Universidade do Estado do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Curso de Licenciatura Plena em Matemática
Fábio José Escórcio Pinto
Vinícius Pereira Gonçalves
Cônicas em Belém do Pará: Uma visão através do
Google Earth
Belém
2009
Fábio José Escórcio Pinto
Vinícius Pereira Gonçalves
Cônicas em Belém do Pará: Uma visão através do Google Earth
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
como requisito parcial para obtenção da
Licenciatura em Matemática, Universidade do
Estado do Pará.
Orientador: Prof. MSc. Gilberto Emanoel Reis
Vogado.
Belém
2009
Fábio José Escórcio Pinto
Vinícius Pereira Gonçalves
Cônicas em Belém do Pará: Uma visão através do Google Earth
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
como requisito parcial para obtenção da
Licenciatura em Matemática, Universidade do
Estado do Pará.
Data de Aprovação: 06/02/2009
Banca Examinadora
__________________________________________
Prof. Gilberto Emanoel Reis Vogado - Orientador
MSc. em Geofísica
Universidade do Estado do Pará
__________________________________________________
Prof. Fábio José da Costa Alves
Dr. em Geofísica
Universidade do Estado do Pará/ Universidade da Amazônia
__________________________________________
Prof. Rosineide de Souza Jucá
MSc. em Educação Matemática
Universidade do Estado do Pará
AGRACEDIMENTOS
A Deus pela sua presença constante em nossas vidas, por ter nos auxiliado
nas escolhas que tomamos e ter nos confortado nas horas difíceis.
A nossa família pelo amor, carinho e apoio incondicionais. Em especial, aos
nossos pais Maria José Escórcio Pinto e Raimundo Luiz Pinto (Fábio) e Luciclea Pereira
Gonçalves e Clovis da Silva Gonçalves (Vinícius). Vocês são os melhores pais do
mundo! Amamos muito vocês!
Ao nosso Orientador Prof. Msc. Gilberto Emanoel Reis Vogado pela
orientação, apoio, confiança e sugestões.
A Maria Eunice, secretária do curso de Matemática, pela força de vontade
apoio, incentivo, amizade, descontração e sugestões sempre que necessitávamos.
A Profª. Msc. Eliane de Oliveira pela atenção, apoio e sugestões sempre
imprescindíveis.
A Msc. Lucélia Pereira Gonçalves pela atenção, apoio e sugestões sempre
imprescindíveis.
Aos professores do curso de Licenciatura em Matemática por todo
conhecimento transmitido.
As famílias Bichara, Matos, Cardoso, Thiago Vanzeler, Adelson Luis e todos
os alunos pela confiança, carinho, dedicação e apoio. Aos nossos amigos da turma pela
força.
A todos que de forma direta ou indireta contribuíram para a realização deste
trabalho, nosso muito obrigado!
“As grandes coisas são feitas por pessoas
que tem grandes idéias e saem pelo
mundo para fazer com que seus
sonhos se tornem realidades”
Ernest Holmes
“Sempre faço o que não consigo fazer para
aprender o que não sei”
Pablo Picasso
RESUMO
GONÇALVES, Vinícius. ; PINTO, Fábio. Cônicas em Belém do Pará: Uma visão
através do Google Earth. 2009. 73 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em
Licenciatura em Matemática) - Universidade do Estado do Pará, Belém, 2009.
O presente trabalho teve como objetivo apresentar a história das cônicas enfatizando a
origem destas formas geométricas, assim como os principais matemáticos envolvidos
no desenvolvimento destas curvas; além de abordar os mais importantes conceitos e
demonstrações referentes à hipérbole, parábola, elipse e circunferência e ainda fazer
uma análise a cerca destas secções cônicas. Para isto, foram observados e
selecionados alguns lugares da cidade de Belém do Pará, com o auxílio do Google
Earth, que através de imagens de satélites permitiu a captura de determinadas formas
cônicas presentes em construções da capital paraense.
Palavras-chave: Cônicas. Google Earth. Geometria. Construções. Observação aérea.
Belém.
ABSTRACT
GONÇALVES, Vinícius. ; PINTO, Fábio. Cônicas em Belém do Pará: Uma visão
através do Google Earth. 2009. 73 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em
Licenciatura em Matemática) - Universidade do Estado do Pará, Belém, 2009.
This study aimed to present the history of the origin of the conical emphasizing
geometric shapes and the principal involved in the development of mathematical curves;
addition to addressing the most important concepts and statements concerning the
hyperbola, parabola, ellipse and circle and still do analysis to some of these conical
sections. To this, were selected and some places of the city of Belem of Para, with the
help of Google Earth, which through satellite images allowed the capture of certain
forms conical constructions in the capital Para.
Key-words: Conic. Google Earth. Geometry. Construction. Aerial observation. Belém.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 2.1 - Secção. ....................................................................................................... 15
Figura 2.2 - Cone Circular Oblíquo. ................................................................................ 18
Figura 2.3- Cone Circular Oblíquo. ................................................................................. 19
Figura 3.1 - Secção Cônica. ........................................................................................... 21
Figura 3.2 - Mostra dos sete pontos eqüidistantes à F. .................................................. 22
Figura 3.3 - Elementos da Parábola. .............................................................................. 22
Figura 3.4 - Elementos da Parábola. .............................................................................. 23
Figura 3.5 - Parábola com concavidade voltada para cima. ........................................... 24
Figura 3.6 - Parábola com concavidade voltada para baixo. .......................................... 24
Figura 3.7 - Eixo da Parábola é o eixo dos x. ................................................................. 25
Figura 3.8 - Parábola com concavidade voltada para direita. ........................................ 26
Figura 3.9 - Parábola com concavidade voltada para esquerda. ................................... 26
Figura 3.10 - Translação de Eixos. ................................................................................. 27
Figura 3.11 - Translação de Eixo da Parábola paralelo à y. ........................................... 28
Figura 3.12 - Translação de Eixo da Parábola paralelo à x. ........................................... 29
Figura 3.13 - Secção Cônica. ......................................................................................... 30
Figura 3.14 - Elipse. ....................................................................................................... 30
Figura 3.15 - Elementos da Elipse. ................................................................................ 31
Figura 3.16 - Circunferência. .......................................................................................... 31
Figura 3.17 – Triângulo para demonstração................................................................... 33
Figura 3.18 - Excentricidade........................................................................................... 35
Figura 3.19– Elipse com eixo maior sobre x................................................................... 36
Figura 3.20 - Elipse com eixo maior sobre y. ................................................................. 38
Figura 3.21 – Elipse com centro fora da origem e paralelo a x. ..................................... 39
Figura 3.22 – Elipse com centro fora da origem e paralelo a y. ..................................... 40
Figura 3.23 – Triangulo para demonstração................................................................... 42
Figura 3.24 – Hipérbole. ................................................................................................. 45
Figura 3.25 - Hipérbole Curva de Dois Ramos. .............................................................. 45
Figura 3.26 – Pontos de interseção da Hipérbole com a reta......................................... 46
Figura 3.27 – Hipérbole e seus elementos. .................................................................... 47
Figura 3.28 - Hipérbole com um retângulo inscrito na circunferência. ............................ 48
Figura 3.29 - Hipérbole sobre o eixo x. .......................................................................... 49
Figura 3.30 - Hipérbole sobre o eixo y. .......................................................................... 51
Figura 3.31 - Hipérbole de centro fora da origem paralelo a x. ...................................... 53
Figura 3.32 - Hipérbole de centro fora da origem paralelo a y. ...................................... 54
Figura 4.1 - Google Earth. .............................................................................................. 55
Figura 4.2 - Google Maps. .............................................................................................. 56
Figura 4.3 - Estádio Olímpico do Pará. .......................................................................... 57
Figura 4.4 - Aldeia de Cultura Amazônica Davi Miguel. ................................................. 59
Figura 4.5 - Reservatório da Praça Floriano Peixoto. ..................................................... 61
Figura 4.6 - Memorial Magalhães Barata. ...................................................................... 63
Figura 4.7 - Viaduto da Av. Almirante Barroso esquina com a Av. Dr. Freitas. .............. 64
Figura 4.8 - Praça Presidente Kennedy. ........................................................................ 66
Figura 4.9 - Cruzamento da Av. Generalíssimo Deodoro com a Rua Antônio Barreto. .. 67
Figura 4.10 - Av. Júlio César. ......................................................................................... 69
SUMÁRIO
1
INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 11
2
HISTÓRIA DAS CÔNICAS ..................................................................................... 14
3
DEFINIÇÕES DAS CÔNICAS ................................................................................ 21
3.1 PARÁBOLA ......................................................................................................... 21
3.1.1 Composição da Parábola ............................................................................. 22
3.1.2 Equação da Parábola de Vértice na Origem do Sistema ............................. 23
3.1.2.1 O Eixo Y sendo o Eixo da Parábola ...................................................... 23
3.1.2.2 O Eixo X sendo o Eixo da Parábola ...................................................... 25
3.1.3 Translação de Eixos ..................................................................................... 27
3.1.4 Equação da Parábola de Vértice Fora da Origem do Sistema ..................... 28
3.1.4.1 O Eixo da Parábola é Paralelo ao Eixo Y .............................................. 28
3.1.4.2 O Eixo da Parábola é Paralelo ao Eixo X .............................................. 29
