TANGRAM E TECNOLOGIAS NO ENSINO-APRENDIZAGEM DE
MATEMÁTICA
Cristina Imamura da Silva1
Dr. Paulo Laerte Natti2
Resumo: O presente artigo foi desenvolvido com o objetivo de evidenciar as possibilidades de
utilização de jogos didáticos e de recursos tecnológicos na aplicação das metodologias de ensino da
matemática, com o objetivo de tornar as aulas mais dinâmicas e atrativas, relacionando teoria e
prática. O trabalho, ao fazer uso do Tangram e do software Geogebra, foi estruturado de tal forma
que as atividades realizadas possibilitaram a exploração e a identificação das formas geométricas. O
software Geogebra foi utilizado na introdução dos conceitos de geometria plana e para a construção
das sete peças do Tangram. A implementação do projeto foi realizada com os alunos do 6º Ano do
Ensino Fundamental do Colégio Estadual Professora Maria José Balzanelo Aguilera, situado no
município de Londrina, Paraná. Como resultado, observou-se significativa melhora na participação
dos alunos nas atividades desenvolvidas em sala e no laboratório de informática, tornando evidente
que a utilização do software Geogebra motivou os alunos que foram desafiados a demonstrar seus
conhecimentos teóricos em atividades práticas. Observou-se também que tais recursos facilitaram o
ensino e a aprendizagem dos conteúdos de matemática.
Palavras-chave: Tangram. Tecnologias. Geogebra. Ensino-aprendizagem. Geometria plana.
1 INTRODUÇÃO
Devido às inúmeras dificuldades encontradas na aprendizagem dos
conteúdos de matemática, o presente trabalho tem por objetivo propor a utilização
do jogo didático Tangram e do software Geogebra para estimular o interesse dos
alunos e promover a socialização através do trabalho em grupo. Esta metodologia
possibilitará relacionar a teoria e a prática, favorecendo a compreensão dos
conteúdos de matemática.
A utilização de jogos no ensino de matemática tem a função de tornar mais
prazeroso o aprendizado para que, de forma mais criativa e dinâmica, os educandos
sintam-se estimulados a aprender. Os jogos e a matemática têm muito a colaborar
com a formação da cidadania, pois ambos possuem regras, instruções, operações,
definições,
desenvolvimento
e
novos
conhecimentos
(MUNIZ,
2010).
Especificamente, o jogo didático Tangram estimula o raciocínio, desperta a
imaginação e a criatividade dos alunos, enquanto que com o software Geogebra os
1
2
Professora Orientadora do Programa de Desenvolvimento Educacional do Estado do Paraná 2012.
Professor Doutor do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Londrina-PR.
E-mail: [email protected].
alunos poderão manipular as peças do Tangram, que permitirá construir desenhos,
figuras planas e polígonos, além de calcular área e perímetro.
O professor, nas suas atividades, pode modificar e ampliar o trabalho com o
Tangram dependendo da série em que está trabalhando e do grau de envolvimento
e maturidade de seus alunos. Uma mesma atividade poderá ser explorada de
diferentes formas, dependendo dos objetivos e dos conceitos que se deseja
trabalhar, exigindo que o professor faça adaptações de linguagem e de
aprofundamento.
Com o avanço tecnológico e a criação de novos aplicativos para diferentes
tipos de utilização, a informática se faz cada vez mais presente no cotidiano dos
alunos. É necessário atentar a estas mudanças para desenvolver novas
metodologias de ensino que despertem o interesse dos educandos em apreender a
matemática, de uma forma diferente, ou seja, utilizando seu conhecimento e
interesse pela informática.
Ao utilizar o software Geogebra como instrumento de aprendizagem e para
aplicação dos conteúdos trabalhados em sala de aula, proporcionar-se-á aos
educandos uma aprendizagem da matemática com o uso de materiais concretos
(Tangram) e de tecnologias (computador e softwares matemáticos).
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: TANGRAM, GEOGEBRA E A PRÁTICA
PEDAGÓGICA
2.1 Tangram
O Tangram, conforme Souza et al. (2006), é um quebra cabeça chinês de
origem milenar. Ele foi trazido da China para o ocidente por volta da metade do
século XIX e em 1818 já era conhecido na América, Alemanha, França, Itália e
Áustria. O Tangram é um quebra cabeças formado por sete peças com as quais é
possível criar e montar figuras geométricas. As regras desse jogo consistem em usar
as sete peças em qualquer montagem, colocando-as lado a lado sem sobreposição.
