UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO
DOUTORADO EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
DIFICULDADES E ERROS DE ALUNOS DO 1º ANO DA
EDUCAÇÃO PROFISSIONAL TECNOLÓGICA DE NÍVEL
MÉDIO NA MODALIDADE INTEGRADA EM MATEMÁTICA:
REFLEXÕES E DESAFIOS
Maria Luisa Perdigão Diz Ramos
Orientadora: Profa. Dra. Edda Curi
Tese apresentada ao Doutorado em
Ensino de Ciências e Matemática, da
Universidade Cruzeiro do Sul, como
parte dos requisitos para a obtenção
do título de Doutor em Ensino de
Ciências e Matemática.
SÃO PAULO
2014
AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE
TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA
FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA
BIBLIOTECA CENTRAL DA
UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL
UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO
DIFICULDADES E ERROS DE ALUNOS DO 1º ANO DA
EDUCAÇÃO PROFISSIONAL TECNOLÓGICA DE NÍVEL
MÉDIO NA MODALIDADE INTEGRADA EM MATEMÁTICA:
REFLEXÕES E DESAFIOS
Maria Luisa Perdigão Diz Ramos
Tese de Doutorado defendida e aprovada
pela banca examinadora em 07/11/2014.
BANCA EXAMINADORA:
_________________________________________
Profa. Dra. Edda Curi
Universidade Cruzeiro do Sul
Presidente
_________________________________________
Prof. Dr. Alessandro Jacques Ribeiro
Universidade Federal do ABC
_________________________________________
Prof. Dr. Armando Traldi Júnior
Instituto Federal de São Paulo
_________________________________________
Profa. Dra. Cíntia Aparecida Bento dos Santos
Universidade Cruzeiro do Sul
_________________________________________
Profa. Dra. Norma Suely Gomes Allevato
Universidade Cruzeiro do Sul
Dedico este trabalho a todos os professores que acreditam na possibilidade de
reconstruir o conhecimento do aluno por meio de uma visão pedagógica do erro.
AGRADECIMENTOS
Ao meu bom DEUS, luz presente em meus momentos de incerteza.
Ao meu pai Serafin (saudades) e à minha mãe Grassy, que nos
ensinaram a buscar aquilo em que acreditamos e desejamos.
Ao meu marido Írio, minha luz e meu companheiro, que me auxiliou nas
correções de redação e na construção de ideias deste trabalho. Aos meus filhos,
Tadeu e Rubens, o carinho e a paciência com que souberam entender a minha
ansiedade e, principalmente, a minha ausência.
Aos meus entes queridos, que estiveram sempre ao meu lado,
fortalecendo-me nas horas mais difíceis e compreendendo a minha ausência em
muitos momentos desses últimos anos.
À minha orientadora, professora Dra. Edda Curi, os conhecimentos
recebidos, a paciência e a disponibilidade dispensadas a mim.
Aos professores do curso, todo conhecimento repassado que contribuiu
não somente para a elaboração deste trabalho, mas também para o crescimento de
minha vida pessoal e profissional.
Aos professores que fizeram parte da banca, muito obrigada pelas
preciosas contribuições.
Aos meus queridos alunos, sem os quais a pesquisa da forma como foi
conduzida não se realizaria: muito obrigada.
Aos meus onze colegas de CEFET-MG e companheiros de jornada de
doutorado, a amizade, a força e os ensinamentos, que Deus lhes abençoe.
A todos os professores, colegas e amigos, as palavras animadoras e a
ajuda dada nas horas de dúvidas; em especial ao meu colega e amigo Maurílio, por
todo apoio oferecido dentro do CEFET-MG.
À minha Instituição, o apoio financeiro.
“Se você não entende, não vê
Se não me vê, não entende...”
“Primeiros Erros” – Francisco José Zambianchi (Kiko Zambianchi).
RAMOS, M. L. P. D. Dificuldades e erros de alunos do 1º ano da educação
profissional tecnológica de nível médio na modalidade integrada em
matemática: reflexões e desafios. 2014. 256 f. Tese (Doutorado em Ensino de
Ciências e Matemática). Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2014.
RESUMO
O presente estudo consiste de uma pesquisa qualitativa que tem como objetivo
identificar, analisar e classificar os tipos de erros matemáticos cometidos por alunos
do 1º ano da educação profissional tecnológica de nível médio do curso Técnico em
Eletrotécnica do CEFET-MG, em conteúdos propostos na 1ª avaliação institucional.
Além disso, tem como finalidade categorizar os erros identificados usando o Modelo
de Análise Didática dos Erros – MADE. O método usado neste trabalho foi a análise
de conteúdo dos dados obtidos por meio de um teste investigativo. Foi aplicado um
questionário que teve como objetivo traçar o perfil dos alunos e levantar as
dificuldades que eles relataram ter nos conteúdos oriundos do Ensino Fundamental
e nos conteúdos propostos na 1ª avaliação institucional do Ensino Médio.
Consideramos o erro como uma forma de os alunos revelarem suas dificuldades em
um determinado conteúdo. A partir dessa consideração, realizamos a análise de
erros de um teste investigativo com o objetivo de identificar os erros cometidos pelos
alunos e, assim, responder nossa pergunta central: “O que revelam os erros
matemáticos apresentados por alunos do 1º ano da educação profissional
tecnológica de nível médio na modalidade integrada do curso Técnico em
Eletrotécnica ao resolverem atividades que envolvem conteúdos propostos na 1ª
avaliação institucional?” Como resultado, foi possível perceber que os alunos
apresentaram
erros
matemáticos
em
conteúdos
provenientes
do
Ensino
Fundamental e também nos conteúdos referentes ao 1º ano do Ensino Médio, como,
por exemplo, erros relativos ao conceito de função, além de dificuldades na
elaboração de expressões a partir de situações-problema. Vimos, também, que nem
sempre o aluno consegue identificar o seu erro e nem mesmo perceber que errou.
Por isso, é importante o professor identificar, analisar e tratar didaticamente o erro
do aluno, pois, somente assim, será possível reconstruir o conhecimento e suprimir a
recorrência do erro.
Palavras-Chave: Dificuldade. Erro. Análise de erros. Funções. Ensino Médio.
RAMOS, M. L. P. D. Difficulties and errors in Mathematics committed by first
year students enrolled in the professional and technological integrated
secondary education: reflections and challenges. 2014. 256 f. Tese (Doutorado
em Ensino de Ciências e Matemática). Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo,
2014.
ABSTRACT
The present study is a qualitative research that aims to identify, analyze and classify
the types of mathematical errors committed by students from the first year of the
professional and technological secondary education. We specifically analyzed the
errors committed by students enrolled in the Electrotechnical program from CEFETMG in the contents proposed in the first institutional exam. Besides, we intended to
categorize the errors identified using a Model of Didactic Analysis of Errors – MADE.
The method used in this study was the content analysis of the data obtained by an
investigative test. A questionnaire was applied in order to define the students' profile
and enumerate the difficulties reported by them both in the content corresponding to
Elementary School and in the content proposed in their first institutional exam in High
School. We consider the error as a way for students to reveal their difficulties in a
particular content. Based on this assumption, we examined the errors of an
investigative test in order to identify the errors committed by students and thus
answer our central question: “What can be revealed by the mathematical errors
committed by first year students enrolled in the Electrotechnical program of the
professional and technological integrated secondary education when solving
activities relating to contents proposed in their first institutional exam?” As a result, it
was revealed that students committed mathematical errors in contents corresponding
to Elementary Education and also in the content concerning the first year of High
School, such as errors involving the concept of function, besides difficulties in the
preparation of expressions from problem-situations. We also observed that students
cannot always identify their error nor even realize they committed an error. Therefore,
it is important that teachers identify, analyze and didactically handle students’ errors.
That is the only way to be able to reconstruct the knowledge and suppress the
recurrence of errors.
Keywords: Difficulty. Error. Error Analysis. Features. High School.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Modelo de Análise Didática dos Erros – MADE ......................................62
Figura 2 – Resposta Padrão da Questão 1 Apresentada por A7.............................105
Figura 3 – Resposta Padrão da Questão 2 Apresentada por A31...........................106
Figura 4 – Resposta Padrão da Questão 4 Apresentada por A7.............................108
Figura 5 – Resposta Padrão da Questão 5 Apresentada por A18...........................109
Figura 6 – Resposta Padrão da Questão 6 Apresentada por A18...........................110
Figura 7 – Resposta Padrão da Questão 7 Apresentada por A15...........................111
Figura 8 – Resposta Padrão da Questão 9 Apresentada por A17...........................113
Figura 9 – Resposta Padrão da Questão 10 Apresentada por A31.........................115
Figura 10 – Resposta Padrão da Questão 12 Apresentada por A18.......................117
Figura 11 – Resposta Padrão da Questão 13 Apresentada por A4.........................118
Figura 12 – Resposta Padrão da Questão 14 Apresentada por A18.......................119
Figura 13 – Resposta Padrão da Questão 15 Apresentada por A16.......................119
Figura 14 – Resposta Padrão da Questão 16 Apresentada por A3.........................120
Figura 15 – Resposta Padrão da Questão 17 Apresentada por A20.......................121
Figura 16 – Resposta Padrão da Questão 18 Apresentada por A3.........................122
Figura 17 – Resposta Padrão da Questão 19 Apresentada por A2.........................123
Figura 18 – Resposta Padrão da Questão 20 Apresentada por A17.......................124
Figura 19 – Resposta Padrão da Questão 20 Apresentada por A2.........................125
Figura 20 – Resposta Apresentada por A6..............................................................128
Figura 21 – Resposta Apresentada por A17............................................................129
Figura 22 – Resposta Apresentada por A25............................................................130
Figura 23 – Resposta Apresentada por A19............................................................131
Figura 24 – Resposta Apresentada por A6..............................................................132
Figura 25 – Resposta Apresentada por A14............................................................133
Figura 26 – Resposta Apresentada por A18............................................................134
Figura 27 – Resposta Apresentada por A18............................................................135
Figura 28 – Resposta Apresentada por A2..............................................................136
Figura 29 – Resposta Apresentada por A5..............................................................137
Figura 30 – Resposta Apresentada por A1..............................................................139
Figura 31 – Resposta Apresentada por A13............................................................140
Figura 32 – Resposta Apresentada por A18............................................................141
Figura 33 – Resposta Apresentada por A32............................................................142
Figura 34 – Resposta Apresentada por A37............................................................143
Figura 35 – Resposta Apresentada por A31............................................................144
Figura 36 – Resposta Apresentada por A9..............................................................146
Figura 37 – Resposta Apresentada por A11............................................................147
Figura 38 – Resposta Apresentada por A4..............................................................148
Figura 39 – Resposta Apresentada por A16............................................................149
Figura 40 – Resposta Apresentada por A5..............................................................150
Figura 41 – Resposta Apresentada por A33............................................................151
Figura 42 – Resposta Apresentada por A15............................................................152
Figura 43 – Resposta Apresentada por A17............................................................153
Figura 44 – Resposta Apresentada por A19............................................................154
Figura 45 – Resposta Apresentada por A5..............................................................154
Figura 46 – Resposta Apresentada por A5..............................................................155
Figura 47 – Resposta Apresentada por A18............................................................156
Figura 48 – Resposta Apresentada por A35............................................................157
Figura 49 – Resposta Apresentada por A31............................................................157
Figura 50 – Resposta Apresentada por A24............................................................158
Figura 51 – Resposta Apresentada por A28............................................................159
Figura 52 – Resposta Apresentada por A3..............................................................159
Figura 53 – Resposta Apresentada por A24............................................................160
Figura 54 – Resposta Apresentada por A25............................................................161
Figura 55 – Resposta Apresentada por A23............................................................162
Figura 56 – Resposta Apresentada por A6..............................................................163
Figura 57 – Resposta Apresentada por A15............................................................164
Figura 58 – Resposta Apresentada por A19............................................................165
Figura 59 – Resposta Apresentada por A26............................................................166
Figura 60 – Resposta Apresentada por A4..............................................................167
Figura 61 – Resposta Apresentada por A36............................................................168
Figura 62 – Resposta Apresentada por A4..............................................................168
Figura 63 – Resposta Apresentada por A15............................................................169
Figura 64 – Resposta Apresentada por A30............................................................170
Figura 65 – Resposta Apresentada por A21............................................................171
Figura 66 – Resposta Apresentada por A24............................................................171
Figura 67 – Resposta Apresentada por A10............................................................172
Figura 68 – Resposta Apresentada por A12............................................................173
Figura 69 – Resposta Apresentada por A6..............................................................174
Figura 70 – Resposta Apresentada por A31............................................................174
Figura 71 – Resposta Apresentada por A24............................................................175
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 – Contraposição entre Pedagogia do êxito e Pedagogia do erro...............58
Quadro 2 – Relação entre Instrumento I e Instrumento II.........................................80
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Classificação das Respostas Apresentadas no Instrumento II................87
Tabela 2 – Tipos de Erros Identificados no Teste Investigativo.................................88
Tabela 3 – Conteúdos e Nº de Alunos que Apontaram Grau de Dificuldade
entre Médio e Alto..................................................................................101
Tabela 4 – Erros Ligados a Conteúdos Abordados no Ensino Fundamental..........127
Tabela 5 – Erros Ligados a Conteúdos de Conjuntos Numéricos e Intervalos
Reais Abordados no Ensino Médio........................................................138
Tabela 6 – Erros Ligados a Conteúdos de Equações, Inequações e Funções
Abordados no Ensino Médio..................................................................145
Tabela 7 – Erros Provenientes de Dificuldades Diversas........................................173
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 – AS ESCOLHAS ................................................................................ 17
1.1 – Escolhas Profissionais...................................................................................... 17
1.2 – Pequeno Histórico do “Locus” Escolhido para a Realização da Pesquisa ....... 19
1.3 – Relevâncias do Tema ....................................................................................... 20
1.3.1 – Lacunas Observadas..................................................................................... 22
1.3.2 – Revisão da Literatura sobre Análise de Erros ............................................... 23
1.3.2.1 – Revisão na Literatura Internacional ............................................................ 26
1.3.2.2 – Revisão na Literatura Nacional................................................................... 30
1.3.3 – Sondagem Preliminar Realizada na Escola Investigada ............................... 36
1.4 – Delimitação do Problema de Pesquisa ............................................................. 39
1.5 – Participantes da Pesquisa ................................................................................ 41
1.6 – Considerações Baseadas nas Pesquisas que Envolvem Análise de Erros ...... 41
1.7 – Organização do Trabalho ................................................................................. 44
CAPÍTULO 2 – FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA QUE SUSTENTA A INVESTIGAÇÃO
.................................................................................................................................. 46
2.1 – Dificuldade e Erro: seus significados ................................................................ 46
2.2 – Teorias e Acepções do Erro no Processo de Aprendizagem ........................... 49
2.3 – O Erro sob Olhares Opostos ............................................................................ 55
2.4 – Análise de Erros na Produção Escrita .............................................................. 60
2.5 – Formas de Analisar os Erros ............................................................................ 61
2.6 – As Três Fases do Tratamento Didático do Erro ............................................... 69
2.7 – Considerações Sobre o Erro ............................................................................ 72
CAPÍTULO 3 – METODOLOGIA DA PESQUISA ...................................................... 75
3.1 – A Pesquisa Científica de Cunho Qualitativo ..................................................... 75
3.2 – Instrumentos de Coleta de Dados .................................................................... 77
3.3 – Critérios para Análise de Dados ....................................................................... 82
3.3.1 – A Análise de Conteúdo .................................................................................. 82
3.3.2 – A Análise de Erros ......................................................................................... 84
3.3.3 – Procedimentos Metodológicos....................................................................... 86
3.4 – Descrição das Etapas de Investigação............................................................. 91
CAPÍTULO 4 – ANALISANDO E REFLETINDO SOBRE OS DADOS ...................... 94
4.1 – Analisando os Dados do Instrumento I ............................................................. 94
4.1.1 – Perfil dos Alunos Participantes ...................................................................... 94
4.1.2 – Grau de Dificuldade nos Conteúdos do Ensino Fundamental ....................... 97
4.1.3 – Grau de Contribuição dos Conteúdos do Ensino Fundamental no Ensino
Médio.............................................................................................................98
4.1.4 – Grau de Dificuldade nos Conteúdos do Ensino Médio .................................. 99
4.1.5 – Analisando e Refletindo sobre as Dificuldades Declaradas pelos Alunos ... 101
4.2 – Analisando os Dados do Instrumento II .......................................................... 103
4.2.1 – Apresentando as Questões ......................................................................... 104
4.2.1.1 – Questão 1:Situação-Problema com Conjuntos Numéricos ....................... 104
4.2.1.2 – Questão 2: Conjuntos Numéricos e Intervalos Reais ............................... 106
4.2.1.3 – Questão 3: Análise do Gráfico de uma Função ........................................ 107
4.2.1.4 – Questão 4: Gráfico de Função Definida por mais de uma Sentença ........ 108
4.2.1.5 – Questão 5: Função Composta .................................................................. 109
4.2.1.6 – Questão 6: Inequação-Quociente ............................................................. 110
4.2.1.7 – Questão 7: Situação-Problema com Função Polinomial do 2º Grau ........ 111
4.2.1.8 – Questão 8: Análise do Gráfico de Função Polinomial do 2º Grau ............ 111
4.2.1.9 – Questão 9: Inequação-Produto................................................................. 113
4.2.1.10 – Questão 10: Situação-Problema com Função Polinomial do 2º Grau .... 114
4.2.1.11 – Questão 11: Equação Modular ............................................................... 116
4.2.1.12 – Questão 12: Situação-Problema com Inequação Modular ..................... 116
4.2.1.13 – Questão 13: Gráfico de Função Modular ................................................ 117
4.2.1.14 – Questão 14: Potenciação ....................................................................... 118
4.2.1.15 – Questão 15: Situação-Problema com Função Exponencial ................... 119
4.2.1.16 – Questão 16: Equação Exponencial ........................................................ 120
4.2.1.17 – Questão 17: Inequação Exponencial ...................................................... 121
4.2.1.18 – Questão 18: Inequação Logarítmica ....................................................... 122
4.2.1.19 – Questão 19: Gráficos de Função Logarítmica e Função Exponencial .... 123
4.2.1.20 – Questão 20: Situação-Problema com Equação Logarítmica .................. 124
4.2.2 – Erros na Resolução de Atividades Matemáticas ......................................... 126
4.2.2.1 – Categoria 1 – Erros Ligados a Conteúdos Abordados no Ensino
Fundamental..............................................................................................126
4.2.2.2 – Categoria 2 – Erros Ligados a Conteúdos de Conjuntos Numéricos e
Intervalos Reais Abordados no Ensino Médio...........................................138
4.2.2.3 – Categoria 3 – Erros Ligados a Conteúdos de Equações, Inequações e
Funções Abordados no Ensino Médio......................................................144
4.2.2.4 – Categoria 4 – Erros Provenientes de Dificuldades Diversas .................... 172
4.3 – Categorizando os Erros a partir do MADE ..................................................... 177
4.3.1 – Momento de Entrada ................................................................................... 177
4.3.1.1 – Categoria de Erro de Compreensão Conceitual ....................................... 178
4.3.1.2 – Categoria de Erro de Compreensão Léxica ............................................. 179
4.3.2 – Momento de Organização ........................................................................... 180
4.3.2.1 – Categoria de Erro de Análise/Síntese ...................................................... 180
4.3.3 – Momento de Execução ................................................................................ 181
4.3.3.1 – Categoria de Erro Mecânico ..................................................................... 181
4.3.3.2 – Categoria de Erro Operacional ................................................................. 182
4.3.3.3 – Categoria de Erro Estratégico .................................................................. 183
4.4 – Relacionando os Resultados com a Literatura ............................................... 184
CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................... 195
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 202
APÊNDICES ............................................................................................................ 209
APÊNDICE A ........................................................................................................... 210
APÊNDICE B ........................................................................................................... 212
APÊNDICE C .......................................................................................................... 215
APÊNDICE D .......................................................................................................... 220
ANEXOS ................................................................................................................. 242
ANEXO A ................................................................................................................ 243
ANEXO B ................................................................................................................ 245
ANEXO C ................................................................................................................ 250
17
CAPÍTULO 1 – AS ESCOLHAS
Neste capítulo, descrevemos as escolhas que foram importantes para a
definição do tema abordado neste trabalho. Iniciamos com a trajetória pessoal e
profissional da pesquisadora. Logo após, traçamos um pequeno histórico do local
onde a pesquisa foi realizada. Por meio de uma sondagem com alunos reprovados
na disciplina de Matemática, da leitura realizada em um artigo de mapeamento na
mesma área e da revisão na literatura sobre análise de erros, expomos as
justificativas referentes à escolha do tema. Em seguida, apresentamos a delimitação
do problema, as considerações baseadas nas pesquisas que envolvem análise de
erros e, por último, delineamos a organização da tese.
1.1 – Escolhas Profissionais
Minha1 vida profissional teve início quando frequentava o último ano do
curso Técnico em Contabilidade na escola pública Instituto Municipal de
Administração e Contabilidade – IMACO, localizada no município de Belo Horizonte.
Atuava no setor de contabilidade em uma agência de turismo, permanecendo lá até
minha aprovação nos cursos de Engenharia Elétrica – PUC Minas e Matemática –
UFMG no início do ano de 1982. Como não foi possível frequentar os dois cursos
simultaneamente e ainda continuar trabalhando, optei pelo curso de Engenharia
Elétrica. Devido à incompatibilidade de horários de trabalho e escola fui obrigada a
me recolocar no mercado de trabalho, quando passei a trabalhar no Banco Real em
regime de horário bancário (seis horas por dia).
No 6º período do curso, paralelamente ao meu emprego, fiz seis meses
de estágio obrigatório na empresa de siderurgia Belgo Mineira. No último ano do
curso, iniciei estágio, em tempo integral, na empresa Paulo Abib Engenharia,
deixando de atuar nesse momento como técnico em contabilidade. Ao término do
curso de engenharia, fui contratada como engenheira eletricista nesta empresa na
1
Será usado neste item o discurso na primeira pessoa do singular, por considerá-lo mais adequado
ao texto narrativo da trajetória profissional da pesquisadora.
18
área de Automação Industrial, permanecendo lá por nove anos. Nesse período, atuei
no desenvolvimento e implantação de projetos de diversas empresas, entre elas:
AÇOMINAS – Ouro Branco, USIMINAS – Ipatinga, Companhia Vale do Rio Doce –
Vitória, Mineração Morro Velho – Nova Lima.
O trabalho exercido na empresa exigia a minha atuação in loco quando da
implantação dos projetos desenvolvidos, obrigando-me a afastar de minha família
por longos períodos; esse fato trazia então grandes transtornos, pois já era mãe de
duas crianças. Devido a isso, resolvi mudar de profissão. Enquanto atuava como
engenheira autônoma na empresa ATAN Engenharia, fiz o curso de graduação de
Formação de Professores, oferecido pelo Centro Federal de Educação Tecnológica
de Minas Gerais – CEFET-MG, no qual pude me licenciar em disciplinas ligadas ao
meu curso de engenharia elétrica. Ao término do curso, fui aprovada no concurso
público para professora de 1º e 2º graus2 nesta instituição de ensino, lecionando
disciplinas do curso Técnico em Informática Industrial.
Como docente, lecionei em cursos técnicos, graduação e em cursos de
especialização. De 1997 até 2005, lecionei no curso Técnico em Informática
Industrial, no curso de graduação de Tecnólogo de Qualidade e em cursos de
especialização na área de informática. Desde 2006 venho lecionando no curso
Técnico em Eletrotécnica.
Ao ingressar na educação, logo após o curso de Formação de
Professores, fiz o curso de especialização em Gestão Educacional no CEFET-MG.
Em seguida, tornei-me mestre na área de Manutenção Integrada por Computador –
CIM na mesma instituição. Até então, minha formação e minha experiência
profissional conduziam os meus estudos para a área ligada à minha formação inicial,
Engenharia Elétrica.
A partir do momento em que comecei a lecionar no curso Técnico em
Eletrotécnica, o meu contato passou a ser com alunos do 1º ano do nível médio, pois
até o momento lecionava no curso Técnico em Informática Industrial para alunos do
2º e 3º anos do nível médio. Com esse contato pude perceber as dificuldades que
2
A denominação atual é “Professor do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico”.
19
esses alunos apresentam na disciplina de Matemática. Essa situação de incômodo
foi o motivo pelo qual ingressei no doutorado com o propósito de desenvolver esta
pesquisa com os alunos do curso Técnico em Eletrotécnica dessa instituição.
1.2 – Pequeno Histórico do “Locus” Escolhido para a Realização da Pesquisa
O CEFET-MG teve a sua 1ª sede, em 1910, localizada à Avenida Afonso
Pena, 1533, antigo prédio do Club Floriano Peixoto, esquina com Guajajaras, em
área nobre da cidade. A Escola iniciou suas atividades com 20 alunos inscritos. Os
cursos inicialmente oferecidos foram o primário e o de desenho e as oficinas de
trabalhos manuais: carpintaria, marcenaria, ourivesaria, sapataria e ferraria (CEFETMG, 2013).
Hoje o CEFET-MG, com mais de 100 anos de história, possui 11
unidades no estado de Minas Gerais e oferta vagas em três modalidades do 2º grau:
Integrada:
É
assim
denominada
porque
os
alunos
cursam
simultaneamente o Ensino Técnico e o Ensino Médio dentro da mesma instituição, e
para isso o aluno já tem que ter concluído o Ensino Fundamental, implicando uma
única matrícula. Nessa modalidade está incluída a Educação de Jovens e Adultos
(EJA) destinada a alunos com idade mínima de 18 anos completos, que concluíram
o Ensino Fundamental e pretendem fazer o Curso Técnico de forma integrada ao
Ensino Médio no CEFET-MG.
Concomitância Externa: É oferecida aos alunos que concluíram o 1º ano
do Ensino Médio e estão regularmente matriculados no 2º ou 3º anos do Ensino
Médio em outra instituição, ou seja, em uma instituição externa ao CEFET-MG,
cursando somente as disciplinas do curso técnico nessa instituição.
Subsequente: É oferecida aos alunos que já concluíram o Ensino Médio.
Esses alunos cursam somente as disciplinas técnicas no CEFET-MG.
Os cursos na modalidade Concomitância Externa e Subsequente têm,
portanto, uma duração menor do que os cursos na modalidade Integrada. A duração
dos cursos na modalidade Integrada é de três anos em sala de aula (exceto EJA,
que é de quatro anos), enquanto para as outras modalidades a duração é de dois
20
anos. Em qualquer uma das modalidades, além do período em sala de aula, o aluno
tem de cumprir também seis meses e 480 horas de Estágio Curricular Obrigatório –
ECO para receber o diploma de técnico.
Na modalidade Integrada nos campi de Belo Horizonte (Campus I e
Campus II) são oferecidas vagas em 15 cursos, sendo que para os cursos noturnos
de Edificações e Mecânica as vagas ofertadas são para a Educação de Jovens e
Adultos (EJA). As vagas oferecidas aos candidatos na modalidade Integrada no
turno diurno são para os seguintes cursos: Edificações, Eletrônica, Eletrotécnica,
Equipamentos
Biomédicos,
Estradas,
Hospedagem,
Informática,
Mecânica,
Mecatrônica, Meio Ambiente, Química, Redes de Computadores e Transportes e
Trânsito.
O curso Técnico em Eletrotécnica, no qual esta pesquisa foi focada, já
existe no CEFET-MG, na unidade de Belo Horizonte, desde 1959. Na modalidade
Integrada passou a ser ofertado em 2006, apresentando uma taxa média de oito
candidatos/vaga no processo seletivo anual. A cada ano ingressam, em média, 72
alunos que compõem duas turmas de 36 cada uma.
1.3 – Relevâncias do Tema
Para desenvolvermos esta tese, guiamo-nos pelas seguintes palavras
“Uma pesquisa educativa deve atender não apenas ao crescimento do ‘corpus
científico’, à contribuição de novos conhecimentos, mas à inovação e à melhoria dos
processos de ensinar e aprender. Ela persegue a mudança” (DE LA TORRE, 2007,
p. 153). E com o objetivo de inovar e melhorar os processos de ensino e
aprendizagem de Matemática é que realizamos a investigação aqui relatada. Para
isso nos foi conferida a oportunidade de fazermos leituras em diversas fontes para
podermos atingir o contexto apresentado neste trabalho.
Em toda trajetória escolar percorrida pela pesquisadora até o início deste
trabalho, foi possível perceber que o acerto nem sempre significa compreensão de
determinado conteúdo e que, a partir dos erros, podemos obter mais informações
com relação às dificuldades apresentadas. Isso não quer dizer que o professor tenha
o objetivo de conduzir o aluno ao erro, mas que o erro pode sim ser detectado,
21
identificado e retificado, configurando-se então como uma estratégia didática para o
processo de aprendizagem.
No Ensino de Matemática centrado na aprendizagem do aluno, ou seja,
num ensino que procura entender como o aluno compreende o conteúdo, o erro é
percebido como uma ferramenta. Assim, o aluno não é visto como um ser passivo
na aprendizagem, pois nesse contexto ele tem atitudes de um ser ativo, criativo e
capaz de contribuir com a construção do seu saber.
Porém, nem todos os professores enxergam o erro como um mecanismo
importante para aquisição do conhecimento. Muitos consideram o erro “como o
elemento responsável pelas limitações dos alunos, demonstrando sua incapacidade
de aprender.” (LIMA, 2010, p. 44). Assim, o erro pode ser visto na aprendizagem a
partir de diferentes concepções de ensino e aprendizagem. Três dessas concepções
são descritas e denominadas por Lima (2011) como transmissiva, behaviorista,
construtivista.
Na concepção transmissiva, o conhecimento é tratado como uma
aquisição do mundo exterior e nela o erro é visto da seguinte forma: ou o professor
não ensinou direito ou o aluno não compreendeu o que ele disse. Nesse caso, o
professor deve explicar tudo novamente e propor muitos exercícios para garantir a
aprendizagem.
A concepção behaviorista recompensa o sucesso e sanciona o fracasso.
O trabalho do professor se faz antes da interação com o aluno. Ele deve decompor o
saber em unidades e apresentá-lo ao aluno. Por sua vez, o aluno não deve tomar
iniciativas, e sim seguir as instruções do professor. Nessa concepção, o erro
acontece pelo fato de o aluno não ter estudado ou não ter compreendido o
professor. Sendo assim, o aluno deverá fazer exercícios individuais, trabalhos
suplementares, entre outras atividades extras.
A concepção construtivista se apoia na construção do conhecimento feita
pelo aluno, pois ele já possui na sua estrutura cognitiva esquemas que são
necessários à sua aprendizagem. A partir dessa concepção, acredita-se que, ao
cometer um erro, o conhecimento do aluno não deve ser simplesmente ignorado, e
sim usado como referencial de partida no processo de construção do saber discente.
22
Logo, é importante que o professor compreenda os erros, pois eles
revelam o pensamento do aluno sobre o que foi supostamente aprendido. Dessa
forma, torna-se possível ao professor redesenhar “o processo de aprendizagem,
proporcionando ao aluno os meios necessários para que possa tomar consciência
de
suas
incorreções,
identificar
suas
origens
e
transpô-las”
(OLIVEIRA;
FERNANDES, 2010, p. 551). Acreditamos, então, que seja fundamental formar
professores que tenham atitudes construtivas e criativas diante dos erros cometidos
por seus alunos.
A partir desses dizeres, apresentaremos abaixo as justificativas que
avigoram a escolha do tema desta tese. Ao final da exposição, além de situarmos
nossa pesquisa no cenário apresentado, pontuaremos as considerações que
utilizamos para responder nossas questões de pesquisa e apresentar as
considerações finais.
1.3.1 – Lacunas Observadas
A ideia do tema desta tese surgiu após a leitura de um artigo de
mapeamento apresentado por Cury (2012). Do total de 1349 produções, a autora
apresenta a análise de 59 trabalhos entre 58 dissertações e uma tese da área de
Ensino de Ciências e Matemática, nos quais foram identificados os objetivos que
respondem à questão: “o que querem os investigadores que pesquisam erros,
dificuldades, obstáculos ou desempenho nas produções escritas em Educação
Matemática?” (p. 237).
Cury (2012) descreve duas formas de categorização dos objetivos. Na
primeira forma, ela apresenta categorias criadas por meio dos verbos principais dos
objetivos relatados em cada pesquisa. Na segunda forma de categorização, ela
distribui esses mesmos objetivos em três categorias diferentes, sendo a primeira
denominada como categoria A, na qual são agrupados todos os trabalhos cujos
pesquisadores procuram investigar erros, dificuldades, obstáculos dos alunos
escolhidos como amostra, por meio de testes, questionários, entrevistas, etc. Na
categoria B, são agrupados os trabalhos cujos pesquisadores desenvolvem um
produto e o testa em um grupo de alunos escolhidos como amostra. E, finalmente,
na categoria C, são agrupados os trabalhos de pesquisadores que se propõem a
23
fazer um estudo sobre a forma como os erros, dificuldades e obstáculos são
considerados por professores e alunos, por meio de entrevistas e questionários.
Após leitura do artigo de Cury (2012), percebemos a relevância desta
pesquisa quando observamos que foram localizadas no mapeamento somente 58
dissertações e uma tese de doutorado na área da Educação Matemática focadas
nos termos que compõem a questão por ela investigada. Com esse registro,
consideramos poucos os pesquisadores interessados nessa área. Isso talvez se
deva pela dificuldade de investigar a própria prática ou mesmo pela não permissão
de investigação da prática utilizada por outro professor.
Além disso, analisando os objetivos dos trabalhos mapeados pela autora,
segundo os verbos empregados, notamos que foram contabilizados somente 12%
desses trabalhos na categoria do verbo “identificar”. Assim, percebemos que são
poucos os trabalhos cujos pesquisadores da Educação Matemática procuram
“identificar” nas produções escritas os erros cometidos por alunos.
Realizamos,
também,
mapeamento
em
periódicos
nacionais
e
internacionais e no banco de dissertações e teses da CAPES. Deste modo, na
próxima seção, descreveremos alguns estudos identificados por meio desse
mapeamento. Segundo Allevato (2008), é importante conhecer o cenário no qual sua
pesquisa se enquadra, pois, dessa forma, é possível criar “[...] referências teóricas e
metodológicas importantes à orientação da investigação” (p. 181).
1.3.2 – Revisão da Literatura sobre Análise de Erros
Para realizar o mapeamento em periódicos nacionais, escolhemos a
revista on-line “Educação Matemática Pesquisa” do Programa de Estudos PósGraduados em Educação Matemática da PUC-SP, por ter sido a revista na qual foi
publicado o artigo de Cury (2012). Esse mapeamento teve como finalidade
selecionar artigos que continham no título, nas palavras-chave ou no resumo, os
termos “erro”, “dificuldade” e “obstáculo”, com o objetivo de responder à questão: o
que querem os investigadores que pesquisam dificuldades, erros e obstáculos nos
periódicos em Educação Matemática e quais os referenciais teóricos mais citados
por eles? No mapeamento realizado nos periódicos de 2004 a 2012 foram
24
selecionados 21 artigos e o resultado desse mapeamento encontra-se, de forma
detalhada, em Ramos e Curi (2013b).
Também, realizamos o mapeamento no banco de dissertações e teses da
CAPES, selecionando trabalhos defendidos no período de 2002 a 2011, nos níveis
profissionalizante, mestrado e doutorado. A busca foi feita usando a expressão
“análise de erro em matemática” no item de pesquisa “ASSUNTO”. Entre os 209
trabalhos encontrados a partir dessa expressão, 30 deles foram selecionados para
análise. Selecionamos, pelo título da pesquisa, os trabalhos que tinham como foco o
Ensino de Matemática. Duas teses de doutorado, 22 dissertações de mestrado
acadêmico e seis dissertações de mestrado profissionalizante compõem os 30
trabalhos selecionados.
A nossa intenção com o mapeamento realizado no banco da CAPES foi a
de ampliar as referências bibliográficas já encontradas no mapeamento realizado
nos periódicos nacionais, além daquele apresentado por Cury (2012), o qual foi
referenciado na seção anterior. Categorizamos os objetivos desses 30 trabalhos a
partir dos verbos, com a finalidade de darmos sequência aos mapeamentos
descritos anteriormente e obtivemos como resultado dez verbos (propor, refletir,
investigar, identificar, explorar, estabelecer, descrever, classificar, compreender e
analisar).
Ponderando sobre o significado dos verbos dentro de cada objetivo,
percebemos que alguns deles têm o mesmo significado. Dessa forma, consideramos
que os tipos de pesquisa que têm como objetivos investigar e analisar estão
praticando a mesma ação, isto é, realizam uma observação minuciosa. Sendo
assim, 63% desses trabalhos tinham como objetivo investigar/analisar os erros em
matemática, seguidos dos 20% que propõem compreender, identificar e refletir sobre
esses erros. Por último, aparecem os 17% que tinham interesses em classificar,
descrever, estabelecer, explorar e propor tal ação. Dessa forma, percebemos, mais
uma vez, que poucos são os trabalhos que procuram identificar os erros cometidos
por alunos.
Além da busca de trabalhos em periódicos, dissertações e teses
nacionais, realizamos mapeamento em periódicos internacionais. Para isso,
25
selecionamos as revistas de estrato A1, A2 e B1 na área de ensino, mencionadas no
portal de periódicos da CAPES, cujo nome continha as palavras “matemática” e/ou
“ciências”. Com um total de 1535 artigos, nove revistas foram selecionadas: 1.
Educational Studies in Mathematics; 2. Enseñanza de las Ciencias; 3. For the
Learning of Mathematics; 4. International Journal of Mathematical Education in
Science and Technology; 5. Journal of Mathematics Teacher Education; 6. Revista
Electrónica de Investigación en Educación en Ciencias; 7. International Electronic
Journal of Mathematics Education; 8. Mediterranean Journal for Research in
Mathematics Education; e 9. Unión – Revista Iberoamericana de Educación
Matemática.
No cômputo geral desses trabalhos, buscamos os que exibiam nos títulos
e nas palavras-chave os termos “erro” e “dificuldade”. Assim, fizemos a leitura de 26
artigos para realização de uma seleção final. Desses 26 artigos, quatro
mencionavam pesquisas realizadas com análise de erros por meio de categorização,
sendo eles selecionados para a nossa pesquisa. É importante destacar que dois
desses quatro artigos se referem à divulgação de trabalhos realizados no Brasil. Os
outros 22 artigos não foram selecionados, pois discutiam dificuldades e erros de
alunos sob o ponto de vista dos professores, relação professor-aluno e registros de
representação semiótica para a aprendizagem matemática.
A partir das buscas aqui mencionadas, foram feitas leituras nos 25 artigos
selecionados entre as revistas nacionais (21 artigos) e internacionais (quatro
artigos), nos 30 resumos dos trabalhos selecionados no banco da CAPES e em
alguns resumos dos trabalhos mencionados no mapeamento apresentado por Cury
(2012). Em cada trabalho acessado, verificamos os teóricos e as referências
utilizadas com a finalidade de encontrar pesquisas relacionadas com a Análise de
Erros em Matemática.
Assim, faremos nesta seção a exposição dos trabalhos voltados para
essa temática. Iniciaremos a apresentação com a descrição dos trabalhos
encontrados na literatura internacional, seguidos dos trabalhos referentes à literatura
nacional.
26
1.3.2.1 – Revisão na Literatura Internacional
Das seis pesquisas que serão expostas a seguir, quatro foram levantadas
na busca que realizamos em revistas internacionais, além de outras duas, que foram
localizadas a partir das referências obtidas nos trabalhos selecionados nos
mapeamentos.
Um dos estudos que chegaram ao Brasil foi o realizado pela pesquisadora
Borasi (1989), graduada em Matemática na Itália. Ela teve os seus trabalhos
inseridos nos objetivos da reforma da Matemática escolar nos Estados Unidos. Essa
pesquisadora é mencionada por vários autores como uma das precursoras no
estudo sobre os erros. Além disso, esses autores declaram que os textos produzidos
por ela são referências para quem enfoca o erro como uma forma de reconstrução
do conhecimento.
Em seu trabalho, Borasi (1985) aconselha os professores que encorajam
seus alunos a argumentar, raciocinar e verbalizar suas ideias, em troca da simples
transmissão de conhecimentos rotineiramente realizada pelos professores. Ela
aponta os erros como um grande desgaste enfrentado pelos alunos, pois a todo
tempo eles procuram se desvencilhar deles para não serem reprovados. A
pesquisadora também afirma que, se os professores se preocupassem mais com o
processo e não com o produto das avaliações, os erros poderiam ser discutidos e
usados como um método de aprendizagem.
Um dos trabalhos de Borasi (1989) mais referenciado foi intitulado como
“Students' Constructive Uses of Mathematical Errors: A Taxonomy” e teve por
objetivo mostrar como os erros podem ser utilizados de forma construtiva no
processo ensino e aprendizagem. A autora realizou uma investigação com duas
turmas de alunos do 11th grade3, a qual envolveu um experimento composto de 10
questões sobre definições matemáticas. Ao todo, registrou-se 20 erros que foram
analisados. Em seguida, a autora deixa uma contribuição denominada por ela como
“Taxonomia para o uso construtivo dos erros” (p. 27, tradução nossa). Entre os
3
O sistema de ensino americano inclui do nível pré-escolar até 12° ano (K – 12). Atualmente no Brasil
th
o Ensino Básico está estruturado em 12 anos, sendo assim, 11 grade equivale ao 2° ano do Ensino
Médio.
27
resultados, a autora identificou oito elementos específicos como sendo as formas
mais adequadas para usar construtivamente os erros.
Na mesma época, outro trabalho foi realizado por um grupo de
pesquisadores liderados por Resnick, Nesher, Leonard, Magone, Omanson e Peled
(1989). Essa investigação tinha a finalidade de analisar os erros cometidos por
estudantes. Os autores realizaram uma pesquisa com 113 crianças de três países
diferentes: Estados Unidos, França e Israel, em níveis de escolaridade que variavam
da 4th grade até 6th grade4. O estudo tinha como objetivo verificar os erros cometidos
pelos alunos ao trabalharem com números e frações decimais e verificar se tais
erros eram provenientes de tentativas de integração do novo conhecimento com que
já havia sido ensinado sobre números inteiros. Para isso foram aplicados testes, nos
quais os alunos deveriam identificar os números maiores e menores em uma relação
de valores apresentados na forma decimal e de fração. Como resultado, foi possível
compreender a lógica de raciocínio desses alunos e verificar que eles fizeram uso de
regras de comparação de números inteiros ao compararem números racionais na
representação decimal.
Realizando análise de erros em respostas parcialmente corretas e
incorretas em uma questão sobre resolução de equações, Cury, Ribeiro e Müller
(2011) apresentam o resultado de uma pesquisa feita com 141 alunos de cursos de
licenciatura de Matemática de dez instituições de ensino superior do Brasil. Os
dados analisados foram discutidos utilizando-se como referenciais teóricos algumas
pesquisas sobre ensino e aprendizagem de Álgebra, bem como o conceito de
conhecimento pedagógico do conteúdo. As respostas foram classificadas como
corretas, parcialmente corretas, incorretas e ausência de respostas. Das 89
respostas parcialmente corretas e incorretas, as três parcialmente corretas não
foram categorizadas, pelo motivo de apresentarem erros distintos. Para as 86
respostas incorretas foram criadas cinco categorias e, em cada uma delas, foram
apresentados os erros cometidos e uma síntese sobre esses erros. Nesse trabalho,
os autores descrevem em suas considerações finais que devido ao baixo índice de
acerto na questão (13%), os alunos demonstram a falta de conhecimento sobre
equações e seus processos de resolução e alerta para a importância de que os
4
th
th
Levando em consideração o que foi dito na nota anterior, o 4 grade até 6 grade equivalem do 5°
ao 7° ano do Ensino Fundamental.