3.2 ELIPSE ................................................................................................................ 29
3.2.1 Composição da Elipse .................................................................................. 30
3.2.2 Circunferência .............................................................................................. 31
3.2.2.1 Área da Circunferência .......................................................................... 32
3.2.3 Excentricidade .............................................................................................. 35
3.2.4 Equação da Elipse de Centro na Origem do Sistema .................................. 35
3.2.4.1 O Eixo Maior está sobre o Eixo dos X ................................................... 35
3.2.4.2 O Eixo Maior está sobre o Eixo dos Y ................................................... 37
3.2.5 Equação da Elipse de Centro Fora da Origem do Sistema .......................... 38
3.2.5.1 O Eixo Maior da Elipse é Paralelo ao Eixo dos X .................................. 39
3.2.5.2 O Eixo Maior da Elipse é Paralelo ao Eixo dos Y .................................. 40
3.2.6 Área da Elipse .............................................................................................. 41
3.3 HIPÉRBOLE ........................................................................................................ 44
3.3.1 Composição da Hipérbole ............................................................................ 46
3.3.2 Equação da Hipérbole de Centro na Origem do Sistema ............................. 49
3.3.2.1 O Eixo Real está sobre o Eixo dos X .................................................... 49
3.3.2.2 O Eixo Real está sobre o Eixo dos Y .................................................... 51
3.3.3 Equação da Hipérbole de centro Fora da Origem do Sistema ..................... 53
3.3.3.1 O Eixo Real é Paralelo ao Eixo dos X ................................................... 53
3.3.3.2 O Eixo Real é Paralelo ao Eixo dos Y ................................................... 54
4
CÔNICAS ATRAVÉS DO GOOGLE EARTH ......................................................... 55
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
ESTÁDIO OLÍMPICO DO PARÁ .......................................................................... 56
ALDEIA DE CULTURA AMAZÔNICA DAVI MIGUEL ........................................... 58
RESERVATÓRIO DA PRAÇA FLORIANO PEIXOTO.......................................... 60
MEMORIAL MAGALHÃES BARATA ................................................................... 62
VIADUTO DA AV. ALMIRANTE BARROSO COM A AV. DR. FREITAS ............... 64
PRAÇA PRESIDENTE KENNEDY....................................................................... 65
4.7 CRUZAMENTO DA AV. GENERALÍSSIMO DEODORO COM A RUA ANTÔNIO
BARRETO .................................................................................................................. 67
4.8 AV. JÚLIO CESAR ............................................................................................... 68
5
CONCLUSÕES ....................................................................................................... 71
REFERÊNCIAS .............................................................................................................. 73
11
1
INTRODUÇÃO
As cônicas tiveram origem durante o período helenístico e segundo diversos
historiadores como Boyer (1989) e Eves (2004) os primeiros estudos sobre secções
cônicas foram elaborados por Euclides, Arquimedes e o considerado “pai das cônicas”,
Apolônio de Perga. Hoje, é notória a influência destas curvas nas avenidas e nos
principais monumentos das grandes cidades, como por exemplo, na capital paraense,
objeto de estudo desta pesquisa, onde se procura observar em suas várias construções
as diversas formas cônicas. Por conseguinte, este trabalho além da parte histórica,
aborda as principais características da parábola, da elipse, da circunferência e
da
hipérbole com suas respectivas demonstrações. Todavia, é evidente a importância da
geometria no estudo de cônicas conforme já afirmou Camargo e Boulos (2005).
Geometria analítica é o estudo da geometria pelo método cartesiano (René
descarte, 1956-1950), que consiste em associar equações aos entes
geométricos, e do estudo dessas equações (com o auxilio da álgebra, portanto)
tirar conclusões a respeito daqueles entes geométricos (CAMARGO e
BOULOS, 2005, p.10).
Assim sendo é importante ressaltar a afirmação desses autores, já que neste
trabalho se utiliza das formas, do plano cartesiano e das relações geométricas, que
servem de base para a demonstração das equações das cônicas e aplicações por meio
de imagens aéreas da cidade de Belém. Além disso, tem-se que para as figuras
consideradas fechadas como circunferência e elipse estão propostos os cálculos de
suas áreas e suas equações, assim como, para as demais curvas estão geradas
apenas suas respectivas equações para cada situação.
Não obstante, é interessante destacar a relevância de softwares na
observação aérea de países e cidades, como é o caso do Google Earth, uma
ferramenta desktop utilizada neste trabalho para o estudo das cônicas, através de
imagens de satélites de cruzamentos de ruas e construções localizadas na cidade de
Belém. Assim sendo, é possível identificar nessas fotos, formatos cônicos que estão
sendo usados para cálculos de áreas e equações destas curvas presentes na capital
paraense.
Portanto essa ferramenta que é de fundamental para o desenvolvimento
desta pesquisa, além das cônicas, pode também auxiliar na observação e análise de
12
outras formas geométricas assim como no estudo de outras áreas da matemática.
Todavia, esse software, além das imagens de satélite, oferece também uma série de
funcionalidades que permitem, por exemplo, rotacionar as figuras; portanto durante o
desenvolvimento deste trabalho algumas imagens sofreram rotações no plano
cartesiano para facilitar a visualização e os cálculos das formas cônicas.
No
entanto,
é
de
fundamental
importância
nessa
pesquisa
outra
funcionalidade também presente nesse software livre, denominada de régua, que
fornece as medições quase que precisas necessárias para trabalhar com as cônicas.
Ela tem a função de medir a distância entre dois pontos de uma localidade e, portanto
auxilia na obtenção das medidas dos componentes das cônicas (diâmetro, raio, eixo),
facilitando no cálculo da área da elipse ou circunferência e da equação das cônicas.
Além disso, essa ferramenta permite que os locais medidos fiquem tracejados e
coloridos.
O foco principal dessa pesquisa refere-se a localização, identificação e o uso
do Google Earth para obtenção de informações matemáticas a cerca das cônicas e
seus cálculos. Destacando essa ferramenta (Google Earth) para analisar e selecionar
por meio de imagens de satélite construções em Belém do Pará que apresentem
formatos cônicos e mostrar que é possível o cálculo da área e das equações destas
curvas.
Um dos motivos pelo qual se escolheu o tema em estudo é a afinidade pelos
cálculos matemáticos em especial pelo conteúdo das cônicas que desperta o interesse
de fazer uma pesquisa mais aprofundada, abordando a história, construções
geométricas, cálculos e suas respectivas demonstrações. Sendo assim, opta-se pela
capital paraense, porque os pesquisadores são da cidade em estudo; facilitando então,
a localização dos lugares mostrados nas imagens. Outro fato bastante relevante é o da
cidade possuir uma grande quantidade de construções, as quais se visualizam de forma
clara arquiteturas em formatos cônicos.
Por conseguinte, este trabalho se fundamenta em estudos bibliográficos a
livros de renomados escritores matemáticos. Sendo acrescido de informações de
artigos, dissertações de mestrado e teses de doutorado referente ao tema em estudo.
13
Ainda vale ressaltar que foram selecionados dois locais para a identificação
de cada tipo de cônicas, sendo identificadas as imagens que melhor visualizam a
elipse, circunferência, parábola ou hipérbole.
Este trabalho está organizado em cinco capítulos, onde no primeiro tem-se a
introdução; no segundo a história e os principais matemáticos que durante a
antiguidade pesquisaram as cônicas; no terceiro os conceitos e as características das
cônicas, bem como as deduções das fórmulas dessas curvas; já o capítulo quatro
apresenta as aplicações das cônicas por meio de imagens de satélites da cidade de
Belém, enfatizando a observação, as definições expostas e os cálculos deduzidos no
capítulo três e o capítulo cinco apresenta as conclusões, discutindo as contribuições
deste trabalho, e as considerações finais dos autores.
Portanto o próximo capítulo aborda vários pesquisadores em matemática que
atribuíram em diversas épocas conhecimentos para que se construísse a história sobre
as secções cônicas.
14
2
HISTÓRIA DAS CÔNICAS
Segundo Boyer (1989) na idade Helenística se destacaram três grandes
matemáticos, Euclides, Arquimedes e Apolônio de Perga e foi devido aos grandes feitos
desses matemáticos que esse período foi chamado de “Idade áurea da matemática
grega”. Dentre os quais o matemático que mais se destacou no estudo das cônicas foi
Apolônio de Perga, considerado o “pai das Cônicas”, no que diz respeito às evidências
de sua passagem pelo mundo quase não se têm vestígios de sua história, a não ser na
introdução de seus livros, que relatavam um pouco de sua vida.
É importante destacar que não foi somente Apolônio que estudou as cônicas,
elas foram estudadas por vários matemáticos, dentre os quais pode-se citar
Menaecmus, Aristeu, Euclides de Alexandria e outros, mas apenas Apolônio de Perga
teve sucesso em suas publicações.
Em relação à Menaecmus: “Na verdade, havia uma família de curvas
adequadas, [...] cortando um cone circular reto por um plano perpendicular a um
elemento de cone. Isto é, parece ter descoberto as curvas que mais tarde foram
chamadas, elipse, parábola e hipérbole “(BOYER, 1989, p.69). Esse fragmento que
destaca-se da obra de Boyer (1989) refere-se a Menaecmus que descobriu uma
importante família de curvas, isso deixa evidente que antes mesmo de Apolônio já
existiam outros tratados sobre cônicas, mas muito se perdeu.
A primeira experiência com a elipse parece ter sido demonstrada por
Menaecmus, como um produto referente a pesquisas da hipérbole e parábola que
ofereciam as propriedades precisas à solução do problema de Delos.
Para Boyer (1989) não se sabe como Menaecmus descobriu outras e essa
propriedade em y2 = / X, onde / é uma constante que depende da distância ao plano do
vértice do cone usando apenas elementos da geometria analítica.
Seja ABC o cone cortado segundo a curva EDG por um plano perpendicular
ao elemento ADC do cone (figura 2.1). Então por um ponto P qualquer da curva será
traçado um plano horizontal, que cortará o cone segundo o Círculo PVR e seja Q o
outro ponto de interseção da curva (parábola) com o círculo. Das simetrias envolvidas
resulta que a reta PQ é perpendicular a RV em Q. Logo OP é a média proporcional
