Matemática Básica
Propriedades do m.m.c.
Aula - Múltiplos e Divisores
parte V.
P1) Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo
de todos os outros, então ele é o m.m.c. dos números
dados. Ex.: Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é
múltiplo dos outros dois. Nesse caso, 30 é o m.m.c. (3,
6, 30). Observe:
Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C)
Sejam a e b dois números inteiros diferentes de
zero, chama-se mínimo múltiplo comum de a e b, o menor
valor inteiro positivo m (m > 0) no qual pertence a
intersecção dos múltiplos dos números dados.
Ex.: Obtenha o m.m.c. entre os números 12 e 18
M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, 72, ... }
M(18) = {18, 36, 54, 72, 90, ...}
M(12) ᴖ M(18) = {36, 72, ...}
Como 36 é o menor múltiplo comum positivo ele
será o m.m.c. (12,18).
Uma técnica muito boa e prática para se
determinar o m.m.c. de números inteiros pequenos e
diferentes de zero e procurar o primeiro múltiplo positivo do
maior número dado que seja divisível pelos outros demais
números em questão.
Ex.: Encontre o m.m.c. (3, 4, 6).
Inicialmente tomemos o maior dos números, no
caso 6 e em seguida escrever seus múltiplos até encontrar o
primeiro deles que seja divisível ao mesmo tempo por 3 e 4,
ou seja: 6 x 1 = 6 não pode ser o m.m.c. pois não é divisível
por 4; 6 x 2 = 12 e como 12 é divisível é o primeiro múltiplo
de 6 no qual é divisível por 3 e 4, dessa forma ele será o
m.m.c. de 3, 4 e 6.
m.m.c. (3, 6, 30) = 2 x 3 x 5 = 30
P2) Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles
é o produto desses números.
Ex.: Considere os números 4 e 15, que são primos entre
si. O m.m.c.(4, 15) é igual a 60, que é o produto de 4 por
15.
Observe:
m.m.c. (4, 15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60
ou
m.m.c. (4, 15) = 4 x 15 = 60
Decomposição Simultânea ou Conjunta
É possível obter o m.m.c. entre números
naturais a partir da decomposição simultânea em fatores
primos. Exemplo o m.m.c. entre 12 e 18.
Palavras chave: questões de tempo em que envolvem
encontros simultâneos ou aparecem as seguintes
palavras: juntos novamente, a próxima vez, repetições
periódicas, nova coincidência, alinhamentos planetários
ou voltarão a se encontrar no menor tempo possível.
Relação entre o MMC e o MDC de dois números
naturais:
Se dois números naturais quaisquer a e b, não nulos,
podemos concluir que:
M.M.C (A, B) X M.D.C. (A, B) = A X B
Logo, m.m.c.(12, 18) = 22 . 32 = 36
Ex.: Dados os números 120 e 80, cujo M.D.C. (80,120)
= 40, M.M.C.(80,120)= 240 e que o produto é igual a
120 x 80 = 9600, assim ao aplicado a propriedade
anterior teremos:
m.d.c. ( 120, 80) X m.m.c. ( 120,80) = 120 X 80
40 X 240 = 9600
9600=9600
Decomposição Isolada
O m.m.c. será o produto de todos os fatores
primos comuns e não-comuns, considerados uma única vez e
de maior expoente.
12 = 22 . 3
18 = 2 . 32
m.m.c.{12, 18} = 22 . 32 = 36
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