28
formadores de professores de Matemática também levem em conta o conhecimento
pedagógico do conteúdo. Assim, os autores consideram também a importância de
discutir as causas dos erros com esses futuros professores para capacitá-los a
considerar as dificuldades dos seus alunos e saber como superá-las.
Dullius, Quartieri e Furlanetto (2012) analisaram 10 questões das
Olimpíadas de Matemática realizadas por 311 alunos das três séries do Ensino
Médio de 26 municípios do Vale do Taquari em Lajeado/RS, Brasil. Segundo os
autores, a prova teve como uma de suas particularidades a interdisciplinaridade,
pois a contextualização das questões trouxe problemas do cotidiano, abordando
conteúdos previstos nas três séries do Ensino Médio. Os autores partiram de cinco
categorias identificadas por meio dos referenciais teóricos selecionados e
apresentaram os erros cometidos por questão, seguido de gráficos com o objetivo
de exibir os percentuais de erros por categorias em cada série. De uma forma geral,
observaram uma grande incidência de erros devido à compreensão do enunciado e
de erros devido a dificuldades com o conteúdo.
Também, encontramos uma investigação realizada por Carazo e Brey
(2012), na qual apresentam o resultado de uma pesquisa realizada com estudantes
dos cursos superiores de Economia e Administração de Empresas. A investigação
tinha como proposta analisar, identificar, classificar e discutir os erros cometidos por
esses alunos relacionados ao conhecimento da Matemática Financeira. A fonte de
dados utilizada na pesquisa foram exercícios resolvidos pelos alunos nos anos
letivos de 2006-2007 e 2007-2008, nos quais foram identificados 300 tipos de erros.
Esses erros foram divididos em dois grandes blocos, sendo o primeiro referente aos
erros transversais, isto é, os erros com incidência em diferentes conceitos e
procedimentos e um segundo bloco, no qual foram identificados os erros de
incidências específicas, ou seja, os erros referentes aos números racionais e erros
associados à magnitude do tempo. Para a análise dos erros, os autores utilizaram as
categorias descritas por Movshavitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987). Como
resultado, os autores identificaram que os erros cometidos estão relacionados a
dificuldades pertinentes ao conteúdo em questão, além das oriundas do Ensino
Médio. Os autores ressaltam que é importante compreender os erros cometidos
pelos alunos, para que esses erros não afetem as atividades desses futuros
profissionais.
29
Com o objetivo de conhecer os tipos e a frequência de erros matemáticos,
Dodera, Bender, Burroni e Lázaro (2014) aplicaram um teste diagnóstico em 405
alunos ingressantes na área de Ciências da Saúde, em uma Universidade de
Buenos Aires. O teste também tinha como objetivo verificar o quanto o aluno
considera importante a utilização da Matemática em sua futura profissão. As
questões do teste referiam-se a: representar um número na reta real, aplicar as
propriedades de potência, escrever a equação de um problema, resolver equações
lineares, entre outros. Para cada questão do teste, os erros foram classificados de
acordo com as categorias elaboradas por Movshavitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar
(1987). Como resultado, os autores identificaram que os alunos apresentaram um
índice maior de erros nas questões em que deveriam escrever a equação de um
problema e na representação de um número na reta real. Entre as categorias
analisadas, foi possível identificar erros de interpretação incorreta da linguagem,
erros técnicos (principalmente na execução de algoritmos básicos), emprego
incorreto de propriedades e definições, falta de verificação da solução dada e, em
menos quantidade, erros devido à utilização incorreta dos dados. Os autores
consideraram que os erros são sistemáticos e persistentes devido ao uso de
procedimentos inapropriados e não se devem à distração, casualidade ou falha de
memória. Em última análise, os autores identificaram que os alunos dos cursos de
Farmácia e Bioquímica foram os que indicaram a Matemática com um alto índice de
importância em suas carreiras. Os alunos de Medicina, Odontologia e Paramédicos
apontaram uma importância mediana da Matemática em suas carreiras, ao passe
que os alunos de Psicologia identificaram-na com baixa importância.
Das seis pesquisas apresentadas, três foram realizadas com alunos do
Ensino Básico e três com alunos do Ensino Superior. Desde o primeiro até o último
trabalho, a preocupação dos pesquisadores foi a de analisar os erros dos alunos e,
para isso, criaram categorias ou se utilizaram de outras categorias definidas em
pesquisas anteriores, com o objetivo de identificarem os tipos de erros cometidos
pelos alunos.
Como já relatamos, dois dos trabalhos encontrados em periódicos
internacionais foram realizados no Brasil. Um desses trabalhos foi desenvolvido com
a participação da pesquisadora brasileira Helena Noronha Cury que vem publicando
inúmeros trabalhos que buscam compreender os erros cometidos por alunos desde
30
o Ensino Fundamental até a Formação Inicial e Continuada de Professores. Para a
pesquisadora, o erro pode ser utilizado como uma prática de ensino. Grande parte
das pesquisas que estamos apresentando fazem referências aos trabalhos dessa
autora, e todos eles enfocam os erros como construtores do conhecimento, sendo
essa a proposta principal de nosso trabalho.
A seguir, apresentaremos algumas das pesquisas localizadas na literatura
nacional a partir dos mapeamentos já mencionados e, também, alguns trabalhos que
foram
achados
em
consultas
realizadas
nas
referências
das
pesquisas
selecionadas.
1.3.2.2 – Revisão na Literatura Nacional
As pesquisas que serão expostas a seguir, conforme já descrevemos,
foram levantadas por meio dos mapeamentos descritos anteriormente. Algumas
delas foram localizadas a partir das referências obtidas nos trabalhos que
selecionamos nos mapeamentos. Serão apresentados, primeiramente, os artigos e,
em seguida, as dissertações e tese. Ao final das apresentações faremos as nossas
colocações sobre esta seção.
Iniciaremos por um dos trabalhos desenvolvidos pela pesquisadora
Helena Noronha Cury, uma das maiores pesquisadora em análise de erros no Brasil,
conforme já mencionamos. O foco do artigo apresentado por Cury e Silva (2008) foi
buscar entender as dificuldades de alunos da 5ª série (6º ano) do Ensino
Fundamental de uma escola da rede pública de Porto Alegre na resolução de
problemas e nos cálculos decimais. Para isso, foi elaborado um teste com quatro
questões, a partir dos quais as autoras puderam analisar as produções escritas, a
partir de critérios previamente definidos. Assim, foi possível perceber as dificuldades
encontradas por esses alunos na resolução de problemas e de lidarem com
números racionais. O trabalho foi resultado de uma investigação realizada por uma
futura professora durante o estágio feito para o cumprimento de uma disciplina do
curso de Licenciatura de Matemática.
Cury e Bisognin (2009) apresentam o resultado parcial de um projeto de
pesquisa desenvolvido com calouros em universidades privadas no sul do Brasil nas
31
disciplinas de Matemática, abordando o conteúdo de sistema de equações lineares.
Em uma questão do teste, a qual apresentou o maior número de acertos entre as
questões realizadas (94 acertos em 138 respostas), as autoras realizam a análise de
resoluções escritas de um sistema de equações lineares. Das 138 respostas
analisadas, 94 são contabilizadas como corretas na categoria A, as nove
categorizadas em B apresentaram alguns detalhes de erros, e na categoria D se
encontram as produções nas quais os alunos não souberam modelar o problema.
Como na categoria C são apresentadas as produções com maior número de erros,
as autoras criaram seis classes para analisar e discutir profundamente os erros
encontrados.
O artigo exposto por Dalto e Buriasco (2009) apresenta um estudo sobre
a produção escrita presente em uma questão comum aos alunos de 8ª série (9º ano)
do Ensino Fundamental e aos alunos da 3ª série do Ensino Médio na prova de
questões discursivas de Matemática da Avaliação do Rendimento Escolar do Estado
do Paraná – AVA/2002. Os autores utilizam metodologia de pesquisa qualitativa ao
analisar uma amostra de 97 provas distribuídas em 53 provas do Ensino
Fundamental e 44 provas do Ensino Médio. Primeiro apresentam os resultados
encontrados ao realizar uma correção de acordo com critérios propostos do tipo:
totalmente correta, parcialmente correta, incorreta e em branco. Logo após a
correção e o agrupamento mencionado, as questões foram categorizadas em quatro
categorias, de acordo com a resolução dada. Para cada categoria, foram inferidos
enunciados de problemas conforme entendimento dos alunos. Como resultado,
percebe-se que as estratégias utilizadas pelos alunos tanto da 8ª série (9º ano)
quanto da 3ª série não eram diferentes e que a maioria dos alunos resolveu a
questão utilizando operações aritméticas como adição, subtração, multiplicação e
divisão, em vez de apresentar equações ou inequações de 1º grau, como esperado.
Visando oferecer contribuições para o ensino de Formação de
Professores, Leivas e Cury (2010) apresentam em seu artigo a análise de erros
cometidos por 50 professores de Matemática em Formação Continuada de cinco
Instituições de Ensino Superior do Rio Grande do Sul ao resolverem um problema
em Geometria. Nele, os autores classificam as respostas apresentadas pelos
professores como corretas, parcialmente corretas, incorretas e ausência de
respostas.
Dentro
das
respostas
parcialmente
corretas
e
incorretas
são
32
apresentados os tipos de erros cometidos e a discussão sobre suas possíveis
causas. Tal discussão sobre as resoluções foi baseada em autores que abordam o
conceito de visualização e em documentos oficiais. Nos resultados finais, os autores
consideram que é importante o uso de softwares de Geometria Dinâmica com a
finalidade de contribuir para a formação de professores com um olhar mais
abrangente para os vários aspectos ou dimensões em que a Geometria pode ser
analisada.
Dando sequência as pesquisas realizadas no Ensino de Formação de
Professores, o trabalho desenvolvido por Cury (2013a) apresenta o resultado de
uma investigação realizada com 141 alunos de cursos de licenciatura em
Matemática de oito Instituições de Ensino Superior em quatro regiões brasileiras. Foi
aplicado um teste que continha cinco questões sobre conteúdos de Matemática da
educação básica. O objetivo do trabalho era analisar dificuldades encontradas por
esses futuros professores com a finalidade de aprofundar os estudos sobre as
possibilidades de utilizar a análise de erros como abordagem de pesquisa e ensino
em Educação Matemática em cursos de formação inicial e continuada. Como
resultado da pesquisa foi possível perceber que a maioria dos alunos apresentaram
dificuldades
com
questões
que
envolviam
operações
algébricas
e
suas
propriedades, em conceitos como os de número primo e de equação, e
generalização de padrões.
Como considerações, a autora relata que se essas
dificuldades não forem trabalhadas, os futuros professores as levarão para os seus
alunos em sala de aula e que eles, consequentemente, cometerão os mesmos erros
no futuro.
Em estudo recente, Brum e Cury (2013) também empregam em seu
trabalho quatro das categorias do modelo de classificação de erros de MovshavitzHadar, Zaslavsky e Inbar (1987), além da criação de mais três categorias pertinentes
aos sete erros encontrados na aplicação de um teste composto de cinco questões
sobre Álgebra. O teste foi aplicado para 23 alunos do 8º ano do Ensino Fundamental
de uma escola pública de um município do Rio Grande do Sul. As quatro primeiras
categorias usadas foram: uso errado dos dados, linguagem mal interpretada,
definição ou teorema distorcido e erros técnicos, e as três últimas criadas foram:
simples cópia dos dados, erros não compreendidos pelas pesquisadoras e erros por
distração. Como resultado, as autoras identificaram que os erros mais frequentes
33
foram os decorrentes da passagem do texto verbal para a linguagem matemática e
os que envolvem manipulações algébricas.
Vece, Silva e Curi (2013) apresentam em seu trabalho parte de uma
pesquisa desenvolvida no Programa Observatório da Educação, Projeto de
Pesquisa financiado pela CAPES, que tem como objetivo apresentar análise das
respostas dadas por alunos do 5º ano de seis escolas da rede pública do Ensino
Fundamental do estado de São Paulo. As questões aplicadas se referem à
composição e decomposição de números naturais, algumas retiradas da Prova
Brasil e outras elaboradas pelos componentes do grupo de pesquisa. Para as
autoras, os instrumentos elaborados a partir da Prova Brasil contribuíram para uma
investigação para compreender como os alunos pensam e praticam, quando
compõem e decompõem números. As autoras afirmam que a maioria dos alunos
não consegue generalizar as características do sistema numérico, em particular os
agrupamentos de dez em dez e a troca das ordens e classes no número. Por fim, as
pesquisadoras destacaram que o ensino dos números naturais é um problema
didático e merece atenção por parte dos educadores e dos pesquisadores da área.
Apresentaremos, a seguir, as pesquisas de mestrado e doutorado que
foram selecionadas, com o objetivo de, juntamente com os artigos, utilizarmos
durante a nossa análise de dados.
Encontramos uma pesquisa de mestrado realizada por Feltes (2007). A
autora analisou qualitativamente erros em testes aplicados a alunos da 7ª e 8ª séries
(8º e 9º anos) do Ensino Fundamental e alunos do 1º ano do Ensino Médio ao
resolverem questões sobre potenciação, radiciação e equações exponenciais. Os
erros foram classificados em 17 categorias e assim foi possível verificar que as
maiores dificuldades estavam relacionadas a operações numéricas e a propriedades
da potenciação. Além disso, a autora aplicou um questionário para os professores
de Matemática, que lecionam nas escolas investigadas, sobre os erros cometidos
por seus alunos. Com o resultado obtido pelo questionário, a autora constatou que
os professores investigados consideravam que os erros eram provenientes da falta
de estudo e/ou de atenção.
34
Também partindo da concepção do erro como uma estratégia de revisão
do processo de ensino e aprendizagem em Matemática, Espindola (2009) tem como
objetivo geral, em sua dissertação, identificar, classificar e analisar erros cometidos
por alunos da 8ª série (9º ano) do Ensino Fundamental na resolução de provas de
Matemática. Seus objetivos específicos buscam utilizar a análise dos referidos erros
como instrumento investigativo nos conteúdos de Geometria plana e enfatizar a
importância de se analisar o processo e não apenas o produto, bem como conceber
o erro como uma ferramenta de metodologia de ensino.
Investigando, igualmente, os conteúdos de Geometria, Cordeiro (2009)
analisou em sua dissertação (Análise e classificação de erros de questões de
geometria plana da olimpíada brasileira de matemática das escolas públicas) as
tentativas de resoluções de questões da primeira fase de Olimpíada Brasileira de
Matemática das Escolas Públicas (OBMEP). Para tal, foram selecionados alunos do
Ensino Médio de uma escola pública estadual, sendo que, vinte e cinco foram
selecionados pelo mesmo método de classificação utilizado pela OBMEP para a
segunda fase e três foram convidados por serem considerados, por seus
professores, os melhores alunos de suas respectivas turmas. A partir da análise, o
autor tinha como objetivo apresentar sugestões de estratégias para que o professor
possa: reforçar, modificar e inovar a sua forma de ensinar, identificar que tipo de
questão os alunos têm mais dificuldades, que tipo de erro eles cometem com mais
frequência nas suas resoluções e propor soluções para os problemas encontrados e
apresentados ao longo da análise para o Ensino de Geometria.
A partir de sua dissertação de mestrado, que analisa as dificuldades e
erros em questões que envolvem Álgebra, também foi observado por Siebra (2009),
a possibilidade de modificar a própria prática no Ensino de Matemática. Para isso
foram selecionadas nove questões da Prova SARESP/2005, dos cadernos de 6ª, 7ª
e 8ª séries (7º, 8º e 9º anos) e aplicadas em 84 alunos da 8ª série (9º ano) de uma
escola pública estadual paulista, na periferia da cidade de São Bernardo do Campo.
A pesquisa teve como objetivo gerar a reflexão na busca das dificuldades e erros
nas resoluções apresentadas pelos alunos. Muitos dos erros e dificuldades
encontrados nesse trabalho haviam sido apontados nos estudos realizados pelos
referenciais teóricos citados.
35
Por fim, realizando pesquisa no Ensino Superior, Bastos (2013), em seu
trabalho de Doutorado (Análise de Erros Matemáticos na Resolução de Problemas
Aplicados à Física Elétrica), buscou analisar os erros cometidos por alunos do 3º
semestre de dois cursos de Tecnologia de uma instituição particular. O autor utilizouse da metodologia de pesquisa qualitativa. A coleta de dados foi realizada por
observação-participante em sala de aula, além das resoluções escritas dos
problemas geradores propostos aos alunos e pela análise documental. A análise de
erros realizada permitiu detectar aspectos ligados à linguagem (natural, matemática
e física), bem como à transição entre elas. O autor também apontou lacunas de
conhecimentos prévios de Matemática e Física referentes aos Ensinos Básico e
Superior que condicionaram fortemente a resolução dos problemas de Física
Elétrica propostos. Além disso, o autor observou que os alunos ganharam autonomia
enquanto buscavam resolver os problemas, passando a trabalhar com mais
habilidade analítica.
Em nossa busca, ainda encontramos trabalhos que abordam dificuldades
e erros nos conteúdos de equação, inequação e função, entre os quais destacamos:
Ponte (1992), Oliveira, (1997), Pelho (2003), Oliveira (2006), Lima (2007), Cury
(2008), Pontes (2008), Delgado (2010), Maciel (2011), Reis (2011) e Junior (2011).
Dos doze trabalhos que relatamos, um foi realizado com professores em
Formação Continuada, oito com alunos do Ensino Básico e três com alunos do
Ensino Superior. Todos eles foram desenvolvidos com o objetivo de encontrar erros
matemáticos, sendo que em um dos trabalhos do Ensino Superior, as questões
propostas consistiam em resolução dos problemas de Física Elétrica. Assim,
reafirmando o que já descrevemos, é possível o professor realizar a análise de erros
em qualquer disciplina e utilizar dos erros em sala de aula como auxílio no
aprendizado do aluno.
Cada um dos trabalhos realizou a análise de erros em um determinado
conteúdo, apresentando os resultados encontrados. Acreditamos que os resultados
devem ser analisados e utilizados por pesquisadores e futuros professores com a
finalidade de contribuir para a formação do aluno.
36
Além disso, os pesquisadores mencionados deixam claro em seus
trabalhos que, ao analisar os erros, é possível identificar o que está errado e criar
estratégias didáticas motivadoras nas quais esses erros possam ser utilizados para
ajudar na aprendizagem da Matemática.
No que diz respeito à Formação Inicial de Professores, além de
apresentarem análise de erros em questões de Matemática, as pesquisas
descreveram, também, a importância dos professores trabalharem a análise de erros
com os alunos de licenciatura. Esses futuros professores, ao aprenderem a lidar
com os seus próprios erros, poderão utilizar-se dos erros cometidos por seus alunos
em suas práticas de ensino, contribuindo para superação de suas dificuldades.
Notamos que o objetivo desses pesquisadores era analisar os erros
cometidos, classificar e discutir esses erros. Observamos que a análise de erros
pode ser realizada em diversos níveis de ensino, utilizando-se de diferentes
procedimentos metodológicos. Além disso, vimos que os pesquisadores brasileiros
têm-se mostrado interessados em divulgar suas pesquisas em periódicos
internacionais.
1.3.3 – Sondagem Preliminar Realizada na Escola Investigada
A importância desta pesquisa é reforçada a partir dos dados que constam
na tabela do ANEXO A (documento CEFET-MG, 2012), fornecida pela Instituição
investigada. A tabela mostra o número de alunos reprovados, por curso, no ano
letivo de 2011, em todas as unidades do CEFET-MG. Deve-se considerar que cada
turma possui em média 40 alunos.
Na análise dos dados, percebemos que o curso de Eletrotécnica no
Campus I em Belo Horizonte é o segundo maior em índice de reprovação – 22,5%.
Dos dezoito alunos reprovados, treze se encontravam matriculados no 1º ano
integrado do ano letivo de 2012. Os cinco que não estavam matriculados saíram da
escola por motivo de jubilamento ou por outros motivos.
Fizemos um levantamento no sistema acadêmico da Instituição para
identificar em quais disciplinas os treze alunos do curso em questão foram
reprovados. O resultado obtido mostrou que somente um dos alunos não foi
37
reprovado na disciplina de Matemática e, para os demais, a Matemática foi a única
ou uma das disciplinas que acarretaram a reprovação. Isto também pode ser
comprovado na tabulação de dados de um questionário de sondagem respondido
pelos treze alunos reprovados.
Elaboramos e aplicamos em outubro de 2012, junto com a Coordenação
de Eletrotécnica, um questionário que foi respondido pelos treze alunos que
repetiram o 1° ano do curso integrado, os quais pertenciam a duas turmas que
contavam com a atuação de professores distintos. O instrumento de sondagem tinha
por finalidade identificar as disciplinas e as dificuldades encontradas por esses
alunos no ano letivo de 2011. O questionário, que se encontra no APÊNDICE A, era
composto de dez perguntas abertas.
Com as três primeiras perguntas tínhamos como finalidade identificar as
disciplinas em que os alunos foram reprovados, em quais eles obtiveram menores
notas e, também, aquelas cujas notas foram inferiores a 40 pontos. Analisando as
respostas dadas a essas perguntas, confirmamos o que já havíamos apurado no
sistema acadêmico da Instituição, ou seja, doze dos treze alunos foram reprovados
em Matemática. As menores notas de cinco desses alunos foram na disciplina de
Matemática e um deles apresentou do total de 100 pontos, nota inferior a 40.
A quarta pergunta tinha como finalidade verificar a disciplina em que os
alunos apresentaram maiores dificuldades, além de possibilitar a identificação
dessas dificuldades. Analisando as respostas, constatamos que a disciplina na qual
os alunos mais relataram apresentar dificuldades foi a de Matemática (conteúdo
programático – ANEXO B), sendo ela apontada por nove dos treze alunos. Assim, as
análises apresentadas a seguir referem-se às respostas dadas por esses nove
alunos, pois o foco deste trabalho é a disciplina de Matemática.
Ainda na quarta pergunta, ao serem questionados sobre as dificuldades
apresentadas na disciplina de Matemática, os alunos mencionaram a dificuldade em
assimilar a matéria, além de apontarem dificuldades na resolução de problemas e
funções específicas do conteúdo ensinado. Assinalaram, também, dificuldades de
relacionamento com o professor e a falta de clareza deste na exposição de
conteúdos.
38
Nas últimas seis perguntas, nosso objetivo era verificar as formas de
tratamento das dificuldades e erros, tanto por parte do aluno quanto do professor.
Ao responderem como trataram suas dificuldades, oito dos nove alunos
afirmaram que estudavam individualmente, além de pedirem ajuda aos colegas.
Alguns apontaram que também procuravam auxílio de professor particular.
Problemas com comportamento e falta de dedicação aos estudos também foram
apontados pelos próprios alunos.
Ao serem questionados como o professor tratou as dificuldades com a
turma, seis alunos mencionaram que o professor refazia alguns dos exercícios. Um
dos alunos declarou que o professor explicava a matéria claramente. Para a maioria
deles, as dúvidas permaneciam, mesmo quando o professor refazia os exercícios,
pois eram refeitos no seu tempo, sem respeitar o tempo dos alunos. Oito dos nove
alunos descreveram que o professor não tratava as dificuldades individualmente.
Ao responderem como trataram os erros indicados pelo professor em
suas atividades, oito dos nove alunos relataram que refaziam a questão, e quando
não conseguiam procuravam ajuda de colegas e de professor particular.
Nas duas últimas perguntas, oito alunos responderam que o professor
não tratava o erro individualmente, e sim de forma coletiva.
Finalmente, percebemos que quando questionados sobre os erros e as
dificuldades apresentadas os alunos não mencionaram somente erros e dificuldades
relacionadas ao conteúdo da disciplina de Matemática. Além de descreverem sobre
o próprio comportamento não adequado em sala de aula, por muitas vezes os
alunos
falaram
das
dificuldades
encontradas
na
relação
professor-aluno.
Percebemos esse fato, por exemplo, nas respostas apresentadas nas quatro últimas
questões, quando os alunos descreveram que o professor não tomava nenhum tipo
de atitude ao detectar erros de uma determinada turma ou de um aluno específico.
Assim, a escolha do tema para a pesquisa relatada nesta tese foi definida
em função da revisão da literatura sobre análise de erros e da análise das respostas
obtidas no questionário de sondagem, pois neste percebemos que os alunos
sozinhos
não
conseguem
localizar
e
identificar
seus
próprios
erros
e,
39
consequentemente, desconhecem o que precisam aprender para superar suas
dificuldades. Isso ficou claro, uma vez que foram poucas as dificuldades e erros
descritos por eles com relação aos conteúdos matemáticos. Essas e outras
questões precisavam ser investigadas, pois analisando somente o questionário de
sondagem não foi possível esclarecê-las.
Observamos que as respostas apresentadas pelos alunos são vagas com
relação às dificuldades e erros matemáticos, e mesmo que o relacionamento
professor-aluno
fosse
menos conflituoso, as respostas não
possibilitariam
intervenção dos professores e nem avanços dos alunos.
Com essa exposição, vimos a necessidade de pesquisas na área de
Ensino de Matemática que identifiquem os tipos de erros cometidos por alunos em
suas produções escritas. Partindo disso, é possível deixar propostas de intervenções
que poderão ser adotadas pelos professores com a finalidade de levar o aluno a
atingir de forma mais significativa o conhecimento. Por esses motivos, escolhemos
como tema de pesquisa:
Tipos de erros matemáticos apresentados por alunos do 1º ano da educação
profissional tecnológica de nível médio na modalidade integrada.
1.4 – Delimitação do Problema de Pesquisa
Autores que discutem metodologia de pesquisa consideram o tema da
pesquisa como o assunto que se deseja desenvolver e o problema como a
especificidade daquilo que se quer resolver. O problema deve ser levantado,
preferencialmente, de forma interrogativa, e que possibilite responder às perguntas
“o quê?”, “como?”. Conforme Bicudo (2012), “o ponto crucial da pesquisa é
constituído pela interrogação e seu esclarecimento.” (p. 21). Esses autores, também,
consideram que é preciso evitar problemas muito abrangentes, pois eles tornam a
pesquisa mais complexa. Concluem, por fim, que problema delimitado simplifica a
maneira de conduzir a pesquisa.
A importância da delimitação do problema a ser investigado é “que nunca
será possível explorar todos os ângulos do fenômeno num tempo razoavelmente
limitado” (LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p. 22). Assim, os autores destacam que se deve
40
selecionar os pontos mais relevantes e determinar os recortes para que seja
possível obter respostas para as questões propostas na investigação.
No nosso caso, o conteúdo escolhido para se realizar a investigação foi o
lecionado no primeiro semestre do 1º ano do Ensino Médio na disciplina de
Matemática (ANEXO B), visando à busca de uma tipologia de erros que esses
alunos cometem ao resolverem questões que envolvem os conteúdos de Conjuntos
Numéricos e Intervalos Reais, Equações, Inequações e Funções Afim, Polinomial do
2º Grau, Modular, Exponencial e Logarítmica referentes ao Ensino Médio. É
importante registrar que são esses os conteúdos referentes à primeira avaliação de
Matemática aplicada pela Instituição, sendo eles, os que fizeram parte de nossa
investigação. A escolha desses conteúdos se deu pelo fato de serem eles os
primeiros lecionados e, por esse motivo, podermos verificar também se existe
dificuldades nos conteúdos de Números e Operações, Potências e Funções
oriundas do Ensino Fundamental.
Optamos por tratar o conteúdo de Potências separadamente do conteúdo
de Números e Operações5 pelo fato de esse conteúdo estar ligado diretamente a um
dos tipos de função investigada neste trabalho (Função Exponencial); assim,
facilitaria a identificação das dificuldades relatadas pelos alunos de forma mais
pontual.
A partir do conteúdo escolhido e do tema apresentado, o problema
levantado para esta investigação é:
O que revelam os erros matemáticos apresentados por alunos do 1º ano da
educação profissional tecnológica de nível médio na modalidade integrada do
curso Técnico em Eletrotécnica ao resolverem atividades que envolvem
conteúdos propostos na 1ª avaliação institucional?
Levando em consideração o problema delimitado acima, este trabalho
tem como finalidade responder às seguintes questões:
5
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN – do terceiro e quarto ciclos do Ensino
Fundamental, o conteúdo de potenciação está incluído no bloco denominado “Números e Operações”
(BRASIL, 1998).
41
 Que conteúdos matemáticos provenientes do Ensino Fundamental
são visíveis nos erros apresentados na resolução das atividades
que envolvem conteúdos propostos na 1ª avaliação institucional?
 Que tipos de erros matemáticos os alunos apresentam na
resolução das atividades que envolvem conjuntos numéricos e
intervalos reais?
 Que tipos de erros matemáticos os alunos apresentam na
resolução das atividades que envolvem equações, inequações e
funções?
 Como esses erros podem ser categorizados dentro de uma
perspectiva de análise didática do erro?
Como já mencionado, os conteúdos investigados são os propostos na 1ª
avaliação institucional: Conjuntos Numéricos e Intervalos Reais, Equações,
Inequações e Funções Afim, Polinomial do 2º Grau, Modular, Exponencial e
Logarítmica referentes ao Ensino Médio. Além desses conteúdos, também foram
investigados os conteúdos de Números e Operações, Potências e Funções oriundas
do Ensino Fundamental.
1.5 – Participantes da Pesquisa
O curso de Eletrotécnica na Modalidade Integrada na unidade do Campus
I do CEFET-MG situado em Belo Horizonte é composto por duas turmas
denominadas ELE1A e ELE1B. Para participar desta pesquisa, foram selecionados
os alunos da turma ELE1B do ano letivo de 2013, ao todo 37. Esses alunos
cursaram, nesse ano, o 1º ano da Educação Profissional Tecnológica de Nível
Médio. A escolha da turma ELE1B se deu pelo fato de a pesquisadora lecionar para
esses alunos a disciplina técnica de Sistemas Digitais, tendo, portanto, uma maior
proximidade com eles. No capítulo 4 descrevemos, de forma detalhada, o perfil do
grupo participante.
1.6 – Considerações Baseadas nas Pesquisas que Envolvem Análise de Erros
Apresentamos uma revisão da literatura nacional e internacional voltandonos para alguns trabalhos de pesquisa realizados nos últimos anos sobre
42
dificuldades e erros na aprendizagem de Matemática desde o Ensino Básico até a
Formação Continuada de professores, cujo principal foco é a análise de erros em
produção escrita de alunos. Nosso interesse com os trabalhos apresentados é poder
situar nossa pesquisa no cenário apresentado, além de responder as nossas
questões, deixando, assim, contribuições efetivas para o Ensino de Matemática.
Para isso, é necessário identificar em cada um desses trabalhos conceitos
relacionados àquilo que propusemos nesta pesquisa.
Na busca pela resposta dos tipos de erros matemáticos cometidos pelos
alunos, levaremos em consideração os seguintes pontos:
 Analisar a produção escrita do aluno é o primeiro passo para podermos
identificar os erros cometidos por eles (BORASI, 1989; RESNICK et al., 1989;
FELTES, 2007; CURY e SILVA, 2008; CORDEIRO, 2009; DALTO e BURIASCO,
2009; CURY e BISOGNIN, 2009; SIEBRA, 2009; CURY, RIBEIRO e MÜLLER, 2011;
CARAZO e BREY, 2012; DULLIUS, QUARTIERI e FURLANETTO, 2012; BRUM e
CURY, 2013; DODERA et al., 2014).
 Para identificar os erros cometidos pelos alunos em um dos
instrumentos utilizados na investigação, usamos a análise de erros semelhante à
apresentada nos trabalhos de Leivas e Cury (2010), Cury, Ribeiro e Müller (2011) e
Cury (2013a).
Para visualizar o erro numa perspectiva de análise didática do erro é
importante a criação de categorias e, para isso, consideraremos que é importante:
 Categorizar os erros dentro de uma perspectiva de análise didática.
(ESPINDOLA, 2009).
No diálogo com a literatura e nas considerações finais ponderaremos
quanto às seguintes observações levantadas nas pesquisas apresentadas neste
capítulo:
 Enfatizar a importância de se analisar o processo e não apenas o
produto, bem como conceber o erro enquanto uma ferramenta de metodologia de
ensino, conforme os trabalhos apresentados por Borasi (1985, 1989) e Espindola
(2009).
43
 Ao identificar os erros, destacamos que eles merecem atenção por
parte dos educadores e também dos pesquisadores da área de Ensino de
Matemática (VECE; SILVA e CURI, 2013).
Também faremos um paralelo de erros identificados nesta pesquisa com
erros identificados na literatura aqui mencionada.
Além dos trabalhos realizados no exterior (BORASI, 1989; RESNICK et
al., 1989; CARAZO e BREY, 2012; DODERA et al., 2014), observamos que no Brasil
os erros matemáticos têm se constituído como objeto de estudo em diferentes
pesquisas realizadas no mestrado e doutorado. A revisão que apresentamos teve a
intenção de estabelecer um panorama geral sobre a forma como esse assunto está
sendo estudado na área acadêmica e, assim, refletir sobre o que nossa pesquisa
acrescentará nesse cenário apresentado.
Partindo do que foi exposto, delinearemos a contribuição de nossa
pesquisa para o ensino, mas, antes disso, vamos descrever os objetivos básicos,
apresentados por Fiorentini e Lorenzato (2009), referentes a uma investigação na
área de Ensino de Matemática. O primeiro objetivo é “de natureza pragmática, que
tem em vista a melhoria da qualidade do ensino e da aprendizagem da matemática”
(p. 10, grifo no original) e o segundo, “de cunho científico, que tem em vista o
desenvolvimento da EM enquanto campo de investigação e de produção de
conhecimentos” (p. 10, grifo no original). Com o desenvolvimento desta pesquisa,
procuramos atingir os dois objetivos citados pelos autores.
Portanto, consideramos que nossa pesquisa agrega-se ao quadro de
produções, oferecendo a seguinte contribuição inédita: Identificar, analisar e
classificar os tipos de erros matemáticos cometidos por alunos nas resoluções de
atividades que envolvem conteúdos lecionados no Ensino Médio e, também, os tipos
de erros provenientes de conteúdo do Ensino Fundamental, categorizando-os em
um modelo de análise didática do erro. Nas pesquisas analisadas não encontramos
trabalhos que identificavam e categorizavam tais erros da forma em que propomos.
Dessa maneira, a pesquisa aqui realizada torna-se necessária, pois contribui com o
Ensino de Matemática, especialmente no conteúdo investigado.
44
1.7 – Organização do Trabalho
Este trabalho foi dividido em quatro capítulos e as considerações finais,
complementado por referências, apêndices e anexos.
Capítulo 1 – As Escolhas
No Capítulo 1, descrevemos as escolhas que foram importantes para a
definição do tema abordado neste trabalho. Relatamos experiências que
colaboraram para a vida profissional da pesquisadora, além de uma breve descrição
do local onde a pesquisa foi realizada. Por meio de uma sondagem preliminar
realizada na escola investigada, com alunos reprovados na disciplina de
Matemática, e da realização de uma varredura na literatura sobre pesquisas que
investigaram a Análise de Erros, expomos as justificativas referentes à escolha do
tema. A partir disso, apresentamos o problema e as questões investigadas.
Capítulo 2 – Fundamentação Teórica que Sustenta a Investigação
Neste capítulo, expomos a nossa fundamentação teórica, que serviu
como suporte para a nossa investigação. Iniciamos com o significado dos termos
erro e dificuldade e, em seguida, com a apresentação das teorias e acepções do
erro na aprendizagem. Discutimos o erro sob olhares opostos e, abordamos a
importância da análise de erros e as formas de realizá-la, além de apresentarmos as
fases referentes ao tratamento didático do erro.
Capítulo 3 – Metodologia da Pesquisa
O Capítulo 3 detalha a metodologia da pesquisa, na qual situamos nosso
trabalho no contexto de pesquisa qualitativa. Descrevemos sobre os instrumentos de
investigação desenvolvidos e sobre os critérios utilizados para a análise dos dados.
Por último, apresentamos a descrição das etapas de investigação.
Capítulo 4 – Analisando e Refletindo sobre os Dados
No Capítulo 4, apresentamos primeiramente o perfil dos alunos que
participaram da pesquisa, além dos dados coletados por meio do Instrumento I, que
definem o grau de dificuldades oriundos do Ensino Fundamental e os apresentados
45
no Ensino Médio por esses alunos na disciplina de Matemática. Logo em seguida,
realizamos a análise dos dados com o intuito de identificar os tipos de erros
cometidos pelos alunos no Instrumento II e apresentamos a categorização desses
erros segundo um modelo didático. E, finalmente, realizamos um diálogo entre os
resultados encontrados e a literatura.
Considerações Finais
Nas considerações finais, retomamos e respondemos as nossas questões
de pesquisa, destacando as contribuições do trabalho realizado, além de indicarmos
as possibilidades de trabalhos futuros.
46
CAPÍTULO 2 – FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA QUE SUSTENTA A
INVESTIGAÇÃO
Após a definição do problema, passamos para a construção de uma
fundamentação baseada em teóricos que deram suporte para a nossa pesquisa.
Na primeira seção deste capítulo apresentamos os significados das
palavras “dificuldade” e “erro” e a relação existente entre ambas, além de
discutirmos alguns pontos de vista a respeito dessas duas palavras. Nas demais
seções, discorremos a partir de teóricos, especialmente Pinto (2000) e De La Torre
(2007)6, como podemos identificar os erros, e como o erro pode ser tratado com a
finalidade de favorecer a reconstrução do conhecimento e ajudar no processo
ensino-aprendizagem. Para isso, relatamos na visão desses autores, as teorias e
acepções do erro na aprendizagem, a importância da análise na produção escrita do
aluno, a análise dos erros, entre outros.
2.1 – Dificuldade e Erro: seus significados
Neste trabalho é importante definir o significado das palavras dificuldade e
erro para melhor entendimento da relação existente entre elas. As duas palavras
foram pesquisadas no dicionário eletrônico Houaiss da Língua Portuguesa (2001,
n.p.). A palavra “dificuldade” tem como significado: “o que impede, embaraça;
estorvo, obstáculo”. A palavra “erro” significa: “juízo ou julgamento em desacordo
com a realidade observada; engano”.
Com os significados relatados, percebemos que a palavra dificuldade
significa barreiras encontradas na busca do conhecimento. Portanto, o erro é uma
consequência disso, sendo um dos seus significados o engano. Na sequência,
apresentamos alguns conceitos sobre erro, tomando como base o ponto de vista de
alguns pesquisadores.
6
Obra originalmente publicada sob o título Aprender de los errores: El tratamiento didáctico de lós
errores como estratégia de innovación – 1ª edição: 2004.
47
Gamboa (1997), quando professor da Pontifícia Universidad Católica del
Peru, descreveu em seu trabalho que “o estudo do conhecimento humano, da
capacidade do homem para compreender, tem sido sempre uma preocupação
constante da filosofia em uma vertente denominada gnosiologia 7” (p. 1, tradução
nossa). Diante disso, o autor afirma que o erro é atribuído a uma disposição de
considerar concepções e procedimentos que foram desenvolvidos deficientemente
como verdadeiros, nos quais foram incluídas interpretações falsas ou ideias
conflitantes.
Acrescentando a essa colocação, Pinto (2000), pesquisadora e doutora
na área de ensino e educação matemática, afirma que o erro faz parte do ato de
aprender, isto é, ele é parte integrante de um conhecimento provisório. A autora
descreve ainda que, pelo fato do aprendizado ser um ato dinâmico, o erro passa por
transformações, dependendo de situações conflitantes durante o desenvolvimento
do indivíduo.
A origem do erro é localizada pelo filósofo Descartes em duas atitudes (o
qual chamou de atitudes infantis): a prevenção e a precipitação. Chaui (2005)
descreve que para Descartes a prevenção “é a facilidade com que nosso espírito se
deixa levar pelas opiniões e ideias alheias, sem se preocupar em verificar se são ou
não verdadeiras” (p. 127); já a precipitação “é a facilidade e a velocidade com que
nossa vontade nos faz emitir juízos sobre as coisas antes de verificarmos se nossas
ideias são ou não são verdadeiras” (p. 127).
No campo semântico, De La Torre (2007), doutor em Filosofia e Letras
pela Universidade de Barcelona, descreve o erro usando quatro pontos cardeais:
efeito destrutivo, deturpativo, construtivo e criativo. O erro é apontado por ele de
uma forma binária: a negativa (efeito destrutivo e deturpativo) e a positiva
(construtivo e criativo). Na forma negativa, o erro tem um efeito destrutivo, isto é, ele
provoca falhas irreversíveis; já na forma de estímulo criativo o erro pode ser
considerado como um instrumento de progresso.
7
Teoria geral do conhecimento humano, voltada para uma reflexão em torno da origem, natureza e
limites do ato cognitivo, freq. apontando suas distorções e condicionamentos subjetivos, em um ponto
de vista tendente ao idealismo, ou sua precisão e veracidade objetivas, em uma perspectiva realista;
gnoseologia, teoria do conhecimento. (HOUAISS, 2001, n.p.).
48
Além disso, De La Torre (2007) assinala ainda que o erro pode indicar
duas situações: resultado e processo. O erro visto como resultado tem um
significado negativo, isto é, apresenta um efeito deturpativo ou destrutivo. Visto
como processo pode levar a um procedimento construtivo, método de descoberta
científica ou como uma forma de transmissão didática, sendo vista, portanto, como
um estímulo criativo. Essa criatividade, conforme apontada pelo autor, “[...] não está,
como é natural, no erro, mas nas pessoas que são capazes de gerar novas idéias
apoiando-se nele” (p. 15).
A sinopse sobre os diversos significados do erro apresentada por De La
Torre (2007) é descrita em quatro categorias: pensamento, linguagem, ação
(proceder) e erro voluntário (engano). Dentro de cada categoria, o erro, como efeito
deturpador, carrega de forma implícita um significado negativo. Conforme o autor, os
significados para a categoria pensamento são confusão, desacerto, equívoco, falha,
inadvertência, inexatidão, irracionalidade; os significados para a categoria linguagem
são inconveniências, besteira, disparate, errata, mancada; já os significados para a
categoria ação são desacerto, descuido, distorção, equívoco, falha; e, finalmente, os
significados para a categoria erro voluntário são engano, acobertamento, fraude,
hipocrisia, simulação, mentira, truque, manipulação. Logo, para o autor, “Cada
categoria tem suas próprias características e seus próprios mecanismos e
processos.” (p. 16).
Partindo dos significados descritos até o momento, quando falamos em
“erro” não nos referimos à “ignorância”. Ignorância tem como significado
apresentado no dicionário eletrônico Houaiss da Língua Portuguesa (2001, n.p.)
“estado de quem não tem conhecimento, cultura, por falta de estudo, experiência ou
prática” ou, ainda mais, “desconhecimento”, “desinformação”, “incompreensão”,
“incultura”, “insciência”, entre outros.
De La Torre (2007) aponta que a diferença entre “erro” e “ignorância” é
que a última é o desconhecimento total daquilo que se trata, ao passo que o erro é
provocado por desconhecimento parcial da coisa. Os enganos cometidos em função
desse desconhecimento parcial devem ser usados como uma oportunidade de
melhorar o conhecimento.
49
A partir do que foi exposto, começamos a delinear um conceito sobre o
erro numa perspectiva geral. Cremos, então, que o erro não seja fruto da ignorância,
pois, sendo ele cometido em função de um desconhecimento parcial, mesmo assim,
ele possibilita a reconstrução de conhecimentos. Analisando o significado do erro de
uma forma binária, a negativa e a positiva, adotamos neste trabalho a forma positiva,
ou seja, o erro a partir de uma acepção construtiva e criativa.