entre RO e OV. Além disso, a semelhança dos triângulos OVD e BCA segue-se que
15
OV/DO = BC/AB e da semelhança dos triângulos R’DA e ABC resulta R’D/ AR’ = BC/
AB. Se OP=Y e OD = X são coordenadas do ponto P, tem-se y2 = RO * OV ou
substituído tem-se:
y2 = R’D * OV = AR’ * BC/AB * DO * BC/AB = AR’ * BC2 * X / AB2
Como os segmentos AR’, BC e AB possuem o mesmo valor nos pontos P
da curva EQDPG então a equação da curva pode ser definida como y2 = / X, secções
de cone retângulo (orthotome), onde / é uma constante,mais tarde chamado lactus
rectum da curva de forma semelhantes pode-se deduzir as fórmulas Y2 = / X – b2 X2 /
a2 para secções de cone acutângulo (oxytome) ou Y2 = / X + b 2X2 / a2 para secções
de cone obtusângulo (amblytome), sendo a e b constantes.
Para Boyer (1989) Menaecmus não sabia que uma equação em duas
quantidades incógnitas determina uma curva e também deslocando o plano de secção
(figura 2.1) pode-se achar uma parábola com qualquer lactus rectum.
Figura 2.1 - Secção.
Fonte: Boyer, 1989
Boyer (1989) afirma que em relação aos tratados escritos por Euclides de
Alexandria mais da metade se perdeu inclusive os tratados que se referiam as secções
cônicas e as obras escritas por Aristeu que escreveu o mais antigo tratado “Lugares
sólidos” (nome dado as secções cônicas, provavelmente advindo da definição
esteriométrica das curvas na obra de Menaecmus) que também se perdeu
16
provavelmente devido a importância que foi dada as obras escritas de Apolônio de
Perga.
Arquimedes de Siracusa, data provável (287 a.c), também fez estudos sobre
cônicas e em sua obra sobre espirais ocupava-se do método da exaustão. Dos tratados
de Arquimedes o mais conhecido era a quadratura da parábola, sendo que na
antiguidade conseguiu quadrar uma secção cônica.
“Só o maior matemático da antiguidade conseguiu resolver a questão de
quadrar uma secção cônica – um segmento de parábola...” (BOYER, 1989, p.94). É
bem interessante observar que Arquimedes conseguiu determinar a área de uma elipse
inteira e os volumes dos segmentos cortados de um elipsóide, parabolóide ou
hiperbolóide de revolução em torno do eixo principal, mas não determinou a área geral
de um segmento determinado por elipse ou parábola.
Boyer (1989) afirma que o Grande Geômetra, Apolônio de Perga, nasceu em
Perga em Panfília (sul da Ásia Menor), viveu de 262 a.C. - 190 a.C. e foi além de
matemático um respeitado astrônomo grego da escola de Alexandrina, que também era
categorizado como o sexto homem da lista dos doze homens mais notáveis do seu
tempo. Teve seu grande momento como autor, de pesquisas científicas, quando lançou
o conhecido Tratado das Secções Cônicas, o qual foi uma obra prima da geometria
pura da época.
Não obstante o célebre astrônomo asiático teve um verdadeiro
arcabouço de publicações e tratados, os quais apenas dois desses últimos se
perpetuaram até os dias atuais. Halley, um amigo de Newton, publicou no século XVIII
uma tradução de suas obras para o Latim; esse era o início da imortalidade de Apolônio
e de "As Cônicas".
As cônicas eram estudadas por vários matemáticos, mas apenas Apolônio de
Perga teve sucesso em suas publicações. O “pai das cônicas” influenciou diretamente
na matemática através de suas sistemáticas pesquisas, que deram origem a uma
coleção de oito livros concernentes a essas curvas, que se davam através de suas
notórias demonstrações oriundas apenas da geometria euclidiana.
Segundo Boyer (1989, p.107), na história da matemática os conceitos são
mais importantes que a terminologia, mas a mudança de nome das secções cônicas
devida a Apolônio teve significado profundo do que o usual. Durante cerca de um
17
século e meio as curvas não tinham tido designações além de descrições banais do
modo pelo qual tinham sido descobertas – secções de cone acutângulo(oxytome),
secções de cone retângulo (orthotome) e secções de cone obtusângulo (amblytome)”.
Foi então que esse matemático sugeriu os nomes elipse, parábola e hipérbole e propôs
pela primeira vez muitas das propriedades das cônicas – Se um ramo de uma hipérbole
intersecta os dois ramos de uma outra hipérbole, o ramo aposto da primeira hipérbole
não encontrará nenhum dos ramos da segunda em dois pontos.
Segundo Boyer (1989) Apolônio e outros matemáticos demonstravam as
cônicas através de cones ao desenvolver essas demonstrações propôs inicialmente a
utilização de um cone circular, entretanto restringir a demonstração a esse tipo de cone
não e relevante já que ao utilizar um cone elíptico ou um quádrico qualquer também é
possível chegar ao objetivo da demonstração através da secção plana do cone. Sendo
assim, é possível inferir a partir do que esta proposto por Apolônio em seu livro, que
além da grande quantidade de secções paralelas circulares a base de um cone circular
oblíquo, também é pertinente abstrair uma ilimitada quantidade de secções
subcontrárias.
Conforme Boyer (1989, p.108) “seja BFC a base do cone circular obliquo e
seja ABC uma secção triangular do cone (figura 2.2). Seja P qualquer ponto de uma
secção circular DEP paralela à BFC e seja HPK uma secção por um ponto tal que os
triângulos AHK e ABC são semelhantes, mas de orientações contrárias. Apolônio
chamou a secção HPK de secção subcontrária e mostrou que é um circulo”.
Por conseguinte, a corroboração disto poderia facilmente se fazer a partir da
semelhança dos triângulos HMD e EMK, obtendo como resposta que HM . MK = DM .
ME = PM², caracterizando o circulo. Assim sendo, correlacionando essas variáveis com
a geometria analítica, tem-se que: HM = x, HK = a, e PM = y, portanto y² = x(a - x) ou x²
+ y² = ax (equação do círculo).
As Cônicas, Livro I, Proposição 5.
18
Figura 2.2 - Cone Circular Oblíquo.
Fonte: Boyer, 1989
Seja ABC uma secção triangular de um cone circular oblíquo (figura 2.2) e
seja P qualquer ponto sobre uma secção HPK cortando todos os elementos do cone.
Prolongue-se HK até tocar em BC em G e por P passe um plano horizontal que corte o
cone no círculo DPE e o plano HPK na reta PM. Traça- se de DME um diâmetro do
círculo perpendicular a PM. Por semelhança de triângulos MEK e KCG observa-se que
ME/MK= CG/KG. Pela propriedade do círculo tem-se que PM2 = DM * ME, logo PM2 =
(HM * BG /HG) (MK * CG) / KG . Se PM= Y e HM = X e HK = 2 a então Y2 = KX (2 a –
X) que é reconhecida como a equação de uma elipse com H como Vértice e HK como
eixo maior. De modo análogo a essa demonstração Apolônio obteve uma equação
equivalente para a hipérbole:
Y2 = KX (X + 2 a)
19
Figura 2.3- Cone Circular Oblíquo.
Fonte: Boyer, 1989
O nome dado as cônicas foi denominado por Apolônio e teve derivação de
terminações de termos pitagóricos, como relata o trecho:
Os nomes elipse, parábola e hipérbole foram introduzidos por
Apolonio e foram tomados da terminologia antiga referente à
aplicação de áreas. Quando os pitagóricos aplicavam um
retângulo a um segmento de reta eles diziam que se tinham um
caso de “ellipsis”, “parabole” ou “hiperbole” conforme a base do
triângulo [...] (EVES, 2004, p.199).
Apolônio foi um dos maiores se não o maior estudioso das cônicas, pois
mesmo sem todas as tecnologias de atualmente fez grandes descobertas partindo de
secções de um cone, essas descobertas se faz presente e de forte influencia conforme
a citação “Apolônio usou um cone circular obliquo duplo trabalhou com o plano de corte
inclinado, ampliou assim os conceitos e formando uma base sólida para um assunto
que assumiria grande importância para os matemáticos do século XVII” (CONTADOR,
2006, p.330)
Para Contador (2006) Apolônio foi um grande geômetra que soube organizar
suas idéias sobre a hipérbole fazendo incríveis estudos, já que explorava as
propriedades da hipérbole, como por exemplo, com dois ramos e um par de retas que
se aproximam da curva sem nunca tocá-la.
20
Todavia o conceituado docente e matemático grego Apolônio de Perga fez
referência as propriedades fundamentais das cônicas com bastante ênfase e amplitude,
em sua obra, se comparado às publicações da época. Isso pode ser claramente
constatado em sua primeira publicação que aborda a teoria dos diâmetros conjugados,
que segundo Boyer (1989, p.108), “Apolônio mostrou que os pontos médios de um
conjunto de cordas paralelas a um diâmetro de uma elipse ou hipérbole formarão um
segundo diâmetro, os dois sendo chamados diâmetros conjugados”.
Portanto, as cônicas se construíram as maiores descobertas matemáticas de
todos os tempos, estudadas pelos maiores matemáticos da antiguidade estão
presentes em quase tudo na vida atual desde a Arquitetura, monumentos, estradas e
outros se fazem presente às secções cônicas (parábola, elipse e hipérbole).
Portanto, tem-se que vários pesquisadores abordaram as secções cônicas
no decorrer das épocas, para que estas servissem de base para a evolução dos
conceitos e demonstrações da atualidade. Logo, o próximo capítulo aborda essas
definições e deduções resolvidas por métodos mais modernos do que os usados por
matemáticos da antiguidade.
21
3
DEFINIÇÕES DAS CÔNICAS
Este capítulo tem por objetivo abordar a classificação e a dedução das
cônicas. Sendo assim, em geometria, cônicas são as curvas geradas ou encontradas,
na intersecção de um plano que atravessa um cone, ou melhor, um lugar geométrico
dos pontos de um plano cuja razão entre as distâncias a um ponto fixo F e a uma reta
fixa d é igual a uma constante não negativa e. As cônicas de Apolônio foram
caracterizadas por suas propriedades focais (lugares geométricos), que dependendo do
corte classificam-se em: Parábolas, Elipses e Hipérboles.
3.1 PARÁBOLA
A parábola é uma secção cônica (figura 3.1) gerada pela interseção de uma
superfície cônica de segundo grau e um plano paralelo a uma linha geradora do cone.
Assim sendo, é possível inferir que uma parábola é o conjunto de todos os pontos do
plano que são eqüidistantes do foco e da reta diretriz.
Figura 3.1 - Secção Cônica.
Fonte: www.wikipedia.org
Concernente a obtenção das parábolas, é possível observar que na figura
3.2 estão assinalados sete pontos que são eqüidistantes do ponto F e da reta d e sendo
P’ o pé da perpendicular baixada de um ponto P do plano sobre a reta d conforme esta
visível na figura 3.3, obedecendo a definição acima, P pertence à parábola se, e
somente se: d(P, F) = d(P, P’), assim como PF = PP ' e considerando o fato de F ∉ d,
pois caso contrário, a parábola se degeneraria numa reta.
22
Figura 3.2 - Mostra dos sete pontos eqüidistantes à F.
Fonte: Steinbruch, 1987
3.1.1 Composição da Parábola
Tomando por base a figura 3.3, tem-se que o ponto F é o foco; a reta d é a
diretriz; o eixo é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz e o ponto V de
interseção da parábola com seu eixo é o vértice.
Portanto: d(V,F) = d(V, A)
Figura 3.3 - Elementos da Parábola.
Fonte: Steinbruch, 1987
23
3.1.2 Equação da Parábola de Vértice na Origem do Sistema
3.1.2.1 O Eixo Y sendo o Eixo da Parábola
 P
Seja P(x,y) um ponto qualquer da parábola (figura 3.4) do foco F  0,  .
 2
Como PF = PP ' ou FP = P' P
Figura 3.4 - Elementos da Parábola.
Fonte: Steinbruch, 1987
P

