Capitulo 2 – Resolução de Exercícios
FORMULÁRIO
Regime de Juros Simples
S CJ
 Sn 
  1
C

i
n
J  C i  n
 Sn 
  1
C

n
i
Sn  C  (1  i  n)
Juroexato 
C i n
365
Sn
1 i  n
C i n
JuroComercial 
360
C
2.7 — Exercícios Propostos1
1) Qual o montante de uma aplicação de R$ 100.000,00 aplicados por um prazo de 12
meses, a uma taxa de 5% a.a?
Solução
Sn  C  (1  i  n)  S1  100000  (1  0,05 1)  R$105.000,00
2) Qual o capital inicial que deve ser aplicado a uma taxa de 0,5% a.m., para ao final
de 1 ano e meio gerar R$ 100.000,00?
Solução
Sn
100000
C
C 
 R$ 91.743,12
1 i  n
1  0, 005 18
3) Qual o prazo de uma aplicação à 5% a.m. que dobra seu capital inicial?
Solução
 Sn 
 2C 
 1
  1

C
C



  1  20 meses
n
n
i
i
0, 05
4) Qual a taxa de juros anual, a que devemos aplicar um capital inicial para que ele
dobre o seu valor num prazo de 10 anos?
Solução
 Sn 
 2C 
 1
  1

C
C



  2  0, 2  20%a.a.
i

n
10
10
5) Qual o total de juros acumulado, de uma aplicação de R$ 20.000,00, à taxa de juros
de 5% a.a. por um período de 7 anos?
Solução
J  C  i  n  20000  0,05  7  R$ 7.000,00
1
Na resolução de problemas propostos considerar anos comerciais de 360 dias e meses de 30 dias, salvo
menção em contrário. Considerar neste capítulo o Regime de Juros Simples.
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
Página 6
Capitulo 2 – Resolução de Exercícios
6) Um investidor aplicou no mercado financeiro a quantia de R$ 750.000,00 e após 183 dias
resgatou R$ 1.033.650,00 brutos.
a) Qual foi a taxa diária de juros simples auferida pelo investidor?
b) Qual a taxa efetiva diária se uma alíquota de 10% de imposto sobre operações
financeiras for aplicada sobre os rendimentos auferidos, antecipadamente e
postecipadamente?
Solução
 Sn 
 1033650 
 1
  1

C
750000



  0, 002067  0, 2067%a.d .
a) i 
i 
n
183
b) Antecipada
S  C  J  J  S  C  1033650  750000  283650
T  t  J  0,10  283650  28365
 Desembolso inicial de 750000  28635  778365
 Sn 
 1033650 
 1
  1

C
778365



  0, 001792  0,1792%a.d .
il 

n
183
Deve-se notar que, está sendo admitido que o rendimento é prefixado; sendo,
pois,conhecido na data da aplicação.
Postecipada
S  C  J  J  S  C  1033650  750000  283650
T  t  J  0,10  283650  28365
 Resgate líquido de 1033650  28635  1005285
 Sn 
 1005285 
 1
  1