O Tangram está cada vez mais presente nas aulas de matemática, permitindo
que os professores vejam nesse material a possibilidade de inúmeras explorações,
quer seja como apoio ao trabalho de alguns conteúdos específicos de matemática,
ou como forma de propiciar o desenvolvimento de habilidades de pensamento
(SOUZA et al., 2006).
O Tangram possui um forte apelo lúdico e oferece àquele que brinca um
envolvente desafio. Os alunos, ao jogarem, desenvolvem determinadas atividades
matemáticas. No processo de montagem das figuras usarão suas capacidades
cognitivas, sejam conhecimentos já adquiridos, sejam suas capacidades de criar e
de gerenciar novas estratégias de pensamentos.
Uma
atividade
classificada
como
jogo
exige
esforço
de
atenção,
concentração, reflexão, memorização e supõe o respeito às regras impostas que o
sujeito não pode mudar a sua vontade. Assim, o educador deve estar presente no
desenvolvimento da atividade lúdica promovendo observações, reflexões e
validações dos procedimentos matemáticos. De acordo com Kamii (1986,1988), a
utilização do jogo como mediador do conhecimento matemático ganha importância
nos discursos dos educadores e dentro da prática pedagógica a partir da
necessidade da participação efetiva do sujeito na construção de seu conhecimento.
Segundo Vygotski (1994), o valor dos jogos para a aprendizagem ganha força
e importância a partir dos teóricos construtivistas, especialmente a partir da ideia de
que o jogo potencializa a zona de desenvolvimento proximal. O jogo é um importante
instrumento que favorece a aprendizagem na criança, em especial, os conteúdos
matemáticos.
2.2 Geogebra
O Geogebra foi criado pelo prof. Dr. Markus Hohenwarter da Flórida Atlantic
University em 2001, para ser utilizado em aulas no laboratório de informática. Ele é
um software matemático dinâmico, que possibilita sua utilização para o ensino e
aprendizagem dos conteúdos de geometria, álgebra e cálculo.
O uso de mídias tem suscitado novas questões, sejam elas em relação ao
currículo, à experimentação matemática, às possibilidades do surgimento de novos
conceitos e de novas teorias matemáticas (BORBA, 1999). Abordar atividades
matemáticas com os recursos tecnológicos enfatiza um aspecto fundamental da
disciplina, que é a experimentação. De posse dos recursos tecnológicos, os
estudantes argumentam e conjecturam sobre atividades com as quais se envolvem
na expansão do conhecimento (BORBA; PENTEDO, 2001).
Os recursos tecnológicos, no contexto dos processos de ensino e
aprendizagem, tornam-se um desafio para os professores. Cancian (2001) discute a
mudança no pensamento e na prática educativa sobre a utilização de tecnologias na
educação matemática.
2.3 Tangram Utilizando o Software Geogebra
A implementação do projeto pedagógico “Tangram e tecnologias no ensinoaprendizagem de matemática” foi debatida no Grupo de Trabalho em Rede – GTR,
com a participação dos professores na discussão sobre os benefícios que a
utilização do jogo didático Tangram traz na abordagem dos conteúdos de geometria
plana.
Quanto à utilização do Tangram pelos professores participantes em suas
aulas, foi relatado pela maioria que as aulas ficaram mais atraentes, motivando a
participação individual e em grupo dos alunos, estimulando a criatividade e o
interesse, contribuindo para o desenvolvimento do raciocínio lógico e melhor
compreensão do conteúdo. Importante ressaltar o papel do educador no
planejamento da utilização do jogo didático Tangram e sua finalidade pedagógica.
Sobre o software Geogebra, os professores afirmaram que a sua utilização
em sala de aula, na abordagem de conteúdos de matemática, estimulou a
participação dos alunos, pois estes se sentiram desafiados, contribuindo
significativamente em sua aprendizagem. Por outro lado existem dificuldades a
serem superadas: falta de recursos tecnológicos (computadores em número
insuficiente) e cursos de capacitação para utilização de softwares.
3 METODOLOGIA: A INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA NA ESCOLA
O objetivo deste projeto foi o de implementar uma nova metodologia de
ensino para a melhoria do processo ensino e aprendizagem de matemática.
Consiste na utilização do Tangram para ensinar conteúdos de geometria plana.
