ASSÍNTOTAS
Assíntota Vertical
Existem algumas funções racionais cujos gráficos se aproximam bastante de uma reta vertical, que é
denominada assíntota vertical.
x3
cujo gráfico está descrito na figura abaixo.
Por exemplo, considere a função racional f  x  
x2
Observe que existe uma “reta vertical imaginária” (definida por
x = 2) tal que, quando a função se aproxima dessa reta, ela
assume valores muito grandes positivos ou negativos. Indicamos
tal fato escrevendo,
f  x    quando x  2 e
f  x    quando x  2
Assim, quando uma função racional y  f  x  
g  x
h x
apresenta
esse tipo de comportamento, dizemos que a função tem uma
assíntota vertical em x = 2. Importante observar que x = 2 é uma
raiz da função que está no denominador, ou seja, x = 2 é uma raiz
de h  x   x  2 (a função não está definida para esse valor de x)
Considere agora, a função racional f  x  
x2  4
cujo gráfico está descrito na figura abaixo.
x2
Observar que, apesar de x = 2 ser uma raiz da função que está no
denominador, ou seja, de h  x   x  2 , não existe uma
assíntota vertical nesse caso. Isso porque pudemos simplificar o
fator comum x–2 presente no numerador e no denominador da
função f (x).
Assim, para que uma função racional y  f  x  
g  x
tenha
h x
uma assíntota vertical em x = a, não basta que x = a seja uma
raiz da função h  x  . É preciso também que a função apresente
x3
, ou
x2
ou quando x  a 
comportamento semelhante ao da função f  x  
seja, f  x   
quando x  a 
RESUMINDO: Normalmente, para determinar assíntotas verticais para uma função y  f  x  
g  x
h x
,
encontre os valores x = a nos quais h  x   0 e analise o comportamento de f quando x se aproxima de a.
Assim, uma assíntota vertical mostra o comportamento de uma função y  f  x  nas vizinhanças de um
ponto x = a.
Profa. Lena Bizelli
1. Assíntotas verticais podem também aparecer pelo comportamento unilateral.
2. O gráfico de uma função NUNCA cruza uma assíntota vertical. Por quê?
Assíntota Horizontal
A existência de assíntotas horizontais depende do comportamento de uma função y  f  x  para valores
positivos grandes de x e valores negativos grandes de x (ou seja, x  ).
Por exemplo, considere a função racional f  x  
x3
cujo gráfico está descrito na figura abaixo.
x2
Observe que existe uma “reta horizontal” (definida por y = 1)
para a qual a função se aproxima, quando x assume valores
muito grandes positivos ou muito grandes negativos. Indicamos
tal fato escrevendo,
lim f  x   1
x 
Assim, quando uma função racional y  f  x  
g  x
h x
apresenta
esse tipo de comportamento, dizemos que a função tem uma
assíntota horizontal y = 1.
Isso quer dizer que: quando o limite no infinito de uma função y  f  x  for igual a um número real L, então
a reta horizontal y = L é denominada de assíntota horizontal.
Portanto, uma assíntota horizontal mostra o comportamento de uma função y  f  x  para valores muito
grandes de x positivos ou valores muito grandes de x negativos.
RESUMINDO: Para determinar assíntotas horizontais para uma função y  f  x  , basta calcular o limite
lim f  x  ou o limite lim f  x  e verificar se o resultado é um número real L. Se for, a reta y = L será
x 
x 
chamada de assíntota horizontal.
Profa. Lena Bizelli
Diferente de uma assíntota vertical, o gráfico de uma função y  f  x  pode cruzar uma
assíntota horizontal várias vezes. Por quê?
cos x
(descrita na figura abaixo) possui uma assíntota horizontal
x
y  0 e o gráfico de f cruza essa assíntota uma infinidade de vezes.
Por exemplo, a função y 
Agora tente resolver os exercícios dados a seguir, para verificar se você compreendeu as idéias apresentadas
até aqui.
Exercícios
1) Considere o gráfico de uma função f dado na figura abaixo, e calcule o que se pede.
(a) lim f  x  
(b) lim f  x  
(d) lim f  x  
(e) lim f  x  
x1
x
x1
(c) lim f  x  
x1
x
(f) Dê as equações das assíntotas verticais, se existirem.
(g) Dê as equações das assíntotas horizontais, se existirem.
Profa. Lena Bizelli
2) Encontre as assíntotas verticais e horizontais, se existirem.
(a) f  x  
x
3x  1
(e) f  x  
3x
(b) f  x  
x2
x2
(c) f  x  
2x
x 9
2
 2x 1 
(d) f  x   

 4  3x 
2
 2 x  5 2
Respostas
1) (a) +∞
(b) -∞
(c) +∞
(d) 1
(e) 0
2) (a) vertical: x 
1
1
; horizontal: y 
3
3
(b) vertical: x  2 ; horizontal: nenhuma
(c) vertical: x  3 ; horizontal: y  0
(d) vertical: x 
4
4
; horizontal: y 
3
9
(e) vertical: x 
5
; horizontal: y  0
2
Profa. Lena Bizelli