Assim sendo P’  x,−  , tem-se:
2

P 
P

 x − 0, y −  =  x − x, y + 
2 
2

2
(x − 0) +  y − P  =
2

2
ou
(x − x ) +  y + P 
2

2
2
Elevando ambos os membros, tem-se:
(x − 0)2 +  y − P 

2
P

2
= (x − x ) +  y + 
2
2

2
ou
x 2 + y 2 − py +
P2
P2
= y 2 + py +
4
4
e, portanto: x 2 = 2 py
Portanto esta é a equação reduzida da parábola e constitui a forma da
equação da parábola de vértice na origem tendo para eixo o eixo dos y.
24
Não obstante é possível inferir, levando em consideração que 2py sempre
será positivo ou nulo, já que é igual a x² ≥ 0, os sinais de p e de y são sempre iguais.
Conseqüentemente, se p > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima (figura
3.5) e, se p < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo (figura 3.6). Onde o
parâmetro da parábola é um número real p ≠ 0.
Figura 3.5 - Parábola com concavidade voltada para cima.
Fonte: Steinbruch, 1987
Figura 3.6 - Parábola com concavidade voltada para baixo.
Fonte: Steinbruch, 1987
Este número real p ≠ 0 é conhecido como parâmetro da parábola.
25
3.1.2.2 O Eixo X sendo o Eixo da Parábola
Tomando P(x,y) como um ponto qualquer da parábola (figura 3.7) de foco
P 
F  ,0  , obtém-se de forma análoga, ao caso em que o eixo da parábola é o eixo dos
2 
Y, a equação:
y 2 = 2 px
Figura 3.7 - Eixo da Parábola é o eixo dos x.
Fonte: Steinbruch, 1987
Por conseguinte de acordo com o sinal de p, é possível inferir que para p > 0
a parábola tem concavidade voltada para a direita (figura 3.8) e, se p < 0, a parábola
tem concavidade voltada para a esquerda (figura 3.9).
26
Figura 3.8 - Parábola com concavidade voltada para direita.
Fonte: Steinbruch, 1987
Figura 3.9 - Parábola com concavidade voltada para esquerda.
27
Fonte: Steinbruch, 1987
3.1.3 Translação de Eixos
Partindo de um plano cartesiano que possua os eixos Ox e Oy e um ponto
O’, arbitrário; que define a construção de novos eixos paralelos a si mesmo, ou melhor,
eixos com a mesma direção e mesmo sentido e que usem a mesma unidade é
interessante observar a ocorrência de uma translação de eixos (figura 3.10).
Por conseguinte, os eixos dados Ox e Oy foram transladados aos eixos O’x’
e O’y’ com nova origem O’ = (h,k) em relação aos eixos dados.
Figura 3.10 - Translação de Eixos.
Fonte: Steinbruch, 1987
Seja um ponto P qualquer do plano, tal que suas coordenadas são: x e y em
relação ao sistema xOy; e x’ e y’ em relação ao sistema x’O’y’.
A partir da figura 3.10 obtém-se x = x’ + h ou x’ = x - h e y = y’ + k ou y’ = y –
k; que são as formulas que calculam a mudança de coordenadas de um sistema para
outro.
28
Não obstante o principal objetivo da transformação de coordenadas e
modificar a forma de equação, como por exemplo, as equações geométricas das
cônicas.
3.1.4 Equação da Parábola de Vértice Fora da Origem do Sistema
3.1.4.1 O Eixo da Parábola é Paralelo ao Eixo Y
Para uma parábola de vértice V(h, k) e eixo paralelo ao eixo dos y, sendo h e
k coordenadas de V em relação ao sistema xOy.
Figura 3.11 - Translação de Eixo da Parábola paralelo à y.
Fonte: Steinbruch, 1987
Sendo P(x, y) um ponto qualquer desta parábola; tomando um novo sistema
x’O’y’ com a origem O’ em V nas condições estabelecidas na figura 3.11.
Por conseguinte, a equação da parábola referida ao sistema x’O’y’ é x’² =
2py’,
Entretanto: x’ = x – h
e
y’ = y – k, logo:
(x - h)² = 2p(y - k),
que é a forma padrão da equação de uma parábola de vértice V(h, k) e eixo paralelo ao
eixo dos y.
29
3.1.4.2 O Eixo da Parábola é Paralelo ao Eixo X
Seguindo um método análogo ao do item 3.1.4.1, obtém-se (figura 3.12):
(y - k)² = 2p(x - h)
Tendo que se (h, k) = (0, 0), retorna-se ao caso particular 3.1.2.
Figura 3.12 - Translação de Eixo da Parábola paralelo à x.
Fonte: Steinbruch, 1987
3.2 ELIPSE
A elipse é um lugar geométrico (figura 3.13) formado por um conjunto de
pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é constante (2a) e maior
do que à distância entre eles, ou seja, dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano
(figura 3.14), tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se
elipse, à curva plana cuja soma das distancias de cada um de seus pontos P à estes
pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2a , onde a > c.
30
Figura 3.13 - Secção Cônica.
Fonte: www.wikipedia.org
Figura 3.14 - Elipse.
Fonte: Steinbruch, 1987
3.2.1 Composição da Elipse
Concernente a representação elíptica da figura 3.15, tem-se que F1 e F2 são
os focos da curva; o comprimento 2c é a distância focal e o centro é o ponto médio C
do seguimento F1F2. Além disso, é possível observar que o seguimento A1A2, de
comprimento 2a, que contém os focos e os seus extremos pertencem à elipse é o eixo
maior; em contrapartida o eixo menor é o seguimento B1B2, de comprimento 2b,
perpendicular a A1A2 no seu ponto médio. E por fim os vértices são os pontos,A1 ,A2 B1
e B2.
31
Figura 3.15 - Elementos da Elipse.
Fonte: Steinbruch, 1987
3.2.2 Circunferência
A circunferência é o conjunto de todos os pontos em um plano, eqüidistantes
de um ponto fixo. Esse ponto fixo é chamado de centro e a distância fixa é o raio da
circunferência.
Figura 3.16 - Circunferência.
32
Sendo o centro da circunferência C(h, k) e o raio r, basta usar a fórmula da
distância dos pontos da geometria analítica (figura 3.16). O ponto P(x, y) está na
circunferência se e somente se, |PC|= r isto é, isto é, se e somente se:
( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r
Essa equação é verdadeira se e somente se:
(x-h)2 + (y-k)2 = r2 para r > 0, logo a circunferência de centro C (h, k) e raio r
tem como equação
(x-h)2 + (y-k)2 = r2
3.2.2.1 Área da Circunferência
Sendo a circunferência de equação
x2 y 2
+
= 1 , pois a =b. Tem-se que:
a2 a2
x2 y 2
+
=1 ⇒
a2 a2
x2 y2 a2
+
=
⇒
a2 a2 a2
x2 + y 2 = a2 ⇒
y2=a2-x2 ⇒
⇒ y = a 2 − x 2 , pois deve ser uma função.
Calculando 1/4 da área da circunferência, devido a simetria da figura,
facilitando assim o seu calculo, obtem-se:
b
S = ∫ f ( x )dx ⇒
a
a
S
= a 2 − x 2 dx ⇒
4 ∫0
33
a
S
= ∫ a2 − x2
4 0
a
Calculando,
∫
a 2 − x 2 dx , e utilizando as seguintes substituições:
0
Figura 3.17 – Triângulo para demonstração.
a2 − x2
⇒ a 2 − x 2 = a.senα (figura 3.17)
a
senα =
cos α =
x
dx d(a. cos α )
⇒ x = a. cos α ⇒
⇒
=
a
dα
dα
dx = −a.senαdα
a
S
= a 2 − x 2 dx ⇒
4 ∫0
a
S
= −a.senα .a.senα dα ⇒
4 ∫0
a
S
= −a 2 ∫ sen 2α .dα ⇒
4
0
Mas como 0 ≤ x ≤ a, e x = a.cosα, logo:
0 ≤ a. cos α ≤ a ⇒ 0 ≤ cos α ≤ 1 ⇒
Portanto:
π
≤α≤0
2
34
0
S
= − a 2 ∫ sen 2α .dα ⇒
4
π /2
S
= a2
4
π /2
∫ sen α .dα ⇒
2
0
Lembrando que:
sen 2 α = 1 − cos 2 α ⇒
sen 2 α + sen 2 α = 1 − cos 2 α + sen 2 α ⇒
2sen 2 α = 1 − (cos 2 α − sen 2 α) ⇒
2sen 2 α = 1 − cos 2α ⇒
sen 2 α =
1 − cos 2α
2
Finalmente:
S
= a2
4
π /2
∫
0
1 − cos 2α
.dα ⇒
2
π /2
 π /2 1

