UFJF - Universidade Federal de Juiz de Fora
ICE - Departamento de Matemática
Lista de Exercı́cios - MAT 156 - Cálculo II
1a Questão: Escreva a equação e identifique a seção de cada superfı́cie quádrica no plano indicado.
a) 2x2 + 3y 2 + z 2 = 6,
x = 1.
y2
z2
x2
−
+
= 1,
9
4
25
z = 4.
b)
c) z 2 −
y2
x2
−
= 0,
9
16
d) 3x2 + 4y 2 = z,
y = 0.
x = 2.
2a Questão: Determine os traços, as seções e identifique a superfı́cie quádrica, em seguida esboce seu gráfico.
a) x2 + y 2 + z 2 = 1,
y ≤ 0.
b) 9x2 + 9y 2 + z 2 = 36.
c) 4x2 − 9y 2 + 9z 2 = 36.
d) 4x2 − 9y 2 − z 2 = 36.
e) x2 + 5y 2 = 8z 2 .
f) z = 4 − 2x2 − 3y 2 .
g) x2 + z 2 = 1,
0 ≤ y ≤ 1.
h) y − x2 = 1,
−2 ≤ x ≤ 2.
i) z 2 = 1 − 2y + y 2 .
j) x2 + y 2 + z 2 − 2y − 2x + 1 = 0.
k) x2 + y 2 − z 2 − 4y = 0.
l) x2 − y 2 + z 2 + 2y + 3 = 0.
2
3a Questão: Determine a equação da superfı́cie de pontos P = (x, y, z) cuja distância ao eixo y é da distância
3
de P ao plano xz. Identifique a superfı́cie.
4a Questão: Escreva a equação da superfı́cie de pontos P = (x, y, z) tais que a distância de P ao ponto (0, 0, 1) é
a mesma do que a de P ao plano y = −1. Identifique a superfı́cie.
5a Questão: Obtenha a projeção sobre o plano xy da curva de interseção das superfı́cies z = 1 − x2 e z = x2 + y 2 .
6a Questão: Dadas as equações abaixo identifique a quádrica que ela representa e faça um esboço do seu gráfico:
1
a) 4x2 − 2y 2 + z 2 = 1.
b) x2 + y + z 2 = 0.
c) x2 − 9y 2 = 9.
d) 4x2 − 9y 2 − 36z = 0.
7a Questão: Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes do plano π : x = 2 e do ponto
P = (−2, 0, 0) e identifique a superfı́cie.
8a Questão: Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes das retas
r : (x, y, z) = (0, −1, 0) + t(1, 0, 0) e s : (x, y, z) = (0, 1, 0) + t(0, 0, 1).
Identifique a superfı́cie.
9a Questão: Determine a equação do lugar geométrico dos pontos P = (x, y, z) tais que a soma das distâncias de
P aos pontos (2, 0, 0) e (−2, 0, 0) é igual a 6. Identifique a superfı́cie.
10a Questão: Determine a equação do lugar geométrico dos pontos P = (x, y, z) tais que o módulo da diferença
entre as distâncias de P aos dois pontos (2, 0, 0) e (−2, 0, 0) é igual a 3. Identifique a superfı́cie.
11a Questão: Esboce o gráfico das superfı́cies abaixo:
a) x = −2.
b) y = 3.
c) z = 4.
d) x + 2y − 6 = 0.
e) 3x − 2z − 12 = 0.
f) 2z − 5y − 10 = 0.
g) 2x + y + 5z − 10 = 0.
h) x2 + (y − 2)2 = 4.
i) y 2 + z 2 = 16.
j) 4x2 + 9z 2 = 36.
k) x2 = 9z.
l) y = |z|.
m) x2 − 4y = 0.
n) y 2 − x2 = 16.
o) z 2 = 4y 2 .
p) yz = 1.
2
q) z = lnx.
r) |y| + |z| = 1.
12a Questão: Determine uma equação da superfı́cie de revolução gerada pela rotação da curva plana dada em
torno do eixo indicado. Esboce a superfı́cie.
a) x2 = 4y,
em torno do eixo y.
b) z = 4 + y 2 ,
em torno do eixo z.
c) x2 + z 2 = 16,
2
d) z = e−x ,
e) y 2 z = 1,
f) y = sin y,
em torno do eixo x.
em torno do eixo x.
em torno do eixo z.
em torno do eixo y.
13a Questão: Obtenha a curva geratriz e o eixo da superfı́cie de revolução dada. Faça um esboço da superfı́cie.
a) x2 + z 2 − y 2 = 0,
com x2 + z 2 ≤ 4.
b) x2 + y 2 + 4z 2 = 16.
c) z 4 − 16x2 = 16y 2 .
d) x2 + z 2 = |y|.
e) x2 + y 2 = − ln z.
3