O projeto foi aplicado aos alunos do 6º ano do Ensino Fundamental do
Colégio Estadual Professora Maria José Balzanelo Aguilera, situado em Londrina,
Paraná e, foi apresentado à direção da escola, à equipe pedagógica, aos
professores e alunos, mostrando a relevância de intervenção no processo de ensinoaprendizagem de matemática.
3.1 Questionário Avaliativo
A abordagem do projeto junto aos alunos foi efetuada inicialmente com a
aplicação de um questionário avaliativo, reproduzido abaixo:
1. Qual a importância da matemática na sua vida?
2. Você gosta de matemática? Justifique sua resposta.
3. O que gostaria de aprender no conteúdo de matemática?
4. Você tem contato com o computador? Sabe usar a internet? Já fez algum
curso de informática?
5. Você sabe o que é o Tangram?
6. Conhece o software Geogebra?
7. Você sabe o que é Geometria?
8. Já construiu ou usou materiais manipuláveis?
9. Você acha que é possível construir figuras geométricas utilizando a
tecnologia?
10. Para que você utiliza mais a internet?
( ) para fazer pesquisa
( ) para jogar
( ) para se divertir.
Na atividade seguinte os alunos realizaram uma pesquisa na internet sobre o
tema e, em seguida, assistiram ao vídeo “História do Tangram” e efetuaram a
construção do Tangram utilizando Espuma Vinílica Acetinada, E.V.A.
3.2 A Geometria Plana e o Geogebra
Encerrada a primeira parte da implementação, deu-se início à abordagem dos
conteúdos teóricos de geometria plana. Verificou-se que com os conhecimentos
adquiridos sobre o Tangram, os alunos interagiram mais facilmente com o Geogebra
ao serem desafiados a utilizar o software, aplicando os conteúdos aprendidos em
sala, estabelecendo assim a relação entre o conteúdo de geometria plana e a
contextualização do seu aprendizado.
A implementação do projeto foi acompanhada pelos professores através do
GTR, com realização de debates sobre o Tangram e o software Geogebra. Através
dos relatos, ficou evidenciado que poucos professores tinham conhecimento do
software Geogebra, por isso, houve necessidade de atividades de familiarização,
iniciando com os procedimentos para baixar o aplicativo através do site
www.google.com.br, que orienta passo a passo: (FONSECA, 2013).
1 Digitar na caixa de pesquisa a palavra “geogebra” e clicar em Pesquisa
Google;
2 No resultado da pesquisa, localizar e clicar no seguinte endereço:
“Geogebra
download – baixaki” www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm;
3 Na tela seguinte, clicar no link:
4  Na tela seguinte, clicar no botão Download;
5 Na janela Salvar arquivo como, defina o local desejado para salvar o
aplicativo Geogebra (sugerimos salvar na área de trabalho “desktop”) e
em seguida clicar no botão salvar;
6 Clicar no atalho salvo na área de trabalho para executar/instalar o
aplicativo;
7 Na janela Abrir arquivo – Aviso de Segurança, clicar no botão executar;
8 Na janela a seguir “Baixaki”, no passo 1 de 4 clique em Próximo passo, no
passo 2 de 4 clique em rejeitar, no passo 3 de 4 clique em Próximo passo
e no passo 4 de 4 clique Instalar agora;
9 Na janela do Instalador, verificar se está selecionada o idioma
“Português”, clique no botão Próximo, clique na tela Acordo de Licença,
clique no botão Eu concordo e na próxima tela clique em Instalar e por fim
clique em Terminar;
11  O Ícone do aplicativo será criado na área de trabalho:
Após a instalação do software Geogebra, (FONSECA, 2013) solicitou-se que
todos os professores lessem e realizassem as atividades da produção didáticopedagógica do projeto disponibilizadas na plataforma Moodle do GTR. As atividades
aplicadas foram:
1)
Ponto, reta e segmento de reta.
a)
Crie dois pontos livre. Movimente-os.
b)
Faça um segmento de reta, unindo estes dois pontos.
c)
Construa mais dois pontos livres em qualquer lugar da tela e
construa uma reta passando por estes pontos, movimentandoos.
d)
Construa somente um ponto. Em seguida, faça um segmento de
reta com comprimento fixo de 10. Movimente-a.