S
cos 2α
= a 2  ∫ dα − ∫
.dα  ⇒
4
2
0
 0 2

π /2
S
 α sen2α 
= a2  −
 ⇒
4
4 0
2
S
S
π /2
S
π
 π / 2 senπ 
= a2 
−
= a2
⇒
= a2
 ⇒
4
4 
4
2
4
4
 2
Adotando a = r , logo a equação obtida é:
S = π r2
⇒ S = π a2
35
3.2.3
Excentricidade
Uma relevante característica da elipse é a sua excentricidade, que é definida
pela relação:
ε=
c
a
(0 < ε < 1, sendo ε a letra grega épsilon)
Tendo que a e c são positivos e c < a, depreende-se que 0 < ε < 1. Portanto
quanto mais próximo de zero for o valor de ε, mais a elipse se aproxima de uma
circunferência. Porém, quanto mais achatada for elipse, mais o valor de ε se aproxima
de 1.
Por conseguinte, uma vez fixo o valor de a, há uma correspondência entre o
valor de ε e a distância focal (figura 3.18), ou seja, quanto mais a elipse se aproxima de
uma circunferência, menor é a distância entra os focos; e quanto mais achatada for a
elipse, maior é a distância entre os focos.
Figura 3.18 - Excentricidade.
Por conseguinte, é fácil concluir quanto aos valores extremos do domínio de
ε que, se ε = 0 tem-se uma circunferência de diâmetro 2a e os focos F1 e F2 coincidem
com o centro da circunferência, ou ε = 1tem-se um seguimento retilíneo F1F2.
3.2.4 Equação da Elipse de Centro na Origem do Sistema
3.2.4.1 O Eixo Maior está sobre o Eixo dos X
Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse (figura 3.19) de focos F1(-c, 0)
e F2(c, 0), portanto de acordo com a definição, tem-se:
d(P, F1) + d(P, F2) = 2a
ou
F1 P + F2 P = 2a
36
Figura 3.19– Elipse com eixo maior sobre x.
Fonte: Steinbruch, 1987
ou ainda, através de coordenadas:
(x + c )2 + ( y − 0)2 + (x − c )2 + ( y − 0 )2
= 2a
x 2 + y 2 + 2cx + c 2 = 2 a − x 2 + y 2 − 2cx + c 2
(
x 2 + y 2 + 2cx + c 2
) = (2a −
2
x 2 + y 2 − 2cx + c 2
)
2
x 2 + y 2 + 2cx + c 2 = 4a 2 − 4a x 2 + y 2 − 2cx + c 2 + x 2 + y 2 − 2cx + c 2
4a x 2 + y 2 − 2cx + c 2 = 4a 2 − 4cx
a x 2 + y 2 − 2cx + c 2 = a 2 − cx
(a
x 2 + y 2 − 2cx + c 2
) = (a
2
2
− cx
)
2
37
(
)
a 2 x 2 + y 2 − 2cx + c 2 = a 4 − 2a 2cx + c 2 x 2
a 2 x 2 + a 2 y 2 − 2a 2cx + a 2c 2 = a 4 − 2a 2cx + c 2 x 2
a 2 x 2 − c 2 x 2 + a 2 y 2 = a 4 − a 2c 2
(a
Todavia:
2
)
(
− c2 x2 + a2 y 2 = a2 a2 − c2
)
a2 − c2 = b2
b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2
Dividindo ambos os membros da equação por a 2b 2 , obtém-se:
x2 y 2
+
=1
a2 b2
Que é a equação reduzida da elipse de centro na origem e eixo maior sobre
o eixo dos x.
3.2.4.2 O Eixo Maior está sobre o Eixo dos Y
Adotando um procedimento análogo ao do item 3.2.3.1, obtém-se a equação
reduzida:
x2 y 2
+
=1
b2 a2
38
Figura 3.20 - Elipse com eixo maior sobre y.
Fonte: Steinbruch, 1987
Assim sendo, a 2 = b 2 + c 2 , segue-se que:
a2 > b2 ,
logo: a > b
Portanto, em geral o maior dos denominadores na equação reduzida
representa o número a², onde a é a medida do semi-eixo maior (figura 3.20).
Não obstante, se na equação de eixo da elipse o número a² é denominador
de x², a elipse tem seu eixo maior sobre o dos X.
3.2.5 Equação da Elipse de Centro Fora da Origem do Sistema
No item anterior foi deduzido a equação da elipse de centro na origem do
sistema cartesiano, a partir desse item será abordado a equação de uma elipse de
centro fora da origem do sistema, nos seguintes casos:
39
3.2.5.1 O Eixo Maior da Elipse é Paralelo ao Eixo dos X
Considerando uma elipse de centro C (h, k) e seja P (x, y) um ponto qualquer
da elipse, segundo a figura 3.21.
Figura 3.21 – Elipse com centro fora da origem e paralelo a x.
Fonte: Steinbruch, 1987
x2 y 2
Como foi demonstrada anteriormente a equação da elipse 2 + 2 = 1 é
a
b
utilizada para elipse com o centro C (0,0), e maior eixo sobre o eixo x. Portanto a
equação matemática a seguir expressa o eixo paralelo ao eixo do x, mas de centro fora
da origem da elipse, sendo o centro dado por C (h, k) a equação da elipse é:
Usando translação de eixo para a elipse da figura 3.21 obtém-se a
demonstração da equação da elipse de centro fora da origem e paralelo ao eixo x.
x2 y 2
Adotando a equação da elipse de centro C(0,0) que é 2 + 2 = 1
a
b
Observam-se também quando o eixo maior for paralelo ao eixo dos x e o
centro for C(h, k), a equação será:
x '2 y '2
+
= 1,
a 2 b2
mas se x’= x-h e y’= y-k daí, substituindo x’ e y’ na equação da elipse de centro C ( 0,
0), tem:
( x − h) 2 ( y − k ) 2
+
=1
a2
b2
40
Logo essa é a equação da elipse de centro fora da origem do sistema e paralelo ao eixo
x.
3.2.5.2
O Eixo Maior da Elipse é Paralelo ao Eixo dos Y
A figura 3.22 expressa uma elipse com o centro C (h, K), porém com o eixo
paralelo ao eixo das ordenadas.
Figura 3.22 – Elipse com centro fora da origem e paralelo a y.
Fonte: Steinbruch, 1987
Tem-se a seguir a demonstração da elipse fora do centro e com o eixo maior
paralelo ao eixo y.
( x − h) 2 ( y − k ) 2
+
=1
b2
a2
Usando translação de eixo para a elipse da figura 3.22 obtém-se a
demonstração da equação da elipse de centro fora da origem e paralelo ao eixo y.
Adotando a equação da elipse de centro C(0,0) que é
x2 y2
+
=1
b2 a2
Observam-se também quando o eixo maior for paralelo ao eixo dos y e o
centro for C(h, k), a equação será:
x '2 y '2
+
= 1,
b2 a2
41
mas se x’= x-h e y’= y-k daí, substituindo x’ e y’ na equação da elipse de centro C (0, 0),
tem:
( x − h) 2 ( y − k ) 2
+
=1
b2
a2
Logo essa é a equação da elipse de centro fora da origem do sistema e
paralelo ao eixo y.
3.2.6 Área da Elipse
Para se calcular a área de uma elipse, é necessário partir da equação da
elipse do seguinte modo:
Sendo a elipse de equação
x 2 y2
+
= 1 . Tem-se que:
a 2 b2
x 2 y2
+
=1⇒
a 2 b2
b2x 2 a 2y2
+
=1 ⇒
a 2b2 a 2b2
b2x 2 + a 2y2 = a 2b2 ⇒
y=
y2 =
a 2b2 − b2x 2
⇒
a2
y=±
b2 a 2 − x 2
⇒
a2
(
)
b 2
a − x 2 , pois deve ser uma função.
a
42
Calculando 1/4 da área da elipse, devido à simetria da figura, facilitando
assim o seu calculo, obtém:
b
S = ∫ f ( x )dx ⇒
a
a
S
b 2
=∫
a − x 2 dx ⇒
4 0a
a
S
b 2
=∫
a − x 2 dx ⇒
4 0a
a
S b
= ∫ a 2 − x 2 dx
4 a0
a
Calculando,
separadamente,
∫
a 2 − x 2 dx ,
e
utilizando
0
substituições:
Figura 3.23 – Triangulo para demonstração.
senα =
cos α =
a2 − x2
⇒ a 2 − x 2 = a.senα (Figura 3.23)
a
x
⇒ x = a. cos α ⇒ dx = d (a.cos α ) ⇒
a
as
seguintes
43
dx = −a.senαdα
Tem-se que,
a
S b
=
− a.senα.a.senαdα ⇒
4 a ∫0
x=a
S
b
= − a 2 ∫ sen 2α .dα ⇒
4
a x =0
x=a
S
= − ab ∫ sen 2α .dα ⇒
4
x =0
Mas como 0 ≤ x ≤ a, e x = a .cos α, logo:
0 ≤ a. cos α ≤ a ⇒ 0 ≤ cos α ≤ 1 ⇒
π
≤α≤0
2
Portanto:
0
S
= −ab ∫ sen 2 α.dα ⇒
4
π/2
π/ 2
S
= ab ∫ sen 2 α.dα ⇒
4
0
Lembrando que:
sen 2 α = 1 − cos 2 α ⇒
sen 2 α + sen 2 α = 1 − cos 2 α + sen 2 α ⇒
44
2sen 2 α = 1 − (cos 2 α − sen 2 α) ⇒
2sen 2 α = 1 − cos 2α ⇒
sen 2 α =
1 − cos 2α
2
Finalmente:
S
= ab
4
π/2
∫
0
1 − cos 2α
.dα ⇒
2
π/2
π/2 1

