GGE RESPONDE - VESTIBULAR – IME 2010 (MATEMÁTICA)
MATEMÁTICA
x F2  yF2  4y F  4  4  4
x F2  ( yF  2)2  8
01. Sejam os conjuntos P1, P2, S1 e S2 tais que (P2  S1)  P1,
(P1  S2)  P2 e (S1  S2)  (P1  P2). Demonstre que
(S1  S2)  (P1  P2).
Circunferência centro (0, -2) e raio 2 2 , interseção com a reta
que passa por (-1, -1) e (-4, 2) dada por
RESOLUÇÃO:
Seja x  S1  S2
Como S1  S2  P1  P2 , então
x  P1 ou x  P2
pela simetria do problema podemos supor (sem perda de
generalidade) que x  P1, como x  P1  S2  P2 ,
então x  P2
logo x  P1  P2
como queríam os demonstrar.
3

 1 (coef . angular)
m 
3

y  -x  k
- 1  -(-1)  k  k  -2

y  -x - 2
ey>-4
02. Três dados iguais, honestos e com seis faces numeradas de
um a seis são lançados simultaneamente. Determine a
probabilidade de que a soma dos resultados de dois quaisquer
deles ser igual ao resultado do terceiro dado.
RESOLUÇÃO:
Soma 2: 1 1 2
2,1 3 !
P 
3
3 2! 1!
Soma 3: 2 1 3
P3  3 !  6
Soma 4: 2 2 4 ou 3 1 4
2,1
P  3 P3  3 !  6
3
Total = 9
04. Seja x o valor do m aior lado de um paralelogramo ABCD. A
diagonal AC divide  em dois ângulos, iguais a 30° a 15°. A
projeção de cada um dos quatro vértices sobre a reta suporte da
diagonal que não o contém forma o quadrilátero A’B’C’D’. Calcule
o perímetro de A’B’C’D’.
Soma 5: 4 1 5 ou 2 3 5
P3  3 !  6 P3  3 !  6
Primeiramente notamos que os quadriláteros AA’B’B, AA’DD’,
CB’BC’, CDD’C’ são inscritíveis. De fato, analizemos AA’DD’.
Sendo AD diâmetro de uma circunferência, A’ e D’ pertencem a
mesma pois AA’D = 90° e AD’D = 90° (os outros casos são
análogos).
Assim concluímos que
B’A’B = CAB = B’AB = 15°
(pelo quadrilátero A’ABB’)
Analogamente
DA’D’ = DAD’ = 30°
(pelo quadrilátero A’AD’D)
Analogamente
AB’A’ = ABA’ = 
(pelo quadrilátero AA’B’B)
Total = 12
Soma 6: 5 1 6 ou 3 3 6 ou 2 4 6
2,1
3!
P3  3!  6
P

 3 P3  3 !  6
3
2 ! 1!
Total = 15
Total de casos favoráveis: 45
nº de casos favoráveis
nº de casos totais
Logo Probabilidade =
A’
Onde casos totais = 6 x 6 x 6 = 216
45 15
5
P


216 72 24
D
30°
15°
C
15°
30°

B’
03. Considere as hipérboles que passam
pelos pontos (-4, 2) e
(-1, -1) e apresentam diretriz na reta y = - 4. Determine a equação
do lugar geométrico formado pelos focos dessas hipérboles,
associados a esta diretriz, e represente o mesmo no plano
cartesiano.
( x F  4)  ( y F  2)
6
15°
60°

A
RESOLUÇÃO:
2
D’
30°
B
2
2
 e
x F2  8x F  16  y F2  4 yF  4
x F2  2x F  1  y F2  2y F  1

( x F  1)  ( y F  1)
3
C’
2
  , logo:
Assim provamos que os quadriláteros ABCD e A’B’C’D’ são
semelhantes.
36
4
9
x F2  8 xF  20  y F2  4 y F  4( x F2  2x F  2  y F2  2y F )
3 x F2  3 y F2  12 y F  12  0  3
xF2  yF2  4 yF  4  0
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1
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1. Perímetro de ABCD
D
C
15°
x
B
y
y
xy
tg 15 
y

xy
x 3 x



p'  x  2 

3  1
2
2
p'  x 2  6  2 

05.