2)
Ponto com coordenadas e ponto médio.
a)
Construa um ponto com coordenadas (3,5) e outro com
coordenadas (-4,1). Construa um segmento de reta, passando
por esses pontos, e determine a medida do segmento.
Movimente uma das extremidades do segmento. Observe o que
acontece.
b)
3)
Construa o ponto médio deste segmento.
Construção do quadrado.
a)
Construa um ponto qualquer.
b)
Faça um segmento de reta com comprimento fixo raiz quadrada
de 10.
c)
Construa um polígono regular de 4 vértices.
3.3 Construção do Tangram em E. V. A. (Espuma Vinílica Acetinada)
Os alunos efetuaram a confecção das sete peças do Tangram, utilizando o
material E. V. A. A seguir foram desenvolvidas atividades de montagem das mais
diversas possibilidades de construção de figuras, a partir de comandos préestabelecidos pela professora e até mesmo figuras de imaginação dos alunos.
Figura 1 – Montagem de Figuras Utilizando as Sete Peças do Tangram
Fonte: Autora (fotos dos trabalhos em sala).
3.4 Utilização do Software Geogebra no Laboratório de Informática
As atividades seguintes envolveram a utilização do software Geogebra.
Descreve-se a seguir tais atividades.
3.4.1 Construção dos Polígonos
Os alunos foram ao laboratório de informática para aplicar os conhecimentos
adquiridos nas aulas teóricas sobre geometria e, utilizando o software Geogebra,
realizaram a construção de alguns polígonos.
Figura 2 – Construção dos polígonos no software Geogebra:
Fonte: Fonseca (2013).
3.4.2 Construção do Tangram
Nesta atividade, os alunos efetuaram a construção do Tangram no laboratório
de informática, utilizando os conteúdos aprendidos nas aulas teóricas. Isso
contribuiu para o aprendizado dos conceitos de ponto, reta, segmento de reta e
polígonos e facilitou a interação da teoria com a prática dos conceitos de geometria
plana.
Figura 3 – Construção do Tangram
Fonte: Fonseca (2013).
3.4.3 Área e Perímetro: Retângulo e Quadrado
Essa atividade consistiu em um trabalho com a utilização do software
Geogebra em que foi solicitado para que os alunos construíssem um retângulo e um
quadrado e calculassem a área e o perímetro desses. A atividade está reproduzida a
seguir:
1)
Construa um retângulo de 12 cm de comprimento e 7 cm de largura.
Calcule a área e o perímetro no Geogebra.
A sequência dos comandos para a solução do problema é dada:
Novo ponto (Ponto A).
Segmento com comprimento fixo (clica no ponto A). Comprimento 12.
Reta perpendicular (clica em A, depois na reta; clica em B, depois na
reta).
Círculo dados centro e Raio (Clica em A, e coloque raio de 7; clica em
B,e coloque raio de 7).
Intersecção de dois objetos (clica onde cruza a reta perpendicular com
a circunferência).
Segmento definido por dois pontos (Une ponto C e D).
Polígono (Clica em A,B,C,D) – Forma o retângulo.
Para esconder a circunferência e a reta perpendicular. (Clica com botão direto
no mouse, e clica em exibir objeto).
Para calcular área clica em Área e dentro do quadrado.
Para calcular perímetro clica em distância, comprimento ou perímetro;
depois clica em polígono 1.
Na construção do retângulo, os alunos utilizaram os conceitos de ponto, reta
perpendicular, círculo dado centro e raio, segmento de reta com comprimento fixo,
intersecção de dois objetos, polígonos, área e perímetro.
Figura 4 – Retângulo construído no Geogebra.
Fonte: Fonseca (2013).
2)
Construa um quadrado de lado 8 cm. Calcule o perímetro e a área no
Geogebra.
A sequência dos comandos para a solução do problema é dada:
Novo Ponto (Ponto A).
Segmento com comprimento fixo (Clica em A). Comprimento 8.
Polígono Regular (Clica em A e B). Aparecerá 4 vértices.
Para calcular área clica em Área e dentro do quadrado.
Para calcular perímetro clica em Polígono 1- Aparecerá o valor do
perímetro.
Na construção do quadrado, os alunos utilizaram os conceitos de ponto,
segmento de reta com comprimento fixo, polígono regular, área e perímetro.
Figura 5 - Quadrado construído no Geogebra.
Fonte: Fonseca (2013).
