Desafios
Objeto de aprendizagem:
Geometria: Polígonos e Retas
NOA - UFPB
O estudo da geometria plana requer o conhecimento de alguns conceitos que podem ser articulados
através de sentenças. São exemplos de sentenças matemáticas:
I – existe uma reta r que passa pelos pontos A e B distintos (
|A
B
);
II – existe uma reta s tal que qualquer que seja o ponto P pertencente a s (P s), P é eqüidistante de A e B;
III – A reta s cujos pontos são eqüidistantes dos pontos A e B é única;
IV – A reta s cujos pontos são eqüidistantes dos pontos distantes A e B é perpendicular ao
segmento
e passa pelo seu ponto médio M.
1. Delimite um plano α que satisfaça suas exigências e mostre geometricamente a veracidade das
sentenças I e II (proposição de existência);
2. Tendo como suporte a solução da questão 1 demonstre geometricamente a veracidade da sentença III (proposição de unicidade);
3. Considerando a solução das questões 1 e 2, faça uma análise (condição necessária e suficiente) e
classifica a afirmação IV em verdadeira ou falsa;
4. Considere os itens (i) do mapa abaixo e (ii) o conjunto de sentenças (na Geometria Euclidiana):
I – sejam a retas r e os pontos distintos A e B pertencentes a ela;
II – Sejam r’ e r’’ as semi-retas fechadas respectivamente (r’) de origem em A, à qual pertence o ponto B e r’’ de origem em B à qual pertence o ponto A;
III – Chama-se segmento de reta AB a interseção dessas duas semi-retas (AB = r’ r’’);
IV – Em um triângulo, um dos lados é menor que a soma dos outros dois;
V – Dizemos que dois segmentos são consecutivos se e somente se tem um extremo em comum e apenas esse ponto em comum;
5. A cada segmento (AiBi) podemos associar um número real (AB) e uma unidade de comprimento
que é sua medida. A partir desta definição, construa geometricamente três segmentos consecutivos AB, BC, CA (em uma escala conveniente) não colineares pertencentes a um mesmo plano
cartesiano (idealize um padrão de comparação) e demonstre diretamente que a medida de um
dos três segmentos é sempre menor que a soma da medida dos outros dois segmentos;
6. Demonstre geometricamente por redução a uma contradição a afirmação V;
7. Represente geometricamente em um mesmo plano cartesiano as sentenças I, II, III. Construa
geometricamente (em escala conveniente) e considere um triângulo ABC e D um ponto do lado
BC. A partir de medidas obtidas diretamente
da figura construída verifique a veA
racidade do Teorema de Stewart
onde: n = BD, m = DC e x = AD.
b
c
b2n + c2m – x2a = m n a,
x
B
C
m
D
n
8. Em um plano cartesiano α tomemos duas retas perpendiculares em um ponto O (origem) e orientemo-las de forma que seja possível convencionarmos uma das retas horizontal (eixo das abscissas) e outra vertical (eixo das ordenadas):
a) Marque dois pontos distintos A(xA, yA); B(xB, yB); e conduza o segmento de reta oriene verifique que três casos podem ocorrer: i) yA = yB onde a distância entre dois
tado
pontos é a diferença entre suas abscissas (tomada em módulo dAB = |xB - xA|), ii) xA = xB,
onde a distância entre dois pontos é a diferença entres suas ordenadas (tomada em módulo dAB = |yB - yA|), iii) Considere um ponto distinto C que satisfaça a condição yC = yA e
xB = xC, neste caso tem-se que dAB = |xC - xA| = |xB - xA|, dBC = |yC – yB| = |yB - yA| e
=
(Teorema de Pitágoras).
b) Considere três pontos distintos e não alinhados (em uma mesma escala) A(xA, yA), B(xB,
yB) e C(xC, yC). Por exemplo, para os pontos A(1,2), B(3,1) e C(4,5), calcule a área do
triângulo ABC. Sugestão: utilize a igualdade (analítica)
Área
1
1.
1
Encontre (caso seja possível) um processo de medição direta da área e compare os resultados obtidos.
9. Suponha que você é convidado para seguir a trilha que contorna a área da preservação de uma reserva florestal. Para isto foi disponibilizado um informativo em termos de coordenadas cartesianas
que contém os pontos que definem os segmentos de retas consecutivos componentes da linha poligonal da trilha e cada guinada corresponde a uma mudança de direção no trajeto (ângulo externo).
Informativo: Caminhando pela mata
Descrevendo a trilha
Ponto
Coordenadas cartesianas
A (Início)
(4,0)
B
(6,5)
C
(0,5)
D
(-2,3)
E
(-2,-2)
F (Final)
(4,-2)
Observação
Trilha seqüencial
Origem: Ponto (0,0), acampamento da guarda florestal.
Escala: uma divisão equivale a 100 metros.
Pede-se:
a) Para maior clareza do trajeto represente graficamente em um plano cartesiano (em escala
adequada) o caminho descrito no informativo;
b) Distância percorrida no trajeto;
c) Sabendo-se que voltando em linha reta ao ponto inicial obtemos um polígono de área
equivalente a da reserva florestal, obtenha este valor.