6y + 17 = 0
c) x2 + y2 - 8x - 6y + 21 = 0
d) x2 + y2 - 8x - 6y + 13 - 8 2 = 0
2
2
e) x + y - 6x - 8y + 13 - 8 2 = 0
7. Considere a equação x2 + y2 - 6x + 4y + p = 0. O
maior valor inteiro p para que a equação anterior
represente uma circunferência é:
a) 13
b) 12
c) 14
d) 8
e) 10
limitada pela elipse e pela reta indicadas, é:
a) π.
b) 2π.
c) 3π.
d) 4π.
e) 6π.
4. A figura representa uma elipse.
8. As retas r e s tangenciam a circunferência de equação
x2 + y2 - 4x + 3 = 0, respectivamente, nos pontos P e Q e
passam pelo ponto O (0, 0). A medida do ângulo PÔQ
vale:
a) 15°
b) 30°
c) 45°
d) 60°
e) 90°
GABARITO - Aula 05 – Revisão Prova Final
1. D
2. C
3. C
4. A
5. C
6. D
7. B
8. D
Aula 05 – Revisão Prova Final
1. Os focos de uma elipse são F1(0, - 6) e F2(0, 6). Os
pontos A(0, 9) e B(x, 3), x > 0, estão na elipse. A área do
triângulo com vértices em B, F1 e F2 é igual a:
a) 22 10
b) 18 10
c) 15 10
A partir dos dados disponíveis, a equação desta elipse é
a) (x2/5) + (y2/7) = 1.
b) [(x+5) 2/9] + [(y-7) 2/16] = 1.
c) (x-5) 2 + (y-7) 2 = 1.
d) [(x-5) 2/9] + [(y+7) 2/16] = 1.
e) [(x+3) 2/5] + [(y-4) 2/7] = 1.
5. A área do quadrilátero cujos vértices são as interseções
da elipse 9x2 + 25y2 = 225 com os eixos coordenados é
igual, em unidades de área, a:
a) 30
b) 32
c) 34
d) 36
e) 40
d) 12 10
e) 6 10
2. Em uma praça dispõe-se de uma região retangular de
20 m de comprimento por 16 m de largura para construir
um jardim. A exemplo de outros canteiros, este deverá ter
a forma elíptica e estar inscrito nessa região retangular.
Para aguá-lo, serão colocados dois aspersores nos pontos
que correspondem aos focos da elipse. Qual será a
distância entre os aspersores?
a) 4m
b) 6m
c) 8m
d) 10m
e) 12m
3. A área sombreada na figura,
6. A equação 9x2 + 4y2 - 18x - 27 = 0 representa, no
plano cartesiano, uma curva fechada. A área do retângulo
circunscrito a essa curva, em unidades apropriadas, vale:
a) 36
b) 24
c) 18
d) 16
e) 12
7. A reta de menor coeficiente angular, que passa por um
dos focos da elipse 5x2 + 4y2 = 20 e pelo centro da
circunferência x2 + y2 - 4x - 6y = 3, tem equação:
a) 3x - y - 3 = 0
b) 2x - y - 1 = 0
c) x - 3y - 7 = 0
d) x - 2y - 4 = 0
e) x - y + 1 = 0
GABARITO - 9ª Aula – Revisão Geral PSS 3
1. D
2. E
3. C
4. B
5. A
6. B
7. E