A seguir apresentam-se os resultados obtidos com as respostas ao
questionário avaliativo aplicado no início do projeto e em seu término.
3.5 Resultados dos Questionários
Comparando
as
respostas
aos
questionários
antes
e
depois
da
implementação do projeto, obtiveram-se os seguintes resultados apresentados
abaixo.
Gráfico 1 - Número de Alunos que Possuíam Conhecimento Sobre Geometria.
16
14
12
10
SIM
8
NÃO
6
4
2
0
ANTES
DEPOIS
Fonte: Autora
O gráfico 1 evidencia que somente 33,33% dos alunos, antes do projeto ser
implementado, tinham conhecimento de geometria e resolveram as atividades
propostas. Após a apresentação do software Geogebra, 83,33% dos alunos
afirmaram que sabiam como usariam o software para resolver as atividades
propostas.
O gráfico 2 mostra que apenas 2 alunos possuíam conhecimento sobre o jogo
didático Tangram. Após a construção do quebra cabeças, no E. V. A., 14 alunos
aprenderam a brincar com o Tangram.
Gráfico 2 - Número de Alunos que Conheciam o Jogo Didático Tangram.
Fonte: Autora
O gráfico 3 mostra que nenhum aluno conhecia o software Geogebra. Após a
implementação do projeto, 14 alunos conseguiram entender e utilizar o software.
Gráfico 3 - Número de Alunos que Possuíam Conhecimento Sobre o Software Geogebra.
Fonte: Autora
4 CONCLUSÃO
A utilização de recursos tecnológicos e de jogos didáticos na abordagem dos
conteúdos de matemática demonstrou-se eficiente ao facilitar o processo ensinoaprendizagem da geometria. A utilização do jogo Tangram e do software Geogebra
estimularam a curiosidade dos alunos ao montar figuras, ao conseguir identificá-las
e ao medir as áreas e perímetros dessas peças.
A turma para a qual foi aplicado o projeto possuía um baixo rendimento
escolar, multirrepetência, dificuldade de aprendizagem e concentração. A partir da
construção das sete peças do Tagram utilizando o material E.V.A., o relacionamento
interpessoal entre os alunos melhorou consideravelmente, ocorrendo aumento das
participações individuais na montagem de figuras com as peças do Tangram.
Considerando as atividades desenvolvidas em laboratório, os alunos se
mostraram motivados pela possibilidade de utilização de recursos tecnológicos para
a construção de polígonos, construção do Tangram e cálculos de áreas e perímetros
do quadrado e do retângulo. Conclui-se que o uso do software Geogebra na
aplicação do projeto pedagógico foi positiva, pois se trata de um software que
apresenta ferramentas dinâmicas para as construções planas e compreensão de
conceitos e propriedades geométricas.
Esse recurso tecnológico contribuiu significativamente para uma maior
participação dos alunos em sala de aula e consequentemente para a melhoria das
notas obtidas nos trabalhos desenvolvidos no laboratório de informática. A escolha
do software tornou também as aulas mais interativas e possibilitou a integração
aluno/professor na realização das atividades propostas em sala. Assim, as aulas de
matemática, através de estudos e construções geométricas planas, foram mais
dinâmicas e interessantes.
REFERÊNCIAS
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do pensamento. In: BICUDO, M. A. V. (Org.). Pesquisa em educação matemática:
concepções e perspectivas. São Paulo: UNESP, 1999.
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Horizonte: Autêntica, 2001. (Coleção Tendências em Educação Matemática).
CANCIAN, A. K. Reflexão e colaboração desencadeando mudanças: uma
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(Mestrado) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual
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CAROLINE, Bianca. A história do tangram. Disponível em:
<www.youtube.com/watch?v=id3wuVoVcvc>. Acesso em: 24 maio 2012.
FONSECA, A. V. R. Geogebra. Disponível em:
<http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm>. Acesso em: 19abril2013.
KAMII, C. A criança e o número. Campinas: Papirus, 1986.
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Papirus, 1988.
MUNIZ, C. A. Brincar e jogar: enlaces teóricos e metodológicos no campo da
educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2010. (Coleção Tendências em
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SOUZA, E. R. et al. A matemática das sete peças do tangram. São Paulo:
IME/USP, 2006.
VYGOTSKY, L. S. A formação social da mente: o desenvolvimento dos processos
psicológicos superiores. 5. ed. São Paulo: Martins Fontes, 1994.