C
750000



  0, 001860  0,1860%a.d .
il 

n
183
7) Qual é o montante líquido de uma aplicação de R$ 8.000,00, com prazo de 5 meses,
aplicado à taxa de juros simples de 22% a.a., se for paga uma alíquota de imposto de renda
igual a 20% dos juros, no resgate da aplicação?
Solução
S n  C  (1  i  n) e J  C  i  n
S n  S n  T  S n  t  J
5
 733,33
12
S5  C  J  8000  733,33  8733,33
S5  S5  t  J  8733,33  0, 2  733,33  R$8.586, 67
J  C  i  n  8000  0, 22 
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
Página 7
Capitulo 2 – Resolução de Exercícios
8) Ana colocou R$ 100.000,00 à taxa de juros simples de 12% a.a. pelo prazo de 50 meses.
Entretanto, antes do término do prazo, conseguiu um aumento da taxa para 18% a.a.
referente ao restante do prazo. Sabe-se que, no final do período, recebeu um montante de
R$ 165.000,00. Quais foram os prazos em que o capital esteve aplicado à cada uma das
taxas?
Solução
0,12
 n1
12
0,18
J 2  100000 
 n2
12
S50  100000  J1  J 2  165000
J1  100000 
n1  n2  50
165000  100000  100000  0, 01 n1  100000  0, 015  n2
65000  1000n1  1500n2  1000n1  1500  50  n1 
65000  1000n1  75000  1500n1
500n1  10000
10000
 20 meses  n2  30 meses
500
9) Uma pessoa realizou dois investimentos, com o mesmo capital inicial de
R$ 3.000,00, em duas instituições financeiras, no mesmo dia, obtendo duas taxas
de juros idênticas. Sabendo-se que o prazo total das duas aplicações foi 60 dias;
que a diferença entre os prazos é de 10 dias; e que uma rendeu de juros R$ 300,00
a mais que a outra, quais foram os prazos das duas aplicações e a taxa de juros
diária obtida?
n1 
Solução
J1  3000  i  n1
J 2  3000  i  n2
J1  J 2  300
n1  n2  10 
  2n1  70  n1  35 dias  n2  25 dias
n1  n2  60 
3000  i  n1  3000  i   n1  10   300
3000  i  n1  n1  10  300
i
300
 0, 01  1%a.d .
30000
10) Uma aplicação rende 15% a.s. e é taxada pelo Imposto de Operações Financeiras
(IOF), no recebimento do rendimento, à uma alíquota fixa de 1,5% aplicada sobre o
mesmo. Se você aplicou R$ 100.000,00 pelo prazo de um ano, qual a taxa líquida
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
Página 8
Capitulo 2 – Resolução de Exercícios
semestral obtida, considerando que o rendimento líquido obtido, no fim do
primeiro semestre, foi reaplicado à mesma taxa pelo restante do período?
Solução
O rendimento líquido em cada semestre, do investimento inicial, é dado por:
J l   C  i  n   1  t   100000  0,15 1  1  0,015  15000  0,985  14775
O rendimento líquido no 2º semestre, do rendimento líquido reinvestido, é dado
por:
J l   C  i  n   1  t   14775  0,15 1  1  0,015  2183,01
O esquema abaixo representa o fluxo de caixa do investimento.
Logo a taxa líquida é dada por:
 131733, 01 
 1

100000

  0,1587  15,87%a.s.
il 
2
Note-se que a reaplicação do rendimento no primeiro semestre, acarretando juros
sobre juros, fez com que a taxa líquida semestral, para a operação consolidada,
ficasse maior de que a taxa bruta semestral.
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
Página 9
Capitulo 2 – Resolução de Exercícios
11) Você foi comprar uma geladeira e a loja lhe ofereceu 4 opções.
a) R$ 1.800,00 à vista.
b) R$ 300,00 à vista mais 3 prestações mensais e sucessivas de R$ 600,00.
c) R$ 500,00 à vista mais 3 prestações mensais e sucessivas de R$ 500,00.
d) 8 prestações mensais e sucessivas de R$ 275,00, com carência de 3 meses.
Qual é a melhor opção para você, comprador, considerando uma taxa de juros simples de
4% a.m. e data focal na data da compra?
Solução
A melhor opção para o comprador é a que tem o menor valor presente, isto é na
data da compra (data focal 0). Calculando os valores atuais das opções temos:
a) Como o valor é a vista, VPa  R$1.800,00
b) VPb  300 
600
600
600


 R$1.968,19
1  0, 04 1  0, 04  2 1  0, 04  3
c) VPc  500 
500
500
500


 R$1.890,16
1  0, 04 1  0, 04  2 1  0, 04  3
275
275
275
275
275





1  0, 04  3 1  0, 04  4 1  0, 04  5 1  0, 04  6 1  0, 04  7
275
275
275



 R$ 1.755,36
1  0, 04  8 1  0, 04  9 1  0, 04 10
VPd 
d)
Logo a melhor opção para o comprador é a d.
12) Pensando nas festas de fim de ano, Fabio pretende depositar R$ 2.000,00 em 05/06 e
R$ 3.000,00 em 05/09. Se o banco usado pagará juros simples à taxa de 10% ao trimestre,
qual será o valor que Fabio poderá retirar em 05/12?
Solução
S  2000 1  0,10  2   3000 1  0,10 1  R$ 5.700,00
13) Qual o juro simples exato resultante de uma aplicação de R$500,00, à taxa de 18%a.a.,
empreendida no período de 04 de janeiro de 2006 a 25 de março de 2008?
Solução
Existem 80 dias entre as datas. Logo:
J
C  i  n 500  0,18  80

 R$19, 73
365
365
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
Página 10
Capitulo 2 – Resolução de Exercícios
14) O fluxo de caixa da Indústria Zé Bolinha apresenta os pagamentos de R$ 120.000,00 e
R$ 80.000,00, respectivamente, de hoje a 3 e 9 meses. Antevendo dificuldades, o gerente
financeiro, Dr. Araújo, tenta negociar junto à instituição credora essa dívida, na forma de
dois pagamentos iguais vencíveis de hoje a 12 e 15 meses. Supondo que essa renegociação
se faça à taxa de 5% a.t. e data focal no dia de hoje, qual o valor dos novos pagamentos?
Solução
O valor atual dos pagamentos originais deve ser igual ao valor atual dos pagamentos
propostos.
120000
80000
P
P



