Integrais de funções racionais próprias
Método da decomposição em frações parciais
Seja f(x) = p(x)/q(x) tal que p(x) e q(x) são funções
polinomiais com grau[p(x)] < grau[q(x)] .
1o Caso: Se todas as raízes de q(x) são
reais e simples (isto é, duas a duas
distintas).
Neste caso, se α1, α 2, ... α n são as raízes de q(x)
então
q(x) = M.(x - α1). (x - α 2)... (x - α n) e
2o Caso: Se todas as raízes de q(x) são
reais.
Neste caso se α 1, α 2, ... α n são as raízes
de q(x) com multiplicidades k1, k2, ..., kn
então
q(x) = M.(x - α 1)k1. (x - α 2)k2... (x- α n)kn e
3o Caso: Se todas as raízes não reais de q(x)
são simples (isto é, duas a duas distintas).
Neste caso, se α 1, α 2, ... α n são as raízes reais de
q(x) com multiplicidade k1, k2,..., kn e
são suas raízes não reais então
q(x) = M.(x - α 1)k1. (x - α 2)k2... (x- α n)kn (x2 +b1x +c1) ... (x2 +bmx +cm) e
tal que, para todo j = 1...m, x2 +ajx +bj é um
polinômio com coeficientes reais e com raízes
(não reais)
4o Caso: Caso geral (para qualquer polinômio
real q(x) ≠ 0).
Neste caso, se α 1, α 2, ... α n são as raízes reais de q(x) com
multiplicidade k1, k2,..., kn e
são
suas raízes não reais com multiplicidade s1, s2, ..., sm então
q(x) = M.(x - α 1)k1. (x - α 2)k2... (x- αn)kn (x2 +b1x +c1)s1 ...
(x2 +bmx +cm)sm e
tal que, para todo j = 1...m, x2 +ajx +bj é um polinômio com
coeficientes reais e com raízes (não reais)
Integrais de funções contendo
um trinômio do 20 grau irredutível
Integrais dos tipos
A=0
Š O método do cálculo destas integrais consiste
em transformar o trinômio ax2 + bx + c numa soma
ou diferença de quadrados.
I =
dx
1
dt
=
∫
∫ 2
2
a ⎛
t ± k
b ⎞
∆
⎜x+
⎟ ±
2a ⎠
4a 2
⎝
2
Integrais dos tipos
A≠0
Š O método do cálculo destas integrais
consiste em transformar o binômio AX + B
na derivada do trinômio ax2 + bx + c.
A
Ab
+B
( 2 ax + b ) −
Ax + B
2a
2a
=
ax 2 + bx + c
ax 2 + bx + c
Integrais Imediatas de tabela
dx
∫
a
a
2
− x
a
2
− x
dx
x
2
dx
∫
∫
+ x
⎛ x ⎞
⎜
⎟ + c
⎝ a ⎠
= arcsen
⎛ x ⎞
⎜
⎟ + c
⎝ a ⎠
dx
∫
∫
2
1
arctg
=
a
− a
2
2
dx
x
2
± a
2
2
2
=
=
1
a + x
+ c
ln
2a
a − x
1
2 a
x − a
x + a
ln
= ln ⎛⎜ x ±
⎝
x
2
± a
+ c
2
⎞⎟ + c
⎠
Integrais de algumas Funções
Irracionais
Š Dada a integral
⎛ ⎛ ax + b ⎞ ⎛ ax + b ⎞ ⎞
⎜ x, ⎜
⎟dx
R
,
,...
⎟
⎜
⎟
∫ ⎜ ⎝ cx + d ⎠ ⎝ cx + d ⎠ ⎟
⎝
⎠
m
n
r
s
m r
frações n , s , ...
Š Reduzindo as
a um mesmo
denominador, k, e tomando a substituição
⎛ ax + b ⎞
t =⎜
⎟
⎝ cx + d ⎠
1
k
Š Obtemos uma integral de função racional em .
Exemplos:
1)∫ 3
6
6 6 x7 6 6 x5
x −1
6 3
6
+c
+
+ 2 x + 6 x + 3ln 6
dx =
7
5
x +1
x −1
x
5
x
4
x+ x
=
+
dx
c
2)∫
5
1+ 4 x
4
4
3)∫
4)∫
5)∫
(
)
x −1
dx = 2 x −1 − 2arctg x −1 + c
x
dx
x +1 − (x +1)
3
dx
2x −1 + 4 2x −1
= ln
1 + x +1
1 − x +1
+c
= 2 2x −1 − 2 4 2x −1 + 2ln 4 2x −1 +1 + c
6)∫
dx
x −3 x
= 26 x 3 + 36 x 2 + 66 x + 6 ln 6 x − 1 + c
5
7)∫
8)∫
9)∫
⎛⎜ 2 + 4 x ⎞⎟
8
3
2+4 x
16
⎝
⎠
dx =
− ⎛⎜ 2 + 4 x ⎞⎟ + c
⎠
5
3⎝
x
dx
x + 4 x3
2x + 3
dx
x −3