Não encontramos autores que apresentam um significado para a palavra
dificuldade, exceto a afirmação da relação existente entre as palavras dificuldade e
erro feita por Socas (apud LUPIÁÑEZ, 2013): o erro é uma manifestação visível de
uma dificuldade. Portanto, consideramos aqui que para se compreender as
dificuldades é necessário identificar os erros.
A seguir serão apresentadas as teorias e acepções do erro em estudos
realizados por pesquisadores que investigam o erro no processo de aprendizagem.
2.2 – Teorias e Acepções do Erro no Processo de Aprendizagem
Vários são os pesquisadores (RICO, 1998; PINTO, 2000; DE LA TORRE,
2007; entre outros) que vêm investigando as dificuldades e os erros cometidos por
alunos. A seguir, abordamos as teorias e acepções do erro na aprendizagem da
Matemática, sob o ponto de vista de alguns desses pesquisadores.
Thorndike (apud CURY, 2008) é um dos precursores do estudo sobre os
erros, com trabalhos realizados no início do século XX. Como pai da Psicologia
Educacional, Thorndike enfatizava que os interesses vitais do aluno devem ser
respeitados, procurando não entediá-lo com “dificuldades inúteis”. Para ele era
necessário o reforço dos hábitos que permitiam ao aluno a prática dos cálculos.
Devido às críticas recebidas por outros colegas, que consideravam seu método
baseado em exercícios repetitivos, Thorndike passou a investigar sobre dificuldades
e erros relacionados com problemas que ocorrem nas operações aritméticas
fundamentais, tornando-se um dos pioneiros sobre os estudos relacionados aos
erros.
O psicólogo russo Krutetskii (apud CURY, 2008) mostra em seu trabalho a
importância de se analisar o processo e não apenas o produto. Como exemplificado
50
pelo autor, não se deve avaliar somente a alternativa assinalada em uma questão de
múltipla escolha ou o resultado apresentado em uma questão aberta; é necessário
também analisar o raciocínio apresentado durante o processo de resolução da
questão. Analisando o processo dessa maneira, é possível perceber as habilidades
matemáticas dos estudantes, além das dificuldades por eles apresentadas. O
pesquisador afirma também que, nessa forma de análise, pode-se questionar os
estudantes sobre os erros cometidos e ajudá-los na reconstrução do conhecimento.
No trabalho desenvolvido por Krutetskii e sua equipe (1955-1966), foram
utilizados métodos de pesquisa que abrangiam diversos temas da Matemática, tais
como Álgebra, Aritmética, Geometria e Lógica. Na investigação foram envolvidos
desde um único estudante até um grande grupo, além de tomarem opinião de pais,
professores e matemáticos. Os pesquisadores levaram em consideração não
somente a produção escrita dos estudantes, mas também a produção oral, como,
por exemplo, o registro da resolução das questões realizadas em voz alta e as
explicações dos alunos aos questionamentos sobre as respostas apresentadas.
Os pesquisadores mencionados, precursores nos estudos sobre erros,
são referenciados em vários trabalhos, entre eles, o de CURY (2008) e o de
BASTOS (2013). Ponderando sobre suas afirmações, constatamos que é de suma
importância o professor analisar todo o procedimento utilizado pelo aluno na
resolução de uma questão e que o erro deve ser visto como manifestação de um
conhecimento que o aluno construiu, portanto não pode ser simplesmente
desprezado. Ao desprezá-lo, o professor parte do pressuposto de que o aluno não
possui nenhum conhecimento prévio, o que não é verdade, na maioria das vezes.
O espanhol e educador matemático Rico (1998) aponta em seu trabalho
várias pesquisas (RADATZ, 1979; MOVSHOVITZ-HADAR, ZAVSLASKI, INBAR,
1987, entre outras) realizadas na Educação Matemática que destacam o erro como
principal fonte de estudo. Menciona ainda que
o estudo dos erros, na aprendizagem de matemática, tem sido uma questão
de permanente interesse na educação matemática, que tem uma longa
história e que se caracteriza por aproximações e interesses muito
diferentes. Em cada época a análise de erros em educação matemática
tem-se orientado pelas correntes predominantes em pedagogia e psicologia;
também tem estado condicionada pelos objetivos e formas de organização
do currículo de matemática nos correspondentes sistemas educativos.
(RICO, 1998, p. 77, tradução nossa).
51
Analisando o que foi apresentado até o momento, verificamos que, em
determinado período, os pesquisadores (por exemplo, Thorndike) acreditavam que a
repetição de tarefas era uma das formas que os alunos tinham para praticar o que
foi ensinado, além de considerarem que, com o uso dessa prática, era possível
eliminar o erro. Com a evolução dos estudos na área, a linha de pensamento dos
pesquisadores sofreu modificações. Além de provocar mudanças individuais, os
resultados das pesquisas vêm influenciando nas formas de organização do currículo
de Matemática.
Rico (1998) descreve que a maioria das investigações considera as
seguintes características predominantes nos erros cometidos pelos alunos:
 Os erros são surpreendentes e permanecem ocultos para o professor
durante algum tempo.
 Os erros são persistentes e para serem retificados é necessário que
haja uma reorganização do conhecimento do aluno.
 Os erros podem ser sistemáticos ou podem acontecer por engano. No
primeiro tipo de erro, o aluno possui uma compreensão equivocada e a utiliza
achando que está correta. Esse tipo de erro acontece com uma frequência maior e
contribui mais para revelar o processo mental do aluno. No segundo tipo, o erro é
proveniente de lapso, descuido ou esquecimento temporário.
 Os erros acontecem por falta de conhecimento de conceitos e
símbolos.
Assim sendo, Rico (1998) afirma que o professor não pode ignorar a
capacidade do aluno nem tão pouco desprezar os erros que ele comete.
Corroboramos com a afirmativa do autor, pois, ao analisarmos o erro
dentro de um contexto escolar, o fato de o aluno cometer um equívoco, ou uma
falha, ou um descuido provenientes de seu pensamento ou ação, já é o suficiente
para alertar o professor de que alguma coisa está errada e que alguma atitude deve
ser tomada. Usando da criatividade, o professor pode dar um enfoque didático aos
erros, da mesma forma em situações problemáticas, quando as pessoas
conseguem, a partir deles, realizar novas descobertas científicas.
52
Considerando, também, que o erro não pode ser desprezado, De La Torre
(2007) propõe que
[...] o professor pode se valer do erro em outros sentidos, como: analisando
as causas do erro, adotando uma atitude compreensiva, propondo situações
ou processos para que o aluno descubra as suas falhas, utilizando-o como
critério de diferenciação de processos de aprendizagem, etc (DE LA
TORRE, 2007, p. 15-16).
Se a partir do erro o professor é capaz de visualizar as dificuldades do
aluno, então consideramos de fundamental importância que o professor analise o
erro cometido, pois, dessa maneira, poderá ajudar na superação dessas
dificuldades.
Compreendemos que o erro não é uma meta a ser perseguida, mas
também não é um resultado que deve ser ignorado, sem antes analisar o processo
utilizado na resolução da questão, pois após a constatação do erro devemos buscar
a eliminação de sua reincidência. Segundo De La Torre (2007) “O erro é filho da
mudança” (p. 49).
Conforme descrevemos, o erro pode ser visto de duas formas: positiva e
negativa. Para ambas, o erro não apresenta conceito unívoco. Diante disso,
podemos adotar diversos enfoques sobre o erro, em especial na aprendizagem
escolar. De La Torre (2007) apresenta três enfoques que proporcionam um
referencial epistemológico do erro: o erro como falha punível e como efeito a ser
evitado, o erro como sinal de progresso, e, finalmente, o erro como processo
interativo.
 No primeiro caso, o erro é visto como um resultado negativo,
gerando inclusive punição caso seja cometido. Essa consequência negativa não é
vista somente nos tempos atuais, pois há algum tempo as pessoas eram punidas
com o uso de palmatória e por meio de outros tipos de repreensão. Hoje, uma das
punições mais comuns é a exercitação, isto é, acredita-se que se o aluno realizar
uma enorme lista de exercícios, sobre um determinado assunto de qualquer
disciplina, conseguirá aprender o conteúdo desejado e não correrá o risco de
cometer novos erros. Dessa forma, valoriza-se mais a quantidade do que a
qualidade das tarefas realizadas. Quando comete um erro, o aluno não merece
punição, e sim esclarecimento e explicação.
53
 O erro caracterizado pelo segundo enfoque – como sinal de
progresso – apresenta uma conotação positiva. Por meio dele pode-se verificar que
os resultados apresentados sobre conjecturas ou suposições levantadas sobre um
determinado conteúdo não são os esperados. Então, a partir disso, novas hipóteses
e investigações deverão ser formuladas. Nessa situação, o erro indica que o
caminho que estava sendo seguido não é o correto, portanto um novo caminho
deverá ser definido. Podemos afirmar que, nessa situação, o erro estaria
funcionando como um termômetro, ou seja, um instrumento que nos apresenta um
sinal de alerta.
 No terceiro enfoque o erro é tratado como processo interativo, isto
é, como resposta da interação sociocognitiva. O erro não está somente vinculado ao
desenvolvimento mental do aluno, mas também faz parte das normas culturais
definidas em cada sociedade. Assim, enquanto em algumas escolas os professores
se preocupam com o resultado, em outras eles enfatizam mais o processo, dando ao
resultado uma importância relativa.
Entendemos, então, que o erro pode indicar tanto para o aluno quanto
para o professor que existem falhas em algo que foi ensinado. Se o erro for visto por
ambos de forma positiva, o relacionamento entre eles proporcionará diálogo e
interação, sendo possível estabelecer uma comunicação por meio da qual o
professor orientará e guiará a aprendizagem do aluno de acordo com o desejado.
Além dos enfoques citados, De La Torre (2007) apresenta cinco conceitos
ou acepções de erro na aprendizagem: o erro como falta de verdade; o erro como
incorreção por falta de conhecimento ou de clareza; o erro como equívoco; o erro
como desajuste conceitual ou moral; e o erro como sensor de problemas.
No primeiro caso, dizemos que o erro está no julgamento ao afirmar algo
contrário à verdade. Para esse conceito, De La Torre (2007) afirma que “Estar
errado significaria ter um conceito falso ou equivocado sobre uma coisa” (p. 65). O
erro como incorreção por falta de conhecimento ou de clareza se origina de algo
duvidoso ou da confusão de se tomar uma coisa pela outra. Por exemplo, podem-se
confundir palavras devido às semelhanças morfológicas. Já o erro como equívoco
ocorre não pela falta de conhecimento, mas sim no processo de execução. Isso
54
devido ao nervosismo, cansaço, falta de tempo, à dificuldade de se concentrar, entre
outros. O erro como desajuste conceitual ou moral está associado a alguma norma
válida ou correta estabelecida pelo professor e não seguida pelo aluno. Finalmente,
o erro como sensor de problemas é um indicador de processos que não funcionaram
conforme o esperado, pois é decorrente de estratégias cognitivas não apropriadas.
Partindo das teorias e acepções do erro no processo de aprendizagem,
ao atribuirmos um papel positivo a ele reafirmamos o que é dito pelos pesquisadores
quando descrevem que o erro não deve ser desprezado, pois acreditamos que ele
pode estimular o pensamento e produzir uma compreensão mais profunda de
conteúdos em Matemática. Assim, é importante o professor saber o que o aluno
exterioriza, em vez de apenas imaginar seus pensamentos.
Logo, a partir de análise realizada nas resoluções dadas pelos alunos, o
professor poderá identificar não somente os erros cometidos por eles, mas, também,
se as resoluções consideradas corretas não apresentam conceitos incorretos.
Cremos que os erros não devem ser ignorados e muito menos usados
como armadilhas em avaliações elaboradas por professores, mas devem, sim, ser
classificados e analisados para que possam ser identificadas as causas e as
dificuldades encontradas pelos alunos ao descreverem seu raciocínio nas respostas
dadas.
Vimos que é importante os professores verem o erro como uma fonte de
informação. Desse modo, compreendemos que o erro deve ser visto com muita
atenção, pois ele indica a existência de problemas que devem ser tratados. Esses
problemas, muitas vezes persistentes, vão gerando novos problemas se não forem
avaliados rapidamente e da melhor forma possível.
Assim sendo, por meio do erro podemos conhecer a concepção que
determinadas pessoas têm sobre alguns assuntos em Matemática e verificar se são
válidas ou não. Partindo de concepções incorretas, é possível obter novos
conhecimentos. A busca do conhecimento depende muito da interpretação daquilo
que está sendo analisado. Assim, na maioria das vezes, essa busca não acontece
sem que o aluno demonstre incertezas.
55
Neste trabalho, adotamos o princípio de que o erro deve ser visto pelo
professor como um elemento didático e não como algo que deve ser ignorado.
Tratado dessa maneira, o erro se transforma em estratégia de uma pedagogia que
tem como objetivo a superação das dificuldades.
2.3 – O Erro sob Olhares Opostos
Ao considerarmos o erro com significados contrários, ou seja, conotação
negativa ou positiva, teremos, então, formas pedagógicas opostas para o seu
tratamento: a negativa por meio da “pedagogia tradicional” e a positiva por meio da
“nova pedagogia”. Essas nomenclaturas são adotadas por Pinto (2000) e as
empregaremos quando referenciarmos a essas “pedagogias” neste trabalho.
Mostramos, a seguir, como cada uma delas trata o erro.
Muitas vezes o erro é visto como sinônimo de fracasso, provocando no
aluno um sentimento de frustração e o impedindo de buscar alternativas que possam
superar sua recorrência. Confirmando isso, Pinto (2000) afirma que na “pedagogia
tradicional” o erro serve como um indicador de fracasso do aluno, ou seja, no
momento em que o aluno não tem espaço para cometer erros, o seu
desenvolvimento fica limitado. Nesse cenário, o aluno não tem espaço para refletir
sobre o erro sem que sinta medo.
Partindo do pressuposto de que o fracasso provoca o desânimo e,
consequentemente, prejudica a aprendizagem, os professores passaram então a
favorecer o êxito, provocando, assim, o acerto na maioria das vezes em avaliações
realizadas pelos alunos. Esse tipo de procedimento é adotado pela “pedagogia
tradicional”, aquela que procura evitar o erro.
Para que o erro não ocorra, esse tipo de “pedagogia” baseia-se no
princípio de evitamento e no princípio de progressão graduada. Compartilhando das
ideias de Pinto (2000), Starepravo (2010), aponta que
O erro é frequentemente tratado, nas escolas, como algo a ser evitado ou
até mesmo eliminado. Esse tipo de tratamento advém de uma visão
imediatista de aprendizagem: acredita-se que uma boa explicação por parte
do professor, seguida da aplicação nos exercícios pode garantir a
aprendizagem, sem levar em conta que esta trata-se, na realidade, de um
56
processo de construção complexo que está sujeito a rupturas e
reestruturações. (STAREPRAVO, 2010, 228).
Inferimos como já mencionamos que, com o propósito de se evitar o erro,
são criadas tarefas programadas que garantem o mecanismo didático de exercitar.
Assim, o aluno se sente mais seguro e certo do êxito nas atividades desenvolvidas.
É dessa forma que a “pedagogia tradicional” trata o erro, e nela o conhecimento é
visto como algo já construído; o aluno tem a função de adquirir o conhecimento sem
atrapalhar o andamento das atividades didáticas, ou seja, sem errar.
Acreditamos que a adoção da “pedagogia tradicional” não significa a
resolução do problema do fracasso, pois o uso de tarefas programadas não garante
a aprendizagem do aluno. Assim, a “pedagogia tradicional”, além de estimular a
reprodução e a falta de criatividade (provocada pelo imobilismo), acaba
proporcionando o fracasso. Portanto, nessa “pedagogia” as pessoas (professores,
alunos, pais, sociedade, entre outros) valorizam o resultado final sem se preocupar
com o que deixou de ser aprendido.
O erro na “pedagogia tradicional” é visto como um fracasso do aluno. Em
uma nova visão (PINTO, 2000), o erro se torna uma conjectura integrante da
construção do conhecimento. Completando o que foi dito, a autora declara que:
Diferentemente das didáticas tradicionais, em que o erro servia, geralmente,
como indicador do fracasso do aluno, nas novas teorias ele se apresenta
como um reflexo do pensamento da criança, sendo percebido como
manifestação positiva de grande valor pedagógico (PINTO, 2000, p. 10).
Continuando, a autora descreve que o mito do erro enquanto fracasso
tem, aos poucos, cedido lugar para uma “pedagogia” que o admite como elemento
que, ao contrário do que se imaginava, auxilia na reconstrução do conhecimento.
Estaremos nos enganando ao acharmos que não somos capazes de errar; assim,
em contrapartida à “pedagogia tradicional”, existe a “nova pedagogia”.
Na “nova pedagogia”, a aprendizagem é um processo dinâmico, flui nos
dois sentidos: professor-aluno e aluno-professor. Nesse tipo de aprendizagem é
importante o professor saber o que e como os alunos pensam no momento em que
estão aprendendo (RICO, 1998; PINTO, 2000). Portanto, é importante o professor
tratar o erro de uma forma mais intensa, pois, muitas vezes o erro não é
simplesmente uma manifestação de falha de memória, podendo ter raízes mais
57
profundas. Esse tratamento não deve ser feito somente pelo professor, mas também
pelos próprios alunos, sob orientação daquele.
Corroborando com as ideias de Pinto (2000), acreditamos que a “nova
pedagogia” não busca propriamente o erro; ele é aceito por ela como um fato que
faz parte da aprendizagem, exatamente pelo motivo de que toda procura pelo
conhecimento está sujeita a falhas e equívocos. Dessa forma, o erro não deve ser
suprimido. O professor deve assumi-lo como uma tentativa, na qual o aluno planeja
uma estratégia de ação e a coloca em prática.
Acreditamos, ainda, que esse tipo de proposta de trabalho proporciona ao
aluno um ambiente escolar mais descontraído, pois nesse ambiente não estão
incluídos atos punitivos, e sim o favorecimento do diálogo que ajuda o aluno a expor
seus pensamentos sem medo de cometer erros. Assim, o trabalho em grupo, a
colaboração entre colegas, o diálogo entre alunos e professores, tudo isso é
permitido e faz parte do conjunto de recursos didáticos, além de ser utilizado
também como objeto de avaliação.
Enfatizando o que foi descrito, De La Torre (2007) afirma que, pelo fato de
a “nova pedagogia” (denominada por ele como “pedagogia do erro”) se ater à
análise de erros e à intervenção no processo de aprendizagem, ela se torna eficiente
e não somente eficaz como a “pedagogia tradicional” (denominada por ele como
“pedagogia do êxito”). Segundo o autor, isso se deve pelo fato de a eficácia ser
definida em termos da relação objetivos-resultados, ao passo que “A eficiência é
definida em termos de rentabilização de recursos, isto é, de relação entre objetivos,
meios e resultados. Entre os momentos inicial (objetivos) e final (resultados),
introduz a utilização de meios e recursos” (p. 79). Consideramos, assim, que a “nova
pedagogia” se preocupa em avaliar as estruturas do processo ensino-aprendizagem.
Nesse sentido, De La Torre (2007) completa o que foi dito quando
descreve que o erro “Utilizado como estratégia, no entanto, é positivo, desde que
não se cometam excessos” (p. 77). Ele ainda usa de uma comparação para justificar
o que foi descrito: “Os medicamentos curam se tomados em doses adequadas, mas
são prejudiciais se abusarmos deles” (p. 77). O erro utilizado como estratégia tem
58
um valor positivo; isso não significa que ele deva ser estimulado, muito menos
provocado.
Ao fazer uma análise das duas propostas, percebemos que o erro está
sendo tratado por visões diferentes. A primeira visão refere-se à “pedagogia
tradicional”, cuja crença é: aquilo que está faltando ou aquilo que está inadequado
deve ser evitado. A segunda refere-se a “nova pedagogia”, aquela que valoriza o
que o aluno já conhece, procurando então complementar aquilo que está faltando.
A ideia de valorizar aquilo que o aluno já conhece é compartilhada por
Santos e Buriasco (2008) quando afirmam que não querem saber o que apenas falta
aos alunos, mas sim o que eles conhecem, para buscar com eles a construção
daquilo que falta.
O Quadro 1 é um resumo das contraposições entre a “pedagogia
tradicional” e a “nova pedagogia”, retratadas até então.
Quadro 1 – Contraposição Entre “Pedagogia Tradicional” e “Nova Pedagogia”
Continua
Pedagogia Tradicional
Nova Pedagogia
1 – Consideração do Erro
– Desvio da norma. Comportamento
– Desequilíbrio entre o esperado e o
inadaptado.
obtido.
– Elemento regressivo, prejudicial na
– Elemento construtivo, inovação.
aprendizagem.
– Caráter sancionador, punitivo.
– Condição concomitante da
aprendizagem.
– Evitação do erro.
– Aceitação e análise do erro,
diagnóstico.
– Indicador de resultados não– Sintoma de processos de
alcançados.
aprendizagem.
2 – Enfoque Conceitual
– Atenção aos resultados.
– Atenção preferencial aos processos.
– Predomínio de critério de eficácia.
– Predomínio do critério de eficiência.
– Relação entre objetivo-produtos.
– Relação entre processo, meio,
produto.
– Origina pedagogia por objetivos.
– Proporciona pedagogia do processo.
3 – Papel do professor
– Corrige e sanciona erros, equívocos.
– Diagnóstico por meio de erros.
– Cria e planeja ações que asseguram
– Apresenta situações de aprendizagem.
êxito.
59
Quadro 1 – Contraposição Entre “Pedagogia Tradicional” e “Nova Pedagogia”
Continuação
– Dirige as aprendizagens.
– Atitude rígida em relação ao plano
inicial.
– Avalia principalmente os
conhecimentos.
– Orienta e guia as aprendizagens.
– Atitude flexível em relação ao plano
inicial.
– Avalia também processos, estratégias,
etc.
4 – Papel do aluno
– Atitude receptiva em relação ao plano
– Atitude participativa no plano de
de atividades.
atividades.
– Predomina o princípio de
– Integra individualização e socialização.
individualização.
– Aprendizagem centrada em objetivos
– Maior amplitude de aprendizagem.
de conhecimento.
5 – Metodologia
– Exercitação e aplicação.
– Heurística e aprendizagem autônoma.
6 – Avaliação
– Centrada em objetivos conceituais.
– Avaliação de processos, meios e
resultados.
– Instrumentos objetivos ou objetiváveis. – Instrumentos objetivos e subjetivos.
7 – Modelos e estratégias docentes
Pedagogia Tradicional
Nova Pedagogia
– Ensino programado: linear, ramificado. – Aprendizagem autônoma.
– Projetos tecnológicos de instrução.
– Ensino-aprendizagem criativos.
– Ensino Modular.
– Metodologia heurística.
– Ensino individualizado.
– Aprendizagem por meio de
– IPI = Instrução prescrita
experiências.
individualizada.
– Aprendizagem por resolução de
– LAP = Pacotes de atividades de
problemas.
aprendizagem.
– Aprendizagem mediante o
computador.
– LOGO, simulação.
– Aprendizagem compartilhada.
– Aprendizagem colaborativa, entre
iguais.
Fonte: DE LA TORRE, 2007, p. 81, adaptado pela autora.
Como descrito no quadro, o professor que faz uso da “pedagogia
tradicional” utiliza-se da metodologia da prática de exercícios, enquanto que o
professor que adota a “nova pedagogia” trabalha com a metodologia da descoberta,
sendo esta voltada para uma aprendizagem mais autônoma. É notado que na “nova
pedagogia” o papel do professor não é de um expositor, mas sim de uma pessoa
que sugere novas propostas, que cria situações de aprendizagem, de reflexões e
60
estimula o aluno a buscar conceitos e conhecimentos correspondentes ao seu
desenvolvimento.
Conforme exposto, concordamos com os enfoques apresentados pela
“nova pedagogia”, pois acreditamos que o professor deve se preocupar em analisar
e identificar as causas do erro. Por isso, o professor não terá somente como
atividades em sala de aula a explicação do conteúdo, o auxílio ao aluno, a correção
de atividades e a avaliação do conhecimento, mas também deverá se dedicar ao
diagnóstico dos motivos que levaram o aluno a cometer o erro.
De acordo com a explanação feita, confiamos que o erro pode ser
considerado uma pista para conduzir o professor na organização da aprendizagem
do aluno. Nessas condições, sua maior preocupação é compreender como o aluno
aprende, ao passo que na “pedagogia tradicional”, centrada no professor, o
importante é saber o que se ensina.
Por isso, é necessário analisar o erro nas produções escritas dos alunos,
pois acreditamos que, assim, o professor será capaz de reavaliar o processo, propor
novas estratégias didáticas e tomar atitudes que possam retificar os enganos.
2.4 – Análise de Erros na Produção Escrita
A partir da observação e da análise na produção escrita do aluno, o
professor pode dar início à análise de erros. Bisognin, Fioreze e Cury (2005)
afirmam que “Conhecer as concepções dos alunos sobre algum conceito, analisar
como ele pensa ao resolver um problema são elementos que podem fazer da
análise de erros uma forma de analisar a própria prática pedagógica” (p. 32).
Temos como verdade que ao analisar a produção escrita do aluno o
professor está em busca de algo que possa indicar as dificuldades que o aluno
possui e, ainda, verificar que existem formas múltiplas de se resolver o que foi
pedido. Portanto, a análise deve ser cuidadosa, minuciosa e atender a critérios
previamente estabelecidos.
Buriasco, Ferreira e Ciani (2009) descrevem alguns pontos que devem
ser levados em consideração ao se realizar análises em produção escrita, tais como:
61
verificar se as dificuldades encontradas estão relacionadas à linguagem do
enunciado, ao conteúdo matemático, ou a ambos; observar se todas as informações
necessárias para resolução da questão estão disponíveis; certificar-se de que o
enunciado está claro para o aluno e se tal enunciado serve de argumento para
resolução da questão.
Logo, pensamos que a análise realizada na produção escrita com
identificação de erros pode ter um caráter questionador, no sentido de perceber a
origem de suas dificuldades. Por outro lado, os professores também podem refletir
sobre como estão tratando o erro do aluno em sala de aula, de forma coletiva e
individual, e quais atitudes estão sendo tomadas para estimular o aluno a tratar seu
erro.
Acreditamos também que incentivando o aluno a tratar o erro, o professor
estará contribuindo para o seu desenvolvimento. Assim, em vez de usar as aulas
para correção dos erros cometidos pelos alunos, o professor deve ensiná-los a
investigar o porquê desses erros, ou seja, mostrar-lhes que são capazes de
descobrir os motivos dos erros.
Dessa forma, o erro visto como possibilidade de investigação no contexto
educacional resultará em ações que contribuirão para a aprendizagem, eximindo o
professor da repetição de aulas já vivenciadas. Observando os pontos de
dificuldades apresentados pelo aluno, o professor será capaz de tomar decisões que
auxiliem o aluno na superação dos erros, além de estimulá-lo na aprendizagem.
Neste trabalho realizamos a análise de erros em produções escritas dos
alunos originadas de um dos instrumentos utilizado na investigação. Portanto,
explanamos na próxima seção algumas formas de analisá-los.
2.5 – Formas de Analisar os Erros
Apesar de os erros variarem de acordo com cada disciplina e conteúdo, o
professor pode se utilizar da análise de erros em diferentes disciplinas e em vários
níveis de ensino. Exemplos disso são descritos em Ramos (2013) e em Ramos e
Curi (2013a) quando as autoras apresentam a análise de erros realizada em
62
produções escritas de alunos na disciplina de Sistemas Digitais envolvendo circuitos
lógicos.
Confirmando a utilização da análise de erros em diferentes disciplinas, De
La Torre (2007) aponta que,
Entre as didáticas especiais que mais atenção prestaram à análise dos
erros estão o estudo das línguas (em particular a segunda língua) e a
matemática. Enquanto as primeiras focalizam sua atenção nos erros de
execução, a matemática atende aos erros de raciocínio, de compreensão e
de organização biológica da informação (DE LA TORRE, 2007, p. 128).
Assim, o autor propõe um Modelo de Análise Didática dos Erros (MADE),
por meio do qual poderão ser “[...] recolhidas as principais dimensões e categorias
do erro, que podem servir de guia tanto na investigação como para sua análise e
seu tratamento didático” (p. 108). O MADE (FIGURA 1) é composto de três
momentos,
como
qualquer
procedimento
sistêmico:
(processamento) e execução (saída).
Figura 1 – Modelo de Análise Didática dos Erros – MADE
Fonte: DE LA TORRE, 2007, p. 108.
entrada,
organização
63
Descreveremos na sequência, de forma detalhada, como o erro pode ser
utilizado e analisado no sistema educacional por meio dos três momentos do
processo apresentado no MADE.
 Momento de Entrada é, provavelmente, o instante que pode
apresentar o maior número de erros, pois ocorrem problemas de interpretação entre
os dados de entrada (informações inadequadas ou insuficientes) em algum desses
três planos – intenção, percepção e compreensão – e o que precisa ser exibido na
saída após o processamento.
No plano das intenções, o autor abrange três situações do erro (mas
representa somente duas delas no modelo apresentado – FIGURA 1), sendo a
primeira caracterizada pela indefinição de metas ou falta de clareza, ou seja, o
aluno, por um lado, não compreende o que está sendo solicitado pelo professor. Por
outro lado, o professor não deixa claro o que ele quer que seja realizado e nem para
que serve a atividade, gerando ambiguidade de metas. Como exemplo do que foi
dito, o autor descreve que basta entregarmos uma folha com a seguinte instrução:
“escrevam”. Logo, surgirão várias perguntas tentando esclarecer as intenções.
Percebemos então que a clareza de objetivo é importante, pois é a forma de se
ajustar as atividades propostas pelo professor aos alunos.
Ainda no plano das intenções, o autor descreve que a segunda situação é
quando ocorre confusão do objetivo ou da intenção. Os erros cometidos nessa fase
acontecem pela falta de maturidade do aluno em relação ao tipo de objetivo
apresentado em uma atividade. Para que não ocorram erros desse tipo, os objetivos
de uma atividade devem ser traçados pelos professores de acordo com o nível de
conhecimento do aluno. Um exemplo dado pelo autor é quando um professor
apresenta um problema de matemática para alunos de seis anos, sendo que é
adequado para alunos de nove anos.
Os erros cometidos na terceira situação, segundo o autor, são
provenientes do conflito de objetivos ou do desvio da meta fixada. Esse tipo de erro
ocorre quando o aluno vai além daquilo que foi solicitado, mas desviando do
caminho correto a ser seguido, como por exemplo, quando se interessa por uma
parte do assunto e se esquece de desenvolver o restante da questão.
64
De La Torre (2007) menciona que os erros correspondentes à categoria
das intenções podem ser facilmente evitados, pois, na maioria das vezes, o próprio
professor é o principal responsável pela indução do aluno ao erro.
No segundo plano, plano das percepções, ainda no momento de
entrada, o autor afirma que os erros cometidos pela inadequada percepção da
informação são em sua maioria de responsabilidade da metodologia docente ou da
capacidade discente. Três são as modalidades da categoria de percepção: erros de
omissão, de redundância e de distorção.
Os primeiros, erros de omissão, são devido à ausência de informação
suficiente. Muitas vezes o professor acha que os alunos possuem o conhecimento
de um conteúdo e dá isso por sabido. De La Torre (2007) menciona uma frase que
muitas vezes é utilizada por professores em sala de aula: “Isto vocês já sabem de
anos anteriores.” (p. 112). Assim, o professor deixa claro que não é preciso explicar
aquele conteúdo.
O autor revela ainda que alguns alunos cometem erros devido à
redundância de informação (segundo tipo de erro descrito pelo autor nesse plano). A
repetição costuma ajudar alguns, mas atrapalha outros. Dessa forma, muita
informação nova dificulta a assimilação, ou seja, excessiva redundância leva à
ineficácia.
O último tipo de erro no plano das percepções são os erros de distorção
normalmente acontecem quando a informação é pouco clara, confusa, ambígua e
algumas vezes, estranha aos interesses cognitivos. Às vezes, o aluno sente que
sabe, mas distorce, pelo fato de simplificar tanto os dados que acaba alterando o
significado deles. Muitas vezes os alunos não conseguem distinguir entre a própria
interpretação subjetiva dos fatos e os fatos mesmos, supondo, assim, que sua
interpretação é correta.
O último plano do momento de entrada, de acordo com De La Torre
(2007), é o plano da compreensão, no qual estão os erros de compreensão léxica,
conceitual ou lógica. São erros que acontecem geralmente pela falta de
compreensão da tarefa. Ao compreender um conteúdo o aluno deve ser capaz de
expressá-lo com sua própria linguagem; quando isso não é possível, o aluno acaba
65
cometendo erros dessa natureza. Erros de compreensão léxica ocorrem, por
exemplo, no uso de palavras novas ou difíceis em atividades. Para o autor, quando o
aluno sai de uma sala de aula sem compreender a matéria, ele terá grandes
chances de cometer erros conceituais, caso isso não seja compensado com muitas
horas de estudo em casa. Os erros de compreensão lógica são descritos pelo autor
como fruto do funcionamento mental. Ele cita que não é fácil distinguir um erro de
compreensão conceitual de um erro de compreensão lógica.
 Momento de Organização dos Dados é o próximo passo a ser
realizado, após a obtenção das informações de entrada. É nesse momento que os
processos cognitivos do aluno são colocados em prática. Esses tipos de erros estão
associados à análise e síntese da informação obtida, à ordenação dessa
informação e à sua conexão com o conhecimento. Segundo De La Torre (2007),
“Os erros de organização ocorrem quando o sujeito trata de mudar a informação de
que dispõe para dar com a resposta que lhe é pedida” (p. 118). O aluno pode
cometer
erros
nas diversas
etapas
descritas
anteriormente
ao
organizar
incorretamente as informações. Esses erros ocorrem ao analisar e sintetizar as
informações de entrada ao ordená-las em sequência ou ao fazer conexões dessas
informações com o conhecimento que possui.
Um exemplo de análise e síntese descrito em De La Torre (2007) é o
seguinte
Se propomos resumir em uma as idéias de duas frases, muitos sujeitos
teriam dificuldades de análise e síntese. Por exemplo: “Antônio escreve um
conto que lhe pediram no colégio. Seu irmão Juan está fazendo os
exercícios de matemática”. Uma síntese poderia ser: “Antônio e Juan, que
são irmãos, estão fazendo os deveres do colégio”. (DE LA TORRE, 2007, p.
119).
Assim, vimos que a síntese está associada à capacidade de análise do
que está sendo lido.
A ordenação é fundamental não só para tomar decisões, mas para
resolver problemas. Sequenciamos as ideias tanto na fala, quanto na escrita. Um
exemplo de ordenação e sequenciação da informação dado pelo autor é o aluno
ordenar frações da maior para a menor levando em consideração somente o
numerador.
66
Os erros de conexão acontecem quando os alunos não conseguem
transferir conhecimentos que já possuem para novas situações. Um exemplo
descrito por De La Torre (2007) é que alguns alunos do 6º ou 7º ano do Ensino
Fundamental não conseguem identificar um triângulo retângulo quando o ângulo reto
não está na base.
 No Momento de Execução, os erros são cometidos com mais
frequência por alunos que gostam de arriscar novos caminhos na resolução de um
problema, sendo muito comum a ocorrência com alunos hiperativos. Esses erros são
identificados por De La Torre (2007) como erros mecânicos – acontecem quando
há uma troca de sinal, de letras ou até mesmo de palavras; erros operacionais – os
quais têm o nervosismo como uma das causas frequentes, ocorrendo ao se operar
ou executar um procedimento; e, finalmente, erros estratégicos – são erros de
procedimento, ou seja, acontecem quando o aluno comete um equívoco na
utilização de uma estratégia adequada ao resolver um problema.
A partir da análise de erros, é possível perceber os erros cometidos em
qualquer um dos três momentos (entrada, organização e execução da informação),
trazendo, assim, contribuições para o professor e para o aluno, pois, como aponta
De La Torre (2007), “[...] os erros de execução e de organização têm a ver
principalmente com as aptidões pessoais, e os erros de entrada estão muito
condicionados pela atuação do professor e pelo método empregado” (p. 130). Para
isso, no capítulo de análise dos dados, categorizamos, segundo o MADE, os tipos
de erros que identificamos no teste investigativo, deixando, então, contribuições para
os professores e alunos.
O MADE é um modelo proposto em De La Torre (2007), mas existem
outras formas de se analisar os erros, que serão apresentadas a seguir.
Conforme Pinto (2000), na “nova pedagogia” não é só o professor que
exerce o papel de analisar os erros, compete também ao aluno esse papel. Para que
o aprendizado tenha um caráter construtivista é necessária a participação do aluno
de forma ativa nessa construção do conhecimento. Quando o aluno consegue
identificar o erro, ele se torna capaz de corrigi-lo. Nessa situação, a autora descreve
que o erro passa a ser “observável” para o aluno.
67
Para isso, a autora descreve uma forma de classificar e ordenar as
respostas dadas pelos alunos, segundo seu nível de desenvolvimento, por meio da
teoria psicogenética. Essa teoria, apresentada por Pinto (2000), é agrupada em três
diferentes níveis:
 Nível A: O aluno é indiferente ao erro, pois não compreende e nem
resolve o problema proposto. Ele não consegue identificar as relações entre a forma
correta e a forma errada, não reconhece o erro. Nessa situação não adianta o
professor intervir de forma rotineira, como, por exemplo, sugerindo repetição de
tarefas, pois nessa situação os erros são, na maioria das vezes, de ordem
conceitual. A repetição nesses casos faz com que o erro se torne sistemático. Assim,
cabe ao professor uma intervenção com o aluno para ajudá-lo a compreender aquilo
que não consegue perceber.
 Nível B: O aluno consegue perceber o erro como algo que precisa ser
retificado, mas não consegue superá-lo sozinho. Esses erros são gerados, por
exemplo, a partir da incompreensão ou distração do que foi pedido. Eles podem ser
superados com a ajuda do professor, dos pares ou dos livros.
 Nível C: O aluno tem consciência do seu erro, ele sabe que errou e
porque errou. Por isso, nessa situação, o erro é considerado “observável”. Na
maioria das vezes, o próprio aluno consegue corrigir o seu erro e também se
encontra em condições de ajudar os seus pares. Esses erros ocorrem por “distração”
e, às vezes, nem são considerados erros.
Ao analisarmos os níveis descritos anteriormente, achamos que é
fundamental que o erro seja “observável” pelo aluno, pois, somente assim, ele
poderá corrigi-lo, superá-lo e até mesmo ajudar seus colegas a fazerem o mesmo.
Dessa forma, o aluno torna-se capaz de aprender com os próprios erros. Há de se
considerar essa possibilidade desde que haja um rompimento por parte do professor
com a “pedagogia tradicional”, ou seja, analisar o erro a partir de uma perspectiva
construtivista, pois, nessa perspectiva, tanto o erro quanto o acerto fazem parte do
processo de descoberta.
No Manual para Correção das Provas com Questões Abertas de
Matemática, Buriasco, Cyrino e Soares (2003) apresentam outra forma de avaliar a
68
produção escrita e analisar os erros cometidos pelos alunos. Elas utilizaram
codificação para pontuar as questões respondidas pelos alunos, sendo essa
codificação dividida em três partes: indicação de créditos, o uso de código numérico
de dois ou três dígitos e o uso de códigos numéricos especiais.
Para a indicação de crédito são utilizados os seguintes códigos: “crédito
completo” (código 2) – indica a resolução do professor e também resoluções
apresentadas de forma correta pelos alunos, mas diferente do modo da resolução do
professor; o título “crédito parcial” (código 1) – usado para indicar resoluções
parcialmente corretas; e o título “nenhum crédito” (código 0 e 9) – indica resolução
incorreta ou omissões.
O uso de código numérico de dois ou três dígitos tem a finalidade de
apontar as várias maneiras de resolução apresentadas pelos alunos. Por exemplo,
uma questão apresentada de forma correta pode receber o código 2.1 ou 2.2 ou
2.10, etc., sendo que o primeiro algarismo indica que os alunos receberam “crédito
completo”, e o segundo/terceiro algarismo indica a variedade de respostas
apresentadas por todos os alunos.
Os códigos numéricos especiais são usados para indicar uma tentativa
incorreta do aluno ou falta de tentativa de resolução. Por exemplo, código 0 – o
aluno realizou uma tentativa; código 0X – o aluno escreve que não sabe a questão,
ou que ela é de difícil resolução, entre outros; código 9 – o aluno nem tenta
responder a questão ou escreve que não houve tempo.
Na análise de erros realizada em uma questão de circuitos lógicos na
disciplina de Sistemas Digitais, Ramos e Curi (2013a) utilizam quatro categorias
relacionadas aos erros identificados: esboço incorreto do gráfico Q, esboço incorreto
do gráfico Q’, esboço incorreto dos gráficos S1 e/ou S2 e ausência de esboço em
um dos gráficos.
Utilizando-se dessas ou outras formas de analisar o erro, o professor
pode criar situações nas quais os alunos sejam encorajados a analisar e retificar
seus próprios erros. Além disso, o professor pode transformar os erros que são
constituídos de conhecimento em questões que podem ser trabalhadas por ele e
pelos alunos, promovendo com isso o aprendizado.
69
Neste trabalho, com a finalidade de ajudar a identificar os erros cometidos
pelos alunos em um dos instrumentos investigativos, utilizamos da indicação de
crédito para a análise da produção escrita com o objetivo de classificar as
resoluções em corretas, parcialmente corretas e incorretas. Em seguida, fizemos
uma análise dos erros nas resoluções parcialmente corretas e incorretas, criando
categorias de erros para responder às três primeiras questões de investigação.
Finalmente, para categorizar esses erros numa perspectiva didática e respondermos
à última questão de pesquisa, escolhemos o MADE. Detalhamos as nossas
escolhas no capítulo de metodologia de pesquisa.
2.6 – As Três Fases do Tratamento Didático do Erro
De La Torre (2007) traz diversos autores, entre eles, SALVADO (1990),
que concordam com ele ao assinalarem as fases do tratamento didático do erro,
embora utilizem denominações diferentes. As fases indicadas por ele são: detecção,
identificação e retificação. Tratar o erro utilizando as três fases, segundo Ramos
(2013), é uma estratégia didática na qual
A detecção do erro pode ser realizada pelo professor ao corrigir uma
atividade, pelo aluno ao refazer o exercício com a colaboração de um
colega ou com a ajuda de um software. O método de colaboração (alunoaluno ou software) não é só importante para a detecção do erro, mas
também para a identificação e retificação (RAMOS, 2013, p. 4).
Assim, a primeira fase, que consiste em detectar os erros, pode ser
realizada pelo professor (que é o principal agente de detecção de erros), pelo aluno
ou pelos colegas. Sabemos que a detecção de erros em provas é mais fácil de ser
realizada, mas em ações é mais difícil, pois quase sempre o aluno não se expõe
frente aos colegas. Sem essa fase não é possível passar para as outras.
Existem técnicas usuais para comunicar o erro ao aluno sem deixá-lo
constrangido perante os colegas. Algumas delas são descritas por De La Torre
(2007):
 Repetição do expressado: por exemplo, quando o professor solicita
ao aluno que repita o que falou na tentativa de alertá-lo para o erro.
70
 A interrogação: é uma excelente técnica, pois induz o aluno a pensar
o que acabou de dizer.
 A comunicação não verbal: por meio de expressões de espanto,
surpresa, insatisfação e outras.
 A correção coletiva: é eficaz e rápida, mas não é eficiente, pois deixa
de tratar as particularidades.