A área da superfície lateral de uma pirâmide quadrangular
regular SABCD é duas vezes maior do que a área de sua base
ABCD. Nas faces SAD e SDC traçam-se as medianas AQ e DP.
Calcule o ângulo entre estas medianas.
x 3 1
2


 x 3 1 
p  2x  2 2  

2




5. Perímetro do quadrilátero A’B’C’D’
3  1 3  1

4. Razão de semelhança
x
 2 3 1
B' D' 2
k

BD
x 3 1
3 1
3 1
 
 
y  3  1  x 3  x  y 3  y
y
x 2 ( 3  1)
2
2
k
2
y 3  1  x  y  3  1
y
D' B' 

p  2x  2y 2
tg 15  
x
( 6  2)
2
y
Y 2
A
D' B' 
p  x2 6  2
RESOLUÇÃO:

k
k

2. Calculo da menor diagonal do paralelogramo ABCD
k
k



Lei dos cossenos
 x 2 2( 3  1)2
z2  

4

2 2  4 .
2

  x 2  2  x 2 ( 3  1)  2

2
2

.h
 h   (altura do lado)
2
k 2  2 
x 2 (3  2 3  1)
z 
 x 2  x 2 ( 3  1)
2
2
k

z 2  x 2 ( 2  3 )  x 2  x 2 ( 3  1)
2
 5
k 
aresta lateral
4
2

2
z 2  x 2 (4  2 3 )
z  x ( 4  2 3 )  x( 3  1)
BD  x( 3  1)
 5
2
H
3. Calculo da menor diagonal do paralelogramo A’B’C’D’

 2
2
y 2

y 2
H2 
 6 2

AB'  x  cos 15º  x


4


AD'  y 2  cos 30 º 
y 6
x  6 ( 3  1)

2
4
D’B’ = AB’ – AD’
x
D' B'   ( 2 6  2 2 )
4
2 2
5 2
3
 3

 H2 
H
4
4
4
2
(altura da pirâmide)
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x

2
x
y

y
x 2  2y 2 (1  cos  )

5 2
13 2
 2
1 cos  
4
16


Simplificando, obtemos que
Obs.: Vista superior - colocando-se outra pirâmide do lado.
Assim observa-se que os pontos A, B e C estão no mesmo plano
paralelo à base.
x 2  2 
2
 5
 x
4
2
 3 
  arc cos  
 13 
 y 2  z2
xy
xz 

 xy
x2  z2
yz  , onde


 xz
yz
x2  y2 


x, y, z  IN, pode ser escrita como o quadrado de uma matriz
simétrica, com traço igual a zero, cujos elementos pertencem ao
conjunto dos números naturais.
x
06. Demonstre que a matriz
y

y
10

3
 10  3
cos   1 

 13  13
1  cos  
(ângulo procurado)
Obs.: Traço de uma matriz é a soma dos elementos de sua
diagonal principal.
RESOLUÇÃO
 0 b c  0 b c   b 2  c 2
cd
bd 



b 2  d2
bc  
 b 0 d  b 0 d    cd

 c d 0  c d 0   bd
cb
c 2  d2 


 

 3
2
P
 3
N 4
 y2  z2

 xy

 xz

y
 2
4
 2
4
M
xy
x 2  z2
yz




x2  y2 

xz
yz
O
Basta fazer:
b = z, c = y e d = x
 2
4
Logo,
 0 z y  0 z y   x 2  z 2



 z 0 x  z 0 x    xy
 y x 0  y x 0   xz


 
 2
2
N
 2
4
Z
M
xy




x2  y2 

xz
x2  z2
yz
yz
O

07.
  45º (  isóceles)
Aplicando Lei dos cossenos (MNO)
Z2  2 
5 2
2
 2
2
9 2  2
5 2
 2




 Z2 
16 8
4
2
8
2
8
8
Seja o subconjunto U    E /   E no qual    1 . Determine:
a) Os elementos do conjunto U.
b) Dois elem entos pertencente ao conjunto Y = E - U tais que o
produto seja um número primo.
RESOLUÇÃO
a)
P
2
E = {a + b} onde a, b  Z e  = e 3
U = {  E /    E no qual  = 1}
y
 3
4
N
Considere o conjunto de números complexos E  a  b ,
onde a e b são inteiros e   cis2 / 3  .
z
0
y2  z2 
y2 
13 2
16
3 2 5 2 3 2