S
cos 2α

= ab ∫ .dα − ∫
.dα  ⇒
4
2
0
 0 2

π/2
S
 α sen 2α 
= ab −

4
4 0
2
⇒
S
π/2
S
π
S
 π / 2 senπ 
= ab
−
= ab
= ab
⇒
⇒ S = πab
 ⇒
4
4 
4
2
4
4
 2
3.3 HIPÉRBOLE
Quando o plano secante for paralelo a duas geratrizes, ele interceptará
ambas as folhas de um cone e a secção cônica obtida será uma hipérbole.
Logo, se entende por hipérbole (figura 3.24) o conjunto dos pontos de um
plano, cujo valor absoluto das distâncias entre eles a dois pontos fixos desse plano é
constante. Os dois pontos fixos são chamados de focos.
45
Figura 3.24 – Hipérbole.
Fonte: www.wikipedia.org
Tomando dois pontos distintos F1 e F2, distancia entre os focos, tal que a
distância d(F1, F2) = 2c. Seja um número real a tal que 2a < 2c.
Os pontos P(x, y) representa um ponto qualquer dos planos tais que: | d(P,
F1 ) – d ( P, F2 ) | = 2 a, ou ||PF1 | - | PF2 || = 2a dá-se o nome de hipérbole (figura 3.25).
Figura 3.25 - Hipérbole Curva de Dois Ramos.
Fonte: Steinbruch, 1987
Percebe-se que a hipérbole é uma curva que é representada por dois ramos,
qual que de acordo com a equação |d(P, F1) – d(P, F2) | = 2a um ponto P está na
hipérbole se, e somente se:
d(P, F1) – d (P, F2) =
46
Quando P estiver localizado no ramo da direita terá valor +2a, e quando
estiver no ramo da esquerda, serão -2 a.
Seja considerada a reta P1P4 que passa por F1 e F2 e sejam A1 e A2 os pontos
de interseção da hipérbole com a reta F1F2. Considera-se outra reta perpendicular a
esta passando pelo ponto médio C do seguimento F1F2. De acordo com a figura 3.26.
Figura 3.26 – Pontos de interseção da Hipérbole com a reta.
Fonte: Steinbruch, 1987
Concluí-se pela figura 3.26 que a hipérbole é uma curva simétrica as retas
P1P4 e F1F2, e simétrica em relação ao ponto C. Se P1 é um ponto da hipérbole, existe
os pontos P2, P3 e P4 tal que P2 é simétrico de P1 em relação a reta horizontal, P3 é
simétrico de P1 em relação à reta vertical, e P4 é simétrico de P1 em relação ao ponto
C.
Então, d (A1, F1) = d (A2, F2)
Logo,
d(A1, A2) = 2 a
3.3.1 Composição da Hipérbole
A hipérbole apresenta os seguintes elementos:
Focos: São os pontos F1 e F2.
47
Distância focal: é a distância 2c entre os focos.
Centro: é o ponto médio C do segmento F1 F2.
Vértices: são os pontos A1 e A2
Eixo real ou transverso: é o segmento A1 A2 de comprimento 2b.
Tomando como base o triangulo rachurado da figura 3.25, se calcula o valor
de “b” por teorema de Pitágoras Onde a relação é dada por c2 = a2 + b2 em que a, b e c
são as medidas dos lados do triângulo retângulo B2 CA2 (figura 3.27).
Figura 3.27 – Hipérbole e seus elementos.
Fonte: Steinbruch, 1987
Seja uma circunferência de raio c e centro C da hipérbole. Atribui-se um valor
arbitrário para “a” e marcando os pontos A1 e A 2, como sendo os vértices da hipérbole.
Seja traçado pelos pontos A1 e A 2 cordas perpendiculares ao diâmetro F1F2. Logo as
quatro extremidades destas cordas são os vértices de um retângulo MNPQ inscrito na
circunferência, como na figura 3.28.
O retângulo formado na figura 3.28 tem dimensões 2a e 2b e a relação c2 =
a2 + b2 está presente no triângulo retângulo rachurado.
As assíntotas da hipérbole são reconhecidas através das retas r e s, que
contêm as diagonais do retângulo estudado (figura 3.28).
48
Figura 3.28 - Hipérbole com um retângulo inscrito na circunferência.
Fonte: Steinbruch, 1987
As retas que a hipérbole se aproxima à medida que os pontos se afastam
dos focos recebe o nome de se assíntotas. Elas em relação à hipérbole é continua e
lenta de forma que a tendência da hipérbole é tangenciar suas assíntotas no infinito.
O ângulo Ө presente na figura 3.28 é abertura da hipérbole.
Chama-se excentricidade da hipérbole ao número “e” dado por e = c /a, mas
c > a e também e > 1.
A abertura da hipérbole está diretamente ligada a sua excentricidade.
Observando a figura, se verifica que a circunferência tem raio c. mantendo o
raio c e atribuindo um valor para “a” menor de que o anterior, o novo retângulo MNPQ
será mais “estreito” que o anterior e conseqüentemente a abertura Ө do ângulo será
maior.
Se diminuir o valor de “a” e mantendo “c” significa aumentar o valor de e =
c/a. Logo a excentricidade e a abertura são diretamente para os ramos da hipérbole.
Em caso de a = b, o retângulo MNPQ se transforma num quadrado e as
assíntotas terão ângulo
“equilátera”.
Ө = 90 °. Logo nesse caso a hipérbole é chamada de
49
3.3.2 Equação da Hipérbole de Centro na Origem do Sistema
3.3.2.1 O Eixo Real está sobre o Eixo dos X
Observando a figura 3.29
Figura 3.29 - Hipérbole sobre o eixo x.
Fonte: Steinbruch, 1987
Adota-se P(x, y) sendo um ponto qualquer de uma hipérbole de focos F1 (-c,
0) e F2 (c,).
Por definição, tem-se:
| d (P, F1) – d (P, F2)| = 2 a
Ou em coordenadas:
( x + c) 2 + ( y − 0) 2 − ( x − c ) 2 + ( y − 0) 2 = 2a
( x + c ) + ( y − 0)
2
2
−
( x − c ) + ( y − 0)
2
2
= 2a
( x + c ) 2 + ( y − 0) 2 = 2 a + ( x − c) 2 + ( y − 0) 2
( x + c ) 2 + y 2 = 2a + ( x − c) 2 + y 2
50
(
( x + c)2 + y 2
) = ( 2a +
2
( x − c)2 + y 2
)
2
x 2 + y 2 + 2cx + c 2 = 4a 2 + 4a ( x − c ) 2 + y 2 + x 2 + y 2 − 2cx + c 2
4a x 2 + y 2 − 2cx + c 2 = 4cx − 4a 2 (/4)
a x 2 + y 2 − 2cx + c 2 = cx − a 2
(
a x 2 + y 2 − 2cx + c 2
(
)
2
(
= cx − a 2
)
2
)
a 2 x 2 + y 2 − 2cx + c 2 = a 4 − 2 a 2 cx + c 2 x 2
a 2 x 2 − 2a 2 cx + a 2 y 2 + a 2 c 2 = a 4 − 2a 2 cx + c 2 x 2
a 2 x 2 − c2 x 2 + a 2 y 2 = a 4 − a 2c2
(c
2
)
(
* (-1)
− a2 x2 − a2 y2 = a2 c2 − a2
)
Todavia: b 2 = c 2 − a 2
b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2b 2
Dividindo ambos os membros da equação por a 2b 2 , obtém-se:
x2 y 2
−
=1
a 2 b2
51
Logo essa é a equação reduzida da hipérbole de centro na origem e eixo real
sobre o eixo x.
3.3.2.2 O Eixo Real está sobre o Eixo dos Y
Na figura 3.30 que o eixo real A1A2 está sobre o eixo do y e
conseqüentemente os focos também estão localizados no mesmo eixo.
Nesse caso a equação da hipérbole é semelhante a anterior, a única coisa
que difere é a posição das variáveis , a demonstração é feita de modo parecido (figura
3.30).
Figura 3.30 - Hipérbole sobre o eixo y.
Fonte: Steinbruch, 1987
Tem-se então a equação:
| d (P,F1) – d (P,F2 )| = 2 a
Ou em coordenadas:
( x − 0) 2 + ( y + c) 2 − ( x − 0) 2 + ( y − c) 2 = 2a
( x − 0) + ( y + c )
2
2
−
( x − 0) + ( y − c )
2
2
= 2a
52
( x − 0)2 + ( y + c ) 2 = 2a + ( x − 0) 2 + ( y − c )2
x 2 + ( y + c) 2 = 2a + x 2 + ( y − c ) 2
(
x 2 + ( y + c)2
) = ( 2a +
2
x 2 + ( y − c)2
)
x 2 + y 2 − 2cy + c 2 = 4a 2 + 4a x 2 + ( y − c) 2 + x 2 + y 2 − 2cy + c 2
4a x 2 + y 2 − 2cy + c 2 = 4cy − 4a 2 (b/4)
(a
x 2 + y 2 − 2cy + c 2
)
2
(
= cy − a 2
)
2
a 2 ( x 2 + y 2 − 2cy + c 2 ) = a 4 − 2a 2 cy + c 2 y 2
a 2 x 2 − 2a 2 cy + a 2 y 2 + a 2 c 2 = a 4 − 2a 2 cy + c 2 y 2
a 2 y 2 − c 2 y 2 + a 2 x 2 = a 4 − a 2c 2
(a
Todavia:
2
)
* ( -1)
(
− c2 y 2 + a 2 x2 = a 2 a 2 − c2
)
−b 2 = a 2 − c 2
−b 2 y 2 + a 2 x 2 = −a 2b 2
Dividindo ambos os membros da equação por
( −a b ) , obtém-se:
2 2
53
y2 x2
−
=1
a2 b2
3.3.3 Equação da Hipérbole de centro Fora da Origem do Sistema
3.3.3.1 O Eixo Real é Paralelo ao Eixo dos X
Vendo a figura 3.31.
Figura 3.31 - Hipérbole de centro fora da origem paralelo a x.
Fonte: Steinbruch, 1987
Considera-se a hipérbole de centro C(h, k) e seja P (x, y) um ponto qualquer
da mesma.
A equação com eixo maior paralelo ao x e centro C(h.k) é feita baseada na
equação da hipérbole de centro na origem, segundo a equação
x2 y2
−
= 1.
a2 b2
Sendo demonstrada de modo análogo a translação de eixo e também a demonstração
da elipse paralela ao eixo x. Adotando o centro como C (h, k) obtém-se a equação:
( x − h) 2 ( y − k ) 2
−
=1
a2
b2
54
3.3.3.2 O Eixo Real é Paralelo ao Eixo dos Y
Observando a figura 3.32
Figura 3.32 - Hipérbole de centro fora da origem paralelo a y.
Fonte: Steinbruch, 1987
A demonstração da equação da hipérbole paralela ao eixo y é feita de modo
análogo a translação de eixo e também a demonstração da elipse paralela ao eixo x.
Adotando o centro como C (h, k) obtém-se a equação:
( y − k ) 2 ( x − h) 2
−
=1
a2
b2
A representação através das fórmulas é de fundamental importância para o
desenvolvimento das aplicações em qualquer assunto da matemática. Portanto, este
capítulo fez jus a essas representações preparando assim, a base para o capitulo
posterior, que trata sobre a identificação da parábola, da hipérbole, da elipse e da
circunferência através de uma visão aérea, usando o Google Earth, da capital
paraense.
55
4
CÔNICAS ATRAVÉS DO GOOGLE EARTH
Um software livre que tem se popularizado muito na localização e
observação de cidades pelo mundo é o Google Earth (figura 4.1), que é uma ferramenta
desktop desenvolvida pela empresa Google, cuja função é apresentar um modelo
tridimensional do globo terrestre construído a partir de imagens, capturadas de
satélites, com uma altíssima qualidade.
Figura 4.1 - Google Earth.
Fonte: http://earth.google.com.br
Por conseguinte, esse programa permite ao usuário identificar lugares,
construções, cidades, paisagens, entre outros elementos. O Google Earth é
semelhante, entretanto mais complexo, ao serviço também oferecido pela Google
conhecido como Google Maps (figura 4.2).
56
Figura 4.2 - Google Maps.
Fonte: http://maps.google.com.br
Assim sendo, esse software é uma espécie de navegador integrado a uma
ferramenta de busca que permite ao usuário girar uma imagem, marcar os locais que
conseguiu identificar para visitá-los posteriormente e até mesmo calcular a distância
entre dois pontos de uma determinada localidade.
Não obstante, no início do ano de 2006 essas imagens de satélite sofreram
uma atualização e, portanto uma grande parte do Brasil já está em alta resolução, como
é o caso da cidade de Belém do Pará (INFO, 2006). Sendo assim, este trabalho de
conclusão de curso propõe à observação da aplicação das cônicas na capital paraense,
através de uma visão aérea da cidade, assim como, a abordagem de alguns cálculos
de cônicas das imagens visualizadas. Conforme é possível observar abaixo:
