CURSO DE MATEMÁTICA
ÁLGEBRA
AULA 07
PROF. MARCELO RENATO
(Outubro/2008)
marcelorenato.com ©
POLINÔMIOS
&
EQUAÇÕES
POLINOMIAIS
RESUMO TEÓRICO
Prof. Marcelo Renato
1. SOMA DOS COEFICIENTES DE UM POLINÔMIO
Para calcular a soma “SC” dos coeficientes de um polinômio P(x), basta calcular o valor numérico do
polinômio para x = 1, ou seja, calcular P(1).
Exemplo-1: P(x) = 2x4 + 3x2 – 7x + 10 ⇒ SC = P(1) = 2 + 3 – 7 + 10 = 8.
Exemplo-2: O binômio ( 3 x 5 y 3 − z 2 )10 possui 11 termos e, respectivamente, 11 coeficientes reais.
Para calcularmos a soma dos seus onze coeficientes reais basta que façamos todas as letras iguais a “1” e
efetuarmos a potência resultante, ou seja, S = ( 3.15 .1 3 − 1 2 )10 ⇒ S = 210 = 1 024.
2. TERMO INDEPENDENTE DE UM POLINÔMIO
Para calcularmos o termo independente “TI” de um polinômio P(x), basta calcular o valor numérico do
polinômio para x = 0, ou seja, calcular P(0).
Exemplo-3: P(x) = 2x4 + 3x2 – 7x + 10 ⇒ TI = P(0) = 0 + 0 – 0 + 10 = 10.
Exemplo-4: Para o binômio ( 2 x 3 y − 1 )100 , basta que façamos todas as letras iguais a zero e efetuarmos a
potência resultante, ou seja, TI = ( 0 − 1 )100 ⇒ TI = 1.
3. TEOREMA DO RESTO
O resto da divisão de P(x) por x – a é P(a).
Demonstração:
De fato, sendo P(x) o dividendo e x = a o divisor, então, podemos escrever P(x) = (x – a).Q(x) + R(x); como essa
igualdade vale para todo valor de x, então, ela vale também para x = a , ou seja, P(a) = (a – a).Q(x) + R(x), ou
seja, R(x) = P(a).
Como extensão do Teorema do Resto, temos que, o resto da divisão de um polinômio P(x) por um
polinômio divisor do 1º grau é igual a P(raiz do divisor).
Demonstração: Como o resto da divisão de P(x) por um polinômio do 1º grau (ax + b) é independente de x, isto é,
é igual a uma constante, chamaremos o resto R(x) desta divisão de r.
Sabemos que P(x) = (ax+b).Q(x) + r; se x for igual à raiz do divisor, isto é, x = (– b/a), vem:
P(– b/a) = [a. (– b/a) + b].Q(– b/a) + r ⇒ P(– b/a) = (– b + b).Q(– b/a) + r ⇒ P(– b/a) = r.
Exemplo-5: O resto R(x) da divisão de P(x) = 2x3 – x2 + 1 por (x – 1) é igual a P(1) = 2(1)3 – (1)2 + 1 ⇒ R(x) = 2.
Exemplo-6: O resto R(x) da divisão de P(x) = x2 + x + 5 por (2x – 4) é igual a P(2) = (2)2 + (2) + 5 ⇒ R(x) = 11.
4. TEOREMA DE D’ALEMBERT
Se um polinômio P(x) é divisível por x – a , podemos afirmar que P(a) = 0.
Demonstração: Por definição de raiz de um polinômio, temos que a é raiz de P(x) se, e somente se P(a) = 0.
Mas, pelo teorema do resto, P(a) é o resto R(x) da divisão de P(x) por x – a. Concluímos, assim, que: a é raiz de
P(x) ⇔ R(x) = 0, ou seja, a é raiz de P(x) ⇔ P(x) é divisível por x – a.
Não podemos esquecer que P(raiz) = 0.
5. MÉTODO DE DESCARTES (COEFICIENTES A DETERMINAR)
Assim teremos:
x4 – 3x3 + 6x2 ≡ (ax2 + bx + c).(x2 + 1) + (dx + e)
x4 – 3x3 + 6x2 ≡ ax4 + bx3 + (a + c)x2 + (b + d)x + (c + e)
A identidade se verifica para: a = 1; b = – 3; a + c = 6 ⇒ c = 5; b + d = 0 ⇒ d = 3; c + e = 0 ⇒ e = – 5.
Portanto: Q(x) = x2 – 3x + 5 e R(x) = 3x – 5.
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Para determinarmos os coeficientes do quociente Q(x) e do resto R(x) numa divisão de polinômios podemos
utilizar o Método de Descartes, a partir da igualdade P(x) = Q(x).D(x) + R(x).
Exemplo-7: Determinar o quociente e o resto da divisão de P(x) = x4 – 3x3 + 6x2 por D(x) = x2 + 1.
Resolução: Sabemos que P(x) = Q(x).D(x) + R(x) assim, como o grau de P(x) é 4 e o grau de D(x) é 2;
• Obrigatoriamente o grau de Q(x) terá que ser igual a 2, pois o grau do quociente deverá ser o resultado da
diferença entre o grau do polinômio P(x) e o grau do divisor D(x);
• Neste caso Q(x) = ax2 + bx + c ;
• Devemos ter também o grau do resto R(x) menor que o grau do divisor D(x); daí podemos escrever o resto na
forma R(x) = dx + e.
6. DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT RUFFINI
É um modo prático para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x – a).
Vamos visualiza-lo da seguinte maneira:
Observe a seqüência de passos para se obter Q(x) e R(x) por meio desse dispositivo quando queremos
determinar o quociente e o resto da divisão de P(x) = 3x3 – 5x2 + 3x – 2 por (x + 1).
1º) Ordenar P(x) segundo os expoentes decrescentes de x.
Distribuir os coeficientes de P(x) da seguinte forma:
2º) Repetir o coeficiente do primeiro termo de P(x) na parte inferior.
