Capitulo 4 – Resolução de Exercícios FORMULÁRIO Taxa Proporcional ou equivalente (juros simples) i2 i1 k Taxas Equivalentes (juros compostos) 1 ia 1 is 2 1 iq 1 it 1 ib 1 im 1 id 3 4 6 12 360 Taxa Efetiva e Nominal in k in iep ao período de capitalização ; ie 1 1 ao periodo da taxa nominal k k Taxa Real e Taxa Aparente 1 i 1 ir 1 I S1 C ˆ ˆ I I0 ir 1 ao período de investimento C Iˆ0 du Taxa Over over ie 1 1 30 over ao período ; S C 1 ie C 1 30 du 4.9 — Exercícios Propostos1 1) Considerando a taxa de 45%a.a., calcule as respectivas taxas equivalentes, nos regimes de juros simples e compostos, relativas aos seguintes períodos: a) Dia. b) Mês. c) Bimestre. d) Trimestre. e) Quadrimestre. f) Semestre. Solução a) Taxa Diária – Juros Simples – i1 ao ano e i2 ao dia i 0, 45 i2 1 0, 00125 ou 0,125%a.d . k 360 Taxa Diária – Juros Compostos – ia ao ano e id ao dia 1 ia 1 id 360 1 1 id 1 ia 360 1 1, 45 360 1 0,001033 ou 0,1033%a.d . 1 Salvo menção em contrário considerar anos comerciais de 360 dias, com 12 meses de 30 dias, e regime de juros compostos. Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 30 Capitulo 4 – Resolução de Exercícios b) Taxa Mensal – Juros Simples – i1 ao ano e i2 ao mês i1 0, 45 0, 0375 ou 3, 75%a.m. k 12 Taxa Mensal – Juros Compostos – ia ao ano e im ao mês i2 1 ia 1 im 12 1 1 im 1 ia 12 1 1, 4512 1 0,031448 ou 3,1448%a.m. c) Taxa Bimensal – Juros Simples – i1 ao ano e i2 ao bimestre; i1 0, 45 0, 075 ou 7,50%a.b. k 6 Taxa Bimensal – Juros Compostos – ia ao ano e ib ao bimestre; i2 1 ia 1 ib 6 1 1 ib 1 ia 6 1 1, 45 6 1 0,063885 ou 6,3885%a.b. d) Taxa Trimestral – Juros Simples – i1 ao ano e i2 ao trimestre; i1 0, 45 0,1125 ou 11, 25%a.t. k 4 Taxa Trimestral – Juros Compostos – ia ao ano e it ao trimestre; i2 1 1 1 ia 1 it it 1 ia 4 1 1, 45 4 1 0,097342 ou 9,7342%a.t. 4 e) Taxa Quadrimestral – Juros Simples – i1 ao ano e i2 ao quadrimestre; i1 0, 45 0,15 ou 15, 00%a.q. k 3 Taxa Quadrimestral – Juros Compostos – ia ao ano e it ao quadrimestre; i2 1 ia 1 iq 3 1 1 iq 1 ia 3 1 1, 45 3 1 0,131851 ou 13,1851%a.q. f) Taxa Semestral – Juros Simples – i1 ao ano e i2 ao semestre; i1 0, 45 0, 225 ou 22,50%a.s. k 2 Taxa Semestral – Juros Compostos – ia ao ano e it ao quadrimestre; i2 1 ia 1 is 2 1 1 is 1 ia 2 1 1, 45 2 1 0, 204159 ou 20, 4159%a.s. 2) Considerando a taxa nominal de 36%a.a.c.m, calcule as correspondentes taxas efetivas. a) Mensal. Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 31 Capitulo 4 – Resolução de Exercícios b) Bimensal. c) Trimestral d) Quadrimestral e) Semestral f) Anual Solução a) Mensal A taxa efetiva mensal é ie 0, 36 0, 03 ou 3, 00%a.m. 12 b) Bimensal 2 0, 36 A taxa efetiva bimensal é ie 1 1 0, 0609 ou 6, 09%a.b. 12 c) Trimestral 3 0, 36 A taxa efetiva trimestral é ie 1 1 0, 092727 ou 9, 2727%a.t. 12 d) Quadrimestral 4 0, 36 A taxa efetiva quadrimestral é ie 1 1 0,125509 ou 12, 5509%a.q. 12 e) Semestral 6 0, 36 A taxa efetiva semestral é ie 1 1 0,194052 ou 19, 4052%a.s. 12 f) Anual 12 0, 36 A taxa efetiva Anual é ie 1 1 0, 425761 ou 42, 5761%a.a. 12 3) Qual a taxa nominal anual capitalizada mensalmente, em termos aparentes e em termos reais, que transformou um capital inicial de R$ 10.000,00 em um montante de R$ 