4.1 ESTÁDIO OLÍMPICO DO PARÁ
O Estádio Estadual Jornalista Edgar Augusto Proença (Mangueirão),
localizado na Rodovia Augusto Montenegro, foi oficialmente inaugurado em 1978.
Todavia, a conclusão do antigo Estádio do Mangueirão só ocorreu 24 anos depois
desta data. Hoje, após a reinauguração em 2002, foi rebatizado como Estádio Olímpico
do Pará e conta com uma pista olímpica oficial, em formato de elipse, conforme é
possível observar através da imagem de satélite, na figura 4.3.
57
Figura 4.3 - Estádio Olímpico do Pará.
Fonte: http://earth.google.com.br
Com o auxilio da ferramenta Google Earth, é possível determina a medida do
eixo maior (reta branca, na figura 4.3), assim como do eixo menor (reta amarela, na
figura 4.3) da elipse, para auxiliar no desenvolvimento do cálculo de sua área e de sua
equação.
Nesta situação, considera-se que o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo
das ordenadas; esta figura geométrica pertence ao 1º quadrante e é tangente aos eixos
X e Y, os quais estão representados pelas retas em vermelho.
Para calcular a área da elipse do Mangueirão é necessário saber o valor de
“a” e de “b” e conforme está demonstrado no capítulo 4 deste trabalho em que a área é
dada por S=‫ח‬ab. Verifica-se na figura 4.3 que o segmento amarelo e paralelo ao eixo x
tem valor de 97,29 m então se divide 97,29 por 2 para obter o valor de b que é 48,645 e
como o segmento de cor branca paralelo ao eixo y tem valor de 173,56 m, então para
se obter o valor de “a” é só dividir 173,56 por 2, logo a = 86,78 m. De posse do valor de
“a” e “b” e adotando PI igual a 3,14. Calcula-se a área da elipse do seguinte modo:
58
S=‫ח‬ab
S =3,14 *86,78*48,645
S= 13255,24 m2
Logo, a equação que determina a elipse do Estádio Mangueirão é dada por:
( x − h) 2 ( y − k ) 2
+
=1
b2
a2
Portanto, para deduzir a equação da elipse figura 4.3 é preciso perceber que
o centro da elipse não está na origem do sistema cartesiano, portanto se adota C (h, k),
fazendo os cálculos, o valor do eixo y até o centro da elipse é 48, 645 m(segmento
amarelo), então o ponto da abscissa, h, e o valor que vai do eixo x até o centro da
elipse é 86,78 m(segmento branco) representa o ponto k, logo o centro dessa elipse é
C(48, 645; 86,78) e de posse do valor de a = 86,78 e b = 48, 645. Deduz-se a equação
da Elipse para a figura 4.3, tendo o eixo maior paralelo ao eixo y, tem-se:
( x − 48, 645) 2 ( y − 86, 78) 2
+
=1
(48, 645)2
(86, 78) 2
4.2 ALDEIA DE CULTURA AMAZÔNICA DAVI MIGUEL
O Sambódromo da cidade de Belém do Pará, mais conhecido como Aldeia
Cabana, foi inaugurado em 1999 e é um projeto inspirado nas ocas de tribos indígenas
da região amazônica. Além disso, esse espaço cultural, localizado no Bairro da
Pedreira, foi rebatizado com o nome de Aldeia de Cultura Amazônica Davi Miguel e
também pode ser observado em 3D através do Google Earth, onde é interessante
visualizar a sua forma elíptica (figura 4.4).
59
Figura 4.4 - Aldeia de Cultura Amazônica Davi Miguel.
Fonte: http://earth.google.com.br
Não obstante, é possível determina com esta ferramenta a medida do eixo
maior (reta branca, na figura 4.4), assim como do eixo menor (reta amarela, na figura
4.4) da elipse, para auxiliar no desenvolvimento do cálculo de sua área e de sua
equação.
Para calcular a área da elipse da Aldeia Cabana é preciso saber o valor de
“a” e de “b” e conforme está mostrado no capítulo 4 desta pesquisa a área da elipse é
dada por S=‫ח‬ab. Verifica-se na figura 4.4 que o segmento de reta em amarelo paralelo
ao eixo y é 33,81 m então se divide 33,81 por 2 para obter o valor de b que é 16,905 e
como a reta branca que está paralela ao eixo x o valor é 117,17 m, então para se obter
o valor de “a” é só dividir 117,17 por 2, logo a=58, 585 m. Calculando-se o valor de “a” e
“b” e adotando PI igual a 3,14 tem-se a área da elipse fora da origem do plano
cartesiano do seguinte modo:
60
S=‫ח‬ab
S =3,14 *58, 585*16,905
S= 3109,79 m2
Como a elipse possui seu centro fora da origem e o eixo maior é paralelo ao
eixo dos X, portanto a equação que forma a elipse da Aldeia de Cultura da Amazônia é
dada por
( x − h) 2 ( y − k ) 2
+
=1
a2
b2
Todavia, para deduzir a equação da elipse da figura 4.4 é preciso perceber
que o centro da elipse não está na origem do sistema cartesiano, portanto se adota C
(h, k), fazendo os cálculos o valor de que vai de y até a origem da elipse é 58,585 m,
então é o ponto da abscissa h, e o valor que vai do eixo x até o centro da elipse é
16,905 representa o ponto k, logo o centro dessa elipse é C(58, 585; 16,905) e de
posse do valor de a = 58,585 e b =16,905. Deduz-se a equação da Elipse para a figura
4.4 (Aldeia Cabana), tendo o eixo maior paralelo ao eixo x, tem-se:
( x − 58,585) 2 ( y − 16,905)2
+
=1
(58,585)2
(16,905) 2
4.3 RESERVATÓRIO DA PRAÇA FLORIANO PEIXOTO
O Reservatório possui uma estrutura em ferro forjado que é sustentada por
colunas de ferro fundido. Esse grande símbolo do abastecimento de água no estado do
Pará é de abril 1885. Segundo Herbeth (2006), “foi fabricado na Europa e transportado
para Belém”. O Reservatório da Praça Floriano Peixoto conhecido como a Caixa d'Água
de São Brás, possui uma forma cilíndrica, bastante propícia para a observação aérea
de uma circunferência, conforme pode ser constada na figura 4.5.
61
Figura 4.5 - Reservatório da Praça Floriano Peixoto.
Fonte: http://earth.google.com.br
Por conseguinte, ainda com o auxílio do Google Earth, é possível determina
com
precisão
a medida do diâmetro desta circunferência, para facilitar o
desenvolvimento do cálculo de sua área. Além disso, para esta situação considera-se
que esta figura geométrica está tangente ao eixo das abscissas e ao eixo das
ordenadas e pertence ao 1º quadrante.
Para determinar a área da circunferência ilustrada na figura 4.5 é necessário
saber o valor do raio; observando a figura 4.5 tem-se que o diâmetro da caixa d’água
está representado pelo segmento de reta amarelo, que é medido pela régua do Google
Earth, possuindo valor de 26,68 m, mas para se calcular a área se necessita do valor
do raio, já que a expressão da circunferência é dada por A=‫ ח‬r2 e o diâmetro é dado por
d = r/ 2, como ele tem valor de 26,68 m então se divide por 2 para saber o valor do raio,
ou seja,
26,68 / 2 =13,34 m e adotando valor de PI igual a 3,14, calcula-se a área da
figura 4.5 pela fórmula A=3,14(13,34)2, desenvolvendo os cálculos conclui-se que a
área ilustrada pelo Google Earth do reservatório da praça Floriano Peixoto é:
62
A=558,7806 m2
No cálculo da equação da circunferência nota-se que o reservatório da figura
4.5 tem diâmetro de 26,68 m, então o raio vale 13,34 m e como a circunferência está
tangente aos eixos cartesianos, então o centro da circunferência é equidistante ao eixo
x e ao eixo y e, portanto o centro da circunferência é (13,34; 13,34), logo a equação é:
(x-13, 34)2 + (y-13, 34)2 = (13,34)2
4.4 MEMORIAL MAGALHÃES BARATA
Memorial em homenagem ao ex-governador do Estado do Pará, Magalhães
Barata, foi inaugurado em 1988 e está localizado na Praça da Leitura. Segundo
MONTEIRO (2005) “o memorial foi o ápice das comemorações pelo centenário de
nascimento do mais famoso governador do estado do Pará”.
Esta construção faz alusão a um dos símbolos típicos do major interventor
federal, o capacete que segundo Monteiro (2005) “ele sempre usava, desde 1930, em
sua primeira inventoria, até 1956, fim do seu último governo”. Por conseguinte, a partir
de uma visão aérea deste capacete é interessante observar o seu formato em
circunferência (figura 4.6).
63
Figura 4.6 - Memorial Magalhães Barata.
Fonte: http://earth.google.com.br
Assim sendo, fazendo uso da ferramenta Google Earth, é possível determina
com precisão a medida do diâmetro desta circunferência, para auxiliar no
desenvolvimento do cálculo de sua área.
Semelhante
a
situação
da
figura
4.5,
considera-se
também
que
circunferência pertence ao 1º quadrante e é tangente aos eixos X e Y.
Para se determinar a área da circunferência ilustrada na figura 4.6 que é
representado pela base do Chapéu do Barata é preciso saber o valor do raio, todavia
observando a figura 4.6 tem-se que o diâmetro do chapéu está representado pelo
segmento de reta amarelo, que é medido pela régua do Google Earth possuindo valor
de 27,15 m, mas para se calcular a área se necessita do valor do raio, já que a
expressão da circunferência é dada por A=‫ ח‬r2 e o diâmetro é dado por d = r/ 2, como
ele tem valor de 27,15 m ,então se divide por 2 para saber o valor do raio, ou seja,
27,15 / 2 =13,575 m e adotando valor de PI igual a 3,14, calcula-se a área da figura 4.6
pela fórmula A=3,14(13,575)2, desenvolvendo os cálculos conclui-se que a área da
64
circunferência da base do chapéu do memorial Magalhães Barata ilustrada pelo Google
Earth é:
A=578,64 m2
Para calcular a equação da circunferência tem-se que na figura 4.6, o
Chapéu do Barata apresenta o diâmetro de 27,15 m, logo o raio vale 13, 575 m; como a
circunferência é tangente as abscissas e as ordenadas então o centro da circunferência
é (13, 575; 13 575); logo a equação fica:
(x-13, 575)2 + (y-13, 575)2 = (13, 575)2
4.5 VIADUTO DA AV. ALMIRANTE BARROSO COM A AV. DR. FREITAS
O viaduto da Av. Almirante Barroso esquina com a Av. Dr. Freitas foi
inaugurado em Outubro de 2001 e se caracteriza como o primeiro viaduto urbano da
capital paraense. Esta construção em concreto, quando observada a partir de uma
visão aérea, presente na figura 4.7, apresenta a forma de uma parábola.
Figura 4.7 - Viaduto da Av. Almirante Barroso esquina com a Av. Dr. Freitas.
Fonte: http://earth.google.com.br
65
Conforme é possível observar, na figura 4.7 considera-se que a parábola
possui sua concavidade voltada para cima e que o eixo Y é o eixo da parábola.
Fazendo uso do Google Earth, é possível determina a distância entre o
vértice da parábola e seu foco, que de acordo com o capítulo 3 deste trabalho é