 A correção cruzada: usada até mesmo para os colegas identificarem
os erros uns dos outros. Pode ser usada como uma proposta de avaliação.
 A caça do erro: consiste em uma atividade proposta pelo professor, o
qual solicita ao aluno que encontre erros em questões resolvidas de forma incorreta.
Também é uma proposta de avaliação.
Acreditamos que a utilização dessas técnicas seja fundamental para a
detecção do erro, além de contribuir com o professor no prosseguimento da próxima
fase do tratamento didático do erro.
A segunda fase é a identificação dos erros, e muitas vezes não é
realizada pelos professores. Sabemos que em grande maioria, os professores se
detêm à primeira fase, utilizando a técnica de correção coletiva. Essa segunda fase
é importante, pois nela é possível o professor constatar de onde vem o desajuste.
Para De La Torre (2007) “Seria um grave erro avaliativo do professor tratar por igual
qualquer desacordo com a resposta esperada” (p. 134).
É muito importante o aluno identificar o que o levou a cometer o engano,
pois o que errou e onde errou ele já sabe. Essa identificação não tem de ser feita
necessariamente pelo professor, pode ser feita por meio da interação professoraluno e até mesmo entre aluno-aluno (RAMOS, 2013; RAMOS e CURI, 2013a).
Na fase de identificação dos erros, o professor pode usar propostas já
existentes, como, por exemplo, em De La Torre (2007), Silva e Buriasco (2005),
Ramos (2013), Ramos e Curi (2013a) entre outros; ou pode criar a sua própria
classificação baseada em categorias, conforme o conteúdo analisado.
71
Após a detecção e identificação, os erros poderão ser retificados com o
intuito de serem eliminados. A maior preocupação nessa fase é a de conseguir
modificar algo que não está correto no aprendizado do aluno e não somente a de
correção feita pelo professor (DE LA TORRE, 2007). Acreditamos que o mais
importante é a participação e reflexão do aluno sobre seus erros. Ainda nessa fase,
a correção poderá ser feita pelo professor, pelo próprio aluno ou por seus pares.
Compartilhando com o que foi mencionado, Correia (2007) afirma que a
análise individualizada da resolução do aluno possibilita ao professor detectar erros
não esperados e que necessitam ser corrigidos também de forma individualizada.
Completando, Pinheiro (2009) afirma que quando a correção é realizada com o
aluno dessa forma, ela “[...] pode estimular competências de argumentação. Permite
ao professor compreender as hipóteses, as dúvidas e relações equivocadas que os
alunos estabelecem entre os conceitos e suas aplicações.” (p. 59).
De La Torre (2007) sugere algumas estratégias de correção dos erros,
mencionadas por alguns autores:
 Criação de ficha-registro de erros, usando uma ficha para cada tipo de
erro do MADE, onde o professor poderá registrar para cada erro o tipo, descrição,
correção e estratégia de retificação.
 Correção de erros por meio de atividades individuais ou em grupo,
utilizando erros já cometidos por outros alunos. Não é só corrigir os erros, mas
explicar porque está errado.
 A retificação poderá ser uma segunda oportunidade de avaliação na
qual o aluno poderá apresentar o exercício ou trabalho novamente, depois que o
professor realizar determinadas observações.
 Correção cooperativa dos próprios erros com seus colegas. Isso
proporciona discussão e quando for preciso o professor fará intervenções. Essa
estratégia pode ser verificada em Ramos (2013).
 Correção de exercícios mal resolvidos como atividades, pois contribui
para reconhecer processos desde sua apresentação inicial até sua execução.
72
 A caça do erro do professor, quando o aluno deverá descobrir o erro
cometido pelo professor. Se o aluno descobrir, ele ganha o ponto, se não, quem
ganha o ponto é o professor.
 É muito importante a aplicação da autorreflexão ou metacognição no
Ensino Médio ou Ensino Superior, pois é uma forma de o aluno refletir sobre os
erros cometidos, por meio de uma descrição de como os erros ocorreram e a que se
devem.
Percebemos, então, que se faz necessária uma renovação didática, ou
seja, uma mudança de metodologia que possibilite cumprir as três fases do
tratamento didático do erro. Em nossa pesquisa realizaremos as duas primeiras
fases do tratamento didático do erro: detecção e identificação dos tipos de erros
cometidos pelos alunos.
2.7 – Considerações Sobre o Erro
A partir das exposições do capítulo, destacamos a seguir as questões que
serão consideradas na análise dos dados e nas considerações finais.
Com a finalidade de identificar os erros cometidos pelos alunos em um
dos instrumentos utilizados na investigação, consideraremos os seguintes
procedimentos na análise dos dados:
 Utilização da indicação de crédito neste trabalho para a análise da
produção escrita do instrumento analisado, com o objetivo de identificar as respostas
corretas, parcialmente corretas e incorretas.
 A análise da produção escrita acompanhada da análise do erro,
realizada detalhadamente pode contribuir para uma melhor compreensão e
aprendizagem da Matemática.
 Criação de categorias que facilitem a identificação das dificuldades que
levaram o aluno a cometer determinado erro.
73
Com o objetivo de categorizar os tipos de erros identificados em nossa
análise de dados, sob a perspectiva de uma análise didática do erro,
consideraremos os seguintes procedimentos:
 Utilização do Modelo de Análise Didática dos Erros (MADE) como guia,
tanto na investigação quanto na análise e tratamento didático do erro (DE LA
TORRE, 2007).
 Utilização da teoria psicogenética, segundo Pinto (2000), como forma
de classificar e ordenar as respostas dadas pelos alunos, segundo seu nível de
desenvolvimento.
No diálogo com a literatura e nas considerações finais serão descritas as
contribuições emergidas por meio do desenvolvimento da pesquisa, com o intuito de
auxiliar o Ensino de Matemática. Para isso, levaremos em consideração que:
 A relação existente entre as palavras dificuldade e erro utilizada neste
trabalho será a afirmação de que o erro é uma manifestação visível de uma
dificuldade (SOCAS, apud LUPIÁÑEZ, 2013).
 O erro é visto de forma positiva e criativa, como sugerido por De La
Torre (2007). A pedagogia em que acreditamos baseia-se na “didática do erro”, a
qual está centrada nos processos, nas estratégias e nos procedimentos e não
baseada somente no domínio do conteúdo.
 O erro não pode ser desprezado, pois revela um conhecimento que o
aluno já possui. Por meio do erro é possível estimular o pensamento e proporcionar
uma compreensão mais profunda de conteúdos em Matemática (RICO, 1998;
PINTO, 2000; DE LA TORRE, 2007).
 Os erros devem ser discutidos e usados como um método de
aprendizagem, por esse motivo os professores devem se preocupar muito mais com
o processo do que com o produto das produções escritas. Dessa maneira, o erro
será visto de forma construtivista.
 Na “nova pedagogia”, a aprendizagem é um processo dinâmico, flui
nos dois sentidos: professor-aluno e aluno-professor. Nesse tipo de aprendizagem, é
74
importante o professor saber o que e como os alunos pensam no momento em que
estão aprendendo. Ela não busca propriamente o erro; ele é aceito por ela como um
fato que faz parte da aprendizagem, exatamente pelo motivo de que toda procura
pelo conhecimento está sujeita a falhas e equívocos. Nessa “pedagogia” não é só o
professor que analisa os erros; compete também ao aluno essa tarefa. Para que o
aprendizado tenha um caráter construtivista é necessária a participação do aluno de
forma ativa nessa construção do conhecimento. Quando o aluno consegue
identificar o erro, ele então se torna capaz de corrigi-lo.
 A análise de erros pode ser conduzida utilizando-se das três fases do
tratamento didático do erro: detecção, identificação e retificação.
 O erro pode ser considerado uma pista para conduzir o professor na
organização da aprendizagem do aluno, pois, nessas condições, a maior
preocupação do professor é compreender como o aluno aprende.
 Partindo dos indicativos do erro, o professor será capaz de reavaliar o
processo, propor novas estratégias didáticas e tomar atitudes que possam retificar
os enganos.
Vimos neste capítulo diversas teorias, definições e formas de se tratar o
erro. As ideias aqui apresentadas vêm sendo aplicadas, modificadas, adaptadas,
aprofundadas de acordo com o objetivo de investigação de cada pesquisador. Nos
próximos capítulos, serão mostradas as formas que utilizamos para identificar e
analisar os erros cometidos pelos alunos que participaram desta investigação.
75
CAPÍTULO 3 – METODOLOGIA DA PESQUISA
Neste capítulo serão apresentados os itens que compõem a metodologia
da pesquisa. Começamos pela fundamentação teórica da pesquisa qualitativa,
descrevemos sobre os instrumentos de investigação desenvolvidos, sobre os
critérios utilizados para a análise de dados e, por último, a descrição das etapas de
investigação.
3.1 – A Pesquisa Científica de Cunho Qualitativo
Ao buscar o significado da palavra “pesquisa” no dicionário eletrônico
Houaiss da Língua Portuguesa (2001, n.p.), encontramos: “conjunto de atividades
que têm por finalidade a descoberta de novos conhecimentos no domínio científico,
literário, artístico etc.”. Ao pesquisar o significado da palavra “científico”, achamos:
“relativo à ou próprio da ciência”. Associando os dois significados, tem-se que a
pesquisa científica é um conjunto de atividades que tem por finalidade a descoberta
de novos conhecimentos relativos à ciência.
Para Goldenberg (2004), pesquisar é construir conhecimento de forma
organizada, produtiva, de forma a provocar um avanço na área que está sendo
investigada. Para atingir tal objetivo, a autora afirma que “A pesquisa científica exige
criatividade, disciplina, organização e modéstia, baseando-se no confronto
permanente entre o possível e o impossível, entre o conhecimento e a ignorância”
(p. 13). Bicudo (2012), ao referir-se à palavra “pesquisa”, afirma que “Pesquisa
pressupõe perquirir, de modo atento e rigoroso, o que nos chama a atenção e nos
causa desconforto e perplexidade.” (p. 19).
Desse modo, nossa pretensão com esta pesquisa se coaduna com as
descrições
feitas anteriormente,
ou
seja,
investigar
atentamente
questões
relacionadas aos erros matemáticos dos alunos que responderão às perguntas
levantadas, procurando elucidar aspectos do objeto em estudo. Tal investigação foi
realizada ao observarmos as dificuldades apresentadas pelos alunos na disciplina
de Matemática, o que nos chamou a atenção, além de nos causar certo desconforto.
76
Por esse motivo, a nossa pesquisa possui como referencial teóricometodológico o eixo referente à Análise Didática dos Erros, particularmente, os erros
matemáticos cometidos pelos alunos nos conteúdos em que nos propusemos a
investigar. A definição de um referencial teórico é importante, pois, segundo Bogdan
e Biklen (1994) “toda investigação se baseia numa orientação teórica. Os bons
investigadores estão conscientes dos seus fundamentos teóricos, servindo-se deles
para recolher e analisar os dados.” (p. 52).
Por se tratar de uma investigação em que ocorrerá um aprofundamento
da compreensão dos tipos de erros encontrados pelos alunos na disciplina de
Matemática utilizando-se produções escritas, escolhemos a metodologia de
pesquisa qualitativa, por meio da análise de conteúdo. A adoção dessa metodologia
se deve pelo fato de o pesquisador, na pesquisa qualitativa, se preocupar em
compreender de maneira profunda um determinado problema apresentado por um
grupo de pessoas, uma instituição, uma organização, entre outras.
Assim, segundo Goldenberg (2004), a pesquisa qualitativa destaca “[...]
as particularidades de um fenômeno em termos de seu significado para o grupo
pesquisado. É como um mergulho em profundidade dentro de um grupo ‘bom para
pensar’ questões relevantes para o tema estudado.” (p. 50).
A escolha da metodologia utilizada depende do objetivo da pesquisa e,
para isso, é importante definir os tipos de dados que serão coletados. No caso da
pesquisa qualitativa, Creswell (2007) descreve que “[...] é aquela em que o
investigador sempre faz alegações de conhecimento com base principalmente ou
em perspectivas construtivista [...] ou em perspectivas reivindicatórias/participatórias”
(p. 35). Esse tipo de pesquisa, segundo o autor, desenvolve um tema a partir dos
dados coletados. Para a realização desta pesquisa, utilizamos instrumentos
relacionados à pesquisa qualitativa, ou seja, os dados foram coletados por meio dos
instrumentos de questionário e teste de investigação (APÊNDICES C e D), os quais
serão descritos neste capítulo.
Bogdan e Biklen (1994) afirmam que quais sejam os instrumentos
utilizados para coletar dados, tais como equipamento de vídeo em sala de aula,
bloco de apontamento, questionário, teste, entrevista, todos são adequados à
77
investigação qualitativa. Para os autores, a investigação qualitativa possui cinco
características que não podemos deixar de mencionar:
 O investigador é o instrumento principal da investigação. Ele
adentra no ambiente a ser investigado, com os instrumentos necessários, para a
realização da coleta dos dados, pois sua preocupação é com o contexto a ser
analisado. Para ele, o comportamento humano é muito influenciado pelo contexto
em que se encontra.
 Esse tipo de investigação é descritiva, ou seja, os dados coletados
são em forma de imagens ou palavras e não em forma de números. Assim, nos
relatórios aparecem muitas citações ou formas narrativas correspondentes à
investigação realizada.
 O investigador qualitativo se interessa pelo processo e muito
pouco pelo resultado ou produto. Por esse motivo, ele não foca sua investigação em
pré e pós-testes, que são utilizados para verificação de mudanças.
 A análise de dados é feita de forma indutiva, isto é, os dados não
são recolhidos com o objetivo de confirmar hipóteses previamente construídas. Em
vez disso, as afirmações são construídas à medida que análises vão sendo
realizadas.
 A atenção especial do pesquisador está focada no significado que
as pessoas dão à sua própria vida e às suas coisas. Nesse caso, o pesquisador
tem o interesse de capturar a maneira como os participantes enxergam as questões
que estão sendo investigadas.
Reforçamos a investigação qualitativa deste trabalho a partir das cinco
características
apresentadas
e,
por
meio
dos
instrumentos
utilizados,
responderemos às questões aqui colocadas.
3.2 – Instrumentos de Coleta de Dados
Antes de efetuarmos a coleta de dados com os alunos que participaram
da investigação, foi realizada uma reunião no dia 23 de outubro de 2013 para
78
esclarecermos como seria executada a pesquisa. Mas, mesmo anterior a essa
reunião, a pesquisadora já vinha conversando com os alunos sobre a investigação
que seria feita. As conversas ocorriam durante as aulas que a pesquisadora
ministrava aos alunos, na disciplina de Sistemas Digitais, principalmente quando
eles cometiam erros matemáticos em atividades da disciplina.
Assim, esta pesquisadora não era uma pessoa estranha aos alunos e,
nos momentos da investigação, não nos apresentamos como professoras, e sim
como pesquisadoras, sempre procurando informar que as atividades que seriam
realizadas tinham “[...] como objetivo não uma avaliação, mas uma pesquisa”
(D’AMORE, 2007, p. 121). A nossa preocupação sempre foi a de deixar claro para
os alunos que eles registrassem nos instrumentos o que realmente sabiam, o seu
conhecimento sobre o conteúdo.
Os instrumentos de coleta de dados utilizados na pesquisa foram:
a) Instrumento I – Questionário (APÊNDICE C)
O questionário é uma fonte de complementação especialmente na fase
inicial da pesquisa. Por meio de um questionário é possível caracterizar e descrever
o participante da pesquisa, destacando as variáveis do tipo idade, nível de
escolaridade, entre outros. Na nossa pesquisa, o objetivo real desse instrumento é
investigar dados que irão complementar a análise que será realizada no instrumento
II. Esse questionário permitiu traçar o perfil da turma selecionada. Foi aplicado no
segundo semestre do ano letivo de 2013 (29 de outubro de 2013), contendo
questões fechadas com quatro opções de escolha em cada questão, podendo o
aluno escolher apenas uma das opções como resposta.
O objetivo principal desse questionário era identificar o grau de
dificuldades declarado pelos alunos nos conteúdos de Matemática (nos níveis dos
Ensinos Fundamental e Médio), além de coletar dados sobre o grau de contribuição
do Ensino Fundamental com relação ao Ensino Médio. As respostas obtidas
serviram para nos orientar na identificação de erros apresentados no instrumento II.
Além disso, pudemos verificar, por meio desses instrumentos, se os alunos
reconheciam os conteúdos nos quais disseram apresentar maiores dificuldades e
que os levaram a cometer erros.
79
Para elaboração do questionário, foi feita leitura e análise da ementa da
disciplina de Matemática (ANEXO B), referente ao curso de Eletrotécnica, a qual nos
foi fornecida pela Coordenação de Matemática do CEFET-MG. Além de consultar a
ementa da disciplina, foi consultado e analisado o conteúdo do livro de Matemática
(BARROSO, 2010) usado como livro-texto. Esse livro é emprestado pela escola para
uso do aluno em todo ano letivo. Também foram consultados livros de Matemática
usados nos anos finais do Ensino Fundamental, além de outros livros referentes ao
Ensino Médio.
b) Instrumento II – Teste Investigativo (APÊNDICE D)
De acordo com as normas acadêmicas do CEFET-MG (2014), a avaliação
somativa (AS) “apresenta caráter quantitativo e qualitativo e visa verificar o resultado
do processo de ensino-aprendizagem em sua totalidade.” (p. 5). Essa avaliação é
realizada ao final do 2º e do 4º bimestres e, para cada uma, o valor atribuído é 12
pontos. O valor total de cada um desses bimestres é de 30 pontos.
Os assuntos abordados nessa avaliação englobam todo o conteúdo
programático do 1º semestre: Conjuntos Numéricos e Intervalos Reais, Equações,
Inequações e Funções Afim, Polinomial do 2º Grau, Modular, Exponencial e
Logarítmica. Todos os alunos do 1º ano integrado dos Campi I e II, em cada turno,
realizam a mesma AS para as disciplinas de formação geral.
Para a elaboração do Instrumento II, foi analisada a AS (ANEXO C) da
disciplina de Matemática, realizada pelos alunos no término do 1º semestre letivo de
2013. Para isso, a pesquisadora fotocopiou todas as provas e analisou questão por
questão, procurando identificar os pontos nos quais os alunos apresentaram maior
dificuldade durante a resolução. As análises de duas das 20 questões dessa
avaliação foram publicadas em artigo de Ramos e Curi (2014).
A partir dessas análises foram elaboradas as questões do Instrumento II,
pensadas em conformidade com os itens que compõem o Instrumento I. Esse
instrumento, por sua vez, abrange os itens inerentes à ementa da disciplina (ANEXO
B), cujo conteúdo é lecionado no 1º semestre letivo de cada ano e propostos na 1ª
avaliação institucional (AS).
80
Dessa forma, houve a preocupação de elaborar questões para cada
conteúdo investigado: Conjuntos Numéricos e Intervalos Reais, Equações,
Inequações e Funções Afim, Polinomial do 2º Grau, Modular, Exponencial e
Logarítmica. Tais questões foram retiradas do livro-texto adotado em sala de aula
(BARROSO, 2010) e das avaliações somativas de 2010 e 2012 do CEFET-MG. Com
o objetivo de identificar as dificuldades dos alunos em realizarem operações de
soma, subtração, multiplicação e divisão, alguns valores numéricos de determinadas
questões sofreram adaptações.
O Quadro 2 relaciona cada questão do Instrumento II com as perguntas
apresentadas no Instrumento I. Assim, fica mais fácil identificar o que foi analisado
com relação aos possíveis erros cometidos pelos alunos em cada questão. A
apresentação de cada item relacionado no Quadro 2 se encontra no questionário
apresentado no APÊNDICE C.
Quadro 2 – Relação entre Instrumento I e Instrumento II
Continua
Instrum. II
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
X
14
15
16
17
18
X
X
X
X
X
19
20
Instrum. I
5.1.1
X
X
X
X
X
X
X
X
X
5.1.2
X
X
X
X
X
X
X
X
X
5.1.3
X
X
5.1.4
X
5.2.1
X
X
X
X
5.2.2
5.2.3
X
5.2.4
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
5.3.2
X
X
X
X
X
5.3.3
X
X
X
X
X
5.3.4
X
7.1.1
X
X
X
X
X
X
X
7.1.2
X
X
7.1.3
X
X
X
X
X
5.3.1
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
81
Quadro 2 – Relação entre Instrumento I e Instrumento II
Continuação
Instrum. II
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Instrum. I
7.2.1
X
7.2.2
X
7.2.3
X
7.2.4
X
7.2.5
X
7.2.6
7.2.7
X
X
7.3.1
X
7.3.2
X
X
7.4.1
X
7.4.2
X
7.4.3
7.4.4
X
X
X
X
X
X
7.5.1
X
X
X
7.5.2
X
X
X
7.5.3
X
X
7.5.4
X
7.5.5
X
7.5.6
X
7.6.1
X
X
7.6.2
X
X
7.6.3
7.6.4
X
X
X
X
7.6.5
X
7.7.1
X
X
X
7.7.2
X
X
X
7.7.3
X
X
7.7.4
7.7.5
X
X
7.7.6
7.7.7
Fonte: Elaborado pela pesquisadora, 2013.
X
X
X
82
Observa-se no Quadro 2 que os itens 5.1.1 e 5.1.2, que verificam as
dificuldades do aluno ao efetuar operações de adição, subtração, multiplicação e
divisão com números reais, puderam ser analisados em quase todas as questões.
3.3 – Critérios para Análise de Dados
A análise dos dados é a etapa que exige maior dedicação, pois é nesse
momento que o conhecimento teórico será importante para a obtenção de resultados
e considerações finais. Para Bogdan e Biklen (1994),
A análise de dados é o processo de busca e de organização sistemático de
transcrições de entrevistas, de notas de campo e de outros materiais que
foram sendo acumulados, com o objetivo de aumentar a sua própria
compreensão desses mesmos materiais e de lhe permitir apresentar aos
outros aquilo que encontrou. (BOGDAN; BIKLEN, 1994, p. 205, grifo nosso).
3.3.1 – A Análise de Conteúdo
Como já anunciado, usamos neste trabalho a metodologia de pesquisa
qualitativa por meio da análise de conteúdo descrita por Bardin (1977). Para a
autora, na análise qualitativa, o que serve de informação “é a presença ou a
ausência de uma dada característica de conteúdo ou de um conjunto de
características num determinado fragmento de mensagem que é tomado em
consideração”. (p. 21). Quanto à análise de conteúdo, a autora descreve que um dos
seus objetivos é o enriquecimento da leitura, pois uma leitura mais atenta é capaz de
aumentar a descoberta de conteúdos de que “a priori não detínhamos a
compreensão” (p. 29).
Para Bardin (1977), a análise de conteúdo busca conhecer o que está nas
entrelinhas desse conteúdo analisado, sendo uma procura de outras realidades por
meio das mensagens. Essa busca é o que nos interessa, pois o que desejamos, ao
analisar a produção escrita dos alunos, não é apontar o que ele errou, mas, sim,
identificar o erro cometido. Essa identificação é a segunda fase do tratamento
didático do erro, segundo De La Torre (2007), sendo que o apontamento faz parte
da primeira fase desse tratamento didático.
A autora descreve diferenças existentes entre a análise documental e a
análise de conteúdo. Antes de relatarmos a diferença que justifica a nossa escolha
83
pela análise de conteúdo, é importante descrever qual o objetivo da análise
documental, segundo Bardin (1977). Para a autora, o objetivo da análise documental
é dar forma conveniente e representar de outro modo o conteúdo de um documento
por intermédio de procedimentos de transformação, ou seja, essa análise “permite
passar de um documento primário (em bruto), para um documento secundário
(representação do primeiro).” (p. 46).
Na análise documental, a operação intelectual – o recorte da informação,
ventilação em categorias segundo o critério da analogia, representação sob forma
condensada por indexação –, segundo a autora, assemelha-se a certas formas de
análise de conteúdo. A diferença entre uma e outra, que nos fez optar pela análise
de conteúdo nesta pesquisa, é que,
O objectivo da análise documental é a representação condensada da
informação, para consulta e armazenagem; o da análise de conteúdo, é a
manipulação de mensagens (conteúdo e expressão desse conteúdo), para
evidenciar os indicadores que permitam inferir sobre uma outra realidade
que não a da mensagem. (BARDIN, 1977, p. 46)
Assim sendo, como nosso objetivo é identificar erros cometidos pelos
alunos em atividades de Matemática e ir além do que foi apresentado em suas
resoluções, com o intuito de inferir sobre o que levou os alunos a cometerem os
erros, optamos por esse tipo de análise.
Antes de descrever as etapas da análise de conteúdo, é importante expor
um trecho no qual Bardin (1977) afirma que a análise de conteúdo deve ser
reinventada a cada momento,
A técnica de análise de conteúdo adequada ao domínio e ao objectivo
pretendidos, tem que ser reinventada a cada momento, excepto para usos
simples e generalizados, como é o caso [...] de respostas a perguntas
abertas de questionários cujo conteúdo é avaliado rapidamente por temas.
(BARDIN, 1977, p. 31, grifo nosso)
Corroborando o que foi dito acima, Cury (2008) afirma que as respostas
dadas em questões abertas pelos alunos “nem sempre vão pelo mesmo caminho, ou
seja, nem sempre têm um mesmo tema; assim, é necessário, praticamente em cada
estudo, reinventar os passos.” (p. 61). Por esse motivo, é que nesta pesquisa
adotamos a análise de conteúdo, pois, durante a análise da produção escrita dos
alunos, criamos categorias que englobam os erros identificados por meio da análise
de erros.
84
A seguir descreveremos sobre a análise de erros e sua relação com a
análise de conteúdo.
3.3.2 – A Análise de Erros
Cury (2008) aborda a análise de erros como metodologia de pesquisa e
metodologia de ensino. No primeiro caso, a análise de erros está relacionada, por
exemplo, às pesquisas da área de Educação Matemática que se utilizam dela para
realizar suas investigações em produções escritas. No segundo caso, a análise de
erros apresenta sugestões para se utilizar o erro na reconstrução do conhecimento,
provocando assim, mudanças na estratégia didática do professor.
Borasi (1985) afirma que o erro pode contribuir para uma melhor
compreensão e aprendizagem da Matemática. Na maioria das vezes, o professor
acredita que a melhor forma de capacitar o aluno é por meio da transmissão direta
do assunto a ser lecionado. Ele não percebe que o aluno pode chegar a uma
compreensão mais profunda de um conteúdo matemático a partir do estudo, análise
e exploração criativa de alguns erros. Logo, para se utilizar dos erros como
estratégia didática, o professor deve encorajar os alunos a realizarem atividades nas
quais eles sejam capazes de explorar os erros cometidos.
Um exemplo do que foi dito está descrito em Cury (2008), quando a
autora apresenta uma proposta de se trabalhar o erro cometido por vários
estudantes, sugerindo a eles “novos dados para o mesmo problema, de modo que a
insistência no erro leve a um absurdo.” (p. 81). Esse tipo de proposta leva alguns
estudantes a perceber o erro cometido e ainda proporciona que esses estudantes
ajudem outros que, por ventura, não identificaram o erro.
Outras situações em que os erros podem ser usados como estratégias de
ensino são citadas em De La Torre (2007), Cury (2008) e Ramos (2013). Em sua
tese de doutorado, Bastos (2013) afirma utilizar da análise de erros sob as duas
abordagens citadas anteriormente, conforme descrito “[...] é importante esclarecer
que a análise de erros foi utilizada em nosso trabalho como método de pesquisa [...]
e como recurso de promoção do ensino e da aprendizagem” (p. 101).
85
Como já mencionado, a pesquisadora Helena Noronha Cury vem
apresentando vários trabalhos nos quais descreve a importância do uso da análise
de erros como estratégia de ensino em cursos de Formação Inicial ou Continuada de
Professores de Matemática. Em seu artigo, Cury (2013b) apresenta resultado de um
mapeamento realizado em dissertações e teses que abordam os erros, dificuldades
e obstáculos com professores. Em suas considerações, a autora afirma que não foi
encontrado nenhum estudo sobre o uso dos erros em curso de formação inicial ou
continuada de professores e, assim, propõe “uma maneira de empregar as próprias
dificuldades dos professores em formação, ou de seus alunos, para integrar
disciplinas da grade curricular, em um trabalho que leve em consideração o
conhecimento matemático para o ensino.” (p. 559).
Neste trabalho, a análise de erros será realizada usando o procedimento
da análise de conteúdo de Bardin (1977), sustentada na produção escrita dos
alunos. Cury (2008) corrobora esse tipo de procedimento, conforme descrições
apresentadas a seguir,
Ao analisar erros dos alunos, especialmente em conteúdos de Cálculo I,
tendo contato com diferentes trabalhos que abordaram produções escritas
dos alunos, [...], notei que, independentemente das teorias que
fundamentavam as pesquisas e da forma como as respostas eram
apresentadas, eu estava analisando o conteúdo da produção, ou seja,
empregando uma metodologia de análise de dados conhecida como análise
de conteúdo. (CURY, 2008, p. 61, grifo no original).
A análise de erros de uma produção escrita é uma atividade que,
metodologicamente, se baseia na análise de conteúdo, especialmente se
levarmos em conta as conceituações apresentadas em Bardin (1979). Ao
apresentar os tipos de documentos possíveis de serem submetidos a tal
método, a autora indica, por exemplo, respostas a questionários, testes ou
experiências. Dessa forma, as respostas escritas de estudantes a questões
de Matemática podem ser objeto de uma análise aprofundada e sistemática.
(CURY; BISOGNIN; BISOGNIN, 2009, p. 2, grifo nosso).
Afirmamos então que, neste trabalho, a análise de erros foi abordada
como metodologia de pesquisa, conforme descrito nesta seção. Mas não deixamos
de citar aqui propostas de se trabalhar com a análise de erros como metodologia de
ensino, quando descrevemos a análise de erros como uma forma de melhoria do
processo ensino-aprendizagem, conforme discussão apresentada no Capítulo 2.
Não podemos deixar de mencionar que Bardin (1977) considera a análise
de conteúdo uma técnica; Cury e Bisognin (2009), um método (conforme citações
86
anteriores). Por esse motivo, buscamos os significados das duas palavras no
dicionário eletrônico Houaiss da Língua Portuguesa (2001, n.p.). O significado
encontrado para a palavra “método” foi “procedimento, técnica ou meio de fazer
alguma coisa” e para “técnica” foi “conjunto de procedimentos ligados a uma arte ou
ciência”. Assim sendo, neste trabalho, consideraremos que as duas palavras têm o
mesmo significado. Logo, nos referiremos à análise de conteúdo como método ou
técnica. Adotaremos, também, o mesmo critério para a análise de erros, pois iremos
realizá-la utilizando o procedimento da análise de conteúdo de Bardin (1977).
3.3.3 – Procedimentos Metodológicos
Nesta pesquisa, todas as etapas realizadas na análise de conteúdo
seguiram os critérios descritos por Bardin (1977), ou seja, partimos das três etapas
básicas: a pré-análise; a exploração do material; e o tratamento dos resultados, a
inferência e a interpretação. A seguir descreveremos como cada uma dessas etapas
foi executada neste trabalho.
O objetivo da pré-análise é a organizar o material, tendo como finalidade
a sistematização das ideias iniciais e, assim, torná-las operacionais. Assim, numa
primeira etapa, no âmbito da pré-análise, identificamos cada questão com a letra “A”
seguida de um número para preservar a identidade do aluno; logo em seguida
fotocopiamos cada uma delas e ordenamos o conjunto por questões. A partir de uma
leitura flutuante, retiramos do conjunto todas as questões que não apresentaram
resolução, formando, assim, o corpus da pesquisa que, segundo Bardin (1977), “é o
conjunto dos documentos tidos em conta para serem submetidos aos procedimentos
analíticos.” (p. 96). É nesse conjunto que o pesquisador se debruça para realizar a
análise das resoluções.
Para correções das questões foram seguidos os mesmos procedimentos
adotados por Leivas e Cury (2010), Cury, Ribeiro e Müller (2011) e Cury (2013a), ou
seja, consideramos quatro classificações: resposta correta (código 2), resposta
parcialmente correta (código 1), resposta incorreta (código 0) e ausência de resposta
(código 9). O intuito dessas classificações foi o de identificar a frequência de acertos
e erros por questão, além de separarmos as resoluções parcialmente corretas e
incorretas para a realização da análise de erros. A Tabela 1 apresenta, por
87
classificação, os valores percentuais de respostas das questões presentes no teste
investigativo.
Tabela 1 – Classificação das Respostas Apresentadas no Instrumento II
Classificações
Questões
Correta
Parcialmente
Correta
Incorreta
Em Branco
1
16%
27%
57%
0%
2
30%
30%
27%
13%
A
54%
0%
16%
30%
B
3%
0%
16%
81%
C
38%
19%
16%
27%
D
3%
19%
51%
27%
E
65%
0%
11%
24%
F
43%
22%
11%
24%
4
5%
44%
16%
35%
5
16%
65%
8%
11%
6
16%
22%
54%
8%
7
19%
38%
38%
5%
8
0%
16%
0%
84%
9
16%
41%
27%
16%
10
21,5%
19%
38%
21,5%
11
0%
76%
11%
13%
12
3%
35%
22%
40%
13
35%
54%
11%
0%
14
5%
14%
49%
32%
15
35%
14%
19%
32%
16
43%
30%
16%
11%
17
16%
8%
65%
11%
18
5,5%
32%
24,5%
38%
19
8%
67%
3%
22%
20
34%
22%
22%
22%
3
Fonte: Elaborada pela pesquisadora, 2013.
88
Ao analisarmos, na Tabela 1, o índice de respostas corretas, parcialmente
corretas e incorretas, além do percentual de alunos que não apresentaram
resolução, é possível perceber o grau de dificuldades desses alunos em cada
questão. Os maiores índices de respostas em branco foram detectados nas
questões 8 e 3B. A questão 3E foi a que os alunos apresentaram maior índice de
acerto e as questões 17, 1, 6 e 3D foram as que mais de 50% dos alunos
apresentaram respostas incorretas. Nas respostas parcialmente corretas, as
questões que apresentaram índices mais elevados foram 13, 5, 19 e 11.
Objetivando identificar os tipos de erros, realizamos a segunda fase,
exploração do material (BARDIN, 1977). Essa fase envolve o processo de
unitarização, que consistiu em reler o material referente às respostas parcialmente
corretas e incorretas, no intuito de definir as unidades de análise, que podem ser
frases, palavras, termos, entre outros. Cury (2008) reafirma o que foi dito quando
descreve que a fase de exploração do material envolve “o processo de unitarização
e classificação das respostas parcialmente corretas ou incorretas, lidas novamente
para definir as categorias de erro.” (CURY, 2008, p. 6).
Durante o processo de unitarização, procuramos identificar em cada
questão, os tipos de erros cometidos pelos alunos e, assim, definirmos as unidades
de análise. Ao todo, foram definidas dezoito, ou seja, dezoito tipos de erros que
estão listados na Tabela 2.
Tabela 2 – Tipos de Erros Identificados no Teste Investigativo
Continua
Tipos de Erros
Questão
Operações Básicas e Propriedades de
Potência
1
10
12
14
20
Subtotal
Transformação em linguagem
matemática
Subtotal
1
Nº de
protocolos
31
21
21
23
16
112
Nº de
ocorrências
1
5
4
23
5
38
31
31
31
31
89
Tabela 2 – Tipos de Erros Identificados no Teste Investigativo
Continuação
Representação e Operação de intervalo
2
3d
6
21
26
28
75
6
36
13
26
12
12
28
21
32
24
21
26
257
24
28
19
14
21
17
27
150
24
14
38
24
24
26
74
22
16
38
20
16
2
38
6
36
13
15
12
12
17
6
32
24
7
25
205
14
18
7
7
2
11
18
77
2
2
4
22
5
18
45
21
3
24
5
27
6
6
7
10
12
14
27
28
28
21
21
23
121
6
1
1
1
1
1
5
Subtotal
3a
3b
3c
3d
3e
3f
6
10
11
13
18
19
Conceito de função
Subtotal
Aplicações de Regras e Fórmulas
4
7
9
10
12
16
17
Subtotal
Esboço da concavidade de uma parábola
4
9
Subtotal
Esboço do gráfico de uma função
4
13
19
Subtotal
5
20
Resolução algébrica
Subtotal
Não desenvolve a equação
Subtotal
Desatenção ou lapso
Subtotal
90
Tabela 2 – Tipos de Erros Identificados no Teste Investigativo
Continuação
Resolve incorretamente inequaçãoquociente e inequação-produto
Subtotal
6
9
6
7
9
17
Estudo de Sinais
Subtotal
Não identifica a função simétrica ao
vértice de f(x) em relação ao eixo x
Subtotal
Estratégia inadequada para resolução da
questão
Subtotal
Não resolve a 2ª equação ou inequação
da função modular
Subtotal
10
Escreve incorretamente a equação ou
inequação da questão
12
15
20
8
11
12
Subtotal
Cálculo do Módulo ou Logaritmo de um
número
13
18
20
Subtotal
Resolve incorretamente a equação ou
inequação exponencial
Subtotal
Total
15
16
17
28
25
53
16
11
14
27
68
26
6
32
4
6
10
21
41
6
6
6
6
7
4
7
32
21
53
21
12
16
49
24
15
16
55
12
17
27
56
1270
4
18
11
29
8
7
5
20
4
13
3
20
10
6
24
40
665
Fonte: Elaborada pela pesquisadora, 2014.
Durante a releitura nesta fase, cada unidade foi separada do corpus e
individualizada para, em sequência, fazer a categorização dos erros, que segundo
Bardin (1977), “[...] tem como primeiro objectivo (da mesma maneira que a análise
documental), fornecer, por condensação, uma representação simplificada dos dados
brutos” (p. 119). A criação das categorias aconteceu a partir da interpretação dos
dados, levando em consideração o principal objetivo desta investigação, encontrar
respostas para as questões de pesquisa, ou seja, identificar os erros dentro de cada
conteúdo investigado. Assim, agrupamos os dezoito tipos de erros identificados nas
seguintes categorias: Categoria 1 – Erros ligados a conteúdos abordados no Ensino
91
Fundamental; Categoria 2 – Erros ligados a conteúdos de conjuntos numéricos e
intervalos reais abordados no Ensino Médio; Categoria 3 – Erros ligados a
conteúdos de equações, inequações e funções abordados no Ensino Médio; e, por
último, Categoria 4 – Erros provenientes de dificuldades diversas.
No capítulo de análise dos dados mostraremos as tabelas por categorias
e, em cada uma delas, mencionaremos os tipos de erros, o número de protocolos
analisados e o número de ocorrências de cada erro por questão.
Após categorização, a fase de tratamento dos resultados é a etapa que
procura dar um significado mais amplo às respostas. Neste trabalho, apresentamos
em cada categoria os seus respectivos erros, fazendo uso de um “texto-síntese” com
exemplos tirados do corpus. Assim, estaremos descrevendo os tipos de erros
matemáticos cometidos pelos alunos nos conteúdos investigados e respondendo às
três primeiras questões de investigação.
Com o objetivo de responder à última questão de investigação, os erros
identificados foram categorizados conforme o Modelo de Análise Didática do Erro
(MADE). Vincular esses erros ao MADE serve de guia tanto para a investigação
como para sua análise.
3.4 – Descrição das Etapas de Investigação
Para a realização de uma pesquisa, é necessária a definição das etapas
de investigação a serem cumpridas. Para a realização da coleta de dados foram
definidas as seguintes etapas:
1ª Etapa – Entrega do termo de consentimento (APÊNDICE B) aos alunos
menores de idade para autorização dos responsáveis.
É importante registrar a aflição que a pesquisadora apresentava antes do
recebimento da carta de consentimento entregue aos responsáveis pelos alunos
participantes.
Durante o primeiro bimestre do ano letivo de 2013, a pesquisadora
procurou mostrar aos alunos a importância desta pesquisa, orientando-os sobre
92
como seria a participação de cada um. Dessa forma, os alunos foram capazes de
explicar aos respectivos responsáveis o seu papel no trabalho e o valor deste
trabalho para o ensino de Matemática.
A carta de consentimento foi entregue aos alunos para solicitação da
assinatura dos responsáveis no dia 2 de julho de 2013; até o dia 16 de julho de
2013, todos eles devolveram a autorização devidamente assinada.
2ª Etapa – Aplicação do Instrumento I – Questionário (APÊNDICE C).
A aplicação do instrumento I só pode ser realizada quando o professor de
Matemática da turma investigada terminou de trabalhar o conteúdo de função
logarítmica em sala de aula.
Por isso, o questionário foi aplicado com a finalidade de coletar as
informações registradas pelo aluno antes da realização do teste. A aplicação desse
questionário aconteceu no dia 29 de outubro de 2013 no terceiro bimestre do ano
letivo. Antes de os participantes começarem a responder às perguntas, a
pesquisadora leu as instruções que se encontravam no cabeçalho e ressaltou que,
para cada pergunta, caberia apenas uma opção de resposta.
3ª Etapa – Aplicação do Instrumento II – Teste (APÊNDICE D).
Esta também foi uma etapa na qual a pesquisadora se apresentou
bastante apreensiva. Convencer os alunos a participarem de forma voluntária de um
teste no qual eles iriam expor suas dificuldades e erros é uma tarefa difícil.
Conseguir marcar um dia no qual todos pudessem estar presentes também foi uma
tarefa complicada.
Para aplicação do teste, foi reservada uma sala em horário não
coincidente com o das aulas dos participantes. O teste foi aplicado em duas etapas:
uma no dia 31 de outubro de 2013 e outra no dia 7 de novembro de 2013. Nesse
formato, acreditamos que os trabalhos seriam realizados com mais tranquilidade,
tendo os alunos tempo para resolver as questões e sinalizar as dificuldades
encontradas em cada uma delas. Antes de iniciar o teste, a pesquisadora leu e
reforçou as informações contidas no cabeçalho. O teste foi apresentado em folhas
93
de papel A4 com apenas uma questão por folha, reservando, assim, um espaço
maior para a resolução.
94
CAPÍTULO 4 – ANALISANDO E REFLETINDO SOBRE OS DADOS
Neste capítulo apresentaremos a análise dos dados coletados por meio
do Instrumento I e II. Os itens do questionário – Instrumento I – serviram para
compor o perfil dos alunos investigados; o teste investigativo – Instrumento II – foi
elaborado com o objetivo de responder ao nosso problema de pesquisa:
O que revelam os erros matemáticos apresentados por alunos do 1º
ano da educação profissional tecnológica de nível médio na modalidade
integrada do curso Técnico em Eletrotécnica ao resolverem atividades que
envolvem conteúdos propostos na 1ª avaliação institucional?
4.1 – Analisando os Dados do Instrumento I
O objetivo da primeira seção neste capítulo é mostrar o perfil e as
dificuldades em Matemática declaradas pelos alunos nos conteúdos investigados,
com a finalidade de relacionar essas dificuldades com os erros identificados no
Instrumento II. Iniciamos com o perfil dos alunos e em sequência os resultados do
grau de dificuldade declarado por eles. No final da seção, faremos uma análise e
reflexão geral sobre os dados apresentados.
4.1.1 – Perfil dos Alunos Participantes
O perfil dos alunos que participaram desta pesquisa começou a ser
delineado pelo próprio processo seletivo do qual eles fizeram parte. No final do ano
de 2012, a distribuição de vagas para o processo seletivo do CEFET-MG passou por
reformulações, devido à política externa do governo federal. As vagas foram
distribuídas de acordo com os seguintes critérios: raça, renda familiar e origem do
ensino (público ou privado).