11.886,86, no período de 7 meses, se a taxa mensal de inflação, nos primeiros 3 meses, tiver sido de 0,6%, passando a 0,9% nos últimos 4 meses? Solução Em termos aparentes, ou seja, sem levar em conta a inflação, tem-se 7 i i ie 1 n 1 S7 C 1 n 12 12 7 1 7 7 in 11886 , 86 11886,86 10000 1 in 1 12 0, 3 ou 30%a.a.c.m. 12 10000 Em termos reais, temos que, a preços da data de aplicação, o montante recebido foi de Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 32 Capitulo 4 – Resolução de Exercícios 11886,86 1 0, 006 . 1 0, 009 3 4 R$11.264, 41 . Logo, a taxa nominal com capitalização mensal, em termos reais, será a taxa in , tal que: 1 7 11264, 41 12 0, 205854 ou 20,5854%a.a.c.m. in 1 10000 4) Qual o número de meses para que uma taxa nominal de 30% a.a.c.b. dobre o capital inicial? Solução 0,3 ie 0, 05a.b. ou 5%a.b. 6 S C 1 ie n b 2C C 1 0, 05 nb LN(1, 05) LN(2) nb n b 2 1 0, 05 n b LN(2) 14, 2067 bimestres LN(1, 05) Se estivermos tratando de uma aplicação com capitalizações descontinuas, o número de bimestres necessários para dobrar o capital é igual a 15; já que os juros só são formados ao final de cada período (bimestre). Isto significa dizer que serão necessários 30 meses. Por outro lado, se for adotada a convenção exponencial, serão necessários somente 14,2067 bimestres ou 28,4134 meses. 5) Qual o total de juros acumulado, ao final de 8 anos, de uma aplicação de R$ 250.000,00, à taxa de juros de 5% a.a.c.s.? Solução 0, 05 0, 025a.s. ou 2,5%a.s. 2 n 16 J n C 1 ie s 1 250000 1 0, 025 1 R$ 121.126, 41 ie 6) Um investidor aplicou no mercado financeiro a quantia de R$ 750.000,00 e após 160 dias resgatou R$ 1.000.000,00 brutos. a) Qual foi a taxa anual com capitalização diária auferida pelo investidor, se não houver tributação? b) Qual foi a taxa nominal anual com capitalização diária, que representa a taxa líquida da operação, se uma alíquota de 10% de imposto sobre operações financeiras for aplicada sobre o rendimento auferido, antecipadamente (sem desembolso adicional e com desembolso adicional para o IOF) e postecipadamente? Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 33 Capitulo 4 – Resolução de Exercícios c) Tendo sido constatado que, por ocasião do resgate, a taxa de inflação no período foi de 5,55%, qual a taxa líquida, em termos reais e expressa como taxa nominal anual com capitalização mensal, que foi efetivamente auferida pelo investidor, se os juros contábeis forem tributados à alíquota de 8%? Solução a) Sendo id a taxa efetiva diária, tem-se: Snd C 1 id d 1000000 750000 1 id n 160 1 1000000 160 id 1 0, 0017996a.d . 750000 in 360 0, 0017996 0, 647867 ou 64, 7867% a.a.c.d . b) IOF Antecipado (com pagamento adicional do IOF) S nd C J J S nd C 1000000 750000 250000 T t J 0,10 250000 25000 S nlíquido S nd 1000000 d 1 1 S nlíquido nd 1000000 160 id d 1 id 1 0, 001594 ou 0,1594%a.d . C T 775000 in 360 0, 001594 0,573965 ou 57,3965%a.a.c.d . IOF Antecipado (sem pagamento adicional do IOF) Alternativamente, se o investidor dispuser somente de R$ 750.000,00, então este valor deverá ser utilizado para fazer o investimento e pagar antecipadamente o IOF. Logo 750000 C T . Como T 0,1 S C 0,11000000 C 100000 0,1C então 750000 C 100000 0,1C 0,9C 650000 C 650000 R$ 722.222, 22 0,9 T 100000 0,1 722222, 22 R$ 27.777, 78 Assim, considerando o desembolso total de R$ 750.000,00, 1 1000000 160 id 1 0, 0017996a.d . 