semelhante à distância entre o vértice desta cônica e a reta diretriz (reta amarela,
paralela ao eixo dos X, na figura 4.7). Estas informações são bastante pertinentes para
gerar a equação da parábola.
A equação da parábola expressa na figura 4.7 é do tipo x2 = 2py pode se
deduzir primeiro considerando as observações: o segmento de reta de cor amarela que
é perpendicular ao eixo y é chamado de diretriz da parábola, o segmento sobreposto ao
eixo y de cor amarela representa o eixo que vai do foco até a diretriz e tem valor 38,74
m. Para se deduzir a equação precisa-se do valor de p, pois se tem p /2, como o valor
do segmento sobreposto é 38,74 é só dividir por 2 para te a medida da origem até o
foco da parábola, porém o valor é 19,37 m
Assim,
38,74/2 = 19,37, então p/2 = 19,37 logo, p=38,74 m.
De posse do valor de p = 38,74 e da equação x2 = 2py, então:
x2 = 2 * 38,74y
Logo, a equação que expressa à parábola que identificada no viaduto é:
x2 = 77,48y
4.6 PRAÇA PRESIDENTE KENNEDY
A Praça Presidente Kennedy está localizada no bairro do Reduto próximo ao
Porto de Belém, em uma área que abrigava grandes fábricas durante o período da Belle
Époque. Sua forma cônica é bastante evidente, se observada a partir de uma visão
superior (figura 4.8).
66
Figura 4.8 - Praça Presidente Kennedy.
Fonte: http://earth.google.com.br
Para a situação descrita na figura 4.8, tem-se uma parábola com a
concavidade voltada para o lado esquerdo em que o eixo X é o eixo da parábola.
Ainda utilizando a ferramenta Google Earth, determina-se a distância entre o
vértice da parábola e seu foco, que é congruente à distância entre o vértice e a diretriz.
Para que seja possível a determinação da equação desta cônica.
A equação da parábola expressa na figura 4.8 é do tipo y2 = 2px pode se
deduzir primeiro considerando as observações: o segmento de reta de cor amarela que
é perpendicular ao eixo x é chamado de diretriz da parábola, o segmento sobreposto ao
eixo x de cor amarela representa o eixo que vai do foco até a diretriz e tem valor
14,06m e como a parábola está voltada para o lado esquerdo p tem sinal negativo. Para
se deduzir a equação precisa-se do valor de p, pois se tem p/2, como o valor do
segmento sobreposto é 14,06 m é só dividir por 2 para te a medida da origem até o foco
da parábola.
67
Assim,
14,06/2 = 7,03 então p/2 = 7,03 logo, p = -14,06.
De posse do valor de p= -14,06 m e da equação y2=2px, então:
y2 = 2 * (-14,06)x.
Logo, a equação que expressa à parábola que identificada no viaduto é:
y2 = -28,12x
4.7 CRUZAMENTO DA AV. GENERALÍSSIMO DEODORO COM A RUA ANTÔNIO
BARRETO
O cruzamento da Av. Generalíssimo Deodoro com a Rua Antônio Barreto
está localizado em um dos bairros centrais de Belém, o Umarizal, que quando
observado através de uma imagem de satélite, na figura 4.9, tem no detalhe deste
cruzamento a forma de uma hipérbole.
Figura 4.9 - Cruzamento da Av. Generalíssimo Deodoro com a Rua Antônio Barreto.
Fonte: http://earth.google.com.br
68
De acordo com a figura 4.9, considera-se que esta hipérbole apresenta seu
centro na origem do sistema e que o eixo real está sobre o eixo dos X.
Por intermédio do Google Earth, tem-se a medida da distância entre o vértice
da hipérbole e o seu foco, assim como a distância entre os vértices desta cônica.
Portanto, com estes dados é possível determinar a equação da hipérbole.
A equação de uma hipérbole com eixo real sobre o x é regida pela fórmula
x2 y 2
−
= 1 . Porém, para determinar a equação da hipérbole presente na figura 4.9 se
a 2 b2
observa que os segmentos de retas de cor amarelo representam as distancias dos
vértices (A1, A 2) ao foco ( F1 , F2) da hipérbole, e o segmento de cor vermelho
localizado entre os de cor amarelo é a distancia de um vértice ao outro que tem valor de
18,63 m, já que as medidas dos vértices são iguais é só dividir o valor de 18,63 m por 2,
obtendo a distancia do vértice a origem do eixo cartesiano, então A1=9,315 e A2=9,315
logo, a = A1 = A2 = 9,315, como já foi deduzido o valor de a = 9,315, então se calcula o
valor de b da seguinte forma, lembrando que a2 = c2 - b2 tem-se (9,315)2 = (16,825)2-b2
(lembrando que c = F1 = F2 = 16,825) então o valor de b é 14,01m. Logo a equação que
rege a hipérbole presente na figura 4.9 é:
x2
y2
−
=1
(9,315) 2 (14,01) 2
4.8 AV. JÚLIO CESAR
A Av. Júlio César está localizada no bairro de Souza e traz em seu nome
uma homenagem ao inventor paraense Júlio Cezar Ribeiro de Souza, que segundo a
Scientific American (2003), “foi o pioneiro no desenvolvimento da dirigibilidade aérea”.
Esta avenida quando observada através de uma visão aérea, na figura 4.10,
mostra no detalhe de um cruzamento a forma cônica de uma hipérbole.
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Figura 4.10 - Av. Júlio César.
Fonte: http://earth.google.com.br
Todavia, para esta situação, leva-se em consideração que a hipérbole possui
seu centro na origem do sistema e que o eixo real está sobre o eixo dos Y.
Assim sendo, é possível determinar com o Google Earth a distância entre o
vértice da hipérbole e o seu foco, assim como a distância entre os vértices desta cônica;
para então gerar a equação da hipérbole.
A equação de uma hipérbole com eixo real sobre o eixo dos y é regida pela
fórmula
y 2 x2
−
= 1 . Porém, para determinar a equação da hipérbole presente na figura
a 2 b2
4.10, que ilustra a Avenida Júlio César; observa-se que os segmentos de retas de cor
amarela no eixo y representam as distancias dos vértices (A1, A2) ao foco (F1, F2) da
hipérbole, e o segmento de cor vermelho localizado entre os de cor amarelo é a
distancia de um vértice ao outro que tem valor de 73,37m, já que as medidas dos
vértices são iguais é só dividir o valor de 73,37m por 2, obtendo a distancia do vértice a
origem do eixo cartesiano, então A1 = 36,685 e A2 = 36,685 logo, a = A1 = A2 = 36,685m,
como já foi deduzido o valor de a = 36,685m então se calcula o valor de b da seguinte
70
forma, lembrando que a2 = c2 - b2 tem-se (36,685)2 = (45,305)2 – b2 (lembrando que
c = F1 = F2 = 36,685 + 8,62 = 45,305) então o valor de b é 26,585m. Logo a equação
que rege a hipérbole presente na figura 4.10 é:
y2
x2
−
=1
(36,685) 2 (26,585) 2
Em síntese, a visualização da matemática pelos alunos em seu cotidiano é
de suma importância para uma melhor compreensão e aceitação dos conteúdos. Então,
esse capítulo abordou a aplicação das secções cônicas, mostrando imagens nas quais
foram identificadas as parábolas, hipérboles, elipses e circunferências e seus
respectivos cálculos, possibilitando assim ao aluno perceber a inserção do conteúdo
matemático em seu dia a dia.
71
5
CONCLUSÕES
O objetivo dessa pesquisa é o uso do Google Earth para a identificação e
localização de imagens cônicas através de vistas aéreas da cidade de Belém e com o
auxilio destas fazer cálculos matemáticos como área e equação das hipérboles,
parábolas, elipses e circunferências.
Neste trabalho foi apresentado a origem e o desenvolvimento das cônicas,
assim como, os principais matemáticos envolvidos no surgimento dessas curvas, para
então iniciar a abordagem teórica e proporcionar base para suas respectivas
aplicações. Também foram desenvolvidas as demonstrações chegando assim nas
equações que representam matematicamente as cônicas, firmando a base para o
desenvolvimento dos cálculos nesta pesquisa.
Foi usado o Google Earth, como ferramenta para coleta das imagens que
foram utilizadas durante o desenvolvimento deste trabalho, assim como, para obtenção
de todas as medidas necessárias à realização dos cálculos dessas figuras geométricas.
Portanto, foi realizada a análise e coleta de imagens aéreas da cidade de
Belém que apresentam em sua composição formas cônicas, com o objetivo de verificar
os conceitos e os cálculos pertinentes a essas aplicações.
O Google Earth é um software livre e qualquer pessoa pode ter acesso,
então se opta pelo uso dele no desenvolvimento dessa pesquisa, entretanto têm-se
outras ferramentas que podem desenvolver pesquisas matemáticas como, o Rived ou
Cabri Géometre, mas implicaria num custo alto, tornando assim o estudo das cônicas
de difícil acessibilidade para a comunidade escolar em geral.
Neste trabalho o Google Earth foi usado para desenvolver cálculos com a
elipse, circunferência, parábola e hipérbole, porém, podem-se trabalhar outros assuntos
da matemática como a geometria plana, matrizes, plano cartesiano, desenvolvendo
assim atividades de ensino com essa ferramenta. Diante disso, cabe ao professor de
matemática ou de qualquer outra disciplina usar a criatividade com os recursos que são
oferecidos pelo Google e desenvolver pesquisas ou atividades a cerca do assunto que
se quer trabalhar.
Como sugestão é que este trabalho seja aplicado para alunos do ensino
médio em laboratórios de informática, já que durante o desenvolvimento desta pesquisa
72
foi usado um software livre, o Google Earth, para realizar a observação e as medidas
necessárias para os cálculos das cônicas.
Assim sendo, propõe-se a divulgação dessa pesquisa, pois se usou uma
ferramenta que não implicará em ônus financeiro para auxiliar nos cálculos
matemáticos; contribuindo para o desenvolvimento de trabalhos futuros por outros
pesquisadores que queiram ter embasamento teórico sobre o uso desse software livre
na aplicação das cônicas ou de qualquer outro trabalho de pesquisa.
Além disso, podem ser inseridas como aplicações das cônicas: fachadas de
prédios, de casarões, de teatros e de construções existentes na capital paraense com o
objetivo de ampliar e corroborar os conceitos abordados, assim como enfatizar a
estreita relação da geometria com as construções, em especial na cidade de Belém do
Pará.
Por último, pode-se propor aos professores e pesquisadores interessados a
utilização desta pesquisa como atividade prática em suas aulas e pesquisas.
73
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