A Lei nº 12.711, de agosto de 2012 (BRASIL, 2012) destina 50% das
vagas de todos os cursos técnicos de escolas federais, respeitando a ordem de
classificação dos candidatos, segundo os seguintes critérios: vagas destinadas aos
candidatos que cursaram integralmente o Ensino Fundamental em escolas públicas
95
(de nível municipal, estadual ou federal); proporção estabelecida de acordo com
critério do último Censo Demográfico8; mínimo de 25% das vagas a serem ocupadas
por candidatos com renda familiar igual ou inferior a 1,5 salários mínimos per capita,
respeitando a proporção mínima igual à de pretos, pardos e indígenas; caso não
sejam preenchidas as vagas segundo critérios anteriores, as remanescentes
deverão ser destinadas aos candidatos que cursaram integralmente o Ensino
Fundamental em escolas públicas.
As 72 vagas reservadas para o curso Técnico de Eletrotécnica devem
compor duas turmas (ELE1A e ELE1B) de 36 novos alunos, acrescentando-se
aqueles reprovados no ano letivo anterior. Como já mencionado no início desta
pesquisa, a investigação foi realizada com a turma de ELE1B.
Do total de 37 alunos pertencentes à Turma ELE1B do 1º ano do curso
Técnico em Eletrotécnica, 35 eram novatos e 2 haviam sido reprovados no ano letivo
de 2012. Quanto ao gênero, 12 eram do sexo feminino e 25 do sexo masculino. A
idade dos alunos variava entre 15 e 17 anos, com um percentual maior para os de
16 anos – 16 alunos. Do restante de 21 alunos, 14 tinham 15 anos e 7 tinham 17
anos.
Quando questionados sobre o número de vezes que participaram do
processo seletivo para o curso técnico no CEFET-MG, 25 alunos responderam que
participaram uma vez, 10 responderam que participaram duas vezes e dois, mais de
duas vezes. Praticamente um terço do total de alunos participou do processo
seletivo do CEFET-MG pelo menos duas vezes, sendo que 13 alunos cursaram no
ano letivo de 2012 o 1º ano do Ensino Médio, e dois cursaram o 2º ano do Ensino
Médio. O restante – 22 alunos – cursou o 9º ano do Ensino Fundamental em 2012.
Chegamos à conclusão que, aproximadamente, 41% dos alunos cursaram
novamente o 1º ano do Ensino Médio.
Como o processo seletivo a que esses alunos se submeteram foi o
primeiro utilizando o sistema de cotas, era de se esperar que aproximadamente 50%
dos alunos fossem procedentes de escolas públicas. Isso pode ser comprovado com
os dados levantados: 17 alunos vieram de escolas particulares e 20 de escolas
8
Nesse caso segue o Censo Demográfico do IBGE 2010 que dita as seguintes percentagens: 9,2%
de pretos, 44,3% de pardos e 0,2% de indígenas.
96
públicas, sendo que desses últimos, 7 vieram de escolas municipais e 13 de escolas
estaduais.
Com relação à última questão, que traçava o perfil dos participantes, foi
possível contabilizar que 12 alunos gostavam muito de Matemática, 15 afirmaram
que gostavam razoavelmente, 8 gostavam pouco, enquanto dois alunos disseram
que não gostavam da disciplina. Assim, verificamos que 27 dos 37 alunos, ou seja,
aproximadamente 73% gostavam muito ou razoavelmente de Matemática.
O curso de Eletrotécnica é um dos cursos da Educação Profissional
Tecnológica de Nível Médio na Modalidade Integrada. Essa forma de curso, como já
mencionado, é oferecida para alunos que já concluíram o Ensino Fundamental,
devendo, portanto, serem esses alunos procedentes do 9º ano do Ensino
Fundamental. Mas essa não é a realidade, pois muitos deles são procedentes do 1º
e 2º anos do Ensino Médio, chegando a ocupar, algumas vezes, 50% das vagas
ofertadas na modalidade Integrada.
Assim, não nos surpreendemos ao detectar que 41% dos alunos que
participaram desta investigação já haviam cursado o 1º ou o 2º ano do Ensino Médio
em outra Instituição. Esses alunos optaram por começar o Ensino Médio novamente,
mesmo sendo ofertadas vagas na modalidade de Concomitância Externa. As
justificativas por essa opção, na maioria dos casos, é a excelência do Ensino Médio
da Instituição e, em outros, pelo fato do aluno ter um ensino gratuito.
Nos próximos subitens serão apresentadas as respostas indicadas pelos
participantes com relação ao grau de dificuldades nos conteúdos questionados do
Ensino Fundamental e Médio e o grau de contribuição do Ensino Fundamental para
o Ensino Médio no que diz respeito a tais conteúdos. Para isso, o aluno deveria
marcar em cada questão um dos graus entre os quatro relacionados: nenhum, baixo,
médio ou alto.
Na apresentação dos resultados enfatizaremos os percentuais referentes
ao grau de dificuldade de médio a alto, pois o nosso foco é identificar as dificuldades
relatadas pelos alunos. Como foram poucos os alunos que afirmaram possuir grau
de dificuldade entre médio e alto nos conteúdos referentes ao Ensino Fundamental,
mostraremos também, nesse subitem, os percentuais de baixo e nenhum grau de
97
dificuldade. Com relação ao grau de contribuição dos conteúdos referentes ao
Ensino Fundamental para o Ensino Médio, mencionaremos os itens que os alunos
declararam possuir de médio a alto grau de importância, sem nos ater aos
percentuais.
4.1.2 – Grau de Dificuldade nos Conteúdos do Ensino Fundamental
Os conteúdos investigados com relação às dificuldades declaradas pelos
alunos no Ensino Fundamental foram Números e Operações, Potências e Funções.
Os itens questionados sobre as dificuldades no conteúdo de Números e
Operações foram os seguintes: realizar adição e subtração com números reais ();
realizar multiplicação e divisão com números reais (); reduzir as frações a um
mesmo denominador comum; e aplicar a propriedade distributiva. Nenhum aluno
declarou grau de dificuldade entre médio e alto em adição e subtração com números
reais (), 8% alegaram apresentar baixo grau de dificuldade e a maioria deles (92%)
declarou não apresentar dificuldades. No item multiplicação e divisão com números
reais (), 3% dos alunos declararam médio grau de dificuldade, 10% alegaram
apresentar baixo grau e o restante (87%) declararam não apresentar dificuldades.
Com relação à aplicação da propriedade distributiva, 3% declararam médio grau de
dificuldade, 46% baixo grau e 51% declararam não apresentar dificuldades.
No conteúdo de Potências, os itens que fizeram parte do questionário
foram: operar potência de número real com expoente positivo; operar potência de
número real com expoente negativo; operar potência de número real com expoente
racional; e aplicar as propriedades de potenciação. Nas operações de potência de
número real com expoente positivo e negativo, nenhum aluno alegou médio e alto
grau de dificuldade, 15% dos alunos afirmaram apresentar baixo grau de dificuldade,
e o restante (85%), nenhuma dificuldade. Observamos que 11% dos alunos
afirmaram apresentar de médio a alto grau de dificuldade em operar potência de
número real com expoente racional e aplicar as propriedades de potenciação, 54%
baixo grau e 35% afirmaram não apresentar dificuldades.
Os itens questionados sobre o conteúdo de Funções foram: achar a raiz
de uma função polinomial do 1º grau; achar as raízes de uma função polinomial do
98
2º grau; identificar a concavidade do gráfico de uma função polinomial do 2º grau; e
identificar os pontos de mínimo e de máximo da função polinomial do 2º grau. Para
achar a raiz de uma função polinomial do 1º grau e identificar a concavidade de uma
função polinomial do 2º grau, 5% dos alunos afirmaram possuir entre médio e alto
grau de dificuldade, 22% indicaram baixo grau de dificuldade, e a maioria (73%)
afirmou não encontrar nenhuma dificuldade. Dos 37 alunos, 5% declararam de
médio a alto grau de dificuldade, 35% indicaram baixo grau de dificuldade, 60%
declararam não apresentar grau de dificuldade em achar as raízes de uma função
polinomial do 2º grau. Com relação à identificação dos pontos de mínimo e de
máximo da função polinomial do 2º grau, 24% dos alunos alegaram apresentar grau
de dificuldade entre médio e alto, 46% indicaram baixo grau de dificuldade e o
restante (30%) nenhuma dificuldade.
Analisando os três conteúdos investigados referentes ao Ensino
Fundamental, observamos que a maioria dos alunos afirmou apresentar um baixo
grau de dificuldades nos itens investigados em cada conteúdo. O item identificação
dos pontos de mínimo e máximo no conteúdo de função polinomial do 2º grau foi o
mais indicado pelos alunos nos níveis de médio a alto grau de dificuldade, mesmo
assim, somente 24% deles declararam apresentar dificuldades nesses níveis.
4.1.3 – Grau de Contribuição dos Conteúdos do Ensino Fundamental no
Ensino Médio
Para os alunos, a maioria dos itens sobre o conteúdo de Números e
Operações contribui de forma significativa (grau de contribuição de médio a alto)
para o aprendizado do conteúdo estudado no Ensino Médio. Saber aplicar a
propriedade distributiva foi o item com maior grau de contribuição indicado por eles.
Com relação ao conteúdo de Potência, os alunos apontaram que esse
conteúdo tem um grau de contribuição de médio a alto para a aprendizagem do
Ensino Médio, com maior destaque para a operação de potência com expoente
positivo e a aplicação de propriedades de potenciação.
Finalmente, questionou-se: qual o grau de contribuição do conteúdo de
Funções para o aprendizado do Ensino Médio? Os alunos novamente indicaram um
99
grau de contribuição de médio a alto, destacando os itens referentes à raiz da
função polinomial de 1º grau e às raízes da função polinomial de 2º grau.
Analisando o que foi informado sobre o grau de contribuição dos
conteúdos do Ensino Fundamental no Ensino Médio, vimos que a maioria
considerou que os três conteúdos possuem elevado grau de contribuição para a
aprendizagem do conteúdo estudado no Ensino Médio. Para esses alunos, os
conteúdos de maior destaque foram: saber aplicar a propriedade distributiva, operar
potência com expoente positivo, aplicação de propriedades de potenciação,
encontrar a raiz da função polinomial de 1º grau e as raízes da função polinomial de
2º grau.
4.1.4 – Grau de Dificuldade nos Conteúdos do Ensino Médio
Na sequência, apresentamos os resultados referentes ao grau de
dificuldades declarado pelos alunos, com relação aos conteúdos estudados no
Ensino Médio. O primeiro conteúdo investigado foi Conjuntos, por meio dos
seguintes itens presentes no questionário: resolver problemas que envolvem
operações com conjuntos; representar intervalos na reta real; e efetuar operações
com intervalos. Para resolver problemas que envolvem operações com conjuntos e
representar intervalos na reta real, 11% dos alunos indicaram médio grau de
dificuldade e nenhum deles apontou alto grau. Entre os níveis de dificuldades
declarados no item efetuar operações com intervalos, 19% dos alunos declararam
possuir de médio a alto grau de dificuldade.
Os itens questionados sobre o conteúdo de Funções foram os seguintes:
definir função; determinar domínio e imagem de uma função; identificar os intervalos
de crescimento e decrescimento da função; determinar uma função composta; obter
a função inversa de uma função; identificar se a função é par ou ímpar; e identificar
se a função é bijetora. Analisando os dados desse conteúdo, as dificuldades
relatadas pelos alunos como médio e alto graus resultaram nos seguintes
percentuais: identificar função bijetora (76% dos alunos); obter função inversa (49%
dos alunos); identificar função par e função ímpar (43% dos alunos); determinar
função composta (35% dos alunos); definir função (32% dos alunos); determinar
100
domínio e imagem (30% dos alunos); e identificar crescimento e decrescimento de
uma função (16% dos alunos).
Os itens investigados sobre o conteúdo de Função Afim foram: estudar o
quadro de sinais da inequação-produto e inequação-quociente do 1º grau; e resolver
inequação do 1º grau. Ao analisar os itens sobre esse conteúdo, nota-se que 27%
dos alunos indicaram apresentar grau de dificuldade entre médio e alto na
elaboração de um quadro de sinais de inequação do 1º grau; na resolução de uma
inequação do 1º grau, esse índice é de 8%.
Os itens investigados sobre o conteúdo de Função Polinomial do 2º grau
foram: estudar o quadro de sinais da inequação-produto e inequação-quociente do
2º grau; resolver inequação do 2º grau; resolver problemas que envolvem função
quadrática; e representar graficamente uma função quadrática. No geral, os alunos
não manifestaram um elevado índice de dificuldades nos itens investigados sobre
função quadrática, sendo encontrados os seguintes percentuais para as dificuldades
apontadas entre médio e alto grau: resolução de problemas que envolvem função
quadrática (41% dos alunos); representação gráfica desse tipo de função (38% dos
alunos); quadro de sinais de inequação do 2º grau (27%); e resolver inequação do 2º
grau (19%).
Os itens investigados no conteúdo de Função Modular foram: conceituar
módulo de um número real; definir função modular; resolver equação modular;
resolver inequação modular; resolver problemas que envolvem função modular; e
representar graficamente uma função modular. Com relação a esse conteúdo, os
percentuais encontrados para as dificuldades de médio e alto grau foram os
seguintes: resolver problemas que envolvem função modular (57% dos alunos),
resolver inequação modular (49% dos alunos) e representar graficamente uma
função modular (46% dos alunos), resolver equação modular (35% dos alunos) e
definir função modular (32% dos alunos) e conceituar módulo de um número real
(19% dos alunos).
Com relação ao conteúdo de Função Exponencial, os itens investigados
foram: definir função exponencial; resolver equação exponencial; resolver inequação
exponencial; resolver problemas que envolvem função exponencial e representar
101
graficamente uma função exponencial. Os percentuais de médio e alto grau de
dificuldade encontrados para cada item foram: resolver inequação exponencial,
representar graficamente uma função exponencial e resolver problemas que
envolvem função exponencial (43%); resolver equação exponencial (27%); e definir
função exponencial (16%).
O último conteúdo investigado foi o de Função Logarítmica, com os
seguintes itens pesquisados: aplicar as propriedades de logaritmo; definir função
logarítmica; determinar as condições de existência de uma função logarítmica;
resolver equação logarítmica; resolver inequação logarítmica; resolver problemas
que envolvem função logarítmica e representar graficamente uma função
logarítmica. Os percentuais encontrados para o grau de dificuldade entre médio e
alto em cada item do conteúdo de Função Logarítmica foram: resolver inequação
logarítmica (54% dos alunos); resolver problemas com função logarítmica (49% dos
alunos); representar graficamente uma função logarítmica (46% dos alunos);
resolver equação logarítmica (24% dos alunos); definir função logarítmica (22% dos
alunos); e aplicar propriedades de logaritmo e determinar condição de existência
(14% dos alunos).
4.1.5 – Analisando e Refletindo sobre as Dificuldades Declaradas pelos Alunos
A Tabela 3 mostra uma síntese dos itens dos conteúdos investigados e o
número de alunos que apontaram grau de dificuldade entre médio e alto.
Tabela 3 – Conteúdos e Nº de Alunos que Apontaram Grau de Dificuldade entre
Médio e Alto
Continua
Conteúdos
Números e Operações
Potência
Funções
Itens
1 – Ensino Fundamental
Multiplicação/Divisão
Reduzir fração ao mesmo denominador
Aplicar distributiva
Operar potência expoente racional
Propriedades de potenciação
Achar raiz da função polinomial do1º grau
Achar raízes da função polinomial do 2º grau
Identificar concavidade de função
Nº de
Alunos
1
1
1
4
5
1
2
2
102
Tabela 3 – Conteúdos e Nº de Alunos que Apontaram Grau de Dificuldade entre
Médio e Alto
Continuação
Conjuntos
Funções
Função Afim
Função Quadrática
Função Modular
Função Exponencial
Função Logarítmica
Identificar pontos de mínimo e de máximo
2 – Ensino Médio
Resolver problemas de conjuntos
Representar intervalos na reta real
Efetuar operações com intervalos
Definir função
Determinar domínio e imagem
Identificar crescimento e decrescimento
Determinar função composta
Obter função inversa
Identificar função par e ímpar
Identificar função bijetora
Quadro de sinais de inequação 1º grau
Resolver inequação 1º grau
Quadro de sinais de inequação 2º grau
Resolver inequação 2º grau
Resolver problemas com função quadrática
Representar graficamente função quadrática
Conceituar módulo número real
Definir função modular
Resolver equação modular
Resolver inequação modular
Resolver problemas com função modular
Representar graficamente função modular
Definir função exponencial
Resolver equação exponencial
Resolver inequação exponencial
Resolver problemas com função exponencial
Representar graficamente função exponencial
Aplicar propriedades de logaritmo
Definir função logarítmica
Determinar condição de existência
Resolver equação logarítmica
Resolver inequação logarítmica
Resolver problemas com função logarítmica
Representar graficamente função logarítmica
9
5
3
7
12
11
6
13
18
16
28
10
3
10
7
15
14
7
12
13
18
21
17
6
10
17
16
17
5
8
5
9
20
18
17
Fonte: Elaborada pela pesquisadora, 2014.
Fazendo uma análise geral dos sete conteúdos investigados referentes ao
Ensino Médio, aqueles em que mais de 40% dos alunos indicaram grau de
dificuldade entre médio e alto, em uma ordem decrescente foram: identificar uma
função bijetora (76% dos alunos); resolver problemas que envolvem função modular
103
(57% dos alunos); resolver inequação logarítmica (54% dos alunos); encontrar
função inversa, resolver inequação modular e resolver problemas que envolvem
função logarítmica (49% dos alunos); representar a função modular, exponencial e
logarítmica graficamente e resolver inequação exponencial (46% dos alunos);
identificar uma função par ou ímpar e resolver problemas que envolvem função
exponencial (43% dos alunos); e resolver problemas com função quadrática (41%
dos alunos).
Refletindo sobre os dados relatados pelos alunos, era de se esperar que
eles compreendessem que os conteúdos de Números e Operações, Potências e
Funções referentes ao Ensino Fundamental são de grande importância para o
entendimento dos conteúdos lecionados no Ensino Médio.
Esperava-se ainda que um menor número de alunos apontasse grau de
dificuldades entre médio e alto com relação ao conteúdo lecionado no Ensino
Fundamental, uma vez que esse conteúdo também é trabalhado no Ensino Médio.
Considerando que 41% desses alunos já haviam cursado o 1º ou 2º ano
do Ensino Médio e que 73% deles afirmaram gostar muito ou razoavelmente de
Matemática, esperava-se que fosse menor o percentual de alunos indicando
apresentar grau de dificuldade entre médio e alto nos itens investigados.
Na análise do Instrumento II e nas considerações finais, retomaremos a
discussão desses dados, procurando relacionar as dificuldades declaradas pelos
alunos com os erros cometidos por eles.
4.2 – Analisando os Dados do Instrumento II
Nesta seção, utilizamos da análise de erros como parte integrante da
análise de conteúdo, com o objetivo de responder as três primeiras questões
investigadas. No momento em que referenciarmos algum aluno, utilizaremos a letra
A, seguida de um número, com o intuito de preservar sua identidade. Apresentamos
os resultados das questões da seguinte maneira:
a) Inicialmente, descrevemos o enunciado, o objetivo e a resolução
tomada como padrão em cada questão. Devido aos tipos de resoluções dadas,
104
algumas foram selecionadas e, para elas, apresentamos um breve diálogo com a
literatura.
b) Num segundo momento, apresentamos as categorias dos erros
cometidos no teste investigativo, acompanhado de exemplos e texto-síntese, além
de alguns relatos de alunos.
A
resolução
tomada
como
padrão
ou
resposta
padrão
(como
denominamos) é a resolução apresentada pelo aluno e classificada nesta pesquisa
como correta. Segundo Buriasco, Cyrino e Soares (2003), uma resposta pode
receber “crédito completo” (denominação dada pelas autoras para respostas
corretas) “mesmo que não sejam aquelas perfeitas de acordo com o modelo
conhecido pelo professor.” (p. 8).
Como já mencionado no capítulo anterior, além dos objetivos descritos
em cada questão, também procuramos identificar erros provenientes do Ensino
Fundamental associados aos conteúdos de Números e Operações, Potências e
Funções, conforme apresentado no Quadro 2 (p. 80).
4.2.1 – Apresentando as Questões
4.2.1.1 – Questão 1: Situação-Problema com Conjuntos Numéricos
A questão 1 traz o seguinte enunciado:
Num grupo de 45 pessoas, todas com algum tipo de problema de saúde, 40% têm
pressão alta e diabetes e o número de pessoas que têm pressão alta excede em
o
número de pessoas que têm diabetes. Determine quantas pessoas têm pressão alta
e quantas têm diabetes.
O nosso principal objetivo foi verificar as dificuldades encontradas pelo
aluno ao resolver problemas que envolvem noções de porcentagem e conjuntos.
Assim, era esperado que o aluno soubesse fazer cálculos utilizando porcentagem,
escrever a equação algébrica e resolver o sistema.
Na Figura 2, é apresentada a resolução dada por A7 para esta questão.
105
Figura 2 – Resposta Padrão da Questão 1 Apresentada por A7
Fonte: Teste Investigativo, questão 1.
Não podemos deixar de destacar os passos e comentários registrados por
A7 durante a resolução da questão. A cada passo, A7 reflete sobre o seu
desenvolvimento e, ao substituir os valores encontrados na equação inicial, conclui
que a resolução está correta. A importância dessas explicações realizadas por A7
está descrita em Starepravo (2010), quando a autora afirma que é importante os
alunos perceberem “que, para o professor, mais importante do que chegar a uma
resposta correta é saber explicar como se chegou até ela, se têm oportunidade de
interagir com o objeto de conhecimento a partir de suas próprias ideias [...]” (p. 229,
grifo no original) “e não com base no que já foi explicado pelo professor [...]”. (p. 229,
grifo no original). Logo, a autora menciona que, dessa forma, os alunos “não
buscarão o acerto ‘a qualquer preço’.” (p. 229). Percebemos que esse foi o caminho
percorrido por A7 para resolver a questão.
106
4.2.1.2 – Questão 2: Conjuntos Numéricos e Intervalos Reais
A questão 2 tinha o seguinte enunciado:
Dados os conjuntos: M = {x   | x > e x < 4}, N = {x   | x < -2 ou x >
} e O
= {x   | x < -1}, determine (M  N) – O.
O nosso objetivo com esta questão foi verificar se o aluno sabe
representar e operar intervalos reais, além de saber representar, corretamente, a
solução encontrada para a questão. Para isso, o aluno deveria representar os
intervalos na reta real e realizar a operação de união seguida da diferença de
conjuntos. Finalmente, apresentar a solução encontrada. A Figura 3 apresenta a
resposta dada por A31, sendo ela considerada como resposta padrão.
Figura 3 – Resposta Padrão da Questão 2 Apresentada por A31
Fonte: Teste Investigativo, questão 2.
É importante o professor definir uma resposta padrão a partir das
respostas apresentadas pelos alunos, pois, assim, não estará julgando os erros de
seus alunos a partir de suas estruturas mentais (DE LA TORRE, 2007). A resposta
dada por A31 foi tomada como resposta padrão. A31 representou de forma correta
os conjuntos M e N, realizando logo em seguida a união entre eles. Depois,
representou o conjunto O e realizou, corretamente, a operação de diferença da
união encontrada anteriormente, apresentando a solução final do problema na forma
de conjuntos.
107
4.2.1.3 – Questão 3: Análise do Gráfico de uma Função
Na questão 3 foi solicitado:
Observe o gráfico da função  cujo CD() = [-2, 2] e responda às perguntas:
A – O gráfico ao lado é uma função. Justifique a afirmativa.
B – Essa função é bijetora? Justifique a resposta.
C – Qual é o domínio da função.
D – Qual é o conjunto imagem do intervalo
de x [1, 3].9
E – Identifique o intervalo de crescimento da função.
F – Identifique o intervalo de decrescimento
da função.
O nosso objetivo na questão foi verificar se o aluno apresenta dificuldades
em identificar uma função e analisar o seu gráfico, determinar domínio e imagem,
identificar intervalos de crescimento e decrescimento de uma função, além de
verificar se uma função é bijetora ou não. Para isso, o aluno deveria conhecer o
conceito de função. Além disso, para identificar se a função é bijetora, o aluno
deveria, primeiro, verificar se ela era injetora e sobrejetora. Também foi possível
verificar se o aluno consegue expressar os intervalos de forma correta.
Abaixo estão descritas as respostas consideradas padrões, sendo, cada
uma delas, correspondente a um determinado item da questão.
Sim, pois cada valor de x possui um único y correspondente. (A37, questão
3a, 2013).
Essa função não é bijetora, pois não há somente um x para cada y, e na
função bijetora, que é sobrejetora e injetora, não deve haver um mesmo
valor de y para dois valores de x. Ex.: não é bijetora: (-2, 2) e (-1, 2) / (3, -1)
e (4, -1).10 (A2, questão 3b, 2013).
9
Este item da questão foi adaptado para ficar semelhante à questão 5 da avaliação somativa
(ANEXO C) realizada pelos alunos que participaram da pesquisa.
10
Essa foi a resposta que mais se aproximou da correta, sendo, portanto, considerada como resposta
padrão.
108

. (A18, questão 3c, 2013).
Im(f) = [-2, 0]. (A5, questão 3d, 2013).
D(f) = [2, 3]. (A5, questão 3e, 2013).
D(f) = [0, 2]. (A5, questão 3f, 2013).
4.2.1.4 – Questão 4: Gráfico de Função Definida por mais de uma Sentença
O enunciado da questão 4 foi:
Construir o gráfico da função  :    dada por:
(x) =
é:
O nosso objetivo com a questão 4 foi verificar as dificuldades do aluno ao
representar graficamente funções definidas por mais de uma sentença. Para solução
dessa questão, o aluno deveria encontrar as raízes e o ponto de mínimo da função.
A partir desses pontos, esboçar o arco de parábola e as demais sentenças,
representando, também, o ponto (2, 2). A Figura 4 mostra a resposta dada por A7.
Figura 4 – Resposta Padrão da Questão 4 Apresentada por A7
Fonte: Teste Investigativo, questão 4.
109
4.2.1.5 – Questão 5: Função Composta
A questão 5 solicitava:
Se (x) =
e g(x) =
quais os valores de x para que (g(x)) = g((x))?
Com a resolução da questão 5, podemos observar as dificuldades com
relação aos conteúdos de funções compostas e cálculo algébrico. Para a resolução
da questão, o aluno deveria determinar as leis que definem (g(x)) e g((x)). Em
seguida, igualar as duas expressões e resolver a equação algébrica para encontrar
os possíveis valores de x. Também poderia realizar racionalização na resposta
encontrada. A resposta correta apresentada na Figura 5 foi dada por A18.
Figura 5 – Resposta Padrão da Questão 5 Apresentada por A18
Fonte: Teste Investigativo, questão 5.
110
É importante analisar a resolução apresentada em atividades realizadas
pelos alunos, pois, segundo Ramos e Curi (2013a), por meio “da análise de
conteúdo dessas produções, é possível que o professor perceba a linha de
raciocínio utilizada pelo aluno” (p. 233). Ao analisar a resolução dada por A18,
observamos que, para apresentar a resposta final, o aluno realizou a racionalização
de denominadores.
4.2.1.6 – Questão 6: Inequação-Quociente
Na questão 6, foi solicitado:
Resolver a inequação
4 em .
Na questão 6, o nosso objetivo foi verificar se o aluno sabe resolver
inequações-quociente e elaborar o quadro de sinais. Para resolução, o aluno deveria
saber que o quadro de sinais só pode ser usado quando a inequação-quociente tem
um dos membros da inequação igual a zero e, em seguida, realizar os estudos dos
sinais. O aluno não poderia deixar de considerar a condição de existência no quadro
de sinais da inequação. Exibimos na Figura 6 a resposta padrão dada por A18.
Figura 6 – Resposta Padrão da Questão 6 Apresentada por A18
Fonte: Teste Investigativo, questão 6.
111
4.2.1.7 – Questão 7: Situação-Problema com Função Polinomial do 2º Grau
A questão 7 traz o seguinte enunciado:
Em uma empresa que vende tratores, o lucro total L em função da quantidade q de
tratores vendidos pode ser obtido pela expressão
. Nestas
condições, quais os valores de q para que a empresa trabalhe sempre com lucro
positivo?
Nessa questão, o nosso objetivo foi verificar se, ao analisar o enunciado
de uma situação-problema que envolve função polinomial do 2º grau, o aluno
consegue identificar e esquematizar o que está sendo solicitado. Para isso, o aluno
deveria identificar que
e priorizar na resolução da inequação a aplicação
da propriedade distributiva. Assim, a partir do cálculo das raízes, do esboço e do
estudo do sinal da função, ele conseguiria identificar o intervalo de solução da
inequação. A Figura 7 apresenta a resolução dada por A15.
Figura 7 – Resposta Padrão da Questão 7 Apresentada por A15
Fonte: Teste Investigativo, questão 7.
4.2.1.8 – Questão 8: Análise do Gráfico de Função Polinomial do 2º Grau
O enunciado da questão 8 foi:
112
A parábola P representada abaixo é o gráfico de uma função quadrática . Se g(x)
for uma função quadrática cujas raízes sejam as mesmas de  e se o vértice do
gráfico dessa g for simétrico ao vértice de P com relação ao eixo x, então g(-2) vale:
O nosso objetivo com a questão 8 foi verificar se o aluno conseguiria
analisar o gráfico de uma função polinomial do 2º grau e determinar essa função
considerando a simetria em relação ao eixo das abscissas. Para resolver a questão,
o aluno deveria demonstrar que consegue, a partir do gráfico da parábola, achar os
valores dos coeficientes da função. Compreendendo o que é simetria em relação a
um determinado eixo, o aluno consegue identificar a função
. Também o aluno
deveria encontrar o valor da imagem de um determinado valor de x do domínio.
A14 foi o aluno que mais se aproximou da resolução correta, errando por
considerar
em vez de
na função
Como nenhum aluno apresentou
resolução completa, apresentamos a resolução padrão dada por nós.
Tomando
, e considerando (1, 0) e (2, -1) como pontos
pertencentes ao gráfico de , teremos:
somando (I) com (II), teremos –
em (I), teremos
vértice de
Pelo gráfico
é simétrico ao vértice de
as mesmas raízes de , a função
,
teremos
Logo
Substituindo
. Como o
em relação ao eixo das abscissas e
possui
irá apresentar a concavidade para baixo. Logo,
, resultando em
. Para x =
,
113
4.2.1.9 – Questão 9: Inequação-Produto
A questão 9 solicitava:
Resolva a seguinte inequação (
)∙(
)
0 em .
Com a resolução da questão 9, podemos observar as dificuldades com
relação à resolução de inequação-produto que envolvem função polinomial do 2º
grau. Na resolução da questão, o aluno poderia utilizar o quadro de sinais para
estudar o produto das funções, mas, nesse caso, precisaria identificar a concavidade
das parábolas e as raízes de cada função, realizando, assim, o estudo dos sinais de
cada uma delas. A Figura 8 apresenta a resolução correta dada por A17.
Figura 8 – Resposta Padrão da Questão 9 Apresentada por A17
Fonte: Teste Investigativo, questão 9.
Lembrando que o foco desta pesquisa é a identificação dos erros, não
podemos deixar de considerar, conforme Silva e Buriasco (2005), que “[...] tão ou
114
mais importante que diagnosticar o que o aluno ainda não sabe é investigar o que
ele já sabe [...]” (p. 502). Assim, analisando a resolução dada por A17, verificamos
que o aluno tem conhecimento sobre o que foi solicitado, sabe descrever claramente
sua resolução, indicando no quadro de sinais as respostas encontradas para cada
inequação.
4.2.1.10 – Questão 10: Situação-problema com Função Polinomial do 2º Grau
O enunciado da questão 10 é:
Durante uma situação de emergência, o capitão de um barco dispara um sinalizador
para avisar a guarda costeira. A trajetória que o sinal luminoso descreve é um arco
de parábola. A função que descreve o movimento do sinal luminoso é dada por
, sendo
a altura do sinal, em metro, e , o tempo decorrido após o
disparo, em segundo. a) Qual é a altura máxima que esse sinal luminoso pode
atingir? b) Quantos segundos se passam, após o disparo, até o sinal luminoso atingir
a altura máxima?
Na questão 10, o nosso objetivo foi verificar se o aluno apresentaria
dificuldades em esquematizar uma situação-problema envolvendo o conteúdo de
função polinomial do 2º grau. Na resolução do problema, o aluno teve que identificar
a variável independente e a variável dependente.
A resolução dada por A31 está exibida na Figura 9 e foi considerada
como resposta padrão.
115
Figura 9 – Resposta Padrão da Questão 10 Apresentada por A31
Fonte: Teste Investigativo, questão 10.
Cury e Silva (2008) afirmam que, ao avaliarmos a resolução dada em um
problema, “não somente pelo produto final mas especialmente pelo processo de
produção, podemos analisar a forma como o aluno solucionou a questão,
descobrindo suas estratégias [...]” (p. 87).
Assim, analisando a resolução dada pelo aluno, vimos que ele encontrou
as raízes da função polinomial do 2º grau, traçou a parábola e indicou que o ponto
máximo ocorreu na metade do tempo entre 0 e 16 segundos. Para encontrar a altura
máxima, A31 substituiu o valor do tempo (8s), encontrando h(8) igual a 320m.
Ao analisar o processo e não apenas o resultado apresentado pelo aluno
na resolução da questão, o professor pode verificar as diversas formas de se
resolver uma questão e adotar a melhor resolução como padrão para a turma. A
resolução dada por A31 é um exemplo do que foi dito, pois, para chegar à resposta,
A31 fez uso de seu raciocínio associado à aplicação direta de fórmula.
116
4.2.1.11 – Questão 11: Equação Modular
O enunciado da questão 11 é exposto a seguir:
Determinar o conjunto solução da equação modular
=
.
Na questão 11, o nosso objetivo foi verificar se o aluno é capaz de
resolver uma equação modular; para isso, ele deveria conhecer a definição de
módulo de um número real e saber identificar a condição inicial para encontrar a
solução da equação. Nenhum aluno apresentou resolução correta para a questão.
Abaixo está descrita a resolução considerada por nós como padrão.
, temos como condição inicial:
Se
então
Se
então
Como e
satisfazem a condição inicial, logo:
4.2.1.12 – Questão 12: Situação-problema com Inequação Modular
O enunciado da questão 12 foi:
A fórmula de conversão da temperatura na escala Fahrenheit (T F) para a
temperatura na escala Celsius (TC) é TC =
TF – 32). Dada a temperatura em
Fahrenheit, pode-se obter um valor aproximado da temperatura na escala Celsius
(tC) pela fórmula prática tC =
(TF – 32). Se o erro absoluto E, cometido pela fórmula
prática, é dado por E = |T C – tC|, determine o intervalo de variação de T F para que o
erro absoluto seja menor que 50° Fahrenheit.
O nosso objetivo com a questão 12 foi verificar se o aluno sabe resolver
problemas que envolvem inequação modular. Também foi possível observar a
representação de valores na reta real e a realização de operações com intervalos.
117
Para resolver a questão, o aluno deveria aplicar a propriedade distributiva, além de
reduzir frações a um mesmo denominador comum.
Somente um aluno (A18) apresentou a resolução correta para a questão,
conforme Figura 10.
Figura 10 – Resposta Padrão da Questão 12 Apresentada por A18
Fonte: Teste Investigativo, questão 12.
4.2.1.13 – Questão 13: Gráfico de Função Modular
A questão 13 traz o seguinte enunciado:
Construa o gráfico da função (x) =
e responda, justificando, se essa função
é par ou ímpar.
Com a resolução da questão 13, o nosso objetivo foi observar as
dificuldades encontradas em representar graficamente uma função modular, além de
verificar se o aluno sabe classificar a função par. Para isso, o aluno deveria
encontrar o módulo dos valores que constavam na tabela e traçar o gráfico a partir
118
do modelo de gráfico de função modular e desses valores. Depois, identificar se o
gráfico era referente a uma função par ou ímpar. A Figura 11 ilustra a resolução
correta apresentada por A4.
Figura 11 – Resposta Padrão da Questão 13 Apresentada por A4
Fonte: Teste Investigativo, questão 13.
4.2.1.14 – Questão 14: Potenciação
Na questão 14 foi solicitado:
Se os números reais positivos a, b e c são tais que: c =
, utilize
propriedades de potência para simplificar a expressão e encontrar o valor de c.
Na questão 14, o nosso objetivo foi verificar as dificuldades encontradas
pelo aluno em aplicar as propriedades de potência e operar potência de números
reais. Na resolução, o aluno deveria respeitar as prioridades operacionais da
aritmética.
A Figura 12 apresenta a resposta padrão para a questão.
119
Figura 12 – Resposta Padrão da Questão 14 Apresentada por A18
Fonte: Teste Investigativo, questão 14.
4.2.1.15 – Questão 15: Situação-problema com Função Exponencial
O enunciado da questão 15 é mostrado a seguir:
Num período prolongado de seca, a quantidade de água de certo reservatório, após
t meses, pode ser determinada pela função Q(t) = Q0
, onde Q0 é a quantidade
inicial de água no reservatório. Em quantos meses a quantidade de água no
reservatório se reduzirá à metade da sua quantidade inicial?
O nosso objetivo com a questão 15 foi verificar se o aluno apresenta
dificuldades em interpretar e resolver uma situação-problema que envolva função
exponencial. Na resolução da questão, o aluno deveria identificar a equação
exponencial que satisfaça a condição dada e resolvê-la aplicando suas
propriedades. A Figura 13 mostra a resolução apresentada por A16.
Figura 13 – Resposta Padrão da Questão 15 Apresentada por A16
Fonte: Teste Investigativo, questão 15.
120
Compreender o enunciado de um problema é o primeiro passo para
organizar os dados e resolver o que está sendo solicitado. Muitas vezes o aluno não
compreende o que está exposto e não consegue dar prosseguimento na resolução;
ou, pode-se chegar a um resultado correto por caminhos equivocados.
De La Torre (2007) afirma que, para organizar a informação, é preciso
levar em consideração dois aspectos importantes desse processo, que são
“identificar as características relevantes e ter claros os passos a seguir.” (p. 119). Foi
dessa forma que A16 encontrou a equação do problema e chegou corretamente à
solução.
4.2.1.16 – Questão 16: Equação Exponencial
A questão 16 traz o seguinte enunciado:
Resolva a equação:
=8
Na análise da questão 16, podemos observar as dificuldades com relação
à resolução de equação exponencial. Para resolvê-la, o aluno deveria inverter a
base, além de decompor o número 8 para igualar as bases. Em seguida, aplicar as
propriedades da equação exponencial e achar os valores de x que satisfaçam a
equação.
Na Figura 14, está representada a resolução dada por A3, que
consideramos como resposta padrão para a questão.
Figura 14 – Resposta Padrão da Questão 16 Apresentada por A3
Fonte: Teste Investigativo, questão 16.
121
4.2.1.17 – Questão 17: Inequação Exponencial
O enunciado da questão 17 foi:
Determine os valores de x tais que
>
.
Na questão 17, o nosso objetivo foi verificar as dificuldades ao resolver
inequação exponencial quando a base da potência é um número menor que um.
Para solucionar a questão, o aluno poderia aplicar as propriedades de uma
inequação exponencial e inverter o sinal da relação na desigualdade entre as
potências. Em seguida, achar as raízes da função polinomial do 2º grau e
determinar, a partir do estudo de sinal da função
, a solução da
questão.
A Figura 15 apresenta a resolução dada por A20, considerada resposta
padrão para a questão.
Figura 15 – Resposta Padrão da Questão 17 Apresentada por A20
Fonte: Teste Investigativo, questão 17.
122
A20 registrou o motivo que o levou a inverter o sinal da inequação. Esse
tipo de registro não é só importante para ajudar o aluno no desenvolvimento da
questão, mas também para análise da produção escrita feita pelo professor. Com
esse registro, fica claro para o professor que a resolução dada pelo aluno está
baseada em conceitos verdadeiros.
4.2.1.18 – Questão 18: Inequação Logarítmica
Na questão 18 foi solicitado:
A inequação
tem como solução.
Na questão 18, o nosso objetivo foi verificar as dificuldades encontradas
pelo aluno ao resolver uma inequação logarítmica. Para esse tipo de questão, o
aluno deveria definir a condição de existência da inequação logarítmica, além de
aplicar as propriedades de logaritmo. Em seguida, encontrar as raízes da função e
realizar o estudo dos sinais das funções envolvidas junto com a condição de
existência, apresentando a solução, logo em seguida. A Figura 16 mostra a
resolução dada por A3.
Figura 16 – Resposta Padrão da Questão 18 Apresentada por A3
Fonte: Teste Investigativo, questão 18.
123
4.2.1.19 – Questão 19: Gráficos de Função Logarítmica e Função Exponencial
O enunciado da questão 19 foi:
Construa o gráfico de (x) =
. Sabendo que g(x) é a função inversa de (x),
encontre g(x) e construa o gráfico de g(x) a partir do gráfico de (x).
O nosso objetivo com a questão 19 foi verificar se o aluno apresenta
dificuldades em traçar o gráfico de uma função logarítmica e, a partir desse gráfico,
traçar o gráfico da função exponencial. Também foi possível observar se o aluno
consegue obter a inversa de uma função e identificar a relação entre a função dada
e a encontrada. Aplicando as propriedades de logaritmo, o aluno encontra os valores
da tabela e, a partir do modelo de gráfico de função logarítmica, esboça o gráfico da
função. Conhecendo a relação existente entre o gráfico da função logarítmica e o
gráfico da função exponencial, o aluno esboça o gráfico da função exponencial. A
Figura 17 mostra a resolução dada por A2.
Figura 17 – Resposta Padrão da Questão 19 Apresentada por A2
Fonte: Teste Investigativo, questão 19.
124
4.2.1.20 – Questão 20: Situação-Problema com Equação Logarítmica
A questão 20 solicitava o seguinte:
A massa A de uma substância radioativa decai segundo a lei A = A0 ∙
, em
que t é o tempo de decaimento, em hora, e A0 é a massa inicial, isto é, a massa
correspondente a t = 0. Para calcular a meia-vida dessa substância, ou seja, o
tempo decorrido para que A =
obteve a equação
=
A0, um químico substituiu A por
. Considerando
A0 nessa lei e
= – 0,30, resolva
essa equação para obter a meia-vida da substância.
Com a resolução da questão 20, podemos observar as dificuldades com
relação à resolução de uma situação-problema que envolve equação logarítmica.
Para a resolução da questão, o aluno poderia aplicar as propriedades de logaritmo,
além de saber aplicar a definição de logaritmo. As Figuras 18 e 19 mostram
diferentes resoluções apresentadas por A17 e A2, respectivamente.
Figura 18 – Resposta Padrão da Questão 20 Apresentada por A17
Fonte: Teste Investigativo, questão 20.
125
Figura 19 – Resposta Padrão da Questão 20 Apresentada por A2
Fonte: Teste Investigativo, questão 20.
Para
resolver
a questão,
A17
aplicou
a
propriedade
, enquanto que A2 utilizou a definição de logaritmo:
“Dados a e b, números reais positivos, com a
número real x tal que
1, o logaritmo de b na base a é o
.” (BARROSO, 2007, p. 224). As duas
resoluções apresentadas utilizaram-se de estratégias diferentes, com isso é possível
perceber que não existe uma única maneira de resolver uma situação-problema.
Na próxima seção, faremos a apresentação dos tipos de erros que
identificamos em cada questão, por categoria.