16
8
16
i
Determine
a) Os elementos do conjunto U.
Seja   U então   E e existe   E tal que  = 1.
2
Como   E então  = a + b com a, b  Z e  = e 3
2
Como   E então  = c + d com c, d  Z e  = e 3
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i
i
3
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Observe que:
 .  = 4 + 2( +  ) + 
= 4 + 2(-1) + 1
=3
2
i
2
2
  a  b  a  be 3  a  b cos
 bi sen
3
b
3

    a   
bi
2
2

;
3
08. Seja equação pn + 144 = q2, onde n e q são números inteiros
de maneira análoga
positivos e p é um número primo. Determine os possíveis valores
de n, p e q.

d
3
   c   
di
2
2

Assim
2
2 
2

b
3 

b
3
|  |2   a    
b |  |2   a    b2


2
2
2
4






2
2 
2

d
3 

d
3
|  |2   c    
b |  |2   c    d2
 2 
2
2
4




Deste modo,
2
|  |2  c 2  dc 
d2 3 2
 d  c 2  dc  d2  Z
4
4
Como,
  1, temos que |  |  1 |  ||  | 1 e portanto
|  |2|  |2  1  (a2  ab  b2 )(c 2  dc  d2 )  1 , logo
a 2  ab  b2  1 e c 2  dc  d2  1.
2
Mas
2
2
2
|  |  a  ab  b  1 , por outro lado |  |  .  1
Mas  = 1, assim
  .  1 ; logo    .
2
Como p é primo, pelo teorema fundamental da aritmética temos:
s
n–s
q – 12 = p e q + 12 = p
em que s  N s < n – s
subtraindo as expressões anteriores, obtemos:
n–s
s
s n – 2s
24 = p
– p = p (p
– 1)
Novamente, pelo teorema fundamental da aritmética:
(i) s = 0
n
p = 25
p=5en=2
(n, p, q) = (2, 5, 13)
b2 3 2
|  |  a  ab 
 b  a2  ab  b2  Z
4
4
2
RESOLUÇÃO
n, q  Z+ p  Z+ primo
n
2
p = q – 144
n
(q – 12)(q + 12) = p
(ii) s > 0 e p = 2
s  {1, 2, 3}
donde obtemos
s = 3 q = 20 n = 8
(n, p, q) = (8, 2, 20)
(iii) s > 0 e p = 3
s = {1}
donde obtemos
s = 1 q = 15 n = 4
(n, p, q) = (4, 3, 15)
2
Resolvendo a - ab +b = 1
2
b b
b2
 a  2a 
 b2 
 1 (completando quadrado)
2
4
4
2
2
tg( x ) tg(y  z)  a
tg(z  x)  b , onde a, b, c, x, y, z  IR.
tg( z ) tg(x  y)  c

09. Seja o sistema tg( y)

b
3b2
  a   
1
2
4

Determine as condições que a, b e c devem satisfazer para que o
sistema admita pelo menos uma solução.
 (2a  b)2  3b2  4
RESOLUÇÃO
tgx  tg(y  z)  a

tgy  tg(z  x)  b
tgz  tg(x  y)  c

O sistema acima é equivalente a:
 sen x sen( y  z)

a

 cos x cos( y  z )
sen x sen(y - z)  a cos x cos (y - z)
 sen y sen( z  x )


 b  sen y sen(z - x)  b cos y cos(z - x)

 cos y cos( z  x )
sen z  sen(x - y)  c cos z  cos(x - y)

 sen z sen( x  y )

c

 cos z cos( x  y )
1) caso:
2
b = 0  4a = 4  a = ± 1.
então  ≠ ±1
2) caso: b = 1
2
2
(2a – 1) + 3 = 4  (2a – 1) = 1  2a – 1 = 1 ou 2a – 1 = -1
a = 1 ou
a=0
deste modo,
 = 1 +  ou  = 
3) caso: b = -1
2
2
(2a + 1) + 3 = 4  (2a + 1) = 1  2a + 1 = 1 ou 2a + 1 = -1
a = 0 ou
a = -1
deste modo,
 = - ou  = -1 – 
4) caso: |b| ≥ 2
2
b ≥4
2
3b ≥12
2
2
2
(2a - b) + 3b ≥ (2+(2a - b) ≥ 12
4 ≥ 12
ABSURDO
Assim os elementos de U são:
{1, -1, , - , 1 + , -1 – }
Usando as transformações de soma em produto
pq
 p q
cos p  cos q  2cos
 cos 2 
 2 


pq
pq
cos p - cos q  -2 sen 
 sen 

 2 
 2 
Vemos que, o sistema pode ser escrito da seguinte maneira
(1  a) cos (x - y  z) - (1  a) cos (x  y - z)  0