750000 in 360 0, 0017996 0, 647867 ou 64, 7867%a.a.c.d Vale notar que este resultado é idêntico ao do item a. Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 34 Capitulo 4 – Resolução de Exercícios IOF Postecipado S nd C J J S nd C 1000000 750000 250000 T t J 0,10 250000 25000 S nlíquido S nd T 1000000 25000 975000 d 1 1 Snlíquido nd 975000 160 d id 1 i 1 0, 001641 ou 0,1641%a.d . C 750000 in 360 0, 001641 0,590804 ou 59, 0804%a.a.c.d . c) Utilizaremos a notação Snlíquido para representar o valor líquido corrente d , nd recebido na data nd e Snlíquido para representar o valor líquido real a preços da d ,0 data da aplicação (época 0). A preços correntes (aparentes), o valor líquido de resgate foi: Snlíquido Snd ,nd T 1000000 0,08 1000000 750000 R$ 980.000,00 d , nd Tendo em vista a taxa de inflação observada no período, o valor líquido real de resgate, a preços da data da aplicação, foi: S líquido nd ,0 Snlíquido d , nd 1 I 980000 R$ 928.909,95 1 0, 055 Logo, em termos reais, a taxa diária líquida foi: 1 928909,95 160 i 1 0, 001338 ou 0,1338%a.d . 750000 Portanto, em termos reais, a taxa mensal líquida foi: r d imr 1 idr 1 1 0, 001338 1 0, 040929 ou 4, 0929%a.m. 30 30 Levando, em termos reais, a uma taxa líquida nominal anual com capitalização mensal, auferida de: inr 12 imr 12 4,0929 49,1148%a.a.c.m. 7) Qual é o montante líquido de uma aplicação de R$ 5.000,00, com prazo de 4 meses, à taxa de juros compostos de 12% a.a.c.m., se for pago imposto de renda, com a alíquota de10% incidindo sobre os juros, no resgate da aplicação? Solução i 0,12 ie n 0, 01a.m. ou 1%a.m. k 12 n Sn C (1 i ) n e J n C 1 i 1 Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 35 Capitulo 4 – Resolução de Exercícios Sn Sn T Sn t J n n 4 J 4 C 1 i 1 J 4 5000 1 0, 01 1 203, 02 S4 C J 4 5000 203, 02 5203, 02 S4 S4 t J 5203, 02 0,1 203, 02 R$ 5.182, 72 8) Delfina aplicou R$ 10.000,00 à taxa de juros de 12% a.a.c.b., pelo prazo de 50 meses. Entretanto, antes do término do prazo, conseguiu um aumento da taxa para 12% a.a.c.m., referente ao restante do prazo. Sabe-se que, no final do período, recebeu um montante de R$ 16.430,20. Quais foram os prazos em que o capital esteve aplicado à cada uma das taxas , considerando a Convenção Exponencial? Solução n , J n C 1 i 1 , 2n1 n2 50 12% 12% i1 2%a.b. e i2 1%a.m. 6 12 n n S50 100000 1 i1 1 1 i2 2 16430, 20 ; n1 em bimestres e n2 em meses n1 50 2 n1 10000 1, 02 n1 1, 0150 2 n1 16430, 20 10000 1 0, 02 1 0, 01 S n C (1 i ) n 1, 02 1, 01 n1 50 2 n1 1, 64302 Logo 1, 64302 LN 1, 64302 LN 1, 02 1, 01 1, 02 1, 01 LN 1, 64302 n1 LN 1, 02 50 2n1 LN 1, 01 0, 496536 0, 0198026n1 50 0, 00995033 2 0, 00995033 n1 n1 50 2 n1 n1 50 2 n1 0, 496536 0, 000098n1 0, 4975166 0, 000098n1 0, 000980 n1 0, 000980 10 bimestres 20meses n2 30 meses 0, 000098 9) Uma pessoa realizou dois investimentos com o mesmo capital inicial em duas instituições financeiras, no mesmo dia, obtendo taxas de juros de 12% a.a.c.s e 24%a.a.c.m., respectivamente. Sabendo-se que os prazos das duas aplicações foram idênticos e que os