126
4.2.2 – Erros na Resolução de Atividades Matemática
A análise da produção escrita do aluno não deve ser “um fato isolado na
prática do professor; ela é – ou deveria ser – um dos componentes dos planos
pedagógicos das instituições e dos planos de aula dos docentes, levando em conta
os objetivos do ensino de cada disciplina.” (CURY, 2008, p. 13). Acreditando nisso,
nos próximos itens, iremos nos ater à análise de erros, no teste investigativo
realizado pelos alunos. Assim, identificaremos erros matemáticos que poderão ser
usados por professores como estratégia didática, com o objetivo de melhorar o
processo ensino-aprendizagem.
Na apresentação da análise, iniciamos com a denominação das
categorias, seguida de um quadro com os tipos de erros cometidos por categoria, o
número de protocolos analisados e o número de ocorrências dos erros por questão.
Após a apresentação do quadro serão mostrados os erros; para cada erro, será
apresentado um texto-síntese com exemplo tirado do corpus, além de alguns relatos
apresentados pelos alunos.
4.2.2.1 – Categoria 1 – Erros Ligados a Conteúdos Abordados no Ensino
Fundamental
O nosso objetivo com a criação dessa categoria é responder a seguinte
questão: Que conteúdos matemáticos provenientes do Ensino Fundamental são
visíveis nos erros apresentados na resolução das atividades que envolvem
conteúdos propostos na 1ª avaliação institucional?
Foram concentrados nessa categoria os erros ligados a conteúdos
referentes ao Ensino Fundamental. Selecionamos algumas das resoluções,
apresentadas pelos alunos, para demonstrarmos cada tipo de erro.
A Tabela 4 mostra os quatro tipos de erros associados à Categoria 1.
127
Tabela 4 – Erros Ligados a Conteúdos Abordados no Ensino Fundamental
Tipos de Erros
Operações Básicas e Propriedades de
Potência
Questão
1
10
12
14
20
Subtotal
Aplicações de Regras e Fórmulas
4
7
9
10
12
16
17
Subtotal
Esboço da concavidade de uma
parábola
Subtotal
4
9
Resolução algébrica
5
20
Subtotal
Total
Nº de
protocolos
31
21
21
23
16
112
24
28
19
14
21
17
27
150
24
14
38
22
16
38
338
Nº de
ocorrências
1
5
4
23
5
38
14
18
7
7
2
11
18
77
2
2
4
21
3
24
143
Fonte: Elaborada pela pesquisadora, 2014.
Apresentaremos os erros na mesma sequência da Tabela 4, começando
então pelo erro de operações básicas e propriedades de potência. Os erros
referentes a operações básicas foram cometidos durante a resolução das operações
de multiplicação e divisão. Para esse tipo de erro, mostraremos somente um
protocolo, ao qual o maior número de erros ocorridos foi semelhante.
A Figura 20 corresponde à resolução apresentada por A6.
128
Figura 20 – Resposta Apresentada por A6
Fonte: Teste Investigativo, questão 20.
Notamos que, na resolução, o aluno apresentou corretamente a equação
do problema, além do cálculo do
. Ao realizar a operação de divisão, o aluno
indicou a eliminação das casas decimais, realizando a operação de maneira
incorreta. A6 talvez acreditasse que, pelo fato de estar realizando uma operação
com números decimais, os quais apresentam a parte inteira igual a zero, o quociente
devesse ser análogo.
Mencionaremos a seguir alguns erros provenientes de operações básicas
nas demais questões. Para esses erros não iremos exibir protocolos, pois achamos
que somente a descrição seja o suficiente para as apresentações.
Na questão 1, A23 ao dividir 45 por 7 encontrou 6,7, pois ao efetuar a
multiplicação de 6 x 7 escreveu resto 5 em vez de 3. Devido ao erro, o aluno não
deu continuidade à resolução da questão, sendo o único que apontou ter
dificuldades em realizar operações com números reais.
A10 apresentou incorretamente o resultado da questão 10, pois errou na
seguinte divisão:
. A29 também apresentou o resultado incorreto
129
nessa questão, errando no cálculo do discriminante ao resolver, de maneira
incorreta, a seguinte operação: 80 x 80 = 640.
Erros em operações de multiplicação foram encontrados na questão 12.
Por exemplo, A15 descreveu uma operação de multiplicação, mas realizou uma
operação de adição. Na operação realizada 32 x 5 = 90, A15, em vez de multiplicar 5
x 3, soma 5 + 3 + 1, encontrando 9. Já o erro de A31 foi cometido ao multiplicar 18 x
5 = 600.
Existem indícios de que os erros apresentados, com exceção do primeiro
erro de divisão cometido por A6 na questão 20, foram consequência de enganos
cometidos pelos alunos durante a realização de cada operação.
O erro referente à aplicação das propriedades de potência foi cometido
por muitos alunos durante a resolução da questão 14. A Figura 21 exibe esse erro.
Figura 21 – Resposta Apresentada por A17
Fonte: Teste Investigativo, questão 14.
130
O erro cometido por A17 foi encontrado na resolução apresentada por
muitos alunos. A17 não aplicou a propriedade de potência
correta, ou seja, elevou somente as incógnitas ao expoente de
da forma
indicado na
equação, sem realizar a operação de potência com os números 4 e 9. Devido à
aplicação incorreta das propriedades de potência, A17 apresentou a resposta errada
para a solução da questão. Compreendemos que, no entendimento desse aluno,
quando um número está acompanhado de uma incógnita e ambos elevados ao
mesmo expoente, deve-se elevar à potência somente a incógnita. Não identificamos
o erro como um equívoco, pois A17 não elevou nem o número 4 e nem o número 9 à
potência de .
Ainda na categoria 1, o tipo erro de aplicações de regras e fórmulas foi
o encontrado em um maior número de questões, ou seja, ele foi percebido em sete
das vinte questões do teste investigativo. Optamos por mostrar os protocolos de
alguns casos e, em outros, descreveremos somente o erro identificado. Iniciaremos,
pelo erro cometido por A25, no cálculo das raízes de uma função polinomial do 2º
grau, conforme Figura 22.
Figura 22 – Resposta Apresentada por A25
Fonte: Teste Investigativo, questão 7.
Iremos nos ater somente ao erro referente ao cálculo das raízes da
função
. Além de encontrar incorretamente as raízes da função,
131
A25 cometeu outros erros, os quais serão apresentados mais a frente. Para
encontrar as raízes da função, A25 colocou o termo
em evidência e a partir
disso apresentou como raízes -10 e 30. Inferimos que, no entendimento do aluno,
quando se coloca um termo em evidência, as raízes correspondentes à função são
os valores que acompanham a variável colocada em evidência. Não podemos deixar
de mencionar que o mesmo erro foi cometido por A25 e outros alunos nas demais
questões.
O erro descrito acima ocorreu em uma função polinomial do 2º grau que
possui o coeficiente c igual a zero. Outro erro para esse mesmo tipo de função
foi cometido por A4 na questão 10. Ao calcular o discriminante da
função, deduzimos que o aluno considerou
, pois encontrou o discriminante
igual 6.420. Achamos que, no entendimento desse aluno, quando uma função
possui b ou c igual a zero, esse deverá ser considerado igual a um para o cálculo do
discriminante da função.
Na questão 16, o erro cometido por A19 foi durante o cálculo das raízes
de uma equação que possui o coeficiente b igual a zero conforme mostrado na
Figura 23.
Figura 23 – Resposta Apresentada por A19
Fonte: Teste Investigativo, questão 16.
O aluno resolveu corretamente a equação exponencial, mas, ao encontrar
as soluções, errou ao considerar na equação
o valor de
e
132
, em vez de
e
Esse mesmo erro foi cometido por A10 na
mesma questão. Entendemos que esses alunos resolveram essa equação como se
fosse uma equação completa, o que pode indicar um modo tecnicista de resolução
de exercícios matemáticos.
Diferentemente do que foi descrito acima, outro tipo de erro no cálculo
das raízes de uma equação do 2º grau ou das raízes de uma função polinomial do 2º
grau cujo coeficiente b é igual a zero ocorreu de forma idêntica nas questões 4, 16 e
17. Nessa situação, os alunos encontraram somente uma raiz como resposta. Por
exemplo, na questão 4, A6 apresentou como raízes da função
somente
. Cremos que, para ele, esse tipo de função possui somente uma raiz
positiva, não conseguindo, portanto, identificar a raiz negativa na resolução.
Nesses exemplos mencionados, vimos que, em sua maioria, o erro
cometido na resolução das questões foi devido ao cálculo das raízes de uma
equação ou das raízes de uma função polinomial do 2º grau, quando apresentada
com o coeficiente b ou c iguais a zero
Em relação aos erros referentes às prioridades operacionais da
aritmética, foram identificados poucos deles nas resoluções das questões. A Figura
24 mostra um exemplo desse tipo de erro.
Figura 24 – Resposta Apresentada por A6
Fonte: Teste Investigativo, questão 7.
133
Esse erro foi cometido por alunos que não priorizaram a multiplicação, no
caso a aplicação da distributiva, em detrimento da operação que era apresentada
anteriormente. A6 realizou a operação de subtração antes de aplicar a distributiva,
mostrando não compreender que as operações de multiplicação devem ter
precedência em relação às operações de soma e subtração. O aluno também
cometeu erro ao calcular as raízes da função e, por isso, não apresentou resposta
para a questão. A6 declarou ter dificuldades em resolver problema que envolve
função polinomial do 2º grau.
Erro semelhante foi cometido por A25 na mesma questão (FIGURA 22). A
diferença entre os erros cometidos por A25 e A6 foi que A25, ao realizar a operação
de
, encontrou
. A25, como A6, errou no cálculo das raízes da função
encontrada.
O erro referente ao uso incorreto de regras de sinais foi encontrado com
maior frequência em resoluções nas quais o aluno deveria aplicar a propriedade
distributiva. A Figura 25 apresenta um desses erros.
Figura 25 – Resposta Apresentada por A14
Fonte: Teste Investigativo, questão 7.
134
A14, ao aplicar a propriedade distributiva, errou na multiplicação entre os
sinais de
e
, apresentando como resposta
em vez de
. Inferimos
que, na compreensão do aluno, a multiplicação entre dois números negativos deve
ser realizada somente entre os valores absolutos, permanecendo o resultado com o
mesmo sinal. Por esse motivo, o aluno encontrou incorretamente as raízes da
função. O mesmo erro foi cometido por outros alunos, que também encontraram,
incorretamente, as raízes da função na mesma questão.
O mesmo tipo de erro foi cometido por dois alunos na questão 12, os
quais, ao multiplicarem
e
, encontraram
, em vez de
.
O erro na aplicação incorreta da fórmula das coordenadas do ponto de
máximo de uma função foi cometido por somente três alunos e de forma idêntica. A
Figura 26 exibe esse erro.
Figura 26 – Resposta Apresentada por A18
Fonte: Teste Investigativo, questão 10.
Pelo fato de A18 considerar a fórmula de XV =
, em vez de XV =
,
acabou apresentando resposta incorreta tanto para o tempo, quanto para a altura
solicitados. O uso de fórmula para resolução dessa questão exigiu que o aluno a
135
“decorasse”. Se A18 utilizasse o mesmo procedimento que foi usado por A31
(FIGURA 9), certamente esse tipo de erro não teria acontecido.
O erro no esboço da concavidade de uma parábola foi cometido
somente por dois alunos na questão 4 e dois alunos na questão 9. Na questão 4, os
dois alunos que cometeram erro esboçaram o gráfico da função
com
concavidade para baixo. Inferimos que tal erro foi cometido não pelo fato de os
alunos apresentarem dificuldades em identificar a concavidade da parábola, mas,
sim, por terem que esboçar o gráfico de uma função definida por mais de uma
sentença, pois, além de os alunos não terem terminado de esboçar o gráfico,
também não cometeram tal erro em outras questões.
Esse tipo de erro também foi identificado na questão 9. A Figura 27
apresenta o erro cometido por A18.
Figura 27 – Resposta Apresentada por A18
Fonte: Teste Investigativo, questão 9.
136
O aluno apresentou praticamente todas as etapas corretas para a
resolução da questão, mas, ao cometer o erro no esboço da parábola da função
, errou também no estudo do sinal, apresentando solução
incorreta. Ao analisar outras questões, nas quais A18 deveria apresentar o estudo
de sinal de uma função, vimos que o aluno não realizou o estudo de sinal para
situações desse tipo. Então, deduzimos que A18 não consegue distinguir a diferença
entre a concavidade de uma parábola (que é gráfico de uma função quadrática) que
possui
e uma que possui
.
A3 também cometeu o erro ao esboçar a parábola com concavidade para
cima, mas apresentou corretamente o estudo do sinal. Analisando outras questões
de A3, nas quais era necessário o estudo de sinais de uma função quadrática, não
foram encontrados erros. Logo, há indícios de que A3 não apresenta dificuldades
nesse conteúdo.
O erro de resolução algébrica foi percebido com mais frequência na
resolução da questão 5. Um exemplo desse tipo de erro está mostrado na Figura 28.
Figura 28 – Resposta Apresentada por A2
Fonte: Teste Investigativo, questão 5.
O aluno determinou a lei que define
e
corretamente,
igualou as duas leis com a finalidade de determinar os valores de x, mas errou
durante a resolução algébrica. Ao dividir dos dois lados da equação por
, A2
137
procedeu de forma equivocada, obtendo por isso uma resposta incorreta. No final da
resolução, A2 escreveu o seguinte: “Dificuldade ao multiplicar
por
” (A2, 2013).
Talvez, na ansiedade de apresentar uma resposta para a questão, essa dificuldade
mencionada pelo aluno, tenha-o levado a cometer o erro. Além disso, consideramos
que o aluno não compreende que, ao dividir os dois lados da equação, todos os
termos deverão ser divididos.
Outro tipo de erro na resolução algébrica foi cometido por A4, que,
diferentemente de A2, considerou
nos dois termos, ou seja,
logo em seguida, apresentou a resposta como
, mas,
, pois considerou o numerador
igual ao denominador. Esses dois erros foram cometidos por outros alunos na
mesma questão.
Na questão 20, também foi observado erro desse tipo, conforme mostrado
na Figura 29.
Figura 29 – Resposta Apresentada por A5
Fonte: Teste Investigativo, questão 20.
A5 resolveu corretamente a primeira parte da questão, mas, em vez de
dividir a equação por
, o aluno se equivocou no desenvolvimento da equação.
Partindo da análise realizada, cremos que o sinal negativo na frente da fração,
possa ter induzido o aluno a cometer esse erro. Devido ao erro, no final da
138
resolução, A5 deixou registrado o seguinte: “Tenho conhecimento das propriedades
de logaritmo, mas não sei por que, não consegui finalizar o desenvolvimento.” (A5,
2013). A partir desse relato, é possível perceber que nem sempre os alunos
sozinhos conseguem identificar o erro, sendo necessária a intervenção do professor.
Na categoria 1, foi possível observar que em muitas resoluções
apresentadas pelos alunos, os erros encontrados foram, exclusivamente, devido a
conteúdos lecionados nos anos anteriores ao Ensino Médio.
4.2.2.2 – Categoria 2 – Erros Ligados a Conteúdos de Conjuntos Numéricos e
Intervalos Reais Abordados no Ensino Médio
Com a criação dessa categoria, temos como objetivo responder à
seguinte questão: Que tipos de erros matemáticos os alunos apresentam na
resolução das atividades que envolvem conjuntos numéricos e intervalos reais?
Reunimos aqui, então, todos os tipos de erros que foram identificados nas
resoluções dadas pelos alunos em questões que abordavam os conteúdos de
conjuntos numéricos e intervalos reais. A Tabela 5 mostra os tipos de erros que
foram encontrados e que no nosso entendimento devem ser aqui categorizados.
Tabela 5 – Erros Ligados a Conteúdos de Conjuntos Numéricos e Intervalos
Reais Abordados no Ensino Médio
Tipos de Erros
Transformação em linguagem
matemática
Subtotal
Representação e Operação de intervalo
Subtotal
Total
Questão
Nº de
protocolos
Nº de
ocorrências
1
31
31
31
21
26
28
75
106
31
20
16
2
38
69
2
3d
6
Fonte: Elaborada pela pesquisadora, 2014.
Começamos a nossa descrição pelo erro de transformação em
linguagem matemática.
139
Esse tipo de erro foi observado na questão 1 e foi cometido por todos os
alunos que apresentaram respostas parcialmente corretas ou incorretas; um
exemplo disso está na Figura 30.
Figura 30 – Resposta Apresentada por A1
Fonte: Teste Investigativo, questão 1.
Esse erro foi cometido por 31 alunos, os quais não conseguiram converter
o que foi solicitado no enunciado da questão para a linguagem matemática, no caso,
escrever por meio de equações e conjuntos o que foi dito no texto verbal.
A1, ao apresentar a resposta, vai de encontro ao que foi registrado por ele
mesmo, ou seja, descreveu que o número de pacientes com pressão alta é
maior
do que o número de pacientes com diabetes, mas, logo em seguida, apresentou
como resposta: pressão alta = 12 e diabetes = 6. Assim, o número de pacientes com
pressão alta, encontrado pelo aluno, é o dobro do número de pacientes com
diabetes e não como indicado por A1 na resolução da questão. Por ter escrito no
início da questão que “pa + d = 18”, inferimos que o aluno acreditou que a resposta
estivesse correta.
A Figura 31 mostra outro exemplo desse tipo de erro.
140
Figura 31 – Resposta Apresentada por A13
Fonte: Teste Investigativo, questão 1.
A13, ao apresentar a equação referente ao enunciado da questão, não
incluiu os 40% dos pacientes que possuíam as duas doenças, diferentemente da
resolução apresentada por A7 na Figura 2, o qual indicou a diferença da interseção
entre os dois conjuntos (
). Como a A1 (FIGURA 30), A13 não se
preocupou em associar a resposta apresentada à informação que indicou no início
da resolução da questão: “P
+ que D”. Esses alunos, além de apresentarem
141
dificuldades em relação ao conteúdo, demonstraram não se preocupar em comparar
o que foi encontrado na resposta com o que foi definido durante a resolução.
O erro de representação e operação de intervalo foi identificado na
questão 2.
A Figura 32 apresenta o erro cometido por A18 ao representar conjuntos
na reta real.
Figura 32 – Resposta Apresentada por A18
Fonte: Teste Investigativo, questão 2.
Alguns alunos, como, por exemplo, A18, apresentaram dificuldades em
representar na reta real a condição “ou” descrita pelo conjunto N. Dessa forma,
apresentaram resposta incorreta para a questão. Deduzimos que esses alunos
interpretam o conectivo “ou” da mesma forma que o conectivo “e”, pois foi assim que
eles representaram o conjunto N na reta real, ou seja, de forma inversa ao que foi
solicitado. Se A18 não errasse na representação do conjunto N, teria,
possivelmente, chegado à resposta correta, pois demonstrou saber realizar as
operações solicitadas na questão.
Diferentemente de A18, outros alunos representaram o conjunto N na reta
real por partes. Inferimos que tenham feito isso por apresentarem dificuldades em
relação ao conectivo “ou”.
Como descrito acima, ainda foi possível identificar na questão 2 erro ao
realizar operações com intervalos na reta real. A Figura 33 exibe esses dois tipos de
erros.
142
Figura 33 – Resposta Apresentada por A32
Fonte: Teste Investigativo, questão 2.
A32, em vez de realizar a operação de diferença do conjunto
conjunto de
com o
, realizou a operação de união com uma das partes do conjunto
. O aluno efetuou as operações em partes, pelo motivo de ter representado o
conjunto
dessa maneira na reta real. Devido a isso, apresentou duas respostas
para a questão.
A32 cometeu erro na representação da resposta da questão 2.
Observando a resposta que o aluno apresentou, vimos que, em cada parte da
resposta, ele descreveu os valores que
deveria assumir, utilizando para isso o
conectivo “e”, e não o conectivo “ou”, que seria o correto. O aluno não compreende,
por exemplo, que
que
não pode assumir valores que sejam ao mesmo tempo maior
e menor que
. Assim, inferimos que esses alunos apresentam
dificuldades não só na representação de conjuntos na reta real que possuam o
143
conectivo “ou”, mas também apresentam dificuldades em representar a solução
encontrada, em linguagem matemática.
Erro desse tipo foi observado na resposta dada por A37 na questão 6,
conforme Figura 34.
Figura 34 – Resposta Apresentada por A37
Fonte: Teste Investigativo, questão 6.
A37 errou na resolução da questão, mas esse tipo de erro será discutido
mais à frente. O aluno, ao identificar os valores possíveis para
no estudo dos
sinais, não exibiu o quadro de sinais e apresentou os valores que
deveria assumir
separados por “;”, diferentemente de A32 (FIGURA 33), que apresentou as
diferentes soluções unidas pelo conectivo “e”. Além disso, A37 não se preocupou em
analisar a resposta dada, pois apresentou na primeira condição valores de
que já
abrangiam a segunda condição descrita por ele. No final de sua resolução, o aluno
declarou que teve dificuldades em expressar o resultado encontrado.
Na questão 3D, também foi possível observar erros na representação da
solução apresentada pelos alunos, conforme mostrado na Figura 35.
144
Figura 35 – Resposta Apresentada por A31
Fonte: Teste Investigativo, questão 3D.
Achamos que o erro cometido por A31 tenha sido devido ao fato de o
intervalo começar em um número negativo e se estender até 0, no caso,
. Isso
fez com que o aluno apresentasse duas respostas diferentes e incorretas para a
solução da questão. A segunda resposta apresentada pelo aluno foi dada por vários
outros. Na identificação do conjunto imagem associado ao intervalo
, há indícios
de que A31 sabia qual seria o conjunto imagem referente ao intervalo solicitado, mas
apresentou dificuldades na representação desse intervalo.
Os erros apresentados nessa categoria foram os que identificamos na
resolução de questões referente ao primeiro conteúdo visto pelos alunos no 1º ano
do Ensino Médio Integrado.
4.2.2.3 – Categoria 3 – Erros Ligados a Conteúdos de Equações, Inequações e
Funções Abordados no Ensino Médio
Esta categoria visa responder a seguinte questão: Que tipos de erros
matemáticos os alunos apresentam na resolução das atividades que envolvem
equações, inequações e funções?
Nela se encontram a maior parte dos erros identificados na resolução das
questões do teste investigativo. Isso é devido à extensão do conteúdo de funções
lecionado no 1º semestre do CEFET-MG, o qual inicia em função afim e se estende
até função logarítmica. A Tabela 6 apresenta os tipos de erros ligados a essa
categoria.
145
Tabela 6 – Erros Ligados a Conteúdos de Equações, Inequações e Funções
Abordados no Ensino Médio
Tipos de Erros
Questão
3a
3b
3c
3d
3e
3f
6
10
11
13
18
19
Conceito de função
Subtotal
Esboço do gráfico de uma função
Subtotal
Não desenvolve a equação
4
13
19
5
Subtotal
Resolve incorretamente inequaçãoquociente e inequação-produto
Subtotal
6
9
Estudo de Sinais
6
7
9
17
Subtotal
Não identifica a função simétrica ao
vértice de f(x) em relação ao eixo x
Subtotal
Não resolve a 2ª equação ou inequação
da função modular
Subtotal
Cálculo do Módulo ou Logaritmo de um
número
8
11
12
13
18
20
Subtotal
Resolve incorretamente a equação ou
inequação exponencial
Subtotal
Total
Fonte: Elaborada pela pesquisadora, 2014.
15
16
17
Nº de
protocolos
6
36
13
26
12
12
28
21
32
24
21
26
257
24
24
26
74
Nº de
ocorrências
6
36
13
15
12
12
17
6
32
24
7
25
205
22
5
18
45
27
6
27
28
25
53
16
11
14
27
68
6
26
6
32
4
6
10
21
41
6
6
6
32
21
53
24
15
16
55
12
17
27
56
649
6
18
11
29
4
13
3
20
10
6
24
40
424
146
O primeiro erro discriminado na Tabela 6 abrange o conceito de função
e foi encontrado em várias questões. A Figura 36 exibe o primeiro erro desse tipo
que foi identificado na questão 3A.
Figura 36 – Resposta Apresentada por A9
Fonte: Teste Investigativo, questão 3A.
Além da resposta apresentada na Figura 36, descrevemos abaixo outras
respostas dadas pelos alunos para a questão:
Pois cada ponto só está ligado em um determinado número, formando os
pares ordenados. (A20, 2013).
Ela é uma função, pois Y e X variam de acordo com o valor das variáveis.
(A22, 2013).
Sim, pois há elementos de x (domínio) que se relacionam com y (contra
domínio). (A5, 2013).
O gráfico ao lado é uma função, pois compreende de um domínio e
imagem. (A18, 2013).
A
partir
das
respostas
apresentadas,
nota-se
que
os
alunos
demonstraram dificuldade em justificar a afirmativa de que o gráfico da questão
representa uma função. Cremos que eles desconhecem a relação que deve existir
entre o eixo x (domínio) e o eixo y (contradomínio) para que uma função seja
definida. A9 acredita que só o fato de o gráfico passar pelos eixos x e y já
caracteriza uma função. Esses alunos não conseguem escrever o conceito de uma
função como o apresentado, por exemplo, por A37, o qual afirmou que o gráfico se
147
tratava de uma função, justificando sua resposta da seguinte forma: “Sim, pois cada
valor de x possui um único y correspondente”.
Também identificamos em outros dois itens da questão 3 e na questão
10, dificuldades relativas à identificação do domínio e da imagem de uma função. A
Figura 37 apresenta o erro nos itens 3C e 3D da questão 3.
Figura 37 – Resposta Apresentada por A11
Fonte: Teste Investigativo, questão 3 itens C e D.
A11, em vez de responder que o domínio da função era dado por

, conforme resposta apresentada por A18, e que o
conjunto imagem associado ao intervalo
era
, conforme
resposta dada por A5, o aluno apresentou somente os valores inteiros
compreendidos nos intervalos reais das respostas corretas. Ocorreram outros tipos
de erros na identificação do domínio e do conjunto imagem da função, como, por
exemplo:

. (A6, 2013).
. (A9, A16, A20, A24, 2013).
Para A6, o extremo
não faz parte do domínio e esse se estende
ilimitadamente. O aluno não conseguiu identificar que os extremos pertencem ao
intervalo e que esse tipo de ponto define o extremo da função. Já os quatro alunos
que apontaram a imagem como sendo o conjunto
, ao analisarem o gráfico da
148
função, deduzimos que consideraram somente os extremos do intervalo solicitado,
por esse motivo não identificaram que o conjunto imagem pertencente ao intervalo
era de
. Além de identificarem o intervalo de forma incorreta, esses alunos
também o descreveram incorretamente. Erro semelhante foi apresentado na Figura
35, quando A31 e vários outros alunos responderam, incorretamente, que o conjunto
imagem era
.
Na questão 10, foi identificado esse tipo de erro quando A4 trocou os
conjuntos domínio e imagem, conforme mostrado na Figura 38.
Figura 38 – Resposta Apresentada por A4
Fonte: Teste Investigativo, questão 10.
A4,
como
já
descrevemos
discriminante ao considerar
anteriormente,
errou
no
cálculo
do
na função apresentada pela questão. Mas, um
segundo erro cometido pelo aluno foi identificar o eixo
como o eixo referente ao
149
valor da altura correspondente ao sinal luminoso e o eixo
como o valor do tempo
decorrido por esse sinal. O aluno não compreende que a variável , ou seja, variável
dependente se apresenta em função da variável , independente. Devido a isso, A4
apresentou as respostas trocadas.
Os alunos também cometeram erros ao identificarem o intervalo de
crescimento e decrescimento de uma função nos itens E e F da questão 3. A Figura
39 mostra um dos erros cometidos no item F.
Figura 39 – Resposta Apresentada por A16
Fonte: Teste Investigativo, questão 3 item F.
No exemplo mostrado, no item F, o aluno descreveu o intervalo somente
com os valores inteiros pertencentes a ele. Outro tipo de erro identificado em
resoluções apresentadas para a questão foi indicar a resposta para o item F como
[0, 2), considerando o intervalo aberto no extremo maior. Esses alunos não
identificaram que no esboço da função os extremos pertencem ao intervalo,
definindo, então, intervalo fechado. Às vezes é difícil compreender a resolução dada
pelo aluno. Como exemplos temos as respostas apresentadas por A6 na questão 3:
no item E, “crescente =

” e, no item F, “decrescente =

”.
Sendo assim, é importante o professor saber do aluno o que o levou a essa
resposta.
Nas questões 3B, 13 e 19, os alunos cometeram erros associados ao
conceito de função quando não identificaram ou identificaram incorretamente uma
função. Não podemos deixar de relatar que a maioria dos alunos deixou em branco
150
os itens das questões nas quais uma determinada função deveria ser identificada.
Somente um aluno apresentou resposta correta para esse item da questão; outros
seis responderam incorretamente e os demais não apresentaram nenhuma
resposta.
A Figura 40 apresenta esse tipo de erro cometido na questão 3 item B.
Figura 40 – Resposta Apresentada por A5
Fonte: Teste Investigativo, questão 3B.
Analisando a resposta incorreta apresentada por A5, verificamos que o
aluno justificou a sua resposta usando da definição que justificaria porque uma
função não é injetora. Também usando de justificativa semelhante, A17 e A31
apresentaram as seguintes justificativas:
Sim, pois há domínios diferentes com a mesma imagem. (A17, 2013).
Sim, pois em 3 valores de x, temos apenas 1 y. (A31, 2013).
Na questão 13, também encontramos erros referentes à dificuldade de
diferenciar uma função par de uma função ímpar.
A Figura 41 exibe um erro desse tipo.
151
Figura 41 – Resposta Apresentada por A33
Fonte: Teste Investigativo, questão 13.
Dos 37 alunos, somente 13 apresentaram resposta correta para essa
questão. Do restante, a maioria não apresentou nenhuma resposta para esse item,
sendo que os que apresentaram erraram na identificação e/ou justificativa do tipo de
função dada. A33 identificou a função como sendo ímpar, justificando sua resposta
conforme apresentado na Figura 41. Mas, mesmo assim, não deixou de registrar
que apresentava dúvidas em relação à resposta dada. Além da resposta de A33, as
respostas apresentadas por A11 e A8 foram as seguintes:
Cavidade para cima, a função é par. (A11, 2013).
Par, concavidade pra cima. (A8, 2013).
Com relação à representação da função inversa na questão 19, dos 26
alunos que apresentaram resposta parcialmente correta ou incorreta para esse item,
24 não encontraram ou encontraram incorretamente a função inversa da função
logarítmica apresentada.
A Figura 42 exibe esse tipo de erro nessa questão.
152
Figura 42 – Resposta Apresentada por A15
Fonte: Teste Investigativo, questão 19.
A15 encontrou os valores de
e esboçou o gráfico da função
corretamente. Mas ao identificar a função inversa
por
, o aluno simplesmente trocou
na própria função , definindo
inversa para os mesmos valores de
e encontrando os valores da
referentes ao de
. Consideramos que,
para o aluno, basta esse procedimento para se encontrar uma função inversa.
Devido a isso, o aluno esboçou incorretamente o gráfico da função
também indicou de maneira incorreta que
. O aluno
.
Em outras três questões, também foram identificados erros ligados ao
conceito de função, ou seja, quando os alunos não definiram a condição inicial ou de
153
existência de uma função. A Figura 43 mostra a ocorrência desse tipo de erro na
questão 6.
Figura 43 – Resposta Apresentada por A17
Fonte: Teste Investigativo, questão 6.
O primeiro erro cometido por A17 foi não zerar o segundo membro da
inequação-quociente antes de realizar o estudo de sinais das funções. O aluno
considerou o segundo membro da inequação-quociente como resultado de uma
função, acrescentando-o no quadro de sinais. Esse tipo de erro será mencionado
mais à frente. O erro referente à condição de existência foi que o aluno não
considerou o denominador diferente de zero, incluindo o valor de
na solução
apresentada para a questão.
Nenhum aluno apresentou resolução correta para a questão 11, pois a
maioria não definiu a condição de existência para a função modular.
A Figura 44 mostra esse tipo de erro.
154
Figura 44 – Resposta Apresentada por A19
Fonte: Teste Investigativo, questão 11.
A19 resolveu a questão sem identificar a condição de existência. Pelo fato
de
da condição de existência ser menor que os resultados encontrados, a solução
apresentada para a equação foi à correta.
Na resolução da questão 18, também tiveram alunos que não
identificaram a condição de existência da inequação logarítmica. A Figura 45 exibe
esse erro cometido por A5.
Figura 45 – Resposta Apresentada por A5
Fonte: Teste Investigativo, questão 18.
155
Podemos observar que o aluno não apresentou inicialmente a condição
de existência para a inequação logarítmica. Cremos que esses alunos não
compreendem que, para um logaritmo existir, uma das condições é que o
logaritmando deve ser maior que zero. Devemos ressaltar que a resolução
apresentada por A5 está incorreta, mas esse tipo de erro será discutido mais à
frente.
Três alunos cometeram erro associado ao conceito de função durante a
resolução da questão 10. Esses alunos dividiram os coeficientes por cinco antes de
resolverem a questão. A Figura 46 exibe esse tipo de erro.
Figura 46 – Resposta Apresentada por A5
Fonte: Teste Investigativo, questão 10.
Apesar de o enunciado da questão descrever que era para calcular a
altura máxima do sinal luminoso dado por
, os alunos iniciaram a
questão dividindo os coeficientes por cinco, encontrando a altura máxima a partir da
função
.
Assim,
apresentaram
a
resposta
da
altura
máxima
156
incorretamente, ou seja, dividida por cinco. Inferimos que esses alunos não
compreendem que ao dividir a função, também dividiram o valor de y, ou seja, a
imagem correspondente a altura máxima da função.
O erro referente ao esboço do gráfico de uma função pode ser
observado nas questões 4, 13 e 19, sendo que, na questão 4, o erro cometido foi no
esboço do gráfico de uma função definida por mais de uma sentença; na questão
13, no esboço do gráfico de uma função modular; e, na questão 19, no esboço do
gráfico da inversa da função logarítmica. A Figura 47 exibe o erro mais frequente no
esboço do gráfico da questão 4.
Figura 47 – Resposta Apresentada por A18
Fonte: Teste Investigativo, questão 4.
Os alunos que cometeram esse tipo de erro esboçaram o gráfico da
função usando tabela, unindo os pontos encontrados por meio de retas. Esses
alunos não identificaram que a função apresentada é uma função polinomial do 2º
grau, sendo o seu gráfico uma parábola com concavidade para cima, cortando o
eixo
em dois valores distintos, pois o polinômio possui duas raízes. Também,
devido ao esboçarem o gráfico usando tabela, não identificaram o ponto (2, 2)
descrito em uma das condições.
157
A Figura 48 mostra o esboço incorreto do gráfico referente à questão 13.
Figura 48 – Resposta Apresentada por A35
Fonte: Teste Investigativo, questão13.
A35 encontrou os valores corretos para
, mas esboçou o gráfico da
função modular como sendo uma função polinomial do 2º grau. Nessa questão,
outros quatro alunos esboçaram incorretamente o gráfico, mas o erro foi devido ao
cálculo incorreto de
. Mostraremos esse erro mais à frente.
Na Figura 49, exibimos o erro cometido no esboço dos gráficos referentes
à questão 19.
Figura 49 – Resposta Apresentada por A31
Fonte: Teste Investigativo, questão19.
158
A31 calculou os valores de
esboçando corretamente o seu gráfico.
Para o aluno, os valores do gráfico da função inversa de , ou seja, os valores de
são simplesmente os valores de
com sinal trocado. Esses alunos
demonstraram desconhecer a relação existente entre a função logarítmica e a
função exponencial. As duas funções são inversas, logo, seus gráficos são
simétricos em relação à reta
, denominada bissetriz dos quadrantes ímpares
(BARROSO, 2010).
Na questão 5, foi possível verificar o erro no qual o aluno não
desenvolveu a equação
, após definir as leis das funções
compostas. Esse erro está mostrado na Figura 50.
Figura 50 – Resposta Apresentada por A24
Fonte: Teste Investigativo, questão 5.
Os seis alunos que cometeram esse erro encontram as leis que definiam
as funções compostas
e
e as apresentaram como resposta da
questão. Esses alunos não compreenderam o que foi solicitado, ou não se
mostraram interessados em dar continuidade à resolução da questão.
Os erros denominados como resolve incorretamente inequaçãoquociente e inequação-produto foram cometidos pelos alunos na resolução das
questões 6 e 9.
As Figuras 51 e 52 mostram exemplos desses tipos de erros na resolução
da inequação-quociente da questão 6.
159
Figura 51 – Resposta Apresentada por A28
Fonte: Teste Investigativo, questão 6.
Figura 52 – Resposta Apresentada por A3
Fonte: Teste Investigativo, questão 6.
Ao analisarmos as resoluções apresentadas, percebemos que não está
claro para os alunos que o quadro de sinais de uma inequação-quociente só poderá
160
ser usado quando algum dos membros da inequação for igual a zero. A28 transferiu
o denominador para o segundo membro, multiplicando-o com o número 4, e
encontrou
, sendo essa resposta uma parte da solução da questão.
Semelhante à resolução dada por A28, A7 resolveu a inequação-quociente como se
fosse uma equação de 1º grau e apresentou como resposta um único valor:
.
Conforme Figura 52, A3 desenvolveu cada função separadamente,
realizando o estudo de sinais para cada uma e, em seguida, usou o quadro de sinais
para encontrar a solução. Se o segundo membro da inequação fosse igual a zero,
provavelmente, A3 apresentaria resposta certa para a questão, pois realizou os
procedimentos corretos para esse tipo de situação. Na Figura 34, apresentamos a
resolução dessa questão dada por A37. A resolução apresentada por ele foi
semelhante à apresentada por A3. A37, diferentemente de A3, não usou o quadro
de sinais e apresentou a solução para a questão de forma equivocada, conforme já
descrito. A17 apresentou solução semelhante a A3, conforme apresentado na Figura
43, mas acrescentou o número 4, que é dado no segundo membro da inequação ao
quadro de sinais.
A Figura 53 exibe esse tipo de erro na resolução de uma inequaçãoproduto apresentada na questão 9.
Figura 53 – Resposta Apresentada por A24
Fonte: Teste Investigativo, questão 9.
161
Seis alunos procuraram resolver a questão aplicando a propriedade
distributiva, conforme mostrado na Figura 53, ou desprezando a operação de
multiplicação entre as funções e realizando a subtração entre elas. A24 declarou no
final da resolução o seguinte: “Não consegui prosseguir com a expressão, pois
encontrei raiz terceira.” (A24, 2013). Mesmo assim, o aluno procurou resolver de
outra maneira a questão, ou seja, substituindo
por , mas acabou se deparando
com outras dificuldades. Cremos que os alunos que cometeram o primeiro erro
mencionado foram motivados pela multiplicação existente entre as funções. Com
relação ao segundo erro, acreditamos que ocorreu devido ao sinal negativo do
coeficiente
apresentado na segunda função.
Foi possível identificar o erro de estudo de sinais em quatro questões. A
Figura 54 mostra esse tipo de erro na questão 6.
Figura 54 – Resposta Apresentada por A25
Fonte: Teste Investigativo, questão 6.
A25 resolveu a questão 6 de maneira semelhante à A3 (FIGURA 52), mas
se utilizou de forma incorreta do quadro de sinais para encontrar a solução da
162
questão. Inferimos que o aluno realizou a operação de união entre os intervalos
encontrados no estudo de sinais das funções.
A Figura 55 exibe o erro referente ao estudo de sinais cometido por A23
na questão 7.
Figura 55 – Resposta Apresentada por A23
Fonte: Teste Investigativo, questão 7.
A23 cometeu erro ao aplicar a propriedade distributiva, mas na linha
seguinte corrigiu seu erro. Mesmo assim, o aluno apresentou uma das raízes da
função incorretamente. Esses tipos de erros foram discutidos na Categoria 1. O que
devemos destacar na resolução apresentada por A23 é o estudo de sinais que o
aluno apresentou. Ao encontrar as raízes da função, o aluno não esboçou a
parábola para realizar o estudo de sinais. Deduzimos que, para esses alunos, o
estudo de sinais deve ser feito representando, individualmente, na reta real, as
raízes da função e, logo após, realizar a operação de multiplicação, encontrando,
assim, a solução da questão. Apesar de o aluno identificar valores menores que -2
na reta real, ele não apresentou esses valores na solução final. Isso aconteceu,
provavelmente, pelo fato de o aluno não achar correto apresentar valores negativos
para a solução do problema.
163
Na Figura 56, apresentamos esse tipo de erro cometido na questão 9.
Figura 56 – Resposta Apresentada por A6
Fonte: Teste Investigativo, questão 9.
A6 encontrou as raízes das funções corretamente, mas errou ao realizar o
estudo de sinais da função
. Cremos que, pelo fato de o aluno
ter encontrado somente uma raiz para a função, ele realizou o estudo de sinais
semelhante ao de uma função polinomial do 1º grau. A6 também não apresentou
uma solução coerente com o resultado encontrado no quadro de sinais.
O último erro desse tipo foi encontrado na questão 17 e está apresentado
na Figura 57.
164
Figura 57 – Resposta Apresentada por A15
Fonte: Teste Investigativo, questão 17.
A15 resolveu corretamente a questão até o momento em que encontrou
as raízes da função
, mas, ao realizar o estudo de sinais da função, o
aluno apresentou as raízes na reta real sem esboçar a parábola, encontrando,
assim, a solução incorreta para a questão, talvez identificando o gráfico de uma
função polinomial do 2º grau como uma reta e não uma parábola.
Na questão 8, foi onde encontramos o maior número de respostas em
branco, e os alunos que apresentaram algum tipo de resolução, mas nenhum deles
apresentou resolução correta. Nela, identificamos o erro não identifica a função
simétrica ao vértice de f(x) em relação ao eixo x.
A Figura 58 apresenta a resolução dada por um dos seis alunos que
apresentou resposta parcialmente correta.
165
Figura 58 – Resposta Apresentada por A19
Fonte: Teste Investigativo, questão 8.
A19 conseguiu identificar a função representada pelo gráfico e apresentou
a resposta da questão para essa função e não para a solicitada. Mas, mesmo
apresentando resposta para a questão, o aluno demonstrou suas dúvidas ao
escrever que “
”. Deduzimos que esses alunos não compreendem o
significado de “simétrico”, por esse motivo apresentaram resposta para
, em
vez de resposta para
O erro não resolve a 2ª equação ou inequação da função modular foi
identificado nas questões 11 e 12, nas quais os alunos desenvolveram somente uma
166
das equações ou uma das inequações correspondentes à função modular dada. A
Figura 59 mostra esse tipo de erro na questão 11.
Figura 59 – Resposta Apresentada por A26
Fonte: Teste Investigativo, questão 11.
Primeiramente, A26 não definiu a condição inicial para encontrar a
solução dessa equação; erro já discutido anteriormente. Em seguida, o aluno
encontrou somente a solução para
, em uma equação do tipo
deixando de desenvolver a segunda equação que seria
,
, por isso,
apresentou, somente, uma solução para a equação. Não podemos deixar de
ressaltar que A26 substituiu o valor encontrado na equação a fim de verificar se a
solução estava correta e também deixou registrado uma dúvida, por meio de um
ponto de interrogação, com relação à resolução dada. Consideramos que o aluno
tenha identificado que estava incompleta a resolução dada por ele.
O mesmo tipo de erro foi encontrado na questão 12, conforme mostrado
na Figura 60.
167
Figura 60 – Resposta Apresentada por A4
Fonte: Teste Investigativo, questão 12.
A4 desenvolveu a questão 12 de forma similar à resolução apresentada
por A26 na questão 11. A4 apresentou, corretamente, a inequação referente à
, deixando de desenvolver a segunda inequação
. Assim,
apresentou a solução incompleta para a questão. Igualmente à A26 e A4, vários
alunos não compreendem que, para solucionar uma equação ou inequação modular,
é necessário verificar se os valores de
satisfazem a equação ou inequação
estudada.