1  0, 05 1 1  0, 05  3 1  0, 05  4 1  0, 05  5
114285, 71  69565, 22  0,8333P  0,80 P
1, 6333P  183850,93  P 
183850,93
 R$ 112.564, 09
1, 6333
15) Uma pessoa deve R$ 50.000,00 daqui a 2 meses, R$100.000,00 daqui a 3 meses e
R$20.000,00 daqui a 4 meses. Desejando liquidar esses débitos com um único pagamento
daqui a um mês, qual deverá ser o valor do mesmo, considerando uma taxa de juros
simples de 10% ao ano e data focal no dia de hoje?
Solução
A soma dos valores atuais dos pagamentos originais deve ser igual ao valor atual do
pagamento proposto.
50000
1  0,1
2
12

100000
20000
P


3
4
1
1  0,1
1  0,1
1  0,1
12
12
12
49180,33  97560,98  19354,84  0,9231P
0,9231P  166096,15  P 
166096,15
 R$ 179.937,50
0,9231
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
Página 11
Capitulo 2 – Resolução de Exercícios
16) Imagine-se o caso de um título de renda fixa, com valor de emissão E igual a
R$12.000,00, com prazo de vencimento igual a um ano, taxa de rendimento bruta
ib  10%a.a. , e tributo cobrado postecidamente à alíquota de 10% sobre o rendimento;
com o título sendo negociado com deságio de 7%, com a taxa bruta ib incidindo sobre o
valor cheio do título. Pede-se determinar a taxa líquida anual de rentabilidade se:
a) O tributo não levar em conta o deságio.
b) O tributo levar em conta o deságio.
Solução
a) Se o tributo não levar em conta o deságio.
R  E  ib  12000  0,1  1200
T  t  R  0,11200  120
N  E 1  ib   T  12000 1  0,1  120  13080
V  E 1     12000  0,93  11160
il 
N  V 13080  11160

 0,1720 ou 17, 20%a.a.
n V
11160
ou
il 
1  t  ib    1  0,10   0,1  0, 07  0,1720 ou 17, 20%a.a.
1
1  0, 07
b) Se o tributo levar em conta o deságio.
Regra geral, a alíquota t incide sobre o chamado lucro contábil, LC, que é igual à soma das
receitas menos a soma das despesas. No caso em apreço, teremos:
LC  E 1  ib   E 1     E  ib   
Logo, teremos T  t  E   ib  . Consequentemente, o fluxo de caixa que caracteriza a
operação é dado por:
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
Página 12
Capitulo 2 – Resolução de Exercícios
Logo, sendo N  E 1  1  t  ib  t    e V  E (1   ) , teremos:
T  t  LC  t  E   ib     0,1 12000  0,17  204
N  E  1  ib   T  12000 1,1  204  12996
V  1     E  0,93  12000  11160
N  V 12996  11160

 0,1645 ou 16, 45%a.a.
n V
11160
il 
ou
il 
1  t  ib     1  0,1 0,1  0, 07   0,1645 ou 16, 45%a.a.
1
1  0, 07
17) Seja uma instituição financeira que esteja emitindo títulos com prazo de 1 ano e taxas
brutas de rentabilidade de 18% ao ano.
a) Em sendo cobrado imposto de renda no resgate à uma alíquota de 15%, qual será a
taxa anual de rentabilidade líquida para o investidor?
b) Supondo que o investidor demande uma taxa líquida de rentabilidade de 30 % a.a.,
quanto deverá ser concedido de deságio se o deságio for ou não considerado para fins
de imposto de renda?
Solução
a)
N  E 1  ib   T
; V E
R  E  ib  0,18E
T  t  R  0,15  0,18 E  0, 027 E
N  E 1  ib   T  E 1  0,18   0, 027 E  1,153E
il 
N  V 1,153E  E