(1 - b) cos (y - z  x) - (1  b) cos (y  z - x)  0
(1 - c) cos (z - x  y) - (1  c) cos (z  x - y)  0

Tomando  = cos (x – y + z),  = cos(y – z + x);  = cos(z – x + y)
Portanto, o sistema pode ser escrito da seguinte maneira.
b)
=2+
 =2+ 
(1  a)   (1  a)   0

(1  b)   (1  b)   0
(1  c )   (1 c )   0

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4
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Escrevendo na forma matricial, obtem os
(1  a)
0     0 
 1 a

   
1 b
 (1  b)      0 
 0
  (1  c )
0
1  c     0 

10.
Considere
a
1 1 1 11


, a3 
2 2 2 22
a2 
sequência:
a1 
1 11

,
2 22
1 1 1 1 1 11



, ......
2 2 2 2 2 22
Determine o produto dos 20 primeiros termos desta sequência.
1º caso
0 
 1  a 1  a


Se det  0
1 b  1 b  0
  1  c)
0
1  c 

RESOLUÇÃO
1 1 1
 . 
2 2 2
a1 
O sistema será possível e determinado possuindo (0, 0, 0) como
Para n ≥ 2
única solução


x  y  z   m 
2
cos (x - y  z)  0




cos (x  y - z)  0  x  y  z   n  , com m, n, s  z,
2
cos (z - x  y)  0




 x  y  z   s 
2

Somando, obtemos x  y  z 
3
 (m  n  s) 
2
Assim temos

 ns

y   
2  2 


 ms

z   
2  2 


 mn 
x   

2  2 

 1 
1 1
 an 1 logo, é fácil perceber que a n  cos 
.  .
2 2
 2n 1 6 
an 
Com efeito, o resultado vale para a1 e se supusermos, por
 1 
indução, que an1  cos 
. .
n2 6 
2

Então an 
1 1

an 1 
2 2
 1
1 1

 cos 
. 
n 2 6 
2 2
2

 1 
.  como queríam os demonstrar.
Assim a n  cos 
 2n 1 6 

.
O
produtório
6
  

Pn  cos( ). cos , ... cos 
 .
2
 2n 1 
Definamos  
Pela condição de existência da tangente devemos ter n + s, m + s
e m + n ímpares  2(m + n + s) é ímpar. Absurdo.
2º caso:
Se
 1 a

det  0
  1 c

3
3
 

 cos  
4
2
6
1  a
0 

1 b  1 b   0
0
1  c 
O sistema será possível e indeterminado possuindo assim infinitas
desejado
é
  
Multiplicando ambos os membros por 2 sen 
 obtemos:
 2n 1 
  
 
2 sen  n1 .Pn  cos( ). cos  , ....,
2 
 2
   
  
  
cos  n2  . 2.sen  n1  . cos  n1 
2
 
2 
 2 
  
  
2 sen  n1 .Pn  Pn1.sen  n2 
2 
2

Seja,
soluções
cos( x  y  z )  s1t

cos( x  y  z )  s 2t
cos( z  x  y )  s t
3

  

X n  Pn . sen 
n 1 
2

t R
Escolhendo t suficientemente pequeno obtemos


x  y  z   1
2
 1,  2,  3  R



i  0
x  y  z    2
2

i  1, 2, 3


 x  y  z    3
2

  
3 1
3

X1  P1 . sen 
. 
0 
2
2
4
2


2 Xn  Xn 1
Tomando o produto telescópico, obtemos:
2n 1. X n  X1
Pn 
2

Obtemos solução única para x, y, z distintas de
. (para cada
2
escolha de 1 , 2, 3, conforme indicados).
ou seja
 1 
3
2n 1 . Pn . sen 
. 
n 1 6 
4
2

n 1
3
em particular
 1 
. sen  n 1 . 
6
2
3
P20 
2
Assim, a condição necessária e suficiente para que tal sistema
admita solução é:
21
 
 sen 
20
 32



(1-a)(1-b)(1-c) = (1+a)(1+b)(1+c)
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