O erro cálculo do módulo ou logaritmo de um número foi cometido nas
questões 13, 18 e 20. Erro no cálculo do módulo de um número real foi cometido por
168
quatro dos cinco alunos que apresentaram incorretamente o esboço do gráfico da
função dada. A Figura 61 mostra esse tipo de erro.
Figura 61 – Resposta Apresentada por A36
Fonte: Teste Investigativo, questão 13.
A36 e os outros alunos cometeram erro no cálculo do módulo de um
número real. O aluno, ao encontrar os valores de
e os outros alunos consideraram que
, considerou para
.
Erro no logaritmo de potência foi identificado nas questões 18 e 20. A
Figura 62 mostra esse tipo de erro na questão 18.
Figura 62 – Resposta Apresentada por A4
Fonte: Teste Investigativo, questão 18.
169
A4 identificou a condição de existência do logaritmo presente na
inequação, mas não aplicou a propriedade do logaritmo de uma potência na
resolução da questão. Cremos que os alunos que cometeram esse tipo de erro não
identificaram o coeficiente -1 e que ele deveria ser considerado como potência de
no segundo membro da inequação. O que A4 relatou no final da resolução
confirma o que mencionamos: “Saber no que o sinal de menos influência no
logaritmo.” (A4, 2013). A5 também cometeu o mesmo tipo de erro de A4, conforme
já apresentado na Figura 45, só que não definiu no início da resolução a condição de
existência do logaritmo presente na inequação.
Na questão 20, também observamos erro desse tipo, conforme mostrado
na Figura 63.
Figura 63 – Resposta Apresentada por A15
Fonte: Teste Investigativo, questão 20.
A15 antes de resolver o logaritmo de potência, substituiu
por 1,
verificando, logo em seguida, que a resolução apresentada não estava correta. Por
desconhecer a propriedade do logaritmo de uma potência, o aluno procurou resolver
a questão de outra forma, mas, logo em seguida, registrou suas dúvidas por meio de
pontos de interrogação.
170
O erro referente à aplicação das propriedades de logaritmo foi cometido
por dois alunos na questão 18. A Figura 64 mostra esse tipo de erro.
Figura 64 – Resposta Apresentada por A30
Fonte: Teste Investigativo, questão 18.
A30 definiu a condição de existência dos logaritmos na inequação, mas
não identificou a propriedade operatória dos logaritmos, ou seja, o logaritmo do
produto de dois números positivos é igual à soma dos logaritmos de cada um desses
números. O aluno resolveu incorretamente essa parte da questão, por meio da soma
dos logaritmandos.
O erro resolve incorretamente a equação ou inequação exponencial
foi identificado nas questões 15, 16 e 17. Nas questões 15 e 16, os alunos erraram
ao aplicar as propriedades da equação exponencial. A Figura 65 mostra esse erro
na questão 15.
171
Figura 65 – Resposta Apresentada por A21
Fonte: Teste Investigativo, questão 15.
A21 não identificou que poderia dividir os dois lados da equação por Q o,
escrever os membros da igualdade como potências de mesma base
e aplicar a propriedade
(com
. Então, procurou resolvê-la
de outra maneira, sem chegar a uma resposta, registrando suas dúvidas por meio do
ponto de interrogação.
Esse mesmo tipo de erro foi identificado na questão 16, conforme
apresentado na Figura 66.
Figura 66 – Resposta Apresentada por A24
Fonte: Teste Investigativo, questão 16.
Sem escrever os membros da igualdade como potência de mesma base
(com
e aplicar a propriedade
, A24 procurou
resolver a questão usando de artifícios incorretos. Desconsiderando que o
172
denominador faz parte da base da potência da equação exponencial, o aluno
manipulou incorretamente a equação, apresentando, assim, resposta errada para a
questão. A Figura 67 exibe o erro cometido pelos alunos na resolução da questão
17.
Figura 67 – Resposta Apresentada por A10
Fonte: Teste Investigativo, questão 17.
O que levou esses alunos a cometerem esse erro foi que não
identificaram que o valor da base da potência era um número menor que um; logo,
não realizaram a inversão da desigualdade e apresentaram resposta incorreta para
a questão. Deduzimos que, para esses alunos, a resolução de uma inequação
exponencial é realizada sempre da mesma forma, independentemente do valor da
base da potência. Dos 27 alunos que apresentaram resposta parcialmente correta e
incorreta, 24 apresentaram esse tipo de erro.
4.2.2.4 – Categoria 4 – Erros Provenientes de Dificuldades Diversas
Nessa categoria, foram registrados os erros que não foram possíveis de
serem contabilizados nas categorias anteriores. O objetivo da identificação desses
erros é complementar as respostas dadas as três primeiras questões de pesquisa
dessa investigação. Os erros dessa categoria estão apresentados na Tabela 7.
173
Tabela 7 – Erros Provenientes de Dificuldades Diversas
Tipos de Erros
Questão
Nº de
protocolos
Nº de
ocorrências
10
7
4
7
21
12
16
49
28
28
21
21
23
121
177
4
8
7
5
20
1
1
1
1
1
5
29
Estratégia inadequada para resolução
da questão
Subtotal
Escreve incorretamente a equação ou
inequação da questão
12
15
20
Subtotal
6
7
10
12
14
Desatenção ou lapso
Subtotal
Total
Fonte: Elaborada pela pesquisadora, 2014.
Foi identificado o uso de estratégia inadequada para resolução da
questão 10, conforme mostrado na Figura 68.
Figura 68 – Resposta Apresentada por A12
Fonte: Teste Investigativo, questão 10.
174
Vários alunos acharam a raiz da função e a utilizaram, incorretamente,
para encontrar a altura máxima, sem analisar a parábola descrita pela função.
Cremos que, se A12 não errasse na operação de 16 x 16, talvez tivesse percebido
que a solução apresentada estava incorreta, pois encontraria o valor da altura igual
a 0.
O erro escreve incorretamente a equação ou inequação da questão
ocorreu em três questões diferentes. A Figura 69 exibe esse tipo de erro encontrado
na questão 12.
Figura 69 – Resposta Apresentada por A6
Fonte: Teste Investigativo, questão 12.
Deduzimos que A6 não tenha compreendido o que foi solicitado e, por
isso, apresentou a equação incorreta para a questão. Esse tipo de erro foi
identificado também nas questões 15 e 20, conforme mostrado nas Figuras 70 e 71.
Figura 70 – Resposta Apresentada por A31
Fonte: Teste Investigativo, questão 15.
175
Na Figura 70, podemos observar que A31 não compreendeu que no
enunciado da questão pediu-se para identificar o tempo necessário para a água do
reservatório se reduzir a metade, logo substituiu
incorretamente na equação.
Por esse motivo, o aluno não conseguiu dar continuidade na resolução da questão.
Figura 71 – Resposta Apresentada por A24
Fonte: Teste Investigativo, questão 20.
Cremos que o erro cometido por A24 na questão 20, mostrada na Figura
71, também, tenha sido cometido pelo fato de o aluno não ter compreendido o
enunciado da questão, apresentando, assim, uma equação incorreta para
desenvolvimento.
O último erro que foi apresentado nessa categoria foi o erro recorrente a
desatenção ou lapso. Esse erro foi identificado em cinco questões diferentes,
sendo cometido por somente um aluno em cada uma delas. Optamos por só
descrever tais erros, conforme apresentado a seguir.
176
Na questão 6, A21 cometeu esse tipo de erro ao dar sequência na
resolução da inequação
reescreveu-a trocando a operação do denominador:
.
Na questão 7, o erro cometido por A20 foi ao copiar um número, se
confundindo e escrevendo outro. O aluno errou ao escrever
no lugar de
durante o cálculo das raízes, conforme apresentado a seguir:
.
Na resolução da questão 10, A2 escreveu a fórmula de xv corretamente,
mas trocou 2 por 4 durante o cálculo:
, consequentemente, errou
no resultado.
A17, durante a resolução da questão 12, transcreveu a expressão
e se esqueceu de copiar o numero 5:
.
Esse lapso fez com que A17 apresentasse resposta incorreta para a questão
Durante o desenvolvimento da questão 14, A14 se distraiu ao transcrever
como
e se esqueceu de extrair a raiz quadrada de
como resposta da questão
em vez de
. Assim, encontrou
.
Realizando a análise de erros, vimos que o erro se torna uma importante
fonte de informação, pois conhecer os erros e seus tipos facilita o diagnóstico e o
seu tratamento. Esse tipo de análise significa um compromisso com a forma de
ensinar, pois a identificação dos erros não só informa ao professor sobre as
dificuldades na aprendizagem dos alunos, mas também indica se os métodos de
ensino utilizados são adequados ou não.
Devido ao fato de o erro ser um indicador do desenvolvimento cognitivo
do aluno, a partir dele, o professor poderá traçar novas estratégias didáticas com o
objetivo de minimizar suas recorrências.
Nessa seção, vimos à importância da análise de erros, pois, por meio
dela, identificamos os erros cometidos pelos alunos em questões referentes aos
177
conteúdos investigados e os categorizamos de forma a responder as três primeiras
questões referentes à nossa investigação. Na próxima seção, mostraremos como
esses erros devem ser categorizados dentro de um modelo de análise didática dos
erros e qual a importância desse tipo de categorização para o tratamento do erro.
4.3 – Categorizando os Erros a partir do MADE
Nesta seção temos como objetivo responder a última questão de nossa
pesquisa: Como esses erros podem ser categorizados dentro de uma perspectiva de
análise didática do erro?
Para isso, faremos uso do Modelo de Análise Didática dos Erros (MADE)
apresentado em De La Torre (2007). Como já descrito no Capítulo 2, o MADE não é
a única forma de categorizar os erros. Conforme aponta o próprio autor, o MADE,
“Embora não seja o único modo de categorizar o erro, ele nos proporciona uma
visão mais ampla e completa da tipologia do erro para sua análise, sua investigação
e seu tratamento.” (p. 125). Faremos também alguns apontamentos utilizando como
referência o nível de desenvolvimento psicogenético descrito por Pinto (2000), além
da literatura revisada.
Apresentaremos os erros identificados na seção anterior separados por
categorias, dentro de cada momento descrito no MADE: Entrada, Organização e
Execução. Nem todas as categorias que compõem cada momento do MADE serão
referenciadas, por não termos identificado erros compatíveis com algumas delas.
4.3.1 – Momento de Entrada
Os erros identificados no momento de entrada são categorizados por De
La Torre (2007) como Erros de Intenção, Percepção e Compreensão. Nesta
pesquisa identificamos erros situados na categoria Compreensão, a qual se
subdivide em: Lógica, Léxica e Conceitual. Para o autor, “Compreender uma tarefa
ou um problema significa ser capaz de reconceitualizá-lo ou expressá-lo com termos
diferentes, com a própria linguagem” (p. 115). O autor afirma ainda que o
pensamento é construído com base em significações e conceitos, e que nem
sempre o aluno é responsável pelas dificuldades existentes. Tais dificuldades podem
178
ter origem em intervenções docentes não adaptadas aos alunos ou em metodologia
inapropriada. Descreveremos a seguir as dificuldades e erros que foram por nós
identificados como erros de Compreensão.
4.3.1.1 – Categoria de Erro de Compreensão Conceitual
De La Torre (2007) destaca que não é fácil diferenciar erros conceituais e
lógicos, “mesmo que os primeiros possam estar mais ligados a significados
convencionais, enquanto os processos lógicos são fruto do funcionamento mental”
(p. 116). O autor aponta ainda que erros dessas categorias devem “atrair a atenção
do professor, por sua tremenda repercussão no desenvolvimento dos processos
cognitivos.” (p. 116).
Como proposto por Pinto (2000), erros desse tipo são considerados não
observáveis pelos alunos, ou seja, erros que se encontram no Nível A do
desenvolvimento psicogenético descrito pela autora. Para que esses erros se tornem
observáveis, o aluno precisa da ajuda do professor. Dessa forma, o professor não
deve propor a repetição de exercícios, pois o erro pode se tornar recorrente.
Levando isso em consideração, agrupamos nessa categoria os erros
associados a conceitos sobre o conteúdo investigado. Os erros que compreendemos
estarem associados a essa categoria são os seguintes: conceito de função;
esboço da concavidade de uma parábola; resolve incorretamente inequaçãoquociente ou inequação-produto; não resolve a 2ª equação ou inequação da
função
modular;
resolve
incorretamente
uma
equação
ou
inequação
exponencial.
Foram muitos os erros referentes à compreensão conceitual. É importante
ressaltar que, em algumas situações em que os alunos não sabiam como resolver,
eles usaram de artifícios que julgavam estar corretos, mas durante a resolução
percebiam que não era o caminho correto a seguir. Um caso típico ocorrido foi
quando os alunos tentaram resolver a inequação-produto aplicando a propriedade
distributiva. Eles encontraram expressões que não sabiam resolver. Da mesma
forma, quando não souberam aplicar a propriedade
em
179
equações exponenciais, utilizando-se de recursos inapropriados para resolverem a
questão.
Em outras vezes, os alunos nem perceberam seus erros, pois
conseguiram chegar a resultados que julgavam ser corretos. Por exemplo, ao
resolverem a inequação-quociente sem zerar um dos membros da inequação, ou na
questão onde deveriam identificar que a base da potência da inequação era um
número menor que um.
Assim, conforme Pinto (2000) e De La Torre (2007), os erros que se
encontram nessa categoria são os que os professores devem dedicar maior
atenção, pois, segundo os autores, o pensamento se constrói com base em
significados e conceitos. Ao sair de sala sem compreender parte do que foi ensinado
pelo professor, o aluno está diante de uma falha metodológica ou de intervenções
docentes não adaptadas a ele. Logo, para compensar tal falha, o aluno terá que se
dedicar a horas de estudo em casa, e que, às vezes, podem não ser suficientes,
permanecendo então a incompreensão, o que o levará a esse tipo de erro mais cedo
ou mais tarde. Para isso, De La Torre (2007) afirma que,
A ação docente deve ser direcionada para facilitar a aprendizagem e a
compreensão de conceitos (de forma direta ou heurística), porque, se não
for assim, está contrariando-se o primeiro significado de “ensinar”, que é
tornar patente para o aluno (decodificar) aquelas mensagens que estão
latentes “en-signo”. (DE LA TORRE, 2007, p. 116).
4.3.1.2 – Categoria de Erro de Compreensão Léxica
De La Torre (2007) salienta que esse tipo de erro pode ser evitado
quando destacamos palavras novas ou desconhecidas na elaboração do enunciado
de uma questão.
Assim, o erro denominado não identifica a função simétrica ao vértice
de f(x) em relação ao eixo x, identificado na questão 8, foi categorizado por nós
como erro de Compreensão Léxica, pois a dificuldade encontrada por alguns alunos
estava associada à palavra “simétrico” utilizada no enunciado da questão. A não
compreensão dessa palavra dentro do contexto fez com que alguns alunos
encontrassem o valor de
e apresentassem tal valor como resposta no lugar de
. Isso pode ser observado nas palavras descritas por A15, quando indagado
180
sobre as dificuldades que encontrou ao resolver a questão: “Identificar a diferença
entre a função ‘f’ e a ‘G’.” (A15, 2013). A19 também demonstrou dúvida em relação à
diferença existente entre as funções, mas, mesmo assim, apresentou a resposta
Vale ressaltar que nenhum aluno apresentou resolução completa para a
questão.
Ramos e Curi (2013a) também observaram dificuldades associadas à
Compreensão Léxica em seu trabalho. Os alunos apresentaram erros associados à
dificuldade de compreensão durante a resolução de uma questão, na qual era
solicitado o esboço de dois sinais de clock “não sobrepostos”. Alguns alunos
apresentaram o esboço dos sinais “sobrepostos”, demonstrando não terem
compreendido o significado do termo descrito no enunciado.
4.3.2 – Momento de Organização
De La Torre (2007) afirma que os erros aqui categorizados ocorrem
quando os alunos mudam as informações de que dispõem para encontrarem as
respostas que lhes são solicitadas. Nesse momento, podemos ter erros de
Análise/Síntese,
Ordenação
e
Conexão.
Identificamos
somente
erros
de
Análise/Síntese, os quais apresentaremos a seguir.
4.3.2.1 – Categoria de Erro de Análise/Síntese
Os erros aqui categorizados ocorreram quando os alunos
não
conseguiram transformar a informação descrita no enunciado da questão para a
linguagem matemática, ou seja, não conseguiram converter as ideias descritas no
problema em equação ou inequação. Os erros que julgamos pertinentes a essa
categoria
são:
transformação
em
linguagem
matemática
e
escreve
incorretamente a equação ou inequação da questão.
Esses erros foram cometidos pelos alunos por não conseguirem organizar
a informação dada no enunciado da questão. De La Torre (2007) descreve que
muitas vezes o aluno não identifica os pontos relevantes e, por esse motivo, não
sabe quais passos deve seguir. Em alguns casos, a adivinhação supre a falta de
informação, a qual o aluno julga necessária. Esse tipo de adivinhação pode ser visto
181
em todos os exemplos apresentados para esses dois tipos de erros. Ao escreverem
as equações ou inequações referentes aos problemas, os alunos utilizaram de
informações de forma distorcida com relação ao que foi descrito no enunciado da
questão. Assim, eles “Tratam, portanto, de adivinhar a resposta, apoiados em
indicações imaginárias.” (DE LA TORRE, 2007, p. 119).
4.3.3 – Momento de Execução
De La Torre (2007) menciona que, enquanto os erros de entrada e
organização requerem uma maior orientação por parte do professor, nos erros
categorizados como de execução, basta ao professor “proporcionar pistas
indicativas do processo. Um resultado intermediário ou final permite ao aluno voltar
sobre seus passos e achar o lugar da falha.” (DE LA TORRE, 2007, p. 123). No
momento de execução, podemos ter erros do tipo Mecânico, Operacional e
Estratégico.
Para Pinto (2000), o aluno que comete esses tipos de erros se encontra
no Nível B ou C da teoria psicogenética. Os erros que se enquadram no Nível B
podem ser superados de forma coletiva, com a ajuda entre colegas e auxílio do
professor, além de consultas aos livros. Porém, os que se encontram no Nível C
podem ser superados pelo próprio aluno, logo que identificados por si mesmo ou
pelo professor.
4.3.3.1 – Categoria de Erro Mecânico
Segundo De La Torre (2007), no caso do erro mecânico ou lapso da
linguagem, o aluno não tem consciência desse tipo de erro. Eles acontecem mais
em situação de cansaço ou fadiga. O autor menciona que tais erros podem ser do
tipo: omissão de letras, substituir ou alterar um sinal por outro ou alteração de uma
palavra por outra. Como Rico (1998) aponta, esse tipo de erro é proveniente de
descuido. Assim, De La Torre (2007) afirma que esses erros, em uma perspectiva
didática, são menos relevantes.
Os erros identificados e denominados por nós como desatenção ou
lapso são erros pertencentes a essa categoria. Poucos foram os alunos que
182
cometeram erros desse tipo, sendo que os erros identificados nessa categoria foram
provenientes da troca de números ou sinais ou até mesmo do esquecimento de
algum número durante a resolução da questão.
Erros por lapso também foram observados no trabalho apresentado por
Lima e Buriasco (2008). Pinto (2000) afirma que esse tipo de engano nem sempre
deve ser considerado como erro, pois, ao analisar a sua resolução, o próprio aluno é
capaz de identificar e retificar o que errou.
4.3.3.2 – Categoria de Erro Operacional
De La Torre (2007) descreve que esse tipo de erro acontece quando o
aluno ainda não chegou a interiorizar e mecanizar um determinado processo. O
nervosismo é uma das causas para esse tipo de erro. Eles também se apresentam
devido a esquecimentos, sendo que, às vezes, os alunos se esforçam para lembrar
alguma coisa, mas acabam não conseguindo.
Identificamos vários erros que compreendemos estarem associados a
essa categoria, sendo eles: operações básicas e propriedades de potência;
representação e operação de intervalo; aplicações de regras e fórmulas;
esboço do gráfico de uma função; resolução algébrica; não desenvolveu a
equação
; estudo de sinais e cálculo do módulo ou logaritmo
de um número. Todos esses erros estão ligados a algum tipo de mecanismo que o
aluno deve seguir ou respeitar. Se esses mecanismos não forem cumpridos, o erro é
cometido. Por esse motivo, De La Torre (2007) afirma que, na maioria das vezes,
tais erros estão associados a nervosismo ou esquecimentos.
O erro operacional, referente a conteúdos provenientes do Ensino
Fundamental, observado em um maior número de questões, foi o cálculo das raízes
das funções polinomial do 2º grau, especialmente para funções que possuem
coeficiente b igual a zero, ou seja,
. Para esse tipo de função, ao
calcularem as raízes, os alunos acham que basta extrair a raiz quadrada positiva do
coeficiente c. Se esses alunos calculassem as raízes a partir da fórmula de
bhaskara, perceberiam que existem duas raízes para esse tipo de função. Cremos
que os alunos ainda não compreendem o mecanismo do processo referente ao
183
cálculo das raízes de uma função cujos coeficientes
ou
se apresentam igual a
zero.
De La Torre (2007) afirma que, para os erros categorizados como de
execução, aqueles em que os alunos esquecem determinadas etapas do processo,
a prática, o tempo e a atenção irão contribuir para sua eliminação.
4.3.3.3 – Categoria de Erro Estratégico
Os Erros Estratégicos, segundo De La Torre (2007), são cometidos por
“aluno que não segue o processo completo de simplificação de uma equação
quando o professor o pedia, ou utiliza um procedimento inapropriado na solução de
um problema.” (p. 125). Esse tipo de erro foi identificado na questão 10 e
denominado como estratégia inadequada para resolução da questão. Os alunos
usaram de estratégia incorreta para resolver a questão e só conseguiram chegar a
um determinado resultado porque cometeram erro operacional durante a resolução.
Se não tivessem cometido o erro operacional, talvez percebessem o erro inicial, pois
a resposta que eles encontrariam seria incoerente com o que foi solicitado.
Usamos da análise de erros com a finalidade de almejar a segunda fase
do tratamento didático do erro, ou seja, identificar os erros cometidos pelos alunos
nos conteúdos investigados. A identificação do erro serve para avaliarmos o
desenvolvimento cognitivo do aluno. A categorização desses erros dentro de um
modelo de análise didática dos erros, no nosso caso o MADE, proporciona uma
visão mais ampla de forma a facilitar sua análise, sua investigação e qual o melhor
tratamento a ser dado pelo professor para cada tipo de erro.
O uso de um modelo de análise didática contribui para que os erros
tratados por igual, pela maioria dos professores, sejam avaliados de forma
diferenciada. Não se pode tratar da mesma forma, por exemplo, erros de execução,
erros de organização e erros de compreensão. Os primeiros apresentam uma menor
gravidade com relação aos erros de organização ou de compreensão. Logo, o
tratamento dado a cada tipo de erro deve ser diferenciado. Se o tratamento do erro
for realizado de forma correta, teremos como resultado uma melhora no processo de
aprendizagem.
184
Após identificar os erros e responder as questões de nossa investigação,
na próxima seção relacionaremos os resultados encontrados com a literatura
apresentada neste trabalho.
4.4 – Relacionando os Resultados com a Literatura
Na segunda seção deste capítulo, apresentamos a análise de erros
realizada no teste investigativo, com o objetivo de identificar os tipos de erros
matemáticos cometidos pelos alunos em questões que envolviam o conteúdo
investigado e, assim, desvendamos suas dificuldades. Nesta seção, relacionaremos
os resultados encontrados com a literatura apresentada neste trabalho.
Iniciaremos com as considerações sobre a afinidade existente entre as
palavras dificuldade e erro. A relação entre essas palavras foi apresentada no início
deste trabalho, juntamente com a descrição das várias acepções e teorias do erro
sob o ponto de vista de diversos pesquisadores. Com relação à palavra dificuldade,
encontramos somente o único significado apresentado. Contudo, em vários
momentos, fizemos referências às duas palavras, pois achamos que não seja
possível mencionar uma sem se referir à outra. Logo, consideramos que as duas
estão atreladas, pois, no nosso entendimento, o erro é uma das formas pelas quais
os alunos revelam suas dificuldades em um determinado conteúdo escolar.
No entanto, essas revelações se tornarão visíveis somente se o professor
analisar os erros nas produções escritas de seus alunos. Esse tipo de análise
contribui para uma melhor compreensão e aprendizagem em todas as disciplinas e
em qualquer nível de ensino. Assim, após análise, conforme Rico (1998), o erro do
aluno deixa de ser oculto para o professor e confere a este a possibilidade de
reorganizar o conhecimento do aluno.
Mencionamos trabalhos em que os pesquisadores precursores do estudo
sobre erros perceberam que a repetição de tarefas não proporcionava melhorias no
aprendizado dos alunos, e, sim, deixava-os desinteressados e entediados. Dessa
forma, De La Torre (2007) descreve que esse tipo de atitude valoriza mais a
quantidade do que a qualidade das tarefas realizadas, sendo o erro visto como um
resultado negativo, tanto pelo professor quanto pelo aluno.
185
Ao analisarmos o teste investigativo dos alunos, demos uma conotação
positiva ao erro, caracterizando-o como um sinal de progresso, conforme descrito
por De La Torre (2007). Visto por esse enfoque, o erro indica que as resoluções
apresentadas pelo aluno, sobre um determinado conteúdo, não é a correta, logo, se
faz necessária a reconstrução de um novo saber.
Ainda, ao adotarmos esse tipo de análise nas resoluções apresentadas
pelos alunos no teste investigativo, atribuímos ao erro uma conotação positiva, ou
seja, demos a ele um tratamento utilizado pela “nova pedagogia”, conforme
apresentada por Pinto (2000) e De La Torre (2007). Assim, por meio da detecção e
identificação consideradas por De La Torre (2007), como as duas primeiras fases do
tratamento didático do erro, foi possível perceber, de forma mais clara, que o erro
pode ter raízes mais profundas, como, por exemplo, erros reincidentes, que,
provavelmente, acompanham esses alunos desde o Ensino Fundamental.
Fizemos, também, referências a diversas pesquisas nas quais os
investigadores realizaram análise de erros na Matemática, como, por exemplo, os
trabalhos de Borasi (1989), Resnick et al. (1989), Feltes (2007), Siebra (2009),
Cordeiro (2009) Leivas e Cury (2010), Carazo e Brey (2012), Cury, Ribeiro e Müller
(2011), Dullius, Quartieri e Furlanetto (2012), Cury (2013a), mas também em outras
disciplinas, como os trabalhos de Bastos (2013), Ramos e Curi (2013a) e Ramos
(2013), desde o Ensino Fundamental até a Formação Continuada de Professores.
Não podemos deixar de mencionar ainda que, nos trabalhos de Cury e Silva (2008)
e Bastos (2013), a análise de erros foi realizada em resoluções de problemas, sendo
que, no primeiro, com alunos do Ensino Fundamental II e, no segundo, com alunos
do Ensino Superior.
Vece, Silva e Curi (2013) mostraram em seu artigo as dificuldades dos
alunos trabalharem com composição e decomposição dos números naturais, além
de dificuldades na divisão desses números, quando esses apresentam dividendos
na ordem de unidade de milhar com zero intercalado. Cury e Silva (2008) também
identificaram em seu trabalho dificuldades encontradas pelos alunos dos anos
iniciais nos cálculos decimais. Na pesquisa desenvolvida por Resnick et al. (1989),
os alunos apresentaram dificuldades para identificar a relação de grandeza entre
números nas formas decimal e de fração. Os pesquisadores observaram que os
186
alunos se utilizaram das mesmas regras de comparação entre números inteiros ao
compararem os números decimais.
O não tratamento dos erros identificados nas pesquisas mencionadas
acima pode resultar em erros parecidos aos identificados em nosso trabalho. Esses
erros se referem à divisão entre números decimais. Observamos que, para os
alunos, se os números envolvidos na operação de divisão apresentam na parte
inteira o número zero, eles entendem que o resultado também deve ter a parte
inteira igual a zero. Inferimos que, para esses alunos, a divisão entre dois números
decimais não pode resultar em um número inteiro.
Também, como dificuldade proveniente do Ensino Fundamental, foi
possível identificar erros cometidos pelos alunos na aplicação de fórmulas. Para
calcular os pontos de mínimo e de máximo de uma função, alguns alunos trocaram
as fórmulas ao usá-las. Contudo, o maior número de erros desse tipo ocorreu no
cálculo das raízes de uma função polinomial do 2º grau, quando essa possui os
coeficientes b ou c igual a zero. Esses mesmos erros foram identificados por meio
da análise de erros feita na avaliação somativa desses alunos, cujos resultados
foram apresentados em Ramos e Curi (2014). Provavelmente, esses erros já vinham
sendo cometidos por eles no cálculo das raízes de equações quadráticas desde o
Ensino Fundamental, pois também os identificamos neste trabalho.
Nossos estudos corroboram os de Lima (2007) que aponta erros
semelhantes cometidos por alunos ao encontrarem as raízes das seguintes
equações quadráticas:
e
. A autora descreve que uma única raiz é
dada como resposta para cada equação e considera que parece ter faltado aos
alunos “motivação para buscar outra raiz. [...] eles podem não pensar que é possível
achar outro número que seja adequado para a situação, e se satisfazem com
apenas uma raiz.” (p. 266).
Em relação ao conceito de função, Pelho (2003) aborda as dificuldades
apresentadas por alunos do Ensino Médio e descreve que “a possibilidade de
aprendizagem deste conceito é prejudicada por uma introdução por meio de
definições diretas e formais, muitas vezes abandonando-se a noção de
dependência.” (p. 8). A autora menciona que os alunos apresentam dificuldades ao
187
relacionarem as variáveis x e y como variáveis independentes e dependentes,
respectivamente. Segundo Maciel (2011), para chegarmos ao conceito de função
existente nos dias de hoje, foi necessário o desenvolvimento de outros conceitos,
“tais como o de variável dependente, variável independente, continuidade, domínio,
contradomínio, funções analíticas, etc.” (p. 20).
Mesmo que esses conceitos façam parte da ementa da disciplina de
Matemática dos alunos que participaram desta pesquisa, foi possível identificarmos
erros referentes às dificuldades em relacionar as variáveis dependentes e
independentes, principalmente, quando essas faziam parte da interpretação do
enunciado de uma questão. Observamos esse tipo de erro nas resoluções
apresentadas para a questão 10, na qual os alunos deveriam encontrar a altura
(variável dependente) em função do tempo (variável independente), conforme
função apresentada
. Os alunos que cometeram esse tipo de erro
não compreendem o significado das variáveis; por isso, apresentaram como
resposta valores trocados.
Na mesma questão, outro erro associado ao conceito de função foi
também identificado. Na resolução da questão, os alunos deveriam encontrar a
altura máxima da função
, mas, incorretamente, dividiram os
coeficientes por cinco no início da resolução. Eles não perceberam que, ao dividir os
coeficientes, o valor da variável dependente também foi dividido, portanto, a altura
encontrada não corresponde ao que foi solicitado no enunciado. Em muitas
resoluções apresentadas, eles mostraram que não entendem o conceito de função,
nem entendem a noção de relação de dependência. Deduzimos que esses alunos
não compreendem, de maneira clara, a diferença entre função polinomial do 2º grau
e equação do 2º grau.
Além de apresentarem dificuldades em diferenciar variáveis dependente e
independente, os alunos mostraram dificuldades ao definir uma função bijetora, em
caracterizar função par e ímpar e em relacionar a função logarítmica com a função
exponencial. Abaixo estão relatadas as dificuldades apontadas pelos alunos
referentes às funções bijetora, par e ímpar:
Não sei o que é bijetora e também não sei a diferença entre os gráficos de
função e os que não são. (A11, questão 3b, 2013).
188
Par = 2 valores de y para 1 valor de x? Ímpar = 1 valor de y para cada valor
de x? (A25, questão 13, 2013).
Em algumas declarações feitas pelos alunos, vimos que eles não sabem
o que é uma função bijetora, sendo esse um dos questionamentos do teste
investigativo que mais detectamos respostas em branco. Com relação à definição de
função par ou ímpar, alguns alunos descreveram aquilo que julgavam como sendo a
definição correta, mas deixaram registradas as dúvidas com relação ao que foi
descrito.
Ainda com relação às dificuldades encontradas pelos alunos no Ensino
Médio sobre o conteúdo de função, é importante ressaltar o que é dito por Ponte
(1992). O autor descreve que os alunos chegam ao Ensino Médio apresentando
problemas no pensamento abstrato e por esse motivo, muitos deles mostram
dificuldades ao lidar com gráficos e expressões algébricas.
Oliveira (2006) também aponta dificuldades encontradas pelos alunos de
Engenharia, na disciplina de Cálculo I, quando se inicia o conteúdo de função,
principalmente na construção de gráficos. O autor destaca que essas dificuldades se
tornam recorrentes com o passar dos anos. Entre as dificuldades mencionadas por
ele estão: “marcar pontos no plano cartesiano, operar com números inteiros e
racionais, determinar domínio e imagem. Além disso, os alunos apresentam grandes
dificuldades em traçar gráfico de uma função definida por mais de uma sentença.”
(p. 12).
Erros igualmente cometidos por alunos de engenharia, no esboço do
gráfico de uma função definida por mais de uma sentença, foram apresentados por
Cury (2008). Esse tipo de erro também foi identificado em nosso trabalho, nas
resoluções apresentadas pelos alunos na questão 4. Eles não identificaram que uma
das sentenças era uma função polinomial do 2º grau e esboçaram seu gráfico por
meio de tabela. Esses alunos também não se preocuparam com as condições
definidas para
em cada sentença, apresentando um esboço contínuo do gráfico.
Logo, esboçaram um gráfico com uma única raiz para a função polinomial do 2º grau
(
), sem identificar também o intervalo aberto à direita.
No trabalho apresentado por Cury (2008), a autora identifica que o maior índice de
erro foi no esboço do gráfico de
, pois, segundo ela, “os
189
estudantes têm muita dificuldade em entender a correspondência biunívoca entre os
números reais e os pontos da reta orientada” (p. 69).
Corroborando a mesma fala de Ponte (1992), Delgado (2010) afirma que
os alunos não possuem o hábito de abstração, ou melhor, desconhecem como
desenvolver esse hábito. O autor compara as dificuldades encontradas pelos alunos
do Ensino Médio no conteúdo de funções matemáticas com as dificuldades
encontradas pelos alunos do 6º ano do Ensino Fundamental, quando estes têm que
trabalhar com equações numéricas, isso devido à abstração ser essencial nos dois
conteúdos.
Acrescentando ainda às dificuldades mencionadas acima, tem-se que o
ensino de funções articula diversas formas importantes de representação, como as
formas numérica, gráfica e algébrica, além da língua natural e de conjuntos. O
ensino de funções envolve também mais de um campo da Matemática como a
Álgebra e a Geometria (PONTE, 1992; DELGADO, 2010).
Por esse motivo foi possível identificar erros de Álgebra, por exemplo, na
resolução da questão 20, a qual envolvia função logarítmica. O aluno manipulou
incorretamente a equação
e apresentou o resultado como:
. Cremos que o aluno foi induzido pela tão falada frase “muda-se de
membro, muda-se o sinal”, pois, inverteu o sinal da fração, sem notar que a equação
existente era
, na qual
multiplica .
Erros iguais aos mencionados acima foram apresentados nos trabalhos
de Borasi (1985), Rico (1998), De La Torre (2007), Siebra (2009), Bastos (2013) e
Cury (2013a). É importante ressaltar que os erros descritos por Cury (2013a) e
identificado como “não dominam as operações de adição, subtração, multiplicação
ou divisão de frações algébricas” (p. 9) foram cometidos por professores de
Formação Inicial e Continuada. Como a própria autora vem mencionando em seus
trabalhos, por exemplo, em Cury, Ribeiro e Müller (2011) e Cury (2013b), é de
grande importância a inserção da análise de erros em cursos de formação de
professores, pois a discussão de seus erros pode ajudá-los a refletir sobre suas
dificuldades e, assim, capacitá-los para trabalhar com as dificuldades encontradas
por seus alunos.
190
Oliveira (1997) aponta dificuldades encontradas por alunos sobre
conceitos básicos de função nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral, sendo
essas dificuldades responsáveis por um alto índice de reprovações. A autora afirma
que as dificuldades encontradas começam pelo conceito de função e se estende
pelo “registro de representação gráfica, na mudança de um registro para outro, no
domínio e no contradomínio, na construção de uma tabela de valores numéricos, na
distinção entre variável dependente e independente, na notação matemática, etc.”
(p. 10). É mencionado pela autora que dificuldades desse tipo são percebidas por
professores na área de Educação Matemática no Brasil.
Concordando com Oliveira (1997), além de dificuldades associadas ao
conceito de função e registro de representação gráfica, identificamos erros
cometidos pelos alunos ao representarem um conjunto na reta real, quando esse
estava representado na forma algébrica. Erros também foram identificados quando
tiveram que realizar tais representações de forma inversa. Junior (2011) e Dodera et
al. (2014) também identificaram erros desse tipo em seu trabalho.
Por apresentarem dificuldades no cálculo do módulo de um número real e
no cálculo do logaritmo de um número, os alunos erraram na construção de tabelas
de valores numéricos, errando, consequentemente, o esboço dos gráficos
correspondentes.
Pontes (2008), ao analisar as provas objetivas do vestibular da
Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN), dos anos de 2001 a 2008,
sobre erros cometidos nas questões do conteúdo de funções, além de afirmar que
os alunos apresentaram dificuldades no conceito de função, aponta que o
desempenho apresentado pelos candidatos foi baixo (50%) e que eles tiveram como
principais erros:
realizar traduções incorretas das expressões que aparecem nas situaçõesproblema; utilizar todos os dados que aparecem no problema sem levar em
conta se o cálculo realizado responde à pergunta solicitada; não interpretar
coerentemente as informações que vêm do gráfico; decodificar
incorretamente os valores representados por literais em uma reta numérica.
(PONTES, 2008, p. 5).
Um dos erros que mais observamos foi descrito por Pontes (2008), que é
a dificuldade de os alunos traduzirem em equações ou inequações o que é descrito
191
nas situações-problema, além de não verificarem, também, se a resposta
encontrada condiz com o que foi solicitado. Esse tipo de dificuldades é apontado por
Dalto e Buriasco (2009) ao relatarem em sua pesquisa que, tanto alunos da 8ª série
(9º ano) do Ensino Fundamental quanto alunos do 3º ano do Ensino Médio,
utilizaram-se mais de operações aritméticas como estratégia para resolução de
situações-problema, em vez de traduzirem em equações ou inequações o que foi
solicitado. Erros desse tipo também foram apresentados no trabalho de Cury e
Bisognin (2009), Dullius, Quartieri e Furlanetto (2012) e Dodera et al. (2014).
Outra dificuldade também descrita por Pontes (2008) foi declarada pelos
alunos que não apresentaram resolução para a questão 8, sendo esta uma das
questões com o maior índice de respostas em branco. Esses alunos não
conseguiram retirar do gráfico as informações necessárias para a resolução da
questão. Algumas das dificuldades declaradas pelos alunos foram as seguintes:
Identificar uma função usando o gráfico. (A13, 2013).
Não me lembro como tirar uma função de um gráfico (A25, 2013).
Apresentei dificuldade em desenvolver a questão, pois eu não me lembro
como tirar do gráfico a função. (A6, 2013).
Foram poucos os alunos que conseguiram retirar algumas informações do
gráfico apresentado na questão 8, mas, mesmo assim, não apresentaram resposta
correta para a questão. Vale a pena lembrar que nenhum aluno resolveu a questão
corretamente e que a maioria dos alunos não conseguiu interpretar as informações
existentes no gráfico.
Reis (2011) também identifica em seu trabalho que os alunos
“apresentam extrema dificuldade da transcrição da linguagem natural para a
linguagem algébrica na resolução de situações-problema.” (p. 21). Além disso, o
autor afirma que alunos do Ensino Médio encontraram dificuldades em diferenciar
equação de 1º grau e função afim. Identificamos erros desse tipo quando os alunos
tentaram resolver a inequação-quociente apresentada na questão 6. Esses alunos
resolveram a inequação como se fosse uma equação do 1º grau, apresentando um
único valor como solução.
192
Junior (2011), ao trabalhar com as dificuldades dos alunos do Ensino
Médio no conteúdo de inequações, compartilha com Reis (2011), quando descreve
que os alunos se utilizaram de regras válidas para resolução de equações ao
tentarem resolver inequações, sendo que tais regras nem sempre são válidas para
resolução destas. Outras dificuldades foram apontadas pelo autor, tais como:
interpretação incorreta de gráfico, dedução incorreta de sinais ao resolver
inequação-quociente, não conseguir relacionar a resolução gráfica com a resolução
algébrica, conversão da língua materna para o registro algébrico.
Do que foi analisado, encontramos erros referentes à aplicação das
propriedades de potência e resolução de equações e inequações exponenciais.
Feltes (2007) também identificou erros desse tipo em seu trabalho de mestrado e os
classificou em dezessete categorias diferentes. Também usando de categorias para
analisar os erros cometidos por alunos, Espindola (2009), Carazo e Brey (2012),
Brum e Cury (2013) e Dodera et al. (2014) classificaram os erros usando das
categorias descritas por Movshavitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987). Espindola
(2009) afirma que “o uso da classificação proposta por esses pesquisadores não
pode ser visto de forma dogmática, mas sim, como balizador da discussão sobre
esses erros.” (p. 71).
Em nossa pesquisa, também criamos categorias para responder nossas
questões de investigação, mas, antes disso, classificamos primeiramente as
resoluções apresentadas pelos alunos e, assim, pudemos selecionar as resoluções
parcialmente corretas e incorretas e nelas identificar os erros existentes.
Procedimentos semelhantes foram utilizados nos trabalhos de Dalto e Buriasco
(2009), Leivas e Cury (2010), Cury, Ribeiro e Müller (2011) e Cury (2013a).
Após a identificação dos tipos de erros, nomeamos quatro categorias com
o objetivo de responder as três primeiras questões de investigação. No âmbito de
cada categoria, procuramos refletir sobre os erros cometidos pelos alunos,
levantando suposições a partir das resoluções apresentadas. Cordeiro (2009) afirma
que a partir das reflexões realizadas sobre os erros cometidos pelos alunos, é
importante o professor propor soluções para os problemas encontrados.
193
Corroborando o que foi dito por Espindola (2009) e a intenção de
responder a última questão desta pesquisa, usamos de categorias descritas no
MADE (DE LA TORRE, 2007) para a análise dos erros. Acreditamos que, ao
categorizar os erros utilizando-se desse modelo, criamos condições que ajudam o
professor a realizar um tratamento didático dos erros encontrados, pois, partindo
dessas categorias, ele identifica de forma mais clara onde estão pontuadas as
dificuldades dos alunos.
Logo, a análise de erros pode ser assinalada como uma estratégia
didática, pois é uma proposta de exploração e análise da produção escrita do aluno
com o intuito de gerar uma fonte de construção de novos conhecimentos. Isso é
possível, pois, quando o aluno comete um erro, ele está mostrando para o professor
o seu conhecimento e em função do retorno, ele definirá se deve continuar utilizando
desse conhecimento, ou optar por outro apresentado pelo professor (CORDEIRO,
2009).
Os erros podem ser ocasionados por vários motivos, e esses motivos
podem ser identificados quando o professor analisa o processo e não só o resultado.
