1. FUNÇÕES
1.1 CONCEITO DE FUNÇÃO
Definição: Sejam A e B dois conjuntos numéricos. Uma função de A em B (notada
por f : A  B, lido como “f de A em B”), é uma lei que associa a cada elemento x
pertencente ao conjunto A um único elemento y pertencente ao conjunto B. O
elemento y é denominado imagem de x pela função f e se denota por f(x) (lê-se “f de
x”). Isto é, y = f(x).
A notação y = f(x) tem um significado claro: para um dado x de A, a função f, que é a
lei de associação, produz um único y de B.
O elemento x é chamado de variável independente da função, pois assume qualquer
valor em A. O elemento y, por sua vez, é também chamado de variável dependende,
pois seu valor depende de x e da lei de associação f e, assim, pode não assumir todos
os valores de B.
Exercício resolvido:
Seja f : R  R, em que R é o conjunto dos números reais, tal que f(x) = x2
para todo x pertencente a R. Qual o valor de f(2) ?
Resolução:
Note que, se dizemos f : R  R (lê-se “f de R em R”), então a função toma
um valor x de R e o associa a um valor y = f(x) também de R. Se temos de
obter f(2), então devemos determinar o valor f(x) de R para x = 2. Como f(x) =
x2, então f(2) = 22 = 4. Logo, f(2) = 4.
Exercício resolvido:
Seja f : R  R tal que f(x) = x2. Determine f(–6), f(  3 ) e f(a + b).
Resolução:
Como f(x) = x2, então
f(–6) = (–6)2 = 36
f(  3 ) = (  3 )2 =  3 .  3 = 3
f(a + b) = (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2
É importante frisar que se uma lei de associação produzir dois ou mais y de B para o
mesmo x de A, a lei não é uma função. A função produz apenas um y para o mesmo
x.
Exemplo:
A lei y2 = 2 – x2 associa valores de x a valores de y. No entanto, para um único
x haverá dois y. Note, por exemplo, que (1)2 = 2 – (1)2 e (–1)2 = 2 – (1)2. Ou
seja, para x = 1, tanto y = 1 e quanto y = –1 satisfazem a lei. Portanto a lei não
é uma função.
Definição: Para uma função f : A  B, o conjunto A é chamado domínio de f e o
conjunto B é chamado contradomínio de f. O conjunto de imagens y de x pela
função f é (também) chamado de imagem. A imagem de uma função é sempre um
subconjunto do contradomínio e eventualmente é igual a ele.
Exercício resolvido:
Para f : R  R, determine o domínio das funções f(x) =
g(x) = 1/(1 – 2x).
 1− x 2 e
Resolução:
O conjunto domínio é composto por todos valores que a variável independente
x pode assumir. A imagem da função deve ser um número real, isto é, tanto f(x)
quanto g(x) devem produzir números reais.
Para f(x) ser real, o radicando da raiz deve ser maior ou igual a zero, pois para
raízes de índices pares (raiz quadrada tem índice 2), radicandos negativos
levam a números complexos, e não reais puros. Assim, devemos impor que o
radicando 1 – x2 ≥ 0. Isolando x temos:
1 ≥ x2, ou x2 ≤ 1
Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados da desigualdade (note que
 x 2 = | x | para qualquer x real) chegamos a
–1 ≤ x ≤ 1,
que é a resposta . Isto é, o domínio de f(x) é o conjunto dos números reais
maiores ou iguais a – 1 e menores ou iguais a 1.
Para g(x), devemos notar que a função não está definida para denominador
igual a zero. Assim, devemos impor 1 – 2x ≠ 0. Isolando x nesta expressão
obtemos x ≠ ½. Isto é, o domínio da função são todos os valores reais
diferentes de ½.
1.2 ALGUMAS FUNÇÕES IMPORTANTES DE UMA VARIÁVEL REAL
(a) Função Linear:
f(x) = ax, com a ≠ 0, a constante
O gráfico da função linear é uma reta inclinada passando pela origem do sistema de
coordenadas . Seu domínio é R.
(b) Função Linear Afim ou de 1o. Grau:
f(x) = ax + b, com a ≠ 0, a e b constantes
O gráfico da função de 1o. grau é uma reta inclinada. Seu domínio é R.
(c) Função de 2o. Grau:
f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, a, b e c constantes
O gráfico da função de 2o. grau é uma parábola. Seu domínio é R. A função f(x) = x 2,
também chamada de função quadrática, é um caso particular de função de 2o. Grau.
Funções lineares e de 1o. e 2o. graus são casos particulares de funções polinomiais
(ver logo abaixo).
(d) Função Potência:
f(x) = xa, a ≠ 0, a constante e real
Assim denominada pois a variável x está na base de uma potência. Seu domínio é R.
(e) Função Polinomial
São compostas pela soma de produtos de constantes por potências de uma variável
com expoentes inteiros positivos.
Exemplos de funções polinomiais:
f(x) = 2
f(x) = 3x
f(x) = x2 + 4x
f(x) = x5 – 16x + ½
(f) Função Exponencial:
f(x) = ax, a > 0, a constante e real
Assim denominada pois a variável x está no expoente de uma potência. Seu domínio
é R.
(g) Função logarítmica:
f(x) = loga x, a > 1 e real
Seu domínio é x > 0.
Exercício resolvido:
Identifique as funções f(x) = 2x e g(x) = x2.
Resolução:
Na função f(x) temos uma potência na qual a variável está no expoente e na
função g(x) temos uma potência na qual a variável está na base. Logo, f(x) é
uma função exponencial e g(x) é uma função potência.
1.3 TIPOS DE FUNÇÕES
Funções podem ser classificadas por diversos critérios. Quanto à paridade, pode ser
pares ou ímpares; podem ser crescentes ou descrescentes; podem ser limitadas
superior ou inferiormente, ou ambas. Aqui vamos nos limitar a aprender o conceito de
função biunívoca.
Definição: Função biunívoca é aquela para a qual ocorrem simultaneamente: (a)
para x1 diferente de x2 , temos f(x1) diferente de f(x2). Isto é, se para todo o domínio
de uma função, valores diferentes de x levarem a valores diferentes de y; e (b) a
imagem da função equivale ao contradomínio.
Exercício resolvido:
Demonstre que a função f(x) = x2 não é biunívoca.
Resolução:
Note que f(–a) = (–a)2 = a2 e f(a) = a2, sendo a um valor qualquer, isto é, f(–a)
= f(a). Portanto, para pelo menos dois valores diferentes de x (no caso, x = a e
x = –a) temos um mesmo y = a2. A função, contudo, deveria produzir dois y
diferentes como condição necessária para ser biunívoca.