montantes obtidos foram respectivamente R$ 13.382,26 e R$ 18.113,62 , quais foram o capital e o prazo das duas aplicações? Solução i i 0,12 0, 24 ie1 n1 0, 06 ou 6%a.s. e ie 2 n 2 0, 02 ou 2%a.m. k1 2 k2 12 Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 36 Capitulo 4 – Resolução de Exercícios S C 1 i n n2 6n1 ; ; n1 em semestres e n2 em meses S n1 C 1 0, 06 1 13382, 26 C 1, 06 1 C n n S n2 C 1 0, 02 2 18113, 62 C 1, 02 n 13382, 26 1, 06 1 18113, 62 1, 02 1 n 1, 06 1 0, 7387955 6n 1, 02 1 n 6n C 1, 06 1 n 18113, 62 1, 02 6 n1 1 13382, 26 1, 06 18113, 62 1, 02 6 n1 n 1, 06 1 0, 7387955 n1 1, 02 6 n 1, 06 1 n 0, 7387955 6 n1 13382, 26 1,126162 1 n 1, 06 0, 7387955 1,126162 n1 0, 7387955 0,94125n1 LN 0, 7387955 n1 LN 0,94125 n1 C LN 0, 7387955 LN 0,94125 13382, 26 1, 06 n1 C 5semestres ou 30meses 13382, 26 1, 06 5 R$ 10.000, 00 10) Uma aplicação em CDB prefixado rende 36% a.a.c.d. e é taxada pelo Imposto de Operações Financeiras (IOF) e pelo Imposto de Renda (IR), no recebimento do rendimento, segundo alíquotas variáveis de acordo com o número de dias da aplicação. Se você aplicou R$ 100.000,00, qual a taxa efetiva ao ano obtida, considerando que os impostos incidem, sobre o rendimento obtido, ao final do prazo de aplicação, se este for de: a) 20 dias? b) 30 dias? Solução a) 20 dias A taxa efetiva é dada por: i 0,36 ie n 0, 001a.d . ou 0,1%a.d . 360 360 O rendimento do investimento inicial, é dado por: 20 20 J C 1 id 1 100000 1 0,001 1 2019,11 Os impostos serão dados por (vide Tabelas 4.1.e 4.2): IOF t IOF J 0,33 2019,11 666,31 IR t IR J 0, 225 2019,11 454,30 Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 37 Capitulo 4 – Resolução de Exercícios Os montantes bruto e liquido serão: S20 100000 2019,11 102019,11 líquido S20 S20 IR IOF 102019,11 666,31 454,30 100898,50 Logo a taxa efetiva líquida, ao dia, será: líquido S20 C 1 il 100898,50 100000 1 il 20 20 1 100898,50 20 il 1 0, 00045 ou 0, 045%a.d . 100000 ia (1 id )360 1 1, 00045360 1 0,17582 ou 17,582a.a. b) 30 dias A taxa efetiva é dada por: i 0,36 ie n 0, 001a.d . ou 0,1%a.d . 360 360 O rendimento do investimento inicial, é dado por: 30 30 J C 1 id 1 100000 1 0,001 1 3043,91 Os impostos serão dados por(vide Tabelas 4.1.e 4.2): IOF t IOF J 0, 0 IR t IR J 0, 225 3043,91 684,88 Os montantes bruto e liquido serão: S30 100000 3043,91 103043,91 S30líquido S30 IR 103043,91 684,88 102359, 03 Logo a taxa efetiva líquida, ao dia, será: S30líquido C 1 il 102359, 03 100000 1 il 20 30 1 102359, 03 30 il 1 0, 000778 ou 0, 0778%a.d . 100000 ia (1 id )360 1 1, 000778360 1 0,32286 ou 32, 286%a.a. 11) Pensando nas festas de fim de ano, Thuener pretende aplicar no mercado aberto R$ 200.000,00 em 04/06 (6ª feira) e R$ 300.000,00 em 06/09 (2ª feira). Se o banco usado lhe pagará juros composto à taxa over de 12% a.m., qual será o valor que Thuener vai retirar em 06/12? (Obs.: considere os feriados os dias 7/set , 12/out, 2/Nov e 15/Nov) Solução over ie 1 1 30 ao dia útil 1 0,12 ie 1 1 0, 004 ou 0, 4%a.du. 30 Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 38 Capitulo 4 – Resolução de Exercícios Os números de dias úteis em cada período são: Esta tabela foi feita manualmente para calcular o número de dias entre duas datas. Porém, o Excel dispõe de uma função chamada DIATRABALHOTOTAL que calcula o número de dias úteis entre duas datas; inclusive aceita como argumentos os feriados. A tabela acima poderia ter sido feita de uma forma muito mais simples utilizando a planilha a seguir. Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 39 Capitulo 4 – Resolução de Exercícios O único detalhe que deve ser observado é que a data final é a data de vencimento menos um dia. A razão para tal é que a função considera, inclusive, a data inicial e a data final; o que nos levaria a uma contagem errada. Uma planilha contendo uma lista com todos os feriados até o ano de 2078, pode ser obtida no site da Andima no endereço (em 3/1/2011): http://www.andima.com.br/feriados/feriados.asp O montante do 1º investimento renderá durante 127 dias úteis e é de: 127 0,12 S127 200000 1 30 R$ 332.056,15 O montante do 2º investimento renderá durante 61 dias úteis e é de: 61 0,12 S61 300000 1 R$ 382.716,98 30 Logo, em 06/12, Thuener poderá retirar o seguinte total: S S127 S61 332056,15 382716,98 R$ 714.773,13 12) Para aplicação de R$ 100.000,00 em um CDB pré-fixado, com prazo de 2 anos, o Banco Irreal está oferecendo a taxa de 6% a.a. Alternativamente, o Banco Irreal oferece ao investidor a opção de um CDB pós-fixado, prometendo pagar 98% da taxa do CDI. Pergunta-se I. Se, em ambos os casos, o imposto de renda é cobrado no resgate, à alíquota de 15%, qual deve ser a estimativa da taxa do CDI, para que um investidor considere, minimamente, interessante a aplicação no “CDB pós” ? Se um dado investidor, assessorado por um dos gerentes, seu conhecido, do Banco Irreal, que lhe fornece a estimativa da taxa de remuneração do CDI, no prazo considerado de 2 anos, de 6,3% a.a, qual seria a opção mais interessante para a aplicação de R$ 100.000,00? Se, no fim do prazo de 2 anos, tiver sido verificado que o CDI acumulou uma taxa de variação de 12,04%, quanto terá recebido e qual terá sido , em termos aparentes, a taxa anual de rentabilidade do investidor se este tiver aplicado R$ 100.000,00 em cada um dos dois tipos de CDB’s? II. III. Solução I. Para aplicações do mesmo valor, a condição de indiferença entre as duas modalidades de CDB’s, no caso em apreço, é: 1, 06 1 0,15 0,15 1 0,986 1 0,15 0,15 2 ou Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 40 Capitulo 4 – Resolução de Exercícios 1,1236 1 0,986 0,125355 ou 12,5355% ao bi-ano onde é a taxa, relativa ao prazo de 2 anos, do CDI. II. III. Se o gerente “amigo” fornece a estimativa de que a taxa anual do CDI, para o período de 2 anos, seja de 6,3%, o que implica na taxa bi-anual de (1+0,063)2 – 1 = 0,129969 ou 12,9969%, o investidor seria levado a acreditar que valeria a pena a aplicação no “CDBpós”. Tendo aplicado R$ 100.000,00 em cada um dos tipos de CDB’s, o investidor teria recebido, no fim do prazo de 2 anos, o seguinte total: 100000 1 0, 06 1 0,15 0,15 100000 1 0,986 0,1204 1 0,15 0,15 2 2 100000 1 0, 06 1 0,118714 0,85 0,3 R$ 220.596, 72 Consequentemente, a taxa anual de rentabilidade, em termos aparentes, auferida pelo investidor seria: 1/2 220.596, 72 200.000, 00 1 0, 050230 ou 5, 023% a.a Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 41