Assim, é possível melhorar a estratégia didática, fazendo as intervenções
necessárias com a finalidade de esclarecer os enganos. De La Torre (2007) vai além
quando afirma que “Do mesmo modo que eliminar a febre não supõe erradicar a
doença, mas encobri-la, o erro é um indicador de que determinados processos de
ensino/aprendizagem não funcionam” (p. 78). Assim, compete ao professor usar de
criatividade para melhorar o processo, pois, dessa forma, não estará encobrindo o
erro, e, sim, procurando retificá-lo, para que ele não se torne recorrente.
A criação de novas estratégias didáticas é confirmada por Perrenoud
(2000) quando afirma que, a partir de ideias compartilhadas com os alunos, o
professor deve ser capaz de criar formas para facilitar a construção de
conhecimento. Para ele, “A relação com o saber do professor é tão determinante
quanto sua inventividade didática” (p. 64). Tirando proveito dessa inventividade
didática, o professor utilizará do erro para atingir o aprendizado individual ou de
grupos, ou seja, usar o erro como “trampolins para a aprendizagem” (BORASI,
1989).
194
Diversas são as maneiras de usar o erro para a reconstrução do
conhecimento: 1) partindo de erros do próprio aluno ou de outros, o professor
poderá elaborar atividades nas quais o aluno deverá localizar, identificar e corrigir os
erros; 2) solicitar ao aluno que resolva o mesmo problema com valores diferentes,
de forma que se obtenha resultados absurdos, facilitando, assim, a percepção dos
erros cometidos; 3) fazer uso de software que auxilie o aluno nas atividades
desenvolvidas; 4) fazer uso de jogos que facilite o entendimento de um determinado
conteúdo.
Assim, no Ensino de Matemática é importante o professor adotar o papel
de um agente instigador, isto é, aquele que “busca criar formas de perturbar o
sistema cognitivo do aluno” (PINTO, 2000, p. 45). Esse tipo de atitude faz parte da
concepção construtivista, a qual coloca a aquisição do conhecimento como um
processo de construção, onde o sujeito interage com o mundo físico e social.
Pinto (2000) e De La Torre (2007) afirmam que o rompimento com a
“pedagogia tradicional” não é uma tarefa simples, pois exige reflexões e mudanças
por parte dos professores, dos alunos e das escolas. Assim, os professores
representam um papel ativo e são os responsáveis por construir suas próprias
práticas e teorias.
195
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Desde o meu ingresso no curso Técnico em Eletrotécnica, logo nos
primeiros contatos que passei11 a ter com os alunos do 1º ano do Ensino Médio na
Modalidade Integrada, sentia-me12 incomodada com as dificuldades relatadas por
esses alunos na disciplina de Matemática. Reforçando o que vinha sendo relatado
verbalmente pelos alunos, não posso deixar de mencionar uma declaração feita por
um dos participantes desta pesquisa, no término da primeira parte do teste
investigativo: “Não tenho dificuldades em matemática, exceto em funções que tenho
muita dificuldade.” (A11, 2013). Devido a isso, todas as atividades desenvolvidas
neste trabalho foram guiadas pelo desejo de aprofundar os estudos na análise
didática dos erros, não só com o objetivo de revelar as dificuldades matemáticas
relatadas pelos alunos, mas também com o de poder aplicar esses estudos em
minha prática profissional.
Portanto, nos últimos anos debruçamo-nos sobre o tema desta pesquisa,
com o objetivo de identificar os tipos de erros que esses alunos cometem ao
realizarem uma atividade matemática, sendo possível, então, revelar suas
dificuldades. Por esse motivo, formulamos a nossa pergunta central da seguinte
maneira:
O que revelam os erros matemáticos apresentados por alunos do 1º
ano da educação profissional tecnológica de nível médio na modalidade
integrada do curso Técnico em Eletrotécnica ao resolverem atividades que
envolvem conteúdos propostos na 1ª avaliação institucional?
Para realização do trabalho, foi escolhida a turma ELE1B, devido ao
contato semanal da pesquisadora com os alunos dessa turma. Empregamos
questionário e teste investigativo com a intenção de responder as questões
levantadas a partir da pergunta central. Por se tratar de uma investigação em que
ocorreu um aprofundamento na análise dos erros matemáticos cometidos pelos
11
Será usado neste primeiro parágrafo o discurso na primeira pessoa do singular, por ser mais
adequado ao texto narrativo da pesquisadora.
12
Sinto-me à vontade em utilizar o verbo no passado, pois acredito que, com este trabalho, cumpri o
meu papel de professora e pesquisadora diante das dificuldades declaradas pelos alunos.
196
alunos no conteúdo investigado, a metodologia adotada foi a de pesquisa qualitativa,
utilizando-se da análise de conteúdo nas produções escritas desses alunos.
Na elaboração do questionário e do teste investigativo analisamos a
ementa e o livro-texto adotados pela instituição na disciplina de Matemática, além
das avaliações formativa e somativa aplicadas em anos anteriores. Também
consultamos os registros feitos pelos alunos referentes ao conteúdo lecionado pelo
professor. Assim, preparamos um questionário com a finalidade de traçar o perfil do
aluno e conhecer as dificuldades que eles declararam ter no conteúdo investigado.
Além do questionário, elaboramos um teste investigativo, composto de 20 questões
matemáticas, com a finalidade de identificar os tipos de erros cometidos pelos
alunos em atividades que envolviam os conteúdos propostos na 1ª avaliação
institucional.
Com o objetivo de responder as questões de investigação, descrevemos,
primeiramente, os significados dos termos dificuldade e erro, dando uma ênfase
maior ao termo erro, pelo fato de não encontrarmos uma literatura mais abrangente
sobre o termo dificuldade. Assim, apresentamos acepções e teorias que vislumbram
o termo erro de forma binária: elemento regressivo ou elemento construtivo;
prejudicial na aprendizagem ou inovador; evitação ou aceitação e análise; entre
outras ambiguidades. Tais ambiguidades nos leva a pensar sobre o porquê da visão
negativa do erro, haja vista que um dos papéis do ensino é o de reconstruir o
conhecimento a partir do próprio erro.
Com a análise de erros realizada nesta pesquisa, vimos que é
fundamental adotar uma visão positiva do erro, pois, por meio dela, é possível o
professor compreender as dificuldades dos alunos e utilizar-se do erro como um
elemento construtivo e inovador na aprendizagem.
No segundo momento, mostramos o erro sob dois olhares diferentes, ou
seja, aquele voltado para a “pedagogia tradicional”, a qual procura, a qualquer custo,
evitar o erro, e aquele voltado para a “nova pedagogia”, a que usa o erro como
forma de reconstrução do conhecimento. Mostramos que o enfoque conceitual entre
as duas “pedagogias” são diferentes, ou seja, a “pedagogia tradicional” dá uma
197
atenção maior aos resultados, enquanto que a “nova pedagogia” dá uma atenção
preferencial aos processos.
Dessa forma, vimos que o papel exercido pelo professor e pelo aluno em
cada uma das “pedagogias” é diferente. Na “pedagogia tradicional” mostramos que o
papel do professor é o de corrigir e sancionar os erros, criar e planejar ações que
assegurem o êxito e dirigem as aprendizagens, enquanto o do aluno é o de ter uma
atitude receptiva em relação ao plano de atividades, além do predomínio do princípio
de individualização. O papel do professor na “nova pedagogia” é o de diagnosticar o
erro, apresentar situações de aprendizagem, orientar e guiar as aprendizagens,
enquanto o do aluno é o de ter atitude participativa no plano de atividades, além de
integrar individualização e socialização.
Logo, a metodologia de ensino, a forma de avaliação e as estratégias
didáticas são diferentes com relação às duas “pedagogias”. Na “pedagogia
tradicional”, a metodologia é de exercitação, pois assim o professor acredita que
evita o erro; as avaliações são centradas em objetivos conceituais e a estratégia
didática é mais voltada para o ensino programado. Na “nova pedagogia”, a
metodologia de ensino se utiliza do erro para a construção do conhecimento; nela,
avaliam-se os processos, os meios e os resultados, e a estratégia didática se utiliza
de aprendizagem compartilhada, colaborativa e criativa.
Partindo do exposto e considerando os teóricos apresentados, num
terceiro momento, vimos que um dos pontos importantes é que, para favorecer a
aprendizagem e eliminar as dificuldades e os erros, precisamos utilizar da análise de
erros em produção escrita.
Utilizando-se da análise de erros baseada na análise de conteúdo,
identificamos os tipos de erros cometidos pelos alunos no conteúdo investigado e,
assim, criamos categorias com as quais conseguimos responder as três primeiras
questões que foram levantadas a partir da pergunta geral. Também, fazendo uso de
um modelo de análise didática do erro – MADE –, conseguimos categorizar os tipos
de erros nos três momentos apresentados e pontuar de forma mais clara, em qual
desses momentos se encontram as maiores dificuldades dos alunos e, assim,
responder à última questão de pesquisa.
198
Dessa forma, foi possível verificar em nossa análise as dificuldades
apresentadas pelos alunos em conteúdos provenientes do Ensino Fundamental e,
portanto, respondermos à primeira questão de pesquisa: “Que conteúdos
matemáticos provenientes do Ensino Fundamental são visíveis nos erros
apresentados na resolução das atividades que envolvem conteúdos propostos na 1ª
avaliação institucional?”. As principais dificuldades apresentadas evidenciaram-se no
cálculo das raízes de uma função polinomial do 2º grau, especialmente, quando
essa apresenta o coeficiente b ou c iguais a zero; na aplicação das propriedades de
potência, sobretudo, quando um número vem acompanhado de uma incógnita e
ambos elevados ao mesmo expoente; e em resoluções algébricas que envolvem
manipulação de termos. Observamos que essas dificuldades prejudicam os alunos
durante a resolução de questões referentes ao conteúdo do Ensino Médio, sendo
que, em algumas questões, o erro cometido foi exclusivo a um desses conteúdos.
Ao respondermos à segunda questão de pesquisa, “Que tipos de erros
matemáticos os alunos apresentam na resolução das atividades que envolvem
conjuntos numéricos e intervalos reais?”, encontramos como principais erros:
converter situação-problema em linguagem matemática e representar e operar
intervalos na reta real que possuam os conectivos lógicos “e/ou”, além de
dificuldades na representação desse tipo de solução.
Com base
nos
dados
analisados,
percebemos
que
os
alunos
apresentaram grandes dificuldades relacionadas à terceira questão de pesquisa:
“Que tipos de erros matemáticos os alunos apresentam na resolução das atividades
que envolvem equações, inequações e funções?”. Um dos erros está relacionado ao
conceito de função, pois os alunos demonstraram não compreender a relação
existente entre as variáveis independente e dependente, além de apresentarem
dificuldades em definir um tipo de função, sobretudo, a função bijetora. Ressaltamos,
ainda, que a análise apontou uma grande dificuldade dos alunos em representar
matematicamente
situações-problema;
esboçar
o
gráfico
de
uma
função,
especialmente, para função definida por mais de uma sentença; resolver inequaçãoquociente, quando essa possui os dois membros diferentes de zero; caracterizar
uma função polinomial do 2º grau a partir do gráfico; identificar as soluções de
equação e inequação modular; e resolver inequação exponencial quando a base é
um número menor que um.
199
Para respondermos à última questão de pesquisa, “Como esses erros
podem ser categorizados dentro de uma perspectiva de análise didática do erro?”,
fizemos uso do Modelo de Análise Didática do Erro (MADE). Assim, pudemos
observar que os alunos apresentaram um maior número de erros associados ao
Momento de Entrada na categoria de Erro de Compreensão Conceitual, além de
erros relacionados ao Momento de Execução na Categoria de Erro Operacional.
Esse tipo de análise é importante, pois o professor não pode tratar erros de
compreensão e erros operacionais da mesma maneira. Como já mencionamos, os
erros operacionais apresentam uma menor gravidade em relação aos erros de
compreensão.
Nas declarações apresentadas pelos alunos, percebemos que vários
deles não conseguiram identificar com clareza suas dificuldades. Muitos deles, no
final das questões, apontavam que não tinham tido nenhuma dificuldade no
desenvolvimento das resoluções, mas, ao analisarmos essas resoluções, víamos
que elas se apresentavam parcialmente corretas ou incorretas.
Então, confiamos que seja fundamental o professor criar situações nas
quais os alunos se tornem capazes de expor suas dificuldades e o professor capaz
de analisá-las. Analisar a produção escrita do aluno não é simplesmente verificar o
que ele acertou ou errou. O professor deve ter a preocupação de saber o grau de
conhecimento que o aluno detém e que o conduz a elaborar uma determinada
resposta, pois essa ação é que o levará a descobrir as dificuldades de
aprendizagem apresentadas por esse aluno.
Às vezes, o professor entende ser complicado usar o erro como uma
estratégia didática, principalmente em turmas com muitos alunos, pois o caminho a
seguir na identificação do erro requer um tempo maior. Todavia, em turmas
numerosas, o professor pode criar situações nas quais a interação entre grupos de
alunos favoreça a troca de conhecimento. Isso acaba facilitando o aprendizado, pois
o professor assume o papel de interventor somente quando solicitado. Trabalhando
com grupos menores de alunos, o professor consegue intervir de forma mais
eficiente sobre os indivíduos que compõem o grupo. Atividades desse tipo são
consideradas como fator fundamental para o desenvolvimento cognitivo do aluno,
especialmente na construção dos conhecimentos matemáticos.
200
A aquisição compartilhada de conhecimento deve ser incentivada, pois
propicia ao aluno identificar e corrigir seus erros de forma mais fácil e tranquila, além
de fazê-lo se sentir mais instigado a defender seu ponto de vista. Às vezes, próximo
ao professor, o aluno se sente inibido em expor suas dúvidas de forma mais incisiva
e acaba aceitando passivamente a opinião do professor. Nesse caso, então, o
professor deve assumir o papel de um colega mais experiente, instigando o aluno a
verbalizar suas próprias ideias. Dessa forma, o professor pode fazer intervenções
necessárias, com o objetivo de eliminar possíveis dúvidas.
Nos casos de aquisição de conhecimento compartilhado, o erro passa ser
mais facilmente identificado pelo próprio aluno, pelo professor ou pelos colegas.
Esse conhecimento pode ser tomado como ponto de partida para a construção de
um novo saber em sala de aula. Dessa forma, o aluno adquire o aprendizado mais
rapidamente, pois aquilo que ele sabia e que estava correto não foi desprezado, foi
usado na reconstrução daquilo que estava incorreto.
Essa importância da parceria entre colegas é confirmada por Pinto (2000),
De La Torre (2007) e Cury (2008), quando se trata de superação das dificuldades
por meio da análise de erros. Utilizando-se da parceria aluno-aluno, o professor
pode direcionar o seu apoio na medida em que for solicitado (RAMOS, 2013).
Nesse sentido, o professor não pode esquecer que o próprio aluno tem
condições de superar suas dificuldades, identificar e retificar seus erros e ainda
ajudar os colegas que não se encontram nesse nível de desenvolvimento. Isso é
possível quando o erro passa a ser “observável” pelo aluno e, para isso, ele precisa
receber estímulo e orientação do professor. Partindo da análise das produções
escritas dos alunos, o professor consegue criar situações que proporcionam o
desenvolvimento dessas etapas, isto pelo fato do professor saber e dominar algo
que o aluno ainda não sabe e não domina.
Por fim, nestas considerações sobre o tema investigado, procuramos não
encerrar a discussão sobre a importância da análise de erros no processo da
aprendizagem. O tema é bastante extenso e acreditamos que possa ainda ser
explorado. Dessa forma, as considerações apresentadas não assinalam conclusões,
pois o que apresentamos pode ser estendido em novas investigações.
201
Não encontramos em nossa revisão de literatura trabalhos nos quais o
pesquisador se utiliza dos erros matemáticos dos alunos como estratégia de ensino
em sua própria prática pedagógica. Por isso, procuramos colocar em prática esse
tipo de estratégia nas aulas de Sistemas Digitais, lecionadas pela pesquisadora,
com o resultado apresentado por Ramos (2013). Acreditamos que essa estratégia
indica uma possibilidade de pesquisa para novos estudos.
Outra possibilidade de pesquisa a ser considerada é a utilização das três
fases do tratamento didático do erro: detectar, identificar e retificar. De La Torre
(2007), ao propor esse tipo de tratamento em três fases, descreve técnicas que
poderão ser utilizadas em cada uma delas. Neste trabalho, utilizamos das duas
primeiras fases do tratamento didático do erro para identificar, analisar e classificar
os erros cometidos pelos alunos, com o objetivo de responder a nossa pergunta
central. Sendo o professor o próprio pesquisador, torna-se mais fácil a utilização
dessas técnicas para se detectar, identificar e retificar os erros cometidos pelos
alunos, e, assim, propor novas estratégias didáticas utilizando-se dos erros.
Cremos que as sugestões sejam relevantes para área de Ensino de
Matemática, pois, como descrevemos em nossa pesquisa, o erro deve ser utilizado
como uma forma de reconstrução do saber. Por meio do erro, o professor poderá
auxiliar o aluno na aprendizagem, a partir do momento em que faz com que o erro
seja observável pelo aluno. Desse modo, o aluno deixa de praticar a repetição de
exercícios com a finalidade de eliminar o erro e passa a utilizá-lo com o objetivo de
compreender e suprimir suas dificuldades.
Resumindo, é necessário deixar claro que, na maioria das vezes, os erros
provêm de dificuldades. Se os erros não forem analisados, as dificuldades
permanecerão, além de se tornarem recorrentes.
202
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Ensino Fundamental a partir de questões do SAEB/Prova Brasil. Educação
Matemática Pesquisa, São Paulo, v.15, n.1, p. 223-240, 2013.
209
APÊNDICES
210
APÊNDICE A
211
QUESTIONÁRIO DE SONDAGEM
Caro aluno é muito importante a sua participação no preenchimento das perguntas
formuladas abaixo, pois é através das respostas apresentadas que poderemos
melhorar o processo ensino-aprendizagem no Curso de Eletrotécnica.
Esse questionário deverá ser preenchido por todos os alunos do 1º ano integrado do
Curso de Eletrotécnica que foram reprovados no ano letivo de 2011 e que estejam
matriculados no 1º ano integrado em 2012.
Não é preciso se identificar, somente responder as questões abaixo e devolver o
questionário no prazo máximo de 15 dias.
Se precisar de mais espaço, use o verso da folha numerando as respostas.
Agradecemos antecipadamente.
Belo Horizonte, 29 de outubro de 2012.
____________________________________
Coordenação de Eletrotécnica
1 – Em qual(is) disciplina(s) você foi reprovado no ano letivo de 2011?
2 – Dentre as disciplinas em que você foi reprovado, informe a que você teve a
menor nota.
3 – Em qual(is) disciplina(s) você ficou com a nota inferior a 40 pontos?
4 – Das disciplinas em que você foi reprovado, em qual apresentou maior
dificuldade? Escreva o nome da disciplina e liste o maior número possível de
dificuldades apresentadas.
5 – Como você tratou essas dificuldades? (procurou ajuda de colegas, procurou
ajuda do professor, aula particular, estudou sozinho, etc)
6 – Como o(a) seu(sua) professor(a) tratou essas dificuldades junto à turma?
(esclareceu as dúvidas, refez exercícios, etc)
7 – Como o(a) seu(sua) professor(a) tratou essas dificuldades com você?
(esclareceu as dúvidas, refez exercícios, etc)
8 – Como você tratou os erros indicados pelo professor em suas atividades?
9 – Como o(a) seu(sua) professor(a) tratou os seus erros com você?
10 – Como o(a) seu(sua) professor(a) tratou os erros da turma?
212
APÊNDICE B
213
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Os alunos do 1º ano do Ensino Médio do Curso Técnico de Eletrotécnica,
Modalidade Integrada, foram convidados a participar de uma pesquisa que tem
como finalidade verificar as dificuldades e erros na disciplina de Matemática.
Como os alunos são menores de idade, a participação de cada um depende
da autorização do responsável. Essa participação contribuirá com as investigações
propostas pela pesquisadora com objetivo de melhorar o desempenho dos alunos na
disciplina de Matemática. Em qualquer momento, os alunos poderão pedir
informações sobre a pesquisa através dos e-mails da pesquisadora e/ou da
orientadora do projeto.
Os alunos participantes da pesquisa responderão a questionário e a
instrumento de investigação elaborado pela pesquisadora.
Os procedimentos adotados na pesquisa obedecem aos Critérios da
Comissão de Ética da Universidade Cruzeiro do Sul. Na publicação dos resultados
da pesquisa serão omitidas todas as informações que permitam identificar os alunos.
Esperamos que este estudo revele dados importantes para se entender as
dificuldades que levam os alunos a cometerem erros na Matemática. Possíveis
obstáculos ou incentivos, estudados, discutidos e divulgados, poderão auxiliar a
comunidade escolar. Portanto, a participação dos alunos é fundamental para a
melhoria da qualidade do ensino de Matemática no referido curso.
__________________________________
_________________________
Doutoranda: profa. Maria Luisa Perdigão D. Ramos
Orientadora: profa. Dra. Edda Curi
214
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Eu, ___________________________________________, RG:____________, por
meio deste instrumento de autorização, dou pleno consentimento ao (a) meu (minha)
filho (a) ______________________________________________ para participar da
pesquisa. Tenho pleno conhecimento dos objetivos da pesquisa e dos
procedimentos a serem executados e da possibilidade de receber esclarecimentos
sempre que considerar necessário.
Também concordo que os dados obtidos ou quaisquer outras informações
permaneçam como propriedade exclusiva dos pesquisadores. Dou pleno direito da
utilização desses dados e informações para uso no ensino, pesquisa e divulgação
em periódicos científicos, ciente do sigilo da identidade de meu (minha) filho (a).
Belo Horizonte, ________ de ______________________ de 2013.
_____________________________________________________
Assinatura do responsável
Doutoranda: Profa. Pesquisadora Maria Luisa Perdigão Diz Ramos
Rua Trindade, 601 – Renascença – Belo Horizonte – MG
CEP: 31130-560 – Telefone: 8775-5065
E-mail: [email protected]
Orientadora: Profa. Dra. Edda Curi
Rua Galvão Bueno, 868 – Liberdade – São Paulo – SP
E-mail: [email protected]
215
APÊNDICE C
216
QUESTIONÁRIO PERFIL DO ALUNO
Caro(a) aluno(a), é muito importante a sua participação no preenchimento das perguntas formuladas
abaixo, pois esses dados contribuirão com as investigações propostas pela pesquisadora professora
Maria Luisa Perdigão Diz Ramos na realização de seu doutorado, na área de Ensino de Ciências e
Matemática, com orientação da professora Dra. Edda Curi.
Na publicação dos resultados desta pesquisa, sua identidade será mantida no mais rigoroso sigilo.
Serão omitidas todas as informações que permitam identificá-lo(a).
Agradeço antecipadamente.
______________________________________
Profa. Maria Luisa Perdigão Diz Ramos
Nome: _________________________________________________________ Idade: ________
Escolha somente uma alternativa para cada questão e marque com X a resposta escolhida.
1 – Quantas vezes você prestou vestibular para o curso técnico do CEFET-MG?
( ) uma vez ( ) duas vezes ( ) mais de duas vezes
2 – Você cursou durante o ano letivo de 2012:
( ) 9º ano do Ensino Fundamental ( ) 1º ano do Ensino Médio ( ) 2º ano do Ensino Médio
3 – Você realizou a maior parte do Ensino Fundamental em escola (se ocorrer empate marque aquela
que você estudou no ano letivo de 2012):
( ) Municipal ( ) Estadual ( ) Federal ( ) Particular
4 – Com relação à disciplina de Matemática atualmente, você diria que:
( ) Gosta muito
( ) Gosta razoavelmente
( ) Gosta pouco
( ) Não gosta
217
5 – Com relação aos conteúdos do Ensino Fundamental apresentados abaixo, marque o seu grau de
dificuldade para cada um deles:
Conteúdos
5.1 – Números e Operações
Nenhum
Baixo
Médio
Alto
Nenhum
Baixo
Médio
Alto
Nenhum
Baixo
Médio
Alto
5.1.1 – Realizar adição e subtração com números reais ()
5.1.2 – Realizar multiplicação e divisão com números reais ()
5.1.3 – Reduzir as frações a um mesmo denominador comum
5.1.4 – Aplicar a propriedade distributiva
5.2 – Potências
5.2.1 – Operar potência de número real com expoente positivo
5.2.2 – Operar potência de número real com expoente negativo
5.2.3 – Operar potência de número real com expoente racional
5.2.4 – Aplicar as propriedades de potenciação
5.3 – Funções
5.3.1 – Achar o zero de uma função polinomial do 1º grau
5.3.2 – Achar os zeros de uma função polinomial do 2º grau
5.3.3 – Identificar a concavidade do gráfico de uma função
polinomial do 2º grau
5.3.4 – Identificar os pontos de mínimo e de máximo da função
polinomial do 2º grau
6 – Com relação aos conteúdos do Ensino Fundamental apresentados abaixo, marque o grau de
contribuição na aprendizagem do Ensino Médio para cada um deles:
Conteúdos
6.1 – Números e Operações
Nenhum
Baixo
Médio
Alto
Nenhum
Baixo
Médio
Alto
Nenhum
Baixo
Médio
Alto
6.1.1 – Realizar soma e subtração com números reais ()
6.1.2 – Realizar multiplicação e divisão com números reais ()
6.1.3 – Reduzir as frações a um mesmo denominador comum
6.1.4 – Aplicar a propriedade distributiva
6.2 – Potências
6.2.1 – Operar potência de número real com expoente positivo
6.2.2 – Operar potência de número real com expoente negativo
6.2.3 – Operar potência de número real com expoente racional
6.2.4 – Aplicar as propriedades de potenciação
6.3 – Funções
6.3.1 – Achar o zero de uma função polinomial do 1º grau
6.3.2 – Achar os zeros de uma função polinomial do 2º grau
6.3.3 – Identificar a concavidade de uma função polinomial do 2º
grau
6.3.4 – Identificar os pontos mínimo e máximo da função
polinomial do 2º grau
218
7 – Com relação aos conteúdos do Ensino Médio apresentados abaixo, marque o seu grau de
dificuldade para cada um deles:
Conteúdos
7.1 – Conjuntos
Nenhum
Baixo
Médio
Alto
Nenhum
Baixo
Médio
Alto
Nenhum
Baixo
Médio
Alto
Nenhum
Baixo
Médio
Alto
Nenhum
Baixo
Médio
Alto
Nenhum
Baixo
Médio
Alto
7.1.1 – Resolver problemas que envolvem operações com
conjuntos
7.1.2 – Representar intervalos na reta real
7.1.3 – Efetuar operações com intervalos
7.2 – Funções
7.2.1 – Conceituar função
7.2.2 – Determinar domínio e imagem de uma função
7.2.3 – Identificar os intervalos de crescimento e decrescimento da
função
7.2.4 – Determinar uma função composta
7.2.5 – Obter a função inversa de uma função
7.2.6 – Identificar se a função é par ou ímpar
7.2.7 – Identificar se a função é bijetora
7.3 – Função Afim
7.3.1 – Estudar o quadro de sinais da inequação-produto e
inequação-quociente do 1º grau
7.3.2 – Resolver inequação do 1º grau
7.4 – Função Quadrática
7.4.1 – Estudar o quadro de sinais da inequação-produto e
inequação-quociente do 2º grau
7.4.2 – Resolver inequação do 2º grau
7.4.3 – Resolver problemas que envolvem função quadrática
7.4.4 – Representar graficamente uma função quadrática
7.5 – Função Modular
7.5.1 – Conceituar módulo de um número real
7.5.2 – Conceituar função modular
7.5.3 – Resolver equação modular
7.5.4 – Resolver inequação modular
7.5.5 – Resolver problemas que envolvem função modular
7.5.6 – Representar graficamente uma função modular
7.6 – Função Exponencial
7.6.1 – Conceituar função exponencial
7.6.2 – Resolver equação exponencial
7.6.3 – Resolver inequação exponencial
7.6.4 – Resolver problemas que envolvam função exponencial
7.6.5 – Representar graficamente uma função exponencial
219
7 – Com relação aos conteúdos do Ensino Médio apresentados abaixo, marque o seu grau de
dificuldade para cada um deles:
7.7 – Função Logarítmica
7.7.1 – Aplicar as propriedades de logaritmo
7.7.2 – Conceituar função logarítmica
7.7.3 – Determinar as condições de existência de uma função
logarítmica
7.7.4 – Resolver equação logarítmica
7.7.5 – Resolver inequação logarítmica
7.7.6 – Resolver problemas que envolvam função logarítmica
7.7.7 – Representar graficamente uma função logarítmica
Nenhum
Baixo
Médio
Alto
220
APÊNDICE D
221
TESTE INVESTIGATIVO
Caro(a) aluno(a), é muito importante a sua participação neste teste investigativo, pois a análise das
respostas apresentadas em cada questão contribuirão com as investigações propostas pela
pesquisadora professora Maria Luisa Perdigão Diz Ramos na realização de seu doutorado, na área de
Ensino de Ciências e Matemática, com orientação da professora Dra. Edda Curi.
Solicitamos que todo o raciocínio utilizado para a resolução seja registrado no espaço reservado para
cada questão. Esse registro é muito importante, pois será a partir dele que faremos a análise de
conteúdos proposta em nossa investigação.
Para cada questão, destaque a resposta no local indicado e responda o questionário apresentado
em cada questão marcando com um X os itens que você apresentou dificuldades. Caso não
esteja(m) listada(s) alguma(s) dificuldade(s) encontrada(s), favor escrevê-la(s) no espaço
reservado.
É necessário que você se identifique logo abaixo, mas na publicação dos resultados desta pesquisa,
sua identidade será mantida no mais rigoroso sigilo. Serão omitidas todas as informações que
permitam identificá-lo(a).
Agradeço antecipadamente.
______________________________________
Profa. Maria Luisa Perdigão Diz Ramos
Nome do(a) Aluno(a): ___________________________________________________________
222
1 – Num grupo de 45 pessoas, todas com algum tipo de problema de saúde, 40% têm pressão alta e
diabetes e o número de pessoas que têm pressão alta excede em
o número de pessoas que têm
diabetes. Determine quantas pessoas têm pressão alta e quantas têm diabetes.
Fonte: Barroso (2010), p. 63, adaptada pela pesquisadora.
Objetivo: Resolver problemas aplicando os conceitos associados a conjuntos.
Resposta:
Na resolução desta questão você apresentou dificuldades em (marque com X):
1 – Identificar o que estava sendo solicitado no enunciado da questão.
2 – Reduzir as frações a um mesmo denominador comum.
3 – Realizar operações com números reais.
4 – Não apresentei dificuldades.
Liste outras dificuldades encontradas:
223
2 – Dados os conjuntos: M = {x   | x > e x < 4},
N = {x   | x < -2 ou x >
  | x < -1}, determine (M  N) – O.
Fonte: Barroso (2010), p. 61, adaptada pela pesquisadora.
Objetivo: Efetuar operações com intervalos.
Resposta:
Na resolução desta questão você apresentou dificuldades em (marque com X):
1 – Identificar o que estava sendo solicitado no enunciado da questão.
2 – Representar intervalos na reta real.
3 – Efetuar operações com intervalos.
4 – Não apresentei dificuldades.
Liste outras dificuldades encontradas:
} e
O = {x
224
3 – Observe o gráfico da função  cujo CD() = [-2, 2] e responda às perguntas.
Fonte: Barroso (2010), p. 86, adaptada pela pesquisadora.
Objetivo: Analisar gráfico de função.
A – O gráfico ao lado é uma função. Justifique a
afirmativa.
B – Essa função é bijetora? Justifique a resposta.
C – Qual é o domínio da função?
D – Qual é o conjunto imagem do intervalo de x [1, 3]?
E – Identifique o intervalo de crescimento da função.
F – Identifique o intervalo de decrescimento da função.
Respostas:
A–
B–
C–
D–
E–
F–
Na resolução desta questão você apresentou dificuldades em (marque com X):
1 – Identificar o que estava sendo solicitado no enunciado da questão.
2 – Determinar o domínio e/ou imagem da função.
3 – Identificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
4 – Não apresentei dificuldades.
Liste outras dificuldades encontradas:
225
4 – Construir o gráfico da função  :    dada por:
(x) =
é:
Fonte: Barroso (2010), p. 105, adaptada pela pesquisadora.
Objetivo: Representar graficamente funções definidas por mais de uma sentença.
Na resolução desta questão você apresentou dificuldades em (marque com X):
1 – Identificar o que estava sendo solicitado no enunciado da questão.
2 – Achar os zeros de uma função polinomial do 2º grau.
3 – Identificar a concavidade do gráfico da função polinomial do 2º grau.
4 – Não apresentei dificuldades.
Liste outras dificuldades encontradas:
226
5 – Se (x) =
e g(x) =
quais os valores de x para que (g(x)) = g((x))?
Fonte: Barroso (2010), p. 93, adaptada pela pesquisadora.
Objetivo: Determinar função composta.
Resposta:
Na resolução desta questão você apresentou dificuldades em (marque com X):
1 – Identificar o que estava sendo solicitado no enunciado da questão.
2 – Determinar uma função composta.
3 – Realizar operações com números reais.
4 – Não apresentei dificuldades.
Liste outras dificuldades encontradas:
227
4 em .
6 – Resolver a inequação
Fonte: Barroso (2010), p. 130, adaptada pela pesquisadora.
Objetivo: Resolver inequações que envolvem função afim.
Resposta:
Na resolução desta questão você apresentou dificuldades em (marque com X):
1 – Identificar o que estava sendo solicitado no enunciado da questão.
2 – Resolver inequação do 1º grau.
3 – Identificar os intervalos que satisfazem a inequação.
4 – Não apresentei dificuldades.
Liste outras dificuldades encontradas:
228
7 – Em uma empresa que vende tratores, o lucro total L em função da quantidade q de tratores
vendidos pode ser obtido pela expressão L(q) = – 32 – 2(q2 – 10q). Nestas condições, quais os valores
de q para que a empresa trabalhe sempre com lucro positivo?
Fonte: Avaliação Somativa – CEFET-MG (2010-M), questão 7, adaptada pela pesquisadora.
Objetivo: Resolver situações-problema que envolvem funções quadráticas.
Na resolução desta questão você apresentou dificuldades em (marque com X):
1 – Identificar o que estava sendo solicitado no enunciado da questão.
2 – Resolver problema que envolva função polinomial do 2º grau.
3 – Realizar operações com números reais.
4 – Não apresentei dificuldades.
Liste outras dificuldades encontradas:
229
8 – A parábola P representada abaixo é o gráfico de uma função quadrática . Se g(x) for uma função
quadrática cujas raízes sejam as mesmas de  e se o vértice do gráfico dessa g for simétrico ao
vértice de P com relação ao eixo x, então g(-2) vale:
Fonte: Avaliação Somativa – CEFET-MG (2012-M), questão 9, adaptada pela pesquisadora.
Objetivo: Analisar o gráfico de uma função quadrática.
Resposta:
Na resolução desta questão você apresentou dificuldades em (marque com X):
1 – Identificar o que estava sendo solicitado no enunciado da questão.
2 – Identificar os zeros de uma função polinomial do 2º grau.
3 – Identificar o ponto mínimo da função polinomial do 2º grau.
4 – Não apresentei dificuldades.
Liste outras dificuldades encontradas:
230
9 – Resolva a seguinte inequação (3x2 – 5x + 2) ∙ (– x2 + 4x – 4)
0 em .
Fonte: Barroso (2010), p. 169, adaptada pela pesquisadora.
Objetivo: Resolver inequações que envolvem função quadrática.
Resposta:
Na resolução desta questão você apresentou dificuldades em (marque com X):
1 – Identificar o que estava sendo solicitado no enunciado da questão.
2 – Achar os zeros de uma função polinomial do 2º grau.
3 – Identificar a concavidade do gráfico de uma função polinomial do 2º grau.
4 – Não apresentei dificuldades.
Liste outras dificuldades encontradas:
231
10 – Durante uma situação de emergência, o capitão de um barco dispara um sinalizador para avisar
a guarda costeira. A trajetória que o sinal luminoso descreve é um arco de parábola. A função que
descreve o movimento do sinal luminoso é dada por
, sendo a altura do sinal, em
metro, e t, o tempo decorrido após o disparo, em segundo.
a) Qual é a altura máxima que esse sinal luminoso pode atingir?
b) Quantos segundos se passam, após o disparo, até o sinal luminoso atingir a altura máxima?
Fonte: Barroso (2010), p. 159, adaptada pela pesquisadora.
Objetivo: Resolver situações-problema que envolvem funções quadráticas.
Respostas:
a)
b)
Na resolução desta questão você apresentou dificuldades em (marque com X):
1 – Identificar o que estava sendo solicitado no enunciado da questão.
2 – Realizar operações com números reais.
3 – Resolver problema que envolve função polinomial do 2º grau.
4 – Não apresentei dificuldades.
Liste outras dificuldades encontradas:
232
11 – Determinar o conjunto solução da equação modular
=
.
Fonte: Barroso (2010), p. 188.
Objetivo: Resolver equação modular.
Resposta:
Na resolução desta questão você apresentou dificuldades em (marque com X):
1 – Identificar o que estava sendo solicitado no enunciado da questão.
2 – Conceituar módulo de um número real.
3 – Resolver equação modular.
4 – Não apresentei dificuldades.
Liste outras dificuldades encontradas:
233
12 – A fórmula de conversão da temperatura na escala Fahrenheit (TF) para a temperatura na escala
Celsius (TC) é TC =
TF – 32). Dada a temperatura em Fahrenheit, pode-se obter um valor
aproximado da temperatura na escala Celsius (tC) pela fórmula prática tC = (TF – 32). Se o erro
absoluto E, cometido pela fórmula prática, é dado por E = |TC – tC|, determine o intervalo de variação
de TF para que o erro absoluto seja menor que 50° Fahrenheit.
Fonte: Barroso (2010), p. 195, adaptada pela pesquisadora.
Objetivo: Resolver problemas que envolvem função modular.
Resposta:
Na resolução desta questão você apresentou dificuldades em (marque com X):
1 – Identificar o que estava sendo solicitado no enunciado da questão.
2 – Resolver problemas que envolvem aplicação de função modular.
3 – Conceituar módulo de um número real.
4 – Não apresentei dificuldades.
Liste outras dificuldades encontradas:
234
13 – Construa o gráfico da função (x) =
ímpar.
e responda, justificando, se essa função é par ou
Fonte: Barroso (2010), p. 184, adaptada pela pesquisadora.
Objetivo: Representar graficamente uma função modular.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
(x)
Resposta:
Na resolução desta questão você apresentou dificuldades em (marque com X):
1 – Identificar o que estava sendo solicitado no enunciado da questão.
2 – Identificar função par e ímpar.
3 – Representar graficamente uma função modular.
4 – Não apresentei dificuldades.
Liste outras dificuldades encontradas:
235
14 – Se os números reais positivos a, b e c são tais que:
c=
Utilize propriedades de potência para simplificar a expressão e encontrar o valor de c.
Fonte: Avaliação Somativa – CEFET-MG (2012-M), questão 15, adaptada pela pesquisadora.
Objetivo: Efetuar operações de potenciação.
Resposta:
Na resolução desta questão você apresentou dificuldades em (marque com X):
1 – Identificar o que estava sendo solicitado no enunciado da questão.
2 – Aplicar as propriedades de potência.
3 – Realizar operações de potência com números reais.
4 – Não apresentei dificuldades.
Liste outras dificuldades encontradas:
236
15 – Num período prolongado de seca, a quantidade de água de certo reservatório, após t meses,
pode ser determinada pela função Q(t) = Q0
, onde Q0 é a quantidade inicial de água no
reservatório. Em quantos meses a quantidade de água no reservatório se reduzirá à metade da sua
quantidade inicial?
Fonte: Avaliação Somativa – CEFET-MG (2010-M), questão 20, adaptada pela pesquisadora.
Objetivo: Resolver situações-problema que envolvem funções exponenciais.
Resposta:
Na resolução desta questão você apresentou dificuldades em (marque com X):
1 – Identificar o que estava sendo solicitado no enunciado da questão.
2 – Resolver problemas que envolvem função exponencial.
3 – Realizar operações com números reais.
4 – Não apresentei dificuldades.
Liste outras dificuldades encontradas:
237
=8
16 – Resolva a equação:
Fonte: Avaliação Somativa – CEFET-MG (2012-M), questão 16, adaptada pela pesquisadora.
Objetivo: Resolver equação exponencial.
Resposta:
Na resolução desta questão você apresentou dificuldades em (marque com X):
1 – Identificar o que estava sendo solicitado no enunciado da questão.
2 – Resolver equação exponencial.
3 – Realizar operações de potência com números reais.
4 – Não apresentei dificuldades.
Liste outras dificuldades encontradas:
238
17 – Determine os valores de x tais que
>
Fonte: Avaliação Somativa – CEFET-MG (2010-M), questão 15, adaptada pela pesquisadora.
Objetivo: Resolver inequação exponencial.
Resposta:
Na resolução desta questão você apresentou dificuldades em (marque com X):
1 – Identificar o que estava sendo solicitado no enunciado da questão.
2 – Achar os zeros de uma função polinomial do 2º grau.
3 – Resolver inequação exponencial.
4 – Não apresentei dificuldades.
Liste outras dificuldades encontradas:
239
18 – A inequação
tem como solução:
Fonte: Avaliação Somativa – CEFET-MG (2012-M), questão 19, adaptada pela pesquisadora.
Objetivo: Resolver inequação logarítmica.
Resposta:
Na resolução desta questão você apresentou dificuldades em (marque com X):
1 – Identificar o que estava sendo solicitado no enunciado da questão.
2 – Aplicar as propriedades de logaritmo.
3 – Resolver inequação logarítmica.
4 – Não apresentei dificuldades.
Liste outras dificuldades encontradas:
240
19 – Construa o gráfico de (x) =
. Sabendo que g(x) é a função inversa de (x), encontre g(x) e
construa o gráfico de g(x) a partir do gráfico de (x).
Fonte: Barroso (2010), p. 236, adaptada pela pesquisadora.
Objetivo: Construir e analisar gráficos de função exponencial e logarítmica.
x
(x)
1
3
Resposta:
Na resolução desta questão você apresentou dificuldades em (marque com X):
1 – Identificar o que estava sendo solicitado no enunciado da questão.
2 – Identificar a relação gráfica entre a função logarítmica e a função exponencial.
3 – Obter a função inversa da função.
4 – Não apresentei dificuldades.
Liste outras dificuldades encontradas:
241
20 – A massa A de uma substância radioativa decai segundo a lei A = A0 ∙
, em que t é o
tempo de decaimento, em hora, e A0 é a massa inicial, isto é, a massa correspondente a t = 0. Para
calcular a meia-vida dessa substância, ou seja, o tempo decorrido para que A = A0 , um químico
substituiu A por A0 nessa lei e obteve a equação
=
0,30, resolva essa equação para obter a meia-vida da substância.
. Considerando
Fonte: Barroso (2010), p. 241.
Objetivo: Resolver problemas que envolvem aplicação de equações logarítmica.
Resposta:
Na resolução desta questão você apresentou dificuldades em (marque com X):
1 – Identificar o que estava sendo solicitado no enunciado da questão.
2 – Aplicar as propriedades de logaritmo.
3 – Realizar operações com números reais.
4 – Não apresentei dificuldades.
Liste outras dificuldades encontradas:
= –
242
ANEXOS
243
ANEXO A
244
REPETÊNCIA GERAL NO 1º ANO INTEGRADO – 2011
245
ANEXO B
246
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DA DISCIPLINA DE
MATEMÁTICA NOS CURSOS INTEGRADOS – 2013
247
248
249
250
ANEXO C
251
AVALIAÇÃO SOMATIVA – 2013/1º
252
253
254
255
256