 0,153  15,3%a.a.
n V
E
ou
il  1  t  ib  0,85  0,18  0,153  15,3% a.a.
b) Deságio não considerado para fins do imposto de renda
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
Página 13
Capitulo 2 – Resolução de Exercícios
N  E 1  ib   T
; V  1     E
R  E  ib  0,18E
T  t  R  0,15  0,18 E  0, 027 E
N  E 1  ib   T  E 1  0,18   0, 027 E  1,153E
il 
N  V 1,153E  1     E  1,153  1   


n V
1     E
1   
0,3 
1,153  1   
0,147
 0,3  0,3  0,153     
 0,1131 ou 11,31%
1,30
1   
Deságio considerado para fins imposto de renda
N  E 1  ib   T
; V  1     E
LC  E 1  ib   1     E  E  ib    E  E  ib   
T  t   E  ib      0,15  E   0,18     E  0, 027  0,15 
N  E 1  ib   T  E 1  0,18   E  0, 027  0,15   E 1,153  0,15 
il 
N  V E 1,153  0,15   1     E  1,153  0,15  1   


n V
1     E
1   
il 
0,153  0,85
0,153  0,85
 0,3 
1   
1   
 0,3  0,3  0,153  0,85   
0,147
 0,1278  12, 78%
1,15
18) Certo indivíduo, que costuma efetuar empréstimos de curto prazo, cobrando juros
simples, possui em sua Carteira de Investimentos as seguintes cinco notas
promissórias:
a) A primeira, com valor de face de R$ 2.000,00, termo de 6 meses a juros simples
de 4% ao mês, sendo datada de 2 meses antes da data de hoje.
b) A segunda, com valor de face de R$ 1.000,00, termo de 8 meses a juros simples
de 60% ao ano, sendo datada de 2 meses antes da data de hoje.
c) A terceira com valor nominal de R$ 1.500,00, vencendo-se de hoje a 3 meses.
d) A quarta com valor nominal de R$ 3.000,00, vencendo-se de hoje a 6 meses.
e) A quinta com valor nominal de R$ 2.000,00, vencendo-se de hoje a 8 meses.
Tendo o indivíduo recebido a proposta de vender as cinco notas promissórias
em questão, por R$ 7.400,00, pagáveis à vista, deve ou não aceitar a proposta se,
na data de hoje, consegue fazer empréstimos cobrando a taxa de juros simples de:
i.
ii.
6% ao mês
10% ao mês
Solução
Calculando o valor nominal das notas promissórias
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
Página 14
Capitulo 2 – Resolução de Exercícios
N a  2000 1  0, 04  6   2480 , quatro meses após a data de hoje (0)
8

N b  1000 1  0, 6    1400 , seis meses após a data de hoje (0)
12 

N c  1500 , três meses após a data de hoje (0)
N d  3000, seis meses após a data de hoje (0)
N e  2000, oito meses após a data de hoje (0)
I.
Taxa de 6% ao mês, data focal hoje
O valor atual da Carteira de notas promissória é:
VP 
2480
1400
1500
3000
2000




 7857,83
1  0, 06  4 1  0, 06  6 1  0, 06  3 1  0, 06  6 1  0, 06  8
Logo como R$ 7.857,83 é maior que o valor oferecido, R$ 7.400,00, deve-se recusar a
oferta.
II.
Taxa de 10% ao mês, data focal hoje
O valor atual da Carteira de notas promissórias é:
VP 
2480
1400
1500
3000
2000




 6786,39
1  0,10  4 1  0,10  6 1  0,10  3 1  0,10  6 1  0,10  8
Logo como R$ 6.786,39 é menor que o valor oferecido, R$ 7.400,00, deve-se aceitar a
oferta.
19) Determinada pessoa, ao comprar um carro novo cujo preço é R$ 20.000,00, teve seu carro
usado aceito como entrada. O saldo do preço de venda será pago em cinco prestações
mensais de R$ 2.600,00, a primeira vencendo um mês após a compra. Sabendo-se que a
taxa de juros simples do financiamento é de 2% a.m., qual foi o valor da avaliação do carro
usado?
Solução
Na data de hoje a equação de valor é:
2600
2600
2600
2600
2600
20000  Vusado 




1  0, 02 1 1  0, 02  2 1  0, 02  3 1  0, 02  4 1  0, 02  5
20000  Vusado  2549, 02  2500  2452,83  2407, 41  2363, 64  12272,90
Vusado  20000  12272,90  R$ 7.727,10
20) Uma aplicação no regime de juros simples durante o prazo de 5 meses, rende juros à taxa
de 22% a.a. e paga imposto de renda igual a 20% dos juros. O imposto é pago no resgate.
Qual o montante líquido de uma aplicação de R$8.000,00?
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
Página 15
Capitulo 2 – Resolução de Exercícios
Solução
5
 733,33
12
T  t  J  0, 2  733,33  146, 67
J  C  i  n  8000  0, 22 
Sl   C  J   T  8000  733,33  146, 67  R$ 8.586, 66
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
Página 16