3º) Multiplicar o termo repetido pela raiz (– 1) e somar o próximo coeficiente do dividendo,
como mostra o esquema:
4º) Multiplicar esse último resultado pela raiz e, em seguida, somar com o próximo coeficiente do dividendo,
e assim por diante.
Terminando o processo, devemos compor o quociente e o resto:
Q(x) = 3x2 – 8x + 11 e R(x) = – 13
Como utilizar o dispositivo prático de BRIOT-RUFFINI quando o divisor,
do 1º grau, apresenta-se na forma (ax + b) com a ≠ 1?
b
P(x) = (ax + b).Q(x) + R(x) ⇒ P(x) = ( x + ) . [ a.Q(x)
123 ] + R(x)
a
123
Q (x)
D1 ( x )
1
Tornamos o coeficiente de x, do divisor, igual a 1 e passamos a ter um novo divisor D1(x) e um novo
quociente Q1(x).
b
Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, vamos usar a raiz ( − ) do polinômio D1(x).
a
Vejamos um exemplo na próxima página;
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Dividir P(x) por (ax + b) utilizando o dispositivo de Briott-Ruffini precisará seguir os seguintes passos:
Exemplo: Obter o quociente e o resto na divisão de P(x) = 6x3 – 11x2 + 12 x – 15 por D(x) = 2x – 3.
Resolução:
7. POLINÔMIO P(x) DIVISÍVEL PELO PRODUTO (x – a)(x – b).
Se P(x) for divisível por (x – a)(x – b),
conseqüentemente P(x) será divisível separadamente por (x – a)e por (x – b).
Neste caso aplicamos o Teorema do Resto em cada situação, ou seja, P(a) = 0 e P(b) = 0.
Se P(x) for divisível pelo produto de n fatores de 1º grau,
então P(x) será divisível separadamente por cada fator.
Exemplo: Se P(x) for divisível por (x² – 1), P(x) será divisível por (x + 1) e por (x – 1), pois x² – 1 = ( x + 1 ).(x – 1).
8. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA
Toda equação algébrica de grau n ( n ≥ 1 ) admite pelo menos uma raiz complexa.
Consequentemente, toda equação algébrica a uma variável,
de grau n, (n ≥ 1), terá no máximo n raízes distintas ou não.
9. FATORAÇÃO DE UM POLINÔMIO P(x)
P( x ) = ax 2 + bx + c ⇒ P( x ) = a( x − x1 )( x − x2 )
P( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ⇒ P ( x ) = a( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 )
P ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 ⇒ P ( x ) ≡ an ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) ⋅ ... ⋅ ( x − x n )
Exemplo: P ( x ) = 2 x 2 + 2 x − 12 ⇒ P ( x ) = 2.( x − 2 ).( x + 3 ) .
10. MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ
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Na decomposição de P(x) em fatores de primeiro grau, observamos que o fator (x – a)
pode aparecer uma vez, duas vezes,..., m vezes. Então podemos dizer que a raiz em
questão tem multiplicidade 1, 2,..., m, respectivamente.
11. TEOREMA DAS POSSÍVEIS RAÍZES RACIONAIS
p
, com p e q primos entre si e
Se um número
q
q ≠ 0 , é raiz de uma equação algébrica
an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 = 0 de coeficientes inteiros, então p é divisor de a0 e q é divisor de an .
Exemplo: Determine as raízes da equação x4 – 2x3 – 7x2 + 8x + 12 = 0.
Divisores de 12: { ± 1, ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 12 } .
Pelo Teorema das possíveis raízes racionais:
Divisores de 1 : { ± 1 } .
±1, ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 12
, ou seja,
±1
x ∈ { ± 1, ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 12 } .
As possíveis raízes “x” serão obtidas do quociente
Utilizamos o dispositivo prático de Briot-Ruffini para verificar as possíveis raízes ...
12. TEOREMA DAS RAÍZES IRRACIONAIS
Numa equação de coeficientes racionais, se ( m + n ) for raiz irracional, então ( m − n ) também o será, com m e
n racionais.
Exemplo: Determine as raízes da equação x³ - 4x² + 3x + 2 = 0, sabendo que a menor delas vale 1 − 2 .
Resolução: Como a equação possui coeficientes racionais, se x1 = 1 − 2 é uma das suas raízes, pelo teorema
da raízes irracionais, x2 = 1 + 2 . Por Girard, x1 + x2 + x3 = 4 , assim:
(1 − 2 ) + (1 + 2 ) + x3 = 4 ⇒ x3 = 2 ......................... S = { 1 − 2 ; 1 + 2 ; 2 } .
13 TEOREMA DE BOLZANO
Seja f(x) = 0 uma equação polinomial, com coeficientes reais e (a; b) um intervalo real aberto:
• Se f(a) e f(b) têm mesmo sinal, então existe um número par de raízes reais ou não existem raízes reais da
equação no intervalo (a; b);
• Se f(a) e f(b) têm sinais diferentes, então existe um número ímpar de raízes reais da equação em (a; b).
Soma de todas as raízes:
Produto de todas as raízes,”duas a duas”:
ax 2 + bx + c = 0
b
x1 + x2 = −
a
c
x1 .x2 =
a
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0
b
x1 + x2 + x3 = −
a
x1 ⋅ x2 + x1 ⋅ x3 + x2 ⋅ x3 =
x1 ⋅ x2 ⋅ x3 = −
Produto de todas as raízes, “três a três”:
OBS.: Usar a mesma lógica para equações de maior grau.
-4-
d
a
c
a
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12. RELAÇÕES DE GIRARD
CURSO DE MATEMÁTICA
DISCIPLINA:
ASSUNTO:
ÁLGEBRA
POLINÔMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS
SÉRIE AULA
1) (Darwin/2005) Seja o polinômio P(x) = − x
encontra-se na figura ao lado:
3
+ bx
2
+ cx + d , cujo esboço gráfico
a) calcule os coeficientes b e c de P(x).
b) determine termo independente de P(x).
c) escreva P(x) como produto de fatores, sendo um do 1ºgrau e outro de 2º grau.
d) sendo R(x) o resto da divisão de P(x) por x
2
+ x − 6 , determine R(1/8).
2) (FUVEST-SP/2002) As raízes do polinômio p ( x ) = x
progressão aritmética.
Determine:
3
−3x
2
+ m , onde m é um número real, estão em
-5-
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a) o valor de m;
b) as raízes desse polinômio.
3) (UERJ) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são dadas pelas raízes do polinômio a seguir:
3x
3
− 13 x
2
+ 7 x −1
Em relação a esse paralelepípedo, determine:
a) a razão entre a sua área total e o seu volume;
b) suas dimensões.
+ 15 x
2
+ 66 x + 80 = 0 sabendo que são reais e estão em progressão
5) (UFMG/2001) Os polinômios p ( x ) = x
2
−4 e p ( x ) = x
4) (UFRJ) Encontre as raízes de x
aritmética.
1
p ( x ) = ax
3
+ bx
2
3
2
2
− 7 x + 10 dividem o polinômio
− 12 x + c , em que a, b e c são números reais.
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Determine a, b e c.
6) (UFF-RJ) Um aluno dividiu o polinômio p( x ) = ax 2 + bx + c , sucessivamente, por ( x − 1 ), ( x − 2 ) e ( x − 3 ) e
encontrou, respectivamente, restos 0, 0 e 1. Determine o polinômio p(x).
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7) (UFRJ) Determine todas as raízes reais de x 4 + 4 x 3 + 4 x 2 − x − 2 = 0 .
3
2
8) (UFMG/2005) Seja p ( x ) = x + ax + bx + 2 um polinômio em que a e b são números inteiros.
Sabe-se que 1+ 2 é uma raiz de p(x). Considerando essas informações,
1. DETERMINE os coeficientes a e b.
2. DETERMINE todas as raízes de p(x).
9) (UFES) Se as dimensões, em centímetros, de um paralelepípedo reto retangular são dadas pelas raízes da
equação x 3 − 14 x 2 + 43 x − 30 = 0 , calcule o comprimento da diagonal do paralelepípedo.
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Dica–MR
SÉRIE CASA
n
1) (UFMG/2004) Seja o polinômio P ( x ) = ∑ ( n + 1 − j ).x j = nx + ( n − 1 )x 2 + ( n − 2 )x 3 + L + 2 x n −1 + x n , em que
j =1
o resto da divisão de P(x) por x – 1 é 55. Determine o grau de P(x).
2) (Fuvest – SP) O produto de duas das raízes do polinômio p(x) = 2x3 – mx2 + 4x + 3 é igual a “– 1”. Determinar:
a) o valor de m.
b) as raízes de p.
0
b ⎤
⎡a − x
2−x
c ⎥ , onde a, b, c e d são números reais.
3) (UNICAMP 1996) Seja p(x) = det ⎢ 0
⎢⎣ b
0
d − x ⎥⎦
a) Mostre que x = 2 é uma raiz do polinômio p(x).
b) Mostre que as outras duas raízes de p(x) também são reais.
c) Quais as condições sobre a, b, c e d para que p(x) tenha uma raiz dupla, x ≠ 2?
4) (FGV-SP/2004 modificada)
a) A equação 2x3 – 8x2 + mx + 16 = 0, sendo m um número real, tem raízes a, b e c, tais que a = b + c. Determine
1 1
b
o valor de S, tal que S = + +
.
a b ac
1
b) O polinômio P(x) = 3x4 – 22x3 + 64x2 – 58x + 13 é divisível por ⎛⎜ x − ⎞⎟ . Encontre as raízes da equação
⎝
3⎠
P ( x ) = 0 no conjunto dos números reais.
c) Apresente o polinômio P(x) como produto de dois polinômios de grau 1 e um polinômio de grau 2.
5) (DARWIN 2006) Sabendo-se que a e b são números inteiros e que 1 + 3 é uma das raízes da equação
x
4
−2x
3
+ ax
2
+ bx + 18 = 0 , determine:
a) todas as raízes de P(x);
b) os coeficientes a e b.
3
2
2
6) (UFES 2006 modificada) Um polinômio P(x) = x – ax – x + a – 6, onde a < 0, tem x = – 2 como raiz.
A) Determine o valor de “a”.
B) Decomponha o polinômio P(x) em produto de fatores do primeiro grau.
C) Determine o resto R(x) da divisão de P(x) por (x + a).
7) (UFES adaptada) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são dadas pelas raízes (x
3
2
1
> x 2 > x 3 ) do
polinômio P(x) = 2 x – 9 x + 8x – 2.
Em relação a esse paralelepípedo, considerando suas dimensões em
metros, determine:
8) (Darwin 2006) Um polinômio P ( x ) = x
4
+x
3
+ k , quando dividido por ( x + 2 ) dá resto 10. Ao dividirmos o
polinômio P(x) por um polinômio divisor de grau 2 denominado D(x) obtemos quociente Q ( x ) = ( x
resto R(x). Determine:
a) o valor de k;
b) R ( −1 ) ;
c) o polinômio divisor D(x).
-9-
2
−1 ) e
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a) a soma dos inversos das suas dimensões;
3
b) sua área total em cm² e seu volume em dm , respectivamente;
c) trace um segmento de reta ligando os vértices A e B e calcule o
seu comprimento, em metros. O que significa tal segmento de reta
para o paralelepípedo?
RESPOSTAS – SÉRIE AULA
1) a) b = 4 e c = – 5
2) a)m = 2
b) 2
c) P(x) = −( x − 2 ).( x − 1 )2
2) b) 1 , 1 − 3 e 1 + 3
3) a) 14 2) b)
d) R(1/8) = 30
1
;2+ 3 e 2− 3
3
4) −2 , − 5 e − 8 .
5) a = 3, b = – 15 e c = 60 .
6) P ( x ) =
−1 + 5
−1 − 5
1
.( x − 1 ).( x − 2 ) . 7) – 1, – 2 ,
e
.
2
2
2
8–1)
8–2) 1 +
2 , 1−
a=–4 e b=3
2 e 2.
9) 110 cm.
RESPOSTAS SÉRIE CASA
1) O grau de P(x) é 10.
2) a) m = 7.
3) a) p ( 2 ) = 0.
b) 3 / 2 , 1 − 2 e 1 + 2 .
3) b) Δ = ( a − d )2 + 4 b 2 . Analisando esta expressão, verificamos que Δ ≥ 0 , ∀ a, b, c , d ∈ IR , portanto, as
outras duas raízes de p(x) são reais.
1
1
b) Raízes reais: 1/2 e 1
c) P ( x ) = 3 ⋅ ( x − ) ⋅ ( x − 1 ) ⋅ ( x 2 − 6 x + 13 ) .
4) a) S = −
3
2
5) a) 1 + 3 , 1 − 3 , − 3 e 3 .
b) a = – 11 e b = 18.
6) A) a = – 2.
B) P ( x ) = ( x + 2 )( x − 1 )( x + 1 )
C) 12.
7) a) 4 m −1
b) Área: 8.10 4 cm 2 e Volume: 8.10 4 cm 2
c) 3,5 m (diagonal do paralelepípedo).
2
8) b) R(– 1) = 2
8) c) D(x) = x + x + 1.
- 10 -
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8) a) k = 2
1/4
RESOLUÇÕES SÉRIE AULA - POLINÔMIOS
1) (Darwin/2005) Seja o polinômio P(x) = − x
encontra-se na figura ao lado:
3
+ bx
2
+ cx + d , cujo esboço gráfico
a) calcule os coeficientes b e c de P(x).
b) determine termo independente de P(x).
c) escreva P(x) como produto de fatores, sendo um do 1ºgrau e outro de 2º grau.
d) sendo R(x) o resto da divisão de P(x) por x
2
+ x − 6 , determine R(1/8).
a) Analisando o gráfico de P(x) verificamos que suas raízes são x = 1 (dupla) e x = 2;
P ( x ) = − x 3 + bx 2 + cx + d ...... (1 ) possui coeficiente dominante “– 1”
P ( x ) = −( x − 2 )( x − 1 )2 .......... .... ( 2 )
( 1 ) ≡ ( 2 ):
−x
3
+ bx
2
+ cx + d = − ( x − 2 )( x − 1 )
2
⇒ − x 3 + bx 2 + cx + d = − x 3 + 4 x 2 − 5 x + 2
Da identidade polinomial verificamos: b = 4, c = – 5 e d = 2.
b) O termo independente de P(x) é d = 2.
c) Efetuando-se a divisão pelo método da chave:
−x
x
3
+4x
2
−5 x +2
x
3
+ x
2
−6 x
− x +5
2
− 11 x + 2
2
− 5 x + 30
5x
−5 x
2
+ x −6
− 16 x + 32
Respostas: 4) a) b = 4 e c = – 5
b) 2
c) P(x) = −( x − 2 ).( x − 1 )2
2) (FUVEST-SP/2002) As raízes do polinômio p ( x ) = x
em progressão aritmética.
Determine:
3
−3x
2
+ m , onde m é um número real, estão
a) o valor de m;
b) as raízes desse polinômio.
Resolução:
a) Considerando x 1 , x 2 e x 3 as raízes de p(x): PA ( {
x − r , x , x{
+r )
{
x
Por Girard: x + x + x =
1
2
3
1
− ( −3 )
⇒ 3x =3 ⇒ 1
=31
x2
1
x2
3
2
Assim, p ( 1 ) = 0 ⇒ ( 1 ) − 3.( 1 ) + m = 0 ⇒ m
=3
2
12
x2
d) R(1/8) = 30
x
3
2/4
RESOLUÇÕES SÉRIE AULA - POLINÔMIOS
2b) Como m = 2 ⇒ p ( x ) = x
3
−3x
2
+ 2 e uma das raízes é 1
x2
=31 :
p( x ) = 0 ⇒ x 3 − 3 x 2 + 2 = 0
x2
Sabemos que ( x – x2 ) é um dos fatores de p(x), ou seja, p(x) é divisível por ( x – 1);
Utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini para abaixar o grau da equação:
Resolvendo x
2
− 2 x − 2 = 0 encontramos x 1 = 1 − 3 e x 3 = 1 + 3 .
Assim, as raízes de p ( x ) = x
3
−3x
2
+ 2 são as raízes de ( x − 1 ) .
1
424
3
x
2
=1
2
( x −2 x −2 )
1442443
= 0.
x = 1− 3 e x = 1+ 3
1
3
Portanto, as raízes de p(x) são: 1 , 1 − 3 e 1 + 3 .
3) (UERJ) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são dadas pelas raízes do polinômio a seguir:
3x
3
− 13 x
2
+ 7 x −1
Em relação a esse paralelepípedo, determine:
a) a razão entre a sua área total e o seu volume;
b) suas dimensões.
Resolução:
a) Considerando as raízes x1 , x2 e x3 , a área total A T e o volume V:
⎧ A T = 2 ⋅ ( x1 . x 2 + x1 . x 3 + x 2 . x 3 )
14444
4244444
3
⎪
⎪
Girard
⎪
⎨
14
⎛7 ⎞
⎪ A T = 2 ⋅⎜ ⎟ ⇒ A T =
3
3
⎝
⎠
⎪
14243
⎩⎪
V = x .x ⋅ x ⇒ V =
2
3
1142
43
− ( −1 )
3
⇒ V =
1
3
Girard
Assim,
AT
V
=
AT
14 / 3
⇒
= 14
1/ 3
1V4243
b) Cálculo das dimensões:
Pelo Teorema das possíveis raízes racionais, x =
1
3
2
é raiz de do polinômio 3 x − 13 x + 7 x − 1 ;
3
3x
1⎞
3
2
⎛
Logo, ⎜ x − ⎟ é um dos fatores de 3 x − 13 x + 7 x − 1 = 0 , ou seja,
3⎠
⎝
Utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini para abaixar o grau
3
− 13 x
2
− 12 x + 3 = 0 ⇒ x = 2 + 3 ou x = 2 − 3
da equação 3 x
Resolvendo 3 x
2
+ 7 x −1 = 0 :
Logo, as dimensões do paralelepípedo são:
1
; 2+ 3 e 2− 3 .
3 444424444
1
3
3
− 13 x
2
x−
1
3
+ 7 x −1
=0;
3/4
RESOLUÇÕES SÉRIE AULA - POLINÔMIOS
4) (UFRJ) Encontre as raízes de x
progressão aritmética.
3
+ 15 x
2
+ 66 x + 80 = 0 sabendo que são reais e estão em
− r , x , x{
+r );
Resolução: Considerando as raízes x1 , x2 e x3 , PA ( x{
{
x1
Por Girard: x + x
1
2
+ x
3
=
x3
x2
− ( 15 )
⇒ 3 x = −15 ⇒ 1
x=
5
2−3
1
x
2
Utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini:
Resolvendo a equação x
2
− 10 x + 16 = 0 ⇒ x 1 = −2 e x 3 = −8 .
Assim, as raízes da equação são: – 2 , – 5 e – 8 .
Resposta: 8) −2 , − 5 e − 8
5) (UFMG/2001) Os polinômios p ( x ) = x
2
1
p ( x ) = ax
3
+ bx
2
−4 e p ( x ) = x
2
2
− 7 x + 10 dividem o polinômio
− 12 x + c , em que a, b e c são números reais.
Determine a, b e c.
Resolução: Como p ( x ) e p ( x ) dividem o polinômio p(x), implica que as raízes de p ( x ) e p ( x )
1
2
1
2
também são raízes de p(x).
2
•
Calculando as raízes de p ( x ) : p ( x ) = 0 ⇒ x
1
1
•
Calculando as raízes de p 2 ( x ) : p ( x ) = 0 ⇒ x
2
2
−4 = 0 ⇒ x = ±2
− 7 x + 10 = 0 ⇒ x = 2 ou x = 5
Assim, como p(x) é de grau 3, as suas raízes são – 2, 2 e 5.
Considerando as raízes x1 = – 2 , x2 = 2 e x3 = 5, por Girard : x ⋅ x
1
x1 ⋅ x 2 + x1 ⋅ x 3 + x 2 ⋅ x 3 =
3
+ bx
2
+ x ⋅x
−12
a
( −2 ).( 2 ) + ( −2 ).( 5 ) + ( 2 ).( 5 ) =
Assim, p ( x ) = 3 x
2
− 12
− 12
⇒ −4 =
⇒ a
=3
3
12
a
a
− 12 x + c
−b
−b
⎧
=2
−4
15
⎪ x 1 + x 2 + x 3 = 3 ⇒ ( −2 ) + ( 2 ) + ( 5 ) = 3 ⇒ b
1
4
3
⎪⎪
Por Girard: ⎨
⎪ x ⋅ x ⋅ x = − c ⇒ ( −2 ) ⋅ ( 2 ) ⋅ ( 5 ) = − c ⇒ c = 60
123
1
2
3
⎪
3
3
⎪⎩
Resposta: a = 3, b = – 15 e c = 60 .
1
3
+ x ⋅x
2
3
=
−12
a
RESOLUÇÕES SÉRIE AULA - POLINÔMIOS
6) (UFF-RJ) Um aluno dividiu o polinômio p ( x ) = ax
e encontrou, respectivamente, restos 0, 0 e 1.
2
+ bx + c , sucessivamente, por ( x − 1 ), ( x − 2 ) e ( x − 3 )
Determine o polinômio p(x).
Resolução: Considerando x1 e x2 as raízes de p(x);
Como, pelo teorema do resto, p ( 1 ) = 0 e p ( 2 ) = 0 , 1 e 2 são as raízes de p(x).
Assim, P ( x ) = a .( x − x ).( x − x ) ⇒
1
2
P ( x ) = a .( x − 1 ).( x − 2 )
1
Como, também pelo teorema do resto, P ( 3 ) = 1 : P ( 3 ) = a .( 3 − 1 ).( 3 − 2 ) ⇒ 2 a = 1 ⇒ a =
123
2
123
=1
Resposta: P ( x ) =
1
.( x − 1 ).( x − 2 ) .
2
7) (UFRJ) Determine todas as raízes reais de x
4
+4x
3
+4x
2
− x −2 =0 .
Resolução:
Pelo teorema das possíveis raízes racionais x = – 1 e x = – 2 são raízes reais da equação;
Utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini para abaixar o grau da equação:
Analisando a equação x
verificamos que
Resposta: – 1, – 2 ,
Δ=
2
+ x −1 = 0 ,
⎧
−1 + 5
ou
⎪x =
⎪
2
5 ⇒⎨
−1 − 5
⎪
⎪⎩ x =
2
−1 + 5
−1 − 5
e
2
2
3
2
8) (UFMG/2005) Seja p ( x ) = x + ax + bx + 2 um polinômio em que a e b são números inteiros.
Sabe-se que 1+ 2 é uma raiz de p(x). Considerando essas informações,
1. DETERMINE os coeficientes a e b.
2. DETERMINE todas as raízes de p(x).
Resolução:
1. Assim, como o polinômio possui coeficientes racionais inteiros e 1 + 2 é uma de suas três raízes, pelo
teorema da raízes irracionais 1 − 2 também é raiz de p(x).
Considerando x1 = 1 + 2 , x2 = 1 − 2 e x3 as raízes de p(x), cujo coeficiente dominante é igual a 1:
p( x ) = ( x − x1 ).( x − x2 ).( x − x3 )
[
]
p( x ) = x 2 − ( x1 + x2 ).x + ( x1 .x2 ) .( x − x3 )
p( x ) = ( x 2 − 2 x − 1 ).( x − x3 )
14
4244
3
Considerando que já foi resolvido o “item 1”, onde encontramos p( x ) = ( x 2 − 2 x − 1 ).( x − x3 ) :
- Foi dado que p ( x ) = x
3
+ ax
2
4/4
+ bx + 2 ;
- Sabemos que são raízes de p(x): 1 + 2 , 1 − 2 e x3 ;
5/4
RESOLUÇÕES SÉRIE AULA - POLINÔMIOS
⎧ x1
−D
⎪
- Sabemos que, pelas relações de Girard, para Ax + Bx + Cx + D = 0 ⎨ x2 ⇒ x1 .x2 .x3 =
A
⎪x
⎩ 3
3
2
- Para as raízes de p( x ) = x 3 + ax 2 + bx + 2 ⇒ (1 + 2 ) ⋅ (1 − 2 ) ⋅ x3 =
−( 2 )
1
Assim: (1 − 2 ).x3 = −2 ⇒ x3 = 2
123
⎧A = 1
⎪
- Sabemos que p( x ) = A( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) , onde ⎨( x − x1 )( x − x 2 ) = x 2 − 2 x − 1
⎪x = 2
⎩ 3
- Logo:
p( x ) = ( x 2 − 2 x − 1 )( x − 2 )
p( x ) = x 3 − 2 x 2 − 2 x 2 + 4 x − x + 2
p( x ) = x 3 − 4 x 2 + 3 x + 2
p( x ) = x 3 − 4 x 2 + 3 x + 2
- Fazendo-se a identidade entre p( x ) = x 3 + ax 2 + bx + 2 e 1
4444
4244444
3
144444244444
3
Encontramos: a = – 4 e b = 3.
2. 1 +
Respostas: Respostas: 1. a = – 4 e b = 3
2 , 1−
2 e 2.
9) (UFES) Se as dimensões, em centímetros, de um paralelepípedo reto retangular são dadas pelas raízes
da equação x
3
− 14 x
2
+ 43 x − 30 = 0 , calcule o comprimento da diagonal do paralelepípedo.
Resolução:
3
2
Pelo Teorema das possíveis raízes racionais, x = 1 é raiz da equação x – 14 x + 43 x – 30 = 0.
Assim sendo, reduziremos o grau da equação utilizando o dispositivo prático de Briott-Ruffini:
Onde sabemos que:
x
3
− 14 x
2
+ 43 x − 30 = 0 ⇒ ( x − 1 ).( x
2
− 13 x + 30 ) = 0
x =3
Calculando as outras duas raízes: x
2
− 13 x + 30 = 0 ⇒
ou
x = 10
As três raízes são: x 1 = 1 ; x 2 = 3 e x 3 = 10
Representando as arestas do paralelepípedo na figura e calculando o comprimento da diagonal “D”:
D= 1
2
⎛
+ ⎜⎜
⎝
3
2
+ 10
Resposta: D = 110 cm.
2
⎞
⎟⎟
⎠
2
= 110
RESOLUÇÕES SÉRIE CASA
1) Resolução:
P ( x ) = nx + ( n − 1 )x 2 + ( n − 2 )x 3 + L + 2 x n −1 + x n
Pelo teorema do resto: P ( 1 ) = 55
Assim:
n(1 ) + ( n − 1 )(1 )2 + ( n − 2 )(1 )3 + L + 2(1 )n −1 + (1 )n = 55
n + ( n − 1 ) + ( n − 2 ) + ( n − 3 ) + L + 2 + 1 = 55
1444444442444444443
soma de n termos em PA
( a1 + an ).n
( n +1 ).n
= 55 ⇒
= 55
2
2
n 2 + n − 110 = 0 ⇒ n = 10 ou n = −11
Pela definição de polinômio n ∈ IN , logo n = 10 e o polinômio é de grau 10.
Resposta: O grau de P(x) é 10.
2) Resolução:
−3
a) Por Girard: x1 ⋅ x2 ⋅ x3 =
123
2
⇒ x3 =
−1
3
2
3
2
678
27 9 m
⎛3⎞
⎛3⎞
⎛3 ⎞
⎛3⎞
−
+6 +9 = 0 ⇒ m =7
P ⎜ ⎟ = 0 ⇒ 2 ⋅⎜ ⎟ − m ⋅⎜ ⎟ + 4 ⋅⎜ ⎟ + 3 = 0 ⇒
4
4
⎝2⎠
⎝2⎠
⎝2 ⎠
⎝2⎠
b) Sendo m = 7: p(x) = 2x3 – 7x2 + 4x + 3
Utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini:
2 x 2 − 4 x − 2 = 0 ⇒ Δ = 8 ⇒ x = 1 − 2 ou
x =1+ 2 .
Assim, as raízes de p(x) são: 3 / 2 , 1 − 2 e 1 + 2 .
Respostas: 1) a) m = 7.
b) 3 / 2 , 1 − 2 e 1 + 2 .
3) Resolução:
a−x
0
b
a−x 0
0
2−x
c
0 2−x
0
b
0
d−x
b
144444444
42444444444
3
p( x ) =
SARRUS
p ( x ) = ( a − x ).( 2 − x ).( d − x ) − ( 2 − x ). b 2
p ( x ) = ( 2 − x ).[ ( a − x ).( d − x ) − b 2 ] ........... ( 1 )
a) Fazendo-se x = 2 em ( 1 ): p ( 2 ) = ( 2 − 2 ) .[ ( a − 2 ).( d − 2 ) − b 2 ]
1
424
3
⇒ p( 2 ) = 0
14243
0
Conclusão: x = 2 é raiz de p(x).
b) As outras duas raízes de p(x), em ( 1 ), vêm de: [ ( a − x ).( d − x ) − b
( a − x ).( d − x ) − b
2
2
] =0
=0
x 2 − ( a + d ) x + ( ad − b 2 ) = 0
Δ = [ −( a + d ) ]
2
− 4.( 1 ).( ad − b
2
)
Δ = ( a + d ) 2 − 4.( ad − b 2 )
Δ = a 2 + 2 ad + d 2 − 4 ad + 4 b 2
Δ =(a
2
− 2 ad + d
Δ = ( a − d )
2
2
)+4b
+ 4 b
2
2
..................... ( 2 )
Analisando a expressão ( 2 ) verificamos que Δ ≥ 0 , ∀ a , b , c , d ∈ IR , portanto, as outras duas raízes de p(x)
são reais.
c) as outras duas raízes de p(x) serão raízes iguais, ou seja, “raiz dupla” e diferente de x = 2 se e somente se:
Em
( a − x ).( d − x ) − b 2 = 0
14444
4244444
3
x
⎧ Δ =0 e x ≠2
⎨
2
2
⎩ Δ =( a −d ) +4b
2
− ( a + d ) x + ( ad − b
2
)=0
⇒ ( a − d )2 + 4 b 2 = 0
⎧ ( a−d ) = 0 ⇒ a = d ≠ 2, e
⎪
Verificamos que Δ = 0 , somente se ⎨
4 b2 = 0 ⇒ b = 0
⎪
∀ c ∈IR
⎩
Respostas:
a) vide resolução.
b) vide resolução.
c) a = d ≠ 2 , b = 0 e ∀ c ∈IR .
4) Resolução:
a)
⎧x = a
⎪⎪ 1
2 x − 8 x + mx + 16 = 0 ⇒ ⎨ x = b
2
⎪
⎪⎩ x 3 = c
Atenção : a = ( b + c )
3
2
Por Girard: x + x
1
2
+x
3
=
− ( −8 )
⇒ a +( b +c ) = 4 ⇒ a +( a ) = 4 ⇒ a
=3
2 ............ ( 1 )
12
2
S=
bc +ac +b2
1 1 b
+ +
⇒ S=
a b ac
a . b .c
S=
b2 + bc +ac
b .( b + c ) + a c
b .( a ) + a c
⇒ S=
⇒ S=
a . b .c
a . b .c
a . b .c
S=
a .( b + c )
a .( a )
⇒ S=
⇒
a .b .c
a . b .c
Por Girard: x ⋅ x ⋅ x
1
2
3
=
S=
a2
a . b .c
......................... ( 2 )
− ( 16 )
⇒ a ⋅ b ⋅ c = −8 ................ ( 3 )
14
4244
3
2
S=
Substituindo ( 1 ) e ( 3 ) em ( 2 ):
( 2 )2
−8
⇒
S=−
1
2
b)
P( x ) = 3 x
4
− 22 x
3
+ 64 x
2
− 58 x + 13
Sabemos, também, que a soma dos coeficientes de P(x) é igual a zero; sendo assim, x = 1 também é raiz de P(x).
c) Utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini para abaixar o grau da equação P(x) = 0:
P( x ) = 3 ⋅ ( x −
Respostas: a) S = −
1
2
b) Raízes:1/2 e 1.
c) P ( x ) = 3 ⋅ ( x −
1
) ⋅ ( x − 1 ) ⋅ ( x 2 − 6 x + 13 )
3
1
) ⋅ ( x − 1 ) ⋅ ( x 2 − 6 x + 13 ) .
3
5) Resolução:
a) Pelo TEOREMA DAS RAÍZES IRRACIONAIS
“Numa equação de coeficientes racionais, se ( m +
também o será, com m e n racionais.”
n ) for raiz irracional, então ( m −
n)
Assim, a equação x 4 − 2 x 3 + ax 2 + bx + 18 = 0 terá as raízes x = 1 + 3 e x = 1 − 3 ;
2
1144444244
4443
Podemos afirmar que um dos fatores da equação dada será: x 2 − ( x + x
1
). x + ( x . x
2
1
2
) ⇒ 1
x 242
− 2 43
x4
−2 ;
4
Logo:
x
4
x
4
−2 x
3
−2 x
3
+ ax
2
+ bx + 18 ≡ ( Ax
+ ax
2
4
+ bx + 18 ≡ A x
2
+ Bx + C ) ⋅ ( x
+( B −2 A )x
3
2
−2 x −2 )
+ ( C − 2 A − 2 B ) x 2 + ( −2 B − 2 C ) x − 2 C
⎧ A =1
⎪
⎨ B − 2 A = −2 ⇒ B − 2.( 1 ) = −2 ⇒ B = 0
⎪ − 2 C = 18 ⇒ C = −9
⎩
Assim:
x 4 − 2 x 3 + ax 2 + bx + 18 ≡ ( x 2 − 9 ).( x 2 − 2 x − 2 )
⎧
⎪
⎪⎪
2
2
Todas as raízes de P(x) serão: ( x − 9 ) .( x − 2 x − 2 ) = 0 ⇒ ⎨
1424
3 1442443
⎪
0
0
⎪
⎪⎩
x1 = 1 + 3
x2 =1 − 3
x3 = −3
x
4
= 3
⎧ A =1
⎪
⎧ a = C − 2 A − 2 B ⇒ a = −11
b) com os cálculos efetuados no item “a” anterior: Para ⎨ B = 0 ⇒ ⎨
⇒ b = 18
⎩ b = −2 B − 2 C
⎪ C = −9
⎩
Respostas:
a) 1 + 3 , 1 − 3 , − 3 e 3 .
b) a = – 11 e b = 18.
6) Resolução:
3
2
A) P ( −2 ) = 0 ⇒ ( −2 ) − a ( −2 ) − ( −2 ) + a
2
−6 = 0 ⇒ a
2
⎧ a = −2 ou
− 4 a − 12 = 0 ⇒ ⎨
⎩ a = 6 ( não convém )
Assim, a = – 2.
3
2
2
3
2
B) Para a = – 2 ⇒ p ( x ) = x − ( −2 ) x − x + ( −2 ) − 6 ⇒ p ( x ) = x + 2 x − x − 2
Utilizando o dispositivo prático de Briot-Rufinni para calcularmos as demais raízes:
x
2
−1 = 0
x = 1 ou x = −1
O polinômio P(x), decomposto em fatores do primeiro grau: P ( x ) = ( x + 2 )( x − 1 )( x + 1 ) .
C) Na divisão de P(x) por (x + a), ou seja, por (x – 2), pelo teorema do resto, será:
R ( x ) = P ( 2 ) ⇒ R ( x ) = ( 2 + 2 )( 2 − 1 )( 2 + 1 ) ⇒ R ( x ) = 12
Respostas: A) a = – 2.
B) P ( x ) = ( x + 2 )( x − 1 )( x + 1 )
C) 12.
7) Resolução:
Pelas relações de Girard
8
x .x + x .x + x .x
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
1
3
1
2
2
a)
+
+
=
⇒
+
+
=
⇒
+
+
= 4 m −1
− ( −2 )
x
x
x
x .x .x
x1 x2 x3
x1 x2 x3
14444244443
1
2
3
1
2
3
2
b) Considerando a área total A t e o volume V:
A = 2 ⋅( x .x + x .x + x .x
t
1
2
1
3
2
3
) e V = x .x .x
1
2
3
⎧
⎛8 ⎞
2
2
At = 8.10 4 cm 2
⎪ At = 2 ⋅ ⎜ 2 ⎟ ⇒ At = 8 m ⇒ At = 8.(100 cm ) ⇒ 1
44
42444
3
⎝
⎠
⎪⎪
Pelas relações de Girard: ⎨
⎪V = − ( −2 ) ⇒ V = 1m 3 ⇒ V = 1.(10 dm )3
⇒ V = 10 3 dm 3
144244
3
⎪
2
⎪⎩
c)
( AB )
AB =
2
⎛
=⎜
⎝
x
2
1
⎞
x 2 +x 2 ⎟
1
2 ⎠
2
2
2
+ x
Sabemos que x
2
2
1
+ x
3
Pelas relações de Girard
.......... ...... ( 1 )
3
+ x 2 + x 2 =( x +x
2
⎛9⎞
x 2 + x 2 + x 2 =⎜ ⎟
1
2
3
⎝2⎠
Em ( 1 ): AB =
+x 2
3
2
1
⎛8⎞
− 2 ⋅⎜ ⎟ ⇒
⎝2⎠
2
+x
3
)
2
− 2 ⋅( x .x
1
2
+ x .x
1
3
+ x .x
81
x 2 + x 2 + x 2 =
−8 ⇒
1
2
3
4
2
3
)
49
x 2 + x 2 + x 2 =
1
2
3
4
14444
4244444
3
49
⇒ AB = 3 ,5 m ; tal segmento é a diagonal do paralelepípedo.
142
4 43
4
4
Respostas: a) 4 m −1 b) Área: 8.10 4 cm 2 e Volume: 8.10 4 cm 2
c) 3,5 m (diagonal do paralelepípedo).
8) Resolução:
P ( −2 ) = 10
a) Pelo teorema do resto:
x = −2 → P ( x ) = x
4
+x
3
4
3
2
+ k ⇒ ( −2 ) + ( −2 ) + k = 10 ⇒ k12
=3
⎧ P ( x ) = x 4 + x 3 + 2 .......... .......... ( 1 )
⎪
b) Conforme enunciado: ⎨
R( x )
678
⎪
2
⎩ P ( x ) = ( x − 1 ) ⋅ D ( x ) + ax + b ...( 2 )
⎧ x = 1 ⇒ P (1 ) = (1 )4 + (1 )3 + 2
⇒ P (1 ) = 4
⎪
Em ( 1 ): ⎨
4
3
⎪⎩ x = −1 ⇒ P ( −1 ) = ( −1 ) + ( −1 ) + 2 ⇒ P ( −1 ) = 2
⎧ P ( 1 ) = 4 ⇒ ( 0 ). D ( 1 ) + a ( 1 ) + b = 4
⎧ a+b = 4
Em ( 2 ): ⎨
⇒ ⎨
P
(
−
1
)
=
2
⇒
(
0
).
D
(
−
1
)
+
a
(
−
1
)
+
b
=
2
⎩
⎩− a + b = 2
Resolvendo o sistema: a = 1 e b = 3.
R ( x ) = x + 3 ⇒ R ( −1 ) = ( −1 ) + 3 ⇒ R ( −1 ) = 2
14243
⎧P ( x ) = x 4 + x 3 + 2
⎪
c) ⎨
2
⎪⎩ P ( x ) = ( x − 1 ) ⋅ D ( x ) + x + 3
⎧ x 4 + x 3 + 2 ≡ ( x 2 −1 ) ⋅ D ( x ) + x + 3
⎧A =1
⎪
3
2
2
⎪ 4
⎪
⇒ ⎨B = 1
⎨ x + x + 2 ≡ ( x − 1 ) ⋅ ( Ax + Bx + C ) + x + 3
⎪ 4
⎪3 −C = 2 ⇒ C = 1
3
4
3
2
⎩
⎪ x + x + 2 ≡ Ax + Bx + ( C − A ) x + ( 1 − B ) x + ( 3 − C )
⎩
Assim, D ( x ) = x
2
+ x +1
2
Respostas:
8) a) k = 2
8) b) R(– 1) = 2
8